Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 2 β + α 500 11 18 α β Α= β 3 β, α αν δίνεται ότι: 10 β =.. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός στοιχείων που πρέπει να αφαιρεθούν από το σύνολο Α= { 2, 4, 6,8,10,12,14,16,18, 20}, έτσι ώστε το γινόμενο όλων των στοιχείων του που θα απομείνουν να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου; Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Α= ˆ 115 θεωρούμε στο εσωτερικό του σημείο Δ τέτοιο ώστε ΒΓ ˆ = 2 ΒΑ ˆ και ΓΒ ˆ = 2 ΓΑ ˆ. Να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία Β Γ ˆ. Ο Γιάννης πήγε στην αγορά έχοντας μαζί του κέρματα των δύο ευρώ και του ενός ευρώ. Ο αριθμός των κερμάτων του ήταν 40. Για την αγορά που έκανε ξόδεψε ακριβώς το ένα τρίτο των κερμάτων των δύο ευρώ που είχε μαζί του. Την επόμενη μέρα ξόδεψε το 40% της αξίας των χρημάτων που του είχαν απομείνει. Αν και τις δύο μέρες ξόδεψε συνολικά 40 ευρώ, να βρείτε πόσα κέρματα των δύο ευρώ είχε αρχικά μαζί του.
. Να βρείτε την τιμή της παράστασης Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2 2 2 2 ( α β )( γ δ ) ( αγ βδ ) 2 Α= + + +, 2 3 2 1 18 1 αν δίνεται ότι α =, β =, γ =, δ =. 3 3 3 2 2 2 Μία ομάδα εργατών τελειώνει το 1 4 ενός έργου στο 1 3 μιας ημέρας. Πόσες τέτοιες ομάδες εργατών της ιδίας απόδοσης χρειάζονται για να τελειώσουν 15 ίδια έργα σε 5 ημέρες; 2 Θεωρούμε πολυώνυμο Px ( ) = ax ( + 2) + bx ( + 3) + cόπου οι αριθμοί aa, bb, cc είναι θετικοί ακέραιοι. (α) Αν οι αριθμοί xy, είναι θετικοί ακέραιοι με x> y, να αποδείξετε ότι ο αριθμός Px ( ) Py ( ) είναι θετικός ακέραιος. x y (β) Αν ο αριθμός P (8) είναι πολλαπλάσιο του 3, να αποδείξετε ότι και ο αριθμός P (2018) είναι πολλαπλάσιο του 3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Α= 72. Ονομάζουμε Δ το ίχνος του ύψους από την κορυφή Γ και E το συμμετρικό του A ως προς την ΓΔ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΕ περνά από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. Σημείωση: Ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου είναι ο κύκλος που περνάει από τις τρεις κορυφές του τριγώνου.
Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αν xy, είναι πραγματικοί αριθμοί και οι αριθμοί είναι ακέραιοι, να αποδείξετε ότι και ο αριθμός a = x+ y, a = x + y και a = x + y 2 2 4 4 1 2 4 3 3 3 = + είναι ακέραιος. a x y Έστω Α= κ( κ + 1)( κ + 2)( κ + 3) το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών θετικών ακέραιων. (α) Να αποδείξετε ότι ο Α ισούται με το γινόμενο δύο διαδοχικών άρτιων ακέραιων. (β) Είναι δυνατόν να είναι ο Α ίσος με το τετράγωνο ενός ακέραιου; Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ το άθροισμα των δύο μη παράλληλων πλευρών του ίσο με 4 10 μέτρα, το ύψος του είναι ίσο με 6 μέτρα και το εμβαδόν του ισούται με 72 τετραγωνικά μέτρα. Αν το τραπέζιο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R, να υπολογίσετε το μήκος της ακτίνας R. Πόσοι εξαψήφιοι θετικοί ακέραιοι πολλαπλασιαζόμενοι με το 2007 δίνουν αποτέλεσμα που να λήγει σε 2008 ;
Β ΛΥΚΕΙΟΥ Να προσδιορίσετε όλες τις τιμές του a για τις οποίες αληθεύει, για κάθε x, η ανίσωση: x x+ a > + 2 + 3 + + 1. 2 2 x x x x Αν xy, είναι πραγματικοί αριθμοί και οι αριθμοί a1 = x+ y, a2 = x + y και a4 = x + y 5 5 είναι ακέραιοι, να αποδείξετε ότι και ο αριθμός a = x + y είναι ακέραιος. 5 2 2 4 4 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών αβ, έτσι ώστε β = 2α. Στο εσωτερικό του θεωρούμε Ν κύκλους (που πιθανόν τέμνονται), έτσι ώστε το άθροισμα των μηκών των περιφερειών τους να είναι διπλάσιο της περιμέτρου του ορθογωνίου. Να αποδείξετε ότι Ν 4. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΑΑΑΑΑΑΑ (ΑΑΑΑ ΓΓΓΓ) για το οποίο ισχύει ΓΓΓΓ = 2ΑΑΑΑ. Αν ΕΕ είναι το συμμετρικό του σημείου ΑΑ ως προς το ΒΒ και ΚΚ είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΒΒΒΒΒΒ να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΒΒΒΒΒΒ εφάπτεται στην ΓΓΓΓ στο σημείο ΓΓ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΒΒΒΒΒΒ εφάπτεται στην ΓΓΓΓ στο σημείο ΓΓ.
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση 2 ( a 1)( x 2 + 2x+ 2) = ( a+ 1)( x 4 + 4), για τις διάφορες τιμές της πραγματικής παραμέτρου a. Δίνεται η συνάρτηση ( ) συν συν ( ) συν ( ) f x = x+ x 2 + x 3, x. Να εξετάσετε, αν υπάρχει πραγματικός αριθμός T > 0 τέτοιος ώστε f x+ T = f x x ( ) ( ), για κάθε. Δίνεται τραπέζιο ΑΑΑΑΑΑΑΑ (ΑΑΑΑ ΓΓΓΓ κκκκκκ ΑΑΑΑ < ΓΓΓΓ) και έστω ΟΟ το σημείο τομής των διαγώνιων του ΑΑΑΑ και ΒΒΒΒ. Έστω ακόμη ΚΚ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου CC 1 του τριγώνου ΟΟΟΟΟΟ και ΜΜ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου CC 2 του τριγώνου ΟΟΟΟΟΟ. Αν ΕΕ είναι το σημείο τομής των ευθειών ΚΚΚΚ και ΜΜΜΜ και ΖΖ είναι το σημείο τομής των ΚΚΚΚ και ΜΜΜΜ, να αποδείξετε ότι τα σημεία ΚΚ, ΟΟ, ΜΜ καθώς και το μέσο της ΕΕΖΖ βρίσκονται επάνω στην ίδια ευθεία. Αν οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί pqr,, με p> q> r είναι πρώτοι, να εξετάσετε, αν οι αριθμοί 3 2018 pq, 3 2018 qr, 3 rp μπορούν να ανήκουν στην ίδια αριθμητική πρόοδο.