POSITIVE AND NEGATIVE RELATIONSHIPS

Σχετικά έγγραφα
The DeGroot model for Social Influence and Opinions

Το μοντέλο DeGroot και το Παίγνιο Επιρροής

Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs)

Παράδειγµα (4) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (2) Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. v 2. u 3.

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (2)

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

z 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

q(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

E(G) 2(k 1) = 2k 3.

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Network Science. Θεωρεία Γραφηµάτων (2)

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

f e Γράφημα (Graph) Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής ΑΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

βασικές έννοιες (τόμος Β)

NP-complete problems. IS, 4-Degree IS,CLIQUE, NODE COVER, MAX CUT, MAX BISECTION, BISECTION WIDTH. NP-complete problems 1 / 30

Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

P = (J, B) T = (I, A) P = (J, B) G = (V, E) i 1 i i + 1

Ενότητα 5: ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Γραφήματα οικογένειας παραβολών

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Ρίζου Ζωή

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων

Μορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Εξαντλητική μέθοδος

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Γλώσσες & Τεχνικές 4 ο Εξάμηνο. - Ενότητα 9 - Δημοσθένης Σταμάτης Τμήμα Πληροφορικής

Αφηρημένες Δομές Δεδομένων. Στοίβα (Stack) Υλοποίηση στοίβας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1

Εισαγωγή στους Αλγόριθμους

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Διάλεξη 4: Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Συνεκτικότητα. 25 -Γράφοι

1 Διάσχιση κατευθυνόμενων γραφημάτων

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Φροντιστήριο 11 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Outline 1 Άσκηση 1 2 Άσκηση 2 3 Άσκηση 3 4 Άσκηση 4 5 Άσκηση 5 6 Προγραμματιστική Άσκηση 1 7 Προγραμματιστική Άσκηση 2 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Π(n) : 1 + a + + a n = an+1 1 a 1. a 1. + a k+1 = ak+2 1

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ


Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

Transcript:

Networks, Crowds, and Markets: Reasoning about a Highly Connected World. POSITIVE AND NEGATIVE RELATIONSHIPS DAVID EASLEY AND JON KLEINBERG Ανδριόπουλος Ανδρέας, Καφετζής Θεμιστοκλής ΠΜΣ ΕΤΥ Θεωρία Γραφημάτων και Πρακτικές Εφαρμογές της

ισαγωγή Έως τώρα, οι σχέσεις στα δίκτυα προσδίδουν θετικό νόημα (όπως φιλία, συνεργασία, μετάδοση πληροφορίας κτλ.) Όμως Θετικές συνδέσεις: Που αντιπροσωπεύουν φιλία. Αρνητικές συνδέσεις: Που αντιπροσωπεύουν τον ανταγωνισμό. Πώς τοπικά φαινόμενα μπορούν να έχουν γενικές επιπτώσεις.

εριεχόμενα Δομική ισορροπία (Structural Balance) Χαρακτηρίζοντας τη δομή των ισορροπημένων δικτύων Εφαρμογές της δομικής ισορροπίας Μια ασθενέστερη μορφή της δομικής ισορροπίας Γενικεύοντας τον ορισμό της δομικής ισορροπίας

ομική ισορροπία (Structural Balance) Πλήρες γράφημα με ετικέτες στις ακμές έτσι ώστε: + όταν τα άκρα της ακμής είναι φίλοι. - όταν τα άκρα της ακμής είναι εχθροί. Εξετάζονται δομές Τριγώνων, οι οποίες χαρακτηρίζονται: Balanced ή Unbalanced

ομική ισορροπία (Structural Balance)

ομική ισορροπία για Δίκτυα ρισμός Για κάθε ομάδα τριών κόμβων, αν λάβουμε υπόψη τις τρείς ακμές που τις συνδέουν, τότε και οι τρεις ακμές έχουν ετικέτα +, ή αλλιώς ακριβώς μια από αυτές έχει ετικέτα +. Σκοπός ενός balance δικτύου είναι η εξάλειψή των unbalanced τριγώνων.

ομική ισορροπία για Δίκτυα

αρακτηρίζοντας τη δομή των ορροπημένων δικτύων Θεώρημα Εάν υπάρχει ένα πλήρες γράφημα με ετικέτες είναι balance, τότε όλα τα ζεύγη των κόμβων είναι φίλοι ή αλλιώς οι κόμβοι μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες, Χ και Υ, έτσι ώστε κάθε ζεύγος κόμβων στο Χ να είναι φίλοι ο ένας με τον άλλο, κάθε ζεύγος κόμβων στο Υ να είναι επίσης φίλοι ο ένας με τον άλλον, και όλοι στο Χ να είναι ο εχθρός όλων στο Y.

αρακτηρίζοντας τη δομή των ορροπημένων δικτύων

αρακτηρίζοντας τη δομή των ορροπημένων δικτύων Απόδειξη

φαρμογές της δομικής ισορροπίας ιεθνείς σχέσεις (1/2) Η USA προσπάθησε να βελτιώσει τις σχέσεις με Κίνα. Η Κίνα υποστηρίζει το Πακιστάν εφόσον και οι δύο έχουν έναν κοινό εχθρό την Ινδία. USSR China + + India Αποτέλεσμα της δομικής ισορροπίας η USA να υποστηρίζει το Πακιστάν. USA + Pakist an Moore 1978

φαρμογές της δομικής ισορροπίας ιεθνείς σχέσεις (2/2)

φαρμογές της δομικής ισορροπίας πιστοσύνη, δυσπιστία και on-line βαθμολογία Ορισμένα online networks επιτρέπουν στους ανθρώπους να εκφράσουν θετικά και αρνητικά συναισθήματα. Παραδείγματα

ια ασθενέστερη μορφή της δομικής ορροπίας Ορισμός Δεν υπάρχει σύνολο τριών κόμβων έτσι ώστε οι ακμές μεταξύ τους να αποτελούνται από ακριβώς δύο θετικές ακμές και μια αρνητική ακμή

ια ασθενέστερη μορφή της δομικής ορροπίας

αρακτηρίζοντας τη δομή των σθενέστερων ισορροπημένων δικτύων Εάν υπάρχει πλήρες γράφημα με επισήμανση ασθενώς ισορροπημένο, τότε οι κόμβοι του μπορούν να χωριστούν σε ομάδες με τέτοιο τρόπο ώστε : κάθε δύο κόμβοι που ανήκουν στην ίδια ομάδα είναι φίλοι και κάθε δύο κόμβοι που ανήκουν σε διαφορετικές ομάδες είναι εχθροί.

ια ασθενέστερη μορφή της δομικής ορροπίας Απόδειξη

νικεύοντας Τι θα συμβεί αν μόνο ορισμένα ζευγάρια ανθρώπων γνωρίζουν ο ένας τον άλλο ; Τι θα συμβεί αν τα περισσότερα τρίγωνα είναι ισορροπημένα, τότε μπορούμε να πούμε ότι ο κόσμος μπορεί να είναι περίπου χωρισμένος σε δύο ομάδες ; Ανάλυση θεωρίας γραφημάτων με χρήση της κατά πλάτους αναζήτησης Τύπος απόδειξης γνωστός ως counting argument Θα γίνει χρήση του αρχικού ορισμού της δομικής ισορροπίας

ομική ισορροπία σε μη πλήρη δίκτυα Γεμίζοντας το γράφημα με τις ακμές που λείπουν, δημιουργώντας έτσι ένα πλήρη γράφημα. Διαχωρίζοντας το γράφημα σε δύο σύνολα Χ και Υ. Τα Χ και Υ περιέχουν μόνο θετικές σχέσεις ενώ μεταξύ τους υπάρχουν μόνο αρνητικές σχέσεις. Είναι ισοδύναμες μεταξύ τους.

αρακτηρίζοντας την ισορροπία σε δίκτυα Ξεκινώντας από τον κόμβο 1 τοποθετούμε τους κόμβους στα δύο σύνολα X και Y Κάθε φορά που διασχίζουμε αρνητική ακμή, αλλάζουμε σύνολο

αρακτηρίζοντας την ισορροπία σε ίκτυα Ένα γράφημα είναι ισορροπημένο, αν και μόνο αν δεν περιέχει κανένα κύκλο με περιττό αριθμό αρνητικών ακμών Απόδειξη με σχεδιασμό ενός μοντέλου. Βήματα 1 ο μετατροπή του γραφήματος σε ένα μειωμένο με μόνο αρνητικές ακμές 2 ο επίλυση προβλήματος, στο μειωμένο πλέον γράφημα

πόδειξη - 1 ο Βήμα Ομαδοποιούμε τους κόμβους που συνδέονται με θετικές σχέσεις, δημιουργώντας με αυτόν τον τρόπο υπερκόμβους (supernote). Κάθε υπερκόμβος εσωτερικά έχει μόνο θετικές σχέσεις ενώ εξωτερικά συνδέονται με άλλους υπερκόμβους με αρνητικές σχέσεις.

αρακτηρίζοντας την ισορροπία σε ίκτυα Απόδειξη

πόδειξη - 2 ο Βήμα Δυο πιθανά τα αποτελέσματα : μια διαίρεση των κόμβων σε δύο σύνολα ή έναν κύκλο περιττού μήκους αρνητικών ακμών

πόδειξη - 2 ο Βήμα αρμογή BFS Αν όλες οι ακμές συνδέουν κόμβους σε γειτονικά επίπεδα τότε το γράφημα είναι ισορροπημένο. Αν υπάρχει σύνδεση μεταξύ δύο κόμβων στο ίδιο επίπεδο τότε το γράφημα δεν είναι ισορροπημένο.

ερίπου ισορροπημένα δίκτυα ρωτότυπο Θεώρημα Ισορροπίας Αν όλα τα τρίγωνα σε ένα πλήρες γράφημα με ετικέτες στις ακμές είναι ισορροπημένα, τότε είτε (α) όλα τα ζεύγη των κόμβων είναι φίλοι, ή αλλιώς (β) οι κόμβοι μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες, Χ και Υ, έτσι ώστε (i) κάθε ζεύγος κόμβων στο X αρέσει ο ένας στον άλλον, (ii) κάθε ζεύγος κόμβων στο Υ αρέσει ο ένας στον άλλον, και (iii) ο κάθε ένας στο Χ είναι ο εχθρός του κάθε ενός στο Υ

εώρημα Αν τουλάχιστον 99.9% από όλα τα τρίγωνα σε ένα πλήρες γράφημα με ετικέτες στις ακμές είναι ισορροπημένα, τότε είτε (α) υπάρχει ένα σύνολο που αποτελείται από τουλάχιστον 90% από τους κόμβους στα όπου τουλάχιστον το 90% από όλα τα ζευγάρια είναι φίλοι, ή αλλιώς (β) οι κόμβοι μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες, Χ και Υ, έτσι ώστε (i) τουλάχιστον 90% των ζευγών κόμβων στο X αρέσει ο ένας στον άλλον, (ii) τουλάχιστον 90% των ζευγών κόμβων στο Υ αρέσει ο ένας στον άλλον, και (iii) τουλάχιστον 90% των ζευγών κόμβων με το ένα άκρο στο Χ και το άλλο άκρο στο Υ είναι εχθροί

εώρημα Γενίκευση Έστω ε ένας αριθμός τέτοιος ώστε 0 ε < 1/8 και ορίζουμε ως δ = ε. Αν τουλάχιστον 1-ε από όλα τα τρίγωνα σε ένα πλήρες γράφημα με ετικέτες στις ακμές είναι ισορροπημένα, τότε είτε (α) υπάρχει ένα σύνολο που αποτελείται από τουλάχιστον 1-δ από τους κόμβους όπου τουλάχιστον το 1-δ από όλα τα ζευγάρια είναι φίλοι, ή αλλιώς (β) οι κόμβοι μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες, Χ και Υ, έτσι ώστε (i) τουλάχιστον 1-δ των ζευγών κόμβων στο X αρέσει ο ένας στον άλλον, (ii) τουλάχιστον 1-δ των ζευγών κόμβων στο Υ αρέσει ο ένας στον άλλον, και (iii) τουλάχιστον 1-δ των ζευγών κόμβων με το ένα άκρο στο Χ και το άλλο άκρο στο Υ είναι εχθροί

ρχικά Έστω Ν το πλήθος των κορυφών τότε: Το πλήθος των ακμών είναι : Το πλήθος των τριγώνων είναι :

πόδειξη 1 ο Βήμα ρεση του καλού κόμβου Έχουμε : Τότε Τότε Επειδή ισχύει

πόδειξη 2 ο Βήμα Διαχωρισμός του αφήματος σύμφωνα με τον καλό κόμβο Υπάρχουν το πολύ : στο Χ στο Υ αρνητικές ακμές αρνητικές ακμές θετικές ακμές με το ένα άκρο στο Χ και το άλλο στο Υ

πόδειξη 2 ο Βήμα Διαχωρισμός του αφήματος σύμφωνα με τον καλό κόμβο Έχουμε ότι ο ισχυρισμός ισχύει : για σχεδόν το σύνολο των Χ ή Υ Οπότε έστω x οι κόμβοι του Χ και y οι κόμβοι του Y, αλλά και Οπότε αν ο Χ περιέχει τουλάχιστον(1-δ)ν κόμβους θα έχει τουλάχιστον 1-δ ζεύγη φίλων Ομοίως για τον Y

πόδειξη 2 ο Βήμα Διαχωρισμός του αφήματος σύμφωνα με τον καλό κόμβο Έχουμε ότι ο ισχυρισμός ισχύει : για έναν αμελητέο αριθμό κόμβων Οπότε έστω xy οι ακμές που έχουν το ένα άκρο στο Χ και το άλλο στο Y, αλλά και με κάθε x, y πολύ μικρότερο από Οπότε θα έχει τουλάχιστον 1-δ ζεύγη κόμβων με το ένα άκρο στο Χ και το άλλο άκρο στο Υ που θα είναι εχθροί

πόδειξη 2 ο Βήμα Διαχωρισμός του αφήματος σύμφωνα με τον καλό κόμβο Τελικά, για το ποσοστό των αρνητικών σχέσεων στο Χ ή Υ έχουμε Το πλήθος τον ακμών στο Χ να είναι ενώ ισχύει ότι Οπότε θα έχει τουλάχιστον 1-δ ζεύγη κόμβων στο X που θα αρέσει ο ένας στον άλλον Ομοίως και για το Y

Σας ευχαριστούμε!