Στατική προσοµοίωση του µνηµείου της Ροτόντας Θεσσαλονίκης

Στατική προσοµοίωση του µνηµείου της Ροτόντας Θεσσαλονίκης Ι.Ν. ουδούµης ρ. Πολιτικός Μηχανικός, αναπλ. καθηγητής Τµήµ. Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Ο.Η. Φοροζίδου ιπλ. Πολιτικός Μηχανικός Α.Π.Θ. Λέξεις κλειδιά: Ροτόντα Θεσσαλονίκης, στατική προσοµοίωση Ροτόντας. ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται η αναλυτική προσοµοίωση του φέροντα οργανισµού της ρωµαϊκής φάσης του µνηµείου της Ροτόντας στη Θεσσαλονίκη µε χρήση πεπερασµένων στοιχείων. ιαµορφώθηκαν και µελετήθηκαν 3 εναλλακτικά µοντέλα πεπερασµένων στοιχείων, στα οποία χρησιµοποιήθηκαν κατά περίπτωση εξαεδρικά χωρικά στοιχεία και τετράκοµβα στοιχεία κελύφους. Παρουσιάζονται διαγράµµατα ισοτασικών γραµµών όπου φαίνεται η κατανοµή των τάσεων σε όλη την έκταση του µνηµείου, οι περιοχές µε την δυσµενέστερη επιπόνηση, καθώς και οι περιοχές συγκέντρωσης των τάσεων που αποτελούν και τις πλέον ευαίσθητες περιοχές του µνηµείου. Επίσης, έχοντας καταγεγραµµένες τις ζηµίες που εµφάνιζε το µνηµείο α- µέσως µετά τον σεισµό της 20-6-1978, επιχειρείται µία συσχέτιση της θέσης και της µορφής των ζηµιών αυτών µε τις στατικά ευαίσθητες περιοχές του µνηµείου. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Στην παρούσα εργασία επιχειρείται η αναλυτική προσοµοίωση του φέροντα οργανισµού της ρω- µαϊκής φάσης του µνηµείου της Ροτόντας στη Θεσσαλονίκη µε χρήση πεπερασµένων στοιχείων (Φοροζίδου Ο.Η. 2001), καθώς και η ανάλυσή του για στατικά και δυναµικά φορτία. Η ρωµαϊκή φάση είναι η αρχική µορφή του µνηµείου, όπως αυτό κατασκευάστηκε περίπου το 300 µ.χ., πριν από την επέµβαση που επακολούθησε περίπου 100 χρόνια µετά για τη µετατροπή του σε χριστιανικό ναό. Η επέµβαση αυτή αφορούσε την προσθήκη σε επέκταση του χώρου του «ιερού» του χριστιανικού ναού, στο ανατολικό τµήµα του υπάρχοντος κτιρίου καθώς και την διεύρυνση του α- ντίστοιχου ανοίγµατος του περιµετρικού τοίχου του υπάρχοντος κτιρίου. Το µνηµείο της Ροτόντας, µαζί µε το Πάνθεον της Ρώµης, είναι τα µοναδικά µνηµεία στον κόσµο που έχουν αυτή την τεχνοτροπία. Εντυπωσιακός είναι ο τρόπος της κατασκευής του, µιας και στον κύριο όγκο του µεγάλο ποσοστό καταλαµβάνει το πάχος των τοίχων πεσσών που είναι 6,3 Εικόνα 1: Κάτοψη του µνηµείου και των µεταγενέστερων κτισµάτων. 1

m. Αυτό το γεγονός αποτελεί ίσως και τον κύριο λόγο που δεν κατέρρευσε το µνηµείο στο σύνολό του (παρά µόνο τµηµατικά), παρά το πλήθος των δοµικών επεµβάσεων που έχει υποστεί στα 1700 χρόνια της ζωής του. Όµως οι επεµβάσεις αυτές, η δυσµενής επίδραση των περιβαλλοντικών συνθηκών εν γένει (σεισµοί κλπ.), καθώς και κάποιες στατικές ανεπάρκειες που αναπόφευκτα προϋπήρχαν ήδη στο αρχικό κτίριο από την εποχή της κατασκευής του, συνετέλεσαν καθοριστικά στην εκδήλωση ση- µαντικών βλαβών του, µε πιο πρόσφατες αυτές που συνέβησαν κατά τον σεισµό της Θεσσαλονίκης της 20-6-1978. Έτσι, αµέσως µετά τον σεισµό, εκπονήθηκε στατική µελέτη στερέωσης του µνηµείου (Πενέλης Γ. και άλλοι 1980) και στην συνέχεια ξεκίνησαν οι εργασίες της επισκευής του. Από αυτήν την στατική µελέτη στερέωσης, καθώς και από συναφείς µε το θέµα δηµοσιεύσεις (Penelis G. et al. 1983, Penelis G. et al. 1986), αντλήθηκαν πολύτιµα στοιχεία σε σχέση µε τον φέροντα οργανισµό του µνηµείου, τα οποία και χρησιµοποιήθηκαν στα πλαίσια αυτής της εργασίας. 2. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΦΕΡΟΝΤΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΜΝΗΜΕΙΟΥ Για την κατανόηση της µορφολογίας του φορέα παρουσιάζονται ορισµένα ενδεικτικά σχήµατα κατόψεων σε χαρακτηριστικές στάθµες, καθώς και µία κατακόρυφη τοµή. 2.1 Κάτοψη της ρωµαϊκής φάσης στην επιφάνεια του δαπέδου (στάθµη z = 0) Το πάχος της τοιχοποιίας είναι 6,3 m. Όπως φαίνεται στο σχήµα, ο φορέας αποτελείται από 8 κόγχες (µαζί µε αυτή του ιερού) µε ισάριθµα και αντίστοιχα τόξα, έτσι ώστε να δίνεται τελικά η αίσθηση πεσσών παρά τοιχοποιίας. Η εσωτερική διάµετρος του µνηµείου είναι 24,5 m. Στην εικόνα 2 φαίνεται ο φορέας «απογυµνωµένος» από τα στοιχεία που δεν αφορούν στην παρούσα εργασία. Όπως φαίνεται και στην εικόνα, οι πεσσοί Π1 και Π2 έχουν στο εσωτερικό τους µία κενή περιοχή ελικοειδούς µορφής, µε πλάτος διατοµής περίπου 1,20 m και ύψος περίπου 2,40 m, στην οποία έχει διαµορφωθεί αντίστοιχο κλιµακοστάσιο (εικόνα 2α). Οι κλίµακες αυτές οδηγούσαν στον περίδροµο του ναού αλλά σήµερα είναι αδύνατη η πρόσβαση σε αυτόν, µέσω των κλιµακοστασίων, λόγω των ενισχυτικών επεµβάσεων που έχουν υποστεί οι πεσσοί Π1 και Π2. Οι πεσσοί Π7 και Π8 έχουν τις ίδιες διαστάσεις, οι οποίες όµως είναι λίγο µικρότερες από αυτές των υπολοίπων πεσσών, λόγω των εργασιών διάνοιξης που έγιναν στο παρελθόν για την ανέγερση του (α) (β) Εικόνα 2: (α) Κάτοψη ρωµαϊκής φάση της Ροτόντας στη στάθµη του εδάφους, (β) Γεωµετρία και διαστάσεις της διατοµής των πεσσών. 2

(α) Εικόνα 3: (α) Κάτοψη του φορέα στο ύψος των ανοιγµάτων των παραθύρων στη στάθµη z=11,25 (β) Γεωµετρία και διαστάσεις της διατοµής των πεσσών (β) ιερού. Γίνεται όµως η απλοποιητική παραδοχή ότι όλα τα ανοίγµατα είναι ιδίων διαστάσεων διότι η παρούσα εργασία σκοπό έχει τη µελέτη της ρωµαϊκής φάσης του µνηµείου πριν τις επεµβάσεις που αυτό υπέστει. 2.2 Κάτοψη στο ύψος των ανοιγµάτων των παραθύρων (στάθµη z = 11,25 m) Η µορφή της κάτοψης του µνηµείου στη θέση των ανοιγµάτων καθώς και η γεωµετρία των πεσσών, φαίνεται στην εικόνα 3α. Το πάχος της τοιχοποιίας είναι 6,3 m όπως και πριν. Η εσωτερική διάµετρος του µνηµείου παραµένει σταθερή και ίση µε 24,5 m. Η γεωµετρία και οι διαστάσεις της Εικόνα 4: (α) (α) Κάτοψη στη στάθµη z=16,50 (β) Εξωτερική άποψη της περιοχής του θόλου (β) 3

διατοµής των πεσσών φαίνονται χαρακτηριστικά στην εικόνα 3β. 2.3 Κάτοψη στη βάση του θόλου (στάθµη z = 16,50 m) Η µορφή της κάτοψης του φορέα στη βάση του θόλου φαίνεται στην εικόνα 4α. Ο πλινθόκτιστος θόλος µε διάµετρο 24,5 m περίπου, δεν είναι ορατός εξωτερικά. Ο περιµετρικός κυκλικός τοίχος που σχηµατίζεται από τρεις επάλληλους δακτύλιους, µε µειωµένο πάχος καθ ύψος, επεκτείνεται προς τα πάνω και σκεπάζει εξωτερικά το θόλο. Πάνω σε αυτό τον τοίχο εδράζεται η ξύλινη κυκλική κεραµωτή στέγη του µνηµείου. Υπογραµµίζεται ότι ο τοίχος που περιβάλλει τον θόλο εξωτερικά, παραλείπεται από το στατικό µοντέλο ως µη φέρον στοιχείο, καθώς επίσης και η στέγη. Λαµβάνονται όµως υπόψη στις επιβαλλόµενες φορτίσεις. 2.4 Κάτοψη στη θέση του περίδροµου του ναού (στάθµη z = 25 m) Η µορφή του φορέα στη στάθµη αυτή φαίνεται στην εικόνα 5α. Πρόκειται για έναν διάδροµο περιµετρικά του θόλου από την εξωτερική του πλευρά. Ο φωτισµός του επιτυγχάνονταν µε µια σειρά παραθύρων όπως φαίνεται χαρακτηριστικά στην εικόνα 4β. 2.5 Ενδεικτική κατακόρυφη τοµή και λοιπά στοιχεία Στην ενδεικτική κατακόρυφη τοµή της εικόνας 5β φαίνονται οι διάφορες χαρακτηριστικές στάθµες του κτιρίου, τα διάφορα ύψη, οι περιοχές των πεσσών και του θόλου, το περίγραµµα του εξωτερικόυ τοίχου που περιβάλλει τον θόλο, το περίγραµµα της στέγης, κλπ. Κάτω από την στάθµη +0,00 υπάρχει η θεµελίωση των περιµετρικών τοίχων (δεν φαίνεται στην εικόνα), η οποία αποτελείται από πέτρα και συνδετική κονία. Η µαθηµατική µορφή των καµπύλων µε τις οποίες προσεγγίζονται οι µεσηµβρινοί του θόλου, έχει ληφθεί από την µελέτη στερέωσης του µνηµείου (Πενέλης Γ.Γ. και άλλοι 1980). z 2 ( x ) + ( z 2 )=1 13.45 14.00 14.00 m ( x 12.25 1.8 ) + ( 1.8 = z ) 1 13.40 x' x ΖΥΓÙΜΑ ΑΝΟΙΓΜΑ ΖΥΓÙΜΑ 1.10 m 1.40 m 1.15 m ΑΝΟΙΓΜΑ 5.35 m 16.50 m ΖΥΓÙΜΑ 1.25 m ΑΝΟΙΓΜΑ 8.75 m 12.25 m ( α) (β) Εικόνα 5: (α) Κάτοψη στη στάθµη z=25,00 (β) Ενδεικτική κατακόρυφη τοµή 4

2.45 m 2.45 m 1.75 m 1.75 m 6.3 m 6.3 m 3.6 m 3.6 m 6.3 m Εικόνα 6: 6.3 m 3.6 m (α) (β) α) Πραγµατική και προσεγγιστική µορφή των θυρών β) Πραγµατική και προσεγγιστική µορφή των παραθύρων 3.6 m Σύµφωνα µε αυτή την µελέτη, σε βάθος 4 m κάτω από το δάπεδο του µνηµείου υπάρχει υδροφόρος ορίζοντας, αλλά παρόλα αυτά διαπιστώθηκε ότι η θεµελίωση βρίσκεται σε καλή κατάσταση χωρίς ρηγµατώσεις και µε επιφανειακή µόνο αποσάθρωση. Τα υλικά κατασκευής των τοίχων και των πεσσών είναι κονίαµα, βήσαλα και πέτρες µε ποσοστά συµµετοχής 47%, 20% και 33% αντίστοιχα. Ο θόλος του µνηµείου δεν περιέχει πέτρες και κατά συνέπεια είναι ελαφρύτερος από τον υπόλοιπο φορέα. Επίσης προέκυψε ότι το ειδικό βάρος της τοιχοποιίας είναι ρ πεσσού = 2,05 t/m 2, ε- νώ στο θόλο που δεν υπάρχουν πέτρες είναι ρ κελύφους = 1,76 t/m 2. Τέλος το µέτρο ελαστικότητας της ρωµαϊκής τοιχοποιίας έχει εκτιµηθεί σε Ε τοιχ. = 24500 kgr/m 2. 3. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Κατά την διακριτοποίηση του φέροντος οργανισµού µε πεπερασµένα στοιχεία, λόγω της δυσχέρειας στην περιγραφή της τοξωτής µορφής των ανοιγµάτων, γίνεται η υπόθεση ότι όλα τα ανοίγ- µατα (πόρτες, παράθυρα) έχουν ορθογωνική µορφή. Η γεωµετρία των ανοιγµάτων αυτών φαίνεται στην εικόνα 6. z z 2 x 13.45 + ( z 2 )=1 ( 14.00 16 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 14.00 m 1.8 ( x ) + 12.25 ( 1.8 = z ) 1 13.40 5 4 3 2 x' x ΖΥΓÙΜΑ ΑΝΟΙΓΜΑ ΖΥΓÙΜΑ 1.10 m 1.40 m 1.15 m x' x 0 1 0 Στ.15η: z = +19.00 Στ.14η: z = +17.90 Στ.13η: z = +16.50 Στ.12η: z = +15.35 ΑΝΟΙΓΜΑ 5.35 m Στ.11η: z = +13.30 Στ.10η: z = +11.25 16.50 m ΖΥΓÙΜΑ 1.25 m Στ.9η: z = +10.00 Στ.8η: z = +8.75 Στ.7η: z = +7.50 Στ.6η: z = +6.25 ΑΝΟΙΓΜΑ 8.75 m Στ.5η: z = +5.00 Στ.4η: z = +3.75 Στ.3η: z = +2.50 Στ.2η: z = +1.25 Στ.1η: z = 0 12.25 m Εικόνα 7: (α) Βασικά γεωµετρικά χαρακτηριστικά: α) του φορέα, β) του µοντέλου mod-1 (β) 5

Εικόνα 8: (α) (β) α) Απεικόνιση των βασικών µοντέλων mod-1 και mod-2 (µε τα στοιχεία frame), β) Απεικόνιση του λεπτοµερούς µοντέλου fmod-1 (χωρίς τα στοιχεία frame). ιαµορφώθηκαν και µελετήθηκαν 3 διαφορετικά µοντέλα πεπερασµένων στοιχείων, ώστε να υπάρχει η δυνατότητα αξιολόγησης της ορθότητας των παραδοχών που γίνονται σε κάθε µοντέλο µέσω της σχετικής σύγκρισης των αντίστοιχων αποτελεσµάτων τους. Στην εικόνα 7 φαίνεται η διαίρεση του φέροντα οργανισµού της Ροτόντας σε επιµέρους στάθµες, κάποια βασικά γεωµετρικά χαρακτηριστικά του µνηµείου καθώς και η αντιστοιχία τους µε τα χαρακτηριστικά των µοντέλων που χρησιµοποιήθηκαν. Τα µοντέλα αυτά είναι τα εξής: Βασικό µοντέλο 1 (mod-1) µε 3184 εξαεδρικά στοιχεία solid (κατανεµηµένης µάζας), εκ των οποίων 2160 χρησιµοποιούνται για την προσοµοίωση του µνηµείου µέχρι τη στάθµη 15 και τα υπόλοιπα 1024 για την προσοµοίωση του θόλου (µε µία στρώση στοιχείων). Για την προσο- µοίωση της στέγης και του κυκλικού τοίχου που περιβάλλει τον θόλο χρησιµοποιούνται 512 στοιχεία frame (εικόνα 8α). Βασικό µοντέλο 2 (mod-2) µε 2160 εξαεδρικά στοιχεία solid (κατανεµηµένης µάζας) για την προσοµοίωση του µνηµείου µέχρι τη στάθµη 15 και 1088 τετράκοµβα στοιχεία shell (κατανεµηµένης µάζας) για την προσοµοίωση του θόλου. Για την προσοµοίωση της στέγης και του κυκλικού τοίχου που περιβάλλει τον θόλο χρησιµοποιούνται 512 στοιχεία frame (εικόνα 8α). Λεπτοµερές µοντέλο 1 (fmod-1) µε 25472 εξαεδρικά στοιχεία solid, εκ των οποίων 17280 χρησιµοποιούνται για την προσοµοίωση του µνηµείου µέχρι τη στάθµη 15 και τα υπόλοιπα 8192 για την προσοµοίωση του θόλου. Για την προσοµοίωση της στέγης και του κυκλικού τοίχου που περιβάλλει τον θόλο χρησιµοποιούνται 512 στοιχεία frame. Το µοντέλο αυτό προκύπτει, από το βασικό µοντέλο 1 όταν κάθε εξαεδρικό στοιχείο (των τοίχων και του θόλου) του βασικού µοντέλου 1 υποδιαιρεθεί σε 2 2 2=8 επί µέρους εξαεδρικά στοιχεία (εικόνα 8β). Στα βασικά µοντέλα 1 και 2, κάθε κοµµάτι πεσσού που αποκόπτεται µεταξύ δύο σταθµών, προσοµοιώνεται µε 16 εξαεδρικά στοιχεία solid. Ο αριθµός των στοιχείων αυτών προκύπτει αν ο πεσσός χωριστεί σε 4 «φέτες» ανά περιφέρεια και σε 4 «λωρίδες» κατά την έννοια του πάχους του τοίχου. Στην εικόνα 9 φαίνεται η διάταξη των στοιχείων ενός πεσσού σε κάτοψη, καθώς και η κάτοψη της πρώτης σειράς όλων των εξαεδρικών στοιχείων αυτών των µοντέλων. Για την προσεγγιστική προσοµοίωση της εξασθένησης των πεσσών Π1 και Π2 λόγω των ελικοειδών κλιµάκων στο εσωτερικό τους, θεωρήθηκε οπή εµβαδού 4 m 2 στην κεντρική περιοχή της διατοµής τους. Τα επιβαλλόµενα στατικά φορτία αφορούν το ίδιο βάρος της στέγης και των τοίχων του µνη- µείου (µόνιµες δράσεις) καθώς και το κινητό φορτίο της στέγης (µεταβλητή δράση). Για τα φορτία 6

5ç 4ç 3ç 2ç 1ç Εικόνα 9: (α) (β) α) ιάταξη εξαεδρικών στοιχείων πεσσού β) Κάτοψη της πρώτης σειράς των εξαεδρικών στοιχείων των µοντέλων αυτά διενεργήθηκε στατική ανάλυση και στα 3 εξεταζόµενα µοντέλα mod-1, mod-2 και fmod-1. Τα επιβαλλόµενα δυναµικά φορτία αφορούν την περίπτωση του σεισµού (τυχηµατική δράση), για τον οποίο διενεργείται δυναµική φασµατική ανάλυση για ταυτόχρονη δράση των 3 σεισµικών συνιστωσών, χρησιµοποιώντας τις σχετικές διατάξεις και το ελαστικό φάσµα του ΕΑΚ2000. Λόγω του µεγάλου µεγέθους του λεπτοµερούς µοντέλου fmod-1, η δυναµική ανάλυση διενεργήθηκε µόνο στα βασικά µοντέλα mod-1, mod-2 και περιλαµβάνει την συµµετοχή 60 ιδιοµορφών, προκει- µένου να ενεργοποιηθεί το 95% της συνολικής µάζας του κτιρίου. Ειδικότερα, για κάθε συνιστώσα j της σεισµικής διέγερσης (j=x,y,z), η πιθανή ακραία τιµή E j κάθε µεγέθους απόκρισης υπολογίσθηκε από τις 60 ιδιοµορφικές τιµές του µεγέθους σύµφωνα µε τον κανόνα της πλήρους τετραγωνικής επαλληλίας (C.Q.C.), ενώ για την ταυτόχρονη δράση των 3 συνιστωσών του σεισµού, η πιθανή ακραία τιµή E κάθε µεγέθους απόκρισης υπολογίσθηκε από τις αντίστοιχες 3 ακραίες τιµές E j (j=x,y,z) σύµφωνα µε τον κανόνα της απλής τετραγωνικής επαλληλίας (S.R.S.S.). Τέλος ελέγχθηκαν και οι ακόλουθοι 2 συνδυασµοί µονίµων και µεταβλητών δράσεων µε σεισµό, οι οποίοι οριοθετούν αρκετά ρεαλιστικά τις πιθανές ακραίες τιµές των εντατικών µεγεθών (ο δεύτερος συνδυασµός είναι αρκετά ευµενέστερος σε σχέση µε τη χρήση του φάσµατος σχεδιασµού του ΕΑΚ2000 µε q=1,5): α) (G + ψ Q ± E), β) (G + ψ Q ± E/1,5). 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Τα αποτελέσµατα της στατικής ανάλυσης των 3 εξετασθέντων µοντέλων ευρίσκονται σε πολύ καλή συµφωνία µεταξύ τους, γεγονός που συνηγορεί στην καταλληλότητα και αξιοπιστία τους. Επίσης, η θεµελιώδης ιδιοπερίοδος των βασικών µοντέλων mod-1 και mod-2 προέκυψε ακριβώς ίδια (Τ 1 =0,31 sec) και πολύ κοντά στην µετρηθείσα τιµή µε επί τόπου δοκιµές (Τ 1 =0,42 sec, Penelis G. et al. 1983). Η διαφορά αυτή δικαιολογείται επαρκώς από το γεγονός ότι σε όλα τα µοντέλα έγινε η παραδοχή γραµµικώς ελαστικών υλικών και έδρασης σε ανένδοτο υπόβαθρο, ενώ η πραγµατική υπάρχουσα κατάσταση αντιστοιχεί σε ρηγµατωµένο φορέα που εδράζεται σε παραµορφώσιµο έ- δαφος. 7

Εικόνα 10: υνάµεις διάτασης F 11 θόλου, λόγω φορτίων (G+Q). Στην συνέχεια παρουσιάζονται χαρακτηριστικά διαγράµµατα ισοτασικών γραµµών έντασης του µοντέλου mod-2. Στα διαγράµµατα αυτά φαίνεται εποπτικά η κατανοµή των τάσεων σε όλη την έκταση του µνηµείου, οι περιοχές µε την δυσµενέστερη επιπόνηση καθώς και οι περιοχές συγκέντρωσης των τάσεων που αποτελούν και τις πλέον ευαίσθητες (από στατική άποψη) περιοχές του µνηµείου. Στην εικόνα 10 φαίνονται οι ορθές δυνάµεις διάτασης F 11 του θόλου που είναι κάθετες προς τα επίπεδα των µεσηµβρινών, λόγω της δράσης των µονίµων και κινητών φορτίων (G+Q). Οι δυνάνεις αυτές (και οι αντίστοιχες τάσεις) υπολογίζονται στο τοπικό σύστηµα αναφοράς των στοιχείων του κελύφους, που παρακολουθεί την εκ περιστροφής αξονοσυµµετρική επιφάνεια του θόλου. Παρατηρούµε το αξιοσηµείωτο εύρος της περιοχής των εφελκυστικών δυνάµεων των οποίων το µέγεθος φθάνει µέχρι τα 57 kn/m (σ=43,8 kn/m 2 ). Εικόνα 11: υνάµεις διάτασης F 11 θόλου, λόγω φορτίων (G + ψ Q + E/1,5). 8

Εικόνα 12: υνάµεις διάτασης F 22 θόλου, λόγω φορτίων (G+Q). Στην εικόνα 11 φαίνονται οι µέγιστες πιθανές ορθές δυνάµεις διάτασης F 11 του θόλου λόγω των κατακόρυφων φορτίων (G+ψ Q) και της δράσης του σεισµού Ε διαιρεµένης µε 1,5. Παρατηρούµε ότι, παρά την συντηρητική εκτίµηση για το µέγεθος των σεισµικών δράσεων, το µεγαλύτερο τµήµα του θόλου εφελκύεται και ότι οι µέγιστες εφελκυστικές δυνάµεις ξεπερνούν 260 kn/m (σ=200 kn/m 2 ), γεγονός που φανερώνει το ευάλωτο του θόλου σε περίπτωση σεισµού. Στην εικόνα 12 φαίνονται οι ορθές δυνάµεις διάτασης F 22 του θόλου κατά µήκος της εφαπτοµένης των µεσηµβρινών, λόγω των φορτίων (G+Q). Οι δυνάµεις αυτές εµφανίζουν οµαλή µεταβολή και αντιστοιχούν σε χαµηλές εν γένει θλιπτικές τάσεις ( min σ < 240 kn/m 2 ). Στην εικόνα 13 φαίνεται η κατανοµή των µέγιστων πιθανών τιµών των διατµητικών δυνάµεων διάτασης F 12 του θόλου, λόγω της δράσης του σεισµού Ε. Παρατηρούµε ότι υπάρχει αξιοσηµείωτη Εικόνα 13: Μέγιστες τιµές διατµητικών δυνάµεων F 12 θόλου, λόγω σεισµικών φορτίων E. 9

Εικόνα 14: Κατανοµή µεγίστων κυρίων τάσεων S max λόγω φορτίων (G+Q). κατά περιοχές συγκέντρωση των διατµητικών δυνάµεων στην βάση του θόλου, ακριβώς επάνω α- πό τα παράθυρα, οι οποίες οδηγούν σε πολύ µεγάλες τιµές των αντίστοιχων διατµητικών τάσεων. Στην εικόνα 14 φαίνεται η κατανοµή των µέγιστων κυρίων τάσεων S max των περιµετρικών τοίχων του µνηµείου, λόγω των µόνιµων και κινητών φορτίων (G+Q). Παρατηρούµε ότι υπάρχει α- ξιοσηµείωτη συγκέντρωση µεγάλων εφελκυστικών τάσεων στις περιοχές των υπερθύρων των θυρών και παραθύρων και στις κορυφές των πεσσών (στις θέσεις σύνδεσής τους µε τον περιµετρικό δακτύλιο που τους ενώνει). Στην εικόνα 15 φαίνεται η κατανοµή των ελάχιστων κυρίων τάσεων S min των περιµετρικών τοίχων, λόγω των φορτίων (G+Q). Οι ακραίες αρνητικές τιµές (θλιπτικές τάσεις) εµφανίζονται στην βάση των πεσσών και κυµαίνονται σε αποδεκτά επίπεδα. Εικόνα 15: Κατανοµή ελαχίστων κυρίων τάσεων S min λόγω φορτίων (G+Q). 10

(α) (β) Εικόνα 16: α) Μέγιστες κατακόρυφες ορθές τάσεις S 33, για φόρτιση (G + ψ Q ± E) β) Ελάχιστες κατακόρυφες ορθές τάσεις S 33, για φόρτιση (G + ψ Q ± E) Στην εικόνα 16 φαίνεται η κατανοµή των ακρότατων κατακόρυφων ορθών τάσεων S 33 των περιµετρικών τοίχων, για τον συνδυασµό δράσεων (G + ψ Q ± E/). Παρατηρούµε ότι στην εικόνα 16α εµφανίζονται εφελκυστικές τάσεις στη µεγαλύτερη περιοχή και καθ' όλο το ύψος των τοίχων, οι οποίες λαµβάνουν πολύ µεγάλες τιµές στην βάση των πεσσών. Στην εικόνα 17α φαίνεται η κατανοµή των µέγιστων οριζόντιων ορθών τάσεων S 11 των περιµε- Εικόνα 17: (α) (β) α) Μέγιστες οριζόντιες ορθές τάσεις S 11 S xx, για φόρτιση (G + ψ Q ± E/1,5) β) Μέγιστες διατµητικές οριζόντιες τάσεις S 13 λόγω σεισµικής δράσης Ε 11

τρικών τοίχων, για τον συνδυσµό δράσεων (G + ψ Q ± E/1,5). Οι τάσεις αυτές, που υπολογίζονται στο καθολικό σύστηµα αναφοράς OXYZ (δηλαδή S 11 S xx ), εµφανίζουν συγκέντρωση και µεγάλες εφελκυστικές τιµές στην περιοχή των υπερθύρων µεταξύ των πεσσών Π1-Π2 και Π5-Π6. Λόγω της ύπαρξης (κατά µεγάλη προσέγγιση), 4 αξόνων συµµετρίας του φορέα σε κάτοψη, που σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνίες 45, αντίστοιχα συµπεράσµατα ισχύουν για τις τάσεις S 11 S αα στην περιοχή των υπερθύρων µεταξύ των υπόλοιπων πεσσών, όπου οι τάσεις S αα µετρούνται κατά την διεύθυνση της νέας θέσης του άξονα x-x, όταν αυτός στραφεί περί τον άξονα OZ κατά γωνία a που είναι ακέραιο πολλαπλάσιο των 45. Τέλος στην εικόνα 17β φαίνεται η κατανοµή των µέγιστων διατµητικών (οριζόντιων) τάσεων S 13 των περιµετρικών τοίχων, λόγω της σεισµικής δράσης Ε. Οι τάσεις αυτές εµφανίζουν συγκέντρωση και µεγάλες τιµές στην περιοχή των υπερθύρων µεταξύ των πεσσών Π1-Π2 και Π5-Π6, και αντίστοιχα συµπεράσµατα ισχύουν για τις τάσεις S 13 S α3 στην περιοχή των υπερθύρων µεταξύ των υπόλοιπων πεσσών, όταν ο άξονας x-x στραφεί περί τον άξονα OZ κατά γωνία a που είναι α- κέραιο πολλαπλάσιο των 45. Παρατηρούµε επίσης σηµαντική συγκέντρωση των τάσεων στην περιοχή των εξασθενηµένων πεσσών Π1 και Π2, λόγω της ύπαρξης των κλιµακοστασίων στο ε- σωτερικό των πεσσών, ενώ δεν υπάρχει παρόµοια συγκέντρωση στους αντιδιαµετρικά (και συµ- µετρικά) ευρισκόµενους πεσσούς Π5 και Π6 (βλ. εικόνα 2). 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Έχοντας καταγεγραµµένες τις ζηµίες που εµφάνιζε το µνηµείο αµέσως µετά τον σεισµό της 20-6- 1978, παρατηρείται µία άµεση συσχέτιση της θέσης και της µορφής των ζηµιών του φέροντα οργανισµού µε τις στατικά ευαίσθητες περιοχές του µνηµείου, όπως αυτές προέκυψαν από την ανάλυση που προηγήθηκε. ιευκρινιστικά αναφέρεται ότι οι κυριότερες από αυτές τις ζηµίες ήσαν (Penelis G. et al. 1986): Εκτεταµένες διαµπερείς ρηγµατώσεις καθ' όλο το ύψος των πεσσών Π1 και Π2 Κατακόρυφη διαµπερής ρωγµή στο µέσο του πεσσού Π4 που φθάνει µέχρι τον θόλο Ακτινικές ρωγµές σε όλο το κατώτερο τµήµα του θόλου Τέλος επισηµαίνεται το ευάλωτο του θόλου του µνηµείου, καθώς και του κυκλικού τοίχου που ενώνει τους πεσσούς στην στέψη τους, στην ένταση των σεισµικών δράσεων, όπως αυτές προβλέπονται από τον ισχύοντα Ελληνικό Αντισεισµικό Κανονισµό (ΕΑΚ2000). 6. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Μητσοπούλου Ε.Ν, ουδούµης Ι.Ν., 1998: Aριθµητικές µέθοδοι ανάλυσης των κατασκευών, Θεσσαλονίκη έκδοση Α.Π.Θ. Παπαγιανόπουλος A.: Μνηµεία της Θεσσαλονίκης, Εκδόσεις Ρέκος. Πενέλης Γ.Γ., Καραβεζύρογλου Μ., Στυλιανίδης Κ., Λεονταρίδης., 1980: Μνηµείο Ροτόντα Στερεωτικές εργασίες (Στατική µελέτη), Τόµοι 1 και 2, Θεσσαλονίκη 1980 Α.Π.Θ. Penelis G., Stylianidis K., Karaveziroglou M., Leontaridis D., 1983: Strengthening the Rotonda Monument in Salonica, IABSE Symposioum, Venezia. Penelis G., Stylianidis K.A., Karaveziroglou M., Leontaridis D., 1986: Repair and strengthening of Rotunda, Thessaloniki, Πρακτικά του ιεθνούς Συµποσίου Θεσσαλονίκης: Αναστυλώσεις Βυζαντινών και Μεταβυζαντινών Μνηµείων. SAP2000, 2001: Integrated Finite Element Analysis and Design of Structures, Computers and Structures, Inc., Berkeley, USA. Φοροζίδου Ο.Η., 2001: Στατική προσοµοίωση και ανάλυση του φέροντα οργανισµού της Ροτόντας Θεσσαλονίκης µε χρήση πεπερασµένων στοιχείων, ιπλωµατική Εργασία στο τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. 12