אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n λ n אלכסונית הסקלרים λ i F הם הערכים העצמיים של המטריצה A לכסון של מטריצה A הינו מציאת P כך ש P AP אלכסונית אלגוריתם ללכסון A: חשבו את הפולינום האופייני F[t] χ A (t) = det(ti A) זהו פולינום מתוקן ממעלה n במשתנה t ושורשיו הם הערכים העצמיים של A λ i λ j לכל χ A (t) = (t λ ) m (t λ k ) mk g(t) 2 פרקו את (t) χ A לגורמים אי פריקים (כאשר g פולינום ללא שורשים) ומצאו את כל הערכים העצמיים של λ,, λ k ) A כאשר (m i ) ואת הריבוי האלגברי שלהם ( i < j k 3 עבור כל ערך עצמי λ, i מצאו את המימד של המרחב העצמי V λi המתאים לערך העצמי λ i המרחב העצמי V λi F n col המוגדר על ידי הוא תת מרחב של V λi = {x F n col Ax = λ i x} = {x F n col (λ i I A)x = } והוא מכיל את כל הוקטורים העצמיים של A שמתאימים לערך העצמי λ i כמו גם את וקטור האפס נסמן n i = dim V λi = n rank(λ i I A) המימד n i נקרא הריבוי הגיאומטרי של הערך העצמי λ i במילים פשוטות, n i הוא מספר הוקטורים העצמיים הבלתי תלויים של A שמתאימים לערך העצמי λ i שימו לב תמיד מתקיים i n ו n i m i אפשר להיעזר בזה על מנת להפחית את כמות החישובים למשל, אם בשלב 2 רואים כי יש n ערכים עצמיים שונים אז בהכרח = i n לכל i n n k אז המטריצה A איננה לכסינה אין מספיק וקטורים עצמיים בת ל של A על מנת (א) אם i= n i לייצר בסיס ל col F n { } v i,, vn i i יש למצוא בסיס,λi לכסינה עבור כל ערך עצמי A אז המטריצה n = k (ב) אם i= n i למרחב העצמי המתאים V λi אפשר לעשות זאת על ידי פתרון מערכת המשוואות הלינארית ההומוגנית = A)x (λ i I באמצעות דירוג

λ k 4 בעזרת הוקטורים העצמיים של A, בונים את המטריצה P באופן הבא: P = v vn v k vn k k במילים, העמודות של המטריצה P מורכבות מהוקטורים העצמיים v j i לפי הסדר המתואר אז יתקיים n times {}}{ λ λ P AP = n k times {}}{ λ k 5 במידת הצורך, מחשבים את P באמצעות תהליך דירוג הערות: באופן כללי, שלב 2 איננו טריוויאלי הבעיה של מציאת ערכים עצמיים למטריצה כללית שקולה לבעיה של מציאת שורשים של פולינום כללי עבור פולינומים כלליים ממעלה 5 ומעלה, אפשר להוכיח שאין נוסחא סגורה למציאת השורשים ובדרך כלל אין מנוס מלעבוד נומרית מה שכן, אם אנחנו יכולים לנחש את אחד השורשים של (t) χ, A אפשר לבצע חלוקת פולינומים ולעשות רדוקציה למציאת השורשים של פולינום ממעלה אחת נמוכה יותר כמו כן, שלב ושלב 2 מתבצעים בדרך כלל ביחד כאשר כבר במהלך חישוב הדטרמיננטה, מנסים לפרק לגורמים לינאריים את הביטוי שמתקבל (ראו דוגמא) 2 בשלב 3, חישוב המימד של המרחבים העצמיים מגיע לפני מציאת בסיסים מפורשים למרחבים העצמיים מאחר ובהרבה מקרים, חישוב הדרגה של מטריצה קל יותר מאשר מציאת בסיס למרחב הפתרונות שלה 3 בשלב 4, המטריצה P שמתקבלת אינה יחידה חשוב לשים לב לסדר בו מכניסים את הוקטורים העצמיים כעמודות של P במידה ותבנו את המטריצה P באופן אחר, המטריצה האלכסונית שתתקבל תהיה אחרת על האלכסון יימצאו אותם סקלרים ) λ יופיע תמיד n פעמים, λ 2 יופיע תמיד n 2 פעמים וכו ) אבל לא בהכרח באותם מקומות 4 אין צורך לחשב את P ואין צורך לבצע את המכפלה P AP בשביל לדעת מה היא המטריצה האלכסונית D שתתקבל בסוף תהליך הלכסון מתי כן צריך לחשב את P? אם למשל אתם רוצים להיעזר בלכסון על מנת לחשב מפורשות חזקה של A מתקיים A n = (P DP ) n = P D n P ובשביל לכתוב את איברי A n יש צורך לחשב את P וממש לבצע את הכפל A = 2 2 3 דוגמא: תהי (R) A M 3 המטריצה נבדוק האם A לכסינה ובמידה וכן, נמצא P הפיכה ו D אלכסונית כך ש D P AP = 2

χ A (t) = det t 2 t 2 t 3 = t det [ t 2 t 3 הפולינום האופייני של A הוא ] [ t 2 + 2 det = t(t 2)(t 3) + 2(t 2) = (t 2)(t(t 3) + 2) = (t 2)(t 2 3t + 2) = (t 2) 2 (t ) ] 2 מאחר ובשלב כבר פירקנו את (t) χ A לגורמים, אנחנו רואים שיש ל ( t ) χ A שני שורשים = t ו 2 = t הערכים העצמיים של A הם = λ ו 2 = 2 λ הערך העצמי = λ מופיע בריבוי אלגברי והערך העצמי A מופיע בריבוי אלגברי 2 בפולינום האופייני של λ 2 = 2 3 מאחר והריבוי האלגברי של =,λ אנחנו מסיקים מיד כי = n נותר לבדוק האם = 2 n (ואז A לא V λ2 שווה למרחב הפתרונות של המטריצה לכסינה) או = 2 2 n (ואז A כן לכסינה) המרחב העצמי λ 2 I A = 2I A = 2 2 זוהי מטריצה מדרגה ולכן מימד מרחב הפתרונות הוא = 2 2 n ו A לכסינה נמצא בסיס למרחב העצמי המתאים לערך העצמי λ: 2 x 2 2 x 2x + 2z V λ2 = y y = x z = z z x z V λ = x y z v 2 = 2 2, v2 2 = ברור שאפשר לקחת נמצא בסיס למרחב העצמי המתאים לערך העצמי = λ: x x + 2z y = x y z = z x 2z כצפוי, דרגת המטריצה λ I A היא 2 (שתי השורות הראשונות הן בלתי תלויות בעוד שהשורה השלישית תלויה השורה הראשונה) ולכן מימד מרחב הפתרונות הוא פותרים ומקבלים: 2 v = P = 2 P AP = 2 2 4 ניקח ונקבל כי 3

2 לכסון אופרטורים יהי V מרחב סוף מימדי מעל שדה F ויהי T : V V אופרטור נאמר ש T לכסין אם קיים בסיס } n B = {v,, v שמורכב כולו מוקטורים עצמיים של T כלומר, T v i = λ i v i עבור λ i F ו n i לכסון של T הוא מציאת בסיס B ל V של וקטורים עצמיים של T אלגוריתם ללכסון T: בחרו בסיס סדור נוח ככל האפשר C ל V ורשמו את המטריצה n(f) A = T] ] C C M הכוונה בבסיס נוח ככל האפשר היא שהמטריצה המתקבלת A תהיה פשוטה ככל האפשר (הרבה אפסים, כמעט אלכסונית, בלוקים וכו ) על מנת לפשט את השלב הבא 2 לכסנו את המטריצה A לפי האלגוריתם הקודם הערכים העצמיים של A כמטריצה הם הערכים העצמיים של F) n col מכילים את הייצוגים של הוקטורים העצמיים האופרטור T המרחבים העצמיים של A (תתי מרחבים של של T ביחס לבסיס C 3 במידה ו A לא לכסינה, גם T לא לכסין במידה וקיבלתם (F) P M n הפיכה כך ש D P AP = עם T מייצגות בסיס של וקטורים עצמיים ל P לכסין והעמודות של T אלכסונית אז D = diag(λ,, λ n ) ביחס לבסיס C שהתחלנו איתו כלומר, אם ניקח v i V כך ש [v i ] C = P e i (כאשר e i הוא וקטור היחידה הסטנדרטי), נקבל כי T v i = λ i v i ו { B = {v,, v n הוא בסיס מלכסן ל T הערות: נניח שאנחנו מתחילים עם מטריצה n(f) A M ומתאימים לה את ההעתקה T : F n col Fn col הנתונה על ידי T (x) = Ax אם ניקח בשלב מס את C להיות הבסיס הסטנדרטי, נקבל בחזרה את אלגוריתם הלכסון למטריצות דוגמא: יהי [x] V = R n מרחב הפולינומים הממשיים ממעלה קטנה או שווה ל n ויהי T : V V אופרטור הנגזרת בדקו האם T לכסין ואם כן, מצאו בסיס מלכסן C = ) (, x, x2 2!, x3 3!,, xn = (g,, g n ) n! ( ) x i T (g i ) = T = i! { ix i i! = xi (i )! = g i i i = [T ] C C = A = M n+ (R) נעבור עם הבסיס מתקיים ולכן χ A (t) = det t t t t 2 הפולינום האופייני של A נתון על ידי = t n+ 4

מכאן, ל A יש ערך עצמי = λ בריבוי אלגברי + n m = המימד של המרחב העצמי שמתאים לערך העצמי = λ (במקרה הזה, מימד מרחב הפתרונות של A) הוא n + rank(a) = ולכן = n מכאן, המטריצה A לכסינה אם ורק אם = n (ואז אנחנו מסתכלים רק על הפולינומים n+ R וקטור col הקבועים ו T היא העתקת האפס) אחרת, אין מספיק וקטורים עצמיים בת ל להרכיב בסיס ל עצמי שמתאים לערך העצמי = λ הוא v = e (מאחר ו = (Ae 3 נחזור בחזרה לאופרטור T האופרטור T אינו לכסין יש לו ערך עצמי אחד ( = λ) ומימד המרחב העצמי שמתאים לו הוא = n על מנת לקבל וקטור עצמי p V שמתאים לערך העצמי = λ ניקח את הערך העצמי שמצאנו עבור A ונתרגם אותו ל V בעזרת הבסיס C כלומר, נתייחס אליו כאל וקטור הקואורדינטות של p ונקבל פולינום p = g + g + + g n = הפולינום הקבוע p הוא וקטור עצמי של T עם ערך עצמי מתאים נסכם: לאופרטור הנגזרת על [x] R n יש רק ערך עצמי אחד ( = λ) מריבוי אלגברי + n וריבוי גיאומטרי הוקטורים העצמיים שמתאימים לערך העצמי = λ הם כל הוקטורים השונים מאפס שנמצאים בגרעין הפולינומים הקבועים 5