فصل سوم جبر بول هدف های رفتاری: در پایان این فصل از فراگیرنده انتظار می رود که :

فصل سوم جبر بول هدف کلی: شناخت جبر بول و اتحادهای اساسی آن توابع بولی به شکل مجموع حاصل ضرب ها و حاصل ضرب جمع ها پیاده سازی توابع منطقی توسط دروازه های منطقی پایه و نقشة کارنو هدف های رفتاری: در پایان این فصل از فراگیرنده انتظار می رود که : کل زمان اختصاص داده شده به فصل: 2 ساعت آموزشی توابع بولی را شرح دهد 2 عبارت بولی یک تابع منطقی را بنویسد 3 اتحادهای اساسی جبر بول را شرح دهد 4 توابع بولی را به کمک اتحادهای اساسی ساده کند 5 توابع بولی ساده شده را با دروازه های منطقی ترسیم )پیاده سازی( کند 6 عبارت بولی را به شکل نرمال )عادی ) بنویسد 7 عبارت بولی را به شکل حاصل ضرب توضیح دهد 8 عبارت بولی را به شکل مجموع توضیح دهد 9 عبارت بولی را به شکل استاندارد مجموع حاصل ضرب ها شرح دهد عبارت بولی به شکل استاندارد و حاصل ضرب جمع ها را توضیح دهد عبارت منطقی را به شکل استاندارد مین ترم بنویسد 2 عبارت بولی را با استفاده از نقشة کارنو ساده کند 3 توابع منطقی را با گیت های منطقی پیاده سازی ( طرح( کند 4 تعداد ورودی های دروازه های منطقی را افزایش دهد 5 دروازه های منطقی مختلف را فقط با NND و NOR بسازد 6 جدول صحت را از ورودی داده های مساله استخراج کند 7 تابع منطقی را به شکل مجموع حاصل ضرب ها بنویسد )حداکثر چهار ورودی( 8 مراحل طراحی مدارهای ترکیبی ساده را شرح دهد 9 مدارهای سادة ترکیبی را تشریح کند 2 یک نمونه مدار ترکیبی ساده را طراحی کند 2 با استفاده از نرم افزار مولتی سیم توابع بولی را با کمک گیت ها شبیه سازی کند 22 به سؤال های الگوی پرسش پاسخ دهد 23 کلیة هدف های رفتاری در حیطة عاطفی که در فصل اول آمده است را باید در این فصل مورد توجه قرار دهد 56

3 D I G I T L 3 ombinational ماکس ترم Maxterm عبارت بلند جبر بول ترکیبی Sequential ترتیبی oolean lgebra جمع حاصل ضرب ها Sum of Products = SOP Product of Sums = POS Minterm ضرب حاصل جمع ها مین ترم عبارت کوتاه پیش گفتار جبر بول دستگاه ریاضی مناسبی برای تجزیه وتحلیل مدارهای دیجیتالی است در این فصل با اتحاد های اساسی جبر بول چگونگی به دست آوردن تابع منطقی یک مدار مشخص شکل های نرمال ساده کردن توابع منطقی آشنا می شویم ٣ جبر بول algebra( )oolean در این فصل یک مدل ریاضی را مورد بررسی قرار میدهیم که نحوة کار یک مدار دیجیتال را بیان میکند چنین مدلی را جبربول مینامیم این جبر روشهای مفید و سادهای را برای تجزیه و تحلیل و ترکیب مدارهای دیجیتالی از جمله مدارهای ترکیبی )ombinational( و مدارهای ترتیبی )Sequential( ارائه میدهد برای درک بهتر جبر بول و استفادة مؤثر از آن ابتدا روشهای کلی مربوط به این جبر را بیان میکنیم سپس به روابط منطقی و عملیات جبری می پردازیم این عملیات برای ساده کردن و به دست آوردن فرم استاندارد و ساده شدة مدار مورد استفاده قرار می گیرد در جبر بول یک مدل ریاضی قابل استفاده مدلی است که بتواند: روابط بین خروجی ها و ورودی ها را به صورت ساده ترین رابطة ریاضی بیان کند 2 از نظر اجرای آزمایشگاهی و عمل قابل اجرا باشد 3 قادر به بیان عمل منطقی مدار باشد ٣ قوانین حاکم بر جبر بول یا اتحاد های اساسی اتحادهای اساسی در ساده سازی توابع منطقی کاربرد دارند در ادامه به بررسی این قوانین و اتحاد ها می پردازیم برای اثبات این قوانین ( قاعده ها( از مدارهای کلیدی استفاده می کنیم شرایط روشن شدن المپ در شکل 3 را به عنوان خروجی مدار در نظر 57

5V Y= می گیریم و آن را با y نشان می دهیم الف( عضو خنثی: در عمل OR )جمع منطقی( صفر منطقی عضو خنثی است یعنی اگر هر عبارتی با صفر جمع شود حاصل همان عبارت منطقی )تابع منطقی( خواهد بود به شکل 3 که یک نمونه مدار سادة جمع با عضو خنثی است توجه کنید در این شکل کلید دو وضعیت بسته )( و باز )( را می تواند اختیار کند شکل 2 ٣ مدار معادل اثر صفر در عمل جمع منطقی )OR( مدار معادل شکل 3 در شکل 2 3 آمده است پس می توانیم نتیجه بگیریم که اگر صفر منطقی با هر عبارت منطقی جمع شود حاصل همان عبارت خواهد بود + = 5V = Y = + Y= شکل ٣ یک نمونه مدار اصلی جمع با عضو خنثی تمرین کالسی ٣ : )+( را با صفر منطقی جمع کنید حاصل آن را بهدست آورید مدار اصلی و معادل آن را ترسیم کنید! توجه: در این قسمت کلید در حالت بسته را»یک«و کلید در حالت باز را «صفر«فرض کرده ایم کلید یک کلید همیشه باز است و در این مدار همواره حالت باز یا صفر را به خود می گیرد و نمی تواند تغییر وضعیت دهد این کلید به صورت موازی با کلید قرار دارد در این شرایط خروجی مدار یعنی المپ خواهد بود یعنی اگر کلید تابع تغییرات کلید Y بسته شود المپ روشن و اگر باز شود المپ خاموش خواهد شد با برداشتن کلید هیچ تغییری در مدار رخ نمیدهد و خروجی Y همواره تابع خواهد بود بنابراین بودن یا نبودن کلید هیچ تأثیری در عملکرد خروجی مدار ندارد شکل 2 3 این وضعیت را نشان میدهد ب( جمع با یک منطقی: اگر با هر عبارت منطقی جمع شود حاصل برابر با»«خواهد شد شکل 3 3 الف یک نمونه مدار سادة جمع شدن»«با عبارت منطقی را نشان می دهد در این مدار کلید با کلید موازی شده است کلید یک کلید همیشه بسته )یک منطقی( است در حالتی که کلید می تواند تغییر وضعیت دهد با توجه به توضیح داده شده در مورد عضو خنثی )صفر( در این مدار رفتار کلید هیچ تأثیری در خروجی ندارد و خروجی همواره خواهد بود به عبارت دیگر المپ همیشه روشن است 5V = Y = + Y= از این پس در این کتاب عمل OR را با عنوان»جمع منطقی«یا»جمع«نیز بیان خواهیم کرد شکل ٣ ٣ الف( مدار اصلی جمع با یک منطقی 58

5V Y= 5V Y= شکل ٣ ٣ ب( مدار معادل اثر یک در عمل جمع منطقی )OR( شکل 4 ٣ ب( مدار معادل جمع P(6)-F(3-4) منطقی) OR ( هر عبارت با خودش در شکل 3 3 ب مدار معادل شکل 3 3 الف را مشاهده می کنید در این مدار کلید هیچ تأثیری ندارد و خروجی همواره»یک«است پس می توانیم روی خروجی بنویسیم + = تمرین کالسی 2 ٣ : عبارت + را با یک منطقی جمع کنید حاصل آن را به دست آورید و مدار اصلی و مدار معادل آن را ترسیم کنید پ( جمع یک عبارت منطقی با خودش: هرگاه هر عبارت منطقی با خودش جمع منطقی )OR( شود حاصل همان عبارت است در شکل 4 3 الف یک نمونه مدار مربوط به جمع هر عبارت با خودش را مالحظه می کنید برای تحلیل این مدار به توضیحات داده شده در مورد عضو خنثی توجه نمایید در شکل 4 3 ب مدار معادل جمع هر عبارت با خودش را مشاهده می کنید از مدارهای شکل 4 3 می توان نتیجه گرفت که: += تمرین کالسی ٣ ٣ : عبارت منطقی + را با خودش جمع منطقی کنید حاصل آن را به دست آورید مدار اصلی و مدار معادل آن را ترسیم کنید ت( جمع یک عبارت منطقی با معکوس آن: هرگاه هر عبارت منطقی با معکوس خودش) NOT ( جمع منطقی )OR( شود حاصل یک می شود در مدار شکل 5 3 الف عبارت را با عبارت که معکوس است جمع کرده ایم همان طور که از حالت های کلید و مشاهده می کنید در کلیة شرایط المپ روشن می ماند مدار معادل شکل 5 3 الف را در شکل 5 3 ب مالحظه می کنید 5V = Y = + Y= الف( مدار اصلی 5V Y= 5V = Y = + Y= 59 شکل 4 ٣ الف( مدار اصلی جمع منطقی هر عبارت با خودش ب( مدار معادل شکل 5 ٣ جمعمنطقی) OR (هرعبارتبامعکوس خودش

6 از مدار های شکل 5 3 نتیجة زیر حاصل می شود? نکته: همان طور که در شکل های 3 تا 5 3 مالحظه کردید عمل جمع منطقی دقیقا مشابه گیت OR منطقی است تمرین کالسی 4 ٣ : عبارت منطقی +D را با جمع منطقی کنید و حاصل آن را به دست آورید مدار اصلی و مدار معادل آن را ترسیم کنید ث( ضرب منطقی عبارت منطقی در یک: هرگاه هر عبارت منطقی در یک ضرب منطقی) ND ( شود حاصل همان عبارت است ( در عمل ضرب منطقی»یک«عضو خنثی محسوب می شود( در شکل 6 3 الف کلید در حالت صفر قرار دارد و کلید فقط در یک حالت قرار دارد و نمی تواند تغییر کند بنابراین عامل اثر گذار روی مدار فقط کلید است شکل 6 3 ب مدار معادل شکل 6 3 الف را نشان می دهد 5V = Y = Y= = الف( مدار اصلی 5V Y= ب( مدار معادل شکل 6 ٣ تأثیر یک منطقی در عمل ضرب منطقی )ND( از مدارهای شکل 6 3 می توان نتیجه گرفت که»یک«منطقی در ضرب منطقی )ND( بی تأثیر است یعنی: = تمرین کالسی 5 ٣ : عبارت )+( را در»«منطقی ضرب کنید و حاصل را به دست آورید مدار اصلی و مدار معادل آن را ترسیم کنید ج( ضرب عبارت منطقی درصفر: هرگاه هر عبارت منطقی در»صفر«منطقی ضرب منطقی )ND( شود حاصل صفر خواهد شد در شکل 7 3 الف کلید دو حالت بسته و باز را اختیار می کند و کلید یک حالت دارد و آن حالت خاموش یا صفر منطقی است شکل 7 3 ب مدار معادل شکل 7 3 الف را نشان می دهد 5V = = Y = Y= = الف( مدار اصلی 5V Y= ب( مدار معادل P(62)-F(3-7) شکل 7 ٣ تأثیر صفر منطقی در عمل ضرب منطقی )ND( از مدارهای شکل 7 3 به این نتیجه می رسیم که هرگاه صفر منطقی در عبارتی ضرب منطقی )ND( شود حاصل صفر خواهد شد بنابراین: += از این پس در این کتاب عمل ND را با عنوان»ضرب منطقی«یا»ضرب«نیز بیان خواهیم کرد

تمرین کالسی 6 ٣ : عبارت )+D( را در»صفر«منطقی ضرب کنید حاصل عبارت را به دست آورید مدار اصلی و مدار معادل آن را ترسیم کنید ح( ضرب عبارت منطقی در معکوس آن: هرگاه هر عبارت منطقی در معکوس خودش ضرب منطقی )ND( شود حاصل صفر خواهد شد در شکل 9 3 الف مدار اصلی و در شکل 9 3 ب مدار معادل آن را مالحظه می کنید کلید یک کلید یک حالته معادل صفر است سؤال: آیا در عمل ضرب ریاضی نیز نتایج موارد ث و ج صادق است توضیح دهید 5V 5V چ( ضرب یک عبارت منطقی در خودش: هرگاه هر عبارت منطقی در خودش ضرب منطقی )ND( شود حاصل همان عبارت خواهد بود در شکل 8 3 الف مدار اصلی و در شکل 8 3 ب مدار معادل آن را مشاهده میکنید P(62)-F(3-9) الف( مدار اصلی Y = Y = = Y= ب( مدار معادل شکل 9 ٣ تأثیر ضرب منطقی )ND( بین هر عبارت منطقی و معکوس آن 5V Y = P(62)-F(3-8) الف( مدار اصلی 5V Y= ب( مدار معادل شکل 8 ٣ تأثیر عمل ضرب منطقی )ND( هرعبارت در خودش از مدارهای شکل 8 3 نتیجة زیر حاصل میشود = تمرین کالسی 7 ٣ : عبارت )+( را در خودش ضرب منطقی کنید حاصل عبارت را بهدست آورید مدار اصلی و مدار معادل آن را ترسیم کنید از مدارهای شکل 9 3 می توان به نتیجة زیر رسید تمرین کالسی 8 ٣ : عبارت + را در ( + ) ضرب کنید و حاصل را به دست آورید مدار اصلی آن را ترسیم کنید = خ( توزیع پذیری ND در :OR هرگاه یک عبارت منطقی در پرانتزی ضرب منطقی) ND ( شود در تک تک عبارت های داخل پرانتز ضرب منطقی می شود در شکل 3 الف ضرب منطقی تابع )+( را در تابع مالحظه می کنید در شکل 3 ب مدار 6

5V معادل شکل 3 الف آمده است Y = (+) P(63)-F(3-) الف( مدار اصلی د( جمع منطقی یک عبارت با پرانتز: هرگاه یک عبارت منطقی با پرانتزی جمع منطقی )OR( شود با تک تک عبارت های داخل پرانتز جمع منطقی )OR( می شود شکل 3 الف حاصل جمع را با نشان می دهد در شکل 3 ب مدار معادل شکل 3 الف را مالحظه می کنید 5V 5V Y = + P(63)-F(3-) ب( مدار معادل شکل ٣ ضرب یک عبارت منطقی درعبارت منطقی داخل پرانتز الف( مدار اصلی از مدارهای شکل 3 می توان به نتیجة زیر رسید (+) = + P(63)-F(3-) ب( مدار معادل شکل ٣ حاصل جمع منطقی )OR( در پرانتز 5V + = )+( )+( Y = (+) (+) این عمل را توزیعپذیری ND در OR مینامند بهعبارت دیگر در رابطة سمت راست اگر از عبارت فاکتور گرفته شود خواهیم داشت: + = ( + ) یعنی پس از فاکتور گیری عبارت سمت چپ داخل کادر به دست می آید عمل فاکتورگیری در ساده سازی توابع منطقی کاربرد زیادی دارد که در مباحث بعدی به آن بیشتر خواهیم پرداخت تمرین کالسی 9 ٣ : تابع را در تابع )++D( ضرب منطقی کنید حاصل را به دست آورید مدار اصلی و مدار معادل آن را ترسیم کنید از مدارهای شکل 3 نتیجة زیر حاصل می شود تمرین کالسی ٣ : تابعD(I ( + را با استفاده از قانون جمع منطقی عبارت با پرانتز جمع منطقی کنید حاصل را به دست آورید مدار اصلی و مدار معادل آن را ترسیم کنید جدول 3 قوانین جبر بول را نشان می دهد: 62

جدول ٣ قوانین جبر بول 2 ٣ قوانین دمورگان )Demorgan( 2 ٣ طبق قانون اول دمورگان اگر پرانتزی که عمل جمع منطقی )OR( در آن صورت میگیرد را NOT کنیم عمل جمع منطقی )OR( به ضرب منطقی )ND( تبدیل میشود و عالمت NOT روی تک تک عناصر عبارت قرار میگیرد ( + ) = مثال ٣ : با استفاده از قانون اول دمورگان معادل عبارت +D+E را بنویسید حل: )+D+E( = DE تمرین کالسی ٣ : معادل عبارت + + + را بنویسید D جورج بول 85 864 جورج بول از پدری کفاش و مادری خدمتکار در انگلستان به دنیا آمد به منظور حمایت از خانواده به دلیل مشکالت مالی خیلی زود تحصیالت ابتدایی را به اتمام رساند در سال های جوانی از طریق معلمی امرار معاش می کرد و در سال 834 مدرسه ای را بنیان گذاشت به تنهایی مطالعات ریاضیات پیشرفته را دنبال کرد و به واسطة انتشار مقاالتی در این زمینه به شهرت جهانی دست یافت اولین مدال طالی ریاضیات را از انجمن سلطنتی لندن در سال 844 دریافت کرد و به عنوان اولین پرفسور ریاضیات در کالج کوئین منصوب شد او هم چنین لقب پدرمنطق نمادین و بنیانگذار ریاضیات محض را از آن خود ساخت 2 2 ٣ قانون دوم دمورگان نشان میدهد اگر NOT روی یک عبارتی که عمل ضرب منطقی دارد قرار بگیرد ضرب منطقی بهجمع منطقی تبدیل می شود و عالمت NOT روی تک تک عناصر مربوط به آن عبارت قرار میگیرد = + از قوانین دمورگان در سادهسازی عبارتهای منطقی استفاده میشود مثال 2 ٣ : با استفاده از قانون دوم دمورگان معادل عبارت D E را بنویسید حل: DE = + D + E مثال ٣ ٣ : با استفاده از قوانین دمورگان معادل عبارت )(D) ) + را بنویسید حل: ( + )(D) = ( )(+ D) = + D 63

5V KΩ Ω تمرین کالسی 2 ٣ : با استفاده از قانون دوم دمورگان معادل عبارت D را بنویسید KΩ شکل 2 ٣ مدار الکتریکی مربوط به مثال 4 ٣ P(65)-F(3-2) حل: مرحلة )( تنظیم جدول اولیه به جای مطرح کردن بندهای الف تا ث میتوانیم صورت مثال را به شکل جدول 2 3 بیان کنیم نکته: در ضمن به یاد داشته? باشید که اگر خروجی مدار در وضعیت یک منطقی قرار گیرد دیود نوردهنده روشن و اگر در وضعیت صفر منطقی قرار گیرد دیود خاموش میشود آگوستوس دمورگان ) 87 86 ( دانشمندی انگلیسی االصل متولد هندوستان و نویسنده مقالة مشهور»نظریة احتماالت«در دائرةالمعارف متروپولیتن )845( است در این مقاله او به تحلیل تئوری تحلیلی و الپالس پرداخته است شهرت وی عمدتا به دلیل قوانین دمورگان در احتماالت است مثال 4 ٣ : می خواهیم یک مدار را مطابق شکل 2 3 با استفاده از دروازه های منطقی طوری طراحی کنیم که دارای مشخصات زیر باشد: الف( دو کلید ورودی و یک مقاومت خروجی متصل به یک دیود نوردهنده )LED( داشته باشد ب( اگر هر دو کلید و باز باشند )= و= ( دیود نوردهنده )LED( روشن شود پ( اگر کلید باز و کلید بسته باشد) = و= ( دیود نوردهنده )LED( روشن شود ت( اگر کلید بسته و کلید باز باشد) = و= ( دیود نوردهنده )LED( خاموش باشد ث( اگر هر دو کلید و بسته باشند )= و= ( دیود نوردهنده )LED( روشن شود جدول 2 ٣ جدول مربوط به مثال 4 ٣ وضعیت دیود نور دهنده روشن روشن خاموش روشن وضعیت کلید باز بسته باز بسته وضعیت کلید باز باز بسته بسته مرحلة )2( تنظیم جدول صحت اگر روشن بودن دیود نوردهنده )LED( را یک منطقی وخاموش بودن آن را صفر در نظر بگیریم و همچنین باز بودن کلید را صفر منطقی و بسته بودن آن را یک منطقی منظور کنیم جدول 3 3 به صورت زیر درمی آید 64

65? جدول ٣ ٣ جدول صحت مربوط به مثال 4 ٣ خروجی Y ورودی ها مرحلة )3( تعیین عبارت های خروجی مربوط به هر ردیف جدول صحت جدول صحت 3 3 را می توان به صورت یک عبارت جبری نوشت هرجایی که در جدول خروجی یک است عبارت مربوط به وضعیت ورودی ها را می نویسیم در ستون مربوط به ورودی ها هرجا که ورودی صفر است معکوس ورودی را می نویسیم و هر جا که ورودی یک است خود ورودی را قرار می دهیم جدول 4 3 جدول صحت عبارت های منطقی مثال 4 3 را نشان می دهد جدول 4 ٣ جدول صحت مثال 4 ٣ Y مرحلة )4( به دست آوردن رابطة خروجی از حاصل جمع عبارت های خروجی جدول که حاصل آن یک است عبارت خروجی اصلی یا Y به دست می آید مرحلة )5( تشریح مراحل نکته: توجه کنید که هیچ گاه هر سه جمله به طور هم زمان نمی توانند برابر یک شوند بلکه در هر لحظه به ازای یک عبارت ورودی فقط و فقط یک خروجی خواهیم داشت چرا توضیح دهید مجددا به صورت مثال 4 3 و بند های الف تا ث توجه کنید زمانی که = و = )هردو کلید باز( است دیود نور دهنده )LED( باید روشن شود )=Y( پس این مطلب را به صورت می نویسیم بنا براین اگر= باشد = و اگر= باشد = می شود لذا = است اگر»یک«منطقی در»یک«منطقی ضرب شود حاصل مساوی یک می شود زمانی که = و = )کلید باز و بسته( است دیود نور دهنده )LED( باید روشن شود )=Y( پس باید این را به صورت نوشت یعنی اگر = باشد = می شود بنابراین )=( است زمانی که = و= )هردو کلید بسته باشند( دیود نوردهنده )LED( باید روشن شود )=Y( پس باید مطلب را به صورت بنویسیم چون دیود نوردهنده )LED( باید در سه حالت روشن شود و در هر لحظه فقط یکی از حالت ها اتفاق می افتد طبق جدول صحت که دارای سه حالت روشن و یک حالت خاموش است باید این سه حالت یعنی حالت هایی را که باید =Y شود با یک دیگر OR کنیم بدین ترتیب هنگامی که یکی از ورودی های OR یک شود خروجی آن نیز یک می شود با حل این مثال توانستیم مثال 4 3 را به صورت یک رابطة جبری بیان کنیم در این عبارت جبری هر متغیر فقط دو مقدار )صفر یا یک منطقی( را به خود اختصاص می دهد ریاضیات حاکم بر این نوع روابط Y = + + مفهوم عبارت )( این است که زمانی =Y میشود که = یا = یا = شود در غیر این صورت =Y خواهد بود

همان جبر بول است مرحلة )6( طراحی مدار با استفاده از گیت های منطقی طراحی مدار مورد نظر را مطابق شکل 3 3 مرحله به مرحله بررسی می کنیم چون تابع اصلی به صورت زیر است: Y= + + مدار اصلی مشابه شکل 3 3 الف خواهد شد زیرا سه تابع و و باید با هم جمع شوند در نهایت برای این که مدار را به صورت کامل در آوریم باید در مسیر ورودی های مدار یک کلید قرار دهیم و توسط یک مقاومت مناسب مسیر کلید را به زمین اتصال دهیم در خروجی مدار با فرض شرایط مطلوب یک مقاومت اهم را با یک LED سری کرده ایم و آن را به زمین اتصال داده ایم شکل 4 3 مدار کامل را نشان می دهد مرحلة )6( ساده کردن تابع خروجی طبق قوانینی که در جبر بول آموختیم رابطة خروجی مدار را مورد بررسی قرار می دهیم و ساده می کنیم Y = ( ++) الف( اختصاص یک گیت OR به تابع اصلی Y= + + Y ب( اجرای تابع با گیت ND Y Y پ( اجرای سایر توابع توسط گیت های مربوط به آنها با توجه به توزیعپذیری میتوانیم از متغیر مشترک در جملهها فاکتورگیری کنیم Y = ( + ) + از جملة اول و دوم فاکتورمیگیریم و در پرانتز + میرسیم طبق یکی از قوانین جبر بهعبارت بول حاصل = + میشود بنابر این تابع را ساده میکنیم Y = () + ت( استفاده از گیت NOT برای نفی متغیرها شکل ٣ ٣ مراحل طراحی مدار مثال 4 ٣ KΩ Y 5V KΩ شکل 4 ٣ مدار نهایی مربوط به مثال 4 ٣ 66

67 Y تمرین کالسی ٣ ٣ : = + کدام قانون است آن را تعریف کنید قانون دیگر جبر بول می گوید که اگر عبارتی در»یک«منطقی ضرب )ND( شود حاصل خود عبارت خواهد شد از این قانون نیز برای ساده سازی استفاده می کنیم Y = ()() + و چون + = است پس میتوان نوشت: Y = + طبق قانون دیگری در جبر بول داریم که اگر تابعی با یک تابع حاصلضرب جمع شود تابع در هر یک از توابع مربوط به حاصلضرب جمع میشود پس میتوانیم بنویسیم: Y = + = ( + )( + ) براساس قانون = + پرانتز اول یک خواهد شد لذا تابع بهصورت زیر درمیآید: Y = ( + ) طبق قانون حاصل ضرب با عضو خنثی )یک( در یک تابع داریم: Y= + همانطور که مالحظه میشود حاصل بهدست آمده برای رابطة خروجی بسیار ساده است حال اگر برای این رابطه مداری طراحی کنیم مدار به صورت شکل 5 3 در میآید 5V KΩ KΩ Y Ω شکل 5 ٣ مدار مربوط به ساده سازی مدار مثال 4 ٣ با مقایسه شکلهای 4 3 و 5 3 به ویژگیهای قوانین جبر بول پیمیبریم در شکل 4 3 باید از 6 دروازة منطقی برای طراحی مدار استفاده کنیم در صورتی که در مدار شکل 5 3 فقط دو دروازة منطقی بهکار رفته است به عبارت دیگر به جای 6 گیت پیچیده فقط از دو گیت منطقی ساده استفاده کردهایم که این امر باعث کاهش توان مصرفی مدار و صرفهجویی در تعداد گیتها میشود مثال 5 ٣ : عبارتهای جبر بول جدول صحت 5 3 را بنویسید جدول 5 ٣ جدول مربوط به مثال 5 ٣ پاسخ: مرحلة نوشتن توابع هر دوردیف جدول که خروجی آن یک است جدول 6 ٣ پاسخ مثال 5 ٣ Y همان طور که از جدول صحت پیداست خروجی Y زمانی در وضعیت یک منطقی قرار می گیرد که = یا = شود مرحلة 2 نوشتن تابع خروجی رابطة Y )خروجی مدار( از حاصل جمع سطرهایی که خروجی آن»یک«است به دست می آید پس می توان

Y رابطة خروجی را به صورت زیر نوشت: مثال 8 ٣ : مداری را طرح کنید که جدول صحت 8 3 در مورد آن صدق کند جدول 8 ٣ جدول مربوط به مثال 8 ٣ Y = + تمرین کالسی 4 ٣ : براساس رابطة خروجی مثال 5 3 مداری طراحی کنید: سپس رابطة خروجی را ساده کنید و مدار دیگری بر اساس رابطة ساده شدة عبارت خروجی رسم کنید این دو مدار را با هم مقایسه کنید مثال 6 ٣ : دربارة عبارت جبر بول زیر اظهارنظر کنید Y = + پاسخ: رابطة فوق سیستمی را نشان میدهد که دارای دو متغیر ورودی ) و ( و یک متغیر خروجی )Y( است متغیر خروجی زمانی در وضعیت یک منطقی قرار میگیرد که= و= باشد یا = و= شود در غیر این صورت خروجی آن در وضعیت صفر منطقی قرار میگیرد مثال 7 ٣ : جدول صحت رابطة Y = + را رسم کنید پاسخ : چون این سیستم دارای دو متغیر است پس چهار حالت مختلف وجود دارد و خروجی زمانی که = و = یا = و = است در وضعیت یک منطقی قرار میگیردبنابراین میتوانیم براساس حاالت فوق جدول صحت 7 3 را بنویسیم جدول 7 ٣ جدول مربوط به مثال 7 ٣ تمرین کالسی 5 ٣ : رابطة مثال 7 3 را با کدام دروازة منطقی می توان طراحی کرد? نکته: به ستون های ورودی توجه کنید ردیف اول صفر باینری ردیف دوم یک باینری ردیف سوم دو باینری و ردیف چهارم سه باینری را نشان می دهد از این الگو برای تمامی جدول ها استفاده کنید پاسخ: مرحلة )( نوشتن روابط خروجی هریک از ردیف های جدول جدول صحت 8 3 مربوط به یک سیستم مدار منطقی است این سیستم سه متغیر ورودی ) و ( و یک متغیر خروجی )Y( دارد باتوجه به جدول خروجی این سیستم مدار منطقی Y در سایر حالتها خروجی در وضعیت صفر منطقی قرار میگیرد 68

زمانی در وضعیت یک منطقی قرار می گیرد که = و و = = و یا= و = = و یا= و= = یا= و = و = یا = و = و = باشد جدول صحت فوق را مجددا رسم می کنیم و رابطة مربوط به هر ردیف که خروجی آن یک است را می نویسیم جدول 9 ٣ جدول پاسخ مثال 8 ٣ Y مرحلة 2 با توجه به رابطة خروجی هایی که تعداد آن ها یک است تابع خروجی را به صورت حاصل جمع می نویسیم Y = + + + + مرحلة 3 طراحی مدار چون خروجی در پنج حالت یک شده است پس رابطة آن شامل پنج عبارت میشود مداری که تابع باال را اجرا میکند در شکل 6 3 دیده میشود به ورودی های هر یک از گیت های ND توجه کنید مانند اولین گیت برای ساده کردن رابطة خروجی مثال 8 3 مراحل زیر را انجام می دهیم: ابتدا هر یک از جمله ها را شماره گذاری می کنیم Y = + + + + 2 3 4 5 از جملههای و 3 از آنها و از جملههای 4 و 5 از آنها فاکتورگیری میکنیم همچنین میتوان در جملههای 2 و 5 از آنها فاکتور بگیریم Y = ( + ) + ( + ) + ( + ) 2 و 5 4 و 5 و 3? نکته: یک جمله می تواند چند بار در فاکتورگیری شرکت داشته باشد زیرا هر تابع که با خودش جمع شود خود تابع خواهد بود بنابراین تکرار توابع تأثیری در نتایج ندارد داخل تمام پرانتز ها طبق جبر بول برابر یک می شود و نتیجة ضرب )ND( آنها در عبارت قبل از پرانتز مساوی با خود عبارت خواهد شد Y = + + بار دیگر نیز میتوانیم مدار را سادهتر کنیم در رابطة جدید مجددا هر یک از جملهها را شمارهگذاری میکنیم Y = + + 2 3 جملههای و 3 با هم رابطة دروازة منطقی XNOR را دارد در نتیجه داریم: Y = + ( ) یاد آوری: رابطة گیت XNOR برای ورودی و به صورت مقابل است: Y = = + ND Y 69 شکل 6 ٣ مدار منطقی مربوط به مثال 8 ٣

در شکل 7 3 مدار این رابطه را مشاهده می کنید Y شکل 7 ٣ مدار ساده شدۀ مثال 8 ٣ با مقایسة مدارها در شکل 6 3 و 7 3 در مییابیم که در مدار شکل 6 3 از 9 دروازة منطقی استفاده شده درصورتی که در مدار شکل 7 3 سه دروازة منطقی به کار رفته است اگر مدار رابطة Y = + + را قبل از ساده شدن طراحی کنیم مدار شکل 8 3 را خواهیم داشت در این مدار به جای 9 دروازة منطقی از 6 دروازة منطقی استفاده شده است ٣ ٣ سادهسازی توابع جبربول ٣ ٣ اصولسادهسازیتوابعجبربول:سادهسازی توابع جبر بول براساس فاکتورگیری از متغیرهای مشترک توابع و حذف تدریجی متغیرهاست در این قسمت برای درک بهتر مفاهیم توابع جبر بول با توجه به روابط و مدل ریاضی آن مورد بررسی قرار میدهیم به مثال 9 3 توجه کنید مثال 9 ٣ : تابع Y = + را ساده کنید چون در هر دو جمله ظاهر شده است از فاکتور میگیریم ( طبق قانون توزیعپذیری بول( Y = + = ( + ) از طرفی طبق قانون جمع یک عبارت با معکوس خودش: + = Y = طبق قانون ضرب یک تابع در یک منطقی می توانیم بنویسیم: Y = مثال ٣ : تابع Y = + + را ساده کنید Y= + + = + (+ ) = + شکل 8 ٣ مدار مثال 8 ٣ از طرفی براساس قانون جمع یک عبارت با معکوس خودش و ضرب یک تابع در یک منطقی Y = ( + )( + ) = ( + )() = + مثال ٣ : تابع Y را ساده = + + + + کنید Y تمرین کالسی 6 ٣ : آیا می توانید رابطة خروجی مدار 8 3 را بنویسید Y= + + + + جملة جملة جملة جملة جملة اول دوم سوم چهارم پنچم تابع را شماره گذاری می کنیم از عوامل مشترک فاکتورگیری می کنیم Y = ( + ) + ( + ) + از جملة اول از جملة سوم و دوم و چهارم تمرین کالسی 7 ٣ : چگونه از رابطة جدول اصلی به رابطة شکل 8 3 رسیده ایم با توجه به مراحل اجرای درس شرح دهید 7

عبارت های داخل پرانتز طبق قانون جمع یک عبارت با معکوس خودش یک می شود Y = + + Y = + ( + )( + ) طبق قانون جمع منطقی یک عبارت با پرانتز )+( ])+( Y = + ( + ) = + + طبق قانون ضرب یک عبارت در خودش مثال 2 ٣ : تابع طبق قانون توزیع پذیری OR در ND = + + Y= + + + + + را ساده کنید Y= + + + + + 2 3 4 5 6 ابتدا تابع را شماره گذاری می کنیم از عوامل مشترک فاکتورگیری می کنیم Y = ( + ) + ( + ) + ( + ) از جمله های 4 و 6 از جمله های 3 و 5 از جمله های و 2 + را برابر یک درنظر میگیریم مقادیر + و و رابطه را ساده میکنیم Y = + + مجددا تابع را شماره گذاری می کنیم Y = + + 2 3 از جمالت 2 و 3 فاکتورگیری می کنیم Y = + ( + ) = + از جمله 2 و 3 مطابق قانون توزیع پذیری ND در OR خواهیم داشت: مقدار = + است پس میتوانیم بنویسیم: Y= + با توجه به مثالهای 9 3 تا 2 3 در مییابیم که سادهسازی توابع به صورت فاکتورگیریهای متعدد و حذف متغیرها صورت میپذیرد البته در بسیاری از موارد ممکن است فقط قسمتی از تابع ساده شود یا تابع اصال ساده نشود مثال ٣ ٣ : تابع Y = + + را ساده کنید Y = + + 2 3 ابتدا جمالت را شماره گذاری می کنیم از عوامل مشترک فاکتورگیری می کنیم و عبارات مساوی یک را حذف می کنیم Y = ( + ) + = + از جملة و 2 Y = + مثال 4 ٣ : تابع Y = + + را ساده کنید این تابع ساده نمیشود زیرا از هیچ کدام از جملههای آن نمیتوانیم فاکتور بگیریم 2 ٣ ٣ فرم استاندارد توابع بول: یک تابع بول را درصورتی فرم استاندارد بول میگویند که در هر جملة آن همة متغیرها از جمله خود متغیر یا NOT آن ظاهر شده باشد برای مثال تابع Y = + + + + یک تابع استاندارد بول است زیرا در همة جمالت آن هر سه متغیر, و بهصورت متغییر اصلی یا NOT شده ظاهر شدهاند تابع Y = + + + یک تابع استاندارد بول نیست زیرا در جملة چهارم آن متغیر یا NOT آن ظاهر نشده است با استفاده از قوانین = +[ Y = ( + )( + ) 7

جبر بول برای استاندارد کردن جملة چهارم کافی است به صورت زیر عمل کنیم و هر یک از عباراتی را که در تابع وجود ندارد در یک ضرب کنیم و به جای یک تابع ) ( + یا ) ( + یا ) ( + را قرار دهیم = ( + ) = + در این قسمت برای استاندارد کردن تابع عکس ساده سازی عمل کردهایم لذا در تابع اصلی بهجای معادل منطقی آن یعنی + را قرار میدهیم Y= + + + + بهطورکلی برای استانداردسازی توابع بول نکات زیر را رعایت میکنیم? نکته در تمام جمالت باید همة متغیرها یا NOT آنها وجود داشته باشد 2 در هر یک از جمالت به ترتیب از متغیر با ارزش تا متغیر کم ارزش را قرار میدهیم مثال 5 ٣ : تابع زیر را به صورت تابع استاندارد بول درآورید Y=+ هر یک از عباراتی را که در آن متغیر مورد نظر وجود ندارد را در»یک«منطقی ضرب می کنیم سپس تابع را گسترش می دهیم Y = + = ( + ) + ( + ) ضرب یک را ادامه می دهیم جمله های اول و پنجم یکی هستند طبق قانون جبربول )+=( می توانیم به جای + فقط را بنویسیم Y = + + + +? نکته: برای ساده سازی توابع غیر استاندارد ابتدا باید آنها را به فرم استاندارد در آورید و سپس ساده کنید مثال 6 ٣ : تابع + + را ساده کنید ابتدا تابع را به فرم استاندارد درمیآوریم: Y = ( + ) + ( + ) + ( + ) Y= + + + + + 2 3 4 5 6 جمله ها ی سوم و ششم و جمله های اول و چهارم تکراری است پس طبق قانون جبربول یکی از آنها را حذف می کنیم Y = + + + Y = ( + ) + ( + ) = + تمرین کالسی 8 ٣ : عبارتهای زیر را با استفاده از فرم استاندارد ساده کنید F = + )الف F = + + )ب ٣ ٣ ٣ تعریف عبا ر ت منطقی حاصل ضرب: متغیرها یا مکملهای آنها را که با عمل ضرب به هم مربوط میشوند را یک جملة حاصل ضرب میگوییم نمونههایی از جملة حاصل ضرب به شرح زیر است: یا Y = یا Y= 2 Y3 = D, 4 ٣ ٣ تعریف عبارت منطقی مجموع: متغیرها یا مکملهای آنها را که با عمل جمع به هم مربوط = Y + + + + Y = + + + Y = ( + ) + ( + ) + + Y = + + + + + 2 3 4 5 6 72

73 جدول ٣ جدول صحت تابع Y با سه ورودی خروجی تابع در سطر های 4 2 و 7 یک است رابطة خروجی را بنا به شمارة سطر ها چنین می نویسیم: Y = Σ m )m, m 2, m 4, m 7 ( یا به این صورت نشان داد ),2,4,7( m =Y Σ معنای این رابطه یعنی خروجی تابعی از حاصل جمع سطرهای 4 و 2 7 است عالمت Σ )سیگما( به معنای حاصل جمع است مثال 7 ٣ : تابع خروجی ),3,5,6( m =Y Σ را بنویسید حل: تابع خروجی در سطرهای 5 3 و 6 یک است Y= + + + سطر 6 سطر 5 سطر 3 سطر تمرینکالسی 2 ٣ : جدول صحت ),,3,4( m =Y Σ را رسم کنید و رابطة خروجیرابنویسید 6 ٣ ٣ عبارت حاصلضرب حاصلجمعها :)maxterm( یا ماکسترم )Products of sums( اگر در هر عبارت حاصلضربمجموعهابههمانتعداد متغیری که در تابع وجود دارد متغیرها یا مکملهای )NOT( آنها وجود داشته باشد آن را ماکسترم میگوییم مثال عبارت Y یک عبارت ماکسترم است که در آن: Y = ( + + )( + + )( + + ) معموال یک عبارت ماکسترم را میتوان به صورت زیر هم نشان داد 2 3 4 5 6 7 Y می شوند را یک جملة مجموع می گوییم نمونه هایی از جملة مجموع به شرح زیر است: Y=+++D+ Y=+++ از عبارتهای منطقی حاصلضرب و مجموع در مبحث مینترم و ماکسترم استفاده میکنیم که در ادامه به توضیح هریک از آنها میپردازیم 5 ٣ ٣ تعریف عبارت مجموع حاصل ضربها :)minterm( مینترم Sums (یا of Products( اگر در هر عبارت مجموع حاصل ضربها به همان تعداد متغیری که در تابع وجود دارد متغیرها یا مکملهای )NOT( آنها وجود داشته باشد آن عبارت را مینترم میگوییم بهطور مثال یکی از مینترمهای تابع Yبا سه ورودی متغیر و را میتوان به شکل زیر نوشت: Y = + + + همانطورکه مالحظه میکنید در هریک از جمالت تابع Y هر سه ورودی و یا معکوس آنها وجود دارد جدول 3 جدول صحت تابع خروجیY با سه ورودی است در این جدول با توجه به تعداد ورودیها هشت حالت داریم هریک از سطرهای جدول را شمارهگذاری میکنیم تا بتوانیم عبارت مینترم را با توجه به آدرس سطرها نیز بنویسیم ة تمرین کالسی 9 ٣ : جدول صحت رابطة Y = + + را به صورت ساده شده بنویسید را رسم کنید و خروجی

می خوانیم پی ا م Y = Π M )M 2, M 3, M 5 ( یا Y = Π M )2,3,5( معنای این رابطه یعنی خروجی تابعی از حاصلضرب حاصل جمع متغیرهای سطرهای 3 2 و 5 جدول صحت سه متغیره است عالمت Π M معرف حاصل ضرب ماکسترمها است و سطرهای داخل پرانتز جایی است که خروجی تابع جواب صفر دارد برای ایجاد حاصل جمع هرسطر معین جدول قاعدهای کامال معکوس روش مینترم استفاده میشود به این ترتیب که برای محاسبة حاصل جمع هرسطر مشخص جدول کلیة متغیرهای ورودی در آن سطر به صورت حاصل جمع در جمله ظاهر میشوند اگر مقدار متغیر در آن سطر» «باشد به صورت خود متغیر و اگر مقدار متغیر در آن سطر»«باشد به صورت متمم متغیر ظاهر میشود به عنوان مثال جدول صحت مربوط به رابطة ماکسترم Y را در جدول 3 مشاهده میکنید Y = Π M )2,3,5( جدول ٣ جدول صحت خروجی ماکس ترم Y همانطور که در رابطة خروجی مشاهده میکنید حاصل جمع تابع Y مجموع سطرهایی است که خروجی جواب صفر دارد مقدار متغیرها برای سطر 2 جدول حاصل جمع برای سطر 2 جدول مقدار متغیرها برای سطر 3 جدول حاصل جمع برای سطر 3 جدول مقدار متغیرها برای سطر 5 جدول حاصل جمع برای سطر 5 جدول ++ ++ ++ و تابع مدار به صورت حاصل ضرب عبارت های حاصل جمع نوشته می شود و به صورت زیر در می آید Y = ( + + )( + + )( + + ) مثال 8 ٣ : رابطة خروجی ( 3 F = Π M )M,M,M را بنویسید حل: تابع خروجی را برای سطرهای و و 3 به صورت ماکسترم مینویسیم خروجی در این سطرها صفر است F =Π M(M,M,M 3) = ( + + )( + + )( + + ) مجموعة عبارت حاصل ضربها و عبارت حاصل جمعهای هر سطر برای یک جدول با سه ورودی در جدول 2 3 نشان داده شده است جدول 2 ٣ جدول حاالت ورودی عبارت حاصل ضرب و حاصل جمع هر سطر 2 3 4 5 6 7 P(73)-JD(3-2) ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ 2 3 4 5 6 7 Y ة ة Y = ( + + )( + + )( + + ) 2 3 5 74

با توجه به قواعدی که در باال ذکر شده است به راحتی می توان برای هر جدولی از مدار های منطقی یک تابع منطقی نوشت اگر تابع منطقی بر اساس مقادیر» «برای خروجی نوشته شود باید به صورت عبارت حاصل جمع حاصل ضرب ها نوشته شود و اگر جمله ها بر اساس مقادیر»«خروجی نوشته شود باید به صورت عبارت حاصل ضرب حاصل جمع ها باشد تمرین کالسی 2 ٣ : جدول صحت Y = Π M را رسم کنید و رابطة خروجی را ),3,6( بنویسید? نکته: در نوشتن مینترم هر جدول باید جواب یک خروجی بررسی شود و به جای خود متغیر یک و به جای متمم آن صفر قرار دهیم در نوشتن ماکسترم باید جواب صفر خروجی بررسی شود و به جای خود متغیرصفر و به جای متمم آن یک قرار دهیم 2 هرچه در مینترم باشد در ماکسترم آن نیست و بالعکس تمرین کالسی 22 ٣ : جدول صحت خروجی Y را در جدول 3 3 مشاهده میکنید مینترم و ماکسترم خروجی را بنویسید جدول ٣ ٣ جدول صحت تمرین کالسی 22 ٣ خروجی Y ورودی ها جهت هنرجویان عالقه مند : رابطة خروجی تابع بهصورت Y = + + است رابطة ماکس ترم این خروجی را بنویسید & 4 ٣ سادهسازی توابع با استفاده از نقشۀ کارنو همانطور که قبال گفته شد اساس سادهسازی توابع بول برمبنای فاکتورگیری و حذف متغیرهاست اگر در دو جملة یک تابع استاندارد بول فقط یک متغیر تغییر کند آن متغیر را میتوان حذف نمود: مثال در دو جملة + فقط متغیر تغییر کرده است پس این متغیر را میتوان حذف کرد زیرا داریم: Y = + = ( + ) = l = اساس کار نقشة کارنو نیز بر مبنای فاکتورگیری و حذف متغیر ها برای ساده تر شدن مدار منطقی است در حقیقت در نقشة کارنو جمالتی را که باید از آنها فاکتور 75

گرفت به سرعت مشخص می شوند و عمل فاکتور گیری تقریبا به صورت گرافیکی انجام می پذیرد مثال 9 ٣ : تابع زیر را ساده کنید F= + + ابتدا جدول صحت تابع فوق را مانند جدول 4 3 رسم میکنیم جدول 4 ٣ جدول صحت مثال 9 ٣ F این جدول صحت چهار حالت دارد ( 2 2( در هر ردیف جدول حالت های ورودی و خروجی به ازای آن ورودی ها نشان داده شده است این جدول را می توان به فرم دیگری نیز نشان داد به طوری که مفهوم همین جدول صحت را دربرداشته باشد جدول 5 3 فرم تغییر یافتة جدول صحت است که در این جا به دلیل داشتن دو متغیر به صورت 2 2 یعنی 4 خانه ای )سلول ) رسم شده است جدول 5 ٣ فرم تغییر یافتۀ جدول صحت مربوط به مثال 9 ٣ F این جدول جدید بهجدول کارنو یا نقشة کارنو map( )Karnaugh مشهور است کارنو براساس ریاضیاتتدوینشدهتوسطبول دانشمندانگلیسی جدول درکتاب مدارهای منطقی تالیف موریس مانو و کتاب توخیم همه جا از نقشة کارنو استفاده شده است یا نقشة کارنو را طراحی کرد نقشة کارنو دارای ویژگیهایی به شرح زیر است: الف( هر خانة آن مربوط به یک حالت ورودی یا به عبارت دیگر یک جمله از تابع استاندارد بول است ب( در دو خانة مجاور در جهت افقی یا عمودی همواره دو جملهای قرار میگیرند که فقط در یک متغیر با هم اختالف دارند همانطور که در قسمت اول این مبحث ) 4 3 ( دیدیم اگر در دو جملة یک تابع استاندارد بول فقط یک متغیر تغییر کند آن متغیر حذف میشود مثال در ستون اول جدول کارنو از سمت چپ عبارت + را داریم چون بین دو عبارت مشترک است متغیرهای و حذف میشوند و جواب خواهد شد + = ( + ) = = در نقشة کارنو چون از هر خانه به خانة مجاور فقط یک متغیر تغییر میکند فورا میتوان تشخیص داد که از کدام جمالت )که به ازای یک شدن آنها تابع یک میشود( باید فاکتور گرفت نقشة کارنو مثال 9 3 را در این جا دوباره رسم میکنیم قسمت یکها را طبق جدول 6 3 انتخاب میکنیم و دور آنها حلقه رسم میکنیم جدول 6 ٣ نقشۀ کارنو مثال 9 ٣ + = ( + ) = این دو جمله که به ازای آنها تابع یک می شود در دو خانة مجاور قرار گرفته اند بنا براین آنها فقط در یک متغیر اختالف دارند = = + = ستون اول سمت چپ جدول 6 3 را مجددا مطالعه 76

77 می کنیم همان طور که مشاهده شد در این ستون به دلیل غیرمشترک بودن و جواب است یعنی با یک نگاه می فهمیم که پاسخ آن ستون چیست در مورد ردیف پایین نیز با یک نگاه در می یابیم که و غیر مشترک است پس پاسخ این ردیف نیز خواهد بود مقدار تابع خروجی از مجموع حاصل ردیف پایین و ستون سمت چپ به دست می آید F= + میتوانیم مسئله را به شکل دیگری بیان کنیم و آن اینکه بگوییم هنگامی که از یک خانه به خانة مجاور )در حلقة محصور شدة یکها( میرویم متغیری که تغییر میکند حذف میشود و سایر متغیرها به جای خود باقی میمانند در ستون سمت چپ متغیر در هر دو خانه ثابت مانده است بهعبارت دیگر وقتی از خانة به خانة میرویم مقدار تغییر میکند و به همین دلیل حذف میشود پس جواب نهایی مسئله در آن ستون به صورت است اگرخوبتوجهکنید میبینیدکههنگامسادهسازی جملة دو بار نوشته شده است یا در نقشة کارنو دور آن دو بار خط کشیدهشده است یعنی تابع =F + + بهصورت F= + + + نوشته شده است طبق قانون جبر بول )+=( این کار اشکال منطقی ندارد و تغییری در جواب مسئله ایجاد نمیکند یعنی این بار بهجای نوشتهایم: + زیرا اگر OR باشد = باشد += و اگر = = است پس حاصل + با خود یکی است مثال 2 ٣ : تابع =F + + را با استفاده از نقشة کارنو ساده کنید چون این تابع فقط دو متغیر دارد پس جدول کارنو دارای چهار )4= 2 2= )تعداد متغیرها( 2 (خانه است جدول 7 3 نقشة کارنوی این مثال را نشان میدهد جدول 7 ٣ نقشۀ کارنوی مثال 2 ٣ F = + + در این ردیف مشترک و و غیر در این ستون مشترک و و F = + مشترک است پس غیر مشترک است پس جواب جواب میشود میشود تابع خروجی از مجموع پاسخ های ردیف یکها و ستون یکها به دست می آید مشخصات جدول کارنو را به صورتهای دیگری نیز نشان میدهند جدول 8 3 شمارة هر خانه را با توجه به ردیف جدول صحت نشان میدهد جدول 8 ٣ جدول صحت دو متغیره و نقشۀ کارنوی آن 2 3 Y نقشة کارنو برای توابع سه متغیر باید دارای 8)8= 3 2( خانه باشد به عبارت دیگر سه متغیر می توانند هشت حالت مختلف را ایجاد کنند جدول 9 3 جدول صحت یک تابع سه متغیره همراه با جدول کارنوی مربوط به آن با ذکر شمارة سطر در جدول صحت و شمارة خانة نظیر آن در جدول کارنو را نشان می دهد جدول 9 ٣ جدول صحت و نقشۀ کارنو یک تابع سه متغیره F 2 3 4 5 6 7 2 6 4 3 7 5

در بعضی از مراجع جدول کارنو را به صورت جدول 2 3 نشان می دهند هر آکوالد مشخص کنندة محدوده ای است که متغیر مورد نظر در آن خانه ها وجود دارد جدول 2 ٣ جدول کارنوی هشت خانه ای اگر به نقشة کارنو خوب دقت کنید میبینید که از هر خانه به خانة مجاور در جهت افقی یا عمودی فقط یک متغیر جمالت تغییر میکند مثال 2 ٣ : تابع F = + + + را به کمک نقشة کارنو ساده کنید تابع F زمانی یک است که یکی از چهار جملة داده شده یک باشد توجه داشته باشید که هیچ گاه امکان ندارد دو جمله بهطور هم زمان یک شوند در نقشة کارنو با توجه به جدول 2 3 در خانهای که یک بودن جملة آن باعث میشودF= شود در جدول 2 3 عدد یک را قرار میدهیم و تابع خروجی را مشخص میکنیم جدول 2 ٣ نقشۀ کارنوی مثال 2 ٣ F = + + + همان طور که قبال نیز گفته شد اساس ساده سازی توابع جبر بول فاکتور گیری و حذف متغیر هاست نقشة کارنو شیوه ای جدید برای ساده سازی ارائه نمی دهد بلکه جمالتی را که باید از آنها فاکتور گرفت به نحوی مرتب )Sort( می کند لذا دور جمالتی را که باید فاکتور بگیریم خط می کشیم و عمل فاکتورگیری را معموال به صورت تصویری و در ذهن خود انجام می دهیم بدین ترتیب هنگامی که از یک خانه به خانة مجاور می رویم متغیری را که تغییر می کند حذف می کنیم و متغیر هایی را که در حلقة محصور شده بدون تغییر می مانند به صورت ND می نویسیم مثال در جدول 22 3 در حلقة )( وقتی از یک خانه به خانة مجاور می رویم تغییر می کند ولذا حذف می شود در این دو خانه و تغییر نکرده اند بنا براین دو متغیر یاد شده را به صورت ()ND نمایش می دهیم جدول 22 ٣ ساده سازی توابع سه متغیرۀ مثال 2 ٣ + = (+) = + = (+) = و حذف می شوند در حلقة دوم وقتی از یک خانه به خانة مجاور می رویم فقط متغیر تغییر می کند و بنابراین حذف می شود متغیر های و در این دو خانه تغییر نمی کنند بنا براین آنها را به صورت نشان می دهیم جدول 23 3 حلقة دوم جدول کارنو مثال 2 3 را نشان می دهد جدول 2٣ ٣ حلقۀ دوم نقشۀ کارنو مثال 2 ٣ و حذف می شود 78

79 بدین ترتیب تابع ساده شده به صورت زیر در می آید F = + = مشترکات حلقة )2( مشترکات حلقة )( تمرین کالسی 2٣ ٣ : تابع F = + + + را به کمک جدول کارنو ساده کنید تمرین کالسی 24 ٣ : تابع مین ترم F را به کمک جدول کارنو ساده کنید F = Σ m )m, m 2, m 5, m 6, m 7 ( تمرین کالسی 25 ٣ : عبارت خروجی تابع F جدول کارنو 24 3 را بنویسید و در صورت ساده شدن آن را به ساده ترین شکل بنویسید جدول 24 ٣ جدول کارنوی تمرین کالسی 25 ٣ توجه داشته باشید که با توجه به تعداد متغیر ها فقط دور دو عدد )( یا چهار عدد )( یا هشت عدد )( می توان خط کشید و آنها را ساده کرد زیرا فاکتورگیری فقط از دو یا چهار یا هشت جمله امکان پذیر است و تنها در این شرایط است که متغیرها حذف می شوند به عبارت دیگر تعداد اعداد یک که در جدول کارنو دستهبندی میشوند باید توانی از 2 باشند برای مثال اگر سه جملة + + را داشته باشیم هریک از این جمالت نسبت به جملة قبلی فقط در یک متغیر اختالف دارد اگر بخواهیم فاکتورگیری را انجام دهیم به صورت زیر عمل میکنیم F = + + = ( + ) + F = + از دو جملة + دیگر نمیتوان فاکتورگیری کرد پس هیچ گاه دور سه یا 5 عدد یک خط نکشید فقط دور دو عدد یک که در مجاورت یکدیگر باشند )جملههای آنها فقط در یک متغیر اختالف داشته باشد( یا چهار عدد یک که همه در مجاورت یکدیگر قرار گرفته باشند میتوان خط کشید در جدولهای 25 3 تا 28 3 نمونههایی از این نوع نشان داده شده است الف( f = + + + جدول 25 ٣ ساده سازی توابع سه متغیره هیچ همسایه ای ندارد ب( جدول 26 ٣ ساده سازی توابع سه متغیره * F = +

8 پ( ت( * F = + + + + جدول 27 ٣ سادهسازی توابع سه متغیره * F = + + * F = + + + + جدول 28 ٣ سادهسازی توابع سهمتغیره * F = + + + 4 ٣ سادهسازی توابع چهار متغیره به کمک نقشۀ کارنو: برای سادهسازی توابع چهار متغیره با نقشة کارنو به یک جدول 6 خانهای )6= 4 2( نیاز داریم این جدول در جدول 29 3 رسم شده است در این جدول مشخصات متغیرها در هر خانة جدول نشان داده شده است جدول 29 ٣ نقشۀ کارنوی توابع چهار متغیره مثال 22 ٣ : تابع زیر را به کمک نقشة کارنو ساده کنید * f(,,,d)=d+d+d+d+d D+D جدول ٣ ٣ جدول کارنو مربوط به مثال 22 ٣ همان طور که از نتایج جدول پیداست هرقدر تعداد یک های محصور شده بیش تر باشد جملة استخراج شده ساده تر و تعداد متغیر های آن کم تر است الف( زیرا وقتی فقط دور یک عدد یک خط می کشیم جمله دارای چهار متغیر می شود ب( وقتی دور دو عدد یک خط می کشیم جمله استخراج شده شامل سه متغیر می شود ج( وقتی دور چهار عدد یک خط بکشیم جملة استخراج شده شامل دو متغیر می شود د( درصورتی که هشت عدد یک در یک حلقه محصور شوند جملة استخراجی فقط یک متغیر را شامل می شود لذا باید سعی کنیم در صورت امکان تعداد "یک" بیشتری را در داخل حلقة محصور قراردهیم توجه داشته باشید که در این جدول 6 خانه ای )مانند جداول 8 خانه ای( چهار خانة سمت راست با چهار خانة سمت چپ مجاور )همسایه ) هستند و چهار خانة پایین نیز باچهار خانة باال همسایه اند در ضمن چهار خانة گوشة جدول نیز مجاور هستند در زیر چند مثال از توابع چهار متغیره را که به کمک نقشة کارنو ساده شده اند مشاهده می کنید D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D توجه: دو خانه سمت راست و دوخانة سمت چپ مجاورند زیرا جمله های مندرج در این خانه ها فقط در دو متغیر اختالف دارند و متغیر در هر چهار خانه مشترک است خانه ای که در سرحلقه مشترک است

مثال 2٣ ٣ : تابع زیر را ساده کنید F = D + D + D + D + D + D + D + D جدول ٣ ٣ نقشۀ کارنوی مربوط به مثال 2٣ ٣ D F = D + D + D + D جدول ٣2 ٣ نقشۀ کارنوی مربوط به مثال 24 ٣ D F = D + + + D مثال 24 ٣ : تابع زیر را ساده کنید F(,,,D) = D + D + D + D + D + D + D + D + D + D + D? نکته: در جدول کارنو هیچ گاه به صورت مورب نمی توان از متغیر مشترکی فاکتور گیری کرد جدول 33 3 این حالت را نشان می دهد موریس کارنو متولد 4 اکتبر 924 درشهرنیویورک فیزیکدان آمریکایی که نقشة کارنوی او در جبربول مشهور است او مطالعات خود را با فیزیک و ریاضیات در کالج شهر نیویورک آغاز کرد پس از رفتن به دانشگاه ییل در سال 949 موفق به کسب درجة دکترا در رشتة فیزیک در سال 952 شد کارنو در آزمایشگاههای بل جدول کارنو کدگذاری PM و نیز کدگذاری مدارهای مغناطیسی را گسترش داد کارنو در سال 976 به عنوان رئیس انجمن IEEE )انجمن بینالمللی استانداردهای مهندسی الکترونیک( انتخاب شد مثال 25 ٣ : مداری طرح کنید که دارای چهار کلید ورودی )چهار متغیر ورودی( باشد و دیود LED که در خروجی آن وصل شده است مطابق جدول 34 3 متناسب با قطع و وصل کلید های ورودی روشن و خاموش شود جدول ٣٣ ٣ خانه های مشترک مورب 8

5V D KΩ KΩ KΩ KΩ 5Ω جدول ٣4 ٣ جدول صحت مربوط به مثال 25 ٣ D F LED برای مثال اگر هر چهار کلید باز باشند دیود LED خاموش شود یا اگر تنها کلید D بسته و سایر کلید ها باز باشند دیود LED روشن شود سایر حاالت روشن و خاموش تابع F را در جدول مالحظه می کنید برای طراحی چنین مداری می توان از رابطة خروجی استفاده کرد و عمل فاکتور گیری بین متغیرها را انجام داد تا به عبارت ساده ای رسید یا از نقشة کارنو و دسته بندی یک های نقشه به ساده کردن مدار پرداخت در این مثال از نقشة کارنو استفاده شده است شما می توانید با فاکتور گیری بین متغیر های رابطة خروجی نیز به این مرحله برسید این فاکتور گیری را برای مثال 25 3 تجربه کنید شکل 9 3 مدار الکتریکی مثال 25 3 را به صورت بلوکی نشان می دهد مدار مورد نظر که باید با استفاده از دروازه های منطقی طرح شود شکل 9 ٣ مدار الکتریکی مربوط به مثال 25 ٣ با توجه به جدول و در نظر گرفتن حالت فعال یا روشن شدن دیود LED رابطة خروجی به صورت زیر در می آید F=D+D+D+D+D + D + D + D + D + D جدول 35 3 را رسم می کنیم و تابع ساده شدة خروجی آن را به دست می آوریم جدول ٣5 ٣ نقشۀ کارنوی مربوط به مثال 25 ٣ D F = D + D + با توجه به تابع خروجی F می توانیم مدار مورد نظر را ترسیم کنیم 82

٣ برای نقشة کارنوی 36 3 رابطة خروجی را نوشته و پس از سادهسازی مدار آن را طراحی کنید 4 تابع F را با استفاده از جدول کارنو ساده نمایید و مدار آن را رسم کنید F),,( = Σ m ),,3,6( 5 نقشة کارنو و رابطة خروجی مدار شکل 2 3 را بنویسید D D D D 83 D F Y = D+D+ شکل 2 ٣ مدار منطقی مربوط به مثال 25 ٣ در شکل 2 3 مدار منطقی که براساس ساده سازی از روی جدول کارنو 35 3 به دست آمده است را مشاهده می کنید همان طور که مالحظه می کنید کلید هیچ گونه تأثیری در رفتار خروجی مدار ندارد در این مورد توضیح دهید 5 ٣ الگوی پرسش آیا مدار دیگری برای مثال 25 3 می توان طراحی کرد در صورت مثبت بودن جواب آن را طراحی کنید 2 با توجه به جدول صحت 36 3 نقشة کارنوی مربوطه را رسم کنید جدول ٣6 ٣ مربوط به سؤال 2 شکل 2 ٣ مربوط به سؤال 5 6 تابع را با استفاده از جدول کارنو به ساده ترین شکل بنویسید F ),,,D( = Σ m ),3,6,,,3( 6 ٣ افزایش ظرفیت ورودی های دروازه های منطقی هرچند که در عمل دروازه های منطقی تا هشت ورودی نیز ساخته می شوند ولی گاهی به بیش از هشت ورودی نیاز داریم یا به دروازه های منطقی با ورودی حتی کم تر از هشت نیازمندیم ولی در دسترس نیستند در هر یک از این شرایط می توان با استفاده از دروازه های منطقی موجود یک دروازة منطقی با تعداد ورودی های دلخواه ساخت در این قسمت به شرح روش افزایش تعداد ورودی های بعضی از دروازه های منطقی می پردازیم 6 ٣ افزایش تعداد ورودی های دروازۀ منطقی :ND فرض کنید یک سری دروازه های منطقی ND با دو ورودی در دسترس داریم و در عمل به یک دروازة ND با سه ورودی نیازمندیم مدار شکل 22 3 این نیاز را برآورده می کند F LED

شکل 26 ٣ نماد های دروازه های منطقی ND و OR با ورودی های زیاد ()()= شکل 22 ٣ نحوۀ ساخت دروازه ND با سه ورودی با استفاده از دو دروازۀ ND با دو ورودی شکل 23 3 معادل دروازة منطقی ND با چهار ورودی را با استفاده از سه دروازة منطقی ND با دو ورودی نشان می دهد شکل 2٣ ٣ معادل دروازۀ منطقی ND با چهار ورودی با استفاده از سه دروازۀ منطقی ND با دو ورودی D D ()(D) =D به همین شیوه می توان یک دروازة منطقی با هر تعداد ورودی ساخت 2 6 ٣ افزایش تعداد ورودی های دروازۀ منطقی OR برای افزایش تعداد ورودیهای دروازة منطقی :OR میتوانیم از تعداد بیشتری دروازة منطقی OR با تعداد ورودی کمتر استفاده کنیم برای مثال شکل 24 3 معادل یک دروازة منطقی OR با سه ورودی را با استفاده از دو دروازة منطقی OR با دو ورودی نشان میدهد (+) (+)+() =++ شکل 24 ٣ نحوۀ ساخت دروازۀ منطقیOR با سه ورودی با استفاده از دو دروازۀ منطقی OR با دو ورودی شکل 25 3 معادل یک دروازة منطقی OR با چهار ورودی را با استفاده از سه دروازة منطقی OR با دو ورودی نشان می دهد D شکل 25 ٣ نحوۀ ساختن دروازۀ منطقی OR با چهار ورودی با استفاده از دروازه های منطقی OR با دو ورودی به همین روش می توان دروازة منطقی OR با هر تعداد ورودی ایجاد کرد اگر تعداد ورودی های یک دروازه منطقی زیاد شوند معموال نماد آن دروازة منطقی را در مقایسه با دروازة منطقی معمولی بزرگ تر رسم نمی کنند بلکه آن را به اندازة استاندارد به صورت شکل 26 3 الف و ب رسم می کنند D E F D E F G ) ) ٣ 6 ٣ افزایش تعداد ورودی های دروازۀ منطقی NND و ND با استفاده از دروازههای منطقی :NND میتوان یک دروازة منطقی NND را با هر تعداد ورودی ساخت شکل 27 3 یک دروازة منطقی NND با سه ورودی را با استفاده از یک دروازة منطقی ND و یک دروازة منطقی NND نشان میدهد Y= DEFG یا F G ()() یا الف( دروازۀ منطقی OR ب( دروازۀ منطقی ND شکل 27 ٣ دروازۀ منطقی NND با سه ورودی با استفاده از دروازۀ منطقی ND و NND شکل 28 3 یک دروازة منطقی NND با چهار ورودی را نشان می دهد در این مدار از یک دروازة منطقی NND با دو ورودی و دو دروازة منطقی ND استفاده شده است (+) (+D) Y = (+)+(+D)= +++D 84

85 D D ()(D) شکل 28 ٣ دروازۀ منطقی NND با چهار ورودی با استفاده از دروازه های منطقی ND و NND با دو ورودی به همین روش می توان دروازة منطقی NND با هر تعداد ورودی ساخت شکل 29 3 نماد های دروازة منطقی NND با شش ورودی را نشان می دهد Y= DEF شکل 29 ٣ نماد های دروازۀ منطقی NND با ورودی های زیاد D E F F یا 4 6 ٣ افزایش تعداد ورودیهای دروازۀ منطقی :NOR با استفاده از دروازههای منطقی OR و NOR میتوان یک دروازة منطقی NOR با هر تعداد ورودی ساخت شکل 3 3 یک دروازة منطقی NOR با سه ورودی را که با استفاده از یک دروازة منطقی OR و یک دروازة منطقی NOR ساخته شده است نشان میدهد + (+)+() شکل ٣ ٣ دروازۀ منطقی NOR با سه ورودی که با استفاده از دروازه های منطقی OR و NOR ساخته شده است شکل 3 3 یک دروازة منطقی NOR با چهار ورودی را که با استفاده از دروازه های منطقی OR و NOR با دو ورودی ساخته شده اند را نشان می دهد D (+) (+D) Y = (+)+(+D) شکل ٣ ٣ ایجاد دروازۀ منطقی NOR با چهار ورودی با استفاده از دروازههای منطقی OR و NOR با دو ورودی P( به همین روش می توان دروازة منطقی NOR را با هر تعداد ورودی ساخت شکل 32 3 نماد های دروازة منطقی NOR با چهار ورودی )یا بیش تر( را نشان می دهد ) Y= +++D Ḋ D ) شکل ٣2 ٣ نمادهای دروازۀ منطقی NOR با چهار ورودی 7 ٣ ساخت دروازه های منطقی مختلف با استفاده از گیت NND در مدارهای منطقی دروازة منطقی NND به عنوان دروازة منطقی پایه محسوب می شود بنابر این با استفاده از این دروازة منطقی می توان سایر دروازه های منطقی را ساخت در این قسمت نحوة ساخت سایر دروازه های منطقی به کمک دروازة منطقی NND مورد بررسی قرار می گیرد 7 ٣ ایجاد دروازۀ منطقی NOT )نه(: اگر تمامی ورودی های دروازة منطقی NND را به یکدیگر وصل کنیم یک دروازة منطقی NOT حاصل می شود شکل 33 3 دروازة منطقی NOT را با استفاده از گیت NND نشان می دهد Y = = شکل ٣٣ ٣ ساخت دروازه منطقی NOT با استفاده از NND 2 7 ٣ ساخت دروازۀ منطقی :ND به کمک دو عدد دروازه منطقی NND می توان یک دروازه منطقی ND ساخت شکل 34 3 ساخت دروازة منطقی ND را با کمک NND نشان می دهد Y = = Y = شکل ٣4 ٣ ساخت دروازۀ منطقی ND با استفاده از NND

Y = = + Y=+ ٣ 7 ٣ تولید دروازۀ منطقی :OR میدانیم ( میخوانیم نات نات( است زیرا طبق که = شکل 35 3 از معکوس هر متغیر NOT شده خودمتغیر به وجود می آید = شکل ٣5 ٣ معکوس هر متغیر NOT شده مساوی خود متغیراست طبق قضیه دمورگان داریم: Y= + = + + در شکل 36 3 ایجاد دروازة منطقی OR را با استفاده از قضیة دمورگان مشاهده میکنید شکل ٣6 ٣ ساخت دروازۀ منطقی OR با استفاده ازNND 4 7 ٣ دروازۀ منطقی :NOR با استفاده از قوانین )قضیه های( دمورگان می توانیم بنویسیم Y = + = = یعنی اگر دو گیت NOT را با هم NDکنیم سپس آنها را دو بار NOT کنیم حاصل گیت NOR خواهد بود شکل 37 3 ساخت دروازة منطقی NOR را نشان میدهد ==+ Y=+ خروجی گیت NOT گیت NND گیت NOT P گیتNOR شکل ٣7 ٣ ساخت دروازۀ منطقیNOR با استفاده ازNND 5 7 ٣ دروازۀ منطقی OR انحصاری :XOR با توجهبه رابطةمنطقیXOR آنرابهصورتجمالتNND درمیآوریم زیرا باید با دروازة منطقیNND ساخته شود تابع گیت Y = = + XOR برای اینکه تابع با گیتهای NND اجرا شود تابع را بهصورت زیر تغییر مینویسیم: )( میدانیم صفر در جمع یک عضو خنثی است =+ به جای صفر مقدار می گذاریم و از عامل مشترک فاکتور می گیریم طبق رابطة دمورگان داریم: )2( برای رابطة نیز مشابه باال عمل میکنیم = + = + = (+ ) طبق رابطة دمورگان داریم: )+(=)( )3( مقادیر رابطه )2( و )3( را در رابطة )( جایگزین می کنیم + = () + () این تابع را دو بار نفی میکنیم + = () () همانطور که مالحظه میشود با استفاده از قانون دمورگان نتیجه نهایی بهدست میآید و تابع با استفاده از گیت NND مشابه شکل 38 3 خواهد شد Y = + + = + = ( + ) ( + ) = () 86

Y= = + P(8 6 7 ٣ دروازۀ منطقیNOR انحصاری :)XNOR( برای ساخت این دروازة منطقی با استفاده از دروازههای منطقی NND کافی است خروجی دروازة منطقی XOR شکل ٣8 ٣ ساخت دروازۀ منطقی OR انحصاری با استفاده از NND را که با استفاده از گیت NND ساخته شده است NOT کنیم در شکل 39 3 دروازة منطقی XNOR را با استفاده از دروازة منطقی NND مشاهده می کنید + Y= + = + شکل ٣9 ٣ ساخت دروازۀ منطقی NOR انحصاری با استفاده از NND 87 8 ٣ ساخت دروازه های منطقی مختلف با استفاده از گیت NOR در مدارهای منطقی دروازة منطقی NOR نیز دروازة منطقی پایه محسوب می شود بنابراین با این دروازة منطقی می توان سایر دروازه های منطقی را ساخت در این قسمت نحوة ساخت سایر دروازه های منطقی به کمک دروازة منطقی NOR را مورد بررسی قرار می دهیم 8 ٣ ساخت دروازۀ منطقی NOT )نه(: اگر تمامی ورودی های دروازة منطقی NOR را به یکدیگر وصل کنیم یک دروازة منطقی NOT به دست می آید شکل 4 3 این گیت را نشان می دهد شکل 4 ٣ ساخت دروازۀ منطقیNOT با استفاده از NOR شکل 42 ٣ ساخت دروازۀ منطقی OR با استفاده از NOR NOR با استفاده از ND P(84)- دروازۀ منطقی F(3-4) شکل 4 ٣ ساخت تحلیل این مدار بر عهدة هنرجویان واگذار میشود ٣ 8 ٣ تولید دروازۀ منطقی :OR با کمک دو عدد دروازة منطقی NOR میتوان یک دروازة منطقی OR مطابق شکل 42 3 ساخت زیرا اگر هر تابع دو بار NOT شود خود تابع بهدست میآید + Y=(+) = Y = + =+ Y = Y = 2 8 ٣ ایجاد دروازه منطقی :ND به کمک سه عدد دروازة منطقی NOR می توان یک دروازة منطقی ND مطابق شکل 4 3 ساخت: Y =+ 4 8 ٣ دروازۀ منطقی :NND در شکل 43 3 چگونگی ساخت دروازة منطقی NND را با استفاده از دروازة منطقی NOR مشاهده می کنید

(+) Y= شکل 4٣ ٣ ساخت دروازۀ منطقی NNDبا استفاده از NOR همان طور که مشاهده می شود ابتدا با استفاده از دروازة NOR دو دروازة NOT تشکیل می دهیم سپس خروجی ها را مجددا NOR می کنیم خروجی را دوباره NOT می کنیم و خروجی نهایی گیت NND خواهد شد 5 8 ٣ دروازۀ منطقی :XOR می دانیم رابطة منطقی XOR به صورت زیر است Y = = + و مدار ساخته شده در شکل 38 3 را با گیت های NOR مطابق شکل 44 3 رسم می کنیم + ++ + + = + 6 8 ٣ دروازۀ منطقی :XNOR می دانیم رابطه XNOR به صورت زیر است: ++ شکل 44 ٣ ساخت دروازۀ منطقی XOR با استفاده از NOR P(84)- F(3-44) Y = = + از شکل مدار 44 3 استفاده می کنیم و با حذف آخرین NOT مدار XNOR شکل 45 3 طراحی می شود تمرین کالسی 27 ٣ : برای به دست آوردن رابطة نهایی شکل 45 3 خروجی هر یک از گیت ها را جداگانه بنویسید و به رابطة نهایی برسید 9 ٣ مقدمه ای بر مدارهای ترکیبی 9 ٣ تنظیم جدول صحت از روی داده های مسئله: همان گونه که در این فصل گفته شد هر تابع منطقی را می توان به صورت یک جملة مجموع حاصل ضرب ها یا یک جملة حاصل ضرب جمع ها بیان کرد در حالت اول جملة حاصل ضرب متناظر با هر حالت ورودی را که تابع خروجی به ازای آن»«می شود می نویسیم و سپس کلیة این جمله ها را با هم جمع می کنیم مثال 26 ٣ : تابع خروجی جدول 37 3 را بنویسید + + شکل 45 ٣ ساخت دروازۀ منطقی XNOR با استفاده از NOR تمرین کالسی 26 ٣ : برای بهدست آوردن رابطة نهایی شکل 44 3 خروجی هر گیت را جداگانه بنویسید و به رابطة نهایی برسید 88

جدول ٣7 ٣ جدول صحت مثال 26 ٣ F شکل 46 ٣ مدار مثال 27 ٣ حل: با توجه به جدول 37 3 جملة مربوط به سطری که خروجی»یک«است را می نویسیم F= + + + برای اجرای تابع به مجموعهای از دروازههای منطقی ND نیاز داریم خروجی هرکدام از این دروازهها متناظر با یک جملة حاصلضرب است و سرانجام باید خروجی همة این دروازهها را با یکدیگر OR کنیم مثال 27 ٣ : مدار تابع خروجی مثال 26 3 را با استفاده از گیتهای منطقی طراحی کنید حل: F البته فراموش نکنید که برای کاهش تعداد دروازه ها می توانیم در صورت امکان ابتدا تابع را به روش جبری یا با استفاده از جدول کارنو ساده کنیم و سپس تابع ساده شده را با دروازه های ND و OR کم تری اجرا کنیم مثال 28 ٣ : تابع خروجی مدار مثال 27 3 را ساده کنید و سپس مدار تابع ساده شده را ترسیم کنید حل: F = +++ 2 3 4 از جملههای اول و چهارم عامل مشترک و از جملههای دوم و سوم عامل مشترک را فاکتورگیری میکنیم F = ( + ) + ( + ) F = + مدار خروجی F را طراحی و رسم می کنیم F شکل 47 ٣ مدار ساده شدۀ مثال 28 ٣ برای بیان تابع به صورت حاصل ضرب جمع ها باید جملة مجموع متناظر با هر حالت»«تابع را بنویسیم سپس کلیة جمالت را در یک دیگر ضرب می کنیم البته در صورت امکان باید تابع F ساده شده و درنهایت تابع ساده شده را به صورت ND-OR به اجرا در آوریم در این فصل ابتدا روش آنالیز و طرح مدار های ترکیبی را به صورت عام بیان می کنیم و سپس به تفکیک و با تفصیل بیشتر به بررسی مدا رهای ترکیبی با کاربری عمومی می پردازیم تمرین کالسی 28 ٣ : تابع خروجی مثال 26 3 را با استفاده از جدول کارنو ساده کنید و با مدار به دست آمده در مثال 28 3 مقایسه کنید 89

تمرین کالسی 29 ٣ : تابع ماکس ترم خروجی مثال 26 3 را بنویسید و پس از ساده کردن تابع خروجی با استفاده از جدول کارنو مدار آن را طراحی و ترسیم کنید 2 9 ٣ تعریف مدار ترکیبی: مدار ترکیبی به مداری اطالق می شود که وضعیت خروجی های آن در هر لحظه منحصرا به وضعیت ورودی های آن در همان لحظه بستگی دارد در چنین مداری هیچ خروجی ای به هیچ ورودی ای از مدار برگشت داده نمی شود در شکل 48 3 بلوک دیاگرام یک مدار ترکیبی نشان داده شده است یادآوری می شود که در فصل چهارم در ارتباط با مدارهای ترکیبی ویژة کاربردی به طور مفصل بحث خواهد شد حل: مطابق شکل ورودی های دروازة ND شمارة 4 متغیر های و تابع x 2 است بنابراین خروجی x برابر است با: X=x 2 از طرفی ورودی های دروازة NOR شمارة 3 متغیر و تابع x است بنابراین خروجی این دروازه برابر است با: x 2 = ( + x ) = x چون x = است در نتیجه داریم: x = x 2 = x = x = = (+ ) = ٣ 9 ٣ آنالیز مدارهای ترکیبی: برای بررسی رفتار یک مدار ترکیبی باید پاسخ مدار را به همة حالتهای ورودی آن بهدست آوریم میدانید که اگر مداری n ورودی مختلف داشته باشد دارای 2 حالت n متفاوت است برای بهدست آوردن پاسخ کل ی مدار نخست باید تابع منطقی هر یک از خروجیهای آن را بر حسب متغیرهای ورودی در فرم مجموع حاصلضربها یا حاصلضرب جمعها بهدست آوریم سپس به روش جبری یا به کمک جدول کارنو صورت نرمال تابع را مشخص کنیم و در نهایت به کمک آن یعنی خروجی مدار فوق فقط در حالتی که = = و = باشد برابر با»«می شود )مین ترم سطر شمارة 6( جدول صح ت مدار را در جدول 38 3 مالحظه می کنید X X 2 X n Y Y 2 Y m مدار ترکیبی نمونه شکل 48 ٣ بلوک دیاگرام یک مدار ترکیبی»جدول صح ت«مدار را تشکیل دهیم مثال 29 ٣ : در مدار شکل 49 3 نخست تابع خروجی X را بر حسب متغیر های و به صورت مجموع حاصل ضرب ها به دست آورید و سپس جدول صحت مدار را رسم کنید 2 X 3 X 2 4 X شکل 49 ٣ مدار مربوط به مثال 29 ٣ 9

9 جدول ٣8 ٣ جدول صحت مربوط به مثال 29 ٣ X مثال ٣ ٣ : مدار شکل 5 3 را تجزیه و تحلیل کنید سپس آن را در فرم NNDNND )همه گیت ها NND باشند( اجرا کنید شکل 5 ٣ مدار مربوط به مثال ٣ ٣ حل: با توجه به شکل 5 3 مدار مقادیر, X 2, X X 3 را با توجه به ورودی ها و گیت های موجود به دست می آوریم X ==+ X 3 =x =(+)=+ X 3 =(+)= و X 2 = پس از تعیین مقادیر X 3, X میتوانیم تابع خروجی 2 Z را بهدست آوریم: یا Z = X 2 + X 3 Z = + 3 2 X X 2 X 3 4 جملة یک جملة نرمال است ولی جملة را باید بهصورت نرمال بیان کنیم برای نرمال کردن از اتحاد ها استفاده می کنیم = = ( + ) = + مقادیر معادل را در تابع Z قرار می دهیم: Z = + + مطابق جدول صحت شمارة سطر هر یک از جملههای تابع Z را مشخص میکنیم Z = + + سطر 5 سطر 4 سطر 7 در نتیجه می توانیم تابع Z را به صورت زیر هم بنویسیم Z = Σ m )m 7, m 4, m 5 ( برای اجرای این تابع با دروازه های منطقیNND ابتدا باید آن را ساده کنیم با استفاده از جدول کارنو نتیجه می شود: جدول ٣9 ٣ جدول کارنو مربوط به مثال ٣ ٣ Z = + و ساده ترین مدار این تابع به شکل 5 3 الف یا معادل NNDNND آن شکل 5 3 ب قابل اجراست Z Z و یا ب الف شکل 5 ٣ مدار های مربوط به مثال ٣ ٣

جهت دانش آموزان عالقه مند: آیا می توانید با توجه به جمله های استاندارد یک تابع منطقی شمارة سطر مربوط به هر جمله را بنویسید تحقیق و تالش کنید و نتیجه را به کالس ارائه نمایید & & جهت دانش آموزان عالقه مند: آیا می دانید بین شمارة سطر جدول صحت یک تابع منطقی و اعداد باینری چه رابطه ای است تحقیق کنید و نتیجه را به کالس ارائه نمایید ممکن است یک مدار ترکیبی بیش از یک خروجی داشته باشد برای به دست آوردن جدول صح ت این گونه مدار ها باید تابع منطقی هر یک از خروجی ها را مستقل از بقی ه به دست آوریم سپس با توج ه به توابع منطقی به دست آمده جدول صح ت مدار را رسم کنیم مثال ٣ ٣ : در شکل 52 3 هر یک از توابع Y و Z را برحسب متغیرهای و در فرم مجموع حاصل ضرب ها به دست آورید سپس جدول صح ت مدار را رسم کنید برای حل مسئله باید مقادیر x 3 x 2 x و x 4 را به دست آوریم تا توابع Yو Z قابل دسترسی باشد X =, Y = x Y = یا Y = + + + )چرا ( ),2,4,7( Σm Y = یا Z=x 2 +x 4 و که چون = x 2 و x 4 =x 3 است خواهیم داشت: Z=+x 3 اگر در تابع فوق به جای x 3 معادل آن یعنی x 3 =+ را جایگزین کنیم مقدار Z برابر است با: Z=+)+(=++ و در نهایت پس از نرمال کردن تابع خواهیم داشت Z = + + + )تابع نرمال را اثبات کنید( که در این تابع جمالت 6 5 3 و 7 وجود دارد Y = Σm )3,5,6,7( حاصل عملیات فوق را در جدول صحت 4 3 مشاهده میکنید جدول 4 ٣ جدول صحت مربوط به مثال ٣ ٣ 2 3 4 5 6 7 Y Z شماره هاى سطر 2 3 X X 3 X 2 4 X 4 Y Z شکل 52 ٣ مدار مثال ٣ ٣ حل: با توجه به شکل 52 3 می توانیم بنویسیم: 92

93 یارب :هداس یبیکرت یاهرادم یحارط ٣94 لمع ریز بیترت هب دیاب یبیکرت رادم کی یحارط مینک لکش رادم تحص لودج :٣٣ یسلاک نیرمت 34 لودج رد هدش هداد یاه تلاح یارب ار 353 دینک لیمکت ٣٣ یسلاک نیرمت تحص لودج ٣4 لودج یسلاک نیرمت هب طوبرم رادم ٣ 5٣ لکش ٣٣2 لاثم هب طوبرم تحص لودج ٣42 لودج 2 3 4 5 6 7 8 9 D W X Y Z رطس ىاه هرامش D Z Y X W هدش فیرعت درکلمع ساسارب ار رادم تحص لودج )فلا یساسا یماگ هک ار ماگ نیا رگا میروآ تسد هب رادم یارب میرادرب تسرد تسا یبیکرت رادم کی یحارط یارب زا رادم یرازفا تخس یارجا ات یدعب لحارم ندرک لابند دنک یم ت یعبت ن یعم و نشور لاماک یقطنم دنور کی عباوت زا کی ره رادم ت حص لودج کمک هب )ب لصاح ای( اه برض لصاح عومجم مرف رد ار نآ یجورخ مینک یم نایب )اه عمج برض اب ای یربج شور هب ار قوف عباوت زا کی ره )پ مینک یم هداس ونراک لودج زا هدافتسا کی تروص هب ار هدش هداس عباوت زا کی ره )ت مینک یم ارجا NNDNND ای ORND بیکرت کی و یدورو هس اب یرادم :٣٣2 لاثم تیرثکا هک ییاه تلاح رد هک دینک حرط Y یجورخ رادم دوش کی نآ یجورخ دشاب کی اه یدورو یبسن دینک ارجا اه برض لصاح عومجم مرف نیرت هداس رد ار رد رادم یجورخ هلئسم تروص هب هجوت اب :لح کی تلاح رد نآ یدورو ود مک تسد هک ییاه تلاح تروص هب نآ ت حص لودج نیاربانب دوش یم کی دشاب ددرگ یم نایب 342 لودج 2 3 4 5 6 7 Y رطس ىاه هرامش

یعنی تابع Y در فرم نرمال مجموع حاصل ضربها برابر است با: Y = Σm (3,5,6,7) Y = + + + که فرم سادهشدة آن با توجه به نقشة کارنو 43 3 شامل جملة, و است جدول 43 ٣ جدول کارنو مثال 32 3 Y = + + و مدار آن شامل سه دروازة ND با دو ورودی و یک دروازة OR با سه ورودی مطابق شکل 54 3 است Y شکل 54 ٣ مدار مربوط به مثال 32 3 ٣ الگوی پرسش مداری طراحی کنید که : الف( دارای سه ورودی, و باشد ب( چنان چه = باشد در خروجی ظاهر شود پ( چنان چه = باشد در خروجی ظاهر شود ابتدا جدول صحت و رابطة خروجی را به دست آورید سپس مدار را با توجه به رابطه خروجی طراحی کنید 2 در درون اتاق کلیدی نصب شده است و در بیرون آن نیز کلیدی دیگر قرار دارد وضعیت کلید اول توسط مسئول اتاق و کلید دوم توسط کسی که میخواهد وارد اتاق شود تغییر میکند مداری طراحی کنید که اگر وضعیت این دو کلید با یکدیگر اختالف دارند مسئول اتاق با خبر شود حل یک مثال جهت راهنمایی هنرجویان مثال 33 3 : سه نفر به نامهای, و در یک آزمایشگاه کار میکنند به لحاظ شرایط امنیتی این سه باید تحت شرایط خاصی وارد شوند برای این منظور هریک دارای کلید خاصی میباشند و درب اتاق آزمایشگاه هنگامی باز میشود که شرایط الزم زیر برقرار باشد مداری طراحی نمایید که به وسیلة آن شرایط زیر کنترل شده و در صورت مجاز بودن درب باز شود الف(, و به تنهایی میتواند در اتاق باشند ب( و یا و میتوانند با هم در اتاق باشند ولی و فقط در حضور میتوانند در اتاق باشند پ( غیر از این سه شخص دیگری حق ورود ندارد حل: برای پاسخ دادن به این گونه سؤاالت ابتدا جدول صحت تابع خروجی را با توجه به شرایط مطرح شده رسم میکنیم این تابع سه ورودی دارد جدول 44 ٣ جدول صحت مثال 33 3 شرط پ شرط الف شرط الف قسمت دوم شرط ب شرط الف قسمت اول شرط ب قسمت اول شرط ب قسمت دوم شرط ب تابع خروجی را مینویسیم Y F = + + + + + 2 4 5 6 7 94

& از عوامل مشترک فاکتورگیری می کنیم F= ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) F= + + + 2 3 4 جملههای و 2 گیت XOR را تشکیل میدهند و از جملههای 3 و 4 از عامل فاکتورگیری میکنیم F = + ( + ) = + مدار را طراحی میکنیم جهت هنرجویان عالقهمند: برای کنترل چراغ راهنمایی یک چهار راه از یک مرکز فرماندهی دستور تغییر رنگ چراغها داده میشود این دستور توسط دو کلید فرمان و چند رشته سیم به چهار راه میرسد هدف طراحی مداری است که توسط آن سیگنالهای رسیده به چراغ راهنمایی چراغها را به ترتیب زیر روشن یا خاموش نماید 5 و 6 و 2 F شکل 55 ٣ مدار مربوط به مثال 33 3 5 و 4 7 و 6 *چراغ هنگامی سبز یا زرد است که چراغ قرمز باشد * چراغ هنگامی سبز یا زرد است که چراغ قرمز باشد جدول صحت 45 ٣ جدول صحت مدار چراغ راهنمایی جهت راهنمایی برای حل تمرین جدول صحت مدار را رسم کرده ایم توجه داشته باشید که در این مدار شش خروجی )چراغ راهنمایی( داریم )جدول ٤٤ ٣ ( چراغ های سمت چراغ های سمت کلیدهای فرمان X Y R Y G R Y G چراغ زرد سمت : Y چراغ سبز سمت : G چراغ سبز سمت : G چراغ قرمز سمت : R چراغ قرمز سمت : R چراغ زرد سمت : Y توجه داشته باشید که چراغ های قرمز سمت و سمت هیچگاه با هم روشن نیستند 95 ٣ استفاده از نرمافزار با استفاده از نرمافزار مولتی سیم مدارهای شکل 56 3 الف و ب را ببندید و پس از راهاندازی صحت آن را تجربه کنید برای اجرای نرمافزاری ابتدا باید جدول صحت مدارها را رسم کنید و پس از مشخص کردن وضعیت خروجی مدار را با آزمایشگاه مجازی شبیه سازی کنید پیشنهاد می شود مثال ٣٣ ٣ را با استفاده از دستگاه Logic converter شبیه ساز مولتی سیم اجرا کنید

?? نکتۀ : برای مدارهای منطقی باید از زمین DGND که نمادی به شکل دارد استفاده کنید? نکتۀ 2: برای استفاده از پروب خروجی که در مدار الف استفاده شده است نیازی به اتصال زمین ندارید نکتۀ ٣: برای استفاده از المپ یا LED در خروجی مدار باید یک سر المپ یا کاتد LED را به زمین منطقی اتصال دهید الف( ب( شکل 56 ٣ مدارهای منطقی با استفاده از نرم افزار مولتی سیم 96