ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΧΡΥΣΑΝΘΑΚΟΠΟΥΛΟΥ A.M.: 314 ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΧΡΥΣΑΝΘΑΚΟΠΟΥΛΟΥ A.M.: 314 ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Ο βαθμός κατανόησης από τους μαθητές της Γ τάξης Δημοτικού, της έννοιας του κλάσματος ως αριθμού, του συμβολισμού του κλάσματος και των ισοδύναμων κλασμάτων, μετά από διδασκαλία με βάση το σχολικό βιβλίο». ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΚΩΣΤΑΣ ΖΑΧΑΡΟΣ ΠΑΤΡΑ 2012

Πίνακας περιεχομένων ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 5 Κεφάλαιο Πρώτο ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 1.1.ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ... 7 1.2. Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ... 8 1.2.1.Το κλάσμα ως μέρος όλου... 8 1.2.2. Το κλάσμα ως λόγος... 9 1.2.3. Το κλάσμα ως μέτρηση... 9 1.2.4. Μοντέλα αναπαράστασης, ιδέες και νοητικά σχήματα των μαθητών για τα κλάσματα... 9 1.2.5. Διδασκαλία του κλάσματος και ρεαλιστικά μαθηματικά.... 13 1.2.6. Δυσκολίες στη διδασκαλία των κλασμάτων... 14 1.2.7. Τα κλάσματα στην Τρίτη Δημοτικού... 16 1.3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ... 17 Κεφάλαιο Δεύτερο Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ 2.1. Έλεγχος πρότερης γνώσης... 19 2.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 20 2.3. ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4... 21 2.3.1. Κεφάλαιο 22. Εισαγωγή στα κλάσματα.... 21 2.3.2. Κεφάλαιο 23. Οι κλασματικές μονάδες... 29 2

2.3.3. Κεφάλαιο 24. Οι κλασματικές μονάδες και οι απλοί κλασματικοί αριθμοί.... 37 2.3.4. Αξιολόγηση κεφαλαίων 22, 23,24.... 45 2.3.5. Κεφάλαιο 25. Ισοδύναμα κλάσματα.... 47 2.3.6. Κεφάλαιο 26 (Επαναληπτικό μάθημα).... 54 2.3.7. Αξιολόγηση... 58 2.4. ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ - ΕΝΟΤΗΤΑ 6... 59 2.4.1. Έλεγχος πρότερης γνώσης... 59 2.4.2. Κεφάλαιο 34. Δεκαδικά Κλάσματα.... 60 2.4.3. Κεφάλαιο 35. Δεκαδικά κλάσματα και δεκαδικοί αριθμοί.... 72 2.4.4.Κεφάλαιο 38 (Επαναληπτικό μάθημα)... 79 2.4.5. Αξιολόγηση... 83 2.5. ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ - ΕΝΟΤΗΤΑ 9... 84 2.5.1. Κεφάλαιο 57 (Επαναληπτικό μάθημα)... 84 2.6. Τελική Αξιολόγηση... 87 Κεφάλαιο Τρίτο 3.1.ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... 92 Βιβλιογραφικές αναφορές... 93 3

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Πολλές έρευνες έχουν εκπονηθεί προκειμένου να μελετηθούν οι δυσκολίες που εμφανίζουν οι μαθητές στην κατανόηση των κλασμάτων. Η παρούσα έρευνα έχει στόχο να μελετήσει το βαθμό κατανόησης των κλασμάτων από μαθητές της Γ τάξης Δημοτικού, οι οποίοι διδάσκονται τα κλάσματα για πρώτη φορά, ακολουθώντας τη διδακτική προσέγγιση που προτείνει το σχολικό βιβλίο. Στο πρώτο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας αναλύονται οι θεωρίες που πλαισιώνουν τη συγκεκριμένη διδακτική προσέγγιση. Στο δεύτερο κεφάλαιο περιγράφεται αναλυτικά η έρευνα και τα ευρήματά της. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο, αναφέρονται τα συμπεράσματα που εξάγονται από την έρευνα. 4

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι ρητοί αριθμοί ανήκουν στις πιο σύνθετες και σημαντικές μαθηματικές έννοιες που συναντούν τα παιδιά στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση. Έρευνες έχουν δείξει ότι οι μικροί μαθητές παρουσιάζουν δυσκολία στη μάθηση και στη χρήση ρητών. Στόχος της παρούσας έρευνας είναι να μελετήσει το βαθμό κατανόησης, από μικρούς μαθητές, των κλασμάτων, όταν αυτά διδάσκονται από το σχολικό βιβλίο της Γ τάξης Δημοτικού. Στο πρώτο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας, αναλύονται οι θεωρίες επάνω στις οποίες επιχειρείται να βασιστεί η διδακτική προσέγγιση του σχολικού βιβλίου. Ταυτοχρόνως, περιγράφονται οι δυσκολίες που συνήθως παρουσιάζουν οι μαθητές όταν διδάσκονται και χρησιμοποιούν τα κλάσματα. Τέλος, παρουσιάζεται η μεθοδολογία της έρευνας και διατυπώνονται τα ερευνητικά ερωτήματα. Στο δεύτερο κεφάλαιο, περιγράφεται η έρευνα στην πράξη. Παρουσιάζεται αναλυτικά η διδακτική προσέγγιση του κάθε κεφαλαίου του σχολικού βιβλίου: Οι εισαγωγικές δραστηριότητες της δασκάλας, η διδασκαλία, η ανταπόκριση των μαθητών, οι δυσκολίες τους. Παρουσιάζεται, ακόμη, η αρχική, η διαμορφωτική και η τελική αξιολόγηση των μαθητών. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου, γίνεται ομαδοποίηση των δυσκολιών των μαθητών και εξαγάγονται συμπεράσματα. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα γενικά συμπεράσματα που εξάγονται από όλη την έρευνα. Ασφαλώς, η έρευνα δεν τελειώνει ποτέ. Ευελπιστούμε ότι το τέλος της παρούσας εργασίας θα αποτελέσει το έναυσμα για καινούρια έρευνα. Μάιος 2012 Αναστασία Χρυσανθακοπούλου 5

6

Κεφάλαιο Πρώτο 1.1.ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Η μάθηση «αναφέρεται σε μια συστηματική μεταβολή της συμπεριφοράς του ατόμου» (Ζαχάρος, 2006:5). Όσον αφορά τις εσωτερικές διαδικασίες της μάθησης, ο Piaget υποστηρίζει ότι το άτομο χρησιμοποιεί δύο βασικές λειτουργίες, την οργάνωση και την προσαρμογή. Η προσαρμογή είναι η ισορροπία ανάμεσα σε δύο συμπληρωματικές διαδικασίες του οργανισμού, την αφομοίωση και τη συμμόρφωση. Ο Piaget ορίζει την αφομοίωση «ως πρόσληψη των ερεθισμάτων του περιβάλλοντος σε ένα προϋπάρχον υποκειμενικό σχήμα» και τη συμμόρφωση «ως προσαρμογή της γνωστικής δομής του παιδιού στην πραγματικότητα, κάτι που οδηγεί στη γνώση του κόσμου» (Σούλης, 2003:64). «Αυτό που χαρακτηρίζει τη νόηση δεν είναι να θεάται, αλλά να μετασχηματίζει και ο μηχανισμός της είναι ουσιαστικά διεργασιακός» (Ζαχάρος, 2006:28). Η κατανόηση των διεργασιών, όμως, γίνεται δρώντας πάνω στα αντικείμενα. Η μάθηση, λοιπόν, σύμφωνα με τον Piaget, επιτυγχάνεται με τη δράση. Εξάλλου, ο Bruner δίνει μεγάλη σημασία στα κίνητρα που πρέπει να συνοδεύουν την προσπάθεια μάθησης. Το ενδιαφέρον του μαθητή για τη διδασκόμενη ύλη κινητοποιείται από την ανάγκη που του δημιουργούμε να ανταποκριθεί στις διδακτικές προβληματικές καταστάσεις που έχει κάθε φορά να αντιμετωπίσει (Ζαχάρος, 2006). Το βιβλίο του δασκάλου των Μαθηματικών της Γ τάξης θεωρεί τις δύο παραπάνω θεωρίες των Piaget και Bruner πολύ βασικές για τη διαδικασία της διδασκαλίας των μαθηματικών. Αναφέρει χαρακτηριστικά (Λεμονίδης, Θεοδώρου, Νικολαντωνάκης, Παναγάκος & Σπανακά, 2007:5): «Στηριζόμαστε στη βασική παιδαγωγική και διδακτική αρχή ότι κάποιος μαθαίνει καλύτερα, όταν του δημιουργούνται κίνητρα και ενδιαφέρον για μάθηση και όταν έχει να αντιμετωπίσει μια κατάσταση πρόβλημα, όπου εμπλέκεται ενεργά και βιωματικά». Από τα προηγούμενα καταλήγουμε στην έννοια των βιωματικών μαθηματικών. Βιωματικά μαθηματικά σημαίνει μαθηματικά πλαισιωμένα από την πραγματικότητα. Όταν οι μαθηματικές καταστάσεις, στις οποίες εμπλέκεται το παιδί, έχουν άμεση σχέση με την καθημερινή του ζωή και την εμπειρία του. Στα ρεαλιστικά μαθηματικά, η εκπαίδευση δεν ξεκινά από αφηρημένες αρχές και κανόνες, τους οποίους στοχεύει να εφαρμόσει σε συγκεκριμένες καταστάσεις (Wubbels, 1997). Στα ρεαλιστικά μαθηματικά η κύρια έμφαση δίνεται στην κατασκευή της γνώσης από τους ίδιους τους μαθητές. 7

1.2. Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ Κάθε άτομο από τη στιγμή της γέννησής του και κατά την επαφή του με το περιβάλλον, δημιουργεί νοητικές κατασκευές (ή αλλιώς σχήματα) για κάθε τι που τον περιβάλλει, προκειμένου να καταστεί εφικτό να λειτουργήσει μέσα στο περιβάλλον αυτό. Από τα νοητικά σχήματα που διαθέτει ο μαθητής, χρησιμοποιεί κάθε φορά αυτά που είναι κατάλληλα για τις προβληματικές καταστάσεις που είναι υποχρεωμένος να λύσει. Σύμφωνα με την Ε. Κολέζα, (2000:186) οι ρητοί αριθμοί μπορούν να διακριθούν σε πέντε κατασκευές ή σχήματα. Το σχήμα του ρητού ως: Μέρος όλου Πηλίκο Λόγος Μέτρηση Τελεστής Η ολοκληρωμένη κατανόηση των ρητών αριθμών απαιτεί όχι μόνο την κατανόηση κάθε επιμέρους νοητικού σχήματος από τα παραπάνω αλλά και το πώς αυτά αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Σύμφωνα με τους Lesh και Landau (1983) ίσως απαιτούνται διαφορετικές γνωστικές δομές για κάθε ένα νοητικό σχήμα από τα παραπάνω. 1.2.1.Το κλάσμα ως μέρος όλου Η μετάφραση του κλάσματος ως μέρος- όλου εξαρτάται άμεσα από την ικανότητα να μοιράσει κανείς μια συνεχή ποσότητα ή ένα σύνολο διακριτών ποσοτήτων σε ίσα μέρη ή σύνολα (Lesh & Landau, 1983). Το νοητικό σχήμα κλάσμα ως μέρος είναι βασικό για όλα τα μετέπειτα νοητικά σχήματα του κλάσματος. Το νοητικό σχήμα μέρος- όλου συνήθως εισάγεται πολύ νωρίς στο σχολικό αναλυτικό πρόγραμμα. Στην Ελλάδα οι μαθητές έρχονται σε επαφή με το κλάσμα στην Τρίτη τάξη του Δημοτικού Σχολείου. Σύμφωνα με το Αναλυτικό πρόγραμμα, η διδασκαλία του κλάσματος συνεχίζεται στην Τετάρτη και την Πέμπτη Δημοτικού, όπου οι μαθητές επεκτείνουν τις αντιλήψεις τους για το κλάσμα. Σε επόμενες σχολικές τάξεις κατά τη διδασκαλία της άλγεβρας χρησιμοποιούνται νοητικά σχήματα κλασμάτων. Πολλές από τις δυσκολίες των μαθητών στην Άλγεβρα αναζητούνται πίσω στην ελλιπή κατανόηση των ιδεών για το κλάσμα. Εξάλλου, σε έρευνες βρέθηκε ότι (Lesh & Landau, 1983) τα παιδιά απέδιδαν καλύτερα σε ασκήσεις όπου έπρεπε να μοιράσουν διακριτές ποσότητες από ό,τι σε συνεχείς. «Διακριτές ονομάζουμε τις ποσότητες οι οποίες διαχωρίζονται μεταξύ τους και εμπεριέχουν τη μονάδα μέτρησης (π.χ. στην ποσότητα 5 μήλα, τα μήλα είναι διακριτά μεταξύ τους και μετριούνται με βάση το ένα μήλο). Συνεχείς είναι οι ποσότητες τις οποίες δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε και χρειάζονται μια εξωτερική αυθαίρετη μονάδα μέτρησης για να μετρηθούν (π.χ. το μήκος 5 μέτρα είναι συνεχής ποσότητα που μετριέται με την εξωτερική μονάδα μέτρησης το μέτρο, το οποίο ορίστηκε αυθαίρετα από τους 8

ανθρώπους)» (Λεμονίδης, Θεοδώρου, Νικολαντωνάκης, Παναγάκος & Σπανακά, 2007:72). Μια πιθανή εξήγηση για τη διαφορά στην απόδοση των μαθητών είναι ότι ο χωρισμός συνεχούς ποσότητας απαιτεί από τους μαθητές ένα σχήμα αντίληψης καλά αναπτυγμένο, ενώ ο χωρισμός διακριτών ποσοτήτων μπορεί απλά να γίνει με τη μοιρασιά. Αντίθετα, μία άσκηση χωρισμού διακριτών ποσοτήτων μπορεί να λυθεί χωρίς να απαιτείται από το μαθητή να χειριστεί το σύνολο σαν όλο, ή να αντιληφθεί την τελική λύση. Οι στρατηγικές που επιστράτευσαν οι μαθητές (στις παραπάνω έρευνες) για να λύσουν τις ασκήσεις ήταν αξιοπρόσεκτα διαφορετικές για διακριτές και για συνεχείς ποσότητες. Βγάζουμε, λοιπόν, το συμπέρασμα ότι, οι γνωστικές δομές που απαιτούνται για τη λύση προβλημάτων με διακριτές ποσότητες, είναι διαφορετικές από αυτές που αφορούν συνεχείς ποσότητες. 1.2.2. Το κλάσμα ως λόγος Το κλάσμα ως λόγος υποδηλώνει την έννοια του σχετικού μεγέθους. Γι αυτό είναι πιο σωστό να θεωρηθεί σαν ένας συγκριτικός δείκτης παρά σαν ένας αριθμός. Όταν δύο λόγοι είναι ίσοι τότε λέμε ότι έχουμε ισοδύναμα κλάσματα. Η χρήση των ισοδύναμων κλασμάτων είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο λύσης προβλημάτων σε πολλές και ποικίλες περιπτώσεις και προβλήματα της Φυσικής επιστήμης όπου απαιτείται η σύγκριση μεγεθών. 1.2.3. Το κλάσμα ως μέτρηση «Ο ρητός αριθμός α/β ως μέτρηση προκύπτει από την επανάληψη του μοναδιαίου κλάσματος 1/β για τον καθορισμό μιας απόστασης» (Κολέζα, 2000). Το κλάσμα α/β μπορεί να αναπαρασταθεί συμβολικά επάνω σε μια αριθμογραμμή στην οποία θέτουμε αυθαίρετα το σημείο 0 και η οποία είναι χωρισμένη σε μοναδιαία τμήματα, κάθε ένα από τα οποία είναι μοιρασμένο σε β κομμάτια. Για να τοποθετήσει επιτυχώς κάποιος το κλάσμα επάνω στην αριθμογραμμή πρέπει να έχει κατανοήσει ότι το κλάσμα 1/β λειτουργεί ως μονάδα μέτρησης και χρησιμοποιείται επαναληπτικά, ξεκινώντας από το μηδέν, τόσες φορές όσες υποδεικνύει το κλάσμα. Είναι δύσκολη διαδικασία για τους μικρούς μαθητές αφού δε συσχετίζεται εύκολα με την καθημερινή τους εμπειρία. «Απαιτείται σωστός καθορισμός της μονάδας ιδιαίτερα όταν δεν υπάρχει σημασιολογική ταύτιση μεταξύ συμβολικής και οπτικής αναπαράστασης» (Κολέζα, 2000:198). 1.2.4. Μοντέλα αναπαράστασης, ιδέες και νοητικά σχήματα των μαθητών για τα κλάσματα Κατά τη διδασκαλία και κατανόηση του κλάσματος, χρησιμοποιούνται μοντέλα αναπαράστασης της έννοιας και υλικά που χρειάζονται δεξιότητες χειρισμού. Οι Lesh και Landau (1983), μίλησαν για το σημαντικό ρόλο των υλικών αυτών στη διευκόλυνση της κατανόησης και χρήσης των νοητικών σχημάτων των κλασμάτων καθώς η σκέψη και η 9

κατανόηση του παιδιού περνά από το συγκεκριμένο στο αφηρημένο. Η διευκόλυνση έγκειται στο ότι οι τρόποι αναπαράστασης της έννοιας δίνουν τη δυνατότητα μεταφράσεων οι οποίες κάνουν τις ιδέες στο μυαλό των μαθητών να έχουν νόημα. Οι Lesh και Landau προτείνουν ένα «διαδραστικό» μοντέλο για τα συστήματα αναπαράστασης, (εικόνα α), όπου δίνεται σημασία τόσο στο κάθε ένα σύστημα από αυτά ξεχωριστά αλλά και στις μεταξύ τους μεταφράσεις και αλληλεπιδράσεις. Ένα διαδραστικό μοντέλο για χρήση συστημάτων αναπαράστασης. (μετάφραση από: Lesh & Landau, 1983) Εικ.α Οι Lesh και Landau υποστηρίζουν ότι διαφορετικό υλικό πρέπει να χρησιμοποιείται για την κάθε διαφορετική μορφή και έννοια που παίρνει ένα κλάσμα (μέρος όλου, λόγος, τελεστής κλπ). Για παράδειγμα, η αναδίπλωση χαρτιού μπορεί να είναι ο τέλειος τρόπος αναπαράστασης κλάσματος όταν πρόκειται για τις σχέσεις μέρος όλου ή για ισοδύναμα κλάσματα, αλλά μπορεί να αποπροσανατολίσει τελείως την κατανόηση όταν πρόκειται για πρόσθεση κλασμάτων. Επιπρόσθετα, ένα συγκεκριμένο μοντέλο που βοηθά στην κατανόηση ένα παιδί, μπορεί να μην είναι το ίδιο αποδοτικό για την κατανόηση του ίδιου νοητικού σχήματος σε ένα άλλο παιδί. Ή ακόμη, να μην είναι αποδοτικό για την κατανόηση άλλου νοητικού σχήματος κλάσματος από το ίδιο παιδί. Ο στόχος είναι να αναγνωριστούν δραστηριότητες χρήσης των υλικών που λέχθηκαν παραπάνω, των οποίων η δομή ταιριάζει στη δομή του συγκεκριμένου νοητικού σχήματος του κλάσματος το οποίο διδάσκεται. 10

Εξάλλου, η έρευνα των Lesh και Landau δείχνει ότι μέσα από την κατηγορία των υλικών που χρησιμοποιούνται για να διευκολύνουν την κατανόηση των εννοιών, κάποια είναι περισσότερο συγκεκριμένα και χειροπιαστά από άλλα. Στην προσπάθειά τους, λοιπόν, οι εκπαιδευτικοί να συγκεκριμενοποιήσουν αφηρημένες έννοιες κλασμάτων, θα ήταν σοφό να ξεκινήσουν τη διδασκαλία με τα πιο χειροπιαστά και συγκεκριμένα υλικά, τα λιγότερο σύνθετα. Επειδή συχνά ο εκπαιδευτικός παρουσιάζει στα παιδιά την πρόσθεση κλασμάτων με χειροπιαστά αντικείμενα χρησιμοποιώντας διπλωμένο χαρτί, χάρακες και άλλα υλικά, πρέπει να προσέξει να μην υποβαθμίσει το επίπεδο της επεξεργασμένης και σύνθετης σκέψης που απαιτείται από το παιδί για να εκτελέσει αυτές τις πράξεις. Είναι άλλο πράγμα να γνωρίζει το παιδί πώς να παρουσιάσει με χειροπιαστό τρόπο κλάσματα (Lesh & Landau, 1983), όπως το 1/2 ή το 1/3, χρησιμοποιώντας το χάρακα και εντελώς διαφορετικό να είναι σε θέση το παιδί να παρουσιάσει την πρόσθεση 1/2 + 1/3 χρησιμοποιώντας το χάρακα. Δηλαδή, χειροπιαστά υλικά που χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν κλάσματα μπορεί να είναι ακατάλληλα για να αναπαραστήσουν την πρόσθεση κλασμάτων. Μπορεί να έχει νόημα, προκειμένου να διδάξει ο εκπαιδευτικός την πρόσθεση των κλασμάτων, να χρησιμοποιήσει χειροπιαστά υλικά. Αυτό, όμως, δεν υπονοεί ότι αν τα παιδιά μάθουν να προσθέτουν χάρακες ή διπλωμένο χαρτί θα διευκολυνθούν στην κατανόηση της πρόσθεσης των κλασμάτων. Οι μικροί μαθητές κατά τη λύση προβλήματος δε χρησιμοποιούν ένα και μοναδικό μοντέλο αναπαράστασης. Σε ένα τμήμα του προβλήματος, μπορεί να χρησιμοποιήσουν χειροπιαστό τρόπο αναπαράστασης ενώ σε άλλο τμήμα του ίδιου προβλήματος, πιο αφηρημένο τρόπο αναπαράστασης, όπως γλωσσικούς κανόνες ή διαδικασίες γραπτού συμβολισμού. Η εικόνα α στοχεύει να δείξει ότι πολλά μαθηματικά προβλήματα λύνονται χρησιμοποιώντας μια σειρά από επιμέρους σχεδιαγράμματα συμπεριλαμβανομένων και μερικών συστημάτων αναπαράστασης. Δηλαδή, εικόνες ή χειροπιαστά υλικά μπορεί να χρησιμοποιηθούν σαν το μέσο ανάμεσα στην πραγματική κατάσταση και τα γραπτά σύμβολα και η προφορική γλώσσα μπορεί να λειτουργήσει σαν το μέσο ανάμεσα στην πραγματική κατάσταση και τις εικόνες ή ανάμεσα στις εικόνες και τα γραπτά σύμβολα. Έρευνες έδειξαν ότι ο χειρισμός φυσικών κομματιών ενίσχυσε την ικανότητα των μαθητών να αναπτύξουν την ερμηνεία των κλασμάτων (Martin & Schwartz, 2005). Οι άνθρωποι στηρίζονται στο περιβάλλον προκειμένου να μειώσουν το γνωστικό φορτίο του προβλήματος. Στις περιπτώσεις που το περιβάλλον δεν έχει την ιδανική μορφή, εφόσον οι προϋπάρχουσες ιδέες είναι αρκετά ώριμες, οι ιδέες αυτές μπορούν να αλλάξουν το περιβάλλον. Το πλεονέκτημα της φυσικής δράσης επάνω στη μάθηση αφηρημένων εννοιών είναι ότι μέσα από τη χειροπιαστή επαφή με τα πράγματα στον μαθητή δημιουργείται η επιτακτική ανάγκη να κάνει νέες ερμηνείες. Σύμφωνα με την έρευνα, όταν τα παιδιά κατάλαβαν μία γνωστική περιοχή καλά, χρησιμοποίησαν τις παραπάνω ερμηνείες - αναπαραστάσεις να επαναπροσδιορίσουν πολλά περιβάλλοντα που υποστηρίζουν τη λύση προβλημάτων. Οι ερμηνείες τους ήταν πιο ακριβείς όταν ασχολούνταν με χειροπιαστά αντικείμενα σε σύγκριση με τη λύση βάσει εικόνων. Όταν οι μαθητές ασχολούνταν με 11

χειροπιαστά αντικείμενα έκαναν πιο σωστές ερμηνείες, έκαναν περισσότερες κινήσεις κατά τη λύση των προβλημάτων και δοκίμασαν περισσότερες στρατηγικές. Ο χειρισμός και η δράση επάνω σε χειροπιαστά αντικείμενα βοήθησε τα παιδιά να ξεπεράσουν προηγούμενες λάθος χρησιμοποιούμενες ερμηνείες. Συγκεκριμένες μορφές δράσης με συγκεκριμένα υλικά μπορούν να υποστηρίξουν τη γνώση σε αφηρημένο επίπεδο. Από την προοπτική ελέγχου μιας υπόθεσης η δράση με συγκεκριμένα αντικείμενα παρέχει το περιβάλλον μέσα στο οποίο μπορεί να δοκιμαστεί, να ελεγχθεί η υπόθεση. Προκειμένου να λύσει το πρόβλημα το παιδί αναγκάζεται να επανερμηνεύσει αυτό που ήδη γνωρίζει. Όμως είναι ιδιαίτερα δύσκολο να γίνει η επανερμηνεία μόνο με την ατομική σκέψη. Οι άνθρωποι μπορούν να αλληλεπιδρούν με τα διάφορα περιβάλλοντα χωρίς να γνωρίζουν ακριβώς τα βήματα που πρέπει να ακολουθήσουν ή την κατάληξη. Ωστόσο τα περιβάλλοντα για τη λύση προβλημάτων δεν είναι πάντοτε τα κατάλληλα περιβάλλοντα για μάθηση. Οι τυχαίες δράσεις επάνω σε συγκεκριμένα υλικά δεν είναι πανάκεια στις εκπαιδευτικές «πληγές». Η παιδαγωγική πρόκληση είναι να αποφασίσεις ποιο περιβάλλον, ποια «σκαλωσιά» θα χρησιμοποιήσεις. Εκτός από τη μελέτη της ανάπτυξης των ιδεών των παιδιών σχετικά με τα κλάσματα, είναι ανάγκη να σταθούμε και στη σταθερότητα ή την αστάθεια των ιδεών αυτών. Καθώς το παιδί διδάσκεται την έννοια (του κλάσματος) σε όλο της το φάσμα, οι αρχικές αντιλήψεις των παιδιών πρέπει να μετατραπούν σε προοδευτικά πιο σύνθετα συστήματα ιδεών. Ιδέες που ισχύουν σε συγκεκριμένα πλαίσια, όπως το ότι ο πολλαπλασιασμός είναι μια επαναλαμβανόμενη πρόσθεση, ή ότι το κλάσμα είναι μέρος του όλου, αποπροσανατολίζουν, ή, τελικά, δεν είναι χρήσιμες όταν επεκτείνονται σε νέα πεδία. Οι μαθηματικές ιδέες περνούν από πολλά επίπεδα κατανόησης. Δεν ισχύει το ή δεν το καταλαβαίνεις ή το καταλαβαίνεις. Για το λόγο αυτό, όταν αναπτύσσονται οι μαθηματικές ιδέες πρέπει περιοδικά να επαναπροσδιορίζονται και προοδευτικά να τοποθετούνται μέσα σε πιο σύνθετα συστήματα που ίσως αλλάζουν τις αρχικές ιδέες των παιδιών. Εξάλλου, στη λύση προβλημάτων, για την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών έχουν σημασία οι αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στις εσωτερικές και τις εξωτερικές αναπαραστάσεις των παιδιών (Lesh & Landau, 1983). Συχνά, όταν τα παιδιά λύνουν προβλήματα, η εσωτερική αναπαράσταση που έχουν για το πρόβλημα, επηρεάζει την επιλογή, γενίκευση ή μοντελοποίηση μιας εξωτερικής αναπαράστασης. Η εξωτερική αναπαράσταση ίσως περιλαμβάνει μία εικόνα, χειροπιαστά υλικά ή γραπτά σύμβολα. Συχνά οι εξωτερικές αναπαραστάσεις μοντελοποιούν μόνο ένα μέρος του προβλήματος. Για παράδειγμα, η πρώτη εικόνα στο μυαλό του παιδιού για ένα πρόβλημα πρόσθεσης κλασμάτων μπορεί να αναπαριστά τα κλάσματα χωρίς καμία προσπάθεια να αναπαραστήσει τη διαδικασία πρόσθεσης αυτών. Μια εξωτερική αναπαράσταση τυπικά επιτρέπει στα παιδιά να επεξεργαστούν τις εσωτερικές τους αναπαραστάσεις. Η διαδικασία αυτή μπορεί να οδηγήσει πίσω σε γενίκευση μιας επεξεργασμένης εξωτερικής αναπαράστασης ή σε λύση του προβλήματος. Οι εξωτερικές αναπαραστάσεις μπορούν, μεταξύ άλλων, να μειώσουν το φορτίο που πρέπει να απομνημονευτεί ή να αυξήσουν την ικανότητα απομνημόνευσης, να κωδικοποιήσουν μια πληροφορία σε μια μορφή που μπορεί πιο εύκολα να την χειριστεί κανείς, ή να απλοποιήσουν πολύπλοκες σχέσεις. 12

1.2.5. Διδασκαλία του κλάσματος και ρεαλιστικά μαθηματικά. «Ο βαθμός κατανόησης μιας έννοιας μεγιστοποιείται όταν η έννοια παρουσιάζεται σε μια ποικιλία φυσικών πλαισίων» (Κολέζα, 2000:229). Κατά συνέπεια, κεντρικός στόχος στη διδασκαλία των μαθηματικών είναι η εξοικείωση των μαθητών με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ποικιλία μοντέλων αναπαράστασης. Στο πλαίσιο αυτό, μέσα στο σχολικό βιβλίο γίνεται προσπάθεια να παρουσιαστούν τα κλάσματα με όσο το δυνατόν περισσότερες και ποικίλες αναπαραστάσεις. Στην καθημερινή ζωή τα παιδιά χρησιμοποιούν κλάσματα πάρα πολύ συχνά. Μοιράζουν μεταξύ τους τις σοκολάτες τους, τις πίτες της μαμάς ή την πίτσα και την τούρτα των γενεθλίων. Οι συνταγές των γλυκών της μαμάς έχουν πάντα μέσα ποσότητες κλασμάτων (π.χ. ¼ του ποτηριού χυμό πορτοκαλιού ή ½ του κιλού αλεύρι κλπ). Τέλος, η ζωή είναι γεμάτη από εκφράσεις σχετικές με τα κλάσματα όσον αφορά την ώρα πχ θα έρθω σε τρία τέταρτα, θα χτυπήσει κουδούνι σε ένα τέταρτο. Τα παιδιά, λοιπόν, από την καθημερινή τους ζωή διαθέτουν ένα πλούσιο απόθεμα άτυπης γνώσης περί κλασμάτων. Στα πλαίσια των ρεαλιστικών μαθηματικών, στο σχολικό βιβλίο ο μαθητής εμπλέκεται σε δραστηριότητες που τον παρακινούν να χρησιμοποιήσει το απόθεμα αυτό. Με βάση τις αρχές της ρεαλιστικής προσέγγισης των μαθηματικών μπορεί η άτυπη γνώση να μετατραπεί σε τυπική και οργανωμένη γνώση. Παρακάτω παρατίθενται οι αρχές της ρεαλιστικής προσέγγισης των μαθηματικών του Leen Streefland (1991). Ρεαλιστική προσέγγιση αρχές: Η καθημερινή ζωή είναι η πηγή της κατασκευής των μαθηματικών. Είναι πλούσια πηγή για τυποποίηση των αντιλήψεων των παιδιών καθώς αναγκάζονται να ξεπεράσουν στα μαθηματικά πολλά όρια ταυτοχρόνως. Εμπνέεται κανείς από τα μαθηματικά όταν οι ρίζες τους προέρχονται από πραγματικές προβληματικές καταστάσεις. Η πραγματικότητα είναι το πεδίο εφαρμογής των μαθηματικών. Στα ρεαλιστικά μαθηματικά δίνεται στους μαθητές η ευκαιρία να συμμετέχουν οι ίδιοι με δράση στη διαδικασία μάθησης. Κατασκευάζουν οι ίδιοι τη γνώση. Την ίδια στιγμή ή αργότερα, η ικανότητά τους στον χειρισμό του μαθηματικού υλικού γίνεται πιο επιστημονική. Οι μαθητές ξεκινώντας από την καθημερινή ζωή ξεπερνούν τα όρια των μαθηματικών μαθαίνοντας να δομούν, να διευθετούν, να συμβολίζουν, να φτιάχνουν σχήματα, να κάνουν γενικεύσεις. Έτσι αρχίζουν να χρησιμοποιούν σύμβολα, διαγράμματα και μοντέλα. Σταδιακά γίνονται λιγότερο κολλημένοι με την πραγματικότητα. Προκειμένου η άτυπη γνώση των παιδιών να συμπληρωθεί, να διορθωθεί, να ολοκληρωθεί και να μετατραπεί σε τυπική, είναι απαραίτητο να γίνονται συζητήσεις και να υπάρχει συνεργασία μεταξύ δασκάλου και μαθητών. Στα ρεαλιστικά μαθηματικά, λοιπόν, η διαδικασία μάθησης είναι αλληλεπιδραστική. Η εικόνα α δηλώνει ότι τα ρεαλιστικά μαθηματικά προβλήματα συχνά λύνονται με τον εξής τρόπο (Lesh & Landau, 1983): α) Η πραγματική κατάσταση μεταφράζεται σε ένα σύστημα αναπαράστασης β) Δρώντας με το αυτό το σύστημα αναπαράστασης παράγεται ένα αποτέλεσμα ή μια πρόβλεψη γ) Το αποτέλεσμα αυτό μεταφράζεται πίσω στην πραγματική κατάσταση. 13

Τα ρεαλιστικά μαθηματικά είναι βασική αρχή του σχολικού βιβλίου. «Μαθηματικά της φύσης και της ζωής» είναι ο τίτλος του βιβλίου. Στόχος της έρευνας είναι να μελετήσει τα αποτελέσματα των διαφόρων δραστηριοτήτων που προτείνει το συγκεκριμένο βιβλίο. 1.2.6. Δυσκολίες στη διδασκαλία των κλασμάτων Οι ρητοί αριθμοί ανήκουν στις πιο σύνθετες και σημαντικές μαθηματικές έννοιες που συναντούν τα παιδιά στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση (Lesh & Landau, 1983). Η σπουδαιότητα αυτή φαίνεται με πολλούς τρόπους: α) από πρακτική άποψη η ικανότητα ενός μαθητή να χειρίζεται αποτελεσματικά αυτές τις έννοιες βελτιώνει την ικανότητά του να κατανοεί και να χειρίζεται καταστάσεις και προβλήματα της πραγματικής ζωής. β) από ψυχολογική άποψη προσφέρουν ένα πλούσιο περιβάλλον στο οποίο το παιδί μπορεί να αναπτύξει δομές απαραίτητες για την συνεχώς εξελισσόμενη διανοητική του ανάπτυξη και γ) από μαθηματική άποψη η κατανόηση των ρητών αριθμών δημιουργεί τη βάση πάνω στην οποία μπορεί αργότερα να στηριχθούν οι αλγεβρικές πράξεις. Έρευνες έχουν δείξει ότι οι μικροί μαθητές παρουσιάζουν δυσκολία και στη μάθηση και στη χρήση ρητών. Μόνο το ένα τρίτο των 13χρονων και τα δύο τρίτα των 17χρονων μαθητών μπορούν να εκτελέσουν σωστά την πρόσθεση 1/2 + 1/3. Οι έρευνες δείχνουν, γενικά, χαμηλή επίδοση των μαθητών στις πράξεις μεταξύ ρητών αριθμών και στη λύση προβλημάτων με ρητούς αριθμούς. Το αποτέλεσμα αυτό έρχεται σε αντίθεση με την έμφαση που δίνεται στην απόκτηση δεξιοτήτων χειρισμού και υπολογισμών αλγορίθμων με ρητούς αριθμού από τους μαθητές. Αναρωτιέται κανείς μήπως η αιτία της χαμηλής επίδοσης των μαθητών είναι αυτή η μεγάλη έμφαση στις διαδικασίες και όχι στην κατανόησή τους; Πολλές από τις δυσκολίες των μαθητών του δημοτικού στα μαθηματικά σχετίζονται με τους ρητούς αριθμούς. Εξάλλου, η ανάπτυξη των ιδεών που αφορούν τους ρητούς αριθμούς αντιμετωπίζεται στο πλαίσιο μελέτης γενικότερων μαθηματικών διαδικασιών κατανόησης, αφού: α) Η ανάπτυξη της έννοιας των ρητών αριθμών λαμβάνει χώρα σε μια ηλικιακή περίοδο όπου η σκέψη του παιδιού περνά από το συγκεκριμένο στο αφηρημένο. β) Οι ποιοτικές αλλαγές συμβαίνουν όχι μόνο ως προς τη δομή των εννοιών αλλά και ως προς το σύστημα και τα μοντέλα αναπαράστασης των δομών αυτών, κριτικής σημασίας και τα δύο. γ) Τέλος, η έννοια των ρητών αριθμών εμπλέκει ένα σύνολο από υποδομές και διαδικασίες που σχετίζονται με ένα ευρύ φάσμα εννοιών που χρησιμοποιούνται στο Δημοτικό σχολείο, όπως η μέτρηση, οι πιθανότητες, γραφήματα κλπ Σε έρευνες φαίνεται ότι τα παιδιά εκλαμβάνουν τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος, σαν δύο ανεξάρτητες οντότητες και δεν εκλαμβάνουν το κλάσμα σαν ένα αριθμό με τη μία δικιά του αξία (Behr & Post, 1992). Συχνά δεν κατανοούν την έννοια του παρονομαστή. Άλλες φορές είναι συγκεχυμένο στο μυαλό τους ότι όταν το κλάσμα σημαίνει μοιρασιά, η μοιρασιά αυτή γίνεται σε ίσια κομμάτια. Πιθανή αιτία όλων αυτών των δυσκολιών των παιδιών σχετικά με τους ρητούς αριθμούς είναι ότι «οι ρητοί αριθμοί, σε αντίθεση με τους φυσικούς, δεν προκύπτουν μέσα από μια διαδικασία σκέψης αλλά 14

είναι ένα σύστημα κοινωνικά κατασκευασμένο και επικυρωμένο που εξυπηρετεί συγκεκριμένες ανάγκες» (Κολέζα, 2000:185). Έτσι, οι μαθητές εφαρμόζουν στα κλάσματα τη γνώση που διαθέτουν για τους ακεραίους. Εξάλλου, τα παιδιά μπορούν άνετα να τοποθετήσουν ένα κλάσμα στην αριθμογραμμή, όταν η αριθμογραμμή έχει χωριστεί σε τόσα κομμάτια όσα ορίζει ο παρονομαστής του κλάσματος. Αντίθετα, οι μαθητές συναντούν πολύ μεγάλη δυσκολία στην τοποθέτηση του κλάσματος στην αριθμογραμμή, όταν αυτή είναι χωρισμένη σε διαφορετικό αριθμό μερών από τον παρονομαστή του κλάσματος. Δυσκολεύονται, για παράδειγμα, να τοποθετήσουν το κλάσμα 7/8 σε μια αριθμογραμμή που είναι χωρισμένη σε τέταρτα, δεύτερα ή δέκατα έκτα (Behr & Post, 1992) (εικ.1). Εικ.1 Επιπρόσθετα, έρευνες έχουν δείξει ότι τα παιδιά παρουσιάζουν ιδιαίτερη δυσκολία στην κατανόηση της έννοιας των ισοδύναμων κλασμάτων. Στο παρακάτω σχήμα (εικ.2), το οποίο χρησιμοποιήθηκε κατά τη διδασκαλία ισοδύναμων κλασμάτων, η μεσαία οριζόντια γραμμή προξενεί απόσπαση της προσοχής των παιδιών. Παιδί που ρωτήθηκε (Behr & Post, 1992) για την ισοδυναμία των κλασμάτων 2/3 και 4/6 στο παρακάτω σχήμα, απάντησε: Αν προσποιηθώ ότι δεν υπάρχει η γραμμή, είναι εύκολο. Και άλλο παιδί είπε: Ξέρω ότι πρέπει να προσποιηθώ ότι η μεσαία γραμμή δεν υπάρχει αλλά δεν μπορώ. εικ.2 Δυσκολία, ακόμη, παρουσιάζουν οι μαθητές όταν σε ένα μαθηματικό πρόβλημα εμπλέκονται, περισσότεροι από έναν, τρόποι αναπαράστασης. Για παράδειγμα, σε πραγματικές καταστάσεις πρόσθεσης που εμπλέκουν κλάσματα, τα δύο στοιχεία που προστίθενται μπορεί να μην είναι πάντα της ίδιας μορφής, για παράδειγμα δύο γραπτά σύμβολα, δύο προφορικά σύμβολα, δύο πίτσες. Μπορεί να είναι μία πίτσα και ένα γραπτό σύμβολο ή μία πίτσα και μία προφορική λέξη. Σε τέτοιου είδους προβλήματα, που συμβαίνουν συχνά σε πραγματικές συνθήκες, μέρος της δυσκολίας για το μαθητή είναι να αναπαραστήσει τις δύο μορφές προσθετέων χρησιμοποιώντας ένα και μοναδικό σύστημα αναπαράστασης. 15

1.2.7. Τα κλάσματα στην Τρίτη Δημοτικού Στην Τρίτη τάξη Δημοτικού, όπου οι μαθητές έρχονται σε επαφή με την έννοια του κλάσματος για πρώτη φορά, το κλάσμα αντιμετωπίζεται ως μέρος όλου, ως μέτρηση και ως πηλίκο. Προκειμένου, λοιπόν, να βρουν το μέρος ενός όλου ή το πηλίκο μιας διαίρεσης μοιρασιάς, οι μαθητές καλούνται να χωρίσουν σε ίσα μέρη α) συνεχείς και β) διακριτές ποσότητες. Σε έρευνες όπου έγινε σύγκριση του βαθμού ανταπόκρισης των μαθητών στο χωρισμό σε ίσα μέρη συνεχών ποσοτήτων από τη μια και διακριτών από την άλλη, βρέθηκε ότι τα παιδιά απέδωσαν καλύτερα στο χωρισμό διακριτών ποσοτήτων (Behr & Post, 1992). Το νοητικό σχήμα της σχέσης μέρος όλου φαίνεται να διαφέρει στην περίπτωση διακριτών και στην περίπτωση συνεχών ποσοτήτων. Όταν πραγματευόμαστε συνεχείς ποσότητες, το «μέρος» είναι ένα από τα ίσα τμήματα στα οποία χωρίζεται το όλο. Όταν, όμως, πρόκειται για διακριτές ποσότητες, το «μέρος» μπορεί να συντίθεται από περισσότερες από μία δομικές μονάδες. «Το πλεονέκτημα του διακριτού υλικού είναι ο αριθμητικά ακριβής αριθμός της κλασματικής μονάδας, ενώ το πλεονέκτημα του συνεχούς υλικού είναι ότι επιτρέπει στο παιδί να αναπτύξει δυναμικά νοητικά εργαλεία με σαφώς ευρύτερο φάσμα εφαρμογών» (Κολέζα, 2000:220). Συνεπώς, το είδος του μοντέλου ποσοτήτων που θα χρησιμοποιηθεί στη διδασκαλία των κλασμάτων παίζει καθοριστικό ρόλο στις νοητικές αναπαραστάσεις που θα δημιουργήσουν οι μαθητές για τα κλάσματα. Κατ επέκταση, από το σχήμα του ρητού αριθμού που θέλουμε να προωθήσουμε, εξαρτάται το είδος του μοντέλου που θα χρησιμοποιήσουμε στη διδασκαλία. Γεωμετρικές περιοχές, σύνολα διακριτών αντικειμένων, καθώς και η αριθμογραμμή είναι τα μοντέλα που χρησιμοποιούνται πιο συχνά για να αντιπροσωπεύσουν κλάσμα στο σχολικό βιβλίο της Τρίτης τάξης Δημοτικού (Λεμονίδης κ.ά., 2010). Στις γεωμετρικές περιοχές, ως συνεχείς ποσότητες, περιλαμβάνονται κύκλοι και ορθογώνια και στις διακριτές ποσότητες, καραμέλες και νομίσματα. 16

1.3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Η έρευνα είχε σκοπό να εξετάσει το βαθμό κατανόησης από τους μαθητές της Γ τάξης Δημοτικού, της έννοιας του κλάσματος, μετά από διδασκαλία στην τάξη, με βάση το αναλυτικό πρόγραμμα και το σχολικό βιβλίο. Οι διδακτικοί στόχοι της διδασκαλίας των κλασμάτων στην Γ τάξη Δημοτικού είναι αυτοί που ορίζει το Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών και εκφράζονται στο βιβλίο του δασκάλου που αντιστοιχεί στο σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών. Με βάση τους συγκεκριμένους αυτούς στόχους ορίστηκαν και διατυπώθηκαν ο στόχος και τα ερευνητικά ερωτήματα της έρευνας. Αναλυτικότερα, στόχος της έρευνας ήταν να διερευνηθεί: 1. Αν οι μαθητές κατανοούν τη συμβολική (αριθμητική) γραφή του κλάσματος. Ερευνητικά ερωτήματα: Κατανοούν οι μαθητές ότι το κλάσμα με αριθμητή μικρότερο του παρονομαστή είναι μέρος του όλου μιας ποσότητας; Αναγνωρίζουν τι αντιπροσωπεύει ο αριθμητής σε ένα κλάσμα; Κατανοούν ότι ο παρονομαστής δηλώνει χωρισμό σε ίσια μέρη; Μπορούν να ορίσουν τι σημαίνει ο παρονομαστής ενός κλάσματος όταν τους δίνονται συνεχείς και διακριτές ποσότητες; 2. Αν κατανοούν την έννοια των ισοδύναμων κλασμάτων. Ερευνητικό ερώτημα: Μπορούν οι μαθητές να αποδίδουν την ίδια ποσότητα με δύο διαφορετικά αλλά ισοδύναμα κλάσματα; 3. Αν κατανοούν την έννοια των δεκαδικών κλασμάτων. Ερευνητικά ερωτήματα: Μπορούν να διαβάζουν και να γράφουν δεκαδικά κλάσματα, δηλαδή δέκατα, εκατοστά και χιλιοστά; Μπορούν να βρουν και να γράψουν ένα δεκαδικό κλάσμα ως άθροισμα άλλων δεκαδικών κλασμάτων; 17

Μπορούν να βρίσκουν και να γράφουν ένα δεκαδικό κλάσμα ως άθροισμα ενός ακεραίου αριθμού και ενός δεκαδικού κλάσματος μικρότερου της μονάδας; Μπορούν να τοποθετήσουν ένα δεκαδικό κλάσμα ανάμεσα σε δύο δεκαδικούς αριθμούς; Μπορούν να αντιστοιχίσουν ένα κλάσμα με τον αντίστοιχό του δεκαδικό αριθμό; Η διδασκαλία βασίστηκε στο υπάρχον αναλυτικό πρόγραμμα και χρησιμοποιήθηκε το σχολικό βιβλίο, ενώ ακολουθήθηκαν οι προτάσεις του βιβλίου του δασκάλου. Η έρευνα διεξήχθη στην Γ 2 τάξη Δημοτικού του Α Δημοτικού Σχολείου Λεχαινών Ηλείας, κατά το σχολικό έτος 2010-11, από τη δασκάλα της τάξης. Δείγμα της έρευνας αποτέλεσαν οι 13 μαθητές της τάξης (οι μαθητές της τάξης είναι 14 αλλά ο ένας απουσίασε πολλές φορές και δεν ελήφθη υπόψιν στην έρευνα). Προκειμένου να μελετηθεί ατομικά η εργασία κάθε μαθητή και επειδή είναι απαραίτητο να διαφυλαχτεί το απόρρητο των προσωπικών δεδομένων, δόθηκε σε κάθε μαθητή της τάξης, με τυχαίο τρόπο, το όνομα ενός γράμματος του αλφάβητου. Ο μαθητής ΜΙ, λοιπόν, ο μαθητής ΘΗΤΑ και η μαθήτρια ΝΙ από την τάξη αυτή, είναι τσιγγάνοι που οι γονείς τους έχουν έρθει από την Αλβανία. Όμως, από την πρώτη Δημοτικού φοιτούν στο ελληνικό σχολείο. Την ελληνική γλώσσα τη γνωρίζουν αρκετά καλά ώστε να καταλαβαίνουν άνετα το σχολικό βιβλίο και τις οδηγίες της δασκάλας. Ο μαθητής ΚΑΠΑ ήρθε φέτος από Ρουμανία. Δε γνωρίζει πολύ καλά τα ελληνικά, όμως, εύκολα αντιλαμβάνεται μετά από τις διευκρινήσεις της δασκάλας. Οι υπόλοιποι μαθητές είναι Έλληνες και προέρχονται από όλα τα κοινωνικοοικονομικά στρώματα. Κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας η δασκάλα παρατηρούσε τη συμπεριφορά των παιδιών και τις επιδόσεις τους (συλλογή δεδομένων με παρατήρηση). Προκειμένου να ελεγχθεί κατά πόσο επετεύχθησαν οι διδακτικοί στόχοι, εξετάστηκαν οι επιδόσεις των μαθητών στις ασκήσεις και τις δραστηριότητες του βιβλίου του μαθητή και του τετραδίου εργασιών. Για αξιολόγηση χρησιμοποιήθηκαν τεστ. Τα τεστ δόθηκαν αφού οι μαθητές τελείωναν με το βιβλίο και το τετράδιο εργασιών και σε επόμενη διδακτική ώρα. Για τη δημιουργία των τεστ και προκειμένου να αποφευχθεί ο παράγοντας της υποκειμενικότητας, η δασκάλα εκτός από υλικό που έγραψε μόνη της, χρησιμοποίησε υλικό και από την σελίδα εκπαιδευτικού υλικού για το δημοτικό σχολείο, e-selides 1. Εμπειρικά δεδομένα συνελέγησαν, ακόμη, με συνέντευξη. Η δασκάλα, μετά το τέλος της διδακτικής ώρας ρωτούσε ξεχωριστά κάθε μαθητή τις ιδιαίτερες δυσκολίες που αντιμετώπισε σε κάθε άσκηση και τις σκέψεις του την ώρα που προσπαθούσε να τη λύσει. 1 http://www.e-selides.gr/ 18

Κεφάλαιο Δεύτερο Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ 2.1. Έλεγχος πρότερης γνώσης Προτού ξεκινήσει η διδασκαλία του πρώτου κεφαλαίου του σχολικού βιβλίου, σχετικού με τα κλάσματα, έγινε έλεγχος της πρότερης γνώσης των μαθητών. Μεταξύ δασκάλας και μαθητών διεξήχθη ο παρακάτω διάλογος: 1 η ερώτηση: «Πόσα λεπτά είναι το ένα τέταρτο της ώρας, που διαρκεί το διάλειμμά σας;» Μαθητής ΔΕΛΤΑ, μαθήτρια ΖΗΤΑ και μαθήτρια ΓΙΩΤΑ απάντησαν: «Είναι 15 λεπτά». Τα υπόλοιπα παιδιά δεν απάντησαν καθόλου. 2 η ερώτηση: «Μπορείτε αυτό, το ένα τέταρτο να το γράψετε, με κάποιο τρόπο, στον πίνακα;» Κανένα παιδί δε μίλησε. Όλα κοιτούσαν με απορία, δείχνοντας να μην καταλαβαίνουν τι τους ρωτούσαν. 3 η ερώτηση: «Πόσα τέταρτα έχει η μισή ώρα;» Η μαθήτρια ΓΙΩΤΑ και η μαθήτρια ΖΗΤΑ απάντησαν: «Η μισή ώρα είναι δύο τέταρτα». Τα υπόλοιπα παιδιά δεν απάντησαν καθόλου. 4 η ερώτηση: «Μοιράζουμε δύο τούρτες, μία σε τρία κομμάτια και μία σε έξι. Από ποια τούρτα θα έπαιρνες κομμάτι αν ήθελες να πάρεις το πιο μεγάλο;». Εδώ μίλησαν σχεδόν όλα τα παιδιά. Τα μισά απάντησαν: «Από την τούρτα με τα τρία κομμάτια» και τα άλλα μισά: «Από την τούρτα με τα έξι». Φάνηκε ότι η απάντηση δόθηκε στην τύχη, εκτός από τη μαθήτρια ΖΗΤΑ, γιατί στην ερώτησή μου «γιατί», δεν ήξεραν τι να απαντήσουν. Μόνο η μαθήτρια ΖΗΤΑ απάντησε με πεποίθηση ως εξής: «Θα έπαιρνα το ένα τρίτο γιατί στην τούρτα με τα έξι, τα κομμάτια είναι πιο πολλά αλλά πιο μικρά». Στη συνέχεια μοιράστηκε στα παιδιά μία φωτοτυπία με μία συνταγή για γλυκό, η οποία στα «Υλικά» περιείχε κλάσματα. Η δασκάλα διάβασε τη συνταγή. Έπειτα ρώτησε: 5 η ερώτηση: «Τι σημαίνει ¼ του ποτηριού γάλα;» Μαθήτρια ΓΙΩΤΑ: «Το ¼ είναι μισό ποτήρι». Η μαθήτρια ΓΙΩΤΑ είχε κατανοήσει ότι το ¼ είναι ποσότητα μικρότερη της μονάδας. Τα υπόλοιπα παιδιά δεν απάντησαν. 6 η ερώτηση: «Τι σημαίνει ½ του κιλού αλεύρι;» 19

Μαθήτρια ΓΙΩΤΑ : «Εεε, δεν ξέρω». Δασκάλα: «Είναι περισσότερο ή λιγότερο από ένα κιλό αλεύρι;» Μαθήτρια ΓΙΩΤΑ: «Είναι περισσότερο από ένα κιλό». Από τις απαντήσεις των παιδιών φαίνεται ότι κάποια παιδιά γνωρίζουν πόσα λεπτά είναι το τέταρτο της ώρας επειδή τόσο διαρκεί το σχολικό διάλειμμα και έχει άμεση σχέση με το παιχνίδι και την ξεκούρασή τους και επομένως, έχουν ενδιαφέρον και κίνητρο. Επίσης, λίγα παιδιά από την τάξη, από τις μαγειρικές συνταγές της μαμάς τους έχουν καταλάβει ότι τα κλάσματα δηλώνουν μέρος της μονάδας, λίγο επάνω ή λίγο κάτω από αυτή. Η πλειοψηφία των μαθητών της τάξης, ωστόσο, δε διαθέτει άτυπη γνώση σχετική με τα κλάσματα. 2.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Διδάχθηκαν όλες οι ενότητες του σχολικού βιβλίου και οι αντίστοιχες στο τετράδιο εργασιών, οι οποίες αφορούσαν τα κλάσματα. Αναλυτικότερα διδάχθηκαν οι εξής ενότητες: ενότητα 4: κεφάλαια 22,23,24,25,26, ενότητα 6: κεφάλαια 34,35,38 και ενότητα 9: κεφάλαιο 57. Πριν ξεκινήσει η διδασκαλία βάσει βιβλίου, η δασκάλα παρουσίασε την έννοια του κλάσματος κόβοντας σε κομμάτια φύλλα χαρτιού και μήλα. Πιο συγκεκριμένα, η εισαγωγή στην έννοια των κλασμάτων έγινε ως εξής: 1) Η δασκάλα έδειξε στους μαθητές μία κόλλα χαρτί Α4. Έπειτα το δίπλωσε ακριβώς στη μέση, το έδειξε στα παιδιά εξηγώντας ότι μετά τη δίπλωση δημιουργούνται δύο ακριβώς ίδια κομμάτια και το έκοψε στο σημείο της δίπλωσης. Είπε: «Έχω δύο κομμάτια. Παίρνω το ένα από τα δύο, δηλαδή παίρνω το ένα δεύτερο». Έγραψε στον πίνακα: ½. «Τώρα ξανακόβω αυτά τα δύο κομμάτια στη μέση. Τώρα έχω τέσσερα κομμάτια. Παίρνω το ένα κομμάτι από τα τέσσερα, δηλαδή παίρνω το ένα τέταρτο. Γράφω στον πίνακα: ¼. Παίρνω τα δύο από τα τέσσερα, δηλαδή τα δύο τέταρτα. Γράφω στον πίνακα: 2/4. Παίρνω τα τρία από τα τέσσερα, δηλαδή τα τρία τέταρτα και το γράφω στον πίνακα: ¾. Τέλος, παίρνω και τα τέσσερα κομμάτια από τα τέσσερα, δηλαδή πόσα παίρνω;». (Οι μαθητές:) «Τα τέσσερα τέταρτα, κυρία». Η ίδια διαδικασία επαναλήφθηκε κόβοντας το χαρτί σε οκτώ ίσια κομμάτια. Η δασκάλα έδειχνε στους μαθητές δύο από τα οκτώ και ρωτούσε: «Πόσα πήρα;». Οι μαθητές απαντούσαν: «Τα δύο όγδοα, κυρία» και ούτω κάθε εξής. Στη συνέχεια η δασκάλα ζήτησε από τους μαθητές να κόψουν στα τέσσερα οι ίδιοι μία κόλλα Α4 ο κάθε ένας. Αφού το έκαναν, η δασκάλα τους ζητούσε να της δείξουν το ½, το ¼, τα 2/4 κλπ της κόλλας. 20

2) Κόβουμε μήλα: Οι μαθητές σε τριμελείς ομάδες. Κάθε ομάδα κόβει ένα μήλο πρώτα σε δύο και έπειτα σε τέσσερα ίσα μέρη. Η δασκάλα περνούσε από κάθε ομάδα και ζητούσε από τους μαθητές να κρατούν ένα, δύο, τρία κομμάτια του μήλου και κάθε φορά να ονομάζουν το μέρος του μήλου που κρατούν: το ½, το ¼, τα 2/4 κλπ. Στο τέλος της εισαγωγικής διδασκαλίας για την έννοια του κλάσματος, η δασκάλα ανακεφαλαίωσε ορίζοντας τι γράφουμε στη θέση του αριθμητή του κλάσματος: «Πόσα ίσα μέρη παίρνουμε» και τι στη θέση του παρονομαστή: «Σε πόσα ίσα μέρη χωρίζουμε». Αμέσως μετά ξεκίνησε η διδασκαλία του πρώτου κεφαλαίου του σχολικού βιβλίου για τα κλάσματα, του κεφαλαίου 22. 2.3. ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 2.3.1. Κεφάλαιο 22. Εισαγωγή στα κλάσματα. Σκοπός της ενότητας 2 1) Να ενεργοποιηθούν οι προϋπάρχουσες γνώσεις των παιδιών σχετικά με τα κλάσματα. 2) Να καταστούν οι μαθητές ικανοί να: -χρησιμοποιούν εκφράσεις από την καθημερινή ζωή σχετικές με τα κλάσματα και να εμβαθύνουν τη σημασία τους -πραγματοποιούν χωρισμούς, διπλώσεις και μοιρασιές σε ίσα μέρη και να αξιολογούν τις σχέσεις μεταξύ των μεριδίων της διανομής -συνδέσουν τη γραφή των κλασματικών μονάδων με το μέρος του όλου μιας ποσότητας. Διδασκαλία: Βιβλίο Μαθητή: Στην αρχή της διδασκαλίας η δασκάλα ρώτησε: Πόση ώρα κρατάει το διάλειμμα; Τα παιδιά απάντησαν : Ένα τέταρτο. Δασκάλα: «Διαβάστε στο βιβλίο (εικ.2) πόση ώρα κάνει ο Πυθαγόρας να πάει από το σπίτι του στο σπίτι της Χαράς.» Οι μαθητές διάβασαν ότι ο Πυθαγόρας κάνει ένα τέταρτο. Η δασκάλα έκανε ένα κύκλο στον πίνακα, ο οποίος αντιπροσώπευε ολόκληρη την ώρα, χώρισε τον κύκλο σε τέσσερα ίσια κομμάτια, χρωμάτισε το ένα και εξήγησε ότι αυτό είναι το ένα τέταρτο της ώρας για το οποίο μίλησαν νωρίτερα. Έπειτα χρωμάτισε τα δύο τέταρτα (ή μισή ώρα) και είπε: «Η μισή ώρα είναι δύο τέταρτα. Κοιτάξτε, είναι αυτά που χρωμάτισα». Η δασκάλα επανέλαβε την ίδια διαδικασία για τα τρία τέταρτα και για ολόκληρη την ώρα. Στη συνέχεια η δασκάλα ρώτησε τους μαθητές: 2 Οι διδακτικοί στόχοι για όλες τις ενότητες της παρούσας έρευνας διατυπώνονται με βάση το Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών (ΔΕΠΠΣ) και το Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών (ΑΠΣ) και δεν είναι άλλοι από αυτούς που διατυπώνονται στο βιβλίο του δασκάλου του αντίστοιχου σχολικού βιβλίου (Λεμονίδης &α., 2007). 21

Δασκάλα: «Πόσα τέταρτα είναι η μισή ώρα;» Μαθητές: «Δύο τέταρτα, κυρία». Δασκάλα: «Ποιος θα μου δείξει τα τρία τέταρτα που διαρκεί η ώρα των Μαθηματικών;». Σηκώθηκε ο μαθητής ΒΗΤΑ και τα έδειξε στον κύκλο που είχε φτιάξει η δασκάλα στον πίνακα. Δασκάλα: «Πόσα τέταρτα είναι η μία ώρα;» Μαθητές: «Τέσσερα τέταρτα, κυρία». Έπειτα η δασκάλα ζήτησε από τους μαθητές να λύσουν την αντίστοιχη άσκηση του βιβλίου, στο τέλος της σελ. 58 (εικ.2,), η οποία ζητούσε από τους μαθητές να σκιάσουν το ένα τέταρτο, τα τρία τέταρτα και τα δύο τέταρτα της ώρας. Στη συνέχεια η δασκάλα ζήτησε από τα παιδιά να διαβάσουν τη μαγειρική συνταγή που υπάρχει στην ίδια σελίδα του βιβλίου του μαθητή. Έγραψε στον πίνακα τα κλάσματα ½ και το ¼ που συνάντησαν οι μαθητές στη συνταγή. Δασκάλα: «Πόσο μπορεί να είναι το ένα δεύτερο του κιλού αλεύρι;». Οι μαθητές σκέφτονταν. Δασκάλα: «Το ένα δεύτερο του μήλου πόσο είναι;» Μαθητές (χορωδιακά): «Το ένα από τα δύο ίσια μέρη του μήλου.» Δασκάλα: «Σωστά, δηλαδή το μισό μήλο. Άρα το ένα δεύτερο του κιλού αλεύρι πόσο θα είναι; Μαθητές (χορωδιακά): «Το μισό κιλό, κυρία.» Δασκάλα: «Σωστά. Αν χωρίσουμε το ένα κιλό ζάχαρη σε δύο ίσια μέρη και πάρουμε το ένα, θα πάρουμε το ½.» 22

Εικ.2 Στη συνέχεια, τα παιδιά χωρίστηκαν σε ομάδες. Τους δόθηκε ένα διάφανο φύλλο χαρτιού που είχε σχεδιασμένο ένα κύκλο, ένα τετράγωνο, ένα ορθογώνιο και ένα ισοσκελές τρίγωνο. Τους ζητήθηκε να χαράξουν όλους τους άξονες συμμετρίας που υπάρχουν σε κάθε σχήμα. Οι ομάδες δούλεψαν για δέκα λεπτά. Στην αρχή βρήκαν έναν άξονα για όλα τα σχήματα και σταμάτησαν. Η δασκάλα τους παρότρυνε να ψάξουν και για δεύτερο άξονα συμμετρίας στα σχήματα. Τελικά, όλες οι ομάδες κατέληξαν στο σωστό αποτέλεσμα. Ο μαθητής ΒΗΤΑ με έκπληξη παρατήρησε ότι «ο κύκλος έχει πολλούς άξονες!». Παρακάτω παραθέτουμε το διάλογο από όπου τα παιδιά καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι ο άξονας συμμετρίας χωρίζει το σχήμα σε ίσα μέρη. 23

Δασκάλα: «Σε πόσα μέρη χωρίζει ο άξονας συμμετρίας το τετράγωνο;» Μαθήτρια ΕΨΙΛΟΝ: «Σε δύο». Δασκάλα: «Τα μέρη αυτά είναι ίσα ή άνισα;» Μαθήτρια ΕΨΙΛΟΝ: «Δεν ξέρω». Δασκάλα: «Διπλώστε το σχήμα πάνω στον άξονα να το ελέγξετε!» Η δασκάλα πέρασε από όλες τις ομάδες και βοήθησε τα παιδιά να διπλώσουν το κάθε σχήμα ακριβώς επάνω στον άξονα. Μαθήτρια ΑΛΦΑ: «Κυρία, το ένα μέρος του σχήματος πέφτει επάνω στο άλλο.» Δασκάλα: «Περισσεύει καθόλου απέξω ή το ένα πέφτει ακριβώς επάνω στο άλλο;» Μαθητής ΔΕΛΤΑ : «Το ένα πέφτει ακριβώς επάνω στο άλλο.» Δασκάλα: «Μήπως, λοιπόν, τα δύο μέρη, στα οποία χωρίζει ο άξονας το σχήμα, είναι ίσια;» Μαθήτρια ΕΨΙΛΟΝ: «Είναι ίσια, κυρία». Αμέσως η δασκάλα ζήτησε από ένα μαθητή να διαβάσει το συμπέρασμα του σχολικού βιβλίου(εικ.3) για τον άξονα συμμετρίας. Στη συνέχεια τα παιδιά παρατήρησαν τα σκίτσα του βιβλίου σχετικά με τον τρόπο γραφής του κλάσματος, τι δείχνει ο αριθμητής και τι ο παρονομαστής. Τα χαρούμενα σκίτσα που παρουσιάζουν τον αριθμητή και τον παρονομαστή στο συμβολισμό του κλάσματος έκαναν τα παιδιά να γελάσουν. Έπειτα, οι μαθητές χρωμάτισαν ο καθένας στο βιβλίο του το ένα δεύτερο και το ένα τρίτο (εικ.3) των παραλληλογράμμων. Στο σημείο αυτό ο μαθητής ΜΙ, ο μαθητής ΓΑΜΑ και ο μαθητής ΛΑΜΔΑ χρειάστηκαν διευκρινήσεις. «Ποιο είναι το ένα τρίτο εδώ, κυρία;» Το χρωμάτισαν σωστά όταν η δασκάλα τους παρότρυνε να χρωματίσουν «το ένα τρίτο, δηλαδή το ένα από τα τρία μέρη». 24

εικ.3 Προκειμένου η δασκάλα να ελέγξει αν η παραπάνω δυσκολία των παιδιών προέρχεται από το αφηρημένο σχήμα που έχουν μπροστά τους, θέλησε να επαναλάβει την άσκηση αυτή με χειροπιαστά αντικείμενα. Έδωσε, λοιπόν, σε καθένα από τα παραπάνω παιδιά από ένα κομμάτι σοκολάτας, το οποίο είχε τρία επιμέρους κομματάκια. Τους ζήτησε, ατομικά, να κόψουν και να πάρουν από τη σοκολάτα το ένα τρίτο. Και οι τρεις μαθητές το έπραξαν με επιτυχία. Η παρουσία ή όχι χειροπιαστού αντικειμένου φαίνεται ότι είναι καθοριστικής σημασίας. Τετράδιο Εργασιών: Στο Τετράδιο Εργασιών (Τ.Ε.), οι μαθητές δούλεψαν ατομικά (εικ. 4 και 5). Οι μαθητές έλυσαν σωστά τις ασκήσεις 1, 2 και 3. Εξάλλου, ο μαθητής ΓΑΜΑ, ο μαθητής ΜΙ, ο μαθητής 25

ΛΑΜΔΑ και η μαθήτρια ΝΙ, (το ένα τρίτο της τάξης), δυσκολεύτηκαν στην άσκηση 4 με τη πίτα. Έπρεπε να μοιράσουν τον πίνακα πίτα σε τέσσερις ομάδες των τεσσάρων κομματιών. Δηλαδή έχουμε χωρισμό στα τέσσερα αλλά το μοναδιαίο κομμάτι δεν είναι ένα αλλά τέσσερα. Η δυσκολία που παρουσιάστηκε ήταν αναμενόμενη και στις οδηγίες του βιβλίου του δασκάλου. Στην αρχή, τα παραπάνω παιδιά παραπονούνταν ότι δεν μπορούσαν να καταλάβουν τι πρέπει να κάνουν στην άσκηση. Τότε η δασκάλα εξήγησε ότι το σχέδιο (ο πίνακας με τα τετράγωνα) είναι η πίτα της γιαγιάς την οποία η γιαγιά χώρισε σε ίσια κομμάτια για να τη φάνε τα εγγονάκια της. Πόσα εγγονάκια έχουμε; Πόσα κομμάτια θα φάει κάθε εγγονάκι; Χρωματίστε με διαφορετικό χρώμα τα κομμάτια που θα φάει κάθε εγγονάκι. Μετά από αυτές τις διευκρινήσεις τα παιδιά κατάλαβαν και έλυσαν την άσκηση σωστά. 26

εικ.4 27

εικ.5 Σαν γενικό συμπέρασμα, στην ενότητα 22 οι δυσκολίες των μαθητών επικεντρώνονται στη μοιρασιά ή χωρισμό τετραγωνισμένων πινάκων που συμβολίζουν αντικείμενα (πίτες, σοκολάτες κλπ). 28

2.3.2. Κεφάλαιο 23. Οι κλασματικές μονάδες Σκοπός της ενότητας: Ο σκοπός της συγκεκριμένης διδακτικής ενότητας είναι: 1) Να καταστούν οι μαθητές ικανοί να χωρίζουν σε ίσα μέρη συνεχείς και διακριτές ποσότητες. 2) Να συνδέσουν οι μαθητές τη συμβολική γραφή των κλασματικών μονάδων με τις ποσότητες που εκφράζουν. Διδασκαλία: Εισαγωγική δραστηριότητα: Μοιρασιές σε ίσα μέρη: Δόθηκαν στα παιδιά ολόκληρα μήλα. Χωρίστηκαν σε ομάδες των τεσσάρων. Από τη δασκάλα τους τέθηκε το εξής ερώτημα: «Μοιραστείτε το μήλο μεταξύ σας. Πώς πρέπει να το κόψετε ώστε να μην αδικηθεί κανένας από εσάς;» Οι μαθητές κατέληξαν εύκολα και γρήγορα στη λύση: το έκοψαν στη μέση και πάλι στη μέση. «Τι μέρος του μήλου πήρε ο καθένας από σας;» Όλοι απάντησαν: «το ¼». Διπλώσεις: Δόθηκαν στους μαθητές κόλλες χαρτιού μεγέθους Α4. Τους ζητήθηκε, σε ομάδες, να διπλώσουν το χαρτί με τέτοιο τρόπο ώστε να χωριστεί σε δύο ίσα μέρη. Τη διαδικασία την είχαν δει από τη δασκάλα στην εισαγωγή στα κλάσματα και το έφτιαξαν εύκολα. Μετά άνοιξαν πάλι την κόλλα και είδαν τα ίσα μέρη. Η ίδια διαδικασία επαναλήφθηκε ώστε να χωριστεί το χαρτί σε τέσσερα και οχτώ ίσα μέρη. Κάθε φορά μετά τη δίπλωση οι μαθητές ξεδίπλωναν το χαρτί και έβλεπαν τα ίσα μέρη στα οποία χωρίστηκε. Στη συνέχεια οι μαθητές έπαιξαν το παρακάτω παιχνίδι (προτείνεται από το βιβλίο του δασκάλου σαν εισαγωγική δραστηριότητα): Παιχνίδι: Το πολλαπλό μήνυμα. Λογοτέχνες, πρακτικοί, ζωγράφοι και μαθηματικοί: Η τάξη χωρίστηκε σε τέσσερις ομάδες, τους λογοτέχνες, τους πρακτικούς, τους ζωγράφους και τους μαθηματικούς. Η δασκάλα περιγράφει ένα μήνυμα: «Κόβω μια ντομάτα σε τέσσερα ίσα κομμάτια και παίρνω το ένα». Η ομάδα των πρακτικών πραγματοποιεί το μήνυμα με ντομάτες και μήλα, δηλαδή παίρνει μία ντομάτα και την κόβει στη μέση και πάλι στη μέση και παίρνει το ένα κομμάτι. Οι υπόλοιπες ομάδες πρέπει να μεταφράσουν το μήνυμα στο χαρτί, η καθεμία με τον τρόπο της. Στόχος είναι να αναζητηθούν από τα παιδιά κωδικοί τρόποι για να εκφράσουν το μήνυμα. 29

Στη αρχή όλες οι ομάδες ρωτούσαν τι πρέπει να γράψουν. Η δασκάλα τους είπε: «Πόσα κομμάτια πήραμε; Από πόσα; Οι λογοτέχνες γράψτε το με λέξεις. Οι ζωγράφοι ζωγραφίστε το. Οι μαθηματικοί γράψτε το με αριθμούς.» Η δασκάλα περιφερόταν στις ομάδες. Η ομάδα των λογοτεχνών έγραψε: «ένα τέταρτο». Η ομάδα των μαθηματικών ρώτησε πάλι πώς να το γράψει. Η δασκάλα απάντησε ότι έχουν μάθει πώς να εκφράζουν με αριθμούς τα μέρη μιας μονάδας. Τότε ο μαθητής ΔΕΛΤΑ είπε στην ομάδα του να το γράψουν σαν κλάσμα. Έτσι έγραψαν: «¼». Η ομάδα των ζωγράφων ζωγράφισε τέσσερα ίσα κομμάτια ντομάτας και κύκλωσε το ένα. Η δασκάλα ζήτησε από την ομάδα αυτή, αν μπορούσε, να εκφράσει το κλάσμα και με άλλο τρόπο. Η ομάδα, αφού το σκέφτηκε, κατέληξε στην εξής απάντηση: Σχεδίασε ένα κύκλο, ο οποίος παρίστανε τη ντομάτα, τον χώρισε σε τέσσερα τέταρτα και χρωμάτισε το ένα τέταρτο. 30

Εικ.6 31

Μετά από το παιχνίδι οι μαθητές ξεκίνησαν με τις ασκήσεις του βιβλίου του μαθητή. Το παιχνίδι είχε προετοιμάσει τους μαθητές και η άσκηση 1 λύθηκε εύκολα και σωστά. Στην άσκηση 2 (εικ.7) οι μαθητές έπρεπε να χαράξουν 4 άξονες συμμετρίας ώστε να χωριστεί ο κύκλος σε 8 ίσα μέρη. Προκειμένου να αιτιολογήσουν την απάντησή τους οι μαθητές ανακάλεσαν στη μνήμη τους τη δραστηριότητα με τους άξονες συμμετρίας στο διάφανο χαρτί. Ο μαθητής ΔΕΛΤΑ, η μαθήτρια ΗΤΑ, η μαθήτρια ΓΙΩΤΑ και ο μαθητής ΚΑΠΑ απάντησαν ότι τα μέρη που προκύπτουν από το χωρισμό είναι ίσια γιατί ο άξονας συμμετρίας χωρίζει το σχήμα σε ίσα μέρη. Η άσκηση 3 (εικ.7) στο σχολικό βιβλίο απαντήθηκε πολύ εύκολα από όλα τα παιδιά. 32

Εικ.7 33

Εικ.8 Τετράδιο Εργασιών Σε επόμενη διδακτική ώρα οι μαθητές ασχολούνται με τις ασκήσεις στο Τετράδιο Εργασιών. Πριν ξεκινήσουν, η δασκάλα ελέγχει και θυμίζει την έννοια της κλασματικής μονάδας. Γράφει στον πίνακα τα κλάσματα 1/6, 2/4, 1/8, 3/5, 2/7 και 1/3. Ζητά από τους μαθητές να 34

ξεχωρίσουν ποια από αυτά είναι κλασματικές μονάδες. Η πλειοψηφία των παιδιών απαντά σωστά. Ο μαθητής ΓΑΜΑ, ο μαθητής ΜΙ, ο μαθητής ΘΗΤΑ, η μαθήτρια ΝΙ δεν απαντούν. Η δασκάλα τονίζει πάλι ότι κλασματική μονάδα είναι το ένα από τα ίσα μέρη στα οποία χωρίσαμε τη μονάδα, το κλάσμα που έχει αριθμητή το 1. Ζητά από αυτά τα παιδιά να αναφέρουν μία κλασματική μονάδα. Βρήκε πρώτα ο μαθητής ΜΙ και ο μαθητής ΘΗΤΑ, έπειτα η μαθήτρια ΝΙ και στο τέλος ο μαθητής ΓΑΜΑ. Στη συνέχεια οι μαθητές ξεκινούν τις ασκήσεις του Τετραδίου Εργασιών (εικ.8). Οι μαθητές εργάζονται ατομικά. Ξεκινούν με την άσκηση 1. Ο μαθητής ΓΑΜΑ στην άσκηση 1 από τις απαντήσεις που έγραψε, έδειξε να μην έχει κατανοήσει ότι στα κλάσματα ο παρονομαστής δηλώνει χωρισμό σε ίσα μέρη και όχι άνισα. Στο σημείο αυτό η δασκάλα παρενέβη. Ζήτησε από το μαθητή ΓΑΜΑ να συγκρίνει τα κομμάτια από τις ντομάτες που προηγουμένως είχε ο ίδιος κόψει. Δασκάλα: «Προηγουμένως έκοψες τη ντομάτα σε τέσσερα κομμάτια. Τα κομμάτια αυτά της ντομάτας είναι ίσα ή άνισα;» Μαθητής ΓΑΜΑ: «Είναι ίσια». Δασκάλα: «Τα κομμάτια στα μήλα είναι ίσια ή άνισα;» Μαθητής ΓΑΜΑ: «Είναι ίσια». Δασκάλα: «Πάμε στην άσκηση. Από τα τρία κουτάκια που υπάρχουν στο βιβλίο ποιο κουτάκι σου δείχνει το ½ ;» Μαθητής ΓΑΜΑ: «Το μεσαίο, κυρία». Δασκάλα: «Το μεσαίο σε πόσα ίσα μέρη είναι χωρισμένο; Μέτρησέ τα.» Μαθητής ΓΑΜΑ: «Σε τέσσερα». Δασκάλα: «Στο κλάσμα ½, σε πόσα ίσα μέρη είναι χωρισμένο το κουτί;» Μαθητής ΓΑΜΑ: «Σε δύο». Δασκάλα: «Άρα από τα τρία κουτάκια που υπάρχουν στο βιβλίο ποιο κουτάκι σου δείχνει το ½;» Μαθητής ΓΑΜΑ: «Το τρίτο, κυρία». (Η σωστή απάντηση). Ωστόσο, μεγάλο ποσοστό της τάξης αντιμετώπισε δυσκολία στην άσκηση 4 του Τετραδίου Εργασιών (εικ.9). Στην άσκηση αυτή, δίνεται ένας πίνακας χωρισμένος σε κουτάκια και οι μαθητές καλούνται να χρωματίσουν κάθε φορά το 1/2, το 1/3, το 1/5 και το 1/4 του πίνακα. Τα παιδιά χρωμάτισαν με το σωστό τρόπο το 1/2 και το 1/3. Στο 1/5, όμως, και στο 1/4 τα παιδιά δεν ήξεραν πώς να κάνουν το χωρισμό. Όλα τα παιδιά προσπαθούσαν να χρωματίσουν το ¼ και το 1/5 με κάθετο χωρισμό, πράγμα που δε γίνεται για τους συγκεκριμένους πίνακες. Η δασκάλα είδε ότι ο κάθετος χωρισμός οδηγούσε σε λάθος 35