S.PH101 ФИЗИК-1 ЛЕКЦ 12

ЛЕКЦ 12 S.PH101 ФИЗИК-1 ЦАХИЛГААН ЦЭНЭГ, КУЛОНЫ ХУУЛЬ, ЦАХИЛГААН ОРОН, ОРНЫ ХҮЧЛЭГ, СИСТЕМ ЦЭНЭГҮҮДИЙН ХАРИЛЦАН ҮЙЛЧЛЭЛ, ДИПОЛЬ, СИСТЕМ ЦЭНЭГҮҮДИЙН ОРНЫГ ХОЛ ЗАЙД ТООЦОХ, ЦАХИЛГААН СТАТИК ОРНЫ ЦИРКУЛЯЦ, РОТОР, ГАУССЫН ТЕОРЕМ Бэлтгэсэн: О.СҮХ, Б.ОДОНТУЯА

2 S.PH101 Физик-1 [Лекц-12] 12-1 ЦАХИЛГААН ЦЭНЭГ Аливаа бие цэнэглэгдэх чадвартай. Өөрөөр хэлбэл цахилгаан цэнэгтэй байдаг. Цэнэгтэй биеүд харилцан үйлчлэлцэнэ. +, 2 төрлийн цахилгаан цэнэг байна. Ижил тэмдэгтэй цэнэгүүд түлхэлцэж эсрэг тэмдэгтэй цэнэгүүд таталцана. Цахилгаан цэнэг нь зарим эгэл бөөмийн салшгүй нэг шинж чанар нь болно. Эгэл бөөмсийн цэнэг абсолют хэмжээгээрээ (тэг биш байвал) тэнцүү. Үүнийг эгэл цэнэг гэж болно. Эерэг эгэл цэнэгийг e үсгээр тэмдэглэе. Эгэл бөөмсөд тухайлбал электрон ( eцэнэгтэй), протон ( eцэнэгтэй), нейтрон (цахилгаан саармаг) орно. Энэ бөөмсүүдээс аливаа бодисын атом молекулууд тогтох ба иймээс бүх биеүдийн бүтцэд цахилгаан цэнэгүүд орно. Ерөнхийдөө өөр тэмдэгтэй цэнэгүүд биед тэнцүү тоотой байх ба ижил нягттай байна. Энэ тохиолдолд биеийн ямар ч эгэл эзлэхүүнд цэнэгүүдийн алгебр нийлбэр тэг байх учраас бие бүхэлдээ цахилгаан саармаг байна. Хэрэв биед ямар нэг байдлаар нэгэн төрлийн цэнэгүүдийн илүүдэл бий болвол (дутагдал бий болвол) бие цэнэгтэй болно. Мөн түүнчлэн эерэг ба сөрөг цэнэгүүдийн тоог өөрчлөхлгүйгээр биеийн нэг хэсэгт нэг төрлийн цэнэгүүдийн илүүдэл нөгөө хэсэгт нөгөө төрлийн цэнэгүүдийн илүүдэл бий болохоор тархаж болно. Үүний тулд цэнэггүй метал биед өөр цэнэгтэй биеийг ойртуулна. Аливаа цэнэг нь эгэл цэнэгүүдийн нийлбэр буюу e-г бүхэл тоо дахин агуулна. = ±e (12-1-1) Эгэл цэнэгийн хэмжээ маш бага учраас макро цэнэгийн өөрчлөлтийг тасралтгүй гэж үзэж болно. Физик хэмжигдэхүүн тодорхой дискрет утга авч байвал түүнийш квантлагдсан гэдэг. Цахилгаан цэнэг нь квантлагдсан байдаг. Янз бүрийн инерциаль тооллын системд цэнэгийн хэмжээ хэвээрээ байна. Иймээс цахилгаан цэнэг релятив инвариант. Цэнэгийн хэмжээ түүний хөдөлгөөнөөс хамаарахгүй.

3 S.PH101 Физик-1 [Лекц-12] Цахилгаан цэнэг алга болох эсвэл дахин үүсч болно. Гэвч эсрэг тэмдэгтэй хоѐр цэнэг үүсэх буюу устаж болно. Жишээ нь электрон ба позитрон уулзах үедээ аннигиляц болох буюу саармаг гамма фотон болно. Энэ үед цэнэгүүд алга болно. Хос үүсэх буюу гамма фотон атомын цөмийн оронд ороод электрон ба позитроны хосод хувирна. Иймээс ба цэнэг үүснэ. Цахилгаан тусгаарлагдсан системийн нийлбэр цэнэг өөрчлөгдөхгүй. Үүнийг цахилгаан цэнэг хадгалагдах хууль гэнэ. Цахилгаан цэнэг хадгалагдах хууль цэнэгийн релятив хууль цэнэгийн релятив инвариант чанартай холбоотой. Үнэхээр цэнэгийн хэмжээ түүний хурдаас хамаардаг бол ямар нэг төрлийн цэнэгийг хөдөлгөөнд оруулбал тусгаарлагдсан системийн нийлбэр цэнэг өөрчлөгдөх байсан. 12-2 КУЛОНЫ ХУУЛЬ Цэгэн цэнэгүүдийн харилцан үйлчлэлийн хүчийг илэрхийлсэн хуулийг 1785 онд Кулон туршлагаар тогтоосон. Цэнэгтэй биеийн хэмжээ түүнээс бусад бие хүртэлх зайтай харьцуулахад тооцохгүй байж болох хэмжээтэй байвал түүнийг цэгэн цэнэг гэнэ. Кавендишийн гравитацын тогтмолыг олохдоо ашигласантай төстэй эргэх дискний тусламжтай Кулон 2 цэнэгтэй шарикийн харилцан үйлчлэлийг тэдгээрийн цэнэгийн хэмжээ ба хоорондын зайнаас хамааруулан олсон. Үүний тулд цэнэгтэй метал шарикт яг ижил цэнэггүй шарикийг шүргүүлэхэд цэнэг 2 шарикт тэнцүү хэмжээгээр хуваагддаг чанарыг ашигласан. Кулоны хуулийг гэж илэрхийлнэ. F = k 1 2 r 2 (12-2-1) Туршлагаас үзэхэд 2 цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хүч тэдгээрийн ойролцоо өөр нэг цэнэгийг байрлуулахад өөрчлөгдөхгүй. Хэрэв a цэнэг болон бусад цэнэг 1, 2,, n байваал a цэнэгт бусад цэнэгийн зүгээс үйлчлэх хүч F = n i=1 F ai болно. (12-2-2)

4 S.PH101 Физик-1 [Лекц-12] 12-3 ЦАХИЛГААН ОРОН, ОРНЫ ХҮЧЛЭГ Тайван байгаа цэнэгүүдийн харилцан үйлчлэл цахилгаан орноор дамжина. Аливаа цэнэг орчныхоо орон зайг өөрчлөх буюу цахилгаан орныг үүсгэнэ. Энэ орны ямарнэг цэгт цахилгаан цэнэгийг байрлуулбал түүнд хүч үйлчилнэ. Нэгэн туршигч цэнэг T -г үл хөдлөх цэгэн цэнэгийн орныг судлахад ашиглая. Туршигч цэнэгт хүч үйлчилнэ. F = T r 2 Туршигч цэнэгт үйлчлэх хүч орныг тодорхойлох хэмжигдэхүүнээс гадна туршигч цэнэгийн хэмжээнээс хамаарна. T, T, гэх мэт цэнэгүүдэд F, F, гэх мэт хүч үйлчилнэ. Гэвч F нь бүх цэнэгүүдийн хувьд тухай цэг дэх T орныг тодорхойлогч ба r хэмжигдэхүүнээс л хамаарна. E = F T -тухайн цэг дэх цахилгаан орны хүчлэг Зураг 12-1 Хүчлэг нь орны тухайн цэгт орших нэгж цэгэн цэнэгт үйлчлэх хүчтэй тэнцүү. E ийн чиглэл нь эерэг цэнэгт үйлчлэх хүчтэй тэнцүү E = r 2 (12-3-1) Цэнэгүүдийн системийн орны хүчлэг цэнэг бүрийн үүсгэх орны хүчлэгүүдийн вектор нийлбэртэй тэнцүү. E = E i Суперпозицийн зарчим (12-3-2) Зураг 12-2 Цахилгаан орныг тодорхойлохдоо цэг бүрт E векторын хэмжээ болон чиглэлийг зааж өгөх ѐстой. Эдгээр векторууд цахилгаан орны хүчлэгийн векторын орныг үүсгэнэ. Хурдны векторын орныг гүйдлийн шугамын тусламжтай үзүүлж болно. Үүнтэй адил цахилгаан орныг түүний хүчний шугамаар дүрслэн үзүүлнэ. Хүчний шугамыг зурахдаа дараахь зарчмыг баримтлана. Үүнд

5 S.PH101 Физик-1 [Лекц-12] 1. Хүчний шугамын цэг бүр дээрх шүргэгч нь E векторын чиглэлтэй давхцана. 2. Хүчний шугамууд хоорондоо огтлолцохгүй. 3. Хүчний шугам эерэг цэнэгээс гарч сөрөг цэнэг дээр дуусна. 4. Хүчний шугамд перпендикуляр нэгж талбайг нэвтрэх хүчний шугамын тоо E -н утгатай тэнцүү. Цэгэн цэнэгийн орны E н шугам цэнэгээс гарсан радиал шугамууд байна. 12-4 СИСТЕМ ЦЭНЭГҮҮДИЙН ХАРИЛЦАН ҮЙЛЧЛЭЛ 1 ба 2 цэгэн цэнэгүүдийн харилцан үйлчлэлийн энерги W p = 1 2 r 12 (12-4-1) ширхэг цэнэгүүдийн харилцан үйлчлэлийн энерги W p = 1 2 i k W pik r ik = 1 i k 2 i k (12-4-2) r ik Энэ нийлбэр нь i ба k индексээр тус тусдаа хийгдэнэ. W p = 1 2 i=1 i k k=1 = 1 r ik 2 i=1 i φ i (12-4-3) φ i = k=1 i k k r ik (12-4-4) 12-5 ДИПОЛЬ Хэмжээ нь ижилхэн +, цэнэгийн систем нь диполь болно. Тэдгээрийн хоорондын хоорондын зай l нь системийн орныг тодорхойлох зайнаас нилээн бага. 2 цэнэгийн дайрах Зураг 12-3 шулууныг диполийн тэнхлэг гэнэ. Түүний үүсгэх орон тэнхлэгийн тэгш хэмтэй. Дипольтой харьцангуй цэгийн координатыг r радиус вектор эсвэл r, θ туйлын координатаар илэрхийлнэ. l вектор цэнэгээс + цэнэг рүү чиглэнэ. a нь r -ээс олон дахин бага гэдгийг тооцвол r + = r acosθ = r ae r (12-5-1)

6 S.PH101 Физик-1 [Лекц-12] r = r + acosθ = r + ae r (12-5-2) φ r = 1 = 1 r r + (12-5-3) r + r r r + r r + r 2 r r + = 2ae r = le r φ r = 1 pe r r 2 (12-5-4) p = l -цахилгаан момент (12-5-5) pe r = pcosθ (12-5-6) Зураг 12-4 e r = 1 φ r, θ = 1 pcosθ r 2 (12-5-7) Диполийн орны хүчлэгийг олохын тулд E векторын проекцуудыг харилцан перпендикуляр чиглэлүүд дээр олно. Нэг нь r зай өөрчлөгдөх чиглэл, нөгөө θ өнцгийн өөрчлөлтөнд харгалзана. 1-р проекцыг r ээр уламжлал авч олно. E r = φ r = 1 2pcosθ r 3 (12-5-8) 2-р проекцыг rdθ-ээр уламжлал авч олно. E θ = 1 r φ = 1 pcosθ (12-5-9) r r 3 E = E r 2 + E θ 2 = 1 p r 3 1 + 3cos2 θ (12-5-10) Зураг 12-5 Диполийн төлөвийг гадны цахилгаан оронд авч үзье. Диполийг нэгэн төрлийн цахилгаан оронд оруулбал түүнд хэмжээгээрээ тэнцүү эсрэг чиглэсэн F 1 ба F 2 хүч үйлчилнэ. Эдгээр хүч хос хүчийг үүсгэх ба мөр нь lsinα болно. Хүчний модуль E. Түүнийг мөрөөр үржүүлбэл хос хүчний момент гарна. M = Elsinα = pesinα (12-5-11)

7 S.PH101 Физик-1 [Лекц-12] M = p E (12-5-12) Энэ момент диполийг түүний цахилгаан момент p орны дагуу чиглэсэн байхаар эргүүлэхийг эрмэлзэнэ. Потенциал энергийг олъѐ. Зураг 12-6 W p = φ + φ = φ + φ (12-5-13) Нэгэн төрлийн орны потенциал E векторын дагуу шугаман буурна. Энэ чиглэлд х тэнхлэгийг авбал E = E x = dφ dx φ + φ -ялгавар потенциалын x = lcosα өөрчлөлт болно. (12-5-14) зай дахь φ + φ = dφ lcosα = Elcosα (12-5-15) dx W p = Elcosα = pecosα (12-5-16) W p = pe (12-5-17) Нэгэн төрлийн биш оронд байх диполийг авч үзье. F x = W p x, F y = W p y, F z = W p z (12-5-18) α = const гэж үзлээ. W p x, y, z = pe(x, y, z)cosα (12-5-19) х-тэнхлэгийн цэгүүдийн хувьд E, E y z тэг байна. W p y = W p z = 0 Эндээс F x байгуулагч л тэгээс ялгаатай. F x = W p x = p E x cosα Зураг 12-7 Зургийн тохиолдолд зөвхөн E y уламжлал тэгээс ялгаатай. F y = W p y = E y cosα = 1

8 S.PH101 Физик-1 [Лекц-12] 12-6 СИСТЕМ ЦЭНЭГҮҮДИЙН ОРНЫГ ТҮҮНЭЭС ХОЛ ЗАЙД ТООЦОХ l эрэмбийн шугаман хэмжээс бүхий эзлэхүүнд байрлах 1, 2,., цэнэгийн систем авч үзье. Энэ системийн үүсгэх орныг l r байх r зайд авч үзье. Координатын эхлэл 0-г эзлэхүүний дотор авъя. r-радиус вектороор тодорхойлогдох цэгт потенциал Зураг 12-8 φ r = 1 i i=1 (12-6-1) r r i r i -нь r тэй харьцуулахад бага гэдгийг тооцвол r r i = r r i e r = r 1 r ie r r (12-6-2) φ r = 1 i=1 i r 1 1 r ier r (12-6-3) 1 1 x 1 + x гэдгийг ашиглавал φ r = 1 i=1 i r 1 + r ie r r = 1 i r + 1 i r i e r r 2 (12-6-4) Эхний гишүүн = i цэгэн цэнэгийн орны потенциал болно. 2 дахь гишүүн диполийн орны потенциал юм. P = i=1 i r i (12-6-5) Үүнийг цэнэгүүдийн системийн диполийн момент гэдэг. Хэрэв системийн нийлбэр цэнэг i = 0 бол диполийн момент координатын эхлэлийн сонголтоос хамаарахгүй. Үүнийг батлахын тулд O ба O 2 координатын эхлэл авъя. p = i r i = i b + r i = b i + i r i = i r i (12-6-6)

9 S.PH101 Физик-1 [Лекц-12] i = 0 учраас p = p (12-6-7) Зураг 12-9 Цахилгаан саармаг системийн хувьд потенциал 2-р гишүүнээр тооцогдох буюу диполийн орон болно. Квадруполийн хувьд i ба p нь тэг учраас орны потенциал 3-р гишүүн буюу 1 r 3 д пропорциональ. 12-7 ЦАХИЛГААН СТАТИК ОРНЫ ЦИРКУЛЯЦ, РОТОР Цахилгаан статик оронд байгаа цэнэгт үйлчлэх хүч консерватив. Иймээс битүү замаар хийх ажил 0. A = Edl = 0 (12-7-1) Edl = 0 Энэ нь цахилгаан орны хүчлэг векторын циркуляц болно. Үүнийг хүрээгээр хязгаарлагдсан гадаргын интегралаар сольж болно. Зураг 12-10 Edl = EdS = 0 (12-7-2) E = 0. Эндээс цахилгаан статик орны хүчлэг векторын ротор тэг байна. 12-8 ГАУССЫН ТЕОРЕМ цэгэн цэнэгийн орон авч үзье. Түүнийг агуулсан битүү S гадаргаар нэвтрэх E векторын урсгалыг олъѐ. Гадаргын ds эгэл талбайг нэвтрэх E векторын урсгал dφ = E ds (12-8-1) болно. Энэ гадаргыг тулсан биет өнцөг dω болно. Цэгэн цэнэгийн хүчлэгийн хэмжээ E = ба биет өнцөг dω = ds гэдгийг тооцвол r 2 dφ = r 2 (12-8-2) r 2 r2 dω = dω. (12-8-3)

10 S.PH101 Физик-1 [Лекц-12] Нийт урсгалыг олохдоо биет өнцгөөр интеграл авна. Φ E = dω = dω = 4π 4π Ω = 4π = ε 0 (12-8-4) болно. Цахилгаан орны дивергенцийг олъѐ. E = Битүү гадаргын дотор 1, 1,. i E i болно. цэгэн цэнэг байвал Φ E = EdS = i E i ds = i E i ds S S S (12-8-5) i=1 Φ E = EdS = 1 ε i -Гауссын теорем. (12-8-6) 0 S Хэрэв цэнэг тодорхой эзлэхүүнд тасралтгүй тархсан бол цэнэгийн нягтыг ρ = d гэж олно. dv i = V ρdv гэвэл (12-8-7) S EdS = 1 ε 0 ρdv (12-8-8) Гадаргын интегралыг түүгээр хязгаарлагдсан эзлэхүүний интегралаар соливол EdV = 1 ε 0 ρdv (12-8-9) болно. Тэгвэл интегралын доорх илэрхийллүүд тэнцэнэ. E = ρ ε 0 - Гауссын теоремын дифференциал хэлбэр(12-8-10) Шингэний тохиолдолд υ тухай цэгт шингэний үүсгүүрийн хувийн чадал болдог. Үүнтэй адил цэнэг нь цахилгаан орны үүсгүүр болно.