Ιστορία των Μαθηματικών Μ. Σιάλαρος
Ιστοσελίδα Μαθήματος στο η-τάξη (https://eclass.uoa.gr/courses/phs299)
Τα Μαθηματικά την Εποχή του Πλάτωνα
Το τέλος της Προσωκρατικής Περιόδου
Πλάτωνας Βιογραφικά Στοιχεία. Γραπτός Λόγος: «Πρώιμοι», «Μέσοι» και «Ύστεροι» διάλογοι. Εκπαιδευτικό πλαίσιο: Ίδρυση της Ακαδημίας (~380). Απάντηση στο πρόβλημα της μεταβολής και της γνώσης.
Η θεωρία των ιδεών Οι Ιδέες υπάρχουν ανεξάρτητα από εμάς. Είναι αιώνιες και αναλλοίωτες. Τα αντικείμενα του φυσικού κόσμου είναι αντίγραφα μια ιδέας. Η πραγματική φύση των Ιδεών κατανοείται μόνο μέσω της νόησης. Θα δούμε 1. Η αλληγορία της τετμημένης γραμμής. 2. Η αλληγορία του σπηλαίου. 3. Η θεωρία της ανάμνησης.
1. Η αλληγορία της Τετμημένης Γραμμής
1. Η Νόηση αφορά τη φιλοσοφική γνώση, μέσω διαλεκτικής. 2. Η Διάνοια αφορά την μαθηματική/λογική γνώση. 3. Η Πίστη αφορά την κριτική επί των αισθητών αντικειμένων. 4. Η Εικασία είναι οι αισθητηριακές γνώσεις και εικόνες.
2. H αλληγορία του Σπηλαίου
3. Η θεωρία της Ανάμνησης
Ασχολείται ο Πλάτωνας με τα Μαθηματικά; Πρώιμες Απόψεις Καθένας πράγματι είχε προϋποθέσει ότι γνώριζε κάποια από αυτά που θεωρούνται ανθρώπινα αγαθά, όπως ο πλούτος, η υγεία, η δύναμις, τέλος πάντων μια κάποια θαυμαστή ευτυχία. Αλλά όταν κατέστη φανερό ότι οι συζητήσεις είχαν σαν κέντρο τους τα μαθηματικά, δηλαδή τους αριθμούς, την γεωμετρία και την αστρονομία και κατέληγαν στην δήλωση πως το αγαθό είναι το Ένα, είμαστε πεπεισμένοι πως αυτό φάνηκε σαν κάτι εντελώς παράλογο και πως μερικοί το απέρριψαν και μερικοί άλλοι κατέκριναν το πράγμα. Αριστόξενος, Αρμονικά Στοιχεία Για του σύγχρονούς μας, η φιλοσοφία κατέληξε να είναι μαθηματικά, παρόλο που ισχυρίζονται ότι πρέπει κανείς να μελετάει τα μαθηματικά ως μέσο για κάποιο άλλο σκοπό. Αριστοτέλης, Μτφ. 992 a 31
Σύγχρονες Απόψεις At the center of scientific life stood the personality of Plato. He guided and inspired scientific work in his Academia and outside. The great mathematicians Theaetetus and Eudoxus and all the others enumerated in the Proclus Catalogue, were his friends, his teachers in mathematics and his pupils in philosophy. Van der Waerden There is no reliable evidence that Eudoxus, Menaechmus, whom many scholars unite into the group of so-called Academic mathematicians ever were Plato s pupils or close associates. Our analysis of the relevant passages shows that the very tendency of portraying Plato as the architect of science goes back to the early Academy and is born out of interpretations of his dialogues. Zhmud
Πλάτωνας και Επιστήμες 1) Πλάτων, ο «μαθηματικός». 2) Πλάτων, ο «διευθυντής» της επιστημονικής έρευνας. 3) Πλάτων, ο «σχολάρχης» των επιστημών. 4) Πλάτων, ο «σπουδαστής» της επιστήμης. 5) Ο Πλάτωνας δεν είχε καμία σχέση με τις επιστήμες
Τίμαιος
Εμπεδοκλής
καὶ τῇ προαιρέσει δὲ Πλατωνικός ἐστι καὶ τῇ φιλοσοφίᾳ ταύτῃ οἰκεῖος, ὅθεν δὴ καὶ τῆς συμπάσης στοιχειώσεως τέλος προεστήσατο τὴν τῶν καλουμένων Πλατωνικῶν σχημάτων σύστασιν. Proclus: In Eucl. 68.20 1
Tzetzes, Chiliades VII, 974-7 Philoponus, In De An. 15, 117.26-7 Elias, In Cat. 118.18-9.
Πολιτεία
Πολιτεία Ο ανώτατος στόχος της φιλοσοφίας είναι η ιδέα του Αγαθού. Για να την προσεγγίσει κανείς, πρέπει να μελετήσει τις μαθηματικές επιστήμες (αριθμητική, γεωμετρία, αστρονομία, αρμονία). Αριθμητική = ακίνητοι αριθμοί Μουσική = κινούμενοι αριθμοί Γεωμετρία = ακίνητο μέγεθος Αστρονομία = κινούμενα μεγέθη 10 χρόνια μαθηματική εκπαίδευση (πριν από τη διαλεκτική). Ο Πλάτωνας επιχειρηματολογεί για τα πλεονεκτήματα της μάθησης (α) των υπολογισμών (β) της επιπεδομετρίας και στερεομετρίας (γ) αστρονομίας (δ) αρμονικής θεωρίας.
Προετοιμασία για τη Διαλεκτική
Υποθέσεις
Η αξιωματική-παραγωγική δομή Οι πρώτες αρχές που χρησιμοποιούνται στα Στοιχεία είναι τριών ειδών: (1) οι ορισμοί, (2) τα αιτήματα και (3) οι κοινές έννοιες.
Υποθέσεις
Υποθέσεις
Μένων I. To μάθημα γεωμετρίας. II. Η υποθετική μέθοδος των γεωμετρών. III. Γεωμετρικοί ορισμοί.
Ι. Το μάθημα γεωμετρίας
ΙΙ. Είναι η Αρετή Διδακτή; Αλλάζω το αρχικό ερώτημα: Είναι η Αρετή γνώση;
ΙΙΙ. Παραδείγματα γεωμετρικών ορισμών Ο Σωκράτης ισχυρίζεται ότι δεν ξέρει τι είναι η αρετή. Μετά από κάποιες αποτυχίες, ο Σωκράτης προτείνει ως παράδειγμα ενός σωστού ορισμού, τον ορισμό του «σχήματος» Σχήμα είναι το πέρας ενός στερεού. Ευκλ. Ορ. 14: Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον. 13: Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας.
Θεαίτητος
Ο Πλάτων ως «διευθυντής» της μαθηματικής έρευνας Αυτή την περίοδο, τα μαθήματα αναπτύχθηκαν ιδιαίτερα με τον Πλάτωνα ως αρχιτέκτονα. Έθεσε προβλήματα για τους μαθηματικούς και αυτοί με τη σειρά τους πρόθυμα αφοσιώθηκαν στη μελέτη τους. Φιλόδημος (1 ος π.χ.)
Το Δήλιο Πρόβλημα
Ο Πλάτωνας αγανάκτησε μαζί τους και θεώρησε ότι αυτοί έχασαν και διέφθειραν το αγαθό της γεωμετρίας, γιατί από τα ασώματα και νοητά αυτοί ξέπεσαν στα αισθητά, και η γεωμετρία κατάντησε μηχανική Πλούταρχος, Β. Μαρκ. 14.11.1-5
Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
Τα τρία «άλυτα» προβλήματα των ελληνικών μαθηματικών
Αστρονομία
Σώζειν τα Φαινόμενα Ο Εύδοξος ο Κνίδιος - όπως αναφέρει ο Εύδημος στο β βιβλίο της Αστρονομικής Ιστορίας και όπως επαναλαμβάνει ο Σωσιγένης βασισμένος στον Εύδημο - λέγεται ότι ήταν ο πρώτος από τους Έλληνες που εξέτασε αυτή την υπόθεση. Γιατί, ο Πλάτων - λέει ο Σωσιγένης - έθεσε το εξής πρόβλημα στους μαθητές της αστρονομίας: Ποιες κυκλικές και ομαλές κινήσεις πρέπει να υποθέσουμε ώστε να εξηγήσουμε τις κινήσεις των πλανητών έτσι όπως φαίνονται; Σιμπλίκιος, In De Caelo, 488.18
Ο κατάλογος των γεωμετρών Ο Πλάτων, ο οποίος ακολουθεί μετά από αυτούς, συνέβαλε ώστε να λάβουν μεγάλη ανάπτυξη και οι λοιπές μαθηματικές επιστήμες και η γεωμετρία με τον ζήλο [που επέδειξε] για αυτές, ο οποίος είναι κατά κάποιον τρόπο εμφανής, αφού και τα συγγράμματά του τα έχει γεμίσει με μαθηματικούς συλλογισμούς και με κάθε ευκαιρία διεγείρει τον θαυμασμό προς αυτά όσων αφοσιώνονται στη φιλοσοφία Ο Εύδοξος από την Κνίδο, λίγο νεότερος του Λέοντος, αφού συνδέθηκε με τους κύκλους του Πλάτωνα, ήταν ο πρώτος ο οποίος αύξησε το πλήθος των λεγόμενων γενικών θεωρημάτων, στις τρεις αναλογίες πρόσθεσε άλλες τρεις, και προήγαγε τις σχετικές με την «τομή» [έρευνες] που είχε αρχίσει ο Πλάτων, χρησιμοποιώντας σε αυτές και τη μέθοδο της ανάλυσης. Ακόμη περισσότερο τελειοποίησαν τη γεωμετρία ο Αμύκλας από την Ηράκλεια, ένας από τους εταίρους του Πλάτωνα, ο Μέναιχμος, ο οποίος ήταν μαθητής του Ευδόξου και συνδέθηκε με τον Πλάτωνα, και ο αδελφός αυτού Δεινόστρατος Αυτοί ζούσαν όλοι μαζί στην Ακαδημία και διεξήγαγαν τις έρευνές τους από κοινού. Ο Φίλιππος από τη Μένδη, ο οποίος ήταν μαθητής του Πλάτωνα, και εκείνος τον προέτρεψε να ασχοληθεί με τα μαθηματικά, έκανε τις έρευνές του σύμφωνα με τις υποδείξεις του Πλάτωνα, ανέλαβε δε να κάνει όσα νόμιζε ότι συμβάλλουν στη φιλοσοφία του Πλάτωνα.
τὴν μὲν μετὰ λόγου ἀληθῆ δόξαν ἐπιστήμην εἶναι Πλάτωνας, Θεαίτητος 201c-210a