הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y <.2.3 לכל A G מתקיים כל שני משתנים המקיימים זאת שווים כמעט תמיד, וכל אחד מהם נקרא גרסה של התוחלת המותנה. נסמן E (X W ) = E (X σ (W )) תרגיל אם תכונה 3 מתקיימת עבור מאורעות A שמהווים מערכת π היוצרת את G אז היא מתקיימת לכל.A G תכונות נניח כי X אינטגרבילי, G. F.1 (תוחלת שלמה) G)).E (X) = E (E (X.2 אם X מדיד ביחס לאותה,G אזי E (X G) = X כמעט תמיד..3 (לינאריות) יהיו X 1, X 2 אינטגרביליים,.a 1, a 2 R אזי E (a 1 X 1 + a 2 X 2 G) = a 1 E (X 1 G) + a 2 E (X 2 G) כמעט תמיד. 1
.4 (חיוביות) אם 0 X אזי 0 G) E (X כמעט תמיד. בפרט, אם X 1 X 2 אינטגרביליים, אזי G) E (X 1 G) E (X 2 כמעט תמיד. הוכחה: אם לא מתקיים 0 (G E X) כמעט תמיד, אז קיים שלם עבורו ( P E (X G) < 1 ) > 0 זאת כיוון שהמאורע {0 < (G E} X) הוא האיחוד הבא: { E (X G) < 1 } וזהו איחוד עולה. מכאן, 0 > 1 ( P E (X G) < 1 ) ( ) > E E (X G) 1 {E(X G)< 1 = } ( ) = E X1 {E(X G)< 1 0 } וקיבלנו סתירה..5 (התכנסות מונוטונית) אם < X X 0 כמעט תמיד עם <,E X E (X G) כמעט תמיד. הוכחה: E (X G) E (X G) אזי,E X < זו סדרה עולה, מהתכונה הקודמת. נגדיר G).Y = lim sup E (X ברור שגם Y מדיד לפי G, וכן 0 Y כמעט תמיד. כעת, לכל A, G מהתכנסות מונוטונית רגילה מתקיים E (Y 1 A ) = E (lim sup E (X G) 1 A ) = lim E (E (X G) 1 A ) = = lim E (X 1 A ) = E (lim (X ) 1 A ) = E (X1 A ) על ידי הצבת A = Ω נקבל את התכונה השנייה בהגדרה, וסיימנו. 6. (פאטו מותנה) אם 0 X אינטגרביליים, אזי E (lim if (X ) G) lim if E (X G) כמעט תמיד..7 (התכנסות נשלטת מותנה) אם X Y עם Y אינטגרבילי, X X כמעט תמיד. אזי G) E (X G) E (X כמעט תמיד..8 (אי שוויון ינסן מותנה) אם C : R R קמורה, עם < (X) E C אזי E (C (X) G) C (E (X G)) 2
כמעט תמיד (אפשר לנסח גם עבור C : I R קמורה, I קטע). הוכחה: ניתן למצוא סדרת מספרים a, b כך שמתקיים C (x) = sup (a x + b ) לכל.x בפרט, לכל מתקיים C (x) a x + b ולכן גם E (C (X) G) a E (X G) + b כמעט תמיד. יש רק כמות בת מניה של ערכי, ולכן E (C (X) G) sup (a E (X G) + b ) כמעט תמיד. נקבל: E (C (X) G) sup (a E (X G) + b ) = C (E (X G)) E (X G) p X p מסקנה 1.2 לכל > 1 p מתקיים 9. (נוסחת התוחלת השלמה/תכונת המגדל) נאמר כי H G F סיגמא אלגבראות. אזי E (X G H) := E (E (X G) H) = E (X H) כמעט תמיד. 10. (אפשר להוציא מהתוחלת את מה שידוע) נניח כי X אינטגרבילי, וכן Z משתנה מקרי מדיד ביחס לסיגמא אלגברה G. נניח כי ZX אינטגרבילי. אזי E (ZX G) = ZE (X G) כמעט תמיד. הוכחה: התכונה הראשונה של תוחלת מותנה ברורה. נתחיל לבדוק את השלישית. ראשית נוכיח את הטענה עבור Z, = 1 B עבור B. G אזי E (E (1 B X G) 1 A ) = E (1 B X1 A ) = E (E (X G) 1 B 1 A ) לכן G) 1 B E (X גרסה של G).E (X מלינאריות, הטענה נובעת עבור פונקציות פשוטות, ומהתכנסות מונוטונית נקבל לכל משתנה מקרי אי שלילי. שוב מלינאריות, נקבל את הטענה למשתנה כללי. 3
11. (תוחלת מותנה ואי תלות) כאשר X אינטגרבילי,,G H F זוג סיגמא אלגבראות, G) σ (σ (X), בלתי תלויה באותה,H מתקיים E (X σ (G, H)) = E (X G) כמעט תמיד. מקרה פרטי אם X בלתי תלוי בסיגמא אלגברה G אזי = (G E X) (X) E כמעט תמיד. הוכחה: התכונות הראשונה והשנייה של תוחלת מותנה ברורות. יש להראות את השלישית, כלומר עבור (H A σ,g) מתקיים E (E (X σ (G, H)) 1 A ) = E (E (X G) 1 A ) מהתרגיל שנתנו קודם, מספיק לקחת,A = B C כאשר.C H,B G כעת, E (E (X σ (G, H)) 1 B 1 C ) = E (X1 B 1 C ) = E (X1 B ) P (C) המעבר האחרון נכון בגלל ההנחה שלנו לגבי אי תלות של (G H. σ, σ) (X), כעת, מהצד השני, E (E (X G) 1 B 1 C ) = E (E (X G) 1 B ) P (C) = E (X1 B ) P (C) וקיבלנו שוויון. דוגמא נאמר כי X, Y ממשיים, וההתפלגות של X, Y בעלת צפיפות ) [0, 2.f X,Y : R נרצה להתנות במשתנה X. אז יש עבור Y צפיפות מותנה: f Y X : R 2 [0, ) f X,Y (x, y) f Y X (y x) = f X,Y (x, y) dy המקיימת כעת, עבור h : R R עם ) (Y h אינטגרבילי מתקיים ˆ E (h (Y ) X) = h (Y ) f Y X (y X) dy גם כאשר אין צפיפויות, אולי נרצה לדבר על התפלגות מותנה, כלומר, לכל ערך של המשתנה המתנה X, נרצה מידת הסתברות חדשה (X P ) על מרחב ההסתברות Ω. באופן פומרלי, רוצים פונקציה P : Ω F [0, 1] עם: 4
1. לכל ω, Ω שנחשוב עליו בתוך הנקודה שנותנים עבור P,ω) ( X, היא מידת התסברות על Ω..2 לכל.P (, A) = E (1 A X),A F לפעמים מסמנים תוחלת של אינדיקטור כהסתברות: X).P (, A) = P (A דוגמא יהיו,X Y משתנים מקריים בלתי תלויים (לאו דווקא ממשיים: : Y X : Ω,S.(Ω T תהי h : S T R עם < ) Y.E h (X, נגדיר, תוך שימוש בפוביני, פונקציה α : S R על ידי α (x) = E (h (x, Y )) E (h (X, Y ) X) = α (X) אזי מתקים ההוכחה תהיה בתרגיל הבית. 2 מרטינגלים כעת, נוסיף להנחות המקדימות שלנו פילטרציה, כלומר סדרה עולה של סיגמא אלגבראות =0,(F ) כלומר.F F +1 F נחשוב על F בתור המידע שידוע לנו לאחר צעדים של תהליך. הגדרה 2.1 מרחב מסונן space) (ltered הוא רביעיה )),(Ω, F, P, (F כאשר P) (Ω, F, מרחב הסתברות, ) F) פילטרציה שלו. =0.(X ) התהליך הוא מותאם הגדרה 2.2 תהליך סטוכסטי הוא סדרת משתנים מקריים. לכל F מדיד לפי X אם (F ) לפילטרציה (adapted) הגדרה 2.3 (מרטינגל) תהליך סטוכסטי אם: 0= X) ) הוא מרטינגל (ביחס למרחב מסונך מסויים).1 התהליך ) (X מותאם לפילטרציה ).(F.2 לכל מתקיים <.E X.3 לכל 1 מתקיים כמעט תמיד 1.E (X F 1 ) = X אינטואיציה נחשוב על X כמייצג את כמות הכסף שיש בידינו לאחר משחקי הימורים, כאשר ההחלטה כמה להמר בכל משחק עשויה להיות תלויה בתוצאות המשחקים הקודמים. התנאי השלישי מבטיח שהמשחקים הוגנים. 5
הגדרה 2.4 אם במקום התנאי השלישי נדרוש 1,E (X F 1 ) X התהליך נקרא תת מרטינגל. אם נדרוש 1 E (X F 1 ) X נקרא על מרטינגל. הערה 2.5 כמה תכונות בסיסיות: 1. תהליך שהוא על מרטינגל וגם תת מרטינגל הוא מרטינגל..2 אם,X 0 L 1 אז ) (X הוא תת מרטינגל אם ורק אם ) 0 (X X תת מרטינגל..3 אם ) (X תת מרטינגל אזי ) ( X הוא על מרטינגל..4 אם ) (X תת מרטינגל, 0 m, > אזי.E (X F m ) = X m דוגמאות ושאלות: 1. סכום של משתנים מקריים בלתי תלויים: יהיו..., 2 Z 1, Z בלתי תלויים, עם F =,F 0 = {, Ω} נגדיר.X = Z 1 + +Z, X 0 נגדיר = 0.E (Z ) = 0 ).σ (Z 1,..., Z נוכיח שהתהליך ) (X הוא מרטינגל. יש למעשה להראות רק את התכונה השלישית: E (X F 1 ) = E (Z 1 + + Z F 1 ) = E Z 1 + + Z 1 F 1 + E Z F 1 = }{{}}{{} measurable idepedet = Z 1 + + Z 1 + E (Z ) = X 1 שאלה האם X מתכנס כמעט תמיד? לאן? 2. מכפלה של משתנים מקריים בלתי תלויים ואי שליליים: תהי..., 2 Z 1, Z סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ואי שליליים. נניח כי = 1 ) E Z) לכל. נגדיר = 1 0.X = Y 1 Y, X נגדיר Ω}.F = σ (Z 1,..., Z ), F 0 = {, נוכיח שהתהליך ) X) הוא מרטינגל. שוב יש להראות רק את התכונה האחרונה: E (X F 1 ) = E (Z 1 Z F 1 ) = Z 1 Z E (Z F 1 ) = X 1 שאלה האם X מתכנס כמעט תמיד? כן. האם התוחלת של הגבול היא 1? לא תמיד. 3. צבירת מידע: יהי Z משתנה מקרי אינטגרבילי, ותהי ) F) פילטרציה. נגדיר ).X = E (Z F אזי ) (X הוא מרטינגל. כרגיל, שתי התכונות הראשונות ברורות, ועבור השלישית, E (X F 1 ) = E (E (Z F ) F 1 ) = E (Z F 1 ) = X 1 בעתיד נוכיח כי ) F,X E (Z כאשר ).F = σ ( F נרצה לשאול האם זה שווה למשתנה Z, כלומר האם Z מדיד ביחס לאותה F. 6