ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ. Μέρος 2ο ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ. Μέρος 2ο ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ"

Ῥαφαὴλ Δουρέντης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ Μέρος 2ο ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

2 Παραμετρικές Εξισώσεις

3 Παραμετρικές Εξισώσεις

4 Άσκηση 1

5 Άσκηση 1 Λύση: (αριστερόστροφη)

6 Άσκηση 1

7 Άσκηση 1

8 Άσκηση 2

9 Άσκηση 2 Λύση: (δεξιόστροφη)

10 Άσκηση 3

11 Λύση: Άσκηση 3

12 Άσκηση 4

13 Άσκηση 4 Λύση: Τα x(t) και y(t) θα είναι γραµµικές συναρτήσεις του t. Μπορούµε να επιλέξουµε ελεύθερα τις τιµές που θέλουµε να έχει η παράµετρος t στα άκρα του ευθύγραµµου τµήµατος.

14 Άσκηση 4 Λύση: Τα x(t) και y(t) θα είναι γραµµικές συναρτήσεις του t. Μπορούµε να επιλέξουµε ελεύθερα τις τιµές που θέλουµε να έχει η παράµετρος t στα άκρα του ευθύγραµµου τµήµατος. Επιλέγουµε: t = 0 στο (x, y) = (-2,1) και άρα

15 Άσκηση 4 Λύση: Τα x(t) και y(t) θα είναι γραµµικές συναρτήσεις του t. Μπορούµε να επιλέξουµε ελεύθερα τις τιµές που θέλουµε να έχει η παράµετρος t στα άκρα του ευθύγραµµου τµήµατος. Επιλέγουµε: t = 0 στο (x, y) = (-2,1) και άρα και επιλέγουµε t = 1 στο (x, y) = (3,5), άρα:

16 Άσκηση 4 Λύση: Τα x(t) και y(t) θα είναι γραµµικές συναρτήσεις του t. Μπορούµε να επιλέξουµε ελεύθερα τις τιµές που θέλουµε να έχει η παράµετρος t στα άκρα του ευθύγραµµου τµήµατος. Επιλέγουµε: t = 0 στο (x, y) = (-2,1) και άρα και επιλέγουµε t = 1 στο (x, y) = (3,5), άρα: Τελικά:

17 Άσκηση 4

18 Παραμετρικοποίηση Αντίστροφων Συναρτήσεων Oποιαδήποτε συνάρτηση y = f (x) µπορεί να παρασταθεί παραµετρικά ως εξής: x = t y = f (t) Mε εναλλαγή των x και y προκύπτουν οι παραµετρικές εξισώσεις της αντίστροφης συνάρτησης: x = f (t) y = t

19 Παραμετρικοποίηση Αντίστροφων Συναρτήσεων Oποιαδήποτε συνάρτηση y = f (x) µπορεί να παρασταθεί παραµετρικά ως εξής: x = t y = f (t) Mε εναλλαγή των x και y προκύπτουν οι παραµετρικές εξισώσεις της αντίστροφης συνάρτησης f -1 (x): x = f (t) y = t

20 Άσκηση 5 Η y = x 2 µπορεί να παρασταθεί παραµετρικά ως εξής: x = t y = t 2 µε 1 <t<1. Mε εναλλαγή των x και y προκύπτει η αντίστροφη παραµετρική µορφή: µε 1 <t<1. x = t 2 y = t

21 Άσκηση 5 y = x 2 y = p x y = p x

22 Άσκηση 5 ΠΡΟΣΟΧΗ: Ενώ η παραµετρική µορφή και η αντίστροφή της ορίζονται για 1 <t<1 (που περιλαµβάνει και τον κλάδο y = p x ), η αρχική συνάρτηση f(x) =x 2 έχει αντίστροφη f 1 (x) = p x (και όχι f 1 = ± p x ) στο πεδίο ορισµού x 0 διότι µόνο εκεί η f(x) είναι αµφιµονοσήµαντη και ισχύει η ιδιότητα f(f 1 (x)) = f 1 (f(x)) = x

23 Άσκηση 6

24 Δίνεται η συνάρτηση Άσκηση 7 2x +1 f(x) = x +3 Βρείτε την f -1 και επαληθεύστε ότι (f f 1 )(x) =(f 1 f)(x) =x

25 Άσκηση 7

26 Δίνεται η συνάρτηση Άσκηση 8 f(x) = x Βρείτε την f -1 και επαληθεύστε ότι (f f 1 )(x) =(f 1 f)(x) =x

27 Άσκηση 8

28 Άσκηση 9 Έστω x = a sec t και y = b tan t. α) Βρείτε τη γραφική παράσταση στο παραµετρικό διάστηµα (-π/2, π/2) για a = 2, b = 3. β) Επαναλάβετε για x = a tan t και y = b sec t. γ) Τι παρατηρείτε για a = b; δ) Αποδείξτε αλγεβρικά ότι: x a 2 y b 2 =1

29 Άσκηση 9

30 Άσκηση 9

31 Άσκηση 10 Σχεδιάστε την οφιοειδή καµπύλη του Νεύτωνα y = 4x x 2 +1 Κατόπιν, σχεδιάστε και την καµπύλη y = 2 sin(2 tan 1 x) Τι παρατηρείτε; Εξηγείστε.

32 Άσκηση 10

33 Άσκηση 11 Να βρεθούν το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών των συναρτήσεων Υπενθύµιση: και y = tan 1 (tan x) y = tan(tan 1 x)

34 Άσκηση 11 Η y = tan x δεν είναι αµφιµονοσήµαντη συνάρτηση, αλλά περιοδική, µε πεδίο ορισµού, και πεδίο τιµών. Στην περιοχή η y = tan -1 x παίρνει τιµές -π/2 < x < π/2. Άρα, η y = tan -1 (tan x) συνολικά έχει: πεδίο ορισµού: πεδίο τιµών: -π/2 < x < π/2,

35 Άσκηση 11 Η y = tan -1 x είναι αµφιµονοσήµαντη συνάρτηση στο πεδίο ορισµού. µε πεδίο τιµών -π/2 < x < π/2. Σε αυτή την περιοχή, η y = tan x έχει πεδίο τιµών. Άρα, η y = tan (tan -1 x) συνολικά έχει: πεδίο ορισµού: πεδίο τιµών:

36 Άσκηση 11

37 ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η σχέση Άσκηση 11 tan 1 (tan x) =x ισχύει µόνο στο πεδίο ορισµού -π/2 < x < π/2, όπου η y = tan x είναι αµφιµονοσήµαντη και µπορεί να αντιστραφεί. Ενώ, η σχέση tan(tan 1 x)=x ισχύει στο πεδίο ορισµού, διότι σε αυτό η y = tan -1 x είναι αµφιµονοσήµαντη.

38 Άσκηση 11 Οι συναρτήσεις y = tan x και y = tan -1 x αποτελούν ζεύγος αντίστροφων συναρτήσεων (η µία αντίστροφη της άλλης) και ισχύει ταυτόχρονα tan 1 (tan x) = tan(tan 1 x)=x µόνο στην κοινή περιοχή -π/2 < x < π/2 όπου και οι δύο είναι αµφιµονοσήµαντες. (βλ. ταύτιση κόκκινης και µπλε γραµµής στο προηγούµενο σχήµα)

39 Άσκηση 12

Σχετικά έγγραφα

{(x, y) R 2 : f (x, y) = 0}

{(x, y) R 2 : f (x, y) = 0} ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 13 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Οκτ 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-13 Οκτ 2014 1 / 10 Ενα θεμελιώδες πρόβλημα της Αναλυτικής Γεωμετρίας