ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ «Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν.» ΑΣΚΗΣΗ 1 η Από το V βιβλίο των στοιχείων του Ευκλείδη Οι μη παράλληλες πλευρές ΑΔ και ΒΓ τραπεζίου ΑΒΓΔ τέμνονται στο σημείο Ο. Αν είναι ΑΒ = 12cm, ΓΔ = ΑΔ = 4cm και ΒΓ = 8cm, να υπολογίσετε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων ΟΔ και ΟΓ. Τα τρίγωνα ΟΓΔ και ΟΑΒ έχουν την γωνία Ο κοινή και λόγω των παραλλήλων πλευρών του τραπεζίου, επομένως είναι όμοια οπότε: 4 1 ή ή 4 8 12 3 επομένως έχουμε: 1 4 3ΟΔ = ΟΔ + 4 ΟΔ = 2cm. και 3 1 8 3ΟΓ = ΟΓ + 8 ΟΓ = 4cm. 3 ΑΣΚΗΣΗ 2η Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και σημείο Ρ εξωτερικό του κύκλου. Από το σημείο Ρ φέρνουμε μια εφαπτόμενη του κύκλου ΡΑ και μια τέμνουσα ΡΒΓ. Να αποδείξετε ότι: 2 AB ΡΒ AΓ 2 ΡΓ

Τα τρίγωνα ΡΑΒ και ΡΑΓ έχουν την γωνία Ρ κοινή και επομένως είναι όμοια, οπότε: ή (1) και (2) με πολλαπλασιασμό των σχέσεων (1) και (2) έχουμε: 2 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 η ( χορδή και εφαπτομένη) Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι B 2. Να προεκτείνεται την ΑΒ κατά τμήμα ΒΔ = ΒΓ. Να δείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΑΔ είναι όμοια. β) 2 ( ). α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ είναι όμοια γιατί έχουν: τη γωνία Α κοινή και

ˆ ˆ ˆB AB 2 β) Από την παραπάνω ομοιότητα έχουμε: B AB A 2 ( ). ΑΣΚΗΣΗ 4 η Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ οι μη παράλληλες πλευρές του ΑΔ και ΒΓ τέμνονται σε σημείο Κ. Από το σημείο Κ φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς τις βάσεις του τραπεζίου, που τέμνει τις προεκτάσεις των διαγωνίων του τραπεζίου ΒΔ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: BΓ ΔΓ α) ΒΚ ΕΚ β) ΕΚ = ΚΖ α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΒΕΚ έχουν την γωνία B1 κοινή και EBK λόγω των παραλλήλων ευθειών (ε) και ΓΔ. Συνεπώς είναι όμοια άρα β) Ανάλογα με το πρώτο ερώτημα και τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΑΚΖ είναι όμοια A οπότε επειδή λόγω των παραλλήλων ευθειών (ε), ΓΔ και ΑΒ ισχύει, από τις προηγούμενες σχέσεις προκύπτει ότι, άρα είναι ΕΚ = ΚΖ.

ΑΣΚΗΣΗ 5 η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ τυχαίο σημείο της πλευράς του ΒΓ. Έστω Δ, Ε τα μέσα των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Η ευθεία ΕΜ τέμνει την ΑΒ στο σημείο Λ και η ευθεία ΜΔ την ΑΓ στο σημείο Κ. Αν είναι ΑΘ//ΔΕ τότε να αποδείξετε ότι: KA BM α) KE ΔΕ β) ΑΜ//ΚΛ α) Τα Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ συνεπώς ΔΕ//ΒΓ. Αφού ΑΘ//ΔΕ τότε θα είναι και ΑΘ//ΒΓ άρα A1 B ως εντός εναλλάξ γωνίες, 1 2 ως κατακορυφή γωνίες και ΑΔ = ΒΔ, συνεπώς τα τρίγωνα ΑΘΔ και ΒΔΜ είναι ίσα. KA Τα τρίγωνα ΚΑΘ και ΚΔΕ είναι όμοια τότε A και από την ισότητα των τριγώνων KE KA ΑΘΔ και ΔΒΜ είναι ΑΘ = ΒΜ, οπότε η σχέση γίνεται KE β) Από την ομοιότητα των τριγώνων ΛΒΜ και ΛΔΕ έχουμε KA και με βάση το α) ερώτημα έχουμε οπότε από το Θεώρημα του Θαλή είναι KE ΑΜ//ΚΛ

ΑΣΚΗΣΗ 6η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το μέσο της πλευράς του ΒΓ. Από το σημείο Μ φέρνουμε τυχαία ευθεία (ε) που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ρ και Κ αντίστοιχα και από το σημείο Α ευθεία (η) παράλληλη της πλευράς ΒΓ του τριγώνου που τέμνει την ευθεία (ε) στο σημείο Ν. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΡΑΝ και ΡΒΜ είναι όμοια β) ΡΝΚΜ = ΡΜΚΝ α) Τα τρίγωνα ΡΑΝ και ΡΒΜ έχουν την γωνία P κοινή και 2 λόγω των παραλλήλων PN AN (η) και ΒΓ, επομένως είναι όμοια, άρα PM BM β) Τα τρίγωνα ΚΑΝ και ΚΜΓ έχουν K1 K2 (ως κατακορυφή γωνίες) και N M 1 KN AN επομένως είναι όμοια, άρα KM M αλλά ΜΒ = ΜΓ αφού το Μ είναι μέσο της πλευράς ΒΓ, οπότε η παραπάνω σχέση γράφεται: KN AN KM BM Τέλος από την παραπάνω σχέση και από το (α) ερώτημα έχουμε: PN KN ΡΝΚΜ = ΡΜΚΝ PM KM

ΑΣΚΗΣΗ 7 η Δύο κύκλοι με κέντρα Κ και Λ τέμνονται στα σημεία Α και Β. Αν το τμήμα ΚΑ τέμνει τον ένα κύκλο στο σημείο Γ και το τμήμα ΛΑ τον άλλο κύκλο στο σημείο Δ και οι ΓΔ και ΚΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε: α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΚΔ και ΑΓΛ είναι όμοια. β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΓΔΛ είναι εγγράψιμο. γ) Αν είναι ΚΛ = 10, ΓΔ = 4 και ΔΜ = 8 να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΛΜ. α) Τα τρίγωνα ΑΚΔ και ΑΓΛ είναι ισοσκελή γιατί ΑΚ = ΚΔ ως ακτίνες του ίδιου κύκλου και ΑΛ = ΓΛ για τον ίδιο λόγο. Επιπλέον τα ισοσκελή τρίγωνα έχουν την γωνία Α κοινή, επομένως έχουν δύο γωνίες ίσες άρα είναι όμοια. β) Από την ομοιότητα των παραπάνω τριγώνων έχουμε την αναλογία A όπου προκύπτει ότι ΑΔΑΛ = ΑΓΑΚ, συνεπώς το τετράπλευρο ΚΓΔΛ είναι εγγράψιμο. από γ) Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ΚΓΔΛ έχουμε ότι: ΜΔΜΓ = ΜΛΜΚ και αν ονομάσουμε την ΜΛ = x, από την προηγούμενη ισότητα προκύπτει ότι: 812 = x(x + 10) x 2 +10x 96 = 0 x = 6

ΑΣΚΗΣΗ 8 η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ τυχαίο σημείο της πλευράς του ΒΓ. Έστω Δ, Ε τα μέσα των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Η ευθεία ΕΜ τέμνει την ΑΒ στο σημείο Λ και η ευθεία ΜΔ την ΑΓ στο σημείο Κ. Αν είναι ΑΘ//ΔΕ τότε να αποδείξετε ότι: KA BM α) KE ΔΕ γ) ΑΜ//ΚΛ ΛΥΣΗ α) Τα Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ συνεπώς ΔΕ//ΒΓ. Αφού ΑΘ//ΔΕ τότε θα είναι και ΑΘ // ΒΓ άρα A1 B ως εντός εναλλάξ γωνίες, 1 2 ως κατακορυφή γωνίες και ΑΔ = ΒΔ, συνεπώς τα τρίγωνα ΑΘΔ και ΒΔΜ είναι ίσα. Τα τρίγωνα ΚΑΘ και ΚΔΕ είναι όμοια τότε KA A και από την ισότητα των τριγώνων ΑΘΔ και ΔΒΜ είναι KE KA ΑΘ = ΒΜ, οπότε η σχέση γίνεται KE β) Από την ομοιότητα των τριγώνων ΛΒΜ και ΛΔΕ έχουμε και με βάση το α) ερώτημα έχουμε KA οπότε από το Θεώρημα του Θαλή είναι ΑΜ//ΚΛ KE