ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σύγκλιση Σειράς Όταν μια σειρά συγκλίνει, θα πρέπει: lim a 0 n n 4
Σύγκλιση Σειράς Όταν μια σειρά συγκλίνει, θα πρέπει: Απόδειξη: S n S lim a 0 n n a S S n n n n a n lim Sn lim Sn n n lim n a n R R lim n a n lim n a n 0 5
Σύγκλιση Σειράς: Εφαρμογή Έλεγχος σύγκλισης για τη σειρά: sin 6
Σύγκλιση Σειράς: Εφαρμογή Έλεγχος σύγκλισης για τη σειρά: sin sin sin Άρα η σειρά αποκλίνει, αφού καταλήγει σε άθροισμα μονάδων 7
Σύγκλιση Σειράς: Κριτήριο της Ολοκλήρωσης Αν αποδείξουμε ότι κάθε όρος μιας σειράς είναι μικρότερος από έναν ορισμένο αριθμό, τότε έχουμε δείξει ότι η σειρά συγκλίνει. Παράδειγμα: Για τη σειρά: 2 Θα δείξουμε ότι: S n x 2 dx 8
Σύγκλιση Σειράς: Κριτήριο της Ολοκλήρωσης Αν αποδείξουμε ότι κάθε όρος μιας σειράς είναι μικρότερος από έναν ορισμένο αριθμό, τότε έχουμε δείξει ότι η σειρά συγκλίνει. Παράδειγμα: Για τη σειρά: Είναι: dx 2 S n 2 x 2 9
Σύγκλιση Σειράς: Κριτήριο της Ολοκλήρωσης Αν αποδείξουμε ότι κάθε όρος μιας σειράς είναι μικρότερος από έναν ορισμένο αριθμό, τότε έχουμε δείξει ότι η σειρά συγκλίνει. Παράδειγμα: Γενικά: Για τη σειρά: l p l lim dx lim l p x l p p 2 0
Σύγκλιση Σειράς: Κριτήριο της Ολοκλήρωσης Αν αποδείξουμε ότι κάθε όρος μιας σειράς είναι μικρότερος από έναν ορισμένο αριθμό, τότε έχουμε δείξει ότι η σειρά συγκλίνει. Παράδειγμα: Για τη σειρά: 2 Άρα: lim l l p p p p p : : Αποκλίνει Συγκλίνει
Κριτήριο της Ολοκλήρωσης: Εφαρμογή Να μελετηθεί η σύγκλιση της σειράς: 9 2 2
Κριτήριο της Ολοκλήρωσης: Εφαρμογή Να μελετηθεί η σύγκλιση της σειράς: 9 2 0 dx 9x 2 0 lim l l dx 3x 2 arctan 3 0 3 2 Άρα η σειρά συγκλίνει 3
Σειρές Με Θετικούς Όρους: Κριτήρια. a, b Αν a b και η δεύτερη σειρά συγκλίνει, τότε συγκλίνει και η πρώτη. 4
Σειρές Με Θετικούς Όρους: Κριτήρια Εφαρμογή: Να βρείτε αν συγκλίνει η σειρά:! 5
Σειρές Με Θετικούς Όρους: Κριτήρια Εφαρμογή: Να βρείτε αν συγκλίνει η σειρά: Σειρά σύγκρισης: 2! 6
Σειρές Με Θετικούς Όρους: Κριτήρια Εφαρμογή: Να βρείτε αν συγκλίνει η σειρά: Σειρά σύγκρισης: 2! Για >4 είναι:! 2 Άρα η σειρά συγκλίνει. 7
Σειρές Με Θετικούς Όρους: Κριτήρια 2. a, b Αν υπάρχει lim a b τότε οι δύο σειρές έχουν όμοια συμπεριφορά. 8
Σειρές Με Θετικούς Όρους: Κριτήρια 2. Παράδειγμα: 3 3 7 2 3 4 2 2 9
Σειρές Με Θετικούς Όρους: Κριτήρια 2. Παράδειγμα: 3 3 7 2 3 4 2 2 Σειρά Σύγκρισης: 4 a lim 3 b Άρα η σειρά συγκλίνει. 20
Σειρές Με Θετικούς Όρους: Κριτήρια 3. a lim a a : : : Συγκλίνει Αποκλίνει Η μέθοδος δε δίνει αποτέλεσμα 2
Σειρές Με Θετικούς Όρους: Κριτήρια 3. Παράδειγμα 0! 22
Σειρές Με Θετικούς Όρους: Κριτήρια 3. Παράδειγμα 0! a 0 lim lim 0 a : Άρα η σειρά συγκλίνει. 23
Σειρές Με Θετικούς Όρους: Κριτήρια 4. a lim a : : : Συγκλίνει Αποκλίνει Η μέθοδος δε δίνει αποτέλεσμα 24
Σειρές Με Θετικούς Όρους: Κριτήρια 4. Παράδειγμα ln 25
Σειρές Με Θετικούς Όρους: Κριτήρια 4. Παράδειγμα ln lim a lim ln 0 : Άρα η σειρά συγκλίνει. 26
Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Λουκάς Βλάχος.. Έκδοση:.0. Θεσσαλονίκη 204. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://opencourses.auth.gr/eclass_courses.
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Νικόλαος Τρυφωνίδης Θεσσαλονίκη, 205
ΣΗΜΕΙΏΜΑΤΑ
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.