Σχεδίαση τροχιάς Η πιο απλή κίνηση ενός βραχίονα είναι από σηµείο σε σηµείο. Με την µέθοδο αυτή το ροµπότ κινείται από µία αρχική θέση σε µία τελική θέση χωρίς να µας ενδιαφέρει η ενδιάµεση διαδροµή που θα ακολουθήσει το άκρο του (Σχήµα 2.5α). Αυτός ο τύπος κίνησης είναι ικανοποιητικός σε εργασίες µεταφοράς αντικειµ ένων από µία θέση σε µία άλλη όταν δεν υπάρχουν εµπόδια στον χώρο εργασίας. Για την αποφυγή εµποδίων, όπως και σε άλλες περιπτώσεις, είναι απαραίτητος ο καθορισµός ενδιάµεσων σηµείων διέλευσης του άκρου (Σχήµα 2.5β) και πολλές φορές είναι απαραίτητο να περιορίσου µε την ταχύτητα ή και την επιτάχυνση του άκρου σε κάποια τµήµατα της διαδροµής του, π.χ. κοντά στο αντικείµενο που θέλουµε να συλλάβει η αρπάγη του βραχίονα επιθυµούµε κίνηση µε χαµηλή ταχύτητα (Σχήµα 2.5γ). Σε άλλες εφαρµογές, η διαδροµή του άκρου του βραχίονα θέλου µε να είναι πλήρως καθορισµένη π.χ. σε κάποιες εργασίες επεξεργασίας επιφανειών κλπ, θέλουµε η κίνηση του άκρ ου να ακολουθήσει µία ευθεία διαδροµή µεταξύ της αρχικής και της επιθυµητής θέσης διατηρώντας σταθερή επιθυµητή ταχύτητα (Σχήµα 2.5δ). (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 2.5 Η σχεδίαση τροχιάς αναφέρεται στο πρόβληµα της οµ αλής µετάβασης από µία επιθυµητή κατάσταση κίνησης σε µία άλλη και αφορά επιθυµητές θέσεις, ταχύτητες ή και επιταχύνσεις. Εποµένως η σχεδίαση τροχιάς αφορά στην δηµιουργία οµαλών συναρτήσεων του χρόνου για τ ην επιθυµητή θέση, ταχύτητα ή και επιτάχυνση και γίνεται µε την χρήση πολυωνυµικών συναρτήσεων. Η σχεδίαση τροχιάς µπορεί να γίνει είτε στον χώρο των αρθρώσεων είτε στον καρτεσιανό χώρο της κίνησης του άκρου του βραχίονα. Στην πρώτη περίπτωση, η αρχική και επιθυµητή θέση των αρθρώσεων βρίσκεται µέσω της (off-line) λύσης του αντίστροφου κινηµατικού προβλήµατος για την αρχική και την επιθυµητή θέση. Η σχεδίαση στον χώρο των αρθρώσεων γίνεται συνήθως όταν δεν µας ενδιαφέρει η διαδροµή του άκρου παρά µόνο η α ρχική, οι ενδιάµεσες και η τελική θέση του. Στην περίπτωση αυτή η τροχιά κάθε άρθρωσης που θα κινηθεί σχεδιάζεται έτσι ώστε όλες οι αρθρώσεις να φθάνουν στην 1
τελική τους θέση ταυτόχρονα ώστε η κίνηση του άκρου του βραχίονα να είναι οµαλή. Είναι σαφές ότι α κόµη και όταν η τροχιά των αρθρώσεων σχεδιαστεί έτσι ώστε να είναι ευθύγραµµη το άκρο του βραχίονα δεν θα έχει αναγκαστικά ευθεία τροχιά. Εάν µας ενδιαφέρει η τροχιά του άκρου του βραχίονα τότε η σχεδίαση της τροχιάς πρέπει να γίνει για την θέση και τον προσανατολισµό του άκρου του βραχίονα οπότε και οι θέσεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις της καρτεσιανής τροχιάς πρέπει να µεταφραστούν σε αντίστοιχες τροχιές στον χώρο των αρθρώσεων. Στην πράξη οι τροχιές αυτές υπολογίζονται κατά την διάρκεια της κίνησης σε κάθε κύκλο ελέγχου της τροχιάς, η επιθυµητή θέση του άκρου απεικονίζεται σε µία αντίστοιχη θέση των αρθρώσεων και µε αριθµητική παραγώγιση βρίσκεται η αντίστοιχη ταχύτητα και επιτάχυνση τους. Είναι προφανές ότι η διαδικασία αυτή είναι υπολογιστικά απαιτητική σε σύγκριση µε την περίπτωση της σχεδίασης της τροχιάς στο χώρο των αρθρώσεων όπου δεν υπάρχει απαίτηση για υπολογισµούς κατά την διάρκεια της κίνησης (η επιθυµητή θέση ταχύτητα και επιτάχυνση κάθε άρθρωσης έχει εκ των προτέρων καθοριστεί). Σχεδίαση πολυωνυµικής τροχιάς 3 ης Τάξης Το σχήµα 2.6 δείχνει µία τυπική τροχιά για την άρθρωση i από µία αρχική κατάσταση την χρονική στιγµή στην επιθυµητή κατάσταση την χρονική στι γµή. Οι περιορισµοί Σχήµα 2.6 της τροχιάς συνοψίζονται στην (2.24). (2.24) Η ύπαρξη των τεσσάρων περιορισµών για την θέση και την ταχύτητα (2.24), απαιτούν την χρήση ενός πολυωνύµου µε τέσσερις ανεξάρτητες παραµέτρους ώστε να ικανοποιήσουµε και τους τέσσερις περιορισµούς. Εποµένως, µπορούµε να θεωρήσουµε το πολυώνυµο τρίτης τάξης: (2.25) από το οποίο προκύπτει η επιθυµητή ταχύτητα: (2.26) 2
Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2.25) και (2.26) στους περιορισµούς (2.24) καταλήγουµε σε τέσσερις εξισώσεις µε τέσσερις αγνώστους που σε µορφή πινάκων γράφονται ως εξής: (2.27) Η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών στην σχέση (2.27) ισούται µε και εποµένως αν το σύστηµα (2.27) έχει µία µοναδική λύση. Συγκεκριµένα, αν υποθέσουµε ότι, οι συντελεστές της τροχιάς (2.25) και (2.26) δίνονται από την λύση του (2.27) και είναι οι εξής: (2.28) Το σχήµα 2.7 δείχνει µία τροχιά για την άρθρωση i από την θέση στην θέση στον χρόνο σε χρόνο µε µηδενική αρχική και τελική ταχύτητα. Η τροχιά της ταχύτητας και της επιτάχυνσης φαίνονται στα σχήµατα 2.8 και 2.9 αντίστοιχα. Σχήµα 2.7 Σχήµα 2.8 Σχήµα 2.9 3
Αν, τότε η λύση ισχύει αν αντικαταστήσουµε τον χρόνο t στην (2.25) και (2.26) µε και τον χρόνο στην (2.28) µε δηλαδή µεταθέσουµε την αρχή του άξονα του χρόνου προς τα αριστερά κατά. Μία σειρά κινήσεων (τµηµάτων τροχιάς) µπορούν να σχεδιαστούν µε βάση αυτούς τους τύπους αν θέσουµε τις συνθήκες του τέλους της πρώτης κίνησης σαν αρχικές συνθήκες για την επόµενη κίνηση, π.χ. στο σχήµα 2.10 φαίνεται η τροχιά της θέσης µιας άρθρωσης για την οποία επιθυµούµε να κινηθεί από την Σχήµα 2.10 θέση στον χρόνο στην θέση στον χρόνο, στην θέση στον χρόνο και στην θέση στον χρόνο µε µηδενική ταχύτητα στην αρχική στις ενδιάµεσες και στην τελική θέση. Σχεδίαση πολυωνυµικής τροχιάς 5 ης Τάξης Σε περίπτωση ύπαρξης περιορισµών στην επιτάχυνση προστίθενται δύο ακό µη περιορισµοί στους (2.24) και εποµένως είναι απαραίτητη η χρήση του πολυωνύµου 5ης τάξης που διαθέτει έξι ανεξάρτητες παραµέτρους. (2.29) Οι περιορισµοί της τροχιάς σ αυτήν την περίπτωση µπορεί να περιλαµβάνουν επιθυµητές τιµές για τις επιταχύνσεις στην αρχική και τελική κατάσταση και συνοψίζονται στους περιορισµούς: (2.30) Συγκεκριµένα, αν υποθέσουµε ότι, οι συντελεστές της τροχιάς (2.29) δίνονται από την λύση του συστήµατος (2.30) έξι εξισώσεων µε έξι αγνώστους και είναι οι εξής: (2.31) 4
Σχεδίαση ευθύγραµµης τροχιάς µε παραβολική µείξη. Μια ευθύγραµµη τροχιά µε παραβολική µείξη φαίνεται στο σχήµα 2.11. Στην περίπτωση αυτή το πρώτο τµήµα της τροχιάς θέσης από την χρονική στιγµή στην χρονική στιγµή είναι ένα πολυώνυµο δευτέρου βαθµού (δηλαδή µία παραβολή). Στον χρόνο, ο οποίος ονοµάζεται χρόνος µείξης, η τροχιά γίνεται µία γραµµική συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί σε µία σταθερή ταχύτητα. Τέλος στον χρόνο η τροχιά θέσης γίνεται ξανά µία παραβολή έτσι ώστε η ταχύτητα να µεταβάλλεται γραµµικά. Η τροχιά της ταχύτητας είναι επο µένως τραπεζοειδής, δηλαδή η ταχύτητα διατηρείται σταθερή σε ένα τµήµα της Σχήµα 2.11 διαδροµής της άρθρωσης ενώ µεταβάλλεται γραµµικά στην αρχή και στο τέλος της κίνησης. Επιλέγουµε τον χρόνο µείξης έτσι ώστε η τροχιά θέσης να είναι συµµετρική. Υποθέτουµε ότι, και έστω ότι η αρχική και η τελική ταχύτητα είναι µηδέν: (2.32) Στο χρονικό διάστηµα έως η τροχιά της µεταβλητής της άρθρωσης είναι µία παραβολή η οποία προκύπτει από µια οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση επιτάχυνσ ης, σ το χρονικό διάστηµα έως είναι µία γραµµική συνάρτηση που αντιστοιχεί στην ταχύτητα ενώ στο τελικό διάστηµα έως αποτελεί µια οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση επιτάχυνσης. Μπορεί να αποδειχτεί ότι η τροχιά της παραβολικής µίξης για διάρκεια κίνησης και ταχύτητα V δίνεται τελικά από τις σχέσεις: 5
(2.36) Για να είναι δυνατή η δηµ ιουργία της παραπάνω τροχιάς δεδοµένης της επιθυµητής ταχύτητας V πρέπει να ισχύει, περιορισµός ο οποίος οδηγεί στην ανισότητα: (2.35) Επίσης για είναι εφικτή µία τέτοια τροχιά πρέπει ο χρόνος µίξης να συνδέεται µε τα υπόλοιπα µεγέθη ως εξής: (2.34) Είναι επίσης πιθανόν αντί για την διάρκεια της κίνησης να δίνονται η ταχύτητα και η επιτάχυνση (συνήθως η µέγιστη) µε στόχο να µεγιστοποιείται το τµήµα της τροχιάς µε σταθερή ταχύτητα. Είναι σαφές ότι για µέγιστη ταχύτητα και µέγιστη επιτάχυνση ελαχιστοποιείται ο χρόνος διάρκειας της κίνησης. Σχήµα 2.13 Σχήµα 2.12 Σχήµα 2.13 Στο σχήµα 2.12 φαίνεται η τροχιά µιας άρθρωσης για την οποία επιθυµούµε να κινηθεί από την θέση στον χρόνο στην θέση σε χρόνο, µε ταχύτητα V= 37.5. Η τροχιά της ταχύτητας και της επιτάχυνσης φαίνονται στα σχήµατα 2.13 και 2.14 αντίστοιχα. Ο χρόνος µείξης υπολογίζεται ότι είναι. 6
Σχήµα 2.14 7