Περίθλαση μικροκυμάτων

Περίθλαση μικροκυμάτων. Εισαγωγή-Ιστορικά Θεωρούμε ένα κυκλικό άνοιγμα σε ένα αδιαφανές πέτασμα όπως στο Σχήμα. Το άνοιγμα φωτίζεται κάθετα από τη μια μεριά από ένα laser. Από την άλλη μεριά υπάρχει λευκή οθόνη όπου παρατηρούμε τη μορφή της σκιάς. Σχήμα : Στη λευκή οθόνη, που μπορεί να κινείται κάθετα στις φωτεινές ακτίνες, παρατηρούμε τη μορφή της σκιάς. ίπτον φως αδιαφανές πέτασμα με κυκλικό άνοιγμα λευκή κινητή οθόνη Εάν η οθόνη είναι κοντά στο πέτασμα, θα παρατηρήσουμε στο μέσο της σκιάς μια φωτεινή κηλίδα παρόμοια σε σχήμα και μέγεθος με το άνοιγμα. Μια τέτοια εικόνα θα περίμενε κανείς από τη Γεωμετρική Οπτική που (για ομογενές μέσο) προβλέπει ευθύγραμμη διάδοση του φωτός όπως στο Σχήμα. Σχήμα : Η Γεωμετρική Οπτική θα προέβλεπε μια φωτεινή κηλίδα ακριβώς στο μέγεθος του ανοίγματος. Θα υπήρχε σκιά πίσω από το πέτασμα. Στην πραγματικότητα, αυτό συμβαίνει μόνον όταν η οθόνη παρατήρησης (βλ. Σχήμα ) είναι κοντά στο άνοιγμα. Εάν απομακρύνουμε την οθόνη, θα παρατηρήσουμε μια πιο περίπλοκη εικόνα: η φωτεινή κηλίδα τώρα θα περιβάλλεται από φωτεινούς και σκοτεινούς κροσσούς. Εάν την απομακρύνουμε ακόμα περισσότερο, θα παρατηρήσουμε ένα πολύ εκτεταμένο σύστημα κροσσών που ελάχιστη σχέση έχει με τη φωτεινή κηλίδα που βλέπαμε αρχικά. Μάλιστα, πέρα από μια ορισμένη απόσταση, το σύστημα κροσσών δεν αλλάζει (εκτός, βέβαια, από

μια ομοιόμορφη μείωση στην ένταση της εικόνας), όσο και εάν απομακρύνουμε την οθόνη. Στο παραπάνω παράδειγμα έχουμε περίθλαση (diraction). Περίθλαση είναι οποιαδήποτε εκτροπή των φωτεινών ακτίνων από την ευθύγραμμη διάδοση, όταν η εκτροπή αυτή δεν μπορεί να ερμηνευθεί ως ανάκλαση (relection), διάδοση (transmission) ή διάθλαση (reraction). Περίθλαση συναντάμε σε αντικείμενα με ακμές, γι αυτό συχνά χρησιμοποιείται και ο όρος περίθλαση ακμής (edge diraction). Πολλές φορές βολεύει να σκεφτόμαστε ότι οι φωτεινές ακτίνες «καμπυλώνουν» γύρω από την ακμή. Τα φαινόμενα της ανάκλασης, διάδοσης και διάθλασης είναι αντικείμενα της Γεωμετρικής Οπτικής. Η περίθλαση, όμως, προβλέπεται και εξετάζεται από τη γενικότερη θεωρία της Κυματικής Οπτικής. Λέμε γενικότερη, διότι η Γεωμετρική Οπτική είναι το όριο της Κυματικής Οπτικής για υψηλές συχνότητες. Συνηθέστατα χρησιμοποιείται και ο όρος Φυσική Οπτική μ αυτόν, αναφερόμαστε συνήθως σε φαινόμενα περίθλασης. Βασικός νόμος της Φυσικής Οπτικής είναι η Αρχή του Hugens, η αρχική μορφή της οποίας προτάθηκε από τον C. Hugens το 690. Το όριο της Κυματικής Οπτικής για υψηλές συχνότητες είναι η Γεωμετρική Οπτική και στο όριο αυτό δεν υπάρχει περίθλαση. Υποψιαζόμαστε λοιπόν ότι οι χαμηλές συχνότητες θα υφίστανται εντονότερη περίθλαση από τις πιο υψηλές. Αυτό είναι πράγματι σωστό. Η διάθλαση, αντιθέτως, είναι πιο έντονη για υψηλές συχνότητες και αυτή η διαφορά είναι σημαντική για ορισμένες αστρονομικές παρατηρήσεις. Ο R. Descartes (596 650) είχε προβλέψει θεωρητικά τα κύρια χαρακτηριστικά του ουράνιου τόξου με ανάκλαση/διάθλαση από σταγόνες βροχής. Μια πλήρης εξήγηση, όμως, απαιτεί κατανόηση του πιο περίπλοκου φαινομένου της περίθλασης. Μέχρι τώρα περιγράψαμε οπτικά φαινόμενα και, φυσικά, χρησιμοποιήσαμε τη γλώσσα της Οπτικής. Όμως όλα τα είδη κυμάτων (π.χ. φως, ακουστικά, ηλεκτρομαγνητικά) υφίστανται περίθλαση. Εδώ ενδιαφερόμαστε κυρίως για περίθλαση μικροκυμάτων, αλλά θα συνεχίζουμε να χρησιμοποιούμε τη βολική και καθιερωμένη γλώσσα της Οπτικής ακόμα και για την περίπτωση αυτήν. Γενικά, η περίθλαση είναι σπουδαίο φυσικό φαινόμενο. Εάν δεν υπήρχε, τα κύματα δεν θα διαδίδονταν γύρω από εμπόδια. Μπορούμε να αποδώσουμε σε περίθλαση το ότι ακούμε στον δρόμο ήχους που προέρχονται από διπλανά τετράγωνα, το ότι βλέπουμε κύματα νερού μέσα σε σχεδόν-κλειστά λιμάνια και το ότι το κινητό μας τηλέφωνο λειτουργεί πίσω από λόφους και μέσα σε πόλεις. Στη συνέχεια θα δώσουμε τις αρχές της περίθλασης και θα περιγράψουμε ποσοτικά ορισμένα φαινόμενα περίθλασης. Αλλά, πρώτα, κλείνουμε την παρούσα Εισαγωγή με ένα ακόμα ιστορικό στοιχείο: Εάν παρατηρήσουμε την εικόνα περίθλασης ενός κυκλικού εμποδίου (η διάταξη αυτή είναι «συμπληρωματική» αυτής του Σχήματος ) εκτός από την κυκλική σκιά ακολουθούμενη από κυκλικούς κροσσούς, θα παρατηρήσουμε (Σχήμα 3) μια φωτεινή κηλίδα στο κέντρο της σκιάς (το πείραμα αυτό απαιτείται να γίνει με μεγάλη ακρίβεια). Αυτό το είδος περίθλασης το μελέτησε πρώτος το 88 ο D. Arago. Η Γεωμετρική Οπτική, βέβαια, δεν προβλέπει την ύπαρξη της φωτεινής κηλίδας στο κέντρο διότι, σύμφωνα με τη θεωρία αυτή, όλη η περιοχή πίσω από το εμπόδιο είναι περιοχή σκιάς.

Σχήμα 3: Μια δέσμη από laser περιθλάται γύρω από ένα κυκλικό εμπόδιο (το κεφάλι μιας καρφίτσας κολλημένο πάνω σε ένα κομμάτι γυαλί). Παρατηρούμε μια φωτεινή κηλίδα («κηλίδα oisson») στο μέσο της σκιάς. Ο S. oisson (78 840), χρησιμοποιώντας την Κυματική Οπτική του A. Fresnel (788 87), είχε καταφέρει να προβλέψει την ύπαρξη της κηλίδας. Αλλά ο oisson υποστήριζε τη Γεωμετρική Οπτική και χρησιμοποίησε τη θεωρητική του πρόβλεψη ως αντεπιχείρημα στη θεωρία του Fresnel. Μετά από λίγο, όμως, ο Arago παρατήρησε τη φωτεινή κηλίδα πειραματικά. Έτσι, μέσω του πειράματος του Arago, ο oisson ενίσχυσε τη κυματική θεωρία αντί να την καταρρίψει. Παρά (ή ίσως εξαιτίας) των παραπάνω, το εν λόγω φαινόμενο συχνά ονομάζεται «περίθλαση oisson».. Αρχή του Hugens Θα δώσουμε τρεις εκδοχές της Αρχής του Hugens. H πρώτη είναι κάπως περιγραφική και κατασκευαστική, αλλά είναι όμως αρκετή για ορισμένες απλές περιπτώσεις: Αρχή Hugens, Εκδοχή Α: «Το μελλοντικό σχήμα ενός οποιουδήποτε μετώπου κύματος μπορεί να προβλεφθεί εάν υποθέσουμε ότι (α) κάθε σημείο του μετώπου εκπέμπει σφαιρικό κύμα και (β) σχηματίσουμε την περιβάλλουσα όλων των σφαιρικών αυτών κυμάτων.» Σε άπειρο ισοτροπικό μέσο χωρίς επιφάνειες ασυνέχειας, η κατασκευή αυτή δίνει απλώς ένα νέο μέτωπο, παράλληλο με το αρχικό. Ως δεύτερο παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ένα επίπεδο κύμα ίπτει στην επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια δύο ημιάπειρων ισοτροπικών μέσων όπως στο Σχήμα 4. 3

Προσπίπτον κύμα W i O O Σχήμα 4: Ερμηνεία του γνωστού μας φαινομένου διάθλασης μέσω της Αρχής του Hugens (Εκδοχή Α). W d Διαθλώμενο κύμα Για την περίπτωση αυτή, η Αρχή Hugens δίνει μια πολύ ωραία ερμηνεία του βασικού φαινομένου της διάθλασης: Τη στιγμή που το επίπεδο μέτωπο Wi ίπτει στο σημείο της διαχωριστικής επιφάνειας, όλες οι προηγούμενες θέσεις Ο του μετώπου έχουν ήδη ακτινοβολήσει σφαιρικά κύματα. Αυτά έχουν σχεδιασθεί ως ημισφαίρια στο Σχήμα 4. Η περιβάλλουσα αυτών των σφαιρικών κυμάτων μάς δίνει ένα επίπεδο που είναι το μέτωπο Wd του διαθλώμενου κύματος. Η κάθετη στο Wd είναι η διεύθυνση διάδοσης του διαθλώμενου κύματος, και είναι διαφορετική από τη διεύθυνση του ίπτοντος. Στο Παράρτημα, χρησιμοποιούμε την Αρχή Hugens (Εκδοχή Α) για να μελετήσουμε περαιτέρω το φαινόμενο διάθλασης. O Αναφέρουμε τώρα τη δεύτερη εκδοχή, που είναι κατάλληλη για το πρόβλημα του ανοίγματος σε αδιαφανές πέτασμα. Αναφερόμαστε συγκεκριμένα στο Σχήμα, επιτρέποντας όμως δύο γενικεύσεις: (α) το άνοιγμα δεν είναι αναγκαστικά κυκλικό και (β) το ίπτον κύμα δεν είναι αναγκαστικά επίπεδο. Αρχή Hugens, Εκδοχή Β: «Το κύμα δεξιά από το πέτασμα διαδίδεται σαν κάθε στοιχειώδης επιφάνεια d του ανοίγματος να ήταν πηγή σφαιρικού κύματος, όπου το μιγαδικό πλάτος του σφαιρικού κύματος είναι, σε μέτρο και σε φάση, ίδιο με το μιγαδικό πλάτος του ίπτοντος στο σημείο d κύματος.» Για επίπεδο ίπτον κύμα, η εικόνα δίνεται στο Σχήμα 5 και είναι διαφορετική από την εικόνα (Σχήμα ) της Γεωμετρικής Οπτικής. 4

πέτασμα Σχήμα 5: Η Αρχή του Hugens (Εκδοχή Β) προβλέπει ότι κάθε σημείο του ανοίγματος επανεκπέμπει σφαιρικά κύματα. Εδώ δείχνουμε τα κύματα προερχόμενα από ένα μόνο σημείο του ανοίγματος. Το ίπτον κύμα εικονίζεται ως επίπεδο κύμα που ίπτει κάθετα στο πέτασμα. Οι κροσσοί δημιουργούνται διότι τα διάφορα σφαιρικά κύματα συμβάλλουν. Για τον λόγο αυτόν λέγεται συνηθέστατα στην Οπτική ότι περίθλαση και συμβολή είναι, ουσιαστικά, το ίδιο φαινόμενο, και, για τον ίδιο λόγο, χρησιμοποιούμε συχνά τον όρο «κροσσοί συμβολής». Είναι σκόπιμο να ορίσουμε ακριβώς τι εννοούμε με τον όρο «ίπτον κύμα»: Είναι το κύμα που θα υπήρχε στο άνοιγμα εάν το πέτασμα απουσίαζε. Η Εκδοχή Β χρησιμεύει στο να βρούμε το κύμα οπουδήποτε δεξιά από το πέτασμα, επειδή το ίπτον κύμα θεωρείται γνωστό. Εάν, π.χ., η πηγή είναι μια σημειακή πηγή κάπου αριστερά από το πέτασμα, το ίπτον κύμα είναι το σφαιρικό κύμα Ae jkl / l, όπου η απόσταση από την πηγή στο σημείο (στη στοιχειώδη επιφάνεια), A το μιγαδικό πλάτος και k / ο κυματαριθμός. Για σημειακή πηγή στο άπειρο (αριστερά, βέβαια, από το πέτασμα), έχουμε επίπεδο ίπτον κύμα. Τονίζουμε ιδιαίτερα ότι η Αρχή του Hugens (τουλάχιστον οι τρεις εκδοχές που δίνουμε εδώ) είναι προσεγγιστική: Στην Εκδοχή Β, έχουμε παραδεχθεί ότι η κυματική κατανομή πάνω στο άνοιγμα είναι ίδια μ αυτήν του ίπτοντος κύματος. Έχουμε επομένως παραδεχθεί ότι η κατανομή πάνω στο άνοιγμα δεν εξαρτάται από το ίδιο το άνοιγμα (π.χ. το σχήμα του ή το μέγεθός του). Αυτό μπορεί να είναι σωστό μονο κατά προσέγγιση: Κοντά στα άκρα του ανοίγματος η κατανομή θα είναι οπωσδήποτε διαφορετική από ό, τι κοντά στο κέντρο. Είναι πάντως προφανές ότι η εν λόγω προσέγγιση είναι καλή για ηλεκτρικώς μεγάλα (δηλαδή μεγάλα μετρώμενα σε μήκη κύματος) ανοίγματα. Με άλλα λόγια, για υψηλές συχνότητες. Θα δώσουμε τώρα μια μαθηματική εκδοχή της Αρχής. Εκτός από το να αποσαφηνίσει τα παραπάνω, η τρίτη αυτή εκδοχή θα χρησιμοποιηθεί αμέσως μετά για ποσοτική ανάλυση: d l Αρχή Hugens, Εκδοχή Γ: «Το κύμα S δίνεται από την εξίσωση σε οποιοδήποτε σημείο δεξιά από το άνοιγμα j S e r jkr sin d () 5

όπου τα r, φαίνονται στο Σχήμα 6 και όπου το κύματος στο σημείο (στοιχειώδη επιφάνεια) d του S.» είναι η τιμή του ίπτοντος άνοιγμα Σχήμα 6: Τα σύμβολα για την Εκδοχή Γ της Αρχής Hugens. Η «πραγματική πηγή» βρίσκεται αριστερά από το πέτασμα. πέτασμα Τονίζουμε ότι τα μεγέθη στην () είναι βαθμωτά, ενώ τα βασικά μεγέθη στον ηλεκτρομαγνητισμό είναι διανυσματικά. Μια βαθμωτή ανάλυση πολλές φορές αρκεί ακόμα και για την περίπτωση μικροκυμάτων και θα αρκεστούμε σ αυτήν. Για επέκταση των παραπάνω εννοιών σε διανυσματικά πεδία παραπέμπουμε τον ενδιαφερόμενο στα [,,3]. σε οποιαδήποτε θέση δεξιά από Όπως φανερώνει η (), μπορούμε να βρούμε το κύμα το πέτασμα, αρκεί να γνωρίζουμε το ίπτον κύμα πάνω στο πέτασμα. Υπό το πρίσμα αυτό, το γνωστό κύμα παίζει το ρόλο «ισοδύναμης πηγής» για το άγνωστο. Από την () συνάγεται ακόμα ότι το ολικό κύμα βρίσκεται με υπέρθεση όλων των jkr συνεισφορών (σφαιρικών κυμάτων e / r ) που προέρχονται από τα σημεία του ανοίγματος με συντελεστή βάρους την ένταση της «ισοδύναμης πηγής» στα σημεία αυτά. Μάλιστα, η Εκδοχή Γ της Αρχής Hugens είναι απλώς η μαθηματική διατύπωση της Εκδοχής Β. Για την απόδειξη του ισχυρισμού αυτού [ιδιαίτερα για την παρουσία του παράγοντα sin στην ()], παραπέμπουμε στο [], όπου η () αποδεικνύεται με λεπτομέρεια ξεκινώντας από τη γνωστή μας βαθμωτή κυματική εξίσωση που ικανοποιούν τα και. Σημειώνουμε ότι η έννοια της ισοδύναμης πηγής είναι γενικότερα χρήσιμη στον Ηλεκτρομαγνητισμό και στις Κεραίες (βλ. π.χ., [4]). Σε ό, τι ακολουθεί, τοποθετούμε την αρχή Ο των συντεταγμένων κάπου στο μέσο του ανοίγματος, τον άξονα Ο κάθετα στο πέτασμα, και ενδιαφερόμαστε για την κατανομή του κοντά στον άξονα Ο. Επομένως μπορούμε να θέσουμε στην () sin () 6

3. Περίθλαση Fraunhoer Συνήθως λέμε ότι έχουμε «Περίθλαση Fraunhoer» όταν (Α) η «πραγματική πηγή» είναι επίπεδο κύμα, ίπτον κάθετα στο πέτασμα (όπως στο Σχήμα 5), καθώς και (Β) το σημείο παρατήρησης που μας ενδιαφέρει βρίσκεται πολύ μακριά από το πέτασμα. Συγκεκριμένα, υποθέτουμε ότι το Ο είναι πολύ μεγαλύτερο από τη μέγιστη διάσταση του ανοίγματος. Λόγω της παραδοχής (Α), το r μπορεί να βγει εκτός ολοκλήρωσης στην (). Λόγω της (Β), στον παρονομαστή της () μπορούμε να κάνουμε την προσέγγιση στον παράγοντα απαιτείται η καλύτερη προσέγγιση: r e jkr ~ / r r. Αλλά r cos cos όπου cos / r, cos r (3) Στην (3), οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου «πηγής» είναι (,,0), οι καρτεσιανές συντεταγμένες του είναι (,, ) και cos, cos, cos είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης του άξονα O. Τα μεγέθη αυτά φαίνονται στο Σχήμα 7. Ισχύει r, καθώς και cos cos cos. d Σημείο «πηγής» r Ο Σχήμα 7: Στο επίπεδο, δείχνουμε τα σύμβολα στην εξίσωση (3). Γενικά πρέπει να φανταζόμαστε τον άξονα Ο εκτός του επιπέδου, οπότε /. Η εικόνα στο επίπεδο είναι παρόμοια. 7

Η προσέγγιση (3) είναι απλώς η δισδιάστατη εκδοχή της γνωστής μας προσέγγισης που γίνεται στις μεγάλες γραμμικές κεραίες [5, σελ. 6 6] και στις στοιχειοκεραίες [5, σελ. 35]. Ο βασικός λόγος που απαιτείται καλύτερη προσέγγιση στον εκθέτη είναι ότι έχουμε υψηλές συχνότητες. Άρα το είναι ιδιαίτερα ευαίσθητο σε μικρές μεταβολές του r. e jkr Με τις προσεγγίσεις αυτές, οι () και () γράφονται jkr j e jk ( cos cos ) (, e dd r (4) ) S που είναι η βασική εξίσωση για την περίθλαση Fraunhoer. Το κύμα στο σημείο βρίσκεται συναρτήσει των δύο γωνιών (καθώς και της απόστασης και 4. Γενίκευση Χρήση μετασχηματισμού Fourier Η (4) μπορεί να γενικευθεί ακόμα και στην περίπτωση που η «ισοδύναμη πηγή» r). είναι σταθερή πάνω στο άνοιγμα. (Αυτό συμβαίνει όταν, π.χ., η πραγματική πηγή είναι επίπεδο κύμα, αλλά η πρόσπτωση δεν είναι κάθετη.) Για την περίπτωση αυτή, αρκεί να τροποποιήσουμε την (4) περνώντας τον παράγοντα (, ) μέσα στο ολοκλήρωμα. Μια σημαντική παρατήρηση είναι ότι η εν λόγω σχέση είναι σχέση δισδιάστατου, χωρικού μετασχηματισμού Fourier, με το (, ) να παίζει τον ρόλο του μετασχηματισμού Fourier του (, ). [Στον γνωστό μας μετασχηματισμό Fourier, o χρόνος t μετασχηματίζεται στη συχνότητα εδώ, οι χωρικές μεταβλητές μετασχηματίζονται, αντίστοιχα, στις kcos, kcos ]. Η παρατήρηση αυτή είναι σημαντική στην Οπτική Fourier, ένα αντικείμενο της οποίας είναι και η ολογραφία [6]. 5. Περίθλαση Fraunhoer από κυκλικό άνοιγμα Υπολογίζουμε τώρα το ολοκλήρωμα στο (4) για την περίπτωση που το άνοιγμα είναι κυκλικό με ακτίνα a. Το είναι κυκλικά συμμετρικό και θα το βρούμε συναρτήσει της γωνίας (βλ. Σχήμα 7). Για να το κάνουμε αυτό, αρκεί να υπολογίσουμε το (4) για σημεία που ανήκουν στο επίπεδο οπότε και. Χρησιμοποιούμε, ακόμα, πολικές συντεταγμένες για την ολοκλήρωση οπότε η (4) γράφεται a jkr j e jk cos sin ( e dd r (5) ) 0 Το διπλό αυτό ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογισθεί με τη βοήθεια των δύο ολοκληρωμάτων [7] δεν, 8

0 e j cos d J 0 ( ) και t J 0 ( t) dt J( ) 0 (6) και προκύπτει ( ) jka e r jkr J( kasin ) kasin (7) Εδώ, J 0 ( ) και J ( ) είναι οι γνωστές μας συναρτήσεις Bessel μηδενικής και πρώτης τάξης, αντίστοιχα. Σημειώνουμε ότι για αναμέναμε) και μάλιστα ότι ισχύει [7] 0, η τιμή της (7) είναι πεπερασμένη (όπως J( ) 0 (8) Από τις (7) και (8) μπορούμε να γράψουμε ( ) (0) J( kasin ) kasin (9) και για δεδομένο ka, διάγραμμα αυτής της σχέσης είναι το κανονικοποιημένο διάγραμμα ισχύος. Τέτοια διαγράμματα μπορούν να γίνουν με τη βοήθεια του Σχήματος 8. 0.8 0.6 0.4 0. 0.04 0.03 0.0 0.0-5 -0-5 5 0 5-5 -0-5 5 0 5 Σχήμα 8: Διαγράμματα του [ J ( ) / ] ως συνάρτηση του για 5. Το αριστερό διάγραμμα είναι πλήρες ενώ το δεξί έχει «κοπεί» για ευκρίνεια. Από τα διάγραμματα αυτά, μπορούμε να σχεδιάσουμε το διάγραμμα ισχύος οποιουδήποτε κυκλικού ανοίγματος (με ka 5) στη ζώνη Fraunhoer. Από το Σχήμα 8 βλέπουμε ότι έχουμε μέγιστο κατά τον άξονα Ο σε συμφωνία με τα γνωστά μας από τις μετωπικές στοιχειοκεραίες. Στα μέγιστα/ελάχιστα έχουμε φωτεινούς/σκοτεινούς κροσσούς, αντίστοιχα. Τέλος βλέπουμε ότι μεγαλύτερα ανοίγματα έχουν πιο κατευθυντικό κύριο λοβό, όπως συμβαίνει και στις ομοιόμορφες γραμμικές 9

στοιχειοκεραίες [5, σελ. 4 50]. Αλλά αυτό το περιμένουμε και από τις γενικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier. Το «συμπληρωματικό πρόβλημα» της περίθλασης γύρω από κυκλικό εμπόδιο ακτίνας a μπορεί να εξετασθεί με παρόμοιο τρόπο [] και να προβλεφθεί θεωρητικά η ύπαρξη της κηλίδας oisson. Για μια μεγάλη τιμή του ka, πειραματικά αποτελέσματα φαίνονται στο Σχήμα 9. Σχήμα 9: Περίθλαση Fraunhoer γύρω από κυκλικό εμπόδιο -πειραματικά αποτελέσματα. Παρατηρούμε και εδώ την κηλίδα oisson. Εδώ, η τιμή του kaείναι μεγάλη οπότε παρατηρούνται πολλοί κροσσοί συμβολής. 6. Περίθλαση Fraunhoer από ορθογώνιο άνοιγμα Η ανάλυση είναι πιο εύκολη (αλλά η φυσική εικόνα κάπως πιο περίπλοκη!) όταν το άνοιγμα S είναι ορθογωνικό. Έστω και - και - άξονα αντίστοιχα. Είναι πολύ εύκολο να δειχθεί από την (4) ότι, για περίθλαση Fraunhoer, e a b οι διαστάσεις, κατά τον sin( kacos ) sin( kbcos ) jkr (, ) jk ab r kacos kbcos (0) Επομένως (, ) sin( ka cos ) sin( kb cos ) ka cos kb cos, () 0

Υπενθυμίζουμε ότι η συνάρτηση [8] είναι πεπερασμένη, με τιμή, όταν και ότι το 0 είναι η θέση απολύτου μεγίστου. Έχουμε μηδενικά όταν,,... και τοπικά μέγιστα όταν. Για μεγάλα, οι λύσεις αυτής της εξίσωσης όλο και 3 5 προσεγγίζουν τα μέσα,,... μεταξύ των μηδενικών και για πρόχειρους υπολογισμούς, θεωρούμε ότι τα μέσα αυτά είναι και τα σημεία μεγίστων. tan (sin / ) 0 Συμπεραίνουμε επομένως από την () ότι (όπως και στην περίπτωση του κυκλικού ανοίγματος) έχουμε κροσσούς συμβολής, μέγιστο στην κατεύθυνση του άξονα Ο και πιο μικρή δέσμη για πιο μεγάλα ανοίγματα. Σχετική με την περίθλαση από ορθογωνική σχισμή είναι η interactive ιστοσελίδα [], στην οποία μπορεί κανείς να πειραματισθεί με τη διάσταση δισδιάστατης σχισμής και τη συχνότητα και να παρατηρήσει απευθείας τα αποτελέσματα. 7. Περίθλαση Fraunhoer από σχισμή Στο προηγούμενο πρόβλημα περίθλασης Fraunhoer από ορθογώνιο άνοιγμα, μεγαλώνουμε συνεχώς τη διάσταση. Στο όριο, έχουμε τη συμπεριφορά της σχισμής απείρου μήκους, πλάτους. Η οριακή αυτή κατάσταση μάς ενδιαφέρει από πρακτική άποψη διότι σχισμές που είναι πολύ μακρινές θα συμπεριφέρονται σαν να είχαν άπειρο μήκος. a b Εδώ η τελική λύση ( ) είναι, κατά κάποιον τρόπο, μια «μονοδιάστατη εκδοχή» της (0). Η αντίστοιχη με την () σχέση προκύπτει ( ) sin( ka cos ) ka ( / ) cos () Για την απόδειξη της (), παραπέμπουμε στο []. 8. Περίθλαση Fresnel Συνεχίζουμε να κάνουμε τις βασικές παραδοχές (Α) και (Β) της περίθλασης Fraunhoer και εξακολουθούμε να ενδιαφερόμαστε για σημεία κοντά στον άξονα Ο οπότε ισχύει η (). Οι προσεγγίσεις που θα κάνουμε εδώ θα είναι καλύτερες με την έννοια ότι θα ισχύουν και για μικρότερες τιμές του r. Θα λέμε ότι το αποτέλεσμα περιγράφει την περίθλαση Fresnel ή περίθλαση κοντινού πεδίου. Το αποτέλεσμα αυτό είναι πιο περίπλοκο ειδικά, το διάγραμμα ισχύος εξαρτάται και από το r. Και πάλι προσεγγίζουμε γράφουμε r r στον παρονομαστή της (). Για να προσεγγίσουμε το e jkr

r ( ~ ) ( ( ) ) ( / ) Αντικατάσταση στις () και () δίνει ( ) ( ) / (3) jk ( ) ( ) jk jk je (,, ) e e d d r (4) S που είναι η βασική εξίσωση για την περίθλαση Fresnel. Εδώ έχουμε εκφράσει τη λύση συναρτήσει των καρτεσιανών συντεταγμένων,, ) του σημείου παρατήρησης. ( Για άνοιγμα τυχαίου σχήματος απαιτείται αριθμητική ολοκλήρωση για να βρεθεί το. Όταν όμως το άνοιγμα είναι ορθογωνικό, το διπλό ολοκλήρωμα στη (4) γράφεται ως γινόμενο δύο μονών ολοκληρωμάτων. Το ένα είναι συνάρτηση του, το άλλο του. Αυτά μπορούν να υπολογισθούν σε κλειστή μορφή με τη βοήθεια των λεγομένων ολοκληρωμάτων Fresnel [7] C( ) 0 cos t dt, S( ) 0 sin t dt (5) Τα ολοκληρώματα Fresnel (όπως, άλλωστε, και οι συναρτήσεις Bessel) υπολογίζονται εύκολα από προγραμματα όπως το MATLAB και το MATHEMATICA. Σημειώνουμε τις οριακές τιμές [7] S ( ) C( ) (6) 9. Περίθλαση Fresnel από ημιάπειρο πέτασμα Εξετάζουμε τώρα την κάθετη πρόσπτωση επίπεδου κύματος σε αδιαφανές πέτασμα που είναι ημιάπειρο όπως φαίνεται στο Σχήμα 0.

Σχήμα 0: Επίπεδο κύμα που ίπτει κάθετα σε ημιάπειρο αδιαφανές πέτασμα. ίπτον επίπεδο κύμα αδιαφανές πέτασμα, εκτεινόμενο μέχρι το Θέλουμε να βρούμε το κύμα δεξιά από το πέτασμα. Η λύση εδώ εξαρτάται από δύο μεταβλητές, τις και, όπου. Για οποιαδήποτε απόσταση δεξιά από τη σχισμή, η Γεωμετρική Οπτική εδώ θα προέβλεπε απλώς μια περιοχή φωτισμού ( ) και μια περιοχή σκιάς ( 0). Το πρόβλημα όμως μπορεί να αντιμετωπισθεί και με την πιο ακριβή Κυματική Οπτική και την Αρχή Hugens που δώσαμε πιο πάνω. Παραλείπουμε τις αποδείξεις και δίνουμε μόνο το τελικό αποτέλεσμα [9] 0 0 (, ) (, ) C k S k (7) όπου τα ολοκληρώματα Fresnel ορίσθηκαν στην (5). Στην (7), έχουμε κανονικοποιήσει έτσι ώστε να παίρνουμε για [και για οποιοδήποτε πεπερασμένο, θετικό, βλέπε (6)]. Έχουμε λοιπόν κανονικοποιήσει στην τιμή της περιοχής φωτισμού που θα προέβλεπε η Γεωμετρική Οπτική. Από την άλλη μεριά (πάλι για οποιοδήποτε, το δεξί μέλος της (7) μηδενίζεται για οπότε η (7) προβλέπει σκιά για μεγάλα βάθη δεξιά από το πέτασμα. Στο επίπεδο 0, η (7) δίνει αυτό που προβλέπεται από την Αρχή του Hugens: μηδενικό κύμα στο πέτασμα και κύμα ίσο με το ίπτον στο «άνοιγμα» που, εδώ, είναι ολόκληρο το ημιεπίπεδο 0, 0. Στο Σχήμα, δείχνουμε αριθμητικά αποτελέσματα από την (7) για συχνότητα 9. GH και σε απόσταση 0cm από το πέτασμα. Για 0 βλέπουμε φωτεινούς και σκοτεινούς κροσσούς συμβολής ενώ για 0 έχουμε ομαλή μετάβαση στη σκιά. ) 3

Σχήμα : Σκέδαση Fresnel από ημιάπειρο πέτασμα -αποτελέσματα από την (7) για συχνότητα 9. GH και σε κάθετη απόσταση 0cm. Η Γεωμετρική Οπτική θα προέβλεπε σκιά (τιμή 0) για 0 και απότομα, φωτισμό (τιμή ) για 0. Η λύση (7) προέκυψε με βάση την Αρχή του Hugens, οι βασικές προσεγγίσεις της οποίας αναφέρθηκαν πιο πάνω. Σημειώνουμε ότι (τουλάχιστον για επίπεδο κύμα και για απείρως λεπτό, τέλεια αγώγιμο ημιάπειρο πέτασμα) είναι δυνατό στην περίπτωση αυτή να λύσουμε ακριβώς το πλήρες ηλεκτρομαγνητικό πρόβλημα -δηλαδή τις εξισώσεις του Mawell με τις ακριβείς οριακές συνθήκες- για οποιαδήποτε πόλωση του ίπτοντος. Αυτό έγινε από τον Α. Sommereld (868-95) το 896. Η λύση πάντως αυτή είναι πολύ περίπλοκη [0]. 0. Πειραματική διάταξη και μετρήσεις Πείραμα : Τοποθετήστε ένα πέτασμα όπως στο Σχήμα. Μετρήστε το πεδίο μετακινώντας πάνω-κάτω την κεραία λήψης και συγκρίνατε με τα θεωρητικά αποτελέσματα του Σχήματος. 4

κεραία εκπομπής πέτασμα κεραία λήψης Σχήμα : Πειραματική διάταξη για το Πείραμα. Το πέτασμα καλύπτει το μισό περίπου στόμιο της κεραίας εκπομπής. Οι αποστάσεις των κεραιών εκπομπής και λήψης από το πέτασμα είναι 80cm και 0cm, αντίστοιχα. Για το Πείραμα, τοποθετούμε και δεύτερο πέτασμα κοντά στο πρώτο ώστε να σχηματίζεται σχισμή. Πείραμα : Τοποθετήστε ένα δεύτερο πέτασμα δίπλα σ αυτό το Σχήματος ώστε να μην υπάρχει κενό μεταξύ τους. Αρχίζουμε και απομακρύνουμε το ένα πέτασμα από το άλλο ώστε να σχηματίζεται σχισμή. Μετρήστε το πεδίο που δημιουργείται σε συνάρτηση της απόστασης μεταξύ των δυο σχισμών και συγκρίνετε τα αποτελέσματα σε σχέση μ αυτά από το πείραμα. Παραθέστε τα συμπεράσματά σας και ειρηνέψτε τα θεωρητικά.. Παράρτημα: Περαιτέρω μελέτη της διάθλασης Στο Παράρτημα αυτό, μελετάμε περαιτέρω το φαινόμενο διάθλασης μέσω της Αρχής του Hugens (Εκδοχή Α). Στο Σχήμα 3, επαναλαμβάνουμε το Σχήμα 4, δείχνοντας ακόμα τις γωνίες πρόσπτωσης. και διάθλασης S O Α Β O Wi Σχήμα 3:. Η επίπεδη επιφάνεια S διαχωρίζει τα δύο ισοτροπικά μέσα και. Η κάθετη στην S σχηματίζει γωνίες με τις διευθύνσεις διάδοσης του ίπτοντος και ανακλώμενου, αντίστοιχα. Wd 5

Συγκεκριμένα, θα λάβουμε υπόψη ότι τα δύο μέτωπα Wi και Wd οδεύουν με τις ταχύτητες c / 0 και c / 0 του φωτός, αντίστοιχα, στα μέσα και και θα δείξουμε τον νόμο του Snell [το όνομα προέρχεται από τον Ολλανδό μαθηματικό Willebrord Snellius (580 66), έναν από τους πρώτους διατυπωτές του νόμου] sin sin c c (8) Πράγματι, έστω t η διαφορά χρόνου άφιξης του μετώπου του κύματος στο μέσο από το σημείο Ο στο O. Τότε t ( AO)/ c (OO) sin / c. Ακόμα, στο χρονικό διάστημα το κύμα που ακτινοβολήθηκε από το Ο έχει προχωρήσει στο μέσο κατά (ΟΒ) με ταχύτητα t (O B)/c (OO )sin / c. Από τις δύο αυτές εξισώσεις έπεται αμέσως η (8). c οπότε Υποθέτουμε ότι η πρόσπτωση γίνεται από το πυκνότερο στο αραιότερο μέσο, δηλαδή ότι οπότε και. Τότε υπάρχει γωνία πρόσπτωσης τέτοια ώστε η γωνία διάθλασης να ισούται με / crit : σ αυτήν την περίπτωση, στο μέσο το κύμα οδεύει παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια. Ισχύει crit Arcsin /. Για crit, ο νόμος του Snell παύει να δίνει πραγματική γωνία διάθλασης. Για crit, λεπτομερέστερη εξέταση [, ] δείχνει ότι () Κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια, το κύμα στο μέσο εξασθενεί εκθετικά, ενώ συνεχίζει να διαδίδεται παράλληλα σ αυτήν. Έτσι, έχει σημαντικές τιμές μόνο πολύ κοντά στη διαχωριστική επιφάνεια και ονομάζεται, για τον λόγο αυτόν, «επιφανειακό κύμα» (surace wave). () Το ανακλώμενο (στο μέσο ) κύμα έχει τώρα πλάτος ίσο (σε μέτρο) μ αυτό του ίπτοντος. Για αυτούς τους λόγους, το εν λόγω φαινόμενο ονομάζεται «ολική ανάκλαση». Συμβαίνει κατά την πρόσπτωση από πυκνότερο σε αραιότερο μέσο, για όλες τις γωνίες πρόσπτωσης. μεγαλύτερες από. Βιβλιογραφία crit [] A. Sommereld, Optics. New York: Academic ress, 964, Chapter V. [] H. A. Haus, Waves and Fields in Optoelectronics. New Jerse: rentice-hall, 984, Chapter 4, Section.3. [3] G. S. Smith, An Introduction to Classical Electromagnetic Radiation. Cambridge, UK: Cambridge Universit ress, 997, Chapter 4. [4] C. A. Balanis, Antenna Theor: Analsis and Design, nd ed. New York: Wile, 997, Chapter 7. [5] Χ. Καψάλης και Π. Κωττής, Κεραίες-Ασύρματες Ζεύξεις. Θεσσαλονίκη: Τζιόλας, 005. t 6

[6] Ε. Ηecht, Oπτική. Αθήνα: ΕΣΠΙ, 979, Κεφ. 8. Βλέπε επίσης O. S. Heavens and R. W. Ditchburn, Insight into Optics. Chichester, UK: Wile, 99. [7] Πολύ χρήσιμο τυπολόγιο για ειδικές συναρτήσεις είναι το M. Abramowit and I. A. Stegun, Eds., Handbook o Mathematical Functions. National Bureau o Standards (USA), 97. Για τα ολοκληρώματα στην (6), βλέπε σχέσεις (9..) και (.3.0). Η (8) δείχνεται από την συμπεριφορά (9..7) της J( ) για μικρά, δηλ. J ( ) ~ / (το είναι ο πρώτος όρος της σειράς Talor της περί το σημείο 0). Τα ολοκληρώματα Fresnel συζητώνται στο Κεφ. 7. Για την (6), βλέπε (7.3.0) και (7.3.7). [8] Μερικές φορές συμβολίζουμε με το. Πολλοί συγγραφείς όμως συμβολίζουν με και το sin /( ). [9] J. D. Kraus and D. A. Flesch, Electromagnetics with Applications, 5 th ed. New York: McGraw-Hill, 999, pp. 3 36. [0] Βλέπε [], καθώς και B. Noble, Methods Based on the Wiener-Hop Technique. New York: ergamon ress, 958; G. F. Carrier, Functions o a Comple Variable: Theor and Technique. New York: McGraw-Hill, 966; L. A. Weinstein, The Theor o Diraction and the Factoriation Method (Generalied Wiener-Hop Technique). Bolder, CO: The Golem ress, 969. [] R. W.. King, M. Owens, and T. T. Wu, Lateral Electromagnetic Waves. Theor and Applications to Communications, Geophsical Eploration, and Remote Sensing. New York: Springer-Verlag, 99, Section.5. [] http://www.spin.gr/static/sections/applets/singleslit/ sinc J ( ) sinc sin / / Γιώργος Φικιώρης Μάρτιος 003, Νοέμβριος 006 7