αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

Transcript

1 A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 9. εύτερο διαφορικό ΑΣΚΗΣΕΙΣ. εύτερη παράγωγος µιας συνάρτησης = f() καλείται η παράγωγος της (πρώτης) παραγώγου. Παριστάνεται µένα από τα σύµβολα: d d f() = f () ή = ή D = D f() d d Μετράει το ρυθµό µεταβολής της πρώτης παραγώγου καθώς το µεταβάλλεται. Γεωµετρικά: η πρώτη παράγωγος µετράει την κλίση της καµπύλης και αφορά τον (οριακό) ρυθµό µεταβολής των τιµών η δεύτερη παράγωγος µετράει την κυρτότητα της καµπύλης και αφορά τον (οριακό) ρυθµό µεταβολής της κλίσης, θετική αν η κλίση αυξάνει, αρνητική αν ελαττώνεται. Οι γραµµικές συναρτήσεις έχουν µηδενική δεύτερη παράγωγο: {= m+ β, = m, = } Oι παραβολικές συναρτήσεις έχουν σταθερή µη µηδενική δεύτερη παράγωγο: {= α + β+ γ, = α+ β, = α} Παράδειγµα α α α α α α α α α α {, ( ) = α, ( ) = α(α ) } {e,(e ) = αe, (e ) = α e } / / 3/ {ln, ln = /, ln = / }, {f() = ( ),f () = (/ )( ), f () = (/ 4)( ) }, {sin, sin () = cos, sin = sin }, {cos, cos = sin, cos = cos } 3 {tan, tan = + tan, tan = tan tan = tan + tan } Παρατήρηση. Για να ορίσουµε τη δεύτερη παράγωγο απευθείας από την αρχική συνάρτηση, παίρνουµε διαδοχικές µεταβολές, και υπολογίζουµε τον ρυθµό µεταβολής του ρυθµού µεταβολής στο όριο :, +, + + = + f f(+ ) f(+ ) f(+ ) f() = f(+ ) f(+ ) + f() f() d f() = = d Ο λόγος f() µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως προσέγγιση της ης παραγώγου όταν έχουµε 3 διαδοχικές τιµές της συνάρτησης. Ο όρος στον αριθµητή καλείται: f() = f(+ ) f(+ ) + f(), δεύτερη µεταβολή της συνάρτησης. Παραβολική προσέγγιση ή επέκταση µιας συνάρτησης f() σε κάποιο καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο έχει την ίδια τιµή και την ίδια πρώτη και δεύτερη παράγωγο µε τη συνάρτηση. ίνεται από την παράσταση: f() f( ) + f ( )( ) + f ( )( ) για Καλείται επίσης τετραγωνική προσέγγιση ή επέκταση. Παρατηρούµε ότι η παραβολική προσέγγιση αποτελείται καταρχήν από την γραµµική στην οποία έχει προστεθεί και ένας όρος δευτέρου βαθµού δίνοντας έτσι µια καλλίτερη προσέγγιση των τιµών της συνάρτησης στη γειτονιά του, διότι εκτός από την κλίση παίρνει υπόψη της και την κυρτότητα της συνάρτησης στο συγκεκριµένο σηµείο. Παράδειγµα. Για : e + +, ln(+ ), + +, α α(α ), (+ ) + α+, sin, cos Στον παρακάτω πίνακα δίνουµε τις προσεγγίσεις (γραµµική, παραβολική), και την πραγµατική τιµή:...5. e.5, ln(.9).5,

2 Παρατήρηση. Αντικαθιστώντας: = ( ) +, και αναπτύσσοντας τις δυνάµεις µπορούµε να εκφράσουµε ένα πολυώνυµο σε δυνάµεις του, για οιοδήποτε. Κρατώντας τις δυνάµεις µέχρι ου και ου βαθµού βρίσκουµε την γραµµική και παραβολική προσέγγιση αντίστοιχα, στο σηµείο. Παράδειγµα. Σε δυνάµεις του (+ ), βρίσκουµε: = [+ ) ] + = [(+ ) 3(+ ) + 3(+ ) + ] + = + 3(+ ) 3(+ ) + (+ ) 3 Πράγµατι, οι προσεγγίσεις της συνάρτησης στο =, έχουν ως εξής: Γραµµική: + 3(+ ), Παραβολική: + 3(+ ) 3(+ ) 3. Κυρτή καλείται µια συνεχής συνάρτηση f() αν η πρώτη παράγωγος f () είναι αύξουσα, και γνήσια κυρτή αν η πρώτη παράγωγος είναι γνήσια αύξουσα. Έχουµε: Αν η πρώτη παράγωγος f () είναι συνεχής (δηλαδή το γράφηµα της συνάρτησης δεν έχει γωνίες), τότε η f() είναι κυρτή f () παντού στο διάστηµα. Μια κυρτή συνάρτηση είναι γνήσια κυρτή αν το γράφηµα της δεν έχει ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή µπορεί να έχει f () = σε πεπερασµένο πλήθος σηµείων αλλά όχι σε ολόκληρο τµήµα. Αν µια συνάρτηση είναι κυρτή, τότε η πρώτη παράγωγος ως αύξουσα µπορεί να αλλάξει πρόσηµο µόνο από αρνητικό σε θετικό, και εποµένως: Μια κυρτή συνάρτηση θα είναι είτε µονότονη, είτε θα έχει δύο διαστήµατα µονοτονίας οπότε θα είναι πρώτα φθίνουσα και µετά αύξουσα. Παράδειγµα α α α. =, = α, = α(α ) για. Είναι γνήσια κυρτή α(α ) >, δηλαδή α< ή α> Για α = {,} είναι γραµµική, εποµένως κυρτή αλλά όχι γνήσια.. = ep(α), = α ep(α), = α ep(α). Είναι γνήσια κυρτή α. Για α= είναι σταθερή γραµµική, εποµένως κυρτή αλλά όχι γνήσια 3. = + ( ) = 3 +, = +, =. Είναι γνήσια κυρτή µε δύο µονότονα τµήµατα, πρώτα φθίνουσα και µετά αύξουσα. αν αν αν < 4. = ma{, } για = = = αν αν αν > Η η παράγωγος είναι παντού θετική (f ) εκτός του σηµείου = όπου δεν ορίζεται διότι η η παράγωγος δεν είναι συνεχής σαυτό το σηµείο. εν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου διότι στο σηµείο ένωσης: = η δεύτερη παράγωγος δεν ορίζεται. Μπορούµε όµως να χρησιµοποιήσουµε τον ορισµό. Στο σηµείο ένωσης η πρώτη παράγωγος αυξάνει διότι έχει θετική βηµατική ασυνέχεια: + ( ) ( ) = = Έτσι, η πρώτη παράγωγος είναι παντού αύξουσα και η συνάρτηση είναι κυρτή. εν είναι γνήσια κυρτή διότι είναι γραµµική στο διάστηµα όπου η η παράγωγος είναι µηδενική. αν αν αν < 5. = min{, } για = = = αν αν αν > Το κάθε τµήµα είναι κυρτό, αλλά σε αντίθεση µε το προηγούµενο παράδειγµα τώρα η συνολική συνάρτηση δεν είναι κυρτή διότι στο σηµείο ένωσης: =, η παράγωγος µικραίνει καθώς έχει αρνητική βηµατική ασυνέχεια: ( + ) ( ) = = < 4. Κοίλη καλείται µια συνάρτηση f() αν η πρώτη παράγωγος f () είναι φθίνουσα, και γνήσια κοίλη αν η πρώτη παράγωγος είναι γνήσια φθίνουσα. Έχουµε: Αν η πρώτη παράγωγος f () είναι συνεχής (δηλαδή το γράφηµα της συνάρτησης δεν έχει γωνίες), τότε η f()είναι κοίλη f (), σε όλα τα σηµεία του διαστήµατος. α> α> α< α<

3 Μια κοίλη συνάρτηση είναι γνήσια κοίλη αν το γράφηµα της δεν έχει ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή µπορεί να έχει f () = σε πεπερασµένο πλήθος σηµείων αλλά όχι σε ολόκληρο τµήµα. Αν µια συνάρτηση είναι κοίλη, τότε η πρώτη παράγωγος ως φθίνουσα µπορεί να αλλάξει πρόσηµο µόνο από θετικό σε αρνητικό και εποµένως: Μια κοίλη συνάρτηση θα είναι είτε µονότονη, είτε θα έχει δύο διαστήµατα µονοτονίας οπότε θα είναι πρώτα αύξουσα και µετά φθίνουσα. Παράδειγµα α α α. =, = α, = α(α ).Είναι γνήσια κοίλη α(α ) <, δηλαδή < α<.. = ln, = /, = / <. Είναι γνήσια κοίλη. 3. = ( ) = 3+ 4, = 4, = 4. Είναι γνήσια κοίλη µε δύο µονότονα τµήµατα, πρώτα αύξουσα και µετά φθίνουσα. αν αν αν < 4. = min{, } = = =, 3 / αν / αν / 4 αν > Είναι κοίλη στο διάστηµα, διότι το κάθε τµήµα είναι κοίλο και επιπλέον στο σηµείο ένωσης = η + έχει αρνητική βηµατική ασυνέχεια: ( ) ( ) = /. εν είναι γνήσια κοίλη διότι είναι γραµµική στο διάστηµα. α : α< ln ( ) min{, } 5. Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων Οι κυρτές και οι κοίλες συναρτήσεις έχουν αντίστοιχη µαθηµατική θεωρία, διότι συνδέονται µεταξύ τους ως εξής: µια συνάρτηση είναι κοίλη η αρνητική της είναι κυρτή. Λέµε ότι οι κυρτές έχουν θετική κυρτότητα, και οι κοίλες αρνητική κυρτότητα, οπότε ο όρος «κυρτότητα» καλύπτει και τις δύο έννοιες. Η γραµµική συνάρτηση θεωρείται και κυρτή και κοίλη, αλλά όχι γνήσια. Έχουµε και τις παρακάτω απλές ιδιότητες:. Το άθροισµα κυρτών (κοίλων) συναρτήσεων είναι κυρτή (κοίλη) συνάρτηση. Πολλαπλασιασµός µε θετικό αριθµό διατηρεί την κυρτότητα, ενώ µε αρνητικό την αντιστρέφει 3α.. ma κυρτών συναρτήσεων είναι κυρτή 3β. min κοίλων συναρτήσεων είναι κοίλη 6. Σηµεία καµπής µιας συνάρτησης καλούνται τα σηµεία στα οποία η κυρτότητα αλλάζει γνήσια, από γνήσια κοίλη σε γνήσια κυρτή ή αντίστροφα. Αν η δεύτερη παράγωγος είναι συνεχής τότε στο σηµείο καµπής θα έχουµε f () =. Αντίστροφα ένα σηµείο µε f () = δεν είναι απαραίτητα σηµείο καµπής. Θα είναι αν το πρόσηµο της f () αλλάζει γνήσια. Παράδειγµα f() =, f () = 4, f () = Έχουµε f () = όταν =, αλλά το = δεν είναι σηµείο καµπής. Η συνάρτηση είναι γνήσια κυρτή. 3. f() = α + β + γ+ δ, f = 3α + β+ γ, f = 6α+ β Με α, έχουµε f = όταν = β / 3α. Τώρα το = β / 3α α> α< είναι σηµείο καµπής διότι η f ως γραµµική αλλάζει πρόσηµο. Για α>, η f() είναι κοίλη αν f () β / 3α, κυρτή αν f () β / 3α. Για α< ισχύει το αντίστροφο. 3

4 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση Η η παράγωγος πλεγµένης συνάρτησης βρίσκεται παραγωγίζοντας δύο φορές πλεγµένα. Παράδειγµα. + = 5. Παραγωγίζουµε πλεγµένα ως προς, βρίσκουµε για την η παράγωγο: + () 5, ( ) + ( ) = 5 + =, Παραγωγίζοντας εκ νέου πλεγµένα βρίσκουµε για την η παράγωγο: + = + + = Αντικαθιστώντας το από την πρώτη εξίσωση βρίσκουµε τελικά: + 5 =, = =, όπου αντικαταστήσαµε και + = Συµπεραίνουµε ότι η πλεγµένη συνάρτηση είναι κοίλη στο πάνω ηµιεπίπεδο όπου έχουµε, κυρτή στο κάτω όπου έχουµε, όπως φαίνεται και στο γράφηµα. ρ ρ Παράδειγµα. + = c µε ρ {,}, c>, στη θετική περιοχή: {, }. α) Παραγωγίζοντας πλεγµένα ως προς, βρίσκουµε για την η παράγωγο: ρ ρ ρ ρ ρ d ( ) + ( ) = c ρ + ρ = = ρ d Συµπεραίνουµε ότι όσον αφορά την µονοτονία είναι φθίνουσα. β) Παραγωγίζοντας εκ νέου πλεγµένα την εξίσωση, βρίσκουµε για την η παράγωγο: ρ ρ ρ ρ ρ + = (ρ ) + (ρ ) ( ) + = Λύνοντας ως προς βρίσκουµε για την η παράγωγο: ρ d ρ ρ = ( ρ) ρ ( + ) όπου: = ρ d O όρος στην παρένθεση είναι θετικός, και συµπεραίνουµε ότι ως προς την κυρτότητα η συνάρτηση είναι: γνήσια κυρτή για ρ> ρ<, όπως στο πρώτο σχήµα παρακάτω κοίλη για ρ< ρ>, όπως στο δεύτερο και τρίτο σχήµα παρακάτω γ) Στο κεφάλαιο εξετάσαµε και τις τοµές µε τους άξονες. Υπενθυµίζουµε τα γραφήµατα: ρ> < ρ< ρ< 8. Χαρακτηρισµός κυρτών/κοίλων συναρτήσεων Οι κυρτές συναρτήσεις χαρακτηρίζονται από τις παρακάτω τρεις ισοδύναµες ιδιότητες:. Η η παράγωγος είναι αύξουσα, δηλαδή η η παράγωγος είναι θετική: f. Η καµπύλη βρίσκεται πάνω από τις εφαπτόµενες ευθείες της, δηλαδή οι τιµές της συνάρτησης είναι µεγαλύτερες από τις τιµές των γραµµικών της επεκτάσεων σε κάθε σηµείο: f() f( ) + f ( )( ) 3. Η καµπύλη βρίσκεται κάτω από τις χορδές της, δηλαδή οι τιµές της συνάρτησης στα ενδιάµεσα σηµεία είναι µικρότερες από τα αντίστοιχα ενδιάµεσα των τιµών της: tf( ) + tf( ) f(t+ t ) µε {t,t, t+ t = } f( ) + f( ) + Π.χ. για t= t = / f Οι τρεις χαρακτηρισµοί διατυπώνονται υπό συνθήκες αυξανόµενης γενικότητας. Έτσι στο υποθέτουµε συνεχή δεύτερη παράγωγο, στο συνεχή πρώτη παράγωγο, και στο 3 µόνο συνεχή συνάρτηση. Για το λέµε ότι: η κυρτή συνάρτηση είναι πάνω περιβάλλουσα των γραµµικών επεκτάσεών της. 4 3 c f( c ) c

5 Σχετικά µε το 3, υπενθυµίζουµε καταρχήν ότι αν έχουµε δύο σηµεία (, ) και (, ), τότε τα ενδιάµεσα βρίσκονται παίρνοντας κυρτούς συνδυασµούς των συντεταγµένων τους, οπότε όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήµα, έχουµε: = t + t = t f( ) + t f( ), f( ) = f(t + t ) f( ), που είναι η σχέση 3. { } { } c c c c Για το 3 λέµε ότι: η κυρτή συνάρτηση βρίσκεται κάτω από τις γραµµικές παρεµβολές των τιµών της. Παρατήρηση. Αντίστοιχοι γεωµετρικοί χαρακτηρισµοί ισχύουν για τις κοίλες συναρτήσεις:. Η πρώτη παράγωγος είναι φθίνουσα: f.οι εφαπτόµενες ευθείες είναι πάνω από την καµπύλη: f() f( ) + f ( )( ) 3. Οι χορδές είναι κάτω από την καµπύλη: tf( ) + tf( ) f(t+ t ) µε {t,t, t+ t = } f( ) + f( ) + Π.χ. για t= t = / f Ισχύουν και οι αντίστοιχες παρατηρήσεις όπως για τις κυρτές. 9. εύτερο διαφορικό Αν το µεταβληθεί κατά = d τότε η τιµή της συνάρτησης θα µεταβληθεί κατά: = f(+ ) f() Στο προηγούµενο κεφάλαιο διαπιστώσαµε ότι σε αντιστοιχία µε την γραµµική προσέγγιση, µια πρώτη εκτίµηση της µεταβολής στην τιµή της συνάρτησης δίνεται από το πρώτο διαφορικό: d= f ()d Σε αντιστοιχία µε την παραβολική προσέγγιση, µια καλλίτερη εκτίµηση της µεταβολής στην τιµή της συνάρτησης βρίσκεται αν στο πρώτο διαφορικό προσθέσουµε και το µισό του δεύτερου διαφορικού: d+ d = f ()d + f ()d Παρατηρούµε ότι στα στάσιµα σηµεία όπου έχουµε f = df =, µας µένει µόνο η εκτίµηση µε το δεύτερο διαφορικό: d f ()d = Οι παραπάνω προσεγγίσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιµες στον καθορισµό του πρόσηµου της µεταβολής στην τιµή της συνάρτησης για µικρές µεταβολές του, ως εξής: Για «µικρές» µεταβολές του : = d, το πρόσηµο της µεταβολής: = f, συµπίπτει µε το πρόσηµο του ου διαφορικού d= f ()d, αν αυτό είναι µη µηδενικό, δηλαδή στα µη στάσιµα σηµεία: f (). Στα στάσιµα σηµεία συµπίπτει µε το πρόσηµο του ου διαφορικού: d = f ()d, αν αυτό είναι µη µηδενικό, δηλαδή στα σηµεία µε f (). Τα παραπάνω µας δίνουν και τον γνωστό χαρακτηρισµό των στάσιµων ως τοπικών ακρότατων µε βάση το πρόσηµο της ης παραγώγου. 5

6 6

7 3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ Ασκήσεις. Να διαπιστωθεί ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές στο θετικό διάστηµα:, και να γίνουν τα γραφήµατα. Σε κάθε περίπτωση να εξεταστεί αν είναι µονότονες ή έχουν δύο µονότονα τµήµατα +, +, + ln(+ ), (+ ) 3, ma{+, }, + + γ+ δ. Να διαπιστωθεί ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κοίλες στο θετικό διάστηµα:, και να γίνουν τα γραφήµατα. Σε κάθε περίπτωση να εξεταστεί αν είναι µονότονες ή έχουν δύο µονότονα τµήµατα / 3 α β, ln(+ ), ln(+ ), {p w µε p>, w >, < α<,β }, 3 {pln(+ ) wµε p>, w > },, min{, } 3. Να µελετηθεί η µονοτονία και η κυρτότητα και να γίνουν τα γραφήµατα, των συναρτήσεων: , +, e, e, ln 4. Να παρασταθεί το γράφηµα παραπλεύρως µε µια κυβική συνάρτηση, βρίσκοντας κατάλληλες συνθήκες για τους συντελεστές: 3 = α+ β+ γ + δ Σε κάθε περίπτωση να βρεθούν για, αναλυτικά και γραφικά, τα σηµεία καµπής, κυρτότητας και κοιλότητας. Επίσης, για να βρεθούν γραφικά και αναλυτικά τα γραφήµατα της µέσης τιµής A= / και του οριακού ρυθµού M=, στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων. 5. Να γίνουν στο θετικό διάστηµα τα γραφήµατα των συνεχών συναρτήσεων f() µε f() =, των οποίων οι παράγωγοι f () έχουν τα παρακάτω γραφήµατα. 6. Να βρεθούν η γραµµική και η παραβολική προσέγγιση των παρακάτω: α α α) Στο = : e,( ), ( ), tan β) Στο = : ln,, 7. Να διαπιστωθεί ότι το άθροισµα κυρτών (κοίλων) συναρτήσεων είναι κυρτή (κοίλη), και ότι το θετικό πολλαπλάσιο κυρτής (κοίλης) είναι κυρτή (κοίλη). Να γίνει εφαρµογή στις παραπάνω ασκήσεις {,}. 8α. Να βρεθεί ο παρακάτω τύπος για την αλυσωτή η παράγωγο: {= () και = (t)} = (t) µε (t) = () (t) + () (t) Να επαληθευτεί για τις συναρτήσεις: = ln, = t 8β. Να διαπιστωθεί ότι η σύνθεση αύξουσας κυρτής µε κυρτή είναι κυρτή, και η σύνθεση αύξουσας κοίλης µε κοίλη είναι κοίλη. Να εφαρµοστεί στις συναρτήσεις: α + β+ γ e µεα>, (+ ), ln(α+ β), ln, α+ β, ln(α+ β) Τι θα ισχύει αν αντί "αύξουσας" έχουµε "φθίνουσα"? 9α. Να βρεθεί ο παρακάτω τύπος για την η παράγωγο αντίστροφης συνάρτησης: 3 = () = () µε () = () / () Να επαληθευτεί για τις αντίστροφες των συναρτήσεων: = ln, = 9β. Να διαπιστωθεί ότι η αντίστροφη κυρτής συνάρτησης είναι κοίλη αν είναι αύξουσα, κυρτή αν είναι φθίνουσα. Αντίστοιχα για την αντίστροφη κοίλης. Να εφαρµοστεί στις συναρτήσεις: e,, e, 7