هرگاه دسته اي از اشیاء حروف و اعداد و... که کاملا"مشخص هستند با هم در نظر گرفته شوند یک مجموعه را به وجود می آورند. عناصر تشکیل دهنده ي یک مجموعه باید دو شرط اساسی را داشته باشند. نام گذاري مجموعه : الف ( کاملا"مشخص باشند. ب ( متمایز باشند. مجموعه را معمولا"با حروف بزرگ الفباي لاتین و B و C و D و... نام گذاري می کنند. نمایش مجموعه : ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ براي نمایش مجموعه روشهاي مختلفی وجود دارد. الف ( استفاده از نمودار ون» هندسی «B ب ( استفاده از جملات و } { ) تفصیلی ( نمودار ون ج ( استفاده از علاي م ریاضیات ) توصیفی ( *تمرین : کدامیک از مثالهاي زیر می توانند یک مجموعه تشکیل دهند. الف ( گل هاي خوشبو د ( دو شهر ایران ز ( 20 عدد طبیعی عضو بودن : ب ( سه حرف الفباي لاتین ه ( مقسوم علیه هاي اول عدد 60 ح ( 4 عدد زوج کوچکتر از 10 ج ( فوتبالیستهاي معروف و ( اعداد طبیعی ط ( اعداد اول کوچکتر از 20 هر عنصري که در یک مجموعه وجود دارد و از سایر عنصرها جدا می باشد عضو آن مجموعه می باشد و براي نمایش عضو بودن آن از علامت استفاده می شود. اگر عنصر عضو مجموعه است می گوي یم است. مجموعه هاي متناهی : اگر تعداد عضوهاي یک مجموعه شمارا باشد آن مجموعه را متناهی می گوي یم. مجموعه هاي نامتناهی : اگر تعداد عضوهاي یک مجموعه ناشمارا باشد آن مجموعه را نامتناهی می گوي یم. ١
مجموعه تهی : حجت زهري مجموعه اي که هیچ عضوي نداشته باشد مجموعه ي تهی می نامیم. براي نمایش مجموعه تهی از علامت و یا } { استفاده می شود. {{ }} { } نکته : موارد مقابل مجموعه تهی نمی باشند. {تهی} *مثال : کدام مورد صحیح و کدام مورد نادرست است. 1) { } 6) {, } {{, }} 2) {{ }} 7 ) { } 3) { } { } 8) { } 4) {{, }} 9) { } { } } { تهی 10) }}, {{ } { 5) R,,, Z,, N,,, مجموعه هاي بی پایان معروف : R مجموعه اعداد فرد مجموعه اعداد صحیح Z مجموعه اعداد حقیقی مجموعه اعداد زوج مجموعه اعداد اول مجموعه اعداد حسابی مجموعه اعداد طبیعی N مجموعه اعداد گویا Q مجموعه اعداد گنگ Q زیر مجموعه : هرگاه با عضوهاي یک مجموعه مجموعه ي جدیدي بسازیم مجموعه ي جدید را زیر مجموعه ي مجموعه ي اول می گویند هرگاه با عضوهاي موجود در مجموعه مجموعه ي B را می سازیم می گوییم : است. مجموعه ي B زیر مجموعه ي مجموعه ي است اگر به ازاي هر داشته باشیم ٢ B
*مثال : تمام زیر مجموعه هاي مجموعه ي {β}, را بنویسید. *مثال : تمام زیر مجموعه هاي مجموعه ي {2,3},{2} را بنویسید. ( عدد اصلی مجموعه :(. ( ) مجموعه مانند را عدد اصلی می گویند و با نمایش می دهند تعداد عضوهاي یک نکته : عدد اصلی فقط براي مجموعه هاي متناهی تعریف می شود. ={{1},{1,1,1},{1}} ( ) = = {1,2,3,4,5,,100} ( ) = = {4,7,10,13,,214} ( ) = مجموعه هاي یک مجموعه n عضوي : کشف رابطه تعداد زیر... =تعداد زیر مجموعه 0 = ) ( ( ) =1 ( ) =2 ( ) = 3 ( ) =4 = تعداد زیر مجموعه = تعداد زیر مجموعه تعداد زیر مجموعه = = تعداد زیر مجموعه.... = تعداد زیر مجموعه )= (............. = تعداد زیر مجموعه =5 ) ( *مثال : با اضافه شدن هر عضو تعداد زیر مجموعه ها چند برابر می شود *مثال : تعداد زیر مجموعه هاي یک مجموعه 2 + K عضوي چند برابر تعداد زیر مجموعه هاي یک مجموعه ي 2 - K عضوي است ٣
*مثال : تعداد زیر مجموعه هاي یک مجموعه 3+ K عضوي 8 برابر تعداد زیر مجموعه هاي یک مجموعه 1-2K عضوي است مقدار K چند است *مثال : تعداد زیر مجموعه هاي یک مجموعه K+4 عضوي از تعداد زیر مجموعه هاي یک مجموعه +K 1 عضوي 224 واحد بیشتر است مقدار K چه عددي می باشد *مثال : تعداد زیر مجموعه هاي یک مجموعه 1+K عضوي از سه برابر تعداد زیرمجموعه هاي یک مجموعه 1-K عضوي 16 واحد بیشتر است مقدار K چه قدر است تعداد زیر مجموعه هايK عضوي یک مجموعه n عضوي :! ( )!! = ) توجه شود به مبحث ترکیبات ( = تعداد زیرمجموعه هاي 2 عضوي : خلاصه فرمول 2 = ( 1) 2 = تعداد زیرمجموعه هاي 3 عضوي 3 = ( 1) ( 2) 6 *مثال : یک مجموعه 7 عضوي در هر یک از حالت زیر داراي چند زیر مجموعه است ب ( 3 عضوي د ( 6 عضوي الف ( یک عضوي ج ( دو عضوي زیر مجموعه هاي محض : به تمام زیر مجموعه هاي یک مجموعه غیر از خود آن مجموعه زیر مجموعه هاي محض آن مجموعه می گویند. *مثال :یک مجموعه 5 عضوي چند زیر مجموعه محض دارد = 2 1 تعداد زیر مجموعه هاي محض *مثال : اگر {{ },, 3 و 2 }= باشد درستی یا نادرستی هر یک از عبارتهاي زیر را مشخص کنید ٤
{ } { } {2,3} {2,3}, { } {3} {{2}}. : مجموعه ي توانی ) ( نامیم. هرگاه تمام زیر مجموعه هاي یک مجموعه را نوشته و آنها را در یک مجموعه ي جدید قرار دهیم مجموعه جدید را مجموعه توانی می مجموعه ي زیر مجموعه ها را مجموعه ي توانی می نامیم. ={2,3} P()={{ 2},{3},{2,3}, } n(p()= می باشد. نتیجه : اگر n()=k باشد 2 *مثال : مجموعه توانی مجموعه {{ }, }= را بنویسید. *مثال : اگر 3 الف ( n(p()) چند است به سي ولات زیر پاسخ دهید. n()= باشد ب ( n(p(p(a))) چند است ج ( P(P()) چند زیر مجموعه دارد *اگر n(p(p(p(a))))=2 16 باشد n() چند است *اگر{,{ )P }}=() },{ 1},{ باشد مجموعه ي را بنویسید را بنویسید. *مجموعه ي((( P(P(P( *اگر{{{ }}}= و {{ }, }=B کدام یک از گزینه هاي زیر درست است ( ) ( ) P() ( ) *اگر {{,, },{ }}=B مجموعه ي P(P(B)) را مشخص کنید ٥
نوشتن مجموعه ها با علاي م ریاضی و بر عکس : هر یک از مجموعه هاي مقابل را با نوشتن عضوها مشخص کنید. ={, 2 = } B={, 3 = } C={ 3, 2 < 20} D={ 2 1 1, < 3} E={ 2, < 40} F={, 1 } G={2 3,, 2 + = 5} H={( 1) } I={2 +,,, 3} هریک از مجموعه هاي مقابل را با علاي م ریاضیات بنویسید. :{1,11,111, } B:{1,8,27, } C:{ 1, 2, 3, 4, } 2 3 4 5 D:{7,8,11,16,23, } E:{-1,1,-1,1,-1,1, } H:{-2,+5,-10,+17,-26, } K:{-1,0,7,26, } ٦
بسته بودن یک مجموعه نسبت به عملهاي اصلی: می گوي یم مجموعه ي نسبت به هر یک از چهار عمل اصلی + و و و بسته است هر گاه هر کدام از دو عضو دلخواه از مجموعه ي را نسبت به هر یک از عملهاي اصلی محاسبه کردیم حاصل بدست آمده باز هم عضوي از همان مجموعه باشد (تذکر : می توانیم هر عضو را با خودش نیز در نظر بگیریم ( مثال : هر کدام از مجموعه هاي مقابل نسبت به کدامیک از چهار عمل اصلی بسته است ) مثال نقض بیاورید ( 1 و 0 و 1 N Z {...و 7 و 5 و 3 و 1 } {2 2 1 x } {...و 125 و 25 و 5 } R-Q *مثال : یک مجموعه ي تک عضوي مثال بزنید که نسبت به عمل جمع و تفریق و ضرب بسته باشد. *مثال : چه عضوي را به مجموعه ي{...و 4 و 2 و 2 - و 4... و- }= اضافه کنیم تا مجموعه ي حاصل نسبت به عمل جمع بسته باشد حجت زهري ٧