אי וודאות המשך תורת היצרן טכנולוגיה ופונק' ייצור

אי וודאות המשך תורת היצרן טכנולוגיה ופונק' ייצור 1

2 בעיית הביטוח פתרון אלגברי ב "מישור העושר" בעיית המקסימיזציהשהפרט פותר הינה : Max p 1u(10 -γk+k)+p 2u(40 -γk) K והשוואה תנאי הסדר הראשון מתקבל מגזירה לפי K וכן הלאה. במצב טבע 1 נסמןב X 1 תצ' לאפס ). (1 -γ)p 1 u'( X 1 )- γp 2 u'( X 2 )=0 u'( X1) γ ( p2) = u'( X ) (1 γ ) p or 2 p1u '( X1) = p2u'( X 2) (1 אנושוב רואיםכי γ=p 1 גורר γ γ אזי עקומת האדישות יותר תלולה מקו התקציב בנקודת החיתוך עם קוה, 45 0 ושוב קונים 1 ) מכיווןש 1 p 2 =1-p ש - 2.X 1 =X אם γ<p 1 ביטוח מלא. אם γ>p 1 אזי עקומת האדישות יותרשטוחה מקו התקציב בנקודת החיתוך עם קוה, 45 0 במקרה זה קונים כיסוי חלקי. אםγ גדול מספיק כלל לא נקנה ביטוח ). זה יקרה כאשרה MRS בנק' ה C קטןמ γ. ( 1 γ )

הבחירה האופטימאלית במקרה של פרמייה "יותר מ הוגנת" good C 2 K=C 2 -C 1 )γ/(1-γ- C 1 bad 3

הבחירה האופטימאלית במקרה של פרמייה שאינה הוגנת good C 2 )γ/(1-γ- 45 0 C 1 bad 4

ה) דוגמה מספרית 5 מצב המוצא הינו : (10,000, 40,000 ; 0.01,0.99 ) של הפרט הינה (X). n VNM פונקציית התועלת נקודת המוצא במישור התצרוכות המותנות הנה (10,000,40,000 ) צרוף תצרוכות מותנה הנה התועלתשל הפרטמ כל 0.01 *n (X 1 )+ 0.99 *n (X 2 ) שיפוע עקומת האדישותשלו בכל נקודה ( X or γ 1 2 χ 0.01. 0.99 40,000 ) X 1 + X X X 2 1 MRS ) ניתן על ידי: קו התקציבשל הפרט ניתן על ידי : 2 = 1 γ = 1 γ γ γ ( X 1 10,000 10,000 ) + 40,000

דוגמה מספרית - 1 לכן פתרון בעיית הפרט ניתן על ידי פתרוןשתי משוואות אלו: 0. 01 0.99 X X 2 1 γ = 1 γ תנאי ההשקה ומגבלת התקציב 6 γ γ X1 + X 2 = 10,000 + 1 χ 1 γ X X 2 1 γ = 0.99 (40000 + 10000 1 γ γ 40000 + 10000 1 γ = 0.01 γ 1 γ 40,000 שגורר: ) 1 χ = 100 + 400 γ נוסחאות אלו תקפות כל עוד ) 2 X) 1 X, בקטע בין ),000 (10,000,40 והמפגש עם קוה 0.45

דוגמה מספרית - 2 הצבת 0.01=γ גוררת תצרוכת בכל מצב שווהל 39,700 מכאן מתקבל.K=30,000 כלומר הפרט רכש ביטוח מלא. תועלתו ניתנת על ידי =( 10.5891 39700) n אם 0.02=γ ביטוח שאינו הוגן, מתקבל כי X 1 =19700 X 2 =39802.04082 מכאן )= 9897.959-39802.0408 (40000 K=50 ותועלתו ניתנת על ידי 10. 5846. אם מתקיים γ/( 1-γ)=( 0.01/0.99 )* 40000/10000 זה קורה אזי הפרט לא יקנה ביטוח. עבור 0.0388=γ עבור כל γ גדול יותר הוא ודאי לא יקנה ביטוח. 7

השקעה בנכס לא וודאי לפרט יש רכוש W בנכס מסוכן. והוא יכול להשקיע כמות X הנכס נותן תשואה r 1 במצב הרע ) הסתברות p) 1 ותשואה r 2 במצב הטוב ) הסתברות.( p 2 r 1 <0<r 2 יהיה: לכן אם הפרט ישקיע X בנכס רכושו במצב טבע 1 W-X+X(1+r 1 )= W+r 1 X רכושו במצב טבע 2 יהיה: W+r 2 X תוחלת התועלתשל הפרט במידה ובחר להשקיע X ניתנת לכן על ידי : P 1 u(w+r 1 X)+ p 2 u(w+r 2 X) הפרט יבחר X הראשון יהיה : שימקסם ביטוי זה ותנאי הסדר 8 P 1 r 1 u' (W+r 1 X)+ p 2 r 2 u' (W+r 2 X)= 0

השקעה בנכס לא וודאי - 1 האם ניתן לקבוע בוודאות מתי הפרט ישקיע בנכס? התשובה לכך תלויה בנגזרת של פונקציית המטרה בנקודה X=0. אם היא חיובית ממש הפרט ישקיע כמות חיובית בנכס. אם היא אי חיובית הוא יבחר לא להשקיע בנכס. מהי נגזרת זו? הנגזרת היא : P 1 r 1 u' (W)+p 2 r 2 u' (W)=u'(w)(p 1 r 1 +p 2 r 2 ) כלומר היא חיובית אמ" מ לנכס יש תשואה חיובית. 9 מסקנה: הפרט ישקיע כמות חיובית בנכס עם תשואה חיובית.

מחירו ה"מקסימאלי" של נכס מסוכן נתון נכסשבהסתברות 0.9 יהיהשווה 500, ובהסתברות 0.1 יהיהשווה 0. כלומר נתונה ההגרלה ) 0.1,0.9; 0,500) קיים נכס הנותן תשואה בטוחהשל. 4%. U, VNM לפרט יש רכוש W ופונקציית תועלת שהפרט יהיה מוכן לשלם מהו המחיר המקסימאלי q תמורת הנכס המסוכן? ) שימו לב ההחלטה כא ן היא בדידה, כן או לא, אין אפשרות לקנות חלק מהנכס) מחיר מקסימאלי זה יקיים : U(1.04W) = 0.9U(1.04(W -q)+500) +0.1 U(1.04(W -q)) שימו לבשאם הנכס היהשווה 500 המקסימאלי היה. 500 /1.04 בוודאות, מחירו 10 שימו לבשאם הפרט אדיש לסיכון יתקיים : 1.04 W=1.04 W+0.9*500-1.04 q כלומר : או q=432.71 500 /q=1.04 /0.9=1.155

1 מחירו ה"מקסימאלי" של נכס מסוכן - פרט שונא סיכון ירצה תשואה גדולה יותר מזו של פרט אדיש לסיכון. הגודל המדוייק תלוי בהעדפותיו. נניח שהעדפותיו ניתנות על ידי פונקציית התועלת.W 0.5, VNM (1.04W) 0.9(1.04(W 0.5 = -q)+500) נפתור את המשוואה : 0.5 +0.1(1.04(W -q)) 0.5 נקבל: 1,000=W כאשר q=426.1595 r=500 /q=1.173 נקבל: q=427.4835 1,200=W כאשר נקבל: W 0.25 וההעדפותהן 1,000=W כאשר q=422.53 נקבל: וההעדפותהן n 1,000=W כאשר q=418.65 11 הסיכון עולה. ההסבר לתוצאות אלו נובע משינויים בשנאת הסיכון. כאשר הרכוש עולה שנאת הסיכון יורדת. כאשר פונקציית התועלת נעשית יותר קעורה, שנאת

תורת היצרן תורת היצרן טכנולוגיות, פונקציות ייצור מינימום הוצאות, פונקציית ההוצאות, פונקציות הביקוש המותנות התנהגות תחרותית, מקסום רווחים, פונקציות ביקוש (לגורמי ייצור) והיצע (של תפוקות) ביקושים והיצעים ענפיים שיווי משקל ענפי טווח קצר, טווח ארוך 12 עברנו יותר מחצי סמסטר והחלק הקשה עוד לפנינו סתם...

היום נכסה טכנולוגיה פונקציית ייצור מקסום תפוקה 13

טכנולוגיה כיצד נתאר את הטכנולוגיה באופן כללי ביותר הטכנולוגיה היא האמצעי להפוך תשומות (גורמי ייצור) לתפוקות (מוצרים). בדרך כלל נניח שיש m גורמי ייצור מסומנים ב q. ותפוקה אחת המסומנת ב z 1,z 2, z m פונקציית הייצור מתארת, עבור כל צירוף גורמי ייצור את הכמות המקסימאלית של תפוקה אותה ניתן להשיג באמצעות צירוף זה. 14

דוגמאות 15 F(z 1,z 2 )=z 1 0.5 z 2 0.3 F(z 1,z 2 )=2z 1 +3z 2 )F(z 1,z 2 )=min(z 1 /3,z 2 /2 F(z 1,z 2 )=z 12 +z 2 2 התפוקה השולית של גורם ייצור i ניתנת על ידי הנגזרת החלקית של פונקציית הייצור לפי i.mp i ומסומנת ב לעיתים במקרה של שני גורמי ייצור נשתמש ב K (הון) ו (עבודה).

תוכניות ייצור אפשריות הקשר הבסיסי בין תשומות ותפוקה q F (z 1, z 2,...,z m ) תפוקה אחת ומספר תשומות פונקציית הייצור ניתן לכתיבה בצורה יותר קומפקטית כ - q F (z) אנו כותבים ולא =, ניתן "להשליך" תשומות. מהי המשמעות של F? וקטור התשומות 2 2 מקרים מקרים בין בין נבדיל נבדיל F מתארת את כמות התפוקה המקסימאלית שניתן לייצר עבור כל צירוף של גורמי ייצור.

יעילות טכנולוגית q =F (z) המקרה של ייצור יעיל מקרה 1: מבחינה טכנולוגית q < F (z) מקרה :2 המקרה של ייצור בלתי יעיל מבחינה טכנולוגית הצירוף (q,z) אינו יעיל אם ניתן להשליך חלק מהתשומות ולייצר אותה רמת תפוקה.

הפונקצייה F q q >F (z) q =F (z) q <F (z) פונקציית הייצור Iנקודות פנימיות אפשריות אך אינן יעילות נקודות שפה הינן אפשריות ויעילות נקודות בלתי אפשריות 0 z 2 z1

אוסף התשומות הנדרש לייצור תפוקה נתונה q בחרו רמת תפוקה מצאו וקטור תשומות z שמסוגל לייצר אותה זכרו כי חייב להתקיים חזרו על פעולה זו וחשבו את כל הוקטורים האלו (q F(z כך מתקבל אוסף התשומות הנדרש Z(q) := {z:f (z) q} הצורה של Z תלוייה בהנחות לגבי הטכנולוגיה נבחן ארבעה מקרים המקרה המקרה ראשית ראשית ה"טיפוסי" ה"טיפוסי"

אוסף התשומות הנדרש לייצור תפוקה נתונה z 2 אפשרי ולא יעיל אפשרי ויעיל Z(q) לא אפשרי q = F (z) q < F (z) q > F (z) z 1

מקרה 1: Z מתנהגת ממש יפה (קמורה ממש וחלקה) z 2 Z(q) בחרו שתי נקודות על השפה שרטטו את הקו המחבר אותן Z. הקו נמצא בתוך z q =F (z) q<f (z) q =F (z) z שילוב של שתי תכניות ייצור עשוי לייצר תפוקה גבוהה יותר. z 1

מקרה 2: Z מתנהגת יפה "אבל לא ממש" z 2 Z(q) בחרו שתי נקודות על השפה שרטטו את הקו המחבר אותן הקו נמצא אף הוא על השפה z z צירוף של שתי תכניות ייצור אפשריות, אפשרי אף הוא. z 1

מקרה 3: Z חלקה אך אינה קמורה z 2 חברו שתי נקודות מצידיו של ה"שקע" קחו נקודה ביניהן Z(q) הדגישו את האזור בו מתרחשת תופעה זו באיזור זה אין "חלוקתיות" נקודה זו אינה אפשרית z 1

מקרה 4: Z קמורה ולא חלקה z 2 q = F (z) השיפוע בנקודה זו אינו מוגדר. z 1

חזרה: ארבעת התרחישים z 2 z 2 המקרה הטיפוסי המקרה ה "כמעט טיפוסי" z 1 z 1 z 2 z 2 המקרה הלא חלק המקרה הבעייתי z 1 z 1

עקומות שוות תפוקה q בהינתן רמה של (Z(q חשבו את העקומה שוות תפוקה המתאימה ל q הינה { השפה של Z.{ z :F (z) = q השיפוע של העקומה שוות התפוקה הינו שיעור TRS 21 וניתן על ידי התחלופה הטכנולוגי בייצור F j (z) F i (z) נותן את הקצב שבו צריך להגדיל את גורם ייצור 2 כשמקטינים את כמותו של גורם ייצור 1, על מנת לשמור על רמת תפוקה קבועה. F(z) F i (z) := zi. של של צורתה צורתה ממי ממי ש"ת? ש"ת? העקומה העקומה

עקומה שוות תפוקה, TRS ויחס גורמי ייצור z 2 הקבוצה (z(q קו שווה רמה של F (עקומה ש"ת) נקודה על העקומה יחס גורמי הייצור בנקודה ה TRS בנקודה MRTS 21 =F 1 (z)/f 2 (z) z 2 / z 1 = constant TRS הגדילו את ה z 2 z z {z:f (z)=q} ה TRS הולך וגדל מימין לשמאל z 1 z 1

טכנולוגיה הומוטתית z 2 העקומות שוות התפוקה שרטטו קרן דרך הראשית ה TRS קבוע לאורך כל קרן O z 1

עקומות שוות תפוקה של פונקציה הומוגנית z 2 עקומות שוות תפוקה התשומות ב z 0 עקומה שוות תפוקה עבור תשומות מוכפלות ב t tz 2 tz z 2 z q t r q r הינה הומוגנית מדרגה F אם לכל 0<t ולכל z מתקיים F (tz) = t r F (z) O z 1 tz 1 z 1

תשואה לגודל Returns to Scale תשואה לגודל נקבעת לפי השינוי בתפוקה כשמשנים את כל גורמי הייצור באותו יחס. תשואה קבועה לגודל λ > 0 : f ( λ z,..., λ zn) = λ f ( z1,..., 1 n z ) תשואה עולה לגודל λ > 1 : f ( λ z,..., λ zn) > λ f ( z1,..., 1 n z ) תשואה יורדת לגודל λ > 1 : f ( λ z,..., λ zn) < λ f ( z1,..., 1 n z )

מקרה : 1 תשואה עולה לגודל q פונקציית ייצור תע"ל בחר נקודת ייצור כלשהי קו הגידול בתוצר 0 z 2 1<t גורר ש F(tz) > tf(z) z1 הכפלת התשומות מגדילה את התוצר פי.α>2

מקרה : 2 תשואה יורדת לגודל q פונקציית ייצור תי"ל בחר נקודת ייצור כלשהי קו הגידול בתוצר z 0 2 1<t גורר ש F(tz) < tf(z) z1 הכפלת התשומות גדילה את התוצר פי.α<2

מקרה 3: תשואה קבועה לגודל q פונקציית ייצור תק"ל בחר נקודת ייצור כלשהיא התוצר גדל לאורך קרן 0 z 2 F(tz) = tf(z) z1 הכפלת התשומות בדיוק מכפילה את התוצר

פונקצייה תק"ל - תכונות f נזכור כי פונקציה היא הומוגנית מדרגה r אם( r 1 X n ( λ X,..., λx n ) = λ f ( X1,..., פונקצית ייצור תק"ל ה יא לכן פונקציה או הומוגנית ליניארית (1=r). הומוגנית מדרגה 1 ל של שני גורמי ייצור ה של גורם ייצור תלויה רק ביחס תפוקה. K בפונקציה תק" ה שולית לכןה - TRS הצירים. קבוע לאורך קרן היוצאת מראשית 34

35 "תיב" ל החכוה חכוה תוילוש תוקופת רובע הנעטה ת ל"קת תרדגה יפל ), ( ), ( λ λ λ K f K f = :ןכל ) ( ), ( ), ( K g K f K f = =, רשאכ g( ) איה סחיה לש היצקנופ K/ :K יפל רוזגנ ) ( 1 ) ( K g K g f K f K = = = יפל רוזגנ K K g K g K K g K g f f = = = 2

פונקציות הומוגניות תכונות והשלכות כלכליות טענה הנגזרותהחלקיותשל פונקציההומוגניתמדרגה r הנןהומוגניותמדרגה r-1. משפטאוילר : אםה פונקצי הf הומוגניתמדרגה r אזי : z f = i i rf ( z 1,..., z n ) הוכחה: בפונקציההומוגניתמדרגה r מתקיים: r z1,..., f ( λ נגזוראת λz m) = λ f ( z1,..., zm ונעריךאהנגזרת בנקודה 1=λ. שניהאגפים לפי λ ) 36 השלכות כלכליות כאשר פונקצי תהיצור היאתק"ל, אם נשלם לכל גורם ייצוראתהתפוקההשוליתשלו כשכר ) עבודה ( או רנטה ) הון), התפוקהתספיק בדיוק לכיסוי התשלום. תע"ל( למשל 0.25 ) למשל הערההתפוקה לאתספיק לתשלום כזה עודף תשאיר Y=K ו).( 0.25 במקרהשל במקרהשל תי"ל Q = K

תרגיל נוסף 37 תפוקה הממוצעת של K עבור פונקציית תק"ל, ה התפוקה השולית של אם ורק אם עולה שלילית. הוכחה: אזי אם התפוקה הממוצעת עולהב K ( f / K) > 0 K נגזרתזו הינה : ( F / K) F = K K F KF = K 2 K f = > 0 2 K אם נגזרתזו חיובית חייב להתקייםכי K ( Kf K K 2. + f f ) ולכן < 0

גורם ייצור משתנה יחיד MP TP AP נניח שיש גורם ייצור משתנה יחיד () התפוקה הכוללת מסומנת ב TP וניתנת על ידי.F התפוקה השולית מסומנת ב MP וניתנת על ידי.(F הנגזרת החלקית של F לפי גורם ייצור זה ) התפוקה הממוצעת מסומנת ב AP וניתנת על ידי.F/ כיצד נייצג גדלים אלו גראפית ומה היחסים ביניהם? 38

ייצור עם גורם ייצור משתנה יחיד () Marginal Product Average Product Total Output (Q) Amount of Capital (K) Amount of abor () --- --- 0 10 0 10 10 10 10 1 20 15 30 10 2 30 20 60 10 3 20 20 80 10 4 15 19 95 10 5 13 18 108 10 6 4 16 112 10 7 0 14 112 10 8

ייצור עם גורם ייצור משתנה יחיד () כשנוספים עובדים התפוקה (TP) גדלה, מגיעה למקסימום ומתחילה לרדת. התפוקה הממוצעת (AP=Q/) בתחילה גדלה ולאחר מכן יורדת. התפוקה השולית (MP=F עולה בתחילה ולאחר מכן יורדת ואף ) נעשית שלילית.

ייצור עם גורם ייצור משתנה יחיד () תפוקה 112 D C Total Product 60 A B A: slope of tangent = MP (20) B: slope of OB = AP (20) C: slope of OC= MP & AP עבודה 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ייצור עם גורם ייצור משתנה יחיד () תפוקה 30 שימו לב: משמאל ל - MP>AP E ו AP עולה. מימין ל MP<AP E ו AP יורד. ב E MP=AP ו AP מגיע לשיאו. כאשר MP=0, TP מגיע לשיאו. Marginal Product 20 E Average Product 10 עבודה 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

בעיית מקסימום תפוקה המגבלות תקציב לשכירת תשומות המטרות מקסימום תפוקה דרך הפעולה שכירת צירוף תשומות (גורמי ייצור) הממקסם את התפוקה בהינתן מחיריהם, התקציב ופונקציית הייצור. נתונים תקציב ומחירי גורמי הייצור טכנולוגיה (בדרך כלל מיוצגת על ידי פונקציית ייצור) תוצאות צירוף גורמי ייצור אופטימאלי ותפוקה מקסימאלית למעשה שקול לבעיית צרכן. 43