Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ τους. γ. Ένα τετράπλευρο που έχει δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες είναι παραλληλόγραμμο. δ. Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές ίσες μεταξύ τους. ε. Κάθε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει διαγώνιες που είναι ίσες μεταξύ τους. στ. Ορθόκεντρο ενός τριγώνου ονομάζεται το σημείο τομής των διαμέσων του. Μονάδες 1 Β. Να αποδείξετε ότι τα εφαπτόμενα σε κύκλο ευθύγραμμα τμήματα που φέρονται από σημείο εκτός του κύκλου, είναι ίσα μεταξύ τους. Μονάδες 13 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), προεκτείνουμε τη βάση του ΒΓ κατά τμήματα ΒΔ = ΓΕ. Α. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες ΔΒΑ και ΕΓΑ είναι ίσες μεταξύ τους. Μονάδες 7 Β. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΔΒΑ και ΕΓΑ είναι ίσα μεταξύ τους. Μονάδες 11 Γ. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ΔΕ. Μονάδες 7 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με Γ = 30 και η διχοτόμος του ΑΔ. Από την κορυφή Β φέρουμε την κάθετη προς την ΑΔ που τέμνει την ΑΔ στο Η και την ΑΓ στο Ε. Α. Να αποδείξετε ότι ΒΗ = ΗΕ και ΒΗ = ΑΗ Μονάδες 10 Β. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ να αποδείξετε ότι: α. ΑΒ = ΜΓ και ΗΒΔ = 15 Μονάδες 10 β. ΜΗΔ = 45 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Ε τα μέσα των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Φέρουμε το ύψος ΑΚ και ονομάζουμε Θ το σημείο τομής των ΔΕ και ΑΖ. Να αποδείξετε ότι: Α. Το τετράπλευρο ΑΔΖΕ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Μονάδες 6 Β. Το τετράπλευρο ΔΕΖΚ είναι ισοσκελές τραπέζιο (θεωρείστε δεδομένο ότι οι ευθείες ΕΖ και ΔΚ δεν είναι παράλληλες). Μονάδες 7 Γ. ΑΘ = ΕΔ Δ. ΑΘ = ΒΓ 4 Μονάδες 6 Μονάδες 6 1
Α. Δώστε τον ορισμό του παραλληλογράμμου. Β. Δείξτε ότι κάθε τετράπλευρο του οποίου οι διαγώνιοι διχοτομούνται είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 10 Γ. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος: α. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. β. Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες. γ. Δύο αμβλείες γωνίες, που έχουν τις πλευρές τους ή παράλληλες ή κάθετες, είναι ίσες. δ. Σκαληνό λέγεται το τρίγωνο που έχει τρεις άνισες οξείες γωνίες. ε. Το τετράπλευρο που έχει ίσες διαγωνίους είναι ορθογώνιο. Μονάδες 10 Στις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ, ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημεία Δ, Ε αντίστοιχα τέτοια, ώστε ΑΔ = ΑΕ. Φέρουμε την κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Δ που τέμνει τη ΒΓ στο σημείο Η. Επίσης φέρουμε την κάθετο στην ΑΓ στο σημείο Ε που τέμνει τη ΒΓ στο σημείο Ζ. Α. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΒΗ, ΕΓΖ. Μονάδες 13 Β. Δείξτε ότι ΖΒ = ΗΓ. Μονάδες 1 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Κ, Λ, Μ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα. Α. Δείξτε ότι το τετράπλευρο ΑΚΛΜ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 1 Β. Φέρουμε τα τμήματα ΜΒ και ΜΚ που τέμνουν τη διάμεσο ΑΛ στα σημεία Θ και Ι αντίστοιχα. Δείξτε ότι: ΙΘ = ΑΛ 6. Μονάδες 13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Β διπλάσια της γωνίας Γ και ΒΔ διχοτόμος. Από το μέσο Ε της ΑΓ φέρουμε παράλληλη στη ΒΔ που τέμνει τη ΒΓ στο Ζ. Α. Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΖΕΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες 8 Β. Δείξτε ότι ΑΖΕ = ΖΑΕ. Μονάδες 8 Γ. Αποδείξτε ότι ΑΖ είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 9
Α. Να δώσετε τον ορισμό του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Β. Να δείξετε ότι οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες. Μονάδες 10 A Γ. Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = ΑΓ και Γx εξωτερική διχοτόμος της ΑΓΔ. Να υπολογίσετε τη γωνία φ. Δ. Στο διπλανό σχήμα να δικαιολογή σετε την ισότητα ΑΜ = ΔΕ, αν είναι Α = 90, ΑΜ διάμεσος και Δ, Ε μέ- B Δ Γ φ Γ 55 M x y σα των ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα. A E B Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) και η διχοτόμος του ΒΔ. Από το Δ φέρουμε ΔΕ ΒΓ που τέμνει την προέκτασή της ΑΒ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι: Α. ΑΔ = ΔΕ Μονάδες 7 Β. ΖΔΒ = ΒΔΓ Μονάδες 8 Γ. Το τρίγωνο ΒΓΖ είναι ισοσκελές. Μονάδες 10 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ και η διχοτόμος του ΑΔ. Να δείξετε ότι: Α. ΑΔΓ ΑΔΒ = Β Γ Μονάδες 1 Β. ΑΔΒ Β Γ = 90 Μονάδες 13 Δίνεται το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με Γ = Δ = 45. Έστω ΕΖ η διάμεσός του και ΑΗ το ύψος του. Από το Ζ φέρουμε παράλληλη στην ΑΔ που τέμνει τη ΓΔ στο Θ. Να δείξετε ότι: Α. Το ΗΘΖΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 10 Β. ΘΖΓ = 90 Μονάδες 7 Γ. ΘΓ = ΑΗ Μονάδες 8 3
Α. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός (κάθε ) τριγώνου είναι ίσο με ορθές ή 180. Μονάδες 1 Β. Να γράψετε τον ορισμό του παραλληλογράμμου και του ρόμβου. Μονάδες 7 Γ. Για τις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε αν είναι Σωστές ή Λανθασμένες: α. Αν οι διαγώνιοι ενός κυρτού τετραπλεύρου διχοτομούνται και είναι κάθετες τότε είναι τετράγωνο. β. Το ύψος από κάθε κορυφή ισοσκελούς τριγώνου είναι διάμεσος και διχοτόμος. γ. Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) με Α = Μονάδες 6 Δ = 90, η βάση ΑΒ = α και η ΓΔ = 3 α, όπου α γνωστό μήκος. Θεωρούμε τα Ε, Ζ, Η μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΔΕ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: Α. η ΗΖ = α Μονάδες 8 Β. το τετράπλευρο ΑΒΖΗ είναι παραλληλόγραμμο Μονάδες 8 Γ. Το τετράπλευρο ΕΒΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 9 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ), η Β = 30 και η κάθετος στο μέσο Μ της υποτείνουσας ΒΓ που τέμνει την ΑΒ στο Δ. Να δείξετε ότι: Α. ΜΔ = ΑΔ Μονάδες 15 Β. ΜΔ = ΑΒ 3 Μονάδες 10 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και στην προέκταση της διαγωνίου ΒΔ παίρνουμε τη ΔΕ = ΒΔ. Αν είναι Θ το μέσο του τμήματος ΑΔ και η προέκταση της ΓΔ τέμνει την ΑΕ στο Η, να αποδείξετε ότι: Α. Το σημείο Η είναι μέσο της ΑΕ. Μονάδες 7 Β. Τα τρίγωνα ΑΗΔ και ΓΔΘ είναι ίσα. Μονάδες 10 Γ. Η προέκταση της ΓΘ τέμνει κάθετα την ΑΕ στο Ι (ΓΙ ΑΕ) Μονάδες 8 4
Α. Να αποδείξετε ότι: Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα. Μονάδες 15 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση: α. Δύο ισόπλευρα τρίγωνα με ίσες περιμέτρους είναι ίσα. β. Αν οι διαγώνιες ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες, τότε είναι ορθογώνιο. γ. Σε ορθογώνιο τρίγωνο το μέσο της υποτείνουσας ισαπέχει από τις κορυφές του. δ. Αν ένας ρόμβος έχει ίσες διαγωνίους, τότε είναι τετράγωνο. ε. Ένα τραπέζιο που έχει δύο οποιεσδήποτε γωνίες του ίσες έχει και τις διαγώνιες ίσες πάντα. Μονάδες 10 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και στις προεκτάσεις της ΒΓ τα σημεία Ε, Ζ, τέτοια ώστε ΒΕ = ΓΖ. Να αποδειχθεί ότι: Α. Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές. Μονάδες 13 Β. Τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΑΓΕ είναι ίσα. Μονάδες 1 Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο και Ε, Ζ οι προβολές αντίστοιχα των Α, Β στη διαγώνιο ΔΒ. Α. Να αποδείξετε ότι ΑΕ = ΓΖ. Μονάδες 15 Β. Να αποδείξετε ότι το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 10 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α < 90 και Δ, Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα. ΑΒ Στο εξωτερικό του τριγώνου φέρνουμε τα τμήματα ΖΗ ΑΒ με ΖΗ =, ΕΘ ΑΓ με ΕΘ = ΑΓ. Να αποδείξετε ότι: Α. Το ΑΖΔΕ είναι παραλληλόγραμμο. Β. ΔΕ = ΖΗ και ΔΖ = ΕΘ. Γ. ΔΖΗ = ΔΕΘ. Μονάδες 8 Δ. Το τρίγωνο ΗΔΘ είναι ισοσκελές. Μονάδες 7 5
Α. Να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑΤΑ Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο με την τρίτη πλευρά και ισούται με το μισό της. Μονάδες 15 Β. Συμπληρώστε τις προτάσεις: α. Το παραλληλόγραμμο που έχει μία γωνία ορθή λέγεται β. Το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος λέγεται. γ. Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η μία οξεία γωνία ισούται με 30, τότε η από αυτήν.. ισούται με. δ. Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει.των μη παράλληλων πλευρών ενός τραπεζίου το ονομάζουμε.. του τραπεζίου. Μονάδες 10 Οι γωνίες Β και Δ τετραπλεύρου ΑΒΓΔ είναι ορθές. Αν Κ και Λ είναι τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, να δείξετε ότι: Α. ΚΒ = ΑΓ Β. ΚΔ = ΑΓ Γ. ΚΛ ΒΔ Μονάδες 15 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, και έστω Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Από την κορυφή Β φέρουμε την κάθετη στη διχοτόμο της ΑΔ, που τέμνει τη διχοτόμο αυτή στο Ε και την πλευρά ΑΓ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι: Α. Το τρίγωνο ΑΒΖ είναι ισοσκελές. Μονάδες 10 Β. ΖΓ = ΑΓ ΑΒ = β γ Μονάδες 10 Γ. ΜΕ = β γ Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ με Α = ΑΒ = ΓΔ = ΒΓ. Να δείξετε ότι: Δ = 90 τα Ε, Ζ είναι μέσα των πλευρών ΓΔ και ΒΓ και ισχύει Α. Το τετράπλευρο ΑΒΕΔ είναι ορθογώνιο Μονάδες 7 Β. Το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 6 Γ. Η γωνία Γ είναι 60. Μονάδες 6 Δ. Το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 6 6
Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. A Μονάδες 0 Β. Στο διπλανό σχήμα x Δ E να υπολογίσετε το x. B x+ Γ Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Αν Μ είναι το μέσο της βάσης του ΒΓ, να αποδείξετε ότι: Α. Το Μ ισαπέχει από τις ίσες πλευρές του τριγώνου. Μονάδες 1 Β. Η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν μεταξύ τους οι αποστάσεις του Μ από τις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Μονάδες 13 Από το έγκεντρο Ι τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε ευθεία παράλληλη της ΒΓ που τέμνει τις πλευρές του ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: ΔΕ = ΒΔ + ΓΕ Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα μέσα Ε, Ζ, Η, Θ των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο. 7
Α. Αν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές τότε: α. Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μία βάση είναι ίσες Μονάδες 8 β. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες. Μονάδες 7 Β. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις σαν Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ): α. Το σημείο τομής των διαμέσων ενός τριγώνου ΑΒΓ ισαπέχει από τις πλευρές του. β. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 360. γ. Δύο διαδοχικές γωνίες ενός παραλληλογράμμου είναι οξείες. δ. Στο παρακάτω σχήμα η γωνία ω = 78. ε. Κάθε παραλληλόγραμμο που μια γωνία του είναι ορθή είναι τετράγωνο. Μονάδες 10 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ <ΑΓ και Β >90. Προεκτείνω τη ΓΑ και παίρνω ΑΔ = ΑΒ και τη ΒΑ και παίρνω ΑΕ = ΑΓ. Αν η ΕΔ προεκτεινόμενη τέμνει την προέκτασή της ΓΒ στο Κ, τότε να δείξετε ότι: Α. ΑΒΓ = ΑΔΕ Μονάδες 1 Β. ΚΓΔ = ΚΒΕ Μονάδες 13 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο ( Α = 90 ) με Β = 60. Έστω Βx διχοτόμος της γωνίας Β και η ΓΔ Βx (Δ σημείο της Βx), να δείξετε: Α. ΑΒ = ΓΔ Β. ΟΑΔ ισοσκελές (Ο το σημείο τομής των ΑΓ και Βx) Γ. ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι Α = 10 και η διχοτόμος της γωνίας Δ τέμνει την ΑΒ στο μέσον Ε της ΑΒ. Να δείξετε ότι: Α. ΑΒ = ΑΔ Μονάδες 6 Β. ΔΕ = ΑΖ (όπου ΑΖ η κάθετη στη ΓΔ) Μονάδες 6 Γ. Αν Μ μέσο της ΓΔ δείξτε ότι το ΑΔΜ είναι ισόπλευρο Μονάδες 6 Δ. ΔΑΓ = 90 Μονάδες 7 8
Α. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρνουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 10 Β. Ποια γωνία λέγεται επίκεντρη, ποια εγγεγραμμένη και ποια η σχέση μεταξύ τους όταν βαίνουν στο ίδιο τόξο; Μονάδες 7 Γ. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία των παρακάτω πινάκων: Αν σε κυρτό τετράπλευρο οι διαγώνιοί του: Α. τέμνονται κάθετα στο μέσον τους Β. τέμνονται κάθετα στο μέσον τους και είναι ίσες Γ. τέμνονται στο μέσον τους Δ. τέμνονται στο μέσον τους και είναι ίσες ΕΙΝΑΙ Είδος του τετραπλεύρου α. παραλληλόγραμμο β. ορθογώνιο γ. τετράγωνο δ. ρόμβος ε. τραπέζιο Μονάδες 8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και στις προεκτάσεις των ΒΑ, ΓΑ παίρνουμε σημεία Δ, Ε αντίστοιχα έτσι ώστε ΑΔ = ΑΓ και ΑΕ = ΑΒ. Αν οι ευθείες ΔΕ και ΓΒ τέμνονται στο Μ, να δείξετε ότι: Α. τα τρίγωνα ΜΒΔ και ΜΕΓ είναι ίσα Μονάδες 9 Β. η ΜΑ είναι διχοτόμος της γωνίας Μ Μονάδες 8 Γ. η ΜΑ είναι μεσοκάθετος του ΒΕ. Μονάδες 8 Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε πάνω στις πλευρές ΑΒ, ΓΑ αντίστοιχα ώστε ΑΔ = ΓΕ. Αν οι ΒΕ, ΓΔ τέμνονται στο Ο, να δείξετε ότι: Α. οι γωνίες ΓΒΕ, ΑΓΔ είναι ίσες Μονάδες 1 Β. ΒΟΓ = 10 Μονάδες 13 Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ, ΓΔ. Αν οι διαγώνιες ΑΓ, ΒΔ τέμνονται κάθετα σ ένα σημείο Ο και Μ, Ν είναι τα μέσα των βάσεών του ΑΒ, ΓΔ αντίστοιχα, να δείξετε ότι: Α. Τα σημεία Μ, Ο, Ν είναι συνευθειακά. Μονάδες 8 B. Αν ΚΛ είναι η διάμεσος του τραπεζίου ΑΒΓΔ τότε ΜΝ = ΚΛ και το ΜΛΝΚ είναι ορθογώνιο. Μονάδες 10 Γ. Αν Ζ, Η είναι τα μέσα των διαγωνίων ΒΔ, ΑΓ αντίστοιχα τότε το ΜΗΝΖ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 7 9
Α. Να αποδείξετε ότι: «Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της». Β. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως Σ(σωστό) ή Λ(λάθος): Μονάδες 15 α. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, τότε σχηματίζουν τις εκτός και επί τα αυτά μέρη ίσες. β. Το απόστημα μιας χορδής είναι η απόσταση του κέντρου του κύκλου από τη χορδή. γ. Αν ένα τετράπλευρο έχει κάθετες διαγωνίους είναι ρόμβος. δ. Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν μία πλευρά ίση και δύο γωνίες μία προς μία ίσες. ε. Το σημείο τομής των διαμέσων σκαληνού τριγώνου είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου. Μονάδες 10 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Στην προέκταση της βάσης του θεωρούμε τα σημεία Δ και Ε προς το μέρος των Β και Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ = ΓΕ. Να δείξετε ότι: Α. ΑΔ = ΑΕ Μονάδες 13 Β. Αν ΒΖ ΑΔ και ΓΗ ΑΕ, να δείξετε ότι: ΒΖ = ΓΗ Μονάδες 1 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ και ΑΔ η διχοτόμος του. Α. Δείξτε ότι: ΑΔΓ ΑΔΒ = Β Γ Μονάδες 1 Β. Δείξτε ότι: ΑΔΒ = 90 Β Γ και Β Γ ΑΔΓ = 90 + Μονάδες 13 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α = Δ = 90, ΑΒ >ΓΔ, ΒΓ = 4ΓΔ και Β = 60. Φέρνουμε τη ΓΗ ΑΒ και θεωρούμε τα μέσα Ε, Ζ των πλευρών του ΑΔ, ΒΓ αντιστοίχως. Να δείξετε ότι: Α. Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. Μονάδες 7 Β. ΗΒ = ΕΖ Μονάδες 10 Γ. Το τετράπλευρο ΕΗΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 8 10
Α. Ποιο τετράπλευρο λέγεται παραλληλόγραμμο; Μονάδες 7 Β. Δείξτε ότι οι απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου είναι ίσες. Μονάδες 10 Γ. Συμπληρώστε τις ακόλουθες προτάσεις: α. Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοί του. β. Αν σε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοί του είναι ίσες τότε αυτό είναι γ. Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του ισούται. δ. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι. Μονάδες 8 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) προεκτείνουμε τη ΒΓ κατά ίσα τμήματα ΒΔ και ΓΕ. Α. Δείξτε ότι: το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές. Μονάδες 1 Β. Από τα Δ και Ε φέρνουμε τις καθέτους ΔΚ και ΕΛ στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Δείξτε ότι: ΔΚ = ΕΛ. Μονάδες 13 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) και Γ = 30. Φέρνουμε την κάθετη στη ΒΓ από το μέσον της Μ που τέμνει την ΑΓ στο Δ. Δείξτε ότι: Α. Η ΒΔ διχοτομεί τη γωνία Β. Μονάδες 8 Β. Η ΒΔ είναι μεσοκάθετος της ΑΜ. Μονάδες 8 Δ. ΑΔ = ΒΔ Μονάδες 9 Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Στην πλευρά ΑΒ παίρνουμε σημείο Ε και φέρνουμε το κάθετο τμήμα ΕΖ προς τη ΒΓ. Στην πλευρά του ΓΔ παίρνουμε τμήμα ΓΗ = ΑΕ και φέρνουμε το κάθετο τμήμα ΗΘ προς την ΑΔ. Α. Δείξτε ότι ΑΕΓΗ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 6 Β. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΕΒΖ και ΗΔΘ. Μονάδες 6 Γ. Δείξτε ότι ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 7 Δ. Δείξτε ότι: τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ, ΑΕΓΗ και ΕΖΗΘ έχουν κοινό κέντρο. Μονάδες 6 11
Α. Να αποδείξετε ότι: η διάμεσος που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας ορθογωνίου τριγώνου προς την υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 10 Β. Να δώσετε τον ορισμό του ρόμβου. Γ. Να κυκλώσετε το Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) των παρακάτω προτάσεων: α. Στο ισοσκελές τραπέζιο οι διαγώνιοι είναι ίσοι. β. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μία τρίτη ευθεία, τότε σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες. γ. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. δ. Δύο αμβλείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι παραπληρωματικές. ε. Αν ένα τετράπλευρο έχει 3 γωνίες ορθές είναι ορθογώνιο. Μονάδες 10 Θεωρούμε ορθογώνιο ΑΒΓΔ (διπλανό σχήμα) και Μ το μέσο της ΓΔ. Αν η ΒΜ τέμνει την ΑΔ στο Κ να αποδείξετε ότι: Α. τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΒΓΜ είναι ίσα Μονάδες 10 Β. τα τρίγωνα ΜΒΓ και ΔΜΚ είναι ίσα Μονάδες 10 Γ. το Δ είναι μέσο της ΑΚ K Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΒ > ΑΓ και ΑΔ το ύψος του. Αν Κ, Λ οι προβολές του Δ στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι: Α. το ΑΚΔΛ είναι ορθογώνιο και ΚΛ = ΑΔ B Μονάδες 10 Β. Αν Ο το σημείο τομής των ΚΛ, ΑΔ και Σ το μέσο της ΒΔ να αποδείξετε ότι: α. η ΣΟ είναι παράλληλη της ΑΒ β. η ΣΟ διέρχεται από το μέσο της ΑΛ A M Γ γ. αν Μ το μέσο της ΑΛ, τότε ΑΒ + ΔΛ = ΣΜ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το ύψος του ΑΕ. Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: Α. το τετράπλευρο ΚΛΓΔ είναι παραλληλόγραμμο Β. το τετράπλευρο ΚΛΓΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο Μονάδες 10 Γ. η ΚΛ είναι διχοτόμος της γωνίας ΕΚΑ Δ. Αν επιπλέον ΔΕ = ΛΓ, να υπολογίσετε τη γωνία ΔΑΕ. Δ Δ A K K A O E Σ M Δ Γ B Γ Λ B 1