ارزیابی مدلهای تلفیقی ARMA-ARCH و BL-ARCH در مدلسازی تراز سطح آب دریاچه ارومیه

ارزیابی مدلهای تلفیقی ARMA-ARCH و BL-ARCH در مدلسازی تراز سطح آب دریاچه ارومیه 4 3 * محمد ناظری تهرودی کیوان خلیلی مرضیه عباسزاده افشار و جواد بهمنش * - نویسنده مسئول دانشجوی دکتری منابع آب دانشگاه بیرجند. mnazeri007@yahoo.com استادیار گروه مهندسی آب دانشگاه ارومیه دانشجوی کارشناسی ارشد منابع آب دانشگاه ارومیه دانشیار گروه مهندسی آب دانشگاه ارومیه تاریخ دریافت: 33/6/ چکیده تاریخ پذیرش: 34/3/33 اکثر مدلهای غیرخطی بر پایه مدلسازی میانگین خطا توسعه یافتهاند اما مدلهای غیرخطی خودهمبسته با واریانس شرطی بر پایه مدلسازی واریانس دادههای سری باقیمانده استوار هستند. این مدلها با ترکیب شدن با مدلهای خطی تا حدودی دقت مدلسازی و پیشبینیها را افزایش میدهند. در این مطالعه با استفاده از دادههای تراز سطح آب دریاچه ارومیه در دوره آماری 9-953 مدلهای خودهمبسته با میانگین متحرک و دو خطی و دو مدل ترکیبی )خودهمبسته با میانگین متحرک با واریانس شرطی( و )دو خطی با واریانس شرطی( مورد ارزیابی قرار گرفتند. برای انتخاب مدلهای خانواده آرما از معیار آکائیکه و برای صحت سنجی مدلها از دو آزمون همبستگی و میانگین جذر واریانس خطا استفاده شد. نتایج صحتسنجی مدلهای ARMA- BL ARMA ARCH و BL-ARCH به ترتیب ضریب همبستگی 0/7 0/896 0/707 و 0/707 بین دادههای محاسباتی و مشاهداتی و میانگین جذر واریانس خطا /059 7/50 /658 و 7/799 را نشان داد. همچنین نتایج نشان داد در مورد مدل آرما تلفیق مدل خطی و غیرخطی دقت مدل افزایش پیدا کرد ولی در مورد مدل دو خطی دوخطی تلفیق دو مدل غیرخطی باعث کاهش نسبتا کمدقت مدل شد. بهطور کلی نتایج نشان داد که با تلفیق دو مدل ARMA و ARCH میزان خطای مدل حدود 6 درصد کاهش و با تلفیق دو مدل غیرخطی میزان خطای مدل حدود درصد افزایش یافت. کلید واژهها: آرما خودهمبسته مدل دو خطی واریانس شرطی. Evaluaion of Combined ARMA-ARCH and BL-ARCH models in Modeling Lake Urmia waer level M. Nazeri Tahroudi *, K. Khalili, M. Abbaszadeh Afshar 3 and J. Behmanesh 4 * - Corresponding Auhor, Ph.D Suden of Waer Resources Engineering, Birand Universiy, Iran. - Assisan Professor, Deparmen of Waer Engineering, Urmia Universiy, Iran. 3- MSc Suden of Waer Resources Managemen, Urmia Universiy, Iran. 4- Associae Professor, Deparmen of Waer Engineering, Urmia Universiy, Iran.. Received:9 Sepember 04 Acceped:0 January 06 Absrac Many nonlinear models have been developed based on he mean errors modeling. However, he non-linear models wih Auoregressive condiional heeoscedasiciy are based on variance modeling. These models are combined wih linear models, parly o increase he accuracy of modeling and predicions. In his sudy, using daa from he Urmia Lake waer level daa for he period 973-0, he models wih auocorrelaion moving average and Bilinear model and wo combined models (Auoregressive condiional heeoscedasiciy) and (Bilinear condiional heeoscedasiciy) were evaluaed. To selec he ARMA family models, AICC es were used and regression coefficien (r) and roo mean suare error (RMSE) ess were used for validaion models. The resuls of validaion he ARMA, BL, ARMA-ARCH and BL-ARCH models showed he correlaion coefficien of 0.707, 0.68, 0.79 and 0.704 and he mean suare roo eual.838, 4.309,.03 and 4. beween observed and modeling daa respecively. Also he resuls showed ha model accuracy increased wih combining boh linear and nonlinear models, bu wih combining wo nonlinear models is caused reduce he accuracy of he models. Overall he resuls - -3-4

ناظری تهرودی و همکاران: ارزیابی مدلهای تلفیقی ARMA-ARCH و BL-ARCH در... 7 showed ha by combining ARMA and ARCH models, he model error decreased abou 8 percenage and combining wo non-linear models caused increased model error abou percenage. Keywords: ARMA, Auoregressive, Bilinear Model, Condiionally Heeroscedasiciy 4 3 باوسنز و همکاران )00( بیرا و هایگینس )88( بولرسلی و 6 5 همکاران )88( بولرسلی و همکاران )88( دگیاناکیز و 9 8 7 زیکاالکی )00( انگل و پتون )00( پیگن )88( 0 پالم )88( و شپرد )88( اشاره کرد. خلیلی و همکاران )8( با استفاده از الگوهای ترکیبی BL-ARCH دبی روزانه رودخانه شهرچای ارومیه را به مدت سال پیشبینی و مدلسازی کردند. مطالعات انجام یافته در زمینه علوم مرتبط با هیدرولوژی و منابع آب برای تحلیل سریهای زمانی و ترکیب مدلهای خطی و غیرخطی اندک است. با این حال در اینجا به برخی از مهمترین آنها 9 اشاره میگردد. تول )88( از ترکیب مدل AR() و GARCH برای برازش دادههای روزانه درجه حرارت و واریانس شرطی ناحیه دیبیلت در هلند استفاده کرد. او واریانس شرطی یک مشاهده را بهطور خطی به واریانس شرطی مشاهدات قبلی ارتباط داد. نامبرده از مدل GARCH(,) برای مدلسازی سری زمانی استفاده نمود و نشان داد که در مدل مذکور واریانس شرطی در زمان به خطای تخمینی و واریانس نظیر در زمان - بستگی دارد. تیلور 0 و بویزا )00( نتایج پیشبینی چگالی درجه حرارت پنج ایستگاه هواشناسی در انگلیس را با استفاده از مدل GARCH و مدلهای اتمسفری مورد مقایسه قرار دادند. نتایج این تحقیق نشان داد که مدل GARCH نسبت به مدلهای اتمسفری نتایج بهتری ارائه میکند. وانگ و همکاران )00) از ترکیب مدل ARMA و مدل GARCH برای برازش واریانس و میانگین روزانه جریان رودخانه زرد در چین استفاده کرد. نتایج این مطالعه نشان داد که مدل ARMA-GARCH نتایج بسیار سودمندی در مدلسازی سری روزانه جریان رودخانه ارائه میکند. کومورنیک و همکاران )00( عملکرد مدلهای غیرخطی سری زمانی را در پیشبینی فرآیندهای هیدرولوژیکی مورد مقایسه قرار دادند. هدف مطالعه حاضر مقایسه مدلهای تلفیقی خطی غیرخطی )ARMA-ARCH( و غیرخطی غیرخطی )BL-ARCH( در مدلسازی تراز سطح آب دریاچه ارومیه میباشد. مقدمه بسیاری از فرآیندهای مربوط به دستگاهه یا طبیعی نسبت به زمان غیرخطی بوده اگرچه جنبههای خاصی از این سامانهها ممکن است نسبت به جنبههای دیگر به فرآیند خطی نزدیکتر باشند. به هر حال ماهیت غیرخطی بودن برای ما کامال آشکار نیست )تسونیس 00(. به همین دلیل به نظر میرسد با ترکیب مدلهای خطی و غیرخطی میتوان نتایج مدلسازیهای هیدرولوژیکی را افزایش داد. تعداد مطالعات مربوط به مدلهای غیرخطی سریهای زمانی در تحلیل و پیشبینی در مقایسه با سریهای زمانی خطی بسیار اندک است. بهطوری که به نظر میرسد تاکنون در ایران مطالعهای در زمینه کاربرد مدلهای غیرخطی و تلفیق آن با مدلهای خطی سری زمانی فرآیندهای هیدرولوژیکی صورت نگرفته و در سطح جهانی نیز مطالعات مزبور انگشتشمار بوده است. سوبارائو )89( مدل BL(p,0,p,) را مورد تجزیه و تحلیل قرار داده و به نتایج جالبی 3 در رابطه با خصوصیات سریهای زمانی دست یافت. سوبارائو و گابر )89( روی برخی خصوصیات و کاربردهای این مدل مباحثی انجام 4 داده و نمایش ماتریسی و فضایی این مدل را ارائه نمودند. فام )88( تحقیقی روی خصوصیات پایه و محاسبات آماری مدلهای 5 دوخطی انجام داد. محققانی مانند کیم و همکاران )880( چن و 7 6 لیو )88( و سیسی و سوبارائو )88( برای تخمین پارامترهای 8 مدل دوخطی مطالعاتی انجام دادند. دای و بیالرد )00( مشکل تخمین پارامترهای مدل فضایی دوخطی را مورد توجه قرار داده و با فرض ایستا بودن سری روشی به نام تخمین شرطی حداکثر درست نمایی با استفاده از الگوریتم عددی نیوتن رافسون برای تخمین 9 پارامترهای مدل ارائه نمودند. لیفشیتس )00( منشأ تغییرات مدل دوخطی در سریهای زمانی با ماهیت غیرخطی ضعیف را مورد تحقیق قرار داد و به روابط و معادلههای ریاضی حاکم بر این شرایط دست یافت. مطالعات زیادی در مورد مدلهای ARCH بعد از 0 انگل )89( انجام گردید که بهعنوان مثال میتوان به تحقیقات اندرسون و بولرسل )889( اندرسون و همکاران )00( 3 - Bauwens e al. 4 - Bera and Higgins 5 - Bollerslev e al. 6 - Bollerslev e al. 7 - Degiannakis and Xekalaki 8 - Engle and Paon 9 - Pagan 0 - Palm - Shephard 9 - Tol 0 - Taylor and Buizza Wang e al. Komornik e al. - Tsonis - Subba Rao 3 - Subba Rao and Gabr 4 - Pham 5 - Kim e al. 6 - Chen and Liu 7 - Sesay and Subba Rao 8- Dai and Billard 9 - Lifshis 0 - Engle - Andersen and Bollersle - Andersen e al.

73 علوم و مهندسی آبیاری )مجله ی علمی- پژوهشی( جلد 43 شمارهی بهار 36 دوره آماری )سال( -80 جدول - مشخصات آماری سری زمانی تراز سطح آب دریاچه ارومیه بیشینه تراز ساالنه )متر( /8 کمینه تراز ساالنه )متر( 0/8 متوسط تراز ساالنه )متر( /0 شکل - موقعیت جغرافیایی منطقه مورد مطالعه )( مواد و روشها منطقه مورد مطالعه منطقه مورد مطالعه در این تحقیق دریاچه ارومیه است. حوضه آبریز دریاچه ارومیه یکی از مهمترین حوضههای منطقهای ایران است که در بخش شمال غرب ایران واقع شده است. این حوضه با وسعتی برابر 00 کیلومترمربع و مساحتی معادل / درصد مساحت کل کشور بین مدار درجه و 0 دقیقه تا 9 درجه و 8 دقیقه عرض شمالی و نصفالنهار درجه و دقیقه تا درجه و دقیقه طول شرقی قرار گرفته است. در این مطالعه از دادههای سری زمانی تراز سطح آب دریاچه ارومیه در دوره آماری -8 استفاده شد. شکل )( موقعیت منطقه مورد مطالعه و جدول )( مشخصات آماری دادهها را نشان میدهد. سادهترین نوع مدله یا سری زمانی از نوع خود همبسته میباشند که بر اساس زنجیره مارکوف بنانهاده شدهاند. یک سری زمانی وقتی از زنجیره مارکوف تبعیت میکند که هر رخدادی در زمان با زمانه یا قبل و بعد از خود مرتبط باشد. از دیگر مدلهای سری زمانی میتوان به مدلهای خود همبسته با میانگین متحرک و آریما اشاره نمود )ناظری تهرودی و همکاران 8(. با در نظر گرفتن سری زمانی نرمال و استاندارد Z مدل میانگین متحرک خودهمبسته ARMA(p,) به شرح زیر در نظر گرفته میشود: p Z ( Z ) ( ) i i i که در آن p: مرتبه مددل : AR مرتبده مددل MA i : ضرایب مدل و : صفر و واریانس و سری تصادفی و نرمال مدل با میدانگین 7 میباشد )خلیلی و همکاران 0(. مدلهای ARMA سری زمانی اولین بار در هیدرولوژی از اوایل دهه 80 توسط توماس و فیرینگ )8( و یوجویج )8( آغاز گردید 3 و در دهه 80 توسط باکس و جنکین )8( توسعه یافت. 4 -Auo Regressive (AR) 5 -Auo Regressive Moving Average (ARMA) 6- Auo Regressive Inegraed Moving Average (ARIMA) 7 - Khalili e al. -Thomas and Fiering -Yevevich 3 - Box and Jenkins

ناظری تهرودی و همکاران: ارزیابی مدلهای تلفیقی ARMA-ARCH و BL-ARCH در... 3 )( )( مدل دوخطی این مدل توسط گرانگر و آندرسون )89( معرفی شد و تحقیقات فراوانی پس از آن روی این مدل به عمل آمد. مدلهای غیرخطی بیشتر در علوم مرتبط با آمار تحقیقات مرتبط با آمار اقتصاد و ریاضیات مورد بحث قرار گرفته و توسعه یافتهاند 4 3 که میتوان به منابعی نظیر پریستلی )899( و تانگ )880( مراجعه نمود. اکثر این مدلها در زمینه مدلسازی و پیشبینی سریهای زمانی اقتصادی کاربرد داشتهاند )فرانسیس و ون 5 دیک.)00 مدلهای خطی سری زمانی در واقع بسط مرتبه اول سری های تیلور میباشند )تسای 00(. ایده اصلی مدل دوخطی نیز غیرخطی بودن بسط مرتبه دوم سری تیلور میباشد. شکل کلی مدل 7 دوخطی بهصورت زیر توصیف میشود )تسای 00(: X p P 0 k ( b. X ( c k. X ) k k k ( a. k ) k ) )( که در آن X: سری زمانی موردنظر و P p و Q: اعداد صحیح مثبت میباشند که رسته یا مرتبه مدل دوخطی را نشان 8 میدهند. مدل فوق در برخی منابع مانند )فان و یائو 00( بهصورت مدل (Q BL(p,,,P نیز نمایش داده میشود. b a و c ضرایب مدل دوخطی میباشند. ε: نیز سری تصادفی نرمال و استاندارد میباشد. بهعنوان نمونه در صورتی که مقادیر رسته مدل دوخطی P=Q=p== باشد مدل دوخطی بهصورت BL(,,,) نمایش داده شده و میتوان بهصورت زیر نوشت که در آن ε: سری تصادفی مستقل با توزیع نرمال و استاندارد است: حاصلضرب دو متغیر ε و X که هر دو نسبت به زمان متغیرند باعث شده معادله از حالت خطی خارج شده و مدل غیرخطی شود. شاید یکی از بهترین راهها برای معرفی مدلهای غیرخطی سری زمانی اضافه کردن یک عبارت به مدل خطی باشد که این عمل در مدل دوخطی مشاهده میگردد )فان و یائو 00(. اگر بخواهیم مدل دوخطی را به همان روال قبلی مدلهای خطی سری زمانی نمایش دهیم خواهیم داشت: عبارت ) Z m P i s i (. Z i (. Z i i i ) (. ) ) m s i که در این مدل پارامترها مانند مدل ARMA بوده و فقط i (. Z i i به آن اضافه شده است.,, نیز ضرایب مدل دوخطی b رسته مدل و (p,,r,s) میباشند که در این تحقیق و در بخش نتایج و بحث از این عالئم برای نمایش نتایج مدل دوخطی استفاده شده است. نمایش مارکوفی یکی از روشهای ساده برای نمایش پیچیدگی مدلهای غیرخطی دوخطی استفاده از نمایش فضایی است. بدین شکل که ضرایب مدل خودهمبستگی با مرتبه یک بهعنوان یک بردار در نظر گرفته شوند که این همان زنجیره مارکوف میباشد )فان و یائو 00(. زیرا بر اساس تعریف یک سری زمانی از زنجیره مارکوف تبعیت میکند اگر هر واقعه ثبتشده سری زمانی در زمان با زمان قبل و بعد از خود مرتبط باشد )کارآموز و عراقی نژاد 9(. به همین دلیل این نمایش نمایش مارکوفی نامیده میشود و خصوصیات مدل دوخطی را میتوان از این نمایش استنتاج نمود. مدل دوخطی را بهصورت زیر در نظر گرفته: BL(,,,) = X = b. X - a. ε + c. X. ε + ε - - - - X p P 0 k ( b. X ( C k. X ) k k k (. k ) k ) )( مدل دوخطی در واقع مدل ARMA )خطی( بسط داده شده میباشد که عبارت غیرخطی P Q i0 k ( C k X k k ) 9 سمت راست آن اضافه شده است )آینکاران 00(. به در این عبارت )( برای مقادیر i, مقدار P+Q} n=max{p, P+, و m=n- b + a= + c= p+i را در نظر گرفته و فرض میشود Max{,Q} بوده و Q+=0 باشد. فام )88( نشان داد که X را میتوان بهصورت زیر نمایش داد: X = h Z + ε τ - - Bilinear Models (BL) - Granger and Andersen 3 - Priesley 4 - Tong 5 - Franses and Van Dik 6 -Taylor Series 7 - Tsay 8 - Fan and Yao 9 - Ainkaran

علوم و مهندسی آبیاری )مجله ی علمی- پژوهشی( جلد 43 شمارهی بهار 36 Z = ( A + Bε ) Z + cε + dε - )( )9( که در آن متغیر فضایی Z: بردار با ابعاد *n با X -m-i داده شامل, - X -, X میباشد :h یک بردار n* با (m+) :c بردار با ابعاد *n با -m داده d: بردار با ابعاد *n با m داده و B: بردار با ابعاد *n بهصورت ماتریس زیر میباشد: C C m, m, nm C C 0, 0, nm عضو بوده که i=,,n-,i) (+i و تعداد n*n بردار با ابعاد A: میباشد. این معادله مشابه مدل AR() با ضرایب تصادفی میباشد. بنابراین در این معادله - Z مستقل از ضرایب ) (A+Bε و (cε +d ε میباشد. در نتیجه با در نظر گرفتن اینکه Z یک زنجیره ) مارکوف میباشد میتوان مدل دوخطی را بهصورت زیر ارائه نمود )فان و یائو 00(: X = h Z + ε T - Z = A( ε ) Z + c( ε ) - )8( )0( که در آن Z: بردار فضایی تعریف شده و h: یک بردار ثابت و ) A(ε و ) :C(ε به ترتیب ماتریس ثابت و توابع برداری میباشند )فان و یائو 00(. تخمین پارامترهای مدل دوخطی به روش حداکثر درست- نمایی برازش مدل سری زمانی غیرخطی دوخطی شامل دو جنبه مهم است: یکی تعیین رسته یا مرتبهه یا مدل شامل (s,p),,r و دیگری تخمین ضرایب مدل شامل مقادیر,φ θ, β میباشد. تعیین رسته مدل با استفاده از روشهای شناخته شده مانند معیار آکائیکه انجام میگیرد. مقدار آکائیکه برای رستههای مختلف محاسبه شده و هر رسته که مقدار آکائیکه کمتری داشته باشد بهعنوان رسته مدل انتخاب خواهد شد. البته هنوز عملکرد این روشها در مدل دوخطی بررسی نشده و ناشناخته میباشد که این موضوع به دلیل فقدان ارائه تئوری تخمین حداکثر درست نمایی برای مدلهای دوخطی میباشد )فان و یائو 00(. در این مطالعه رسته مدل مورد بررسی با استفاده از نرمافزار SAMS007 و ضرایب مدل به روش سعی و خطا محاسبه گردید. با داشتن رسته مدل دوخطی (s,p),,r میتوان از روش استاندارد تابع تخمین درستنمایی برای تخمین ضرایب مدل استفاده کرد. فرض میگردد Z Z,, سری دادههای مشاهداتی باشند که به حالت ایستا تبدیل شدهاند. فرض میشود که در آن: ) θ θ = ( θ, باشد τ τ τ = ( b, Kb, a, K, a ) p θ = ( c, Kc, c, K, c ) τ s rs )( میتوان تابع لگاریتم درستنمایی )فان و یائو 00(: )( )ضمنی( را بهصورت زیر نوشت N P' l(, ) log T ˆ ( ) p' ˆ ˆ با ( ), p' ( که در آن p'=max{p,p} و مقادیر...,( ' و با استفاده از مدل max{, در نظر گرفتن شرایط {Q عمومی دوخطی قابل محاسبه خواهند بود. مدلهای خودهمبسته با واریانس شرطی این مدل برای اولین بار در مطالعات اقتصادی توسط انگل )89( ارائه شد و اولین مدلی است که یک چارچوب نظاممند را برای مدلسازی نوسانات فراهم میکند. ایده اصلی مدلهای خودهمبسته با واریانس شرطی به دو صورت است که )الف( میانگین اصالح شده دادههای مورد استفاده مجزا اما وابسته است و )ب( مدل وابسته است و میتواند توسط یک تابع ساده درجه دوم از مقادیر قبل از آن شرح داده شود. بهطور خالصه مدل مدلهای خودهمبسته با واریانس شرطی بهصورت زیر فرض میشود )انگل 89(: m 0 biε-i i= σ = a + ε = σz )( )( که در آن σ واریانس شرطی ε سری زمانی نظیر عبارت خطا یا باقیمانده مدل با میانگین صفر و واریانس b0 0 و a0 و 0 z است پارامترهای مدل m برابر با مرتبه مدل سری زمانی پارامتر موردنظر است )انگل 89(. ساختار مدل مدلهای خودهمبسته با واریانس شرطی برای درک بهتر مدل ساختار مدل ARCH() در نظر گرفته شد - Condiional Log Likelihood Funcion - Auoregressive Condiional Heeroscedasic

ناظری تهرودی و همکاران: ارزیابی مدلهای تلفیقی ARMA-ARCH و BL-ARCH در... 4 m در این صورت: 4 = E(a ) m = 3E(α + α α Var(a ) + α m ) 4 0 0 4 a =3α (+ ) + 3α m. 0 4 - a 3α (+ a ) m = (- a )(-3α ) 0 4 b0 0 )( )انگل 89(. عدد برابر با مرتبه مدل ARCH است: σ = α 0 + aa - a =σε a0 0 a که در آن 0 و است. ابتدا باید میانگین )( )( شرطی a را برابر صفر در نظر گرفت. زیرا: E(a ) = E[E(a F -)] = E[σE(ε )] = 0 )( که در آن - F تابعی از میانگین و واریانس شرطی است. سپس واریانس شرطی از رابطه زیر بهدست آمد )انگل 89(: Var(a ) = E(a ) = E[E(a F )] = - E[α + α a ] = α + α E(a ) 0-0 - a )9( E(a از آنجاکه با توجه به = 0 ) Var(a یک فرآیند ایستا و ثابت ) = E(a -) = E(a -) است بنابراین خواهیم داشت: Var(a ) = α 0 +αvar(α ) α Var(a 0 ) = (- α) α از آنجا که واریانس باید مثبت باشد در نتیجه محدوده باید بین 0 و باشد. در برخی از برنامههای کاربردی مقادیر )8( )0( α باید ( α نیز باید وجود داشته باشد و از این رو باالتر از ) برخی از گشتاورهای اضافی را تأمین کند. بهعنوان مثال در مطالعه ( α نیز محدود شود. رفتار دنبالهها نیاز است که گشتاور چهارم ) با فرض نرمال بودن در معادله زیر خواهیم داشت )انگل E(a F ) = 3[E(a F )] 4 - - = 3(α + α a ) 0 - E(a ) = E[E(a F )] = 3E(α + α a ) 4 4-0 - = 3E(α + α α α + α α ) 4. 0 0 - - ε α :)89 )( بنابراین: درنهایت: و )( ( α m 4 برابر با گشتاور چهارم ) که در آن a0 پارامترهای مدل ARCH() هستند. 0 ارزیابی مدلها بهمنظور ارزیابی عملکرد مدل از دو معیار ضریب تبیین و جذر میانگین مربعات خطا استفاده گردید. مدلی که کمترین مقدار جذر میانگین مربعات خطا و یا بیشترین مقدار ضریب همبستگی را داشته باشد بهعنوان مدل مطلوب شناخته شد: RMSE = R n (Qi Q i) i n (Q Q ) i (Q Q ) i i i 0.5 )( )( Q به ترتیب دبی جریان i Q i که در روابط فوق مشاهداتی دبی جریان محاسباتی میانگین دبی جریان و n: تعداد دادهها میباشد. وQ نتایج و بحث سری زمانی 0 ساله تراز سطح آب دریاچه ارومیه در مقیاس ساالنه با استفاده از آزمونهای اولیه مورد بررسی قرار گرفتند و نتایج بررسی اولیه دادهها نشان از وجود روند در دادههای سری زمانی تراز سطح آب دریاچه بود. همچنین نتایج نشان دهنده عدم همگنی و عدم تصادفی بودن دادهها بود. نمودار سری زمانی اولیه و نتایج اولیه دادهها به شرح شکل )( ارائه شد. برای بررسی کفایت طولی دادههای مورد استفاده از آزمون هرست استفاده گردید. نتایج بررسی آزمون کفایت طولی هرست نشان داد که دادههای مورد استفاده دارای ضریب 0.96=H بوده و دادههای مورد استفاده کفایت طولی مناسب را دارند. )( - Hurs α اگر بهعنوان ثابت چهارم در نظر گرفته شود و

3 علوم و مهندسی آبیاری )مجله ی علمی- پژوهشی( جلد 43 شمارهی بهار 36 شکل نمودار دادههای اولیه متوسط ساالنه تراز سطح آب دریاچه ارومیه در دوره آماری جدول - پارامترهای مدل آرما ϴ ϴ ϴ Φ Φ Φ -0/8 0/ 0/98 0/99 مدل ARMA(3,3) ARMA(,0) ARMA(,0) ARMA(,3) آکائیکه /0 0/0 9/ /0-0/ -0/ 0/ -0/ -0/ 0/08 0/9 0/0 0/0-0/ برای از بین بردن روند از روش تفاضل گیری استفاده شد. به این صورت که دادهها به ترتیب نزولی مرتبشده و هر داده از داده ماقبل خود کسر میشود لذا روند دادههای سری زمانی از بین رفت. نتایج نشان داد که دادههای بدون روند با استفاده از تابع تبدیل y=ln(x+a) و با ضرایب 0/0=a و به ازای ضریب چولگی 0/- به شکل مناسبی نرمال میشوند. پس از بررسی اولیه دادهها نتایج بررسی مدلهای مختلف از بین مدلهای خانواده آرما نشان داد که با توجه به معیار آکاییکه کمتر مدل ARMA(3,3) از بین مدلهای خانواده آرما بهترین مدل برای مدلسازی دادههای مورد مطالعه خواهد بود. پارامترهای مدل مذکور به شرح جدول )( ارائه گردید. با توجه به جدول )( و معیار آکاییکه مدل ARMA(3,3) بهعنوان مدل برتر شناخته شد و رابطه آن بهصورت رابطه )( ارائه گردید. عالوه بر معیار آکاییکه برای بررسی و صحت سنجی دقت مدل منتخب از دادههای سال انتهای دوره آماری استفاده شد. بهطوری که پنج سال دادههای انتهای دوره آماری از سری زمانی اولیه تراز سطح آب دریاچه ارومیه حذف و سپس با استفاده از مدل منتخب مدلسازی و پیشبینی گردید. نتایج بررسی و صحت سنجی مدل منتخب بهصورت شکل )( ارائه گردید. همچنین برای اطمینان بیشتر از دقت مدل منتخب عالوه بر در نظر گرفتن دادههای پنج سال انتهای دوره آماری از دادههای ده سال دوره آماری نیز استفاده شد. نتایج بررسی دقت و خطای مدل مورد استفاده با استفاده از دادههای ده سال انتهای دوره آماری مورد مطالعه به شرح شکل )( ارائه گردید. نتایج بررسی دقت مدل مورد بررسی نشان داد که تمامی داده- های مدل شده در محدوده اطمینان 8 درصد قرار داشته و دقت مدل مورد تائید است. درنهایت بعد از تائید دقت مدل مورد بررسی با استفاده از مدل مذکور تراز سطح آب دریاچه ارومیه در مقیاس ساالنه مدلسازی و نتایج به شرح شکل )( ارائه گردید. ARMA(3,3) : ( Z 3 3 )] [( z [( Z ) ( ) ( Z ) ) ( 3 )] 3 )(

ناظری تهرودی و همکاران: ارزیابی مدلهای تلفیقی ARMA-ARCH و BL-ARCH در... 4 شکل 3- نتایج بررسی و صحت سنجی مدل AR(3,3) در دوره آماری 33-09. شکل 4 - نتایج بررسی و صحت سنجی مدل AR(3,3) در دوره آماری 33-09. شکل 5 مدلسازی تراز آب دریاچه ارومیه با استفاده از مدل ARMA(3,3)

علوم و مهندسی آبیاری )مجله ی علمی- پژوهشی( جلد 43 شمارهی بهار 36 با توجه به شکلهای )( و )( میتوان مشاهده کرد که در مرحله صحت سنجی نتایج مدل ARMA(3,3) قابل قبول بوده ولی با توجه به شکل )( میتوان دید که نتایج قابل قبولی از مدلسازی تراز سطح آب دریاچه با استفاده از مدل خانواده آرما حاصل نشد. بعد از مدلسازی تراز سطح آب دریاچه ارومیه با استفاده از مدل ARMA(3,3) دادههای موردنظر با استفاده از مدل دوخطی برازش داده شدند و به ازای مقدار ضریب b برابر با 0/00- مدل BL(3,3,,) بهعنوان مدل برتر شناخته شد و تراز سطح آب دریاچه ارومیه با استفاده از مدل مذکور مدلسازی شد. نتایج مدلسازی تراز سطح آب دریاچه ارومیه با استفاده از مدل مذکور به شرح شکل )( ارائه گردید. همچنین نتایج استخراج ضریب مدل بهصورت شکل )( ارائه گردید. مدلسازی با استفاده از مدل دو خطی نیز نتایج مشابه مدل آرما ارائه کرد. دقت ارزیابی مدل دوخطی نیز همانند مدل خطی خانواده آرما با استفاده از دو آزمون همبستگی و جذر میانگین مربعات خطا محاسبه گردید. برای محاسبه ضریب همبستگی مدلها از پنج سال داده انتهای دوره آماری استفاده شد. خالصه نتایج بررسی همبستگی بین دادههای محاسباتی و مشاهداتی و میانگین جذر مربعات خطا بهصورت جدول )( ارائه گردید. شکل مدلسازی تراز آب دریاچه ارومیه با استفاده از مدل BL(3,3,,) شکل 7 تعیین مقادیر ضریب مدل دوخطی مدل جدول 3- نتایج بررسی صحت سنجی مدلهای مورد استفاده )حذف پنج سال داده انتهای دوره آماری( ARMA(3,3) BL(3,3,,) ضریب همبستگی 0/0 0/9 میانگین جذر مربعات خطا /9 /08

ناظری تهرودی و همکاران: ارزیابی مدلهای تلفیقی ARMA-ARCH و BL-ARCH در... 6 ε نتایج ارزیابی مدلها نشان داد که با توجه به معیار خطا مدل BL(3,3,,) و با توجه به ضریب همبستگی مدل ARMA(3,3) بهعنوان مدل مناسب برای مدلسازی و پیشبینی تراز سطح آب دریاچه ارومیه شناخته شدند. بعد از بررسی مدل خودهمبسته با میانگین متحرک و مدل دو خطی مدلهای مذکور با استفاده از مدلهای غیرخطی خودهمبسته با واریانس شرطی ترکیب و نتایج مورد بررسی قرار گرفت. سری باقیمانده هر دو مدل دو خطی و خودهمبسته با میانگین متحرک استخراج و با استفاده از روابط موجود واریانس سری باقیمانده محاسبه گردید و سپس با استفاده از واریانس و مقادیر مشاهداتی سری باقیمانده متناسب با دادهها تولید گردید. رابطه واریانس سری باقیمانده مدل در دو مدل دو خطی و خودهمبسته با میانگین متحرک به ترتیب بهصورت روابط )( و )( ارائه گردید: σ σ 8 = 0.898035 +.63*0 )( = 0.536649 + 0. 359 ε )( سرانجام دو مدل مذکور با استفاده از سری باقیمانده تولید شده ترکیب شدند و مدلهای BL-ARCH و ARMA-ARCH تولید شد. نتایج مدلسازی مدلهای تلفیقی BL-ARCH و ARMA- ARCH به ترتیب به شرح شکلهای )9( و )8( ارائه گردید. شکل 3 مدلسازی تراز آب دریاچه ارومیه با استفاده از مدل BL-ARCH شکل 0- مدلسازی تراز آب دریاچه ارومیه با استفاده از مدل ARMA-ARCH مدل ARMA-ARCH جدول 4- ارزیابی مدلهای ترکیبی BL-ARCH و ARMA-ARCH ضریب همبستگی 0/8 0/0 جذر میانگین مربعات خطا /0 / BL-ARCH

7 علوم و مهندسی آبیاری )مجله ی علمی- پژوهشی( جلد 43 شمارهی بهار 36 برای بررسی و صحت سنجی مدلها همانند دو مدل خودهمبسته با میانگین متحرک و دو خطی از پنج سال داده انتهای دوره آماری استفاده شد و ضریب همبستگی بین دادههای مشاهداتی و محاسباتی محاسبه گردید. برای بررسی دقت دو مدل نیز از معیار جذر میانگین مربعات خطا استفاده شد. نتایج بررسی همبستگی و معیار خطا دو مدل ترکیبی بهصورت جدول )( ارائه گردید. با توجه به نتایج ارزیابی دو مدل ترکیبی مشخص گردید که از بین دو مدل مورد استفاده مدل ARMA-ARCH مدل ARMA-ARCH نتایج بهتری ارائه کرد. همچنین نتایج نشان داد تلفیق دو مدل غیرخطی باعث کاهش دقت مدل در مدلسازی تراز سطح آب دریاچه ارومیه خواهد شد. نتایج بررسی دو مدل دوخطی و BL-ARCH نشان داد که با تلفیق مدل دوخطی با مدل غیرخطی خودهمبسته با واریانس شرطی همبستگی بین دادههای محاسباتی و مشاهداتی افزایش و خطای مدل نیز افزایش یافته است. خلیلی و همکاران )8( در تحقیقات خود نشان دادند که تلفیق دو مدل دوخطی و خودهمبسته با واریانس شرطی باعث کاهش خطای مدل در مدلسازی دبی رودخانه نازلوچای میشود که نتایج تحقیق حاضر با تحقیقات ایشان مطابقت ندارد. دلیل این موضوع ممکن است به خاطر کاهش شدید روند تغییرات تراز سطح آب دریاچه ارومیه در سالهای آتی باشد. نتیجهگیری با استفاده از دادههای تراز سطح آب دریاچه ارومیه چهار مدل خودهمبسته با میانگین متحرک دوخطی ARMA-ARCH و BL-ARCH مورد بررسی قرار گرفت. ابتدا مدل خطی خانواده خودهمبسته با میانگین متحرک و مدل غیرخطی دوخطی مورد برازش قرار گرفت. نتایج نشان داد که از بین دو مدل خطی ARMA(3,3) و غیرخطی BL(3,3,,) مدل غیرخطی ARMA(3,3) با توجه به معیار همبستگی و مدل BL(3,3,,) با توجه به معیار خطا مدل برتر برای مدلسازی تراز سطح آب دریاچه انتخاب شد. بعد از بررسی دو مدل ذکر شده برای بررسی تأثیر مدلهای واریانس شرطی بر نتایج مدلسازی مدلهای ترکیبی دو مدل خودهمبسته با میانگین متحرک و دوخطی با مدلهای خودهمبسته با واریانس شرطی ترکیب شدند. نتایج نشان داد که ترکیب مدلهای غیرخطی با مدلهای واریانس شرطی باعث افزایش نسبتا کم خطای مدل و همچنین باعث افزایش مقدار همبستگی بین دادههای مدلسازی شده و مشاهداتی در منطقه مورد مطالعه میشود. در مورد مدل خطی آرما ترکیب مدل مذکور با مدلهای واریانس شرطی باعث بهبود نتایج مدلسازی و صحت سنجی شد. بهطوری که در بین چهار مدل بررسی شده نتایج محاسبه ضریب همبستگی و معیار خطا )جذر میانگین مربعات خطا( در مدل ترکیبی ARMA- ARCH باالتر از سایر مدلها بهدست آمد. همچنین نتایج نشان داد که در منطقه مورد مطالعه ترکیب مدلهای خطی با مدلهای واریانس شرطی دقت نتایج مدلسازی و صحت سنجی را افزایش میدهد در حالی که ترکیب دو مدل غیرخطی باعث کاهش دقت نتایج مدلسازی و صحت سنجی میشود. با توجه به نتایج مدلسازی دادههای تراز سطح آب دریاچه ارومیه )شکل 8( میتوان مشاهده کرد که دقت مدل از سال تغییر روند کاهشی تراز سطح آب دریاچه ارومیه کاهش داشته است. منابع خلیلی ک. فاخری فرد ا. دینپژوه ی. احمدی ف. و ج. بهمنش. 8. معرفی و کاربرد الگوی تلفیقی پیشنهادی BL-ARCH در پیشبینی دبی روزانه رودخانه )مطالعه موردی: رودخانه شهرچای ارومیه(. نشریه آب و خاک )علوم و صنایع کشاورزی( )(: -0. کارآموز م. و عراقینژاد ش. 9. هیدرولوژی پیشرفته. انتشارات دانشگاه صنعتی امیرکبیر. ناظری تهرودی م. احمدی ف. خلیلی ک. و ز. ناظری تهرودی. 8. کاربرد نرمافزار SAMS 007 در مدلسازی اقلیم آینده کردستان برای پیشبینی دما و بارندگی )مطالعه موردی: ایستگاه سینوپتیک سنندج(. اولین کنفرانس هیدرولوژی مناطق نیمه خشک جهاد دانشگاهی استان کردستان سنندج. - - - 4- Ainkaran, P. 004. Analysis of some linear and nonlinear ime series models. A hesis submied in fulfillmen of he reuiremens for he degree of Maser of Science, School of Mahemaics and Saisics, Universiy of Sydney. 5- Andersen, T. G. and T. Bollersle. 998. ARCH and GARCH Models. in S. Koz, C.B. Read and D.L. Banks (eds), Encyclopedia of Saisical Sciences, Vol.II. New York: John Wiley and Sons. 6- Andersen, T. G., Bollerslev, T., Chrisoffersen, P. and F. X. Diebold. 006. Volailiy and correlaion forecasing. in C.W.J. Granger, G.Ellio and A. Timmermann (eds), Handbook of Economic Forecasing, 777-878. Amserdam: Norh-Holland.

ناظری تهرودی و همکاران: ارزیابی مدلهای تلفیقی ARMA-ARCH و BL-ARCH در... 7- Bauwens, L., Lauren, S. and J. V. K. Rombous. 006. Mulivariae GARCH models: A survey. Journal of Applied Economerics, : 79-0. 8- Bera, A. K. and M. L. Higgins. 993. ARCH models: Properies, esimaion and esing. Journal of Economic Surveys, 7: 305-366. 9- Bollerslev, T., Chou, R. Y. and K. F. Kroner. 99. ARCH modeling in finance: A selecive review of he heory and empirical evidence. Journal of Economerics, 5: 5-59. 0- Bollerslev, T., Engle, R. F. and D. B. Nelson. 994. ARCH Models. in R.F. Engle and D. McFadden (eds.), Handbook of Economerics, Volume IV, 959-3038, Amserdam: Norh-Holland. - - Box, G.E. and G. M. Jenkins. 976. Time series analysis. Forecasing and conrol, San Francisco: Holden-Day. 3- Chen, C. and L. M. Liu. 99. Forecasing ime series wih ouliers, Journal of Forecasing, : 3-35. 4- Dai, Y. and L. Billard. 003. Maximum likelihood esimaion in space ime bilinear models. Journal of Time Series Analysis, 4(): 5-44. 5- Degiannakis, S. and K. F. Xekalaki. 004. Auoregressive condiional heeroscedasiciy (ARCH) models: A review. Qualiy Technology and Quaniaive Managemen, : 7-34. 6- Engle, R. F. 98. Auoregressive condiional heeoscedasiciy wih esimaes of he variance of Unied Kingdom inflaions. Economerica, 50: 987-007. 7- Engle, R. F. and A. J. Paon. 00. Wha good is a volailiy model?, Quaniaive Finance, : 37-45. 8- Fan, J. and Q. Yao. 003. Nonlinear ime series, nonparameric and parameric mehods. Springer- Verlag, NewYork, Inc. 9- Franses, P. H. and D. Van Dik. 00. Non-linear ime series models in empirical finance, Cambridge Universiy Press. 0- Granger, C. W. J. and A, P. Andersen. 978. An inroducion o bilinear ime series models. Vandenhoek and Ruprech: Goingen. - Khalili, K., Nazeri Tahrudi, M., Abbaszadeh Afshar, M. and Z. Nazeri Tahrudi. 03. Modeling Monhly Mean Air Temperaure Using SAMS007 (Case Sudy: Urmia synopic saion). Journal of Middle Eas Applied Science and Technology, 5: 578-583. - Kim, W. K., Billard, L. and I. V. Basawa. 990. Esimaion of firs order diagonal bilinear ime series model. Journal of Time Series Analysis, :5-30. 3- Komornik, J., Komornikova, M., Mesiar, R., Szokeova D. and J. Szolgay. 006. Comparison of forecasing performance of nonlinear models of hydrological ime series. Journal of Physics and Chemisry of he Earh, 3:7-45. 4- Lifshis, M. A. 006. Invariance principle in a bilinear model wih weak nonlineariy. Journal of Mahemaical Sciences, 37(): 454-4545. 5- Pagan, A. 996. The economerics of financial markes. Journal of Empirical Finance, 3: 5-0. 6- Palm, F. 996. GARCH models of volailiy. in C.R. Rao and G.S. Maddala (eds.) Handbook of Saisics, 4: 09-40. Amserdam: Norh-Holland.

3 علوم و مهندسی آبیاری )مجله ی علمی- پژوهشی( جلد 43 شمارهی بهار 36 7- Pham, D. T. 993. Bilinear ime series models. In dimension esimaion and models (H.Tong, ed.). World Scienific, Singapore. 8- Priesley, M. B. 988. Non-linear and non-saionary ime series analysis. Academic Press, London. 9- Sesay, S. A. O. and T. Subba Rao. 99. Freuency domain esimaion of a bilinear ime series model. Journal of Time Series Analysis, 3: 5-545. 30- Shephard, N. 996. Saisical aspecs of ARCH and sochasic volailiy models, in D.R. Cox, D.V. Hinkley and O.E. Barndorff-Nielsen (eds.) Time Series Models in Economerics, Finance and Oher Fields, -67. London: Chapman & Hall. 3- Subba Rao, T. 98. On he heory of bilinear series models. Journal of he Royal Saisical Sociey: Series B, 43: 4-55. 3- Subba Rao, T. and M. M. Gabr. 984. An inroducion o bispecral analysis and bilinear ime series Mmodels. Lecure Noes in Saisics, 4, Springer-Verlag: New York. 33- Taylor, J. W. and R. Buizza. 004. A comparison of emperaure densiy forecass from GARCH and amospheric models. Journal of Forecasing, 3(5): 337 355. 34- Thomas, H. A. and M. B. Fiering. 96. Mahemaical synhesis of sream flow seuences for he analysis of river basin by simulaion. Harward Universiy Press, Cambrige, 75p. 35- Tol, R. J. S. 996. Auoregressive condiional heeroscedasiciy in daily emperaure measuremens, Environmerics, 7: 67 75. 36- Tong, H. 990. Non-linear ime series; A dynamic sysem approach, Oxford Universiy Press. New York. 37- Tsay, R. S. 00. Analysis of financial ime series, Universiy of Chicago, A Wiley Inerscience Publicaion, John Wiley Sons; Inc. 38- Tsonis, A. A. 00. Probing he lineariy and nonlineariy in he ransiions of he amospheric circulaion. Nonlinear Processes Geophysics, 8: 34-345. 39- Wang, W., Van Gelder P. H. A. J. M. and J. K. Vriling. 005. Tesing and modeling auoregressive condiional heeroskedasiciy of sream flow processes. Nonlinear Processes in Geophysics, : 55-66. 40- Yevevich, V. M. 963. Flucuaions of we and dry years. Par. Research daa assembly and mahemaical models. Tex i Hydrology Paper, Colorado Sae Universiy, For Collins, Colorado.