ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

2

3 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Σ Λ. * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε περισσότερα του ενός στοιχεία ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Σ Λ Στις παρακάτω ερωτήσεις όλες οι συναρτήσεις είναι πραγµατικές συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού ένα υποσύνολο του R., ρητός 3. * Η σχέση f, µε τύπο f () =, είναι, άρρητος συνάρτηση. Σ Λ 4. * Η σχέση + = όπου, R, είναι συνάρτηση. Σ Λ 5. * Η σχέση g µε τύπο g () = είναι συνάρτηση. Σ Λ 6. * Η σχέση f µε τύπο f () = είναι συνάρτηση. Σ Λ 7. * Η σχέση h µε τύπο h (t) = ± t, t R +, είναι συνάρτηση. Σ Λ 8. * Η σχέση f µε τύπο f (t) = t, t R +, είναι συνάρτηση. Σ Λ 9. * Αν για µια συνάρτηση f, που έχει πεδίο ορισµού το Α R, ισχύει f () = f () για κάποια, A, τότε =. Σ Λ

4 . * Aν οι συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σ ένα σύνολο Α, τότε και η συνάρτηση S = f + g ορίζεται στο ίδιο σύνολο. Σ Λ. * Aν οι συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σ ένα σύνολο Α, τότε και η συνάρτηση h = g f ορίζεται πάντοτε στο ίδιο ακριβώς σύνολο. Σ Λ. * Μια συνάρτηση γνησίως µονότονη είναι πάντοτε γνησίως αύξουσα. Σ Λ 3. * Κάθε πολυωνυµική συνάρτηση είναι συνεχής. Σ Λ 4. * Οι συναρτήσεις f () = ηµ και g () = συν είναι συνεχείς. Σ Λ 5. * Η συνάρτηση f () =, >, είναι συνεχής. Σ Λ 6. * Η συνάρτηση f () =, <, είναι συνεχής. Σ Λ 7. * Η έννοια της συνέχειας µιας συνάρτησης αναφέρεται µόνο σε σηµεία του πεδίου ορισµού της. Σ Λ 8. * Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού το Α, λέγεται συνεχής, αν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του συνόλου Α. Σ Λ 9. * Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε σηµεία, µε > ισχύει f ( ) < f ( ). Σ Λ. * Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε σηµεία, µε < ισχύει f ( ) < f ( ). Σ Λ

5 . * Η παράγωγος f ( ) µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της είναι πραγµατικός αριθµός. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης που είναι η γραφική παράσταση µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f, στο σηµείο (, f( )) αυτής, είναι η παράγωγος της f στο. Σ Λ 3. * Η παράγωγος µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της εκφράζει το ρυθµό µεταβολής της = f (), ως προς, όταν =. Σ Λ 4. * Η παράγωγος f ( ) µιας συνάρτησης f σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της ισούται µε το lim h f ( + h) - f ( ), h R, h. h 5. * Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της, όταν και µόνο όταν υπάρχει το lim h f ( + h) - f ( ), h R, h. h Σ Σ Λ Λ 6. * Η συνάρτηση f () = είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο =. Σ Λ 7. * Η συνάρτηση f () = είναι συνεχής στο σηµείο =. Σ Λ 8. * Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο του πεδίου ορισµού της, τότε το όριο lim h f ( + h) - f ( ), h, ισούται µε τον h συντελεστη διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης, που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σηµείο (, f ( )) αυτής. Σ Λ 3

6 9. * Η παράγωγος της συνάρτησης f () = είναι f () =. Σ Λ 3. * Η παράγωγος της συνάρτησης g (κ) = κ q, όπου q Q, είναι g (κ) = qκ q-. Σ Λ 3. * Οι παράγωγοι των συναρτήσεων f () = ηµ και g () = συν είναι αντίστοιχα f () = (ηµ) = συν και g () = (συν) = - ηµ. Σ Λ 3. * Οι παράγωγοι των συναρτήσεων Ε () = e και L () = ln είναι αντίστοιχα Ε () = (e ) = e και L () = (ln) =. Σ Λ 33. * Αν η πρώτη παράγωγος µιας συνάρτησης g είναι η σταθερή συνάρτηση l, τότε η g είναι της µορφής g () = c, c R - {}. Σ Λ 34. * Αν η πρώτη παράγωγος µιας πολυωνυµικής συνάρτησης g είναι 4ου βαθµού, τότε η g είναι 5ου βαθµού. Σ Λ 35. * Αν η δεύτερη παράγωγος µιας πολυωνυµικής συνάρτησης g είναι σταθερή, τότε η g είναι το πολύ ου βαθµού. Σ Λ 36. * Η συνάρτηση f µε f () = lim h f ( + h) h - f (), h, όπου τα σηµεία του πεδίου ορισµού της f στα οποία η f είναι παραγωγίσιµη, λέγεται (πρώτη) παράγωγος της f. Σ Λ 37. * Η παράγωγος (αν υπάρχει) της συνάρτησης g λέγεται πρώτη παράγωγος της g. Σ Λ 38. * Η παράγωγος (αν υπάρχει) της συνάρτησης g λέγεται τρίτη παράγωγος της g. Σ Λ 39. * Η παράγωγος της συνάρτησης f () = 5 είναι f () = 5. Σ Λ 4. * Η παράγωγος της συνάρτησης s (t) = t είναι s (t) =. Σ Λ 4. ** Θέσεις πιθανών ακροτάτων συνάρτησης f ορισµένης 4

7 και συνεχούς σ ένα διάστηµα είναι µόνο τα σηµεία στα οποία η f παραγωγίζεται. Σ Λ 4. ** Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ ένα εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού της, και υπάρχει η παράγωγος f ( ), τότε f ( ) =. Σ Λ 43. ** Αν για συνάρτηση f, ορισµένη και συνεχή σ ένα διάστηµα, υπάρχει η f ( ) και είναι f ( ), µε εσωτερικό σηµείο του, τότε το είναι θέση τοπικού ακρότατου της f. Σ Λ 44. ** Έστω συνάρτηση f, ορισµένη και συνεχής σ ένα διάστηµα. Τα εσωτερικά σηµεία του, στα οποία η f παραγωγίζεται και η παράγωγος ισούται µε µηδέν, είναι θέσεις πιθανών τοπικών ακροτάτων της. Σ Λ 45. ** Έστω συνάρτηση f, ορισµένη και συνεχής σ ένα διάστηµα. Τα εσωτερικά σηµεία του, στα οποία η f παραγωγίζεται και η παράγωγος f () ισούται µε µηδέν, αποτελούν πάντοτε θέσεις τοπικών ακροτάτων της. Σ Λ 46. ** Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ ένα εσωτερικό σηµείο ενός διαστήµατος του πεδίου ορισµού της και είναι παραγωγίσιµη στο, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (, f ( )) είναι παράλληλη στον άξονα. Σ Λ 47. ** Στο σχήµα παρουσιάζεται η γραφική παράσταση µιας συνεχούς συνάρτησης f. Να χαρακτηρίσετε µε (Σ) ή (Λ) τις παρακάτω προτάσεις:

8 i. Το πεδίο ορισµού της f είναι [-, 7]. ii. Το πεδίο ορισµού της f είναι (-, 7]. iii. Η συνάρτηση f παρουσιάζει στο διάστηµα (, 4) τοπικό µέγιστο, για = 3. iv. Ισχύει ότι f (3). v. Ισχύει f () > για (, 3) και f () > για (3, 4). vi. Στο διάστηµα (, 3) η συνάρτηση f είναι αύξουσα. vii. Ισχύει f (5). viii. Οι εφαπτόµενες της γραφικής παράστασης της f στα σηµεία (3, f (3)) και (5, f (5)) είναι παράλληλες µεταξύ τους. i. Στο διάστηµα (, ) η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για =.. Ορίζεται το f (). Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; 6

9 A. B. Γ.. Ε.. * Ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; A. B. Γ.. Ε. 7

10 3. * Το διπλανό διάγραµµα είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης Α. f () =,,, Β. f () =, Γ. f () =,, Ε. f () = e,, - < < - < < - < < - < <. f () =,, < - < 4. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης, µε γραφική παράσταση που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήµα, είναι Α. [, 3] Β. [, ) Γ. (, 3). (, + ) Ε. [, 4] * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης, µε γραφική παράσταση που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήµα, είναι Α. (-, ) Β. (-, 3] Γ. (-, + ). (-, 3] Ε. (, 3] 3 3 8

11 6. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f () = - είναι Α. [-, ] Β. [-, ) Γ. (-, ). (-, ] Ε. (-, + ) 7. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f () = - είναι Α. [-, ] Β. [-, ) Γ. (-, ). (-, ] Ε. (-, + ) 8. * Το διάγραµµα που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήµα είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης Α. f () = - Β. f () = Γ. f () =. f () = - Ε. f () = - 9. * Το διάγραµµα που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήµα είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης Α. f () = Β. f () = - Γ. f () = - Ε. f () =. f () =. * Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α R, τότε η f συνάρτηση h = έχει πεδίο ορισµού g Α. το σύνολο R Β. τα A: f () Γ. τα A: g (). τα A: f () =, g () Ε. τα A: f () = g () = 9

12 . * Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σηµείο του πεδίου ορισµού της, αν και µόνο αν Α. ισχύει f ( ) = Β. ισχύει f ( ) Γ. υπάρχει το lim f (). ισχύει lim f () = f () Ε. ισχύει lim f () f (). * f( ) σχ. f( ) σχ. f( ) σχ.3 f( ) f( ) σχ.4 σχ.5 Στα παραπάνω σχήµατα παρουσιάζονται πέντε γραφικές παραστάσεις ισάριθµων συναρτήσεων. Στη θέση συνεχής είναι η συνάρτηση Α. του σχήµατος Β. του σχήµατος Γ. του σχήµατος 3. του σχήµατος 4 Ε. του σχήµατος 5

13 3. * Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της, αν και µόνο αν Α. υπάρχει το lim Β. υπάρχει το lim h Γ. υπάρχει το lim h αριθµός. το lim Ε. το lim h h h f f ( + h) - f (h), h R, h h f ( + h) - f ( ), h R, h h f ( + h) - f ( ), h R, h και είναι πραγµατικός h ( + h) - f ( ) = +, h R, h h f ( + h) - f ( ) = -, h R, h h 4. * Η παράγωγος µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f, σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της, εκφράζει Α. την τιµή της συνάρτησης στη θέση Β. την τιµή του κλάσµατος f ( + h) - f ( ), h h Γ. το ρυθµό µεταβολής της f () ως προς, όταν =. το ρυθµό µεταβολής της f () ως προς - Ε. κανένα από τα παραπάνω 5. * Παράγωγο f ( ) µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της ονοµάζουµε Α. το πηλίκον f ( + h) - f ( ), h R, h h Β. το lim ( f ( + h) - f ( ) ), h R, h Γ. το h lim h f ( + h) - f ( ), h R, h h

14 . το lim h f ( + h), h R, h h f ( h) Ε. το πηλίκον +, h R, h h 6. * Εάν S (t) είναι η θέση ενός κινητού τη χρονική στιγµή t, που κινείται ευθύγραµµα, τότε το κλάσµα S (t + h) - S (t ), h R, h εκφράζει h Α. τη στιγµιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή t = t B. τη µέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστηµα [t, t + h] Γ. τη µέση τιµή της επιτάχυνσης στο χρονικό διάστηµα [t, t + h]. τη στιγµιαία τιµή της επιτάχυνσης τη χρονική στιγµή t = t E. τη διαφορά του διαστήµατος που διήνυσε το κινητό από τη χρονική στιγ- µή t µέχρι τη χρονική στιγµή t + h 7. * Εάν S (t) είναι η θέση ενός κινητού τη χρονική στιγµή t, που κινείται ευθύγραµµα, τότε η τιµή Α = lim h S (t + h) - S (t ), h R, h εκφράζει h Α. τη στιγµιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή t = t B. τη µέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστηµα [t, t + h] Γ. τη µέση τιµή της επιτάχυνσης στο χρονικό διάστηµα [t, t + h]. τη στιγµιαία τιµή της επιτάχυνσης τη χρονική στιγµή t = t E. τη διαφορά του διαστήµατος που διήνυσε το κινητό από τη χρονική στιγ- µή t µέχρι τη χρονική στιγµή t + h

15 8. ** Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε διάστηµα R και γνησίως φθίνουσα στο, τότε η f είναι αρνητική Α. µόνο σ ένα σηµείο του B. σε όλα τα εσωτερικά σηµεία του Γ. στο σηµείο µηδέν. µόνο στα σηµεία που µηδενίζουν την f E. κανένα από τα παραπάνω 9. * Αν για συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα, ισχύουν f ( ) = και f ( ) <, µε εσωτερικό σηµείο του, τότε η συνάρτηση f Α. παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = B. είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το διάστηµα Γ. παρουσιάζει τοπικό µέγιστο για =. δεν παρουσιάζει ακρότατο για = E. είναι σταθερή συνάρτηση. * Αν για συνάρτηση f, παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα, ισχύουν f ( ) = και f ( ) >, µε εσωτερικό σηµείο του, τότε η συνάρτηση f Α. παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = B. είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστηµα Γ. παρουσιάζει τοπικό µέγιστο για =. δεν παρουσιάζει ακρότατο για = E. είναι σταθερή συνάρτηση. * H συνάρτηση f, παραγωγίσιµη σ ένα ανοικτό διάστηµα, είναι γνησίως αύξουσα στο, αν ισχύει Α. f () =, για κάθε σηµείο του B. f () =, για κάθε σηµείο του Γ. f () >, για κάθε σηµείο του. f () <, για κάθε σηµείο του E. κανένα από τα παραπάνω 3

16 . * Η συνάρτηση f, παραγωγίσιµη σ ένα ανοικτό διάστηµα, είναι γνησίως φθίνουσα στο, αν ισχύει Α. f () =, για κάθε σηµείο του B. f () =, για κάθε σηµείο του Γ. f () >, για κάθε σηµείο του. f () <, για κάθε σηµείο του E. κανένα από τα παραπάνω 3. ** Έστω συνάρτηση f, παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και εσωτερικό σηµείο του για το οποίο υπάρχει f ( ). Το εσωτερικό σηµείο, είναι σηµείο ακροτάτου της f, αν ισχύει Α. f ( ) = B. f ( ) Γ. f ( ) =. f ( ) = και f ( ) E. f ( ) > και f ( ) = 4. * Η παράγωγος της συνάρτησης f () = είναι (για h ) Α. lim h h ( + h) h. E. B. lim h ( + h) Γ. lim h h ( + h) h - 5. * Αν ο µεγιστοβάθµιος όρος µιας πολυωνυµικής συνάρτησης είναι α α, όπου α, α, τότε η παράγωγός της είναι Α. σταθερή συνάρτηση B. τριγωνοµετρική συνάρτηση Γ. πολυωνυµική συνάρτηση µε µεγιστοβάθµιο όρο τον α α-. πολυωνυµική συνάρτηση µε µεγιστοβάθµιο όρο τον α α- E. δεν µπορούµε να το γνωρίζουµε χωρίς τον τύπο της συνάρτησης 4

17 6. * Η συνάρτηση h () = είναι Α. σύνθεση των συναρτήσεων f () = και g () = B. σύνθεση των συναρτήσεων f () = και g () = Γ. άλλη µορφή της συνάρτησης f () =. άλλη µορφή της συνάρτησης f () = E. κανένα από τα παραπάνω 7. * Η συνάρτηση f () = ηµ3 είναι Α. άλλη µορφή της συνάρτησης f () = 3ηµ B. η παράγωγος της συνάρτησης f () = συν3 Γ. σύνθεση των συναρτήσεων f () = ηµ, g () = 3. η παράγωγος της συνάρτησης f () = E. κανένα από τα παραπάνω συν * Αν L () = f (g ()), όπου f, g παραγωγίσιµες συναρτήσεις, τότε Α. L () = f (g ()) B. L () = f () g () Γ. L () = f () + g (). L () = f (g ()) f () Ε. L () = f (g ()) g () 5

18 Ερωτήσεις αντιστοίχισης. * Αντιστοιχίστε τον κάθε τύπο συνάρτησης της στήλης Α µε το διάστηµα ή ένωση διαστηµάτων της στήλης Β, που είναι το πεδίο ορισµού της. Στήλη Α Στήλη Β f () = f () = 3 - R (, ) (-, ) (, + ) f () = f () = - f () = + (-, - ) (-, + ) (-, ) (, + ) (, ) [, ) 6

19 . * Αντιστοιχίστε τον κάθε τύπο συνάρτησης της στήλης Α µε το διάστηµα ή ένωση διαστηµάτων της στήλης Β, που είναι το πεδίο ορισµού της. Στήλη Α Στήλη Β [, + ) f () = [-, + ) f () = + (-, ) (, + ) (-, - ] [, + ) f () = f () = + (, + ) (-, ) (, ) (-, + ) 7

20 3. * Αντιστοιχίστε τον κάθε τύπο της συνάρτησης της στήλης Α µε τη γραφική της παράσταση στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β (A) ( ). f () = φ () = 6 (B) (Ε) 3. h () = (Γ) 5 (Ζ),5 -,5 5 8

21 4. * Στη στήλη Α παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων. Αντιστοιχίστε καθεµιά από αυτές µε τη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β (A) () =c (B) () φ ω = ω ω (3) = (Γ) ( ) = φ ω 9

22 5. * Στη στήλη Α παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Αντιστοιχίστε καθεµιά από αυτές µε τη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β (A) () =e (B) () =ln (Γ) 3

23 6. * Στη στήλη Α παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Αντιστοιχίστε καθεµιά από αυτές µε τη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β (A) () π = ηµ π π π 3π (Β) () π 3π =συν π (Γ) π π π π 3

24 7. * Αντιστοιχίστε κάθε τύπο συνάρτησης που είναι στη στήλη Α µε τον τύπο της συνάρτησης της πρώτης παραγώγου της που είναι στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β f () f () ( - ) 4 (3) 3-8 (3 - ) 6 (3 - ) * Αντιστοιχίστε κάθε τύπο συνάρτησης που είναι στη στήλη Α µε τον τύπο της συνάρτησης της πρώτης παραγώγου της που είναι στη στήλη Β. 3

25 Στήλη Α f () Στήλη B f () α α α β β + α α + β α + β α β + γ β β α - β α - β α + β β + α - γ β + α α + β 9. * Στη στήλη Α του παρακάτω πίνακα υπάρχουν τα πρώτα µέλη ισοτήτων, οι οποίες εκφράζουν τους κανόνες παραγώγισης. Στη στήλη Β υπάρχουν τα δεύτερα µέλη των ισοτήτων αυτών. Αντιστοιχίστε τα στοιχεία της στήλης Α 33

26 µε εκείνα της στήλης Β ώστε να προκύψουν οι γνωστοί κανόνες παραγώγισης. Στήλη Α Στήλη Β f () g () + f () g () (c f ()) = f () g () -f () g () g () (f () + g ()) = f () + g () (f () g ()) = f () = g () c f () f () g () [f (g ())] = f (g ()) g () f () g () Ερωτήσεις συµπλήρωσης - σύντοµης απάντησης. * Να συµπληρώσετε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων: α) f () = A =... 34

27 β) f () = γ) f () = + A =... A =... δ) f () = + A =... ε) f () = + A =.... * Αν lim f () = -, να βρείτε και να συµπληρώσετε τα lim g (), όταν: α) g () = 3 f () - lim g () =... β) g () = - 4 f () lim g () =... γ) g () = ( f ()) lim g () =... f () - δ) g () = 5-3 f () lim g () =... ε) g () = 3-8 f () + lim g () = * Να συµπληρώσετε τα παρακάτω όρια: α) lim ( ) =... β) lim γ) lim (5 3 + = ) =... δ) lim [(3 + ) (5-3)] =... ε) - lim π [ηµ + 3συν] =... στ) lim [ηµ - 4συν] =... 35

28 4. * Να συµπληρώσετε τα παρακάτω όρια: - α) lim = β) lim = γ) lim =... - ( + ) δ) lim = * Να συµπληρώσετε τις τιµές των παραγώγων των παρακάτω συναρτήσεων στα αντίστοιχα σηµεία: α) f () = f () =... β) f () = + f () =... γ) f () = - 3 f (- ) =... δ) f () = ηµ π f ( ) =... ε) f () = - f () = * Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων στα αντίστοιχα σηµεία: α) f () = - A (, f ()) =... β) f () = - A (, f ()) =... γ) f () = 3 - A (-, f (- )) = * Για κάθε γραφική παράσταση της = f () χαράξτε την αντίστοιχη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της. 36

29 37

30 8. * Στη στήλη Α δίνονται τύποι συναρτήσεων. Συµπληρώστε στη στήλη Β τους αντίστοιχους τύπους των πρώτων παραγώγων τους. Στήλη Α f () Στήλη Β f () - ( - ) ( - ) ( - ) 3 ( -) - 3 ( -) 38

31 9. * Στη στήλη Α δίνονται τύποι συναρτήσεων. Συµπληρώστε στη στήλη Β τους αντίστοιχους τύπους των πρώτων παραγώγων τους. Στήλη Α Στήλη Β f () f () ηµ ηµ συν - ηµ συν ηµ ηµ. * Στη στήλη Α δίνονται τύποι συναρτήσεων. Συµπληρώστε στη στήλη Β τους αντίστοιχους τύπους των πρώτων παραγώγων τους. Στήλη Α Στήλη Β f () f () - ln e e -3 + ln - 39

32 . * Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τύποι τεσσάρων συναρτήσεων. Να συµπληρώσετε τη στήλη Β µε το αντίστοιχο πεδίο ορισµού τους, τη στήλη Γ µε την πρώτη παράγωγό τους και τη στήλη και τη δεύτερη παράγωγό τους. Στήλη Α h () = Στήλη Β πεδίο ορισµού Στήλη Γ πρώτη παράγωγος Στήλη δεύτερη παράγωγος φ () = - f () = + g () = - 4

33 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = Να βρείτε: α) το πεδίο ορισµού της, Α β) για ποιες τιµές του Α έχουµε f () = γ) το πεδίο ορισµού Β της συνάρτησης g () = ** ίνεται η συνάρτηση g µε g () = +. α) Για ποιες τιµές του R έχουµε g () = ; β) Να βρείτε: i) το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης f () = + ii) το πεδίο ορισµού Β της συνάρτησης h () = + 3. ** ίνεται η συνάρτηση g µε g () = -. α) Για ποιες τιµές του R έχουµε g () = ; β) Για ποιες τιµές του R η συνάρτηση g () είναι θετική; γ) Να βρείτε: i) το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης f () = ii) το πεδίο ορισµού Β της συνάρτησης h () = iii) το πεδίο ορισµού Γ της συνάρτησης φ () = 4. ** ίνεται η συνάρτηση g µε g () = - 4. α) Για ποιες τιµές του R έχουµε g () = ; β) Να βρείτε το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης f () =

34 5. ** ίνονται οι συναρτήσεις f, g µε f () = και g () = 3 -, R. Να βρείτε: α) τον τύπο της συνάρτησης f () + g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού της, Α β) τον τύπο της συνάρτησης 3f () - g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού της, Β γ) τον τύπο της συνάρτησης f () g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού της, Γ δ) τον τύπο της συνάρτησης της, f () g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού 6. ** ίνονται οι συναρτήσεις f, g µε f () = - 3 +, g () = 5 -, R. Να βρείτε: α) το lim f () και το lim g () β) το lim [f () + g ()] 7. ** ίνεται η συνάρτηση φ µε φ () = α) το πεδίο ορισµού της, Α β) το lim φ () γ) το lim [φ ()] Να βρείτε: ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = 6 - α) το πεδίο ορισµού της, Α β) το lim 3-3 f (). Να βρείτε: 4

35 9. ** ίνονται οι συναρτήσεις f, g µε f () = , g () = -, R. Να βρείτε: α) τα lim f (), lim g () β) το - - lim - f () g (). ** Αν lim f () = -, να βρείτε το lim φ (), όταν: α) φ () = 3 f () β) φ () = 3 f () - γ) φ () = f 5 f () 3 () - δ) φ () = f () - 4. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () =. Να βρείτε: +- α) το πεδίο ορισµού της, Α β) το lim f () -. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α) το πεδίο ορισµού της, Α β) το lim - 3 f () 9 -. Να βρείτε: ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α) το πεδίο ορισµού της, Α β) το lim f () 3-3. Να βρείτε:

36 3-4. ** Για ποιες τιµές του α R η συνάρτηση f () = α το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών; + έχει πεδίο ορισµού 5. ** Για ποιες τιµές του α R η συνάρτηση f () = ορισµού το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών; (α + ) έχει πεδίο 6. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α) το πεδίο ορισµού της, Α β) το lim f (). -. Να βρείτε: + 4 γ) Να εξετάσετε, αν η f () είναι συνεχής στη θέση =. 7. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = - 3 +, 3. α, = 3 α) Για 3 είναι συνεχής η συνάρτηση; β) Για ποια τιµή του α R η συνάρτηση f () είναι συνεχής στο σηµείο = 3; 8. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α) το lim f () α,,. Να βρείτε: = β) την τιµή του α R, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σηµείο =. 44

37 ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = - α α) το πεδίο ορισµού της, Α β) το lim ,,. Να βρείτε: = γ) την τιµή του α R, ώστε η f να είναι συνεχής στο σηµείο =. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = , - α,. Να βρείτε την = τιµή του α R, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σηµείο =.. ** Η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι δ. Να εκφράσετε, ως συνάρτηση της διαγωνίου δ: α) την περίµετρό του β) το εµβαδό του. ** Οι κάθετες πλευρές ΑΒ, ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ (Α = 9 ) µεταβάλλονται έτσι ώστε το εµβαδό του να παραµένει σταθερό και ίσο µε m. Να εκφράσετε το µήκος της πλευράς ΑΒ, ως συνάρτηση του µήκους της πλευράς ΑΓ. 3. ** Ένας κυκλικός τοµέας ακτίνας r έχει εµβαδό 3 cm. Να εκφράσετε την περίµετρό του, ως συνάρτηση της ακτίνας r. 4. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α) την f (3), R. Να βρείτε: 3 β) το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης της συνάρτησης f, στο σηµείο µε = 3 γ) την εξίσωση της παραπάνω εφαπτοµένης 45

38 5. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α, R, α R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε το α, ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο σηµείο (, f ()) να είναι ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = +, R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο σηµείο µε =. γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο σηµείο (, f ()). 7. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = , R. Να βρείτε: α) την f () β) την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, που είναι παράλληλη στον άξονα. 8. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = - α, R, α R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε το α, ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο (, f ()) να σχηµατίζει µε τον άξονα γωνία ** Να βρεθεί η γωνία που σχηµατίζει µε τον άξονα η εφαπτοµένη της καµπύλης, που είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = στο σηµείο ( 4, f ( 4 )). 46

39 3. ** Η θέση ενός κινητού που κινείται ευθύγραµµα, δίνεται συναρτήσει του χρόνου από τον τύπο S (t) = t + t, όπου το t µετριέται σε sec και το S σε µέτρα. Να βρείτε: α) τη µέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστηµα [, 4] sec β) τη στιγµιαία ταχύτητα του κινητού, όταν t = sec ( sec µετά την εκκίνησή του). 3. ** Η θέση ενός κινητού, που εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση, δίνεται συναρτήσει του χρόνου t (σε sec) από τον τύπο S (t) = 3t - t. Να βρείτε: α) τη µέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστηµα [, 4] sec β) τη στιγµιαία ταχύτητα του κινητού, όταν t = 3 sec (3 sec µετά την εκκίνησή του). 3. ** Η ταχύτητα, ενός κινητού, που κινείται ευθύγραµµα, συναρτήσει του χρόνου t (σε sec), δίνεται από τον τύπο υ (t) = 3t - 5. α) Να εκφράσετε το ρυθµό µεταβολής της ταχύτητας (επιτάχυνση) του κινητού ως προς t, όταν t = t. β) Να υπολογίσετε το ρυθµό µεταβολής της ταχύτητας (επιτάχυνση) του κινητού ως προς t, όταν t = sec ( sec µετά την εκκίνησή του). 33. ** Ένας πληθυσµός µικροβίων Ρ µεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t (σε ώρες) σύµφωνα µε τον τύπο Ρ (t) = 3-5 ( + t) -. α) Να βρείτε τον αρχικό αριθµό µικροβίων (t = ). β) Να βρείτε τον αριθµό των µικροβίων όταν t = 9 ώρες. γ) Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του πληθυσµού των µικροβίων ως προς το χρόνο, όταν t = 9 ώρες. 34. ** Ο πληθυσµός Α µιας περιοχής δίνεται, συναρτήσει του χρόνου t (σε έτη) από τον τύπο Α (t) = e 4t (σε χιλιάδες). Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του πληθυσµού αυτής της περιοχής, ως προς το χρόνο, ύστερα από 5 έτη. 47

40 35. ** ίνονται οι συναρτήσεις f, g µε f () = e α) Την πρώτη παράγωγο i) της f και ii) της g. β) Τις παραγώγους i) f () και ii) g (). 3, g () = e. Να βρείτε: 36. ** Να βρείτε πολυώνυµο Ρ () τρίτου βαθµού, τέτοιο ώστε Ρ () = -, Ρ () = 5, Ρ () =, Ρ () =. 37. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = -. α) Να βρείτε: i) την f () ii) την f () β) Να αποδειχθεί ότι: ( - ) f () + f () =, για κάθε R. 38. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = e. α) Να βρείτε: i) την f () ii) την f () β) Να δείξετε ότι: f () - f () =, για κάθε R. 39. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = e α, α R. Να βρείτε: α) Την f () β) Την f () γ) Τις τιµές του α, ώστε να ισχύει η σχέση f () + f () = 3f (), για κάθε R. 4. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = (3 - ) 3 ( + ). Να βρείτε: α) Την f () β) Το f (). 4. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α) Το πεδίο ορισµού της, Α β) Την f (). e e -. Να βρείτε: + 48

41 4. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () =. Να βρείτε: e - α) Το πεδίο ορισµού της, Α β) Την f (). 43. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α) Το πεδίο ορισµού της, Α β) Την f (). - ηµ - συν. Να βρείτε: 44. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = , R. Να βρείτε: 3 α) Την f () β) Τα σηµεία της καµπύλης της συνάρτησης, στα οποία οι εφαπτόµενες σ αυτήν, είναι παράλληλες στον άξονα. 45. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = ( + ), R. Να βρείτε: α) Την f () β) Το συντελεστή διεύθυνσης λ της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο σηµείο µε τετµηµένη ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = , R. Να βρείτε: α) Την f () β) Την εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης της f, που σχηµατίζει µε τον άξονα γωνία ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α ( + ), R, α R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε τον α, ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο σηµείο (, f ()) να είναι 4. γ) Να βρείτε την εξίσωση της παραπάνω εφαπτοµένης ευθείας. 49

42 48. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = - 4 +, R. α) Να βρείτε την f () β) Να προσδιορίσετε το σηµείο Α της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, στο οποίο η εφαπτοµένη της σχηµατίζει γωνία 45 µε τον άξονα. 49. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = - α +β, α, β R και η ευθεία = 3 -, R. Να υπολογίσετε τα α, β ώστε η ευθεία = 3 - να είναι εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο µε τετµηµένη. 5. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = , R. Να βρείτε: 3 α) Την f (). β) Τις εξισώσεις των εφαπτοµένων της γραφικής παράστασης της f, που είναι παράλληλες στην ευθεία = ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α) Να δείξετε ότι f (α) = -, R,. 4 3 για κάθε α R, α. α β) Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στο σηµείο (α, ) της γραφικής παράστασης της f. α 5. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = , R. α) Να βρείτε την f (). β) Να εξετάσετε τη µονοτονία της. γ) Να προσδιορίσετε τα ακρότατά της (αν υπάρχουν). 5

43 53. ** ίνονται οι συναρτήσεις f, g µε τύπους: f () = και g () = 4 - +, R. Να βρείτε: α) i) την f () και ii) την g (). β) Τις θέσεις για τις οποίες οι συναρτήσεις παρουσιάζουν ακρότατο γ) Τις τιµές των ακροτάτων αυτών. 54. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = , R. Να βρείτε: 3 α) Την f () β) Για ποιες τιµές του έχουµε f () = γ) Ποιες από τις παραπάνω τιµές των είναι θέσεις ακροτάτων για την f δ) Τις τιµές των ακροτάτων. 55. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = κ + λ + 3, R, κ, λ R. α) Να βρείτε τα κ, λ ώστε η f να έχει στη θέση = τοπικό ακρότατο ίσο µε -. β) Τι είδους ακρότατο παρουσιάζει η συνάρτηση στη θέση = ; 56. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = 3-3, R. Να βρεθούν τα διαστή- µατα που η f είναι: α) Αύξουσα β) Φθίνουσα 57. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = e -. α) Να βρεθούν οι f (), f (). β) Να µελετηθεί η συνάρτηση f, ως προς τη µονοτονία της. γ) Να προσδιοριστούν τα ακρότατά της (αν υπάρχουν). 58. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = ( - ) e, R. α) Να βρεθούν: i) το πεδίο ορισµού της, ii) η f () και η f (). β) Να µελετηθεί η f ως προς: i) τη µονοτονία της, ii) τα ακρότατά της και να εντοπιστούν αυτά, αν υπάρχουν. 5

44 59. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = κ 3 + λ + 3 -, R, κ, λ R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε τα κ, λ, ώστε η f να έχει τοπικά ακρότατα στα σηµεία µε τετµηµένες =, = -. γ) Να βρείτε τις τιµές των ακροτάτων. 6. ** Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραµµα µε την ίδια περίµετρο, ποιο είναι εκείνο που έχει το µέγιστο εµβαδό; 6. ** Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραµµα µε εµβαδό 6 m, να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου, που έχει την µικρότερη περίµετρο. 6. ** Να αποδείξετε ότι από όλα τα ισοσκελή τρίγωνα, που είναι εγγεγραµµένα σε κύκλο ακτίνας R, το ισόπλευρο έχει µεγαλύτερο εµβαδό. 63. ** Να βρεθούν δύο αριθµοί, µε σταθερό άθροισµα, που να έχουν το µεγαλύτερο γινόµενο. 64. ** Η τιµή πώλησης ενός µηχανικού εξαρτήµατος είναι. δρχ. Το κόστος του συναρτήσει του χρόνου κατασκευής (σε ώρες) προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης: Κ (t) = t + 5t - α) Πότε πραγµατοποιήθηκε το µέγιστο κέρδος; β) Πόσο είναι αυτό; 65. ** Η ενέργεια που καταναλώνει ένας µικροοργανισµός που κινείται µέσα στο αίµα ενός ασθενούς µε ταχύτητα υ, προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης: Ε (υ) = [ (υ - 35) + 75] υ α) Με ποια ταχύτητα πρέπει να κινηθεί για να καταναλώσει τη µικρότερη ενέργεια; β) Πόση είναι η ελάχιστη ενέργεια; 5

45 66. ** Η ενέργεια W (t), που αποδίδεται από ένα πηνίο, µεταβάλλεται µε το χρόνο t σύµφωνα µε τον τύπο της συνάρτησης: W (t) = 6t - t 4 και µετριέται σε Joules. α) Να εκφράσετε το ρυθµό µεταβολής της ενέργειας ως προς το χρόνο (την ισχύ του πηνίου) τη χρονική στιγµή t = t. β) Σε ποια χρονική στιγµή το πηνίο έχει µέγιστη ισχύ; γ) Πόσα Watt είναι η µέγιστη ισχύς; 67. ** Η τιµή εισιτηρίου των αστικών λεωφορείων είναι σταθερή τα τελευταία 8 χρόνια στις δρχ. Το κόστος µεταφοράς ανά επιβάτη στη διάρκεια των 8 χρόνων προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης: όπου t (, 8] ο χρόνος. Κ (t) = t + 5 t α) Να προσδιοριστεί η χρονική στιγµή κατά την οποία πραγµατοποιήθηκε το µέγιστο κέρδος. β) Πόσο είναι αυτό το κέρδος; 68. ** Η θετική αντίδραση ενός οργανισµού σ ένα φάρµακο περιγράφεται (δίνεται) από τον τύπο της συνάρτησης f () = (α - ), α > σταθερά και η ηµερήσια δόση του φαρµάκου σε mg. Ποια είναι η ενδεδειγµένη ποσότητα δόσης του φαρµάκου ώστε να έχουµε τη µεγαλύτερη θετική αντίδραση του οργανισµού; 69. ** Ένα εργοστάσιο ζαχαροπλαστικής παρασκευάζει µεταξύ άλλων ταψάκια γαλακτοµπούρεκου. Υπολογίστηκε ότι η παρασκευή ταψιών την εβδοµάδα κοστίζει περίπου ( ) δρχ. Αν η τιµή πώλησης του ταψιού είναι ( - ) δρχ., πόσα ταψάκια γαλακτοµπούρεκο πρέπει να παράγει την εβδοµάδα, ώστε να έχει το µεγαλύτερο δυνατό κέρδος; 53

46 54