خواص هندسی فصل ششم سطوح بخش اول - استاتیک... P6.4 0 kn 5 k 9. P6.5 n. 600 l. P6.. P6. 5 m PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7
. P6.4. P6.... P6. 5 m. P6.5 n. 0 kn 5 k PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7 600 l هدف های رفتاری پس از آموزش این فصل از فراگیر انتظار میرود بتواند: - خواص هندسی سطوح را بشناسد و نام ببرد. - گشتاور اول سطح را تعریف نماید. - مرکز سطح سطوح مختلف هندسی را بهدست آورد. 4- مختصات مرکز سطح سطوح متقارن را تعیین نماید. 5- روابط مربوط به گشتاور دوم سطح را بشناسد و بهکار گیرد. 6- ممان اینرسی سطوح مرکب را محاسبه نماید. 7- اساس مقطع سطوح مختلف را بهدست آورد. 8- مشخصات هندسی مقاطع نورد شده را از جدول استاندارد آنها استخراج نماید. مقدمه: طول سطح و حجم سه خصوصیت اصلی هندسی اجسام بهشمار میروند. اجسام یکبعدی مانند طناب با طولشان اجسام دو بعدی مانند یک قطعه زمین با مساحتشان و اجسام سه بعدی مثل یک ساختمان با حجمی که دارند مشخص می شوند. این خصوصیات تمام ویژگی های اجسام را بیان نمی کنند مثال دو قطعه زمین هم مساحت ممکن است دارای شکل های هندسی متفاوت باشند. بنابراین اجسام دارای خصوصیات دیگری نیز می باشند که در این فصل به بررسی بعضی از خصوصیات سطوح شامل گشتاور اول سطح مرکز سطح گشتاور دوم سطح و مدول مقطع یا اساس مقطع آن ها می پردازیم. 6- گشتاور اول سطح )ممان استاتیک( در فصل دوم با گشتاور نیرو آشنا شدیم که عبارت بود از حاصل ضرب نیرو در فاصلة آن نیرو تا یک محور. گشتاور اول سطح نیز تعریفی مشابه گشتاور نیرو داشته و عبارت است از: حاصل ضرب مساحت در فاصلة مرکز آن تا محور مورد نظر. گشتاور اول سطح با نماد Q نمایش داده می شود و واحد آن طول به توان می باشد یعنی m و یا cm و... 94
در شکل زیر با توجه به تعریف داریم: مرکز سطح X شکل -6 Y )-6( Q Q.Y.X گشتاور اول سطح نسبت به محور گشتاور اول سطح نسبت به محور در روابط فوق X و Y مختصات مرکز سطح می باشند. در جدول )-6( مختصات مرکز سطح بعضی از سطوح هندسی نسبت به محورهای و آمده است. 0 kn 5 k 95. P6.4. P6.5.. n. 600 l جدول )-6( توضیحات X Y شکل هندسی نام سطح مستطیل (مربع). P6.. P6. h 5 m مرکز سطح مستطیل محل تالقی دو قطر آن می باشد مثلث قائم الزاویه h h r r دایره r h مرکز سطح مثلث قائمالزاویه در فاصلة از قاعدة آن میباشد PROLEMS مرکز سطح دایره مرکز دایره می باشد ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7
. P6.4. P6.... P6. 5 m. P6.5 n. 0 kn 5 k PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7 600 l مثال گشتاور اول سطح )ممان استاتیک( مستطیل را نسبت به محورهای و محاسبه کنید. cm cm Y h4cm X با توجه به شکل فاصله مرکز سطح از محورهای و عبارتند از: X + X + 4cm h 4 Y + Y + cm.h 4 8cm Q.Y Q 8 4cm Q.X Q 8 4 cm مساحت مستطیل برابر است با ممان استاتیک نسبت به محور ممان استاتیک نسبت به محور 96
-6 گشتاور اول )ممان استاتیک( سطوح مرکب به منظور محاسبه گشتاور اول سطوح مرکب آنها را به سطوح هندسی ساده تجزیه نموده و ممان استاتیک هر یک از آنها را نسبت به محورهای مورد نظر محاسبه و با یکدیگر جمع جبری مینمائیم. یعنی: Q Q n n )-6( به عنوان نمونه در شکل )-6( خواهیم داشت: 0 kn 5 k 97. P6.4. P6.5.. n. n 600 l. P6.. P6. n شکل -6 Q Q + + 5 m Q Q + + PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7
. P6.4. P6.... P6. 5 m. P6.5 n. 0 kn 5 k PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7 600 l مثال گشتاور اول سطح داده شده را نسبت به محورهای و محاسبه کنید. 4cm 8cm 6cm 5cm 9cm حل: سطح مرکب داده شده را مطابق شکل زیر به دو سطح ساده مستطیلی و مثلثی تجزیه میکنیم. 8 X 4+ 8 Y 5+ 9 8 9 Y 5+ 9/ 5 6 X 4 + 8 + 4 به کمک جدول )-6( حل مسئله را ادامه می دهیم 98
جدول )-6( ) سطوح Q مساحت ( cm cm cm Q cm cm 8 9 7 8 9/5 7 9/5684 7 8576 6 9 7 4 8 7 876 7 476 Σ 400 954 بنابراین: 0 kn 5 k 99. P6.4. P6.5.. n. 600 l. P6.. P6. Q Q 400 954-6 مرکز سطح سطوح مرکب برای محاسبه مرکز سطح سطوح مرکب با توجه به اینکه گشتاور اول کل سطح با مجموع گشتاورهای اول اجزای سطح مرکب با هم برابرند میتوان نوشت: Q Q Q Q X n n X X Y n n Y Y cm cm 5 m PROLEMS در روابط فوق X و Y مختصات مرکز سطح مرکب مورد نظر میباشند که نسبت به محورهای مختصات دلخواه تعیین میشوند. )-6( ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7
. P6.4. P6.... P6. 5 m. P6.5 n. PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7 0 kn 5 k 600 l مثال مختصات مرکز سطح شکل زیر را محاسبه نمائید. )ابعاد شکل بر حسب cm است( 0 0 0 5 5 به منظور سادگی حل مسئله محورهای مختصات و را طوری در نظر می گیریم که شکل در ربع اول دستگاه مختصات قرار گرفته و تمام طول ها مثبت باشند. o پس از تجزیه شکل مرکب به سطوح ساده جدول مشخصات آن ها را تشکیل داده و با استفاده از روابط )-6( مختصات مرکز سطح را محاسبه می نمائیم. )جدول -6( 00
سطوح مساحت ) ( cm 0 550 5 5050 جدول )-6( cm Q Q cm cm 0 5 0+ 5 / 5 5 650 50 5 5 5 + 7 / 5 6875 650 cm Σ 500 0000 500 0 kn 5 k. P6.4. P6.5 0.. n. 500 X 5 cm 500 Y 0 o 0000 0 cm 500 5 600 l. P6.. P6. در شکل زیر مختصات مرکز سطح نشان داده شده است: 5 m 5 cm 0 cm PROLEMS فيلم مربوط به اين موضوع را ببينيد. ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7
. P6.4. P6.... P6. 5 m. P6.5 n. PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7 0 kn 5 k 600 l 4-6 استفاده از تقارن در تعیین مرکز سطح سطوح متقارن محور تقارن: خطی است که سطح را به دو قسمت مساوی و قرینه تقسیم می کند. -4-6- سطوح با یک محور تقارن اگر سطح دارای یک محور تقارن باشد مرکز سطح روی آن محور خواهد بود. شکل )-6( محور تقارن محور تقارن محور تقارن شکل -6-4-6- سطوح با دو محور تقارن: هرگاه سطح دارای دو محور تقارن باشد مرکز سطح در محل تالقی آن دو محور خواهد بود. شکل )4-6( محور تقارن شکل 4-6 0
مثال 4 در شکل زیر با استفاده از تقارن مختصات مرکز سطح را به دست آورید. )ابعاد بر حسب سانتی متر می باشد( 9 4 4 8 /5 0 kn 5 k. P6.4. P6.5 0.. n. 600 l. P6.. P6. باتوجه به این که شکل دارای دومحور تقارن میباشد لذا مرکز سطح محل تالقی آنها خواهد بود. بنابراین داریم: /5 9 4/ 5 cm 0 / 5 cm 5 m PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7
. P6.4. P6.... P6. 5 m. P6.5 n. PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7 0 kn 5 k 600 l 6 5 گشتاور دوم سطح )ممان اینرسی( Inerta( )Moment of خط کشی را مطابق شکل )5-6( در نظر می گیریم اگر بخواهیم آن را در دو حالت نشان داده شده خم کنیم به نظر شما درکدام حالت راحت تر خم می شود چرا 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 )الف( 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 )ب( شکل 5-6 باتوجه به مثال فوق درمی یابیم علی رغم آن که سطح مقطع خط کش در هر دو حالت یکسان است در حالت )الف( خط کش راحت تر خم می شود. یعنی مقاومت آن در مقابل خم شدن )خمش( کمتر از حالت )ب( می باشد. علت آن ممان اینرسی سطح مقطع خط کش است که درحالت )الف( کمتر از حالت )ب( می باشد. به عنوان یک تعریف ساده از ممان اینرسی می توان گفت: گشتاور دوم سطح یا ممان اینرسی عامل مقاوم در مقابل خمش می باشد و به توزیع ذرات تشکیل دهندة جسم حول محور خمش بستگی دارد. ممان اینرسی را با نماد I نشان داده و نسبت به محورهای مختلف با اندیس آن محور. یعنی ممان اینرسی نسبت به محور I نام گذاری می شود. به عنوان مثال واحد ممان اینرسی طول به توان 4 یعنی cm 4 یا mm 4 و... می باشد. درجدول )4-6( روابط ممان اینرسی بعضی از سطوح هندسی ساده نسبت به محورهای مرکزی آن ها آمده است. 04
جدول )4-6( I شکل هندسی نام سطح I مستطیل h h h مربع a a 4 a 4 a 0 kn 5 k. P6.4 0cm 05... P6.5 n. 8cm 600 l. P6.. P6. 5 m مثال 5 ممان اینرسی سطح مقطع مقابل را نسبت به محورهای مرکزی آن محاسبه نمایید. PROLEMS حل: مرکز سطح مستطیل محل تالقی دو قطر آن می باشد بنابراین: ابتدا موقعیت محورهای مرکزی سطح مقطع را مشخص نموده سپس با استفاده از روابط جدول )6- دایره r πr 4 πr 4 4 4 I را تعیین می نمائیم. I و )4 h 8 0 I 666 / 67 cm h 0 8 I 46 / 67 cm 4 4 ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7
. P6.4. P6.... P6. 5 m. P6.5 n. 0 kn 5 k PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7 600 l 6-6 قضیه محورهای موازی درقسمت قبل روش تعیین ممان اینرسی یک سطح نسبت به محور هایی که از مرکز آن سطح می گذرد را دیدیم. حال میخواهیم ممان اینرسی یک سطح را نسبت به محورهایی که موازی محورهای مرکزی آن میباشند بهدست آوریم. به عنوان مثال در شکل )5-6( با فرض اینکه ممان اینرسی آن نسبت به محورهای ) معلوم باشد میخواهیم ممان اینرسی مقطع را نسبت به محورهای X و و مرکزی ( d از محورهای مرکزی قرار دارند محاسبه کنیم. d و Y که با فاصله d Y X d شکل 5-6 این موضوع با قضیه محورهای موازی که به صورت زیر بیان میشود قابل محاسبه خواهد بود. ممان اینرسی یک سطح نسبت به محورهایی که موازی با محورهای مرکزی آن سطح میباشند برابر است با ممان اینرسی آن سطح نسبت به محورهای مرکزی به اضافه حاصل ضرب مساحت در مجذور فاصله محور مورد نظر تا مرکز سطح. یعنی: I I + d X Y I I + d )4-6( 06
مثال 6 Y در شکل روبه رو مطلوب است: محاسبه I و I h X حل: تعیین می کنیم. و الف( ابتدا ممان اینرسی را نسبت به محورهای مرکزی آن یعنی Y d 0 kn 5 k. P6.4. P6.5 07 h.. h d.h n. d h h IX I + d I + (.h)( ) h h h + h IX + IX 4 4h h IX IX 600 l. P6.. P6. X X 5 m I I h h ب( با توجه به این که محور X بر طول مستطیل مماس می باشد فاصله آن از محور d برابر است با: یعنی PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7
. P6.4. P6.... P6. 5 m. P6.5 n. 0 kn 5 k PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7 600 l ج( برای محور Y نیز خواهیم داشت: d.h h IY I + d + (.h)( ) h h h + h IY + IY 4 4h h IY IY IY 6 7 محاسبه ممان اینرسی سطوح مرکب برای محاسبه ممان اینرسی سطوح مرکب آنها را به اشکال هندسی ساده تجزیه نموده و ممان اینرسی هر یک را نسبت به محور مورد نظر محاسبه و با یکدیگر جمع جبری مینماییم. شکل )6-6( Y Y X X شکل 6-6 I I + I I X X X X I I + I I Y Y Y Y و به طور کلی خواهیم داشت: فيلم مربوط به اين موضوع را ببينيد. n n X X X + I I (I d ) n n Y Y Y + I I (I d ) (5-6) 08
مثال 7 در شکل زیر مطلوب است محاسبة ممان اینرسی نسبت به محورهای و. t cm 0 R 5 r R t r 5 r 4 cm R r 0 cm I I داخلیI خارجیI 4 4 πr πr I I 4 4 π 4 4 π 4 4 I I (R r ) ( 5 4 ) 4 4 4 I I 9588 / 9 cm 0 kn 5 k. P6.4. P6.5 09.. n. 6 8 مدول مقطع )اساس مقطع( Modulus( )Secton اساس مقطع یا مدول مقطع نیز خاصیتی از سطح است که همانند ممان اینرسی عامل 600 l. P6. مقاوم در مقابل خمش می باشد که در فصل نهم با کاربرد آن آشنا خواهید شد.. P6. مدول مقطع یک سطح مطابق شکل )7-6( با رابطه زیر تعریف می شود. h c S I c c 5 m (6-6) PROLEMS شکل 7-6 ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7
. P6.4. P6.... P6. 5 m. P6.5 n. 0 kn 5 k PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7 600 l در این رابطه داریم: : مدول مقطع یا اساس مقطع نسبت به محور : ممان اینرسی سطح نسبت به محور S ( می باشد : فاصلة دورترین تار تحتانی یا فوقانی سطح نسبت به محور مرکزی ( که در مقاطع متقارن برابر نصف کل ارتفاع مقطع می باشد. یعنی: h c I و برای محور نیز رابطه ای مشابه رابطة )6-6( خواهیم داشت بنابراین: S I c (7-6) : مدول مقطع یا اساس مقطع نسبت به محور : ممان اینرسی سطح نسبت به محور S I ) : فاصله دورترین تار سمت چپ یا راست مقطع نسبت به محور مرکزی ( میباشد که در مقاطع متقارن برابر نصف پهنای مقطع است. یعنی: c 0
مثال 8 6 cm درشکل روبه رو مطلوب است: I الف( محاسبه S ب( محاسبه 5 5 cm الف( - ابتدا سطح مقطع را به سه سطح و تجزیه می کنیم. 0 kn 5 k. P6.4. P6.5.. n. 600 l. P6.. P6. d d - به کمک قضیه محورهای موازی ممان اینرسی هریک از سطوح را نسبت به محور d 9 5 m محاسبه می کنیم. محاسبه : I PROLEMS I I + d I + ( )( 9) 95 cm 4 ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7
. P6.4. P6.... P6. 5 m. P6.5 n. 0 kn 5 k PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7 600 l محاسبه : I d 0 I I + d 6 I + ( 6)( 0) 4 I 68 / 67 cm محاسبه : I نسبت به محور داریم: و به دلیل تقارن I I 95 cm 4 d 9 I I I + I + I ممان اینرسی کل مقطع برابر است با: I 95+ 68 / 67 + 95 4 I 4586 / 67 cm ب( از رابطه )6 6( مدول مقطع نسبت به محور را به دست می آوریم. برابر است با نصف کل ارتفاع مقطع یعنی: به دلیل تقارن مقطع h 0 c c 0 cm I 4586 / 67 S 0 S c S 458 / 67 cm
6 9 مشخصات هندسی مقاطع نورد شده با توجه به این که مقاطع نورد شده با استانداردهای کارخانة سازنده تولید می شوند لذا برای هریک از مقاطع تولیدی شامل تیر آهن ها ناودانی ها نبشی ها و... جداول مشخصات هندسی هر مقطع نیز ارائه می شود که با استفاده از این جداول مشخصات هندسی مقاطع نظیر ابعاد سطح مقطع ممان اینرسی و... استخراج می شوند به عنوان مثال شکل )7-6( قسمتی از جدول مشخصات مقاطع نیم پهن )IPE( را نشان می دهد که برای نمونه مشخصات هندسی IPE 00 را از آن استخراج نموده ایم. نيمرخ نيم پهن IPE سطح مقطع وزن واحد طول I ممان اينرسي 0 kn 5 k. P6.4. P6.5.. n. 00 mm0 cm S 5/6 mm0/56 cm t 8/5 mm0/85 cm 600 l. P6.. P6. 5 m I 940 cm 4 S 94 cm I 4 cm 4 S 8/5 cm PROLEMS ممان اینرسی حول محور اساس مقطع حول محور ممان اینرسی حول محور اساس مقطع حول محور عرض بال ضخامت جان ضخامت بال S اساس مقطع شعاع ژيراسيون h s t r c h-c I S I S a r T 4 4 IPE mm mm mm mm mm mm mm cm kg/m cm 4 cm cm cm 4 cm cm mm mm 80 80 46.8 5. 5 0. 59 7.64 6 80. 0.4 8.49.69 05 6 00 00 55 4. 5.7 7 7 74 0. 8. 7 4. 4.07 5.9 5.79 4 79 4.6 0 0 64 4.4 6. 7. 9. 0.4 8 5 4.9 7.7 8.65 45 96 6.9 40 40 7 4.7 6.9 7.9 6.4 9 54 77. 5.74 44.9 65 9. 60 60 8 5 7.4 9 6.4 7 0. 5.8 869 09 6.58 68. 6.7 84 9 7 80 80 9 5. 8 9 7 46.9 8.8 0 46 7.4 0..06 45 4 00 00 00 5.6 8.5 0.5 59 8.5.4 940 94 8.6 4 8.5.4 6 6.4 0 0 0 5.9 9. 77.4 6. 770 5 9. 05 7..48 79 9. 40 40 0 6. 9.8 5 4.8 90 9. 0.7 890 4 9.97 84 47..6 96 8 70 70 5 6.6 0. 5 5. 9 45.9 6. 5790 49 40 6..0 0 5.6 00 00 50 7. 0.7 5 5.7 48 5.8 4. 860 557 5 604 80.5.5 45 9.5 0 0 60 7.5 5 8 9.5 7 6.6 49. 770 7.7 788 98.5.55 70 4. 60 60 70 8 7 8 0.7 98 7.7 57. 670 904 5 040.79 94 44.7 6 47. مشخصات.95 :IPE00 46 0 400 400 80 8.6.5 4.5 84.5 66. 0 60 6.5 450 450 90 9.4 4.6 5.6 78 98.88 77.6 740 500 8.5 680 76 4. 65 49.44 500 500 00 0. 6 7 46 6 90.7 4800 90 h 00 mm0 cm 8/5 cm 0.4 40 4 4. 404 58 ارتفاع مقطع 54 مساحت 4.45 44 مقطع 550 550 0 7. 4 4 467 4 06 670 440. 670 54 600 600 0 9 4 4 54 56 9080 070 4. 90 08 4.66 48 56.5 ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7
. P6.4. P6.... P6. 5 m. P6.5 n. 0 kn 5 k PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7 600 l درصورتیکه مقطع مورد نظر ترکیبی از دو یا چند مقطع نوردشده باشد میتوان ابتدا مشخصات هندسی مقطع نوردشدة ساده )تکی( را از جدول استخراج نموده و سپس با استفاده از قضیه محورهای موازی مشخصات هندسی مقطع مرکب را بهدست آورد. مثال 9 در شکل زیر دوتیرآهن IPE 6 به صورت بههم چسبیده به عنوان یک مقطع مرکب ساخته شده است مطلوباست محاسبة: الف( ممان اینرسی مقطع مرکب حول و. ب( مدول مقطع حول دو محور و. IPE 6 ابتدا مشخصات هندسی مورد نیاز تیر آهن IPE 6 را از جدول استخراج می نماییم. IPE 6 : (h60mm6cm, 8 mm8/ cm, 0/ cm, I 869 cm 4, I 68/ cm 4 ) I مقطع مرکب: I و الف( محاسبه باتوجه به اینکه مقطع مرکب ساخته شده نسبت به محور های و متقارن میباشد کافیاست که ممان اینرسی یک پروفیل نسبت به محورهای مورد نظر را محاسبه نموده و دو برابر نماییم. بنابراین با استفاده از قضیه محورهای موازی خواهیم داشت: I (I + d ) I (I + d ) در پروفیل d نسبت به محور به دلیل انطباق محورهای باتوجه به شکل )الف( مقدار تک و در پروفیل مرکب برابر صفر است لذا: I I I 869 I 78 cm 4 4
d نسبت به محور برابر نصف عرض بال IPE 6 میباشد یعنی: و مقدار c c 8/ d 4/ cm I (I + d ) ( 68/ + 0/ 4/ ) I 8 / 6 cm 4 d )شکل الف( 0 kn 5 k h 6 c 8 cm c 8/ cm. P6.4. P6.5 5.. I S S 7 / 5 cm c 8 n. I 8 / 6 S S 99 / 07 cm c 8/ 78 600 l. P6.. P6. 5 m PROLEMS نکته: با توجه به نتایج مثال 9 و مقایسة آن با مشخصات هندسی IPE 6 مشاهده می شود که: ممان اینرسی مقطع مرکب حول محور دو برابر ممان اینرسی مقطع ساده )تکی( می باشد به همین ترتیب اگر تعداد مقاطع n برابر شود و مرکز سطح آن ها بر محور منطبق باشد ممان اینرسی مقطع مرکب حول محور نیز n برابر خواهد شد. ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7
. P6.4. P6.... P6. 5 m. P6.5 n. 0 kn 5 k PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7 600 l خالصة فصل گشتاور اول سطح نسبت به یک محور عبارت است از: حاصل ضرب مساحت در فاصله مرکز آن تا آن محور مورد نظر و نسبت به محور های و به صورت زیر تعریف می شود: Q Q.Y.X گشتاور اول سطوح مرکب با تجزیه آن ها به سطوح ساده هندسی و محاسبه گشتاور اول سطح هرکدام نسبت به محورهای مورد نظر و جمع جبری آن ها محاسبه می شود. یعنی: n Q. n Q. مختصات مرکز سطح یک سطح هندسی با استفاده از گشتاور اول سطح و رابطة زیر تعیین X Y می شود: اگر سطحی دارای یک محور تقارن باشد مرکز سطح روی آن محور خواهد بود. اگر سطحی دارای دو محور تقارن باشد مرکز سطح محل تالقی آن دو محور خواهد بود. ممان اینرسی عامل مقاوم در مقابل خمش است. اگر تعداد مقاطع روی یک محور n برابر شود درصورتی که مرکز سطح آن ها روی آن محور قرار گیرد در این حالت ممان اینرسی کل نیز n برابر خواهد شد. ممان اینرسی یک سطح نسبت به محورهای موازی محور مرکزی آن با رابطة زیر تعیین می شود: I I + d I I + d و X می باشد. : d فاصله دو محور و Y می باشد. : d فاصله دو محور 6
اساس مقطع نیز همانند ممان اینرسی عامل مقاوم در مقابل خمش است و از رابطة زیر S S I c I c بهدست میآید: فاصله دورترین تار مقطع تا محور : فاصله دورترین تار مقطع تا محور : مشخصات هندسی مقاطع نوردشده از جداول استاندارد آنها استخراج میشود. ممان اینرسی مقاطع مرکب با استفاده از قضیة محورهای موازی محاسبه میشود. ted Forces خودآزمایی - در شکل های زیر مختصات مرکز سطح را محاسبه کنید. 5/49 etermne the coordnates of the centrod of the trapezodal area shown. -coordnates of the centrod 60 mllmeters m 5/47 0 kn 5 k. P6.4. P6.5 7.. nates of the centrod of the n. 58 hapter 600 5 struted Forces mm 600 l. P6.. P6. PROLEMS Introductor Prolems 00mm mm 5/47 etermne the - and -coordnates of the centrod Prolem 5/49 of the shaded area. 5/50 etermne the -coordnate of the centrod of the shaded area. 80mm 80 60mm 0 h 600mm 80mm 60 600mm 600 mm a 60mm 60 5 m mensons Prolem n mllmeters 5/50 5/5 etermne the Prolem coordnates 5/47 of the centrod of the shaded area. 5/48 etermne the coordnates of the centrod of the shaded area. )الف( PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7 5/49 etermne the coordnate ezodal area shown. )ب( 600 mm 00 mm 600 mm Prolem 5/50 etermne the -coord shaded area.
. P6.4. P6.... P6. 5 m. P6.5 n. 0 kn 5 k PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7 Prolem 5/50 Prolem 5/50 5/5 /Volumes/MHQ-New/MHQ5/MHQ5-07 etermne the coordnates of the centrod of the 5/5 etermne shaded area. the coordnates of the centrod of the shaded area. 00 mm 00 mm 50 mm /48 00mm 00mm 50mm 8 d I of the respectvel 5 mm 5 mm Prolems 60 9 mm 60mm 5 rtcle mm 5/4 Prolems 59 5 mm 5mm 5mm 5/55 etermne the - and -coordnates of the centrod of the shaded area. Prolem 5/5 Prolem 5/5 )ج( ee8056_ch07_76-99.ndd Page 9 0/6/09 :0:40 PM user-s7 60 mm 5 0 mm 5cm 0 mm 607.5 mm4 and 7.6 etermne the moments of nerta I and I of the 0 mm 0 mm area shown wth respect to centrodal aes that are respectvel. P7.6 parallel and perpendcular to the sde. 4 6 cm 4cm cm 6cm )د( shown wth and perpen- Representatve Prolems Prolem 5/55 4cm cm cm cm n. n. n. 5/56 etermne the -coordnate of the centrod of the shaded area. 6cm6 n. 45 45 90 mm 75 mm 00 mm cm n. )ه(. P7.5 F 60 mm 7.7 etermne the moments of nerta I and I of the area shown wth respect to centrodal aes that are respectvel parallel and perpendcular to the sde 60 mm. Prolem 5/56 60cm 80cm 5/57 etermne the dstance O H from the ottom of the ase plate 40cm to the centrod of the ult-up structural secton 40 40cm shown. 40 40cm 40 40cm 40 mensons n )و( mm 0 0 9 n.. P7.9 of the area of the area the area. n ether termne the 600 l 6 n. 5 n. n. 5 n.. P7.7 and P7.8 8
5 5 8 8 ee8056_ch07_76-99.ndd Page 94 0/6/09 :0:44 PM user-s7 / 50.8 50.8 ee8056_ch07_76-99.ndd 0 mm Page Page 94 94 0/6/09 0/6/09 :0:44 :0:44 PM PM PM PM user-s7 PM 7.5 and 7.6 etermne the moments of nerta I 0mm and I of the area shown wth respect 00mm to centrodal aes that are respectvel parallel and perpendcular 75 to mm the sde. 75mm. P7.4. P7.4 n. n. n. 7.44 In Pro. 7.4, determne the dstance for whch the centrodal 7.44 94 In moments 94 struted struted Forces: Forces: Moments Moments of of of Inerta of of Inerta of of of reas of of reas Pro. 7.4, of nerta determne.s وI Sand Idstance و the I و the محاسبة column است مطلوب for 7.4 secton whch 7.4 Two مقطع Two 6 the در 6 6 46 هر are 6 equal. centrodal 4 4-4 4 -n. -n. angles angles are a moments of nerta I and I of the column secton shown. shown. are etermne equal. the momen the m of of of of the of the secton secton wth wth respect 60 mm tot 7.45 The strength 6 of n. the rolled S secton shown s ncreased weldng 7.45 The a channel strength to ts of upper the rolled flange. S secton etermne shown the 7.4 s moments 7.4 ncreased Two Two channels of channels nerta weldng and of 0 and two mm two plates a the channel comned to ts secton upper wth flange. respect etermne to 0/5cm ts centrodal the moments shown. shown. and of For nerta For aes. 5 00 5 of 00 mm, mm de d 0 mm )الف( the comned secton wth respect to ts centrodal the the rad and rad of of of of graton of aes. graton of of of of the of th co tc n. 7.46 channel and a 6 6 n. plate 6cm6 n. n. 66 n. n. are welded together as centrodal shown to aes. form aes. a 7.46 secton channel that and s smmetrcal a plate are wth welded respect together the as shown as. etermne to form a 0 mm the secton moments that s. of smmetrcal nerta P7.5 of the wth secton respect wth to respect the as. to ts etermne centrodal. P7.6 the and moments aes. of 0/5cm nerta n. n. n. n. n. of 4 44cm n. the 4 n. n. n. secton n. wth respect to ts centrodal and aes. 7.7 etermne the moments.. P7.4 of P7.4 nerta I and I of the area shown wth respect to centrodal aes that are respectvel parallel and perpendcular to the sde. 8 5 8 5 0 0 0 mm 0 0 mm 0.5 n. 6cm 6 n. 8 8 8 8 8 5 5 0.5 n. n. 75 75 mm m 5 /5cm n.. P7.46 n... P7.4 P7.4. P7.46 cm n. )ب( 9cm9 n. 7.47 Two L0 0 7-mm angles are welded 7.44 7.44 In In In to In Pro. In a -mm Pro. 7.4, 7.4, determne steel the th 7.47 Two plate L0 as shown. 0 For 7-mm 5 50 mm, angles determne are welded the moments to a -mm of of of of nerta of ner- steel nerta I I I and I I and I I I plate ta of as the shown. comned For secton 5 50 S wth mm, S 8 respect 5 /5cm 8 determne n. to centrodal the moments aes that of nerta respectvel of the comned parallel secton and perpendcular wth respect to to the centrodal plate. are 7.45 7.45 The The strength strength of of of of the of the rolled rolled S S ss a a a channel a a channel aes to to to ts that ts to to ts ts upper ts are. P7.7 /cmand P7.8 upper flange. respectvel parallel. and. P7.45 perpendcular P7.45 to the plate. the the comned secton secton wth wth res L0 0 7 9 7.8 etermne the centrodal polar L0 moment 0 7 of 7.46 nerta 7.46 of channel the channel area and a and a a plate a a plate are ar wa shown. secton secton that s that s s smmetrcal s s w 0 mm 40 40 the the moments of of of of nerta of nerta of of of the of oth 0 kn 5 k of the secton wth respect to the centrodal aes shown. 7.4 Two channels and two plates are used to form the column secton 7.4 Two shown. channels For and 5 00 two mm, plates determne are used the to form moments the column of nerta secton and the shown. rad For of graton 5 00 of mm, the determne comned the secton moments wth respect of nerta to and the the centrodal rad of aes. graton of the comned secton wth respect to the - با استفاده از تقارن مختصات مرکز سطح را بهدست آورید. aes. centrodal. P6.4. P6.5.. n. 500mm 94 struted Forces: Moments of Inerta of reas 7.4 Two 6 4 -n. angles are welded together shown. etermne the moments of nerta and of the secton wth respect to the centrodal a 7.4 Two channels and two plates are used to form shown. For 5 00 mm, determne the mo the rad of graton of the comned secton ee8056_ch07_76-99.ndd Page 9 0/6/09 :0:40 PM user-s7 600 l. P6.. P6. centrodal aes. 6 n. 4 n. n. 5 m 50. P7.4 0 mm 8 5 75 mm PROLEMS. P7.4 7.44 In Pro. 7.4, determne the dstance for w moments of nerta I and I of the column se ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7 S 8 7.45 The strength of the rolled S secton shown s a channel to ts upper flange. etermne the m
. P6.4. P6.... P6. 5 m. P6.5 n. 0 kn 5 k PROLEMS ee8056_ch06_6-75.ndd Page 8 0/6/09 :50:46 M user-s7 PROLEMS struted Forces: Moments of Inerta of reas struted Forces: Moments of Inerta of reas 7.54 etermne the moments of nerta of the shaded area shown wth 7.54 etermne the moments of nerta of the shaded area shown. P7.57 wth respect to the and aes when a 5 0 mm. respect to the and aes when 0 mm. -4 در هر کدام as. از the مقاطعto مطلوب respect استwth محاسبة: of graton of the shaded area 7.5 through 7.8 etermne the moment of nerta and the radus 7.54 etermne the moments of nerta of the shaded area shown wth respect to the and aes when a 5 0 mm. struted Forces: Moments of Inerta of reas 98 7.9 through 7. etermne the moment سطحof nerta مرکز and مختصات the الف( a radus of graton of the shaded area wth respect to the as. ب( ممان اینرسی حول محورهای گذرنده از مرکز سطح 0mm 50mm 0mm )ب( )الف( 90mm. P7.5 and P7.9 r 0 mm a. P7.56 O 0 mm a 5 mm a a. P7.54 n. 6 n. n. 5 cm O n. cm 75 mm 50 mm r 0 mm 0 mm 6 n. 5 mm )ب( n. n. 4 n. n. S در مقاطع مرکب زیر. n. cm cm. P7.55. و P7.55 O. P7.7 and P7. 5- مطلوباست محاسبة I و I و S. P7.8 and P7. whch for I (a) etermne 0 5 I. f 5 0 n. () etermne the dmenson 0 mm mm 7.56 etermne the moment of nerta of the shaded area shown wth 7.55 and I I 7.56 etermne the moment of nerta of the shaded area shown wth 7.. P7.56 etermne. P7.56 the IPE shaded 8 respect respect area and to the to the ts moment as. as. of nerta wth respect to a. P7.54 centrodal as parallel to 9, knowng that ts moments 7.57 The shaded area s of nerta wth respect 7.57 The to shaded 9 and area 9 s equal to 5000 mm are, respectvel, to 5000 mm. etermne ts centro-. etermne ts centrodal moments 4 of nerta I 0 6 mm 4 and 4 0 6 dal moments mm, and that of dnerta 5 5 and I mm and and, knowng that I knowng d 5 0 mm. that 5 I I and that and that the polar moment of nerta of the area a aout pont s J the polar moment 80 of mm nerta of the area IPE aout 0 pont s 5.5 0.5 0 6 mm mm 4. ج( اساس مقطع نسبت به محورهای گذرنده از مرکز سطح. 7.55 (a) etermne I and I f 5 0 n. () etermne the dmenson for whch I 5 I. 60 mm.5 0 6 mm 4. 7.4 Knowng that the shaded area s equal to 6000 mm and that ts 0. P7.57 moment of nerta wth respect to. 9 P7.57 s 8 0 6 mm 4, deter- d d 60 mm 60 mm. P7. and P7.4 a a 600 l ' ' n. n. O a a d n. d r 0 mm n. n.. P7.55 O 7.56 etermne the moment of nerta of the shaded area shown wth respect to the as. n. )الف( dal moments nerta I and I, that n. of knowng I polar the nerta moment of of the area aout pont s J 5 I 5 and that 7.57 shaded The area s equal to 5000 mm. ts etermne centro-. P7.54. P7.54 6 n. respect 50mm to the as. 7.55 (a) etermne I 7.55 (a) etermne n. n. the moment 7.56 etermne and I of nerta of the shaded area shown wth and f 5 0 n. () etermne the dmenson f 0 n. () etermne the dmenson for whch I for whch 5 I 0mm. P7.55. n. n. n.. P7.6 and P7.0 a a 0 mm. P7.56 7.57 The shaded area s equal to 5000 mm. etermne ts centro- struted Forces: Moments of Inerta of reas mne ts moment of nerta wth respect to 9 for d 5 50 mm 7.54 etermne the moments of nerta of the shaded area shown wth respect to the and aes when a 5 0 mm.