אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6 R = R R4=R4+8R3
מכאן ברור (נמקו מדוע! שאחרי עוד חמש פעולות שורה נוכל להגיע לצורה המדורגת קאנונית בכל סעיף נתונה מערכת משוואות לינארית הומוגנית, רשמו את מטריצת המקדמים שלה, דרגו אותה ומצאו בסיס למרחב הפתרונות 3 y + z + w =, x + y + z =, x + y + w = R R3 R= R R3= 3 R3 R=R R R=R R R 3=R 3 R R=R+R3 R =R R 3 (א x z =, y + z =, w = מערכת המשוואות השקולה המתקבלת היא מכאן נקבל כי מימד מרחב הפתרונות הוא (יש עמודה אחת מתוך 4 שלא מתאימה ל פותח והיא מתאימה למשתנה החופשי z פתרון כללי הוא מהצורה z x y z = z z = z, z R w ובסיס למרחב הפתרונות הוא a + b + 4c + =, a =, b + c + 3 = (ב
4 3 4 3 4 6 R=R R R=R R R 3=R 3+R 4 4 6 3 3 R R3 { a =, b + c + 3 = מערכת המשוואות השקולה המתקבלת היא } מכאן נקבל כי מימד מרחב הפתרונות הוא (יש שתי עמודות מתוך 4 שלא מתאימות ל פותח והן מתאימות למשתנים החופשיים,c פתרון כללי הוא מהצורה a b c = c 3 c = c + 3, c, R, 3 ובסיס למרחב הפתרונות הוא 3 בכל סעיף נתונה מערכת משוואות לינארית לא הומוגנית, רשמו את מטריצת המקדמים המורחבת שלה, דרגו אותה ובדקו האם קיים לה פתרון y + z + w =, x + y + z =, x + y + w = (א R3 R R=R R R 3=R 3 R R=R R R3= R3 R = R x z =, y + z =, w = מערכת המשוואות השקולה המתקבלת היא 3
מכאן, נקבל כי מימד ישריית הפתרונות הוא (יש עמודה אחת מתוך 4 שלא מתאימות ל פותח והיא מתאימה למשתנה החופשי z פתרון כללי הוא מהצורה z x y z = z z = + z, z R w x y z w = בפרט, מהווה פתרון פרטי למערכת המשוואות הלא הומוגנית ו a + b + 4c + =, a =, b + c + 3 = (ב מהווה בסיס למערכת המשוואות ההומוגנית 4 3 4 6 R=R R R= R 4 4 6 3 3 R=R+R R 3=R 3+ R { a =, b + c + 3 = מערכת המשוואות השקולה המתקבלת היא } מכאן, נקבל כי מימד ישריית הפתרונות הוא (יש שתי עמודות מתוך 4 שלא מתאימות ל פותח והן מתאימות למשתנים החופשיים,c פתרון כללי הוא מהצורה + c 3 c = + c + 3, c, R a b c = בפרט, 4
3 3 3 34 7 מהווה פתרון פרטי למערכת המשוואות הלא הומוגנית ו, 3 x y + z = b 3x + y z = b x 3y + z = מהווים בסיס למערכת המשוואות ההומוגנית 4 נתונה מערכת המשוואות אלו תנאים צריכים לקיים b, b, כדי שלמערכת יהיה פתרון? נמקו תשובתכם b b b 3 b R R 3 R3=R3 R 3 3 3 34 b b R=R 3R R 3=R 3 R b 3 b b מכאן מקבלים כי תנאי הכרחי לכך שלמערכת יהיה פתרון הוא ש b = b + מצד שני, ברור שאם תנאי זה מתקיים אז על ידי פעולות דירוג נוספות נוכל להמשיך ולהגיע למערכת 3 34 b 3???? למערכת משוואות לא הומוגנית זו יש ישרייה חד מימדית של פתרונות ולכן למערכת המקורית יש פתרון (למעשה, יותר מפתרון אחד אם ורק אם b = b + x + y + z = x + αy = x + y + αz = 3 נתונה מערכת המשוואות מצאו לאלו ערכי α יש למערכת: (א פתרון יחיד (ב אינסוף פתרונות (ג אפס פתרונות α α α α 3 R =R R R 3=R 3 R R =R R R 3=R 3 (α R α α α α α + 3α 4 נבצע דירוג ונקבל R3 R 4 α
בשלב זה, נניח כי אנחנו עובדים מעל R ונבדוק מתי הביטוי 4 + 3α α + 3α 4 = (α מתאפס הדיסקרימיננטה שלו היא 3 6 = 7 α α α + 3α 4 4 α ולכן הוא לא מתאפס אף פעם נמשיך בדירוג ונקבל R3= α ( α +3α 4 R3 α 4 α α +3α 4 מכאן כבר ברור (נמקו למה! שלמערכת המשוואות יש פתרון יחיד לכל α R α 3±i 7 הערה: אם היינו עובדים מעל C או מעל שדה אחר, התשובה הייתה שונה מעל C, עבור 3±i 7 α = היינו מקבלים אפס פתרונות היינו מקבלים פתרון יחיד בעוד שעבור לצורך השאלה הבאה, נשתמש בסימונים של תרגול 3 למטריצות אלמנטריות מפורשות: R k R l מתאימה לפעולה האלמנטרית Σ kl c עבור R k = cr k מתאימה לפעולה האלמנטרית M c,k R k = R k + cr l מתאימה לפעולה האלמנטרית P c,k,l תהי n m(f A M נסמן ב K(A F m col את מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות הלינארית ההומוגנית שמתאימה למטריצה A מפורשות, { } K(A = x F m col A x = = ker T A כמו כן, נסמן ב row Row(A F m את מרחב השורות של המטריצה A מפורשות, Row(A = Span {( a, a,m,, ( an, a n,m } בפתרון השאלה, נשתמש בתוצאה הבאה: למה: תהי (F A M n m ותהי (F Â M k m (אולי עם יותר או פחות שורות מ A כך שמתקיים Row(A Row(Â = אזי K(Â K(A = הוכחה: נוכיח הכלה בשני הכיוונים מאחר והתפקיד של A ו Â זהה בלמה, מספיק להוכיח ש ( K(Â K(A הכיוון השני יתקבל על ידי החלפת התפקיד בין A ל Â מאחר ו ( Row(A,Row(Â = אפשר לרשום כל שורה של Â כצירוף לינארי של שורות A כלומר, קיימים סקלרים λ ij F עבור i k ו n j כך ש ( n ( âi, â i,m = λ ij aj, a j,m j= לכל i k יהי K(A x אזי, מאחר ו =,A x מתקיים לכל j n : x ( aj, a j,m = ( x m 6
( âi, â i,m x x m = = n ( λ ij aj, a j,m j= n ( λ ij aj, a j,m j= x x m x x m = n λ ij ( = ( j= מכאן, ולכן K(Â x נשים לב שאם מטריצה (F B M n n היא הפיכה אז Row(BA Row(A = ובפרט מהלמה נובע כי K(BA K(A = אם ניקח עבור B את אחת המטריצות האלמנטריות, נקבל כי הפעולות האלמנטריות שומרות על מרחב השורות ומרחב הפתרונות 6 בהינתן מטריצה (F A M n m המתארת מערכת משוואות לינארית והומוגנית קבעו לגבי כל אחת מהפעולות הבאות אם היא מייצגת פעולה שמשמרת את מרחב הפתרונות של המערכת והוכיחו את תשובתכם (א הכפלת כל אברי המטריצה בסקלאר שונה מאפס הפעולה משמרת את מרחב הפתרונות מאחר והיא מורכבת מהפעלת n פעולות של כפל בסקלר, אחת לכל שורה נפרד, אשר כל אחת מהן משמרת את מרחב הפתרונות באופן יותר פורמלי, הפעולה מתאימה ל A M c, M c,n A K(M c, M c, M c,n A = K(M c, M c,n A = = K(M c,n A = K(A ומתקיים (ב החלפה בין שתי העמודות הראשונות מרחב הפתרונות לא נשמר נתבונן במטריצה (F M ( K( ( {( } = Span K( ( {( = Span } בעוד ש (ג שינוי כלשהו של סדר השורות הפעולה משמרת את מרחב הפתרונות שינוי כלשהו של סדר השורות להפעלת תמורה כלשהי {n σ :,}, {n,,} על שורות המטריצה כלומר, מעבר מ a a m a σ( a σ(m a n a nm a σ(n a σ(nm σ = σ ik,j k כאשר התמורות σ a,b עבור σ i,j כמו שראיתם בכיתה, כל תמורה σ ניתנת לתיאור כהרכבה a < b n הן חילופים: b i = a, σ a,b (i = a i = b, i i a, b 7
A Σ ik,j k Σ ik j k Σ ij A מכאן, הפעולה על מרחב השורות ניתנת לתיאור כ ולכן בדומה לסעיף א', מרחב הפתרונות נשמר (ד הוספת שורה למטריצה שהיא צירוף לינארי של השורות הקיימות נסמן ב ( n+ m(f  M את המטריצה שמתקבלת מ A על ידי הוספת שורה שהיא צירוף לינארי של השורות של A כשורה ה i מפורשות, a, a,m a i, a i,m  = â i, â i,m a i, a i,m a n, a n,m מתקיים Row( Row(A = (הוכיחו זאת פורמלית! ולכן נובע מהלמה כי K( K(A = (ה מחיקת שורה מהמטריצה שהיא צירוף לינארי של שורות אחרות פתרון (סקיצה: בדומה לסעיף הקודם, פעולה זו שומרת על מרחב השורות ולכן גם על מרחב הפתרונות (ו החלפת זוג שורות R i, R j בזוג השורות R i + R j, R i R j כאשר i j והשדה הוא R פתרון (סקיצה: הסיבה היא ש בדומה לסעיף הקודם, פעולה זו שומרת על מרחב השורות ולכן גם על מרחב הפתרונות Span {R i, R j } = Span {R i + R j, R i R j } כאשר ההכלה } j Span {R i + R j, R i R j } Span {R i, R פשוטה וההכלה בכיוון השני נובעת מכך ש R i = (R i + R j + (R i R j, R j = (R i + R j (R i R j (ז החלפת זוג שורות R i, R j בזוג השורות R i + R j, R i R j כאשר i j והשדה הוא Z בסעיף הקודם, ראינו שבשביל לחלץ את R i, R j מ R i + R j, R i R j צריך לחלק ב ולכן זה צריך לגרום לנו לחשוד שהטענה לא נכונה ואכן, נסתכל על המטריצה ( A = A = ( = K(A אם נבצע את הפעולה על A נעבור ל ( = ( =  {( } Span K( = ל A ול  מרחב פתרונות שונה } מתקיים } עם 7 תהי (F A M n n מטריצה הוכיחו: 8
(א A הפיכה אם ורק אם הצורה המדורגת של A היא I n n (מטריצת היחידה הוכחה: בכיוון אחד, נניח כי A הפיכה אזי, דרגת השורות של A שווה ל n מאחר ותהליך הדירוג שומר על מרחב השורות ובפרט על דרגת השורות, נובע כי גם דרגת השורות של הצורה המדורגת של A, שנסמנה ב D, חייבת להיות n מאחר ודרגת השורות של מטריצה בצורה מדורגת היא פשוט מספר השורות השונות מאפס, כל השורות של D חייבות להיות שונות מאפס ולכן מהגדרת הצורה המדורגת, המטריצה D צריכה "להכיל" n מדרגות ולכן הצורה היחידה שאפשרית עבורה היא D = I n בכיוון השני, אם הצורה המדורגת של A היא I n n אז דרגת הצורה המדורגת כמו גם דרגת המטריצה המקורית היא n ולכן היא הפיכה (ב A הפיכה אם ורק אם A שווה למכפלה של מטריצות אלמנטריות (ראו סוף סיכום תרגול מס' הוכחה: מאחר וכל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה, אז אם A = P P k כאשר P i הן מטריצות אלמנטריות P A = בכיוון השני, אם A הפיכה אז מסעיף k אז A הפיכה כמכפלה של הפיכות ומתקיים P א' תהליך הדירוג שלה יסתיים ב I n מאחר וכל פעולה אלמנטרית על שורות A ניתנת למימוש באמצעות כפל במטריצה אלמנטרית משמאל, תהליך הדירוג נראה כך: A Q A Q (Q A Q k Q k Q Q A = I n n כאשר Q i הן המטריצות האלמנטריות שמתאימות לפעולות הדירוג אם נסמן ב,Q = Q k Q נקבל כי QA = I n ולכן A = Q = (Q k Q = Q Q k מאחר והמטריצה ההופכית למטריצה אלמנטרית היא בעצמה מטריצה אלמנטרית (ראו עמ' 4 3 בסיכום תרגול מס' 3, קיבלנו ש A היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות כנדרש 9