1 משוואות דיפרנציאליות רגילות 832 דויד שיפרוט 25 ביוני 215 תוכן עניינים Á מבוא 2 1 הגדרות................................................................ 2 4 ÁÁ משוואות מסדר ראשון משוואה לינארי מסדר ראשון:..................................................... 4 2 משוואות לא לינאריות מסדר ראשון................................................. 6 3 פתרון בהפרדת המשתנים................................................... 7 3.1 משוואות מדויקות....................................................... 8 3.2 גורמי אינטגרציה................................................. 1 3.2.1 משוואות הומוגניות...................................................... 11 3.3 משפט קיום ויחידות של פיקארד................................................... 12 4 15 ÁÁÁ משוואות מסדר שני משוואות לינאריות מסדר שני..................................................... 15 5 ורונסקיאן........................................................... 18 5.1 אי תלות לינארית................................................. 19 5.1.1 שיטות למציאת פתרון למשוואה הומוגנית............................................... 19 6 הורדת סדר.......................................................... 19 6.1 משוואות הומוגניות עם מקדמים קבועים........................................... 21 6.2 שיטות למציאת פתרון מסוים..................................................... 22 7 שיטת הקבועות החופשיים................................................... 23 7.1 וריאציה של פרמטרים È Ö Ñ Ø Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó.................................... 24 7.2 פתירת מד''ר מסדר שני בעזרת טורי חזקות............................................. 25 8 חזרה לטורי חזקות...................................................... 25 8.1 פתרון למשוואות לינאריות מסדר שני בעזרת טורי חזקות.................................. 26 8.2 משוואה. ÖÝ.................................................. 27 8.2.1 פתרון כללי בעזרת טורי חזקות למד''ר לינארי מסדר שני............................. 27 8.2.2 פתרון בעזרת טורי חזקות סביב נקודות סינגולריות...................................... 28 8.3 משוואת אויילר.................................................. 28 8.3.1 32 n משוואות מסדר ÁÎ 9 מערכת משוואות........................................................... 32 9.1 ווריציא של פרמטרים..................................................... 33 1 מערכות של מד''ר........................................................... 33 11 מערכת משוואות של מד''ר לינאריות................................................. 35 11.1 פתרון כללי של מערכת לינארית............................................... 35 11.1.1 ורונסקיאן..................................................... 36 11.2 מערכת משוואות הומוגנית עם מקדמים קבועים....................................... 36 Î בעיות תנאי שפה 39 12 בעיות שטורים ליאוביל ËØÙÖÑ¹Ä ÓÚ ÐÐ.............................................. 4 42 Ä ÔÐ ÌÖ Ò ÓÖÑ התמרת לפלס ÎÁ
חלק Á מבוא הגדרה.1 משוואה דיפרנציאלי היא משוואה שמקשרת פונקציות עם נגזרותיה. למשוואה דיפרציאלית עם משתנה עצמאי יחיד נקרא משוואה דיפרנציאלי רגילה, למשוואה דיפרנציאלי עם מספר משתנים עצמאיים נקרא משוואה דיפרנציאלית חלקית. אנו נעסוק בקורס זה במשוואות דיפרנציאליות רגילות. 1 הגדרות הגדרה 1.1 הסדר של משוואה דיפרנציאלית, הוא הסדר של הנגזרת הגבוהה ביותר שמופיעה בה. המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה הכללית ביותר מסדר n היא ביטוי מהצורה: Fx,ux,u x,...,u n x = כאשר F הוא פונקציה כלשהו. לרוב נכתוב באופן מקוצר משהו כמו: Fx,y,y,y,...,y n כאשר y פונקציה של x. למשל: y +2e x y +yy = x 4 y +2e x y +yy x 4 = y n = fx,y,y,...,y n 1 לרוב נדון במשוואות מסדר n, מהצורה: כלומרשניתןלבודדאתהנגזרתהגבוההביותר. משוואהמהצורה n Fx,y,y,y,...,y תוליךלמספרמשוואותמהצורה n 1.y n = fx,y,y,...,y למשל: y 2 +xy +4y = משוואה זו מוליכה ל y = x x 2 16y 2 ÓÖ y = x+ x 2 16y 2 שאלה: = +1 x 2 כמה פתרונות יש ב C,1 לפונקציות ממשיות? תשובה : כמה פתרונות יש ב C,1 לפונקציות מרוכבות? תשובה : 2 הגדרה 1.2 פתרון של משוואה מהצורה : y n = f x,y,y,...,y n 1 על קטע α,β הוא פונקציה: φ : α,β R φ n x = f x,φx,..,φ n 1 x כך שהנגזרות n φ,φ,...,φ קיימות ומקיימות: לכל α,β.x
שאלות מרכזיות: 1. קיום: האם יש פתרון? 2. יחידות: האם יש פתרון יחיד המקיים תנאים מסויימים? דוגמא: y = 3y על הקטע,. לכל φx = ce 3x c, R היא פתרון אפילו יש אינסוף פתרונות. אם נדרוש = 1 y אז יהיה פתרון יחיד. הגדרה 1.3 משוואה מהצורה = n F x,y,y,...,y נקראת לינארית אם F היא פונקציה לינארית של המשתנים n. y,y,y...,y באופן שקול המשוואה הכללית מסדר n, היא מהצורה: a n xy n +a n 1 xy n 1 +...+a xy = gx אם =,gx אזי המשוואה נקראת הומוגנית, ואם,gx אזי היא נקראת לא הומוגנית. משוואה שאיננה לינארית, נקראת לא לינארית.
חלק ÁÁ משוואות מסדר ראשון משוואות מסדר ראשון היא מהצורה: y = f x,y דוגמאות: 1 הסוג הפשוטה ביותר: fx y. = פתרונה הכללית היא y. = x ftdt+c הכוונה של אינטגרל זה, בחירת פונקציה קדומה כלשהי. y +Pxy = gx.y = sin2x y = 1 2cos2x+c 2 2 משוואה לינארי מסדר ראשון: משוואה לינארי מסדר ראשון היא משוואה מהצורה: מקרה ראשון: נתחיל מ = +ay y על,. מ''ניחוש'' רואים ש y = ce ax הוא פתרון. המשוואה שקולה ל lny = y y = a lny = ax+c y = ce ax כלומר y = ce ax הוא אוסף כל הפתרונות.כלומר כל פתרון למשוואה הוא מהצורה הזה תנאי טבעי שמוליך לפתרון יחיד מהצורה, y = y ב x = x כלומר.yx = y תנאי כזה נקרא בשם תנאי התחלה, או לפעמים תנאי שפה. ולבעייה הכוללת משוואה מסדר ראשון יחד עם תנאי כזה קוראים בעיית ערך התחלתי. ÈÖÓ Ð Ñ.ÁÒ Ø Ð Î ÐÙ.y = 2e ax לכן יש פה פתרון יחיד.c = 2 y = c y = ce ax היות והפתרון.y +ay =,y = 2 }{{} ÁÒ Ø Ð Î ÐÙ ÈÖÓ Ð Ñ y +ay = gx דוגמא: מקרה שני: כעת נסתכל על: נתבונן ב d dx eax y = e ax y +ae ax y = e ax y +ay = e ax gx e ax y = e at gtdt+c yx = e ax e at gtdt+ce ax כלומר כל פתרון של משוואה מהצורה זה, הוא מהצורה:.yx = e axx eat gtdt+ce ax מקרה הכללי: לבסוף נתבונן במשוואה דיפרנציאלי מהצורה: y +pxy = gx נחפש ux כך ש: uxy +u xy = uxy = uxy +pxy ux כנ''ל חייבת לקיים: uxpxy = u xy
lnux = u u = px lnux = ptdt ux = exp ptdt וזה יובטח אם [uxy] = uxgx uxy = utgtdt+c y = 1 ux utgtdt + c כעת: [ ].ux = exp כאשר x ptdt משפט 2.1 משפט היחידות למשוואות לינאריות מסדר ראשון אם הפונקציות p ו g הן רציפות על קטע פתוח α,β המכילה את הנקודה x, אזי קיימת פונקציה יחידה φx y = המקיימת את המשוואה: y +pxy = gx לכל α,β x ואשר גם מקיימת את תנאי ההתחלה yx = y עבור y R כלשהו. y = 1 ux utgtdt + c הוכחה: ניתן לראות מהחשבון שעשינו שכל פתרון הוא מהצורה: [ ],ux = exp וכן ש y כנ''ל הוא פתרון וזאת בגלל ש: רציפות p מבטיחה ש u מוגדרת, איננה מתאפסת, וגזירה. זה מצדיק שלכל עבור x ptdt פתרון y מתקיים השוויון.[uy] = ug בדומה, רציפות g מבטיחה של ug יש אינטגרל מוגדר וגזיר. לכן רציפות p ו g מצדיקה את החשבון שעשינו. ניתן גם לראות שעבור בחירה כלשהי של,ux קיים c יחיד שעבורו יתקיים תנאי ההתחלה. וזה מסיים את ההוכחה. ux = exp ptdt x צורה אלגברית לכתוב את הפחתרון היחיד היא: y = 1 usgsds+c ux x ואז = 1.ux ניקח גם: ואז כדי לקים את תנאי ההתחלה הדרוש yx = y נרצה: y = 1 usgsds+y, ux = exp ptdt ux x x Ì ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø Ò Ø Ð Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ y +pxy = gx, yx = y דוגמא: 1 2 =,y y 2xy = 1 על., 2x.gx = 1,px = נציב בנוסחאות ונקבל. ux = exp 2tdt = e x2, y = e x2 e t2 dt 1 2
3 משוואות לא לינאריות מסדר ראשון משפט 3.1 משפטהקיוםוהיחידותלמשוואותמסדרראשוןתהי fx,y פונקציהרציפהבמלבן α,β γ,δ המקיימתבו תנאיליפשיציתבמידה שווה ב y, דהיינו קיים קבוע,K כך ש 2 fx,y 1 fx,y 2 < K y 1 y לכל α,β x ו γ,δ.y 1,y 2 תהי x,y נקודה במלבן, אזי קיים קטע מהצורה +h x h,x המוכל ב α,β כך שלבעיית הערך ההתחלתי y = fx,y,yx = y קיים פתרון יחיד φx y = המוגדר בקטע +h.x h,x הערות: 1 ייתכון קיום פתרון יחיד גם בלי קיום תנאי המשפט. 2 לקיום פתרון, מספיק לדרוש את רציפות f. הדרישה לקיום תנאי ליפשיץ במידה שווה ב y דרושה להבטחת היחידות. ˆy 2 fx,y 1 fx,y 2 = f y dy sup f y y 1 y 2 y 1 f קיימת ורציפה, אזי y 3 אם f במלבן. וזה מבטיח את תנאי ליפשיציות על מלבן קצת יותר y לכן תנאי טבעי המבטיח את קיום תנאי ליפשיצית המתאים הוא רציפות f במלבן. קטן. בפרט המשפט מתקיימת, אם דורשים פשוט רציפות של f ו y y = 2 3 x 3 2 = 3 2 2.y הפתרון אינו יחיד. למשל 2 x 33 1 2 = 2 2 2 3 x1 = 3 x 3 1 3 2 2 = y פתרון. 3 x 3 2 דוגמא: y =,y = y 1 3 על.[, פתרון גם כן. וגם = y גם פתרון. למעשה לכל > x: { x < x y = 3 2 y = ± [ 2 3 x x ] 3 2 x x 3 1 1 2 2 x x 1 2 2 = 3 3 x x 2 2 = 3 x x 3 3 2 הוא פתרון. ברור ש = y עבור. x < x עבור,x > x x x הערה: הרבה פעמים הטוב שניתן לעשות הוא לקבל קשר מהצורה =.ψx,y קשר כזה נקרא נוסחה בלתי מפורשת ÓÖÑÙÐ.ÁÑÔÐ Ø לפעמים קשר כזה נקרא גם ''אינטגרל של המשוואה''. דוגמא:.y = x y ניתן להראות שכל הפתרונות מקיימים.x 2 +y 2 = c 2 ניתן לוודא זאת ע''י גזירה, 2yy +2x = yy +x = y = x y זה נותן: y = ± c 2 x 2 וזה מגדיר המון פתרונות. למשל:.y = c 2 x 2, c < x < c.1.y = c 2 x 2, c < x < c.2.3 { c2 x y = 2 c < x c 2 x 2 < x < c בהינתן תנאי התחלה כמו = 3 y. אז ניתן בדרך כלל, לבחור פתרון קונקרטי תקף בקטע כלשהו. במקרה הנ''ל: = 3.1 c y = 3 ומקבלים ש,y = 9 x 2 מהווה פתרון יחיד של בעיית התחלתי על הקטע. 3,3
7 Mx,y+Nx,y dy dx = 3.1 פתרון בהפרדת המשתנים dy ניתן תמיד לכתוב בתור: dx את fx,y =. dy נניח שניתן להעריך לצורה dx בפרט אם fx,y N = 1,M = אז ניתן לקבל את המשוואה fx,y = ˆ Mx+Ny dy dx = Mxdx = Nydy ˆ Mxdx = Nydy H 1 x+ H 2 ydy = d }{{ dx } dx H 1x+H 2 yx = H 1 x+h 2 yx = C d dx H2yx H 1 x H 1 x = H 2 y H 2 y = שניתן גם לכתוב כ ומכאן ניתן לקוות ש נסמן Mx.H 2y = Ny,H 1x = אזי נניח תנאי התחלה מהצורה.yx = y אז.C = H 1 x +H 2 y x Mtdt yˆ y Nsds H 1 x+h 2 yx = H 1 x +H 2 y H 1 x H 1 x = H 2 yx H 2 y x Mtdt+ yˆ y Nsds = dy dx = x2 1+y 2 x2 +1+y }{{} 2 dy }{{} dx Mx Ny = Ë Ô Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ דוגמא: dy dx = 3x2 +4x+2, y = 1 2y 1 דוגמא: 2y 1dy = 3x 2 +4x+2dx y 2 2y = x 3 +2x 2 +2x+c y = 1 1+2 = c c = 3 y 2 y = x 3 +2x 2 +2x+3 y 2 2y +1 = x 3 +2x 2 +2x+4 y 1 = ± x 3 +2x 2 +2x+4 y = 1± x 3 +2x 2 +2x+4 לשים לב ש y = 1 y = 1 x 3 +2x 2 +2x+4 כדי שהשורש יהיה של מספר חיובי, חייבים לדרוש, 2 > x. לכן הפתרון תקף על,2.
x ψx,y+ y ψx,yy = }{{} ÇÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ò Ý ψx,y=c Mx,y+Nx,yy = 3.2 משוואות מדויקות נניח שנתון ψx,y = C כקשר בין y ל x. ניתן לגזור, באותו הפוך, נניח שנתונה משוואה: ψ וכך ψx,y = C מגדיר את y כפונקציה גזירה של x, אזי : x = M, ψ y אם קיימת פונקציה ψx,y כך ש = N Mx,y+Nx,yy = x ψx,yx x ψx,yx = ψx,yx = C 2xy 3 +3x 2 y 2 y = x 2 y 3 x 2 y 3 = c y 3 = cx 2 c 1 3 x 2 3 x ואז ψx,y = C מגדיר את y כפונקציה של x. דוגמא: = y 2xy 3 +3x 2 y 2. M y M,N, N כולם פונקציות רציפות במלבן δ}.r = {x,y α < x < β, γ < y < אזי המשוואה x, M y Mx,y+Nx,yy = M N x,y = y x x,y משפט 3.2 יהיו היא משוואה דיפרנציאלי המדויקת ב R אם ורק אם מתקיים: N ψ ψ x,y = x אם ורק אם M ו N מקיימות את x,y x = Mx,y, y לכל נקודה ב R. כלומר קיימת פונקציה ψ המקיימת Nx,y = ψ אזי, x = M, ψ y M y = ψ y x = 2 ψ y x N x = ψ x y = 2 ψ x y ψx,y = M ונבנה ψ כנדרש: y Mt,ydt+hy ψ y x,y = Mt,ydt+h y = y הוכחה: כיוון ראשון: שקיימת ψ כנדרש מקיימת את = N M אם הן פומרציות רציפות. y = N x x,y = N x y Mt,ydt+h y לפי משפט ידוע מאינםי, כיוון שני: נניח ש M,N מקיימת את x,y h y = Nx,y x h y = N x M y M y t,ydt = }{{} M y x,y= N x x,y לכן y h בלתי תלויה ב x וניתן לקבל: hy = ˆy h tdt
9 ψx,y = Mt,ydt+ yˆ Nx,s M y t,sdt ds כלומר: בדיקה ש ψ שבנינו אכן ''עובדת'': ψ y = ˆ y [ ] ψ N x = Mx,y+ M x,s x s x,s ds }{{} M y t,ydt+nx,y = Ù M y x,y= N x x,y M t,ydt = Nx,y y M y = cosx+2xey = N x ψ = ysinx+x 2 e y +hy }{{} x Mt,ydt דוגמא: = y ycosx+2xe y + sinx+x 2 e y 1 נחזור על החישוב מההוכחה באופן מפורש. ψ = sinx+x 2 e y +h y y }{{} =N N = sinx+x 2 e y 1 h y = sinx+x 2 e y 1 sinx x 2 e y = 1 hy = y ψysinx+x 2 e y y ysinx+x 2 e y y = c }{{} הערה: לא נדרש פתרון כללי, מספיק למצוא איזושהו ψ. וכעת הוא פתרון בלתי מפורש של המשוואה המקורית.
3.2.1 גורמי אינטגרציה נניח שהמשוואה = Mx,ydx+Nx,ydy איננה מדוייקת. אם ניתן למצוא פונקציה µx,y כך ש = µx,ymx,ydx+nx,ydy מדוייקת עבור µ, אזי ניתן לפתור אותה באופן לא מפורשוהמשוואה ψx,y = C תהייה בלתי מפורש גם שלהמשוואה המקורית. התנאי ש = µx,ymx,ydx+nx,ydy תהייה מדוייקת הוא: y µm = µn M µ x y +µ M y = N µ x +µ N µ = M x M M y N µ x + y N x }{{} È ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÓÖ Ö דוגמא: = dy y 2 +xy dx x 2. נראה ש 1 2 µx,y = xy גורם אינטגרציה. M y = 2y +x, N x = 2x y µm x µn = 1 y x + 1 + x y x y 2 = נכפיל ב µ הנ''ל. 1 y 2 + 1 y 2 = 1 x + 1 x x y y 2 y = לכן.x,y,lnx+ x y מדוייקת ומובטח לכן שפתרון שלה יפתור את המשוואה המקורית. תרגיל: ניתן לפתור את המשוואה המדוייקת הנ''ל ולקבל את הקשר = C מקרים חשובים שבהם ניתן למצוא גורם אינטגרצייה אם קיים: אם µ פונקצייה של x בלבד או פונקציה של x בלבד. נניח µ פונקציה של x בלבד. = µm = µ M y y, µn = µ N x x +N N y µ M x = y N x µ N M 1 היא פונקצייה של x בלבד. N y N x הבעיה ניתנת לפתרון אם ורק אם M. אם y N אז כדי לפתורמשוואה מהצורה = Mx,y+Nx,yy ראשית נכתוב אותו בצורה = M x+n y אז לבדוק האם = x M 1 כי אז קיים µ גורם אינטגרציה y N y N x זה שווה ל אז זה משוואה מדוייקת ואז קיים פתרון. אם זה לא שווה אז לבדוק האם = תלויה ב x בלבד.
11 3.3 משוואות הומוגניות dy נקראת הומוגנית אם התלות של f ב x וב y היא רק ביחס dx הגדרה 3.3 משוואה מהצורה fx,y = מהצורה: dy y dx = F x. y x כלומר משוואה הומוגנית היא משוואה. dy משוואה כזו, ניתן לפתור כדלקמן. נסמן dx = y2 +2xy x = y 2 x +2 y x דוגמא: 2 y x = v y = xv dy dx = Fv, dy dx = xdv dx +v x dv dv +v = Fv dx dx = 1 x fv v dx x = dv Fv v המשוואה היא: כלומר, כלומר המשוואה ניתנת להפרדת משתנים ולכן ניתן לפתור. מהפתרון מקבלים את v כפונקציה של x, וממנו מחלצים את y, ע''י y. = xv אז עבור הדוגמא x dv dx +v = v2 +2v x dv dx = v2 +v 1 x dx = 1 vv +1 dv 1 1 x dx = v 1 dv ln x +ln c = ln v ln v +1 v +1 v ln cx = ln v +1 cx = v v +1 cx = v y v +1 = x y x +1 = y y +x cxy +x = y cx 2 = y1 cx y = cx2 1 cx.v עבור vופותרים = y x אז מציבים dy dx = F y x אם
½¾ 4 משפט קיום ויחידות של פיקארד משפט 4.1 משפטהקיוםוהיחידותלמשוואותמסדרראשוןתהי fx,y פונקציהרציפהבמלבן α,β γ,δ המקיימתבותנאיליפשיציתבמידה שווה ב y, דהיינו קיים קבוע,K כך ש 2 fx,y 1 fx,y 2 < K y 1 y לכל α,β x ו γ,δ.y 1,y 2 תהי x,y נקודה במלבן, אזי קיים קטע מהצורה +h x h,x המוכל ב α,β כך שלבעיית הערך ההתחלתי y = fx,y,yx = y קיים פתרון יחיד φx y = המוגדר בקטע +h.x h,x הוכחה: נסמן ב Dמלבן סגור מהצורה, y y b, x x a המוכל במלבן המקורי. יהי M כך ש, fx,y M לכל.x,y D נגדיר min,h = המשוואה fx,y,y = קרובה, למשוואה האינטגרלית a, b M yx = y + x ft,ytdt במובן זה שפתרון רציף של המשוואה הדיפרנציאלית המקיים את תנאי ההתחלה מקיים את המשוואה האינטגרלית הנ''ל. נגדיר סדרת פונרציות באופן הבא: y 1 x = y + x ft,y dt x x y 2 x = y + ft,y 1 tdt x y n x = y + x ft,y n 1 tdt x אנחנונראהש 1=n y מתכנסת n לפתרוןרציףיחידבסביבהכלשהישל x כךשהגבולהרציףהנ''ל yx מוגדרהיטב. וכןשהוא פתרוןשלהמשוואה הדיפרנציאלית. אח''כ נראה ש yx הנ''ל מקיימת את תנאי ההתחלה, והיא הפתרון היחיד שמקיים אותו. נראה תחילה שעבור x x h מתקיים. y n x x b ההוכחה באינדוקציה. למה y n x x b 4.2 לכל.n N הוכחה: בסיס האינדוקציה: y 1 x y = ft,y dt b ft,y dt hm M M = b x x y n 1 x y b, x x h הנחת האינדוקציה: נניח ש y n x y ft,y n 1 tdt hm b M M = b x צעד האינדוקציה: x לכל y n x y n 1 x MKn 1 n! לכן נובע שעבור x x h מתקיים y n y b לכל.h N נראה גם ש x x n +h.x h,x ההוכחה שוב באינדוקציה. MKn 1 y n X y n 1 x לכל +h.x x h,x הוכחה: בסיס האינדוקציה: n! למה x x n 4.3 y 1 x y M x x הנחת האינדוקציה: נניח ש y n 1 x y n 2 x MKn 2 n 1! x x n 1 y n x y n 1 x = ft,y n 1 tdt ft,y n 2 dt ft,y n 1 t ft,y n 2 t x x x צעד האינדוקציה:
½ MK n 1 K y n 1 t y n 2 t dt t x n 1 dt = ÁÒ ÙØ ÓÒ ÀÝÔÓØ n! x x MK n 1 n! x x n y + y j x y j 1 x j=1 n y n x = y + y j x y j 1 x j=1 נסתכל בטור: מתקיים: כלומר x y n היא סדרת הסכומים החלקיים של הטור. היות והאיבר הכללי של הטור חסום ע''י: MK j 1 j! x x j M Khj 1 h j! M Kh n 1 h n! n=1 והיות שהטור: n=1 y n x מתכנס במ''ש על +h] [x h,x לגבול: מתכנס בהחלט, נובעת ההתכנסות במ''ש של הסכומים החלקיים של הטור, דהיינו yx y n x yx = lim n y nx j=n+1 M Kh j 1 h = ǫ n j! כאשר, היות וההתכנסות במ''ש yx פונקציה רציפה, נראה שהיא פתרון של המשוואה: yx = lim y nx = y + lim f t,y n 1 tdt = y + lim f t,y n 1tdt = y + f t,ytdt n n n x x x lim n x f t,y n 1 tdt = x f t,ytdt נראה כעת ש נשים לב ש f t,y n 1 tdt f t,ytdt f t,y n 1 t f t,yt dt K y n 1 t yt dt < hkǫ n 1 x x x x lim n x f t,y n 1 tdt = d dx yx = d y + dx x f t,ytdt ft,ytdt = fx,y x ולכן מרציפות yx ו f נובע כעת:
14 x y + נובע ש yx גזירה. x הערה: מגזירות ft,ytdt נותר להראות יחידות. יהי µx פתרון אחר של המשוואה המקיים את התנאי ההתחלה, µx = y וכן x x h, µx y b µ.h δ מקיים: µx = y + x ft,µtdt ולכן: אינדוקציה, ÓÑÔÐ Ø µx y n x f t,µx f t,y n 1 t dt x µx y 1 x f t,µx f t,y t K µt y dt Kb x x x x מתקיים: ואם נניח: µx y n 1 x < Kn 1 b n 1! x x n µx y n x x K µt y n 1 t dt K n b t x n 1 dt = n 1! x K n b n! x x n אזי מכאן נובע כעת באינדוקצייה µx y n x Kn b n! x x n Kn bh n! n ולכן µx = lim n y nx = yx לכל, x x h ולכן מוכחח יחידות.yx דוגמא:,y = 1,y = ay ˆ y 3 x = 1+ y 2 x = 1+ x x y 1 x = 1+ x adt = 1+ax aa+atdt = 1+ax+a 2x2 2 a a+at+a dt 2t2 = 1+ax+a 2x2 2 2 +a3x3 6 y n x y n 1 x = a ntn n! yx = ax n n! = e ax אז
½ חלק ÁÁÁ משוואות מסדר שני y = f x,y,y משוואה דיפרנציאלי רגילה מסדר שני היא מהצורה: באופן כללי קביעת פתרון דורשת קביעת שני קבועים, למשל y = gx yx = c 1 +c 2 x+ gsds dt הפתרון הכללי הוא כאשר c 1 ו c 2 קבועים כלשהם. כדי לקבוע פתרון יחיד צריך לציין תנאים. מקובל מאוד לדון בתנאי התחלה מהצורה: y x = y, yx = y x,y,y של המרחב התלת מימדי במשתנים R רציפות בתחום פתוח f y, f y משפט 4.4 קיום ויחידות לשמוואות מסדר שני אם f,, x,,y,,y אזי קטע כלשהו סביב x שבו קיים פתרון יחיד של המשוואה fx,y,y y = המקיים את תנאי ההתחלה ואם y x = y, yx = y Px d2 y dx 2 +Qxdy +Rxy = Gx dx כלשהן. 5 משוואות לינאריות מסדר שני משוואה הלינארית הכללית מסדר שני היא מהצורה כאשר P,Q,R,G פונקציות דוגמאות: m d2 u dt +cdu +ku = Ft dt 1. משוואה של מסה על קפיץ: 2. משוואה של בסל: x 2 y +xy + x 2 v 2 y =.3 משוואה :Ä Ò Ö 1 x 2 y 2xy +αα+1y = משוואות לא לינאריות שיודעים לפתור 1. משוואות לא לינאריות פשוטות במיוחד מתקבלות במקרה ש f פונקציה רק של x,y או רק של y,y. במקרה ניתן לעבור למשוואה מסדר ראשון ע''י הצבה y v, = ואז מקבלים משוואה מסדר ראשון עבור v, ו y מתקבל מ v ע''י אינטגרציה..2 אם fx,y v = y,y = אז fx,v,v = משוואה מסדר ראשון. אם fy,y v = y,y = אז y = v = dv dx = dv dy dy dx = dv dy v dv dx = 1 v fy,v
½ d 2 y dx 2 + Qx dy Px dx + Rx Px y = Gx Px אם Px לכל x, אז ניתן לחלק את המשוואה ב Px ולקבל: Gx gx = ואז נקבל משוואה מהצורה: Px y = fx,y,y,qx = Rx Px,px = Qx נסמן Px f y = qx, f = px y עבור +gx, f = pxy qxy ואז ותנאי משפט הקיום והיחידות מתקיימים אם p,q,g רציפות. אם הרציפות שלהן על קטע I, אזי התחום המתאים במרחב התלת מימדי הוא.I,, y,y קיים פתרון יחיד המקיימת משפט 5.1 משפט קיום ויחידות למד''רלינארי מסדר שני אם p,q ו g רציפות על קטע α,β I = אזי לכל R את המשוואה y +pxy +qxy = gx y x = y, yx = y על הקטע I ומקיים את תנאי ההתחלה וזאת בנקודה כלשהי.x I דוגמא: = y < x <,y +y =, y = 1,. מניחוש y = cosx,y = sinx פתרונות. נשים לב ש sinx y = מקיים את תנאי ההתחלה. אז מהמשפט נובע ש sinx y = הוא הפתרון היחיד. y +pxy +qxy = gx y +pxy +qxy = הגדרה 5.2 עבור המשוואה המשוואה ההומוגנית המתאימה היא: טענה 5.3 בהינתן פתרון מסויים כלשהו, ỹ, של ỹ +pxỹ +qxỹ = gx אזי כל הפתרונות של המשוואה הלא הומוגנית הם מהצורה y = ỹ +ËÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ÓÑÓ Ò ÓÙ ÕÙ Ø ÓÒ הוכחה: יהי y פתרון של הלא הומוגנית, אזי 1. קל לראות ש y ỹ פתרון של ההומוגנית..2 ÕÙ Ø ÓÒ y +ËÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ÓÑÓ Ò ÓÙ גם הוא פתרון. L[φ] = φ +pxφ +qxφ סימון: בהינתן p,q רציפות על קטע α, < x < β נסמן: זו אופרטור שפועל על פונקציות גזירות פעמיים על.α,β עבור כל φ גזירה פעמיים על,α,β,L[φ] = L[φ]x הוא פונקציה על.α,β
½ דוגמא:,φx = sin3x, qx = 1+x,px = x 2 אזי L[φ]x = sin3x +x 2 sin3x +1+xsin3x = 9sin3x+3x 2 cos3x+1+xsin3x = = x 8sin3x+3x 2 cos3x L[y] = את המשוואה ההומוגנית ניתן כעת לכתוב בתור משפט 5.4 עיקרון הסופרפוזיצייה אם x y = y 2 x y, = y 1 שני פתרונות של המשוואה,L[y] אזי כל קומבינציה לינארית מהצורה yx = c 1 y 1 x+c 2 y 2 x כאשר c 1,c 2 הם קבועים כלשהם, גם היא פתרון של =.L[y] הוכחה: נתון = ] 1 L = [y 2 ] =,L[y ואז L[c 1 y 1 +c 2 y 2 ] = c 1 y 2 +c 2 y 2 +pc 1 y 1 +c 2 y 2 +qc 1 y 2 +c 2 y 2 = c 1 y 1 +c 2 y 2 +c 1 py 1 +c 2 py 2 +c 1 qy 1 +c 2 qy 2 = = c 1 L[y 1 ]+c 2 L[y 2 ] = + = הערה: העובדה ש ] 2 L[c 1 y 1 +c 2 y 2 ] = c 1 L[y 1 ] + c 2 L[y אומרת ש L הוא אופרטור לינארי. באופן יותר מלא, L הוא אופרטור לינארי דיפרנציאלי מסדר שני דוגמא: עבור = +y y 2 = cosx,y 1 = sinx,y הם פתרונות. משפט עיקרון הסופרפוזיצייה מבטיח שלכל y = c 1 sinx+c 2 cosx,c 1,c 2 R גם הוא פתרון של המשוואות. הגדרה 5.5 אומרים ששני פתרונות y 1 y, 2 של המשוואה = L[y] יוצרים קבוצה יסודית של פתרונות Ë Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð אם כל פתרון של המשוואה הנ''ל היא מהצורה c 1 y 1 +c 2 y 2 ידוע שעבור פתרון φ x,φx φ, קובעים את φ באופן יחיד, לכן כדי שיתקיים φ = c 1 y 1 +c 2 y 2 { c 1 y 1 x +c 2 y 2 x = φx c 1 y 1 x +c 2 y 2 x = φ x y1 x y 2 x y 1x y 2x c1 φx = c 2 φ x יש לדרוש: שניתן גם לכתוב כ אם נחשוב על זה כמערכת משוואות ל c 1 c, 2 יחיד אם הדטרמיננטה של מטריצת המקדמים איננה מתאפסת. כלומר y 1 x y 2 x y 1 x y 2 x = y 1x y 2 x y 1 x y 2 x c1 y1 x y 2 x = c 2 y 1 x y 2 x 1 φx φ x ומקבלים את הפתרון מ אם זה מתקיים עבור x כלשהו אזי יש בהכרח פתרון c 1 c, 2 יחיד למערכת, ו φx ו x c 1 y 1 x c+ 2 y 2 הם פתרונות המקיימים אותם תנאי התחלה ב x ולכן שווים על כל הקטע. בגלל יחידות פתרון
½ משפט 5.6 אם p,q רציפות על קטע פתוח,α,β ואם y 1 y, 2 הם שני פתרונות של = L[y] בקטע הנ''ל המקיימים את התנאי y 1 xy 2x y 1xy 2 x עבור α,β x כלשהו. אזי כל פתרון של המשוואה בקטע הנ''ל ניתן להצגה באופן יחיד כצירוף לינארי של y 1 ו y. 2 הערה: במקרה כזה מקובל לקרוא לביטוי c 1 y 1 + c 2 y 2 כאשר c 1,c 2 קבועים לא מפורשים הפתרון הכללי של המשוואה. כלומר c 1 y 1 + c 2 y 2 כקיצור ל R}.{c 1 y 1 +c 2 y 2 c 1,c 2 דוגמא: עבור = +y y 2 = cosx,y 1 = sinx. < x <,y הם פתרונות. כמו כן y 1 xy 2x y 1xy 2 x = sin 2 x cos 2 x = sin 2 x+cos 2 x = 1 מכאן נובע שכל פתרון של המשוואה הוא מהצורה c. 1 sinx+c 2 cosx 5.1 ורונסקיאן הגדרה 5.7 בהינתן שתי פונקציות גזירות y 1 y, 2 על קטע פתוח כלשהו, הפונקצייה: y1 y 2 wy 1,y 2 = det y 2 y = y 1 y 2 y 1 y 2 2 נקראת הורונסקיאן ÏÖÓÒ Ò של.y 1,y 2 לעיתים אם ברור מהם y 1,y 2 נסמן את x wy 1,y 2 ע''י.wx משפט 5.8 אם p ו q רציפות על קטע פתוח α,β ואם y 1 y, 2 פתרונות של L[y] = y +py +qy = על,α,β אזי או ש 2 wy 1,y מתאפס על כל α,β או ש = x wy 1,y 2 לכל α,β. x הוכחה: y 2 y 1 +py 1 +qy 1 = y y 1 y 2 +py 1 y 2 y 2 y 1 +p y 1 y 2 y 1y 2 = 2 +qy 2 = w x = y 1 y 2 +y 1y 2 y 1y 2 y 1y 2 = y 1 y 2 y 1y 2 w +pw = נסמן x,wx = wy 1,y 2 אזי ולכן קיבלנו: wx = c exp כלומר w מקיים משוואה לינארי מסדר ראשון, שפתרונה הכללית ptdt ולכן w מקיים שוויון זה ל c כלשהו ומתאפס אם ורק אם = c. מסקנה w ים 5.9 שונים לכאורה, עבור זוגות שונים של פתרונות, נבדלים זה מזה רק בכפל בקבוע, בפרט יש פה נוסחא עד כדי קבוע לוורונסקיין שאיננה דורשת לפתור את המשוואה. משפט 5.1 אם p ו q רציפות על α,β אזי תמיד קיימת קבוצה יסודית של פתרונות של המשוואה = L[y] בקטע הנ''ל. הוכחה: נבחר α,β.x ממשפט הקיום ויחידות נובע שקיימת פתרונות y 1,y 2 המקיימים y 1 x = 1 y 1 x = y 2 x = y 2 x = 1 wy 1,y 2 x = y 1 x y 2 x +y 1 x y 2 x = 1 היות ו ומכאן נובע ש y 1 y, 2 מהווים קבוצה יסודית של פתרונות. באופן שקול הפתרון הכללי היא מהצורה c. 1 y 1 c+ 2 y 2
½ 5.1.1 אי תלות לינארית הגדרה 5.11 אומרים ששתי פונקציות f ו g על קטע α,β הן תלויות לינארית אם יש קבועים k 1 k, 2 שונים שניהם מאפס כך ש k 1 fx+k 2 gx = לכל α,β x. אומרים ששתי פונקציות הנ''ל בלתי תלויות לינארית על α,β אם הן אינן תלויות לינארית. משפט 5.12 אם f ו g פונקציית גזירות על α,β ואם wf,gx עבור α,β x כלשהו, אזי f ו g הן בלתי תלויות לינארית על הקטע. באופן שקול אם f ו g תלויות לינארית על α,β אז הוורונסקיין שלהן חייב להתאפס על כל.α,β הוכחה: נניח ש f ו g תלויות לינארית. אז יש k 1 k, 2 שונים מ כך ש k 1 fx+k 2 gx = k 1 f x+k 2 g x = f ו g גזירות על α,β ולכן: k 1 fx+k 2 gx = fx gx k 1 f x+k 2 gx = f x g x k1 = k 2 אז נוכל לכתוב את המשוואות הנ''ל: הדטרמיננטה המתאימה לזוגהמשוואות הנ''ל היא בדיוק.wf,gx הדטרמיננטה לא מתאפסת ולכן קיים פתרון יחיד. אז = 2 k, 1 = k סתירה. הערה: למשפט אין כיוון שני, כלומר ייתכן g wf, עבור שתי פונקציות גזירות יתאפס למרות שאינן תלויות לינארית. wf,g = fg f g = 2x 2 x x 2 x +x x = } {{ } 2x 2 x y +pxy +qxy = דוגמא: x x gx = x 2,fx = על. 1,1 אזי אבל f ו g בת''ל על 1,1. משפט 5.13 אם y 1,y 2 פתרונות של ואם p,q רציפות על,α,β אזי y 1 y, 2 הם בת''ל אם ורק אם 2 wy 1 y, אינם מתאפסים על.α,β 6 שיטות למציאת פתרון למשוואה הומוגנית 6.1 הורדת סדר נניח שעבור המשוואה = +qx y +pxy ידוע פתרון אחד x y. 1 נראה שניתן מכאן למצוא פתרון שני שהוא בת''ל ב x y. 1 נחפש פתרון מהצורה: y = vxy 1 x נשים לב ש: y = vy 1 +v y 1 y = vy 1 +2v y 1 +v y 1 נציב במשוואה ונקבל: v y 1 +py 1 +qy 1 } {{ } = +y 1 v + 2y 1 +py 1 v = y 1 v + 2y 1 +py 1 v = ולכן נשאר עם המשוואה:
¾¼ v + p+2 y 1 y 1 v = לכן בכל קטע ש 1 y: v x = c exp זו משוואה לינארי מסדר ראשון ל v שפתרונה: pt+2 y 1 t y 1 t dt = cµx } {{ } µx µx = 1 y 1 x 2exp ptdt אז מתקיים: vx = c µtdt+k כעת מכאן yx = y 1 xvx = cy 1 x µtdt+ky 1 x לכן מקבלים שני פתרונות: ˆx y = y 1 x µtdt, y = y 1 x היות ש x µtdt לא יכול להיות קבוע, נובע שאלה הם שני פתרונות בת''ל. דוגמא: > x y 1 = x 1.2x 2 y +3xy y =, פתרון. נציב vx :y = x 1 y = x 1 v x 2 v y = x 1 v 2x 2 v +2x 3 v 2x2 x 1 v 2x 2 v +2x 3 v +3x x 1 v x 2 v x 1 v = = 2xv + 4+3v + 4x 1 3x 1 x 1 v = 2xv v }{{} = ולכן קיבלנו: 2xv v = ע''י הפרדת משתנים: v v = 2x v x = cx 1 2 vx = 2c 3 x3 2 +K מכאן: y 2 x = x 1 vx = 2 3 cx1 2 +Kx 1 = 3 2,c אזי: ניקח =,K y 2 x = x 1 2 מהווה פתרון בת''ל ב y. 1
21 6.2 משוואות הומוגניות עם מקדמים קבועים L[y] = ay +by cy = ad 2 +bd +c y = עבור.b,c R, a R נחפש פתרונות צהצורה y = e rx כי עבור פונקציה זוגזירה כופלת בקבוע = L[e ex ] = ae rx +be rx +ce rx = e rx ar 2 +br+c ar 2 +br+c = r 1,2 = b± b 2 4ac 2a לכן e rx פתרון אם''ם זו משוואה ריבועית ב r שפתרונותיה: r 1,2 יכולים להיות ממשיים או מרוכבים. אנחנו בכל מקרה מחפשים פתרונות ממשיים. נבדיל בין שלושה מקרים:.1 אם > 4ac b 2 אז קיים,r 1 r 2,r 1,r 2 R במקרה כזה r1+r2x we r1x,e r2x = r 2 r 1 3 ולכן e r2x,e r1x נותנים שני פתרונות בת''ל, ולכן: c 1 e r1x +c 2 e r2x y = e rx r 2 +5r+6 = r+3r+2 = r 1,2 = 2, 3 y = c 1 e 2x +c 2 e 3x c 1 +c 2 = 2c 1 3c 2 = 1 c 1 = 1 c 2 = 1 y = e 2x e 3x מהווה פתרון כללי של הבעייה. דוגמא: = 1 y.y +5y +6y =, y =, פתרון כללי: קיום תנאי התחלה: ומכאן הפתרון היחיד לבעיית הערך ההתחלתי הוא: y. = e b נשתמש בהורדת סדר לקבלת פתרון 2a x אזי המשוואה הריבועית נותנת רק פתרון אחד,,r 1 = r 2 = b.2 אם = 4ac b2 אז 2a שני: y = e b 2a x y = v e b 2a x b 2a ve b [ ] y = a v ba v + b2 4a 2v +b v b 2a v v b a v + b2 4a 2 v +cv = av b 2 2a x e b 2a x,e b מקבלים: ע''י הצבה במשוואה וחלוקה הגורם משותף 2a x 4a c }{{} = y = c 1 e r1x +c 2 xe e1x, r 1 = b 2a v = v = vx = c 1 x+c 2 לכן קיבלנו את הפתרון הכללי:
¾¾.3 אם < 4ac b 2 אז.r 1 r 2,r 1,r 2 / R במקרה כזו מקבלים שני פתרונות מרוכבים מהצורה: e λ±iµx כאשר r1,2 = λ±iµ עבור.λ,µ R משפט 6.1 יהיו p ו q רציפות על α,β ונניח ש y = ux+ivx u,v ממשיות םצרון מרוכב של y +pxy +qxy = אזי u ו v הם פתרונות ממשיים של המשוואה. e λ±iµx = e λx e ±iµx e ±iµx = cosµx±isinµx y = c 1 e λx cosµx+c 2 e λx sinµx היות ו והיות ש מקבלים שהפתרון מהפשפט הכללי הוא: משפט 6.2 יהי y p פתרון של y +py +qy = g אזי כל פתרון כללי שלה היא מהצורה: yx = y p x+c 1 y 1 x+c 2 y 2 x y +py +q = עבור y 1 y, 2 שהם שני פתרונות בת''ל של המשוואה ההומוגנית המתאיה: דוגמא: y p = 2x 2 4x+ 7 2.y +4y +4y = 8x 2 +2 הוא פתרון מסויים. שני פתרונות בת''ל של ההומוגנית הם,.e 2x,xe 2x מכאן שהפתרון הכללי: y = c 1 e 2x +c 2 xe 2x +2x 2 4x+ 7 2 7 שיטות למציאת פתרון מסוים עובדה: אם במשוואה: y +py +qy = g gx היא מהצורה: gx = g 1 x+g 2 x+...+g m x ואם y p,1 x,y p,2 x,...,y p,m x הם פתרונות שך המשוואה: y +py +qy = g i x עבור i = m,...,1,2 בהתאמה, אזי: y p,1 x+y p,2 x+...+y p,m x הוא פתרון של המשוואה המקורית.
¾ y +4y = sinx y +4y = x y +4y = 1 1 4 דוגמא:.y +4y = 1+x+sinx נסתכל במשוואות: קל לראות ש: 1 הים פתרונות של המשוואות הנ''ל בהתאמה. ולכן: 4 x 1 3 sinx y p x = 1 4 + 1 4 x+ 1 3 sinx ay +by +cy = gx 7.1 שיטת הקבועות החופשיים עבור משוואה עם מקדמים קבועים מהצורה: שבה gx מורכבת מסכום של איברים שכל אחד הוא מכפלה של אקספוננטים,פולינומים, סינוסים או קוסינוסים, דהיינו gx היא סכום של איברים שכל אחד הוא מהצורה: { gx = e αx a n x n +a n 1 x n 1 cosβx +...+a sinβx ניתן למצוא פתרון שהוא סכום של איברים ''דומים'' ל gx. צריך רק ''לתאם'' את הקבועים המופיעים בפתרון. דוגמא:.y 3y 4y = 3e 2x ננסה,y p x = Ae 2x עבור A שהוא קבוע שיש למצוא: y p = 2Ae2x y p = 4Ae2x 3e2x = y 3y 4y = 4Ae 2x 6Ae 2x 4Ae 2x 6Ae 2x = 3e 2x A = 1 2 דוגמא: y. 3y 4y = 2sinx ננסה y, p = Asinx זה לא יעבוד לנו כי בנגזרת הראשונה יהיה לנו קוסינוס ולא נוכל להתקדם משם: y p 3y p 4y p = Asinx eacos 4Asinx = 5Asinx 3Acosx y p = Acosx Bsinx y p = Asinx Bcosx 2sinx = y p 3y p 4y p = 3A+3Bsinx+ 3A 5Bcosx 3A+3B = 2 3A 5B = A = 5 17 B = 3 17 אז ננסה :y p = Asinx+Bcosx אז כדי שהדבר יתקיים נדרוש ש: אז נקבל y p = 5 17 sinx+ 3 17cosx הוא פתרון. דוגמא:.y 3y 4y = 4x 2 משהו כמו Ax 2 לא יעבוד. יש לחשוב על 4x 2 כפולינום ממעלה שנייה, +x+ 4x 2 ולכסות: y p x = Ax 2 +Bx+C אז מקבלים 3 משוואות למקדמים של 1,x,x 2 וניתן לפתור: 2A 32Ax+B 4Ax 2 4Bx 4C = 4Ax 2 + 6A 4Bx+2A 3B 4C = 4x 2 y p x = x 2 + 3 13 x 2 8 A = 1 B = 3 2 C = 13 8 אז נקבך : ניתן לסכם ניחושים שמובטח שיעבדו בטבלה: gx y p x p n x = a n x n +...+a x s A n x n +...+A P n xe { αx x s A n x n +...+A e αx p n xe αx sinβx cosβx x s [A n x n +...+A e αx cosβx+b n x n +...+B e αx sinβx] כאשר s הוא,1 או 2 והוא הקטן מביניהם שיבטיח ששום איבר של x y p איננו פתרון של המשוואה ההומוגנית.
¾ 7.2 וריאציה של פרמטרים È Ö Ñ Ø Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó נתון y x+pxy +qx = gx יהיו y 1 y, 2 שהם פתרונות בת''ל של המשוואה ההומוגנית. נחפש: y p x = u 1 xy 1 x+u 2 xy 1 x נגזור את y: p y p = u 1y 1 +u 2y 2 + u 1 y 1 +u 2 y 2 }{{} = ÙÑÔØ ÓÒµ y p = u 1y 1 +u 2y 2 y p = u 1 y 1 +u 2 y 2 +u 1y 1 +u 2y 2 u 1 y 1 +py 1 +qy 1 } {{ } = +u 2 y 2 +py 2 +qy 2 +u 1y 1 +u 2y 2 = g u 1y 1 +u 2y 2 = g }{{} = אם נציב במשוואה: u 1 u 2 y1 y 2 = y 1 y 2 1 g y1 y 2 y 1 y 2 u 1 u 2 = g לכן קיבלנו מערכת של שתי משוואות עבור u: u,1 2 { u 1 y 1 +y 2 y 2 = u 1y 1 +u 2y 2 = g ואת הפתרון הנ''ל ניתן גם לכתוב כ: u 1 = y 2g wy 1,y 2, u 2 = y 1 g wy 1,y 2 את זה ניתן לסכם במשפט. משפט 7.1 אם p,q ו g רציפות בקטע α,β ואם y 1 y, 2 הם שני פתרונות בת''ל של המשוואה ההומוגנית המתאימה למשוואה: y p x = y 1 x y +pxy qxy = gx ˆx y 2 tgt wy 1,y 2 t dt+y y 1 tgt 2x wy 1,y 2 t dt אזי פתרון מסויים של משוואה זו בקטע α,β נתון ע''י: שניתן לכתוב אותו באופן הבא: y p x = y1 ty 2 x y 1 xy 2 t y 1 ty 2 t y 1 ty gtdt 2t השיטה המומלצת לשימוש היא פשוט לזכור מה עשינו: 1. הצבת: y p = u 1 y 1 +u 2 y 2 2. דרישת: u 1y 1 +u 2y 2 =
¾. y 2y +y = ex לשים לב שלא ניתן לפתור משוואה זאת באמצעות קבועים חפשיים. פה:.y 2 x = xe x,y 1 x = e x נרצה למצוא דוגמא: 1+x 2 פתרון מהצורה: y p = u 1 e x +u 2 xe x אז u 1y 1 +u 2y 2 = y p = u 1e x +u 2 x+1e x y p = u 1e x +u 2 x+2e x +u 2 ex נציב במשוואה ונקבל: u 1 e x +u 2 x+2e x +u 2e x 2u 1 e x 2u 2 x+1e x +u 1 e x +u 2 xe x = ex 1+x 2 u 2 ex = ex 1+x 2, u 1 ex = ex x 1+x 2 u 2 = 1 1+x 2, u 1 = x 1+x 2 u 2 = arctanx, u 1 = 1 2 ln 1+x 2 y p x = 1 2 ex ln 1+x 2 +xe x arctanx ומכאן יוצא שקיבלנו את הפתרון המסויים: a n x x n 8 פתירת מד''ר מסדר שני בעזרת טורי חזקות 8.1 חזרה לטורי חזקות טור חזקה הוא טור מהצורה: עבור.a n,x,x R יש רדיוס התכנסות [, ] כך שהטור מתכנס בהחלט עבור +R x x R,x ומתבדר מחוץ לקטע +R] [x R,x. עבור } b. x x < min{r a,r d a n x x n = dx. a n x x n +.R =, n!x n.1.r =, x n n!.2. R = 1, β R, n β x n.3.c a n x x n = n x x a n b n x x n = דוגמאות: לינאריות טורי חזקות: ca n x x n b n x x n = a n +b n x x n n na n x x n 1 = n+1a n+1 x x n a n b n k x x n k= גזירה איבר איבר: עבור : x x < R אם נחשוב על הטור כפונקציה fx = a n x x n פונקציה על +R.x R,x אזי f גזירה אינסוף פעמים: a n = fn x n!
¾ fx = f n x n! x x n Ì ÝÐÓÖ Ë Ö Ó f ולכן אם ל f קיים פתרון בטור חזקות סביב x, אזי: פונקציה f : R R שיש לה פיתוח בטור חזקות בעל רדיוס התכנסות חיובי סביב x, קוראיםפונקצייה אנליטית ב x. בשביל ש f תהיה אנליטית ב x נדרוש: fx = f n x n! x x n גזירה אינסוף פעמים ב x. f 1. 2. שיתקיים השוויון בקטע פתוח לא ריק סביב.x למשל e x אנליטית בכל,x R ו e x2 איננו אנליטית ב =.x טענה 8.1 אם f,g אנליטיות ב x אזי גם cf,f +g,f.g אנליטית ב.x ואם gx אזי גם f g אנליטית ב.x טענה 8.2 אם f אנליטית ב x ולטור החזקות יש רדיוס התכנסות R, אזי f גם אנליטית בכל נקודה ב R + x. R,x 8.2 פתרון למשוואות לינאריות מסדר שני בעזרת טורי חזקות Pxy +Qxy +Rxy = נעסוק במשוואות מהצורה: בדרך כלל נתעניין במקרים שבהם,P,Q,R פולינומים ללא גורמים משותפים. נקודה x שבה Px נקראת נקודה רגילה של המשוואה. נקודה x שבה = Px נקראת נקודה סינגולרית שלהמשוואה. בכל מקרה מניחים ש P,Q,R רציפים ונתעניין בעיקר במקרה שהן אנליטיות. n=2 דוגמא: = +y y עבור < x.px = 1,Qx =,Rx = 1, < נחפש y = a n x n y = na n x n 1 = n+1a n+1 x n n=1 y = nn 1a n x n 2 = = y +y = [n+2n+1a n+2 +a n ]x n n+2n+1a n+2 x n n+2n+1a n+2 +a n = כך ש: לכן קיבלנו יחס רקורסיה: וזאת עבור...,,1,2,3 = n. נוכל להבהיר אגפים ולקבל: n+2n+1a n+2 +a n = n+2n+1a n+2 = a n a n+2 = n+2n+1 קשר כזה שקובע את כל המקדמים בהינתן מספר סופי נתון שלהם נקרה יחס רקורסיה. a קובע את.., 6 a 2 a, 4 a, ו a 1 קובע את,... 7.a 3,a 5,a אז: a 2 = a a 4 = a2 a 2n = 1 2 1 = a 4 3 = a n+1 a 2! a 3 = a1 4! a 5 = a1 3 2 = a1 3! 5 4 = a1 5! 2n! a 2n+1 = 1 n a1 2n+1! 1 n 1 n y = a 2n! x2n +a 1 2n+1! x2n+1 = a cosx+a 1 sinx }{{}}{{} cosx sinx a n והטור מקבל את הצורה:
8.2.1 משוואה ÖÝ משוואה ÖÝ היא מהצורה y = xy עבור < x.rx = x,qx =,Px = 1, < כל נקודה רגילה. ניקח שוב =.x נחפש y = a n x n y = n=1 na nx n 1 = n+1a n+1x n y = n=2 nn 1a nx n 2 = אז מקבלים: n+2n+1a n+2x n אז: n+2n+1a n+2 x n = x a n x n = a n x n+1 n+2n+1a n+2 = a n 1 ולכל > n מקבלים ולכן a קובע את,... 9 a 1,a 3,a 6,a קובע את,... 1 a 4,a 7,a ו a 2 קובע את,... 11.a 5,a 8,a שהיות ו = 2,a מתקיים =... = 11.a 5 = a 8 = a קל לראות שמקבלים: [ ] x y = a [1+ ]+a 3n x 3n+1 1 x+ 3n 3n 1 3n 3...3 2 3n+1 3n 3n 2 3n 3...4 3 n=1 n=1 { y 1 = 1, y 1 = y 2 =, y 2 = 1 Pxy +Qxy +Rxy = וזה מהצורה:.y = a y 1 +a 1 y 2 כאשר:.'' ÖÝ הנ''ל נקראות ''פונקציות ו y 2 y 1 8.2.2 פתרון כללי בעזרת טורי חזקות למד''ר לינארי מסדר שני יהי מד''ר מסדר שני מהצורה: כאשר P,Q,R פונקציות אנליטיות. כאשר Px ניתן לחלק את המשוואה ב Px ולקבל משוואה מהצורה: y +pxy +qxy = כאשר p = Q P ו q = R P אנלטיות בנקודה. x נסמן את רדיוס התכנסות של p ו q ב ρ p ו.ρ q yx = Pxy +Qxy +Rx = a n x x n = ay 1 +by 2 משפט 8.3 אם x נקודה רגולרית של משוואה אזי הפתרון הכללי של המשוואה הוא מהצורה: כאשר y 1,y 2 בת''ל.
28 8.3 פתרון בעזרת טורי חזקות סביב נקודות סינגולריות במקרים רבים נתקלים במד''ר שאינן רגולריים בכל נקודה x. R נתעניין במיוחד בפתרון סביב נקדוות הסינגולריות. תזכורת: נקודה סינגולרית של המד''ר: Pxy +Qxy +Rx = הוא x המקיים =.Px נסמן fx,y,y y. = ליד נקודות סינגולריות, הפונקציה f איננה ליפשיצית ב y,y ולכן לא ניתן להשתמש במשפט קיום ויחידות..x = אנליטית ב y 1 x הם פתרונות של המשוואה. רק y 2 x = 1 x,y 1x = ניתן לראות ש x 2.x =,x 2 y 2y =.1 =.2 +2y.x =,x 2 y 2xy ניתן לראות ש y 1 = x ו y 2 x = x 2 הם פתרונות. אבל נשים לב ש = 2.y 1 = y ולכן אים פתרון עבור תנאי התחלה y. Pxy +Qxy +Rxy = lim x x Qx x x Px, lim x x 2 Rx x x Px דוגמאות: הגדרה 8.4 הנקודה x תקרא נקודה סינגולרית רגילה אם:.Px = היא נקודה סינגולרית. x.1 אנליטיות ב.x x x 2 Rx Px, x x Qx Px 2. הפונקציה נקודה סינגולרית שאיננה רגילה תקרא נקודה סינגולרית לר רגילה. הערה: תנאי שקול לכך ש x סינגולרית רגילה הוא קיום הגבולות α, 1, 1 x 2 y 2xy +αα+1y = דוגמא: משוואה Ä Ò Ö נקודות הסינגולריות של המשוואה הוא = ±1.x נבדוק עבור = 1.x 2x limx 1 x 1 1 x 2 lim x 12x x 11 x1+x = 1 x 1 2 αα+1 lim = x 1 1+x1 x ולכן = 1 x הוא נקודה סינגולרית רגילה. 8.3.1 משוואת אויילר דוגמא מרכזית משוואת אוילר L[y] = x 2 y +αxy +βy = = x היא נקודה סינגולרית רגילה. נצטמצם ל > x. ננחש פתרון מהצורה.yx = x r אז: y x = rx r 1 y x = rr 1x r 2 x2 rr 1x r 2 +αx rx r 1 +βx r = x r rr 1+αr +β = x r r 2 +α 1r +β = yx=e r אז נסמן.Fr = r 2 +α 1r +β x r Fr
מסקנה yx = x r 8.5 פתרון =.Fr r 1,2 = α 1± α 1 2 4β 2 הפתרונות הם: מקרה :1 אם > 4β α 1 אז 2 יש שני פתרונות,.x r1,x r2 כדי לראות שהפתרנות הנ''ל הם בת''ל צריך להראות ש r2.wx r1,x דוגמא: = 2y.r 1,2 = 2, 1,Fr = r 2 r 2 = r 2r+1,x 2 y אז x 1,x 2 הם פתרונות. α 1 r 1 = אז y 1 x = x r2 תהיה פתרון. ניתן למצוא פתרון שני בעזרת הורדת סדר. 2 מקרה :2 מקרה מנוון = 4β,α 1 2 במקרה זה נשים לב: L[x r ] = x r Fr = x r x r 1 2 נגזור אז ] r L[x לפי :r [ ] d d dr L[xr ] = L dr xr = L[lnx x r ] = d x r r r 2 1 = lnx x r r r 1 2 +x r 2r r 1 dr L[x r1 lnx] = lnxr r1 +x r = y 2 xx r1 lnx ÓÐÙØ ÓÒ אם נציב r = r 1 נקבל: מקרה < 3: 4β 1 α, 2 כלומר יש שני שורשים מרוכבים. r 1,2 = λ±iµ נשים לב ש: x r = e lnxr = e rlnx x λ±iµ = e λ±iµlnx x λ±iµ = e λlnx e ±iµlnx x λ±iµ = e λlnx cosµlnx±isinµlnx Pxy +Qxy +Rxy = x 2 y +x[xpx]y + [ x 2 qx ] y = x 2 y +x [ p +p 1 x+p 2 x 2 +... ] y + [ q +q 1 x+q 2 x 2 +... ] y = x 2 y +p xy +q y = Rx.qx = אז: Px מקרה כללי: לצורך הנוחות נחלק את ב Px ונכפול ב x 2 ונקבל:,px = Qx כאשר Px ולכן אם = n p n = q עבור 1 n נקבל את משוואת אוילר: ההתנהגות של הפתרונות ליד = x תקבע ע''פ השורשים של הפולינום: Fr = r 2 +p 1r+q ננחש פתרון של משוואה אוילר r x כפול טור חזקות: yx = x r a n x n = a n x n+r y x = n+rx n+r 1 a n y x = a n n+rn+r 1x n+r 2 x 2 qx = q n x n xpx = p n x n נחשב נגזרות: נשים לב ש:
3 תזכורת: מכפלה טורי חזקות: b n x n c n x n = d n x n כאשר, n d n = b i c n i i= x 2 y x = a n n+rn+r 1x n+r j x[xpx]y = p n x n a n n+rx n+r = j +r ka j k p k x j+r j= k= [ x 2 qx ] j yx = q n x n a n x n+r = a k a j k x j+r j= k= נציב את אלו כעת במשוואה: j +rj +r 1a j x j+r + j= j= k= j j k +ra j k p k x j+r + j= k= j a k a j k x j+r = נשווה מקדמים. נדרוש התאפסות המקדמים של כל חזקה. חזקת r: rr 1a +ra p +q a = a r 2 r+rp +q = a Fr = Fr = r 2 +p 1r+q n 1 Fr +ha n + a k r+kp n k +q n k = k= כאשר מקדם כללי.n+r ניתן לראות באינדוקציה המקדם של x n+r יהיה: השורשים r 1,r 2 של המשוואה =,Fr נקראים. ÜÔÓÒ ÒØ Ó Ë Ò ÙÐ Ö ØÝ מיחס הנסיגה ניתן לראות ש r a n = a n תלוי במשתנה.r מקרה ראשון: נניח שיש 2 פתרונות r 1.r 1 > r 2 הוא השורש הגדול ביותר של F ולכן +n Fr n לכל > n ולכן יחס הנסיגה מגדיר היטב את המקדמים 1 a, n r וקיבלנו פתרון: ] y 1 x = x [1+ r1 a n r 1 x n n=1 נקבע = 1.a אם +n Fr 2 נקבל פתרון נוסף: ] y 2 x = x [1+ r2 a n r 2 x n n=1 מקרה שני: מקרה נוסף ופשוט יחסית r 1 r, 2 מרוכבים כלומר חלק דימיוני. במקרה זה נקבל n+ Fr 1,2 עבור > n ולכן המשוואת הנסיגה מוגדרת היטב ונקבל פתרונות: [ ] y 1,2 x = x r cosµlnx±isinµlnx 1+ a n r 1,2 x n n=1 ולוקחים את חלק ממשי ומדומה בתור פתרונות. לא נתייחס למקרה של שורשים מרוכבים
31 y 1 x = x r 1+ n=1 L[yR,x] = a Frx r = a r r 1 2 x r p 1, נקבל פתרון: 2 מקרה שלישי: שורש כפול, = r 1 = r 2 a n rx n טריק:,yr,x = x r a n rx n טענה: ללא הוכחה לכל a n r n, כזירה במשתנה r. r a n נקבע ע''י יחס הנסיגה נגזור את שני האגפים לפי r r L[yr,x] = L r yr,x = a 2r r 1 x r +a r r 1 2 x r lnx [ ] L r r=r 1 yr,x = y 2 x = y 1 xlnx+x r+1 [1+ ] a r r 1x n n=1 נציב r = r 1 ונקבל: אז פתרון נוסף יהיה: משפט לסיכום: נניח ש = x נקודה סינגולרית רגילה של המשוואה: x 2 y +x[xpx]y +x 2 qxy = כלומר xpx = p n x n,x 2 qx = q m x n טוקי חזקות מתכנסים עבור. x < ρ ויהיו r 1,r 2 שורשי הפולינום Fr = r 2 +p 1r+q כך ש r 1 r 2 אם r 1,r 2 R אזי בכל אחד מהקטעים,ρ ו ρ, קיים פתרון מהצורה: ] y 1 x = x [1+ r1 a n r 1 x n n=1 מקרה רביעי: אם {} N r 1 r 2 / אזי קיים פתרון נוסף: ] y 2 x = x [1+ r2 a n r 2 x n n=1 אם r 1 = r 2 אזי: ] y 2 x = y 1 xln x + x [1+ r2 c n r 2 x n n=1 אם r 1 r 2 N אזי: ] y 2 x = ay 1 xln x + x [1+ r2 b r r 2 x n n=1 כאשר n b נקבעת ע''י הצבה במשוואה x 2 y +x[xpx]y +x 2 qxy = וייתכן ש = a.
¾ חלק ÁÎ משוואות מסדר n F y n x = F x,y,y,...,y n = x,y,y,...,y n 1 משוואה כללית מסדר n היא מהצורה: מקרה יותר פשוט: P xy n +P 1 xy n 1 +...+P n y = Gx אנחנו נתעניין במקרה הלינארי: כאשר P i : α,β R רציפות. כלומר כאשר F לינארי במשתנים n.y,...,y נניח ש x P לכל α,β.x אז נוכל לחלק את הביטוי ב x P ונתעניין במשוואה: L[y] = y n +p 1 xy n 1 +...+p n xy = gx Pix p i x = לכל i n.1 כדי לקבוע פתרון יחיד יהיה להו n תנאי התחלה: כאשר x P y i x = y i R, i n 1 משפט 8.6 אם הפונקציות p 1,...,p n רציפות אזי קיים פתרון יחיד למשוואה gx y n + p 1 xy n 1 +... + p n xy = יחד עם תנאי התחלה.α,β על הקטע מוגדר ו y,y i x = y i R, i n 1 טענה 8.7 כל פתרון של המשוואה gx y n +p 1 xy n 1 +,,,+p n xy = היא מהצורה: y = ỹ +{ËÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÓÑÓ ÒÓÙ ÕÙ Ø ÓÒ} כאשר ỹ היא פתרון כלשהי של המשוואה הלא הומוגני. טענה 8.8 יהי.L[y] = y n +p 1 xy n 1 +,,,+p n xy אז.dimKerL = n נניח ש KerL.y 1,y 2,...,y n אם } n {y 1,...,y בסיס ל KerL אם ורק אם כל פתרון הומוגני הוא מהצורה c i R n y = c i y i, c i R i=1 9 מערכת משוואות,...,yn 1. y,y נתון תנאי התחלה,...,yn 1 c 1 y 1 x +c 2 y 2 x +...+c n y n x = y c 1 y 1 x +c 2 y 2 x +...+c n y n x = y c 1 y n 1 1 x +c 2 y n 1 2 x +c n y n n 1 x = y n 1 נוכל לכתוב את מערכת משוואות באופן הבא: y 1 x y 2 x y n x c 1 y y 1 x y 2 x y n x c 2 = y y n 1 1 x y n 1 2 x y n n 1 x }{{} A c n y n 1 wy 1,...,y n x = deta מסקנה: } n y} 1 y,..., בסיס ל KerL אם ורק אם ובמקרה זה האוסף } n y} 1 y, 2 y,..., יקרא מערכת יסודית של פתרונות. ניתן להשתמש בשיטת הורדת סדר גם במקרה זה. בהינתן פתרון yx ל =.L[y] ניתן לחפש פתרון vxyx y 1 x = והפונקציה v תהיה פתרון של מד''ר לינארי מסדר 1 n.
9.1 ווריציא של פרמטרים מניחים שידועים לנו n פתרונות הומוגנים בת''ל y. 1 y,..., n המטרה היא למצוא פתרון פרטי. נחפש פתרון מהצורה y p x = u 1 xy 1 x+...+u n xy n x u 1 ym 1 +...+u n ym n = נדרוש הפעם: m u 1y לכל n 2 m, נקבל: 1 +...+u ny n לכל n 2 m. ע''י הצבה של y p במשוואה ושימוש ב = m u ny n 1 n +...+u ny n 1 n y 1 x y 2 x y n x y 1 x y 2 x y n x y n 1 1 x y n 1 2 x y n n 1 = g } {{ x } A u 1 u 2 u n = g בתיב מטריציונית: תזכורת: יהי R. A GL n n אז: A 1 = AdjA deta כאשר AdjA i,j = 1 i+j M j,i כאשר M j,i דורמיננטה של המינור ה j,i. אז נקבל: u m = gxw mx wy!,...,y n כאשר w m x = 1 m+n detm n,m כאשר M n,m הוא המינור m,n של A. אז: y p x = n m=1 ˆx gtw m t y m x wy 1,...,y n t dt 1 מערכות של מד''ר n 1,y n = F t,y,..,y נגדיר x 1 t = yt x 2 t = y t x n t = y n 1 t מתקיים x 1 t = x 2t x 2 = x 3t x n t = y n 1 t = y n t = Ft,x 1 t,...,x n t
. F = F 1 F 2 F n קיבלנו מערכת של משוואות הדיפרנציאליות השקול למשוואה מסדר n שהתחלנו איתה. x 1 = F 1t,x 1 t,...,x n t x n = F nt,x 1,...,x n צורה יותר כללית: מערכת מהצורה: ניתן לרשום את המערכת בצורה וקטורית t F : R n+1 R n, xt = x 1 t,...,x n כאשר d dt xt = F t, xt עם תנאי התחלה xt = x R n. פריקוש גיאמטרית:.R n הור עקומה ב xt. x הוא המהירות של d dt xt גודל המהירות הוא. d x dt. d x dt t d x dt כיוון המהירות הוא משפט 1.1 משפט קיום ויחידות יהי b} D = {t, x R R n t t a, x x תיבה + 1 n מימדי, ו f : D R n פונקציה רציפה וליפשיצית במ''ש ב t במשתנה x, כלומר: Ft, x 1 Ft, x 2 K x 1 x 2 d x קיים פתרון יחיד ב h + t h,t כאשר hכאשר = min { a, M} b dt לכל x 1, x 2 ו R.t אזי למשוואה = F t, xt, xt = x.m = max Ft, x D x n+1 x n = ˆt t הערה: אם = b אז h = a ואם = a אז הפתרון מוגדר לכל.t הוכחה: סקיצה להוכחת משפט קיום ויחידות נגדיר את איטרציות פיקארד: x, t = x ˆt x k+1 t = x + t Fz, x k zdz לאורך כל ההוכחה הכל עובד בדיוק אותו דבר פרט להבדל שמחפיםים ב. האי שוויון ˆt ˆt Fz, xk zdz Fz, x k zdz M t t t t Fz,xn z ˆt Fz,x n 1 zdz Fz,xn z ˆt Fz,x n 1 z dz K x n+1 z x n z dz t t וגם: וכן הלאה. מראים בדרך זו ש x k סדרת קושי. כלומר הסדרה t sup x n t x m היא קושי. משפט זה מוכיח רטראוקטיבית את כל משפטי E קיון ויחידות שנוסחו בקורס למעת טורי חזקות.
x 1 = F 1 t,x 1,...,x n x 2 = F 2 t,x 1,...,x n x n = F n = t,x 1,...,x n 11 מערכת משוואות של מד''ר לינאריות יהי מערכת משוואות של מד''ר מסדר n: F = F 1 F 2 F n x = x 1 x 2 x n נסמן: ונכתוב את המערכת באופן הבא: x = F t, x אם F 1 F, 2 F,..., n פונקציות לינאריות של x 1 x, 2 x,..., n אזי המערכת היא לינארית אחרת היא נקראת לא לינראית. מערכת לינארי ניתן תמיד לכתוב באופן הבא: x 1 = P 1,1tx 1 +...+P 1,n tx n +g 1 t x 2 = P 2,1tx 1 +...+P 2,n tx n +g 2 t x n = P n,1tx 1 +...+P n,n tx n +g 1 t x = ˆP x+ g אז נוכל לכתוב בצורה: x = x 1 x 2 x n gt = g 1 t g 2 t g n t ˆP = P 1,1 P 1,2 P 1,n P 2,1 P 2,2 P 2,n P n,1 P n,2 P n,n כאשר הערה: נשים לב שלמערכת לינאריות יש צורה של מד''ר לינארי מסדר ראשון: x = ˆP x+ g x ˆP x = g משפט 11.1 משפטקיוםויחידותאם gו 1,..,g n Pרציפותבקטעפתוח α,β המכילאת 1,1,...,P n,n t,אזיקייםפתרוןיחיד t x 1 t,x 2 t,...,x n של המערכת המקיים את תנאי התחלה: x 1 t = x 1 x 2 t = x 2 x n t = x n xt = c 1 x 1 t+...+c n x n t.α,β והוא תקף ברטע, x 1,x 2,..,x n עבטר וקטור מספרים כלשהו 11.1 פתרון כללי של מערכת לינארית פתרון כללי של מערכת לינארי כנ''ל היא מהצורה: כאשר x 1,..., x n פתרונות בת''ל לינארי
x 1 t = x 1,1 t x 2,1 t x n,1 t x 2 t = x 1,2 t x 2,2 t x n,2 t x n t = x 1,1 t x 1,2 t x 1,n t x 2,1 t x 2,2 t x 2,n t ˆXt = x n,1 t x n,2 t x n,n t x 1,n t x 2,n t x n,n t 11.1.1 ורונסקיאן יהי נכתוב אותם במטריצה: w x 1 t,..., x n t = det ˆXt אז נגדיר את הורונסקיאן של t x 1,...,t x n להיות: משפט w 11.2 מתאפס אם ורק אם x 1,..., x n תלויים לינארית. הערה: מערכת לינארי כנ''ל נקראת הומוגני אם =. gt 11.2 מערכת משוואות הומוגנית עם מקדמים קבועים נתעסק כעת במשוואות מהצורה x = ˆP x כאשר Pˆ היא מטריצה קבועה לא תלויה ב t, דהיינו מטרצת מספרים. במקרה כזה הפתרון הוא מהצורה: xt = eˆpt x eâ =  n n! הגדרה 11.3 לכל מטריצה  ב C M n מגדירים: כאשר ההתכנסות הטור הוא בנורמה: ˆB = sup ˆB x x =1 sup x =1  = sup  x x =1  x sup ˆB x x =1 n כאשר 2 i x = x הנורמה האוקלידי. נשים לב ש:  ˆB Ân  n i=1 m+l  n n! m  n n! = m+l n=m+1 eâ =  n n!  n n! m+k n=m+1  n n! n=m+1 נשים לב ש: מוגדרת היטב כי לכל  מטריצה מתקיים:  n! n לכן הטור הנ''ל מתכנס.
טענה 11.4 נניח ש C Ât = R M n ושגזירה במובן ש: 1 lim Ât+δ Ât δ δ קיים בנורמה האופרטור. אזי לכל x, Cn הפונקציה Ât x גזירה כפונקציה ב R ל C n ומתקיים: Ât x =  t x 1 Ât+δ Ât δ x  t x = 1 Ât+δ δ Ât Ât x 1 Ât+δ Ât δ  t x δ הוכחה: d 1 eˆpt = lim dt δ δ 1 t+δ n t n = lim ˆP n δ δ n! = n=1 eˆpt+δ 1 eˆpt = lim δ δ 1 n! ntn 1 ˆPn = = n=1 lim δ t+δ n ˆP n n! t+δ n t n ˆP n = δn! t n 1 n 1! ˆP ˆP n 1 = ˆP t n n! ˆP n = ˆPeˆPt d dt הוכחה: t n n! ˆP n = 1 n! tn ˆPn = eˆpt מסקנה ˆPe ˆPt 11.5 = כעת נרצה להצדיק את, כלומר שיכולים להחליף את סדר הגבולות. t+δ n t n ˆP n t n ˆP n N 1 t+δ n t n t n ˆP n 1 t+δ n t n + t n ˆP n δn! n! n! δ n! δ n=n+1 }{{}}{{}}{{} ברור שהאיבר שואף ל כאשר δ, וזאת לכל N. היות ו 1 < δ מתקיים: 1 δ t+δn t n = n n δ k k 1 t n k 2 n max1, t n k=1 וכן n 1 t n n t, ברור שיש > ct שעבור < 1 δ מתקיים לכל :n t+δ n t n t n < ct n δ N+1 ct n P ˆ n n! מכאן ש חסום ע''י: שהוא זנב של טור מתכנס ולכן שואף ל כאשר N. לכן ע''י לקיחת N מספיק גדול ניתן לדאוג לכך שהאיבר יהיה קטן מ ǫ. לכל > ǫ ולכן נובע ש: t+δ n t n ˆP n t n ˆP n δn! n! כאשר.δ
38 eˆpt x = ˆPeˆPt x אז מכאן נובע: כלומר מתקיים: x t = ˆP xt עבור e ˆPt y = lim N xt = eˆpt x עובדה מרכזית: אם y ו''ע של Pˆ עם ע''ע λ, אזי y גם ו''ע של eˆpt עם ע''ע e. λt N t n N ˆPn t n N ˆPn t n λ n y lim y = lim y = e λt y n! N n! N n! לכן אם Pˆ ניתנת לליכסון כך שיש לה n ו''ע ב''ת לינארית y 1, y 2,..., y n בעל ע''ע λ 1 λ,..., n אזי הפתרון הכללי הוא מהצורה: x1 = x 2 xt = n c k e λkt y k k=1 אם מס' הו''ע של Pˆ קטן מ n, עדיין קימת שיטה המבוססת על צורת ג'ורדן לקבלת פתרון כללי. x 2 bx 2 c 1x 1 a 1 = c a דוגמא: = +cy.ay +by נגדיר,x 2 = y = x 1,x 1 = y אזי: b a xt =exp. לקבלת פתרונות מפורשים נלכסן את המטריצה: λ 1 det c a λ+ b a x1 x 2 1 t c a b a = λ λ+ b + c a a = λ2 +λ b a + c a ניתן כמובן לומר פה ש x λ. 1,2 = ±b b 2 4ac וזה משחזר את הפתרון המקורי, שקיבלנו מקודם. 2a כלומר
חלק Î בעיות תנאי שפה נסתכל במשוואה: y = y על [,2π]. עבור = y2π y = נובע ש csinx עבור c R הוא פתרון כללי. עבור תנאי מצורה קצת שונה, y2π y = בלי דרישה נוספת, נובע ש: c 1 sinx+c 2 cosx פתרון כללי. כל הפתרונות של המשוואה מקיימים תנאי זה. עבור = y,,y2π = 1 אין פתרון. וכן אין פתרון ל y y2π = c אם 1.c עבור = 1,y y2π = 1 הפתרון הכללי הוא.cosx+c sinx נסתכל על בעייה תלוייה בפרמטר: y = λy, y = y2π = נשאל: עבור איזה ערכים של λ יש פתרונות ומהו אופיים. הפתרון הכללי ל > λ, הוא c 1 cos λx +c 2 sin λx אם = y אז = 1.c אם: y2π = sin λ2π = λ2π = nπ 2 n 2, λ = n λ = n = 1,2,3,... 2 c 1 e λx +c 2 e λx עבור < λ הפתרון הכללי של המשוואה הוא מהצורה: { n } sin 2 x n=1 וקל לראות שאלו פתרונות המקיימים את תנאי שפה. לכן קיבלנו בסיכום את אוסף הפתרונות הפונקציות: sin n 2 x,sinm 2 x = 2.λ n = n לבעייה יש את הצורה: 2 c sin פותר את בעיית תנאי השפה עבור n כאשר x 2 L[y] = λy, L[y] = y ˆ2π n m sin 2 x sin 2 x dx = δ n,m π אם נסתכל על: 1 π היא משפחה אורתונורמלית בממ''פ של הפונקציות הממשיות הרציפות על [2π,] עם: אז sin n 2 x n=1 ˆ2π f,g = f = N f n=1 n=1 ˆ2π f gdx n f n sin 2 x n 2 f n sin 2 x dx N f n = sin n 2 x,f כמן כן מדובר בבסיס אורתונורמלי, דהיינו: לכל פונקציה במרחב הנ''ל במובן ש: כאשר
¼ בעיה אחרת: y = λy עם תנאי השפה: y2π.y = y 2π,y = הפתרון הכללי: c 1 cos λx +c 2 sin λx λ2π = 2nπ λ = n Z λ = n 2 ל λ. פתרון כזה מקיים את תנאי השפה אם''ם: ואז יש שני פתרונות בת''ל,,sinnx cosnx המקיימים את תנאי השפה עבור...,1,2,3 = n. המקרה = λ מיוחד ואז יש פתרון יחיד המקיים את תנאי השפה: yx = const = c cos 2 n ואוסף הפונקציות העצמיות: לכן קיבלנו אוסף הערכים העצמיים {1} {cosnx} n=1 {sinnx} n=1 כאשר לכל 1 n לערך העצמי n 2 מתאימות שתי פונקציות עצמיות בת''ל:,sinnx.cosnx אוסף הפונקציות העצמיים גם הוא בסיס אורתוגונלי למרחב הפונקציות הרציפות על [2π,] עם מ''פ: f,g = ˆ2π f gdx פיתוחים בבסיס אורתונורמלי המתאים נקראים ''טור פורייה''. 12 בעיות שטורים ליאוביל ËØÙÖÑ¹Ä ÓÚ ÐÐ 1. p פונקצייה ממשית רציפה. 2. q פונקצייה חיובי ממש רציפה. 3. r פונקצייה חיובי ממש גזירה ברציפות. כל זאת על קטע סגור.[a,b] R בעיית שטורים ליאוביל על [a,b] היא בעיית תנאי שפה הכוללת את המשוואה: [ rxy ] +[px+λgx]y = b 1 yb b 2 y b =, a 1 ya a 2 y a = יהיו : יחד עם תנאי השפה: כאשר a 1,a 2,b 1,b 2 R ו, 2.b 1,b 2,,a 1,a ערכי λ שעבורם יש פתרון לבעייה נקראים ערכים עצמיים שלה והפתרונות המתאימים שבגלל הלינאריות נקבעים עד כדי כפל בקבועה נקראים פונקציות עצמיות שלה. דוגמאות לתנאי שפה מהסוג המתאים: Ö Ð Ø שפה תנאי.ya = yb =.1 Æ ÙÑ ÒÒ שפה תנאי.y a = y b =.2.ya = y b =.3.y a = yb =.4 משפט 12.1 עבור בעיית שטורים לאיוביל כנ''ל, מתקיים: 1. יש לה סדרה אינסופי של ערכים עצמיים וכולם ממשיים. 2. לכל ערך עצמי יש רק פונקציה עצמית אחת עד כדי כפל בקבוע, לכומר הערכים העצמיים הם פשוטים. 3. פונקתיות עצמיות המתאימות לערכים עצמיים שונים, הם אורתוגונליות ביחס למכפלה הפנימית: ˆb f,g q = fx gx qxdx a על מרחב הפונקציות הממשיות הרציפות על [b,a].
½ 4. הפונקציות העצמיות מהוות בסיס אורתוגונלי הממ''פ הנ''ל. הוכחה: הוכחה חלקית 2 נובע מיידית ממשפט הקיום ויחידות כי התנאי a a 1 ya a 2 y קובע את הפתרון עד כדי קבוע. ry m +p+λ m qy m = 3 נסתכל על שתי פונקציות עצמיות שונות y: n y, m ry n +p+λ n qy n = באותו אופן: נכפול את המשוואה הראשונה ב y n ואת השנייה ב y m ונקבל: y n ry m +y n p+λ m qy m y m ry n +y m p+λ n qy n = + y n ry m y m ry n = λ n λ m qy m y n = rb y n ry b m a ˆb a ry m y n dx y m ry a n b ˆb a ry n y m dx = λ n λ m ] ] [y n by m b y mby n b ra [y n ay m a y may n a ˆb a qy m y n dx = = λ n λ m y m,y n q ע''י אינוגרציה על [b,a], נובע: היות ו, 2 a 1,a מתקיים: ya = a 2 a 1 y a }{{} y a = a 1 a 2 ya }{{} או ואז או מתקיימים: אם מתקיים: y n ay ma y m ay na = a 2 a 1 y nay ma a 2 a 1 y may na = y n by m b y mby n b = בדומה יש התאפסות גם אם מתקיים היות ש: λ n λ m y m,y n q = לכן נובע שתמיד:. y m,y n q ומכאן ש λ n λ m נקבל ש = נשים לב שכל ע''ע צריך להיות ממשי. נניח ש α+iβ λ = ערך עצמי מרוכב בעל פונקצייה עצמית y. = u+iv אזי קל לראות ש u iv y = היא פונקציה עצמית עבור λ. = α iβ ע''י אותו חשבון מהוכחת 3 נובע: ˆ b λ λ a yxyxqxdx = λ λ = β = }{{} b yx 2 qxdx> a
¾ חלק ÎÁ התמרת לפלס ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ˆ Fs = L[f]s = e st ftdt ˆ e st ftdt הגדרה 12.2 בהינתן פונקצייה,f : [, R הפונקצייה המוגדר לכל s שערכו האינטגרל f. של ÌÖ Ò ÓÖÑ מוגדר ומתכנס, נקראת התמרת לפלס או טרנספורם לפלס Ä ÔÐ תזכורת: יהי g : R R אינטגרבילית רימן על הקטע,]. אז gtdt מתכנס אם lim R lim R Rˆ Rˆ gtdt gt dt קיים, ונאמר מתכנס בהחלט אם קיים. דוגמאות:.1 dx x 4 sin x 8 מתכנס, אבל לא מתכנס בהחלט. מתכנס אם β, > α אבל לא מתכנס בהחלט. e αt cos e βt.2 טענה 12.3 אם f,g פונקציות ממשיות על,] אזי בכל s שבה L[f]s וגם L[g]s מוגדרים ומתכנסים בהחלט, מוגדר גם +βg]s L[αf לכל α,β R ומתקיים: L[αf +βg]s = αl[f]s+βl[g]s ˆ ˆ ˆ αl[f]s+βl[g]s = α e st ftdt+β e st gtdt = e st αf +βgtdt = L[αf +βg]s הוכחה: טענה 12.4 אם f : [, R רציפה וקיימים קבועים > M,c שעבורם: f t < Me ct לכל,] t אזי טרנספורם לפלס של f מוגדר ומתכנס בהחלט על,c. ˆ e st f t ˆ dt Me s+ct dt < הוכחה: ל, c s מתקיים:
c > ל sup t ft e ct משפט 12.5 לאנוכיח טרנספורם לפלסהואטרנספורמצייה לינאריהפיכה ממרחבהפונקיות הרציפותעל, ] שעבורן < כלשהו למרחב מחלקות השקילות כאשר יחס השקילות הוא שיוויון החל ממקום מסויים שלפונקציות המוגדרות וגזירות אינסוף פעמים ברציפות על קטע מהצורה,c. בפרט 1 k k+1 k k ft = L[Fs] = lim F k k k! t t }{{} ÈÓ Ø³ ÒÚ Ö ÓÒ ÓÖÑÙÐ דוגמאות: = 1.1,ft אזי: ˆ Fs = L[1]s = e st dt = 1 s Fs = L [ ˆ ˆ e at] s = e st e at dt = e s at dt = 1 s a.2 at,ft = e אזי: השוויון הוא עבור ה s ים שיש התכנסות. [ משפט 12.6 אם f : [, R רציפה ומתקיימת ft < Me ct ו t f רציפה, אזי L[f] ו ] f L קיימים על c, ומתקיים: [ L f ] s = sl[f]s f מסקנה 12.7 אם f : [, R ואם n f 1,f 2,...,f קיימות ורציפות וגם קיימים >,c M > כך ש: ft < Me ct, f t < Me ct,..., f n 1 t < Me ct [ L f n] = s n L[f]s s n 1 f s n 2 f... sf n 2 f n 1 אזי n] L [ f קיים על c, ומתקיים: ft < Me ct, f t < Me ct [ L f ] s = s 2 L[f]s sf f הערה: בפרט, אם ו f רציפה אזי: [ L f ] Ṱ s = lim e st f tdt = lim e st ft T +s T T Ṱ e st ftdt = lim T e st ft f+s הוכחה: הוכחת המשפט Ṱ e st ftdt == sl[f]s f }{{} L[f]s