o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - -. Δύναμη Α. Έννοια: Δύναμη () είναι η αιτία για τις επιταχύνσεις και τις παραμορώσεις που προκαλούνται στα σώματα. Μονάδα δύναμης είναι το Ν (Newton). Β. Ο διανυσματικός χαρακτήρας της δύναμης: H δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος άρα για την περιγραή της χρειάζονται τρία στοιχεία, το σημείο εαρμογής (το σημείο στο οποίο ασκείται η δύναμη), το μέτρο και η κατεύθυνση (ευθεία ενέργειας και ορά). Γ. Μέτρηση της δύναμης: H μέτρηση της δύναμης γίνεται συνήθως με το δυναμόμετρο η λειτουργία του οποίου στηρίζεται στον νόμο των ελαστικών παραμορώσεων του Hooke. Δ. Νόμος των ελαστικών παραμορώσεων του Hooke: «οι ελαστικές παραμορώσεις είναι ανάλογες προς τις αιτίες που τις προκαλούν». Αν το σώμα που παραμορώνεται είναι ένα ελατήριο σκληρότητας k, τότε ισχύει = kδl όπου η δύναμη και Δl η παραμόρωση (μεταβολή του μήκους) του ελατήριου. Αν με την επίδραση της δύναμης το ελατήριο παραμορώνεται κατά Δl και με την επίδραση της δύναμης το ελατήριο Δl Δl παραμορώνεται κατά Δl, τότε για τις δυνάμεις ισχύει Δl = Δl. Αν μετρήσουμε τις παραμορώσεις και ξέρουμε την μία δύναμη, μπορούμε να υπολογίσουμε την άλλη. Αν κατασκευάσουμε το διάγραμμα παραμόρωσης Δl = σε συνάρτηση με την δύναμη που ασκείται στο ελατήριο θα έχουμε το διπλανό διάγραμμα. Από την κλίση του διαγράμματος μπορούμε να υπολογίσουμε την σκληρότητα k του ελατηρίου. Για το k ισχύει k = και στο S.I. η μονάδα Δl μέτρησης είναι το N/m. (m) 0 (N)
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - -. Συνισταμένη δυνάμεων σε άξονα Σύνθεση δυο δυνάμεων : Αν σε ένα σημείο ασκούνται δύο δυνάμεις μπορούν να αντικατασταθούν από μια δύναμη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα με αυτές. Η δύναμη αυτή λέγεται συνιστάμενη και η εργασία για την εύρεση της, σύνθεση των δυο δυνάμεων. ❶ Δυνάμεις με ίδια κατεύθυνση : Η συνιστάμενη έχει την ίδια κατεύθυνση με τις δυνάμεις και μέτρο ίσο με το άθροισμα των μέτρων τους. = +. ολ ❷ Δυνάμεις με αντίθετες κατευθύνσεις : Η συνιστάμενη τους έχει την κατεύθυνση της μεγαλύτερης δύναμης και μέτρο ίσο με την απόλυτη διαορά των μέτρων τους. = -. ολ 3. Συνισταμένη δυνάμεων στο επίπεδο Α. Σύνθεση δύο συντρεχουσών δυνάμεων : Η συνιστάμενη δυο δυνάμεων και που σχηματίζουν γωνία προσδιορίζεται με την μέθοδο του παραλληλόγραμμου όπως αίνεται στο σχήμα. Το μέτρο της συνιστάμενης και η γωνία θ που σχηματίζει η συνιστάμενη με την δύναμη υπολογίζονται από τις σχέσεις : θ ολ = + + συν ή ολ = + + συν ολ ημ ημθ = ολ ημ εθ =. + συν ή Κάθετες δυνάμεις : Όταν οι δύο δυνάμεις είναι κάθετες οι σχέσεις απλοποιούνται και έχουμε : = + ή ολ = + ολ εθ =. ημθ = ή θ ολ ολ Β. Ανάλυση δύναμης σε δύο κάθετες συνιστώσες : Σε τυχαίο ορθογώνιο σύστημα αξόνων η δύναμη σχηματίζει γωνία με τον άξονα. Αυτή με την μέθοδο των προβολών αναλύεται σε δυο συνιστώσες τις και. Για τις συνιστώσες ισχύει : = συν και = ημ 0 4. ος νόμος Newton Α. Αδράνεια : Είναι η ιδιότητα των υλικών σωμάτων να διατηρούν την κινητική τους κατάσταση σταθερή και να αντιστέκονται σε κάθε μεταβολή της.
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 3 - Β. ος νόμος Newton: «Κάθε σώμα διατηρεί την κατάσταση ακινησίας ή ευθύγραμμης ομαλής κίνησης εόσον δεν ασκείται σε αυτό δύναμη». παρατήρηση: Ο νόμος αυτός εισάγει μια ισοδυναμία ανάμεσα στην κατάσταση «ακινησίας» και «ευθύγραμμης ομαλής κίνησης». Δηλαδή τα συστήματα σταθερής ταχύτητας είναι ισοδύναμα. Η τιμή της σταθερής ταχύτητας υ = 0 ή υ 0 εξαρτάται από την επιλογή του συστήματος αναοράς. Γ. Ισορροπία: Όταν ένα υλικό σημείο ισορροπεί η συνιστάμενη όλων των δυνάμεων,... ν που ασκούνται σε αυτό είναι ίση με μηδέν. Δηλαδή ολ = Σ ν = 0. Για συγγραμμικές δυνάμεις: Αν με Σ συμβολίσουμε το άθροισμα των αλγεβρικών τιμών των συνιστωσών όλων των δυνάμεων στον άξονα τότε μπορούμε να γράψουμε : Σ = 0 ή Σ = 0 Αυτή είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ισορροπία συγγραμμικών δυνάμεων. 5. ος νόμος Newton Α. Επιτάχυνση και δύναμη: Αν ασκήσουμε δύναμη σε ένα σώμα αυτό αποκτά επιτάχυνση και μάλιστα η επιτάχυνση είναι ανάλογη με την δύναμη και έχει την ίδια διεύθυνση με αυτήν. Μπορούμε επομένως να γράψουμε την σχέση : α =. Ο συντελεστής αναλογίας m ονομάζεται μάζα αδράνειας του σώματος ή m απλά μάζα. Β. Αδράνεια και μάζα: Ο λόγος των μαζών δυο σωμάτων είναι ίσος με το αντίστροο του λόγου των επιταχύνσεων που θα αποκτήσουν με την επίδραση μιας κοινής δύναμης. Άρα μπορούμε να γράψουμε m α =. Αν το ένα από τα δυο σώματα είναι ένα πρότυπο μάζας (πχ το πρότυπο kg) τότε μπορούμε να m α υπολογίσουμε την μάζα του αλλού σώματος. Γ. Θεμελιώδης νόμος της δυναμικής ή ος νόμος Newton (απλοποιημένη μορή αν m = σταθερή): Για οποιοδήποτε σώμα μάζας m στο οποίο ασκείται δύναμη προσδίδεται επιτάχυνση α με την κατεύθυνση της δύναμης και ισχύει : α = = mα m Από την τελευταία σχέση μπορούμε να ορίσουμε την μονάδα δύναμης Ν : «Ν (Newton) είναι η δύναμη η οποία ασκούμενη σε σώμα μάζας kg προκαλεί επιτάχυνση m/s». παρατήρηση : Στην σχέση = m α το σύμβολο παριστάνει την συνιστάμενη όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. Δ. Διερεύνηση της σχέσης = mα Αν η ολική δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι μηδέν Από την σχέση = mα συμπεραίνουμε ότι η επιτάχυνση α είναι μηδέν άρα το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα. (Αν το σώμα αρχικά ήταν ακίνητο θα συνεχίσει να είναι ακίνητο ή αν το σώμα αρχικά είχε ταχύτητα θα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση). Αν η ολική δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι σταθερή
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 4 - Από την σχέση = mα συμπεραίνουμε ότι η επιτάχυνση α είναι σταθερή άρα το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Αν η ολική δύναμη που ασκείται στο σώμα δεν είναι σταθερή Από την σχέση = mα συμπεραίνουμε ότι η επιτάχυνση α δεν είναι σταθερή άρα το σώμα κάνει επιταχυνόμενη κίνηση. Ε. Το βάρος και η μάζα: Βάρος (w) ενός σώματος λέγεται η ελκτική δύναμη που ασκεί η Γη στο σώμα. Αν στο σώμα ασκείται μόνο το βάρος τότε αυτό αποκτά επιτάχυνση g (επιτάχυνση της βαρύτητας). Αν m w εαρμόσουμε τον θεμελιώδη νόμο της δυναμικής έχουμε : w = m g. Για δύο σώματα ισχύει = m w. Άρα μπορούμε να μετρήσουμε την μάζα ενός σώματος (δηλ. τον λόγο της ως προς μία άλλη που είναι η μονάδα μέτρησης) από τον λόγο των δύο βαρών. Η μάζα ενός σώματος είναι σταθερή, ενώ το βάρος μεταβάλλεται από τόπο σε τόπο. Η μάζα που προκύπτει από την μέτρηση της δύναμης του βάρους ονομάζεται βαρυτική μάζα. Η βαρυτική μάζα και η μάζα αδράνειας πρακτικά ταυτίζονται (όταν οι ταχύτητες είναι πολύ μικρότερες από την ταχύτητα του ωτός στο κενό). 6. Ο ος νόμος του Newton στο επίπεδο Για οποιοδήποτε σώμα μάζας m στο οποίο ασκείται δύναμη προσδίδεται επιτάχυνση α με την κατεύθυνση της δύναμης και ισχύει : α = = mα m Αν σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων οι συνιστώσες της δύναμης είναι και και της επιτάχυνσης α και α τότε η διανυσματική εξίσωση = mα είναι ισοδύναμη με τις αλγεβρικές εξισώσεις = m α και = m α. Α. Σύστημα σωμάτων: 7. Αλληλεπίδραση σωμάτων Δυνάμεις Ονομάζεται μία ομάδα σωμάτων, που τα μελετάμε σαν ένα σώμα. Κάθε σώμα που δεν ανήκει στο σύστημα λέμε ότι ανήκει στο εξωτερικό περιβάλλον του συστήματος. Οι δυνάμεις που ασκούνται από σώματα του συστήματος σε άλλα σώματα του ίδιου συστήματος ονομάζονται εσωτερικές δυνάμεις, ενώ οι δυνάμεις που ασκούνται από σώματα έξω από το σύστημα σε σώματα του συστήματος ονομάζονται εξωτερικές δυνάμεις. Β. Δυνάμεις επαής και δυνάμεις από απόσταση: Οι δυνάμεις διακρίνονται σε δυνάμεις επαής (δύναμη από νήμα, δύναμη στήριξης, τριβή, δύναμη ελατηρίου, άνωση...) και σε δυνάμεις από απόσταση ή δυνάμεις από πεδίο [που είναι τέσσερις: βάρος, ηλεκτρομαγνητική δύναμη (ηλεκτρική και μαγνητική δύναμη), ασθενής πυρηνική (υπεύθυνη για την διάσπαση β), ισχυρή πυρηνική (υπεύθυνη για την συγκράτηση των συστατικών του πυρήνα)]. Δύναμη στήριξης: Είναι μία δύναμη επαής που εμανίζεται όταν δύο σώματα είναι σε επαή άρα αλληλοσυμπιέζονται. Είναι κάθετη στην κοινή επιάνεια επαής των δύο σωμάτων, παριστάνεται με ένα διάνυσμα που είναι κάθετο στην κοινή επιάνεια με κατεύθυνση προς το μέρος του σώματος στο οποίο ασκείται. Ονομάζεται και κάθετη αντίδραση ( k ή N ).
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 5 - Δύναμη από νήμα: Είναι δύναμη επαής που ασκείται στα σώματα που είναι δεμένα στα δύο άκρα τεντωμένου νήματος και έχει κατεύθυνση από το σώμα προς το νήμα. Οι δυνάμεις Τ ν και Τ ν έχουν ίσα μέτρα για ιδανικό νήμα (αβαρές και μη εκτατό). Γ. Ο 3 ος νόμος του Newton: Τ ν Τ ν Αναέρεται σε δύο σώματα που αλληλεπιδρούν, δηλαδή ασκούν το ένα στο άλλο δυνάμεις. Η διατύπωσή του είναι :«Η αλληλεπίδραση ανάμεσα σε δύο σώματα Α και Β μπορεί να περιγράεται με δύο δυνάμεις ΑΒ και BA τέτοιες ώστε σε κάθε χρονική στιγμή να ισχύει ΑΒ = - BA». Η μια δύναμη λέγεται δράση και η άλλη αντίδραση. Μια ισοδύναμη διατύπωση του νόμου είναι :«Σε μια δράση αντιτίθεται πάντα μια ίση αντίδραση». παρατήρηση : Οι δυνάμεις δράση και αντίδραση μολονότι είναι αντίθετες δεν έχουν μηδενική συνισταμένη γιατί ασκούνται σε διαορετικά σώματα. Αν έχω σύστημα σωμάτων τότε όλες οι εσωτερικές δυνάμεις είναι ζεύγη δράση αντίδραση, άρα για το σύστημα σαν σύνολο και μόνο τότε δεν λαμβάνονται υπ όψη. 8. Ελεύθερη πτώση Α. Ορισμός: Ελεύθερη πτώση λέγεται η κίνηση που κάνει ένα σώμα όταν σε αυτό ασκείται μόνο το βάρος του. Το βάρος του σώματος θεωρείται σταθερό και οι αντιστάσεις του αέρα μηδενικές. Η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με ορά προς τα κάτω. Η επιτάχυνση είναι σταθερή αλλά διαορετική για κάθε τόπο και ονομάζεται επιτάχυνση της βαρύτητας g. Για την επιάνεια της θάλασσας και σε Γεωγραικό Πλάτος 45 0 είναι g = 9,8 m/s. Β. Εξισώσεις και διαγράμματα: Οι εξισώσεις της προκύπτουν από τις εξισώσεις της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης στον άξονα, αν θεωρήσουμε την χρονική στιγμή t 0 = 0 αρχική ταχύτητα υ 0 = 0 στην θέση 0 = 0 και αν αντικαταστήσουμε την επιτάχυνση α με την επιτάχυνση της βαρύτητας g. Άρα α = g (Συνήθως δίνεται 0 m/s ) υ = gt = gt Οι αντίστοιχες γραικές παραστάσεις είναι : υ (m/s) υ = gt 0 g (m/s ) h 0 (m) = gt h 0 h(m) g h = h - gt 0 t 0 = 0 0 = 0 υ 0 = 0 (t) υ(t) 0 t (s) 0 t (s) 0 t(s) 0 t(s) Αν θεωρήσουμε ότι το σώμα αρχικά βρίσκεται σε ύψος h 0 από το έδαος, τότε την κάθε χρονική στιγμή η απόστασή του από το έδαος δίνεται από την σχέση: h = h 0 - άρα h = h 0 - gt. Η γραική παράσταση αυτής της σχέσης είναι στο παραπάνω σχήμα.
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 6-9. Τριβή Τριβή είναι μια δύναμη που αντιστέκεται στην κίνηση ή στην τάση για κίνηση ενός σώματος όταν αυτό βρίσκεται σε επαή με ένα άλλο σώμα και συνυπάρχει πάντα με την δύναμη στήριξης. Εμανίζεται σαν στατική τριβή ή σαν τριβή ολίσθησης. Είναι παράλληλη στην επιάνεια επαής με ορά αντίθετη από την ορά κίνησης του σώματος. Η τριβή οείλεται στις ανωμαλίες που παρουσιάζουν οι επιάνειες των δύο σωμάτων που έρχονται σε επαή. Α. Στατική τριβή Οριακή τριβή: Στατική τριβή Τ σ: Εμανίζεται στις επιάνειες δυο σωμάτων που βρίσκονται σε επαή, βρίσκονται σε σχετική ισορροπία και το ένα τείνει να κινηθεί ως προς το άλλο. Δεν έχει σταθερό μέτρο αλλά είναι διαρκώς αντίθετη με την δύναμη που τείνει να κινήσει το σώμα. Οριακή τριβή Τ ορ: Η μέγιστη τιμή της στατικής τριβής ονομάζεται οριακή τριβή Τ ορ και ισχύει Τ ορ = Τ σ,ma. Είναι πάντα 0 T σ Τ ορ. Ισχύει: Τ ορ = μ ορ κ όπου μ ορ ο συντελεστής οριακής τριβής. Β. Τριβή ολίσθησης: Εμανίζεται στις επιάνειες δυο αντικειμένων που βρίσκονται σε επαή, ενώ τα σώματα βρίσκονται σε σχετική κίνηση. Έχει σταθερό μέτρο που δίνεται από την σχέση Τ = μ κ όπου μ ο συντελεστής τριβής ολίσθησης. Νόμος της τριβής ολίσθησης: «Η Τριβή ολίσθησης: ❶ Είναι ανεξάρτητη από το εμβαδόν συνεπαής. ❷ Είναι ανεξάρτητη από την σχετική ταχύτητα των δυο σωμάτων. ❸ Εξαρτάται από την ύση των επιανειών επαής που τρίβονται ❹ Είναι ανάλογη με το μέτρο της δύναμης που πιέζει κάθετα τις επιάνειες που τρίβονται» Όλα αυτά εκράζονται με την σχέση Τ = μ κ (ή Τ = μν) όπου Τ η τριβή ολίσθησης, μ ο συντελεστής τριβής ολίσθησης που εξαρτάται από την ύση των επιανειών επαής και κ (ή Ν) η κάθετη αντίδραση. Για κάθε δυάδα επιανειών σε επαή είναι μ ορ > μ ή μ ορ κ > μ κ άρα Τ ορ> Τ. παρατήρηση: Όταν ένα σώμα ολισθαίνει πάνω σε επίπεδο, το επίπεδο του ασκεί την τριβή Τ και την κάθετη αντίδραση Ν. Άρα το επίπεδο ασκεί στο σώμα την δύναμη Α που σχηματίζει γωνία με την κάθετη στο επίπεδο. Η δύναμη Α ονομάζεται αντίδραση του δαπέδου και αναλύεται στις δύο συνιστώσες: στον άξονα την οριζόντια αντίδραση ή τριβή Τ και στον Τ άξονα στην κάθετη αντίδραση Ν. Για την γωνία ισχύει ε = = μ. Ν A T N υ Γ. Υπολογισμός συντελεστή οριακής τριβής: Θεωρούμε ένα σώμα το οποίο κινείται κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου, προς τα κάτω με σταθερή ταχύτητα. Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις: το βάρος w, η αντίδραση Ν από το δάπεδο και η δύναμη τριβής Τ. Εκλέγουμε ορθογώνιο σύστημα αξόνων από τους οποίους ο ένας είναι παράλληλος στο κεκλιμένο επίπεδο και αναλύουμε τις δυνάμεις στο σύστημα αυτό. Η δύναμη του βάρους σχηματίζει γωνία με τον άξονα Ο άρα w = w ημ και w = w συν. Για τον άξονα Ο έχουμε: Σ = 0 Ν w = 0 Ν = m g συν Για τον άξονα Ο έχουμε: Σ = 0 w Τ = 0 Τ = m g ημ υ N w T w w
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 7 - Από τον νόμο της τριβής έχουμε: Τ = μ Ν άρα m g ημ = μ m g συν άρα ημ = μ συν ή ημ μ = συν άρα μ = ε Επομένως ο συντελεστής τριβής ολίσθησης σώματος επιπέδου είναι ίσος με την κλίση του επιπέδου για την οποία το σώμα κατεβαίνει με σταθερή ταχύτητα. Α. Βασικές δυνάμεις: Σε όλα τα σώματα ασκούνται οι δυνάμεις επαής και οι πεδιακές δυνάμεις όπως βάρος, δύναμη Coulomb κλπ. Το τεντωμένο νήμα ασκεί ίσες κατά μέτρο δυνάμεις στα σώματα που έχει δεθεί. Η σταθερή τροχαλία αλλάζει την διεύθυνση μιας δύναμης χωρίς να αλλάζει το μέτρο της. Β. Σύνθεση δυνάμεων: ❶ Εκλέγουμε κατάλληλο σύστημα ορθογωνίων αξόνων, ❷ Αναλύουμε τις δυνάμεις στους άξονες ❸ Βρίσκουμε τα Σ και Σ Σ = Σ + Σ και εθ= Σ ❹ Η συνιστάμενη δίνεται από τις ( ) ( ) Γ. Ισορροπία υλικού σημείου: Οι συνθήκες είναι Σ = 0 και Σ = 0 Δ. Ισορροπία στερεού σώματος: Αν ένα στερεό σώμα με διαστάσεις ισορροπεί και σε αυτό ασκούνται τρεις δυνάμεις, τότε οι δυνάμεις αυτές διέρχονται από το ίδιο σημείο. E. Κινούμενο σώμα: Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ασκούντα στο σώμα. Εκλέγουμε κατάλληλο σύστημα ορθογωνίων αξόνων που ο ένας έχει την διεύθυνση της κίνησης και αναλύουμε τις δυνάμεις σε αυτούς. Σε κάθε άξονα ισχύει: Σ άξονα = 0 αν το σώμα κινείται ευθύγραμμα ομαλά ή είναι ακίνητο και Σ άξονα = m α αν το σώμα κάνει μεταβαλλόμενη κίνηση. ΣT. Σώματα σε επαή - νήματα : Όταν δυο ή περισσότερα σώματα βρίσκονται σε επαή ή ενώνονται με τεντωμένα νήματα και κινούνται τότε τα σώματα έχουν την ίδια επιτάχυνση και την ίδια ταχύτητα όσο χρόνο είναι ενωμένα. Σ = m + m +... + m α Για το σύστημα των σωμάτων ισχύει : ( ) ν
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 8 - Παράδειγμα. Μέτρηση δύναμης Για ένα ελατήριο που ακολουθεί τον νόμο των ελαστικών παραμορώσεων (νόμος Hooke) πήραμε τον παρακάτω πίνακα μετρήσεων για την δύναμη και την παραμόρωση: (m) 0 0,05 0, (N) 0 50 00 Να γίνει διάγραμμα με βάση αυτές τις τιμές και να συμπληρωθεί ο πίνακας. Η σταθερά αναλογίας μεταξύ δύναμης και παραμόρωσης βρίσκεται αν χρησιμοποιήσουμε το 3 ο ζεύγος 50 N τιμών, άρα k = ή k = άρα k = 500 Ν/m. 0, m Το διάγραμμα που προκύπτει αίνεται στο διπλανό σχήμα. Από την σχέση = k θα υπολογίσουμε τις τιμές που λείπουν στον πίνακα: Για = 0,05 m: = (500 N/m) (0,05 m) ή = 5 N Για = 00 N: = k ή = k ή 00 Ν = 500 N/m ή = 0, m 50 (N) 0 0, (m) Παράδειγμα. Σύνθεση δυνάμεων Να βρεθεί η συνιστάμενη δυο δυνάμεων με μέτρα = 8 N και = 6 N οι οποίες έχουν κοινό σημείο εαρμογής και οι ορείς τους σχηματίζουν γωνία α. = 0 0, β. 80 0. α. Όταν = 0 0 οι δυνάμεις είναι ομόρροπες, άρα η συνισταμένη τους είναι: ολ = + ή ολ = 8 Ν + 6 Ν άρα ολ = 4 Ν β. Όταν = 80 0 οι δυνάμεις είναι αντίρροπες, άρα η συνισταμένη τους είναι: ολ = ή ολ = 8 Ν 6 Ν άρα ολ = Ν Οι κατευθύνσεις των δυνάμεων αίνονται στα αντίστοιχα σχήματα. (β) (α) ολ ολ Παράδειγμα 3. Συνισταμένη δύναμη Το υλικό σημείο Ο δέχεται τρεις δυνάμεις, και 3 όπως στο σχήμα που έχουν μέτρα = 50 3 N, = 50 N, 3 = 50 N. Να βρεθεί η συνιστάμενη των δυνάμεων. 3 60 0 = - = 50 3 N - 75 3 N = - 5 3 N Σ = 3 - = 50 N - 75 N = - 5 N Εκλέγουμε σύστημα ορθογωνίων αξόνων Ο και αναλύουμε τις δυνάμεις στους άξονες. H δύναμη αναλύεται στις συνιστώσες: = ημ60 0 = 50 Ν 3 = 75 3 Ν και = συν60 0 = 50 Ν = 75 Ν. Υπολογίζοντας την συνιστάμενη δύναμη σε κάθε άξονα, έχουμε: Σ 3 60 0
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 9 - (To «-» δείχνει ότι η δύναμη έχει ορά προς τα αρνητικά του άξονα). θ Το μέτρο της συνιστάμενης δύναμης είναι : ( ) ( ) ( ) = -5 3 + (-5) = 5 4 = 50 Ν. = Σ + Σ Σ Για την γωνία θ που σχηματίζει η συνιστάμενη με τον άξονα Ο έχουμε: εθ= Σ -5 Ν -5 3 εθ= εθ= εθ= θ = 30 0. -5 3 Ν - 5 3 3 Παράδειγμα 4. Ισορροπία σώματος Μικρή σαίρα που έχει βάρος w = 0 Ν είναι κρεμασμένη με σχοινί από οροή. Όταν στην σαίρα ενεργήσει μια οριζόντια δύναμη = w 3, το σχοινί εκτρέπεται κατά γωνία από την κατακόρυη θέση του. Να υπολογιστούν: α. η γωνία β. η μεταβολή του μέτρου της τάσης του σχοινιού από την κατακόρυη θέση στη θέση εκτροπής. α. Θεωρούμε σύστημα ορθογωνίων αξόνων O όπως στο σχήμα. Αναλύουμε την δύναμη Τ (τάση του νήματος) η οποία σχηματίζει γωνία με τον άξονα Ο. Οι συνιστώσες είναι Τ = Tημ και Τ = Tσυν. H σαίρα ισορροπεί άρα Σ=0. Για κάθε άξονα έχουμε: Σ = 0 - T = 0 Tημ = w 3 ❶ Σ = 0 T - w = 0 Tσυν = w ❷ Αν διαιρέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις ❶ και ❷ έχουμε: ε = 3 = 60 0 Tημ w 3 = Τσυν w β. Αν ονομάσουμε Τ την αρχική τάση του σχοινιού είναι Τ = w (από την αρχική κατάσταση ισορροπίας). Αν Τ η τελική τάση από την σχέση ❷ για = 60 0 έχουμε Τ = w Τ = w και σχηματίζει γωνία = 600 με την αρχική. Έτσι τιάχνω το διπλανό σχήμα. Από την θεωρία των ορθογωνίων τριγώνων έχουμε ότι η γωνία Β είναι ίση με 90 0. Άρα με Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι : ( ) ΔΤ =Τ -Τ ( ΔΤ ) = ( w) -w ( ) ΔΤ =4w -w ( ) ΔΤ =3w ΔΤ = w 3 και όπως αίνεται από το σχήμα η κατεύθυνση της είναι οριζόντια. A Τ Τ ΔΤ Τ w Τ w 60 0 w Τ Γ
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 0 - Παράδειγμα 5. Ισορροπία σώματος Σαίρα βάρους w = 40 Ν και ακτίνας R = 3 m είναι δεμένη με νήμα μήκους l = m και ισορροπεί σε κατακόρυο τοίχο όπως στο σχήμα. Να υπολογιστούν : α. Η δύναμη Τ με την οποία τείνετε το νήμα β. Η δύναμη Ν που ασκείται από τον τοίχο στην σαίρα. Τριβές δεν υπάρχουν. Τ Κ Από το σχήμα έχουμε ΟΚ = R + l = 5 m. To τρίγωνο ΑΚΟ είναι ορθογώνιο με ΑΟ = R = 3 m άρα AK= OK -AO Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΚ έχουμε: AK= 5-3 AK= 6 AK = 4 m. ΟΑ ημ= ΟΚ 3 ημ= 5 και ΑΚ συν= ΟΚ Ο w N Α 4 συν= 5. Η σαίρα ισορροπεί υπό την επίδραση 3 δυνάμεων άρα αυτές περνάνε από το ίδιο σημείο το Ο. Θεωρούμε σύστημα ορθογωνίων αξόνων με κέντρο το Ο και μεταέρουμε σε αυτό τις δυνάμεις όπως στο σχήμα. Η δύναμη Τ σχηματίζει με τον άξονα Ο γωνία και αναλύεται στις συνιστώσες Τ = Τημ και Τ = Τσυν. Από την ισορροπία της σαίρας έχουμε Σ=0 που για κάθε άξονα δίνει: Σ = 0 T - w = 0 Tσυν = w Τ 4 5 = 40 Ν Τ = 50 Ν. Ν Τ O w Τ Τ Σ = 0 T - N = 0 Tημ = Ν Ν = (50 Ν) 3 5 Ν = 30 Ν. Παράδειγμα 6. Νόμοι Newton Μέσω δυο νημάτων κρέμονται δυο σαίρες όπως στο σχήμα με βάρος w = 0 Ν η κάθε μια. Να υπολογιστούν οι δυνάμεις με τις οποίες τεντώνονται τα νήματα και η δύναμη που ασκείται στην οροή. Οι δυνάμεις που ασκούνται στα νήματα και τις σαίρες αίνονται στο σχήμα. Από την ισορροπία της σαίρας Σ έχουμε: Σ=0 ή Τ ν - w = 0 ή Τ ν = w άρα Τ ν = 0 Ν. Είναι Τ ν = Τ ν άρα Τ ν = 0 Ν. Η δύναμη που ασκείται στην οροή είναι η Τ ν. Από την ισορροπία της σαίρας Σ έχουμε: Σ=0 ή Τ ν3 - w - Τ ν = 0 ή Τ ν3 = w + Τ ν ή Τ ν3 = 0 Ν + 0 Ν άρα Τ ν3 = 0 Ν και Τ ν4 = Τ ν3 = 0 Ν. Παράδειγμα 7. Νόμοι Newton Σ Σ w Τ ν4 Τ ν3 Τ ν Τ ν w Σώμα με μάζα m είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο σώμα ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη με μέτρο = 0 N και το σώμα σε χρόνο Δt = s μετατοπίζεται κατά Δ = 4 m. Να βρεθεί η μάζα του σώματος. Δ = υ Δt + α Δt 0 4 m ή α = άρα α = m/s s Αν θέσουμε υ 0 = 0 στην εξίσωση κίνησης ( ) έχουμε Δ = α( Δt) Δ ή α = Δt ( ) ( ) t 0 = 0, 0 = 0 t = s, = 4 m
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - - 0 Ν Στον οριζόντιο άξονα εαρμόζουμε τον ο νόμο του Newton και έχουμε = m α ή m = ή m = άρα α m/s m = 5 kg. Παράδειγμα 8. Νόμοι Newton Ένα αυτοκίνητο με μάζα m = 000 kg κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα υ 0 = 0 m/s. Ο οδηγός πατάει ρένο, οπότε ασκείται στο σώμα σταθερή δύναμη, αντίθετη στην ταχύτητα με μέτρο = 4000 N. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του αυτοκινήτου β. Σε πόσο χρόνο και σε ποιά απόσταση θα σταματήσει το αυτοκίνητο. α. Στον οριζόντιο άξονα εαρμόζουμε τον ο νόμο του Newton - 4000 Ν για το αυτοκίνητο και έχουμε = m α ή α = ή α = άρα m 000 kg α = - 4 m/s β. Το αυτοκίνητο σταματάει όταν υ = 0, επομένως από την εξίσωση της ταχύτητας υ = υ 0 + α ( t t 0 ) για t 0 = - υ 0 έχουμε 0 = υ 0 + α t ή t = 0-0 m/s ή t = άρα t = 5 s. α - 4 m/s Η θέση του σώματος όταν σταματήσει δίνεται από την εξίσωση κίνησης ( ) Δ = υ Δt + α Δt ή Δ = 0 ( 0 m/s)( 5 s ) + (- 4 m/s )( 5 s) άρα Δ = 50 m. Παράδειγμα 9. Νόμοι Newton Σώμα μάζας m = 0 kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Στο σώμα ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη με μέτρο = 50 N. Παρατηρούμε ότι το σώμα αποκτά ταχύτητα υ = 0 m/s όταν έχει μετατοπιστεί κατά Δ = 5 m. Να εξετάσετε αν στο σώμα ασκείται άλλη δύναμη. Αν ναι, να υπολογίσετε την τιμή της. t 0 = 0, 0 = 0 υ 0 υ = 0 t, Είναι υ 0 = 0 την t 0 = 0. Από την εξίσωση α = ( ) ( 5 m) 0 m/s - 0 ή α = m/s. υ - υ α = 0 Δ έχουμε? t 0 = 0, 0 = 0 t, υ Από τον ο νόμο Newton η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα : Σ = m α ή Σ = (0 kg) ( m/s ) άρα Σ = 0 N. Η συνισταμένη δύναμη είναι μικρότερη από την δύναμη, άρα στο σώμα ασκείται και άλλη δύναμη, αντίθετη της. Έχουμε Σ = ή = Σ ή = 50 Ν 0 Ν άρα = 30 N. Παράδειγμα 0. Κίνηση σε ανελκυστήρα Ένας μαθητής μάζας m = 70 kg βρίσκεται σε ανελκυστήρα. Δίνεται g = 0 m/s. Πόση είναι η δύναμη που ασκεί το δάπεδο του ανελκυστήρα στο μαθητή αν ο ανελκυστήρας κινείται: α. Προς τα πάνω με επιτάχυνση m/s β. Προς τα κάτω με σταθερή επιτάχυνση 3 m/s
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - - γ. Με σταθερή ταχύτητα υ = m/s. Το βάρος του μαθητή είναι w = mg. Η επιτάχυνση σε κάθε περίπτωση έχει την κατεύθυνση της συνισταμένης των δυνάμεων. α. Όταν ο ανελκυστήρας κινείται προς τα κάτω με σταθερή επιτάχυνση πρέπει το βάρος να είναι μεγαλύτερο από την δύναμη που ασκεί το δάπεδο, άρα w = mα ή = w mα ή = m( g α ) ή = (70 kg) (0 m/s m/s ) άρα = 560 N. w β. Όταν ο ανελκυστήρας κινείται προς τα πάνω με σταθερή επιτάχυνση πρέπει το βάρος να είναι μικρότερο από την δύναμη που ασκεί το δάπεδο ή w = mα ή = w + mα ή = m(g + α) επομένως = (70 kg) (0 m/s + 3 m/s ) άρα = 90 N. γ. Όταν ο ανελκυστήρας κινείται με σταθερή ταχύτητα η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν άρα το είναι ίσο με την δύναμη που ασκεί το δάπεδο ή = w ή = mg επομένως = (70 kg) (0 m/s ) άρα = 700 N. Παράδειγμα. ος νόμος Newton Δυο άνθρωποι που βρίσκονται στις όχθες ποταμού τραβούν ταυτόχρονα βάρκα με μάζα m = 00kg μέσω σχοινιών, ασκώντας δυνάμεις που έχουν το ίδιο μέτρο = 80N και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία = 90 0. Να υπολογιστούν : α. Η επιτάχυνση της βάρκας β. Η διεύθυνση κίνησης της βάρκας γ. Η ταχύτητα που αποκτά η βάρκα σε χρόνο Δt = 5 s μετά από την εαρμογή των δυνάμεων και το διάστημα που διανύει στο χρόνο αυτό. α. Η συνιστάμενη των δυνάμεων είναι: = + ολ συνιστάμενη δύναμη στη βάρκα είναι ολ = 80 Ν. = + ολ = ολ ολ = Άρα η 80 N Από τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής έχουμε = m α α = α = α = 0,8 m/s. m 00 kg β. Η διεύθυνση κίνησης της βάρκας συμπίπτει με την διεύθυνση της συνιστάμενης δύναμης. Αυτή δίνεται από την: εθ = εθ = θ = 45 0. γ. Η βάρκα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. Η ταχύτητα της βάρκας μετά από χρόνο Δt, για t 0 = 0 και υ 0 = 0 δίνεται από την υ = α t υ = 0,8 m/s 5 s υ = 4 m/s. Η μετατόπιση στον ίδιο χρόνο, για t 0 = 0 και υ 0 = 0, δίνεται από την Δ= αt Δ = 0 m. m Δ = ( 0,8 )(5 s ) s Παράδειγμα. ος νόμος Newton Σώμα μάζας m = kg κινείται σε λείο και οριζόντιο δάπεδο με την επίδραση των δυνάμεων = 0 N που σχηματίζει γωνία = 60 0 με το επίπεδο και = 0 N όπως στο σχήμα. Το σώμα σε χρόνο Δt = 5 s μετατοπίζεται κατά Δ = 40 m. Να υπολογιστούν: α. Το μέτρο της δύναμης Ν που ασκείται από το δάπεδο στο σώμα β. Σε πόσο χρόνο το σώμα θα μετατοπιστεί κατά Δ = 60 m. Δίνεται g = 0 m/s.
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 3 - Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις: το βάρος w, η δύναμη από το δάπεδο Ν και οι δυνάμεις και. Εκλέγουμε κατάλληλο σύστημα αξόνων όπως αίνεται στο σχήμα και αναλύουμε την δύναμη στις και. Είναι 0 = συν60 = 0 = 0 N. N 0 3 = ημ60 υ = 0 = 0 3 N w α. Στον άξονα το σώμα ισορροπεί άρα Σ = 0 + k - w = 0 k = mg - k = 0-0 3 k = 0( 3 ) N. β. Εαρμόζουμε τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής για τον άξονα και έχουμε Σ = mα - = mα - α = m 0-0 α = α = 0. Δ 40 m Tο σώμα στον άξονα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα υ= υ= υ = 8 m/s. Δt 5 s Δ 60 m Επομένως σε χρόνο Δt μετατοπίζεται κατά Δ και είναι Δ = υ Δt Δt = Δt = υ 8 m/s Δt = 0 s. Παράδειγμα 3. Κίνηση και ισορροπία Σώμα έχει κρεμαστεί από την οροή αυτοκίνητου μέσω νήματος. Το αυτοκίνητο κινείται οριζόντια με σταθερή επιτάχυνση α. Αν η γωνία απόκλισης του νήματος από την κατακόρυο είναι = 45 0 να υπολογιστεί η επιτάχυνση α του αυτοκίνητου όταν δίνεται g = 0 m/s. Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις: Το βάρος w = mg και η τάση του νήματος Τ. Το αυτοκίνητο κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, άρα και το σώμα που βρίσκεται σε ισορροπία ως προς το αυτοκίνητο θα κάνει την ίδια κίνηση. Επειδή το σώμα κινείται οριζόντια με ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση θα έχουμε: Σ = mα Σ = mα. Από το σχήμα το τρίγωνο που σχηματίζουν οι δυνάμεις w, Σ είναι ορθογώνιο Σ άρα: ε = Σ = wε mα = mgε α = gε w α = 0m/s ε45 0 α = 0 m/s. w Τ Σ Παράδειγμα 4. Κίνηση σε κεκλιμένο επίπεδο Σώμα μάζας m = 3 kg ανέρχεται κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης = 30 0 με την επίδραση οριζόντιας δύναμης και έχει σταθερή επιτάχυνση α = m/s. Να υπολογιστούν: α. Το μέτρο της δύναμης β. Το μέτρο της δύναμης που ασκεί το δάπεδο στο σώμα. Δίνεται g = 0 m/s.
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 4 - Στο σώμα ασκούνται: το βάρος w, η οριζόντια δύναμη, και η αντίδραση Ν από το δάπεδο. Εκλέγουμε ορθογώνιο σύστημα αξόνων από τους οποίους ο ένας είναι παράλληλος στο κεκλιμένο επίπεδο και αναλύουμε τις δυνάμεις στο σύστημα αυτό. Η δύναμη σχηματίζει γωνία με τον άξονα Ο άρα = συν και = ημ. Η δύναμη του βάρους σχηματίζει γωνία με τον άξονα Ο άρα w = wημ και w = wσυν. Άξονας Ο: Σ = mα - w = mα συν30 0 = mα + mgημ30 0 3 = + 30 = 4 3 N Άξονας Ο: Σ = 0 Ν - - w = 0 Ν = ημ30 0 + mgσυν30 0 3 N=4 3 +3 0 N = 3 N Παράδειγμα 5. Κίνηση σε κεκλιμένο επίπεδο Σώμα εκτοξεύεται από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης = 30 0 με αρχική ταχύτητα υ 0 = 0 m/s προς τα επάνω παράλληλα στο κεκλιμένο επίπεδο. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του σώματος β. Ο μέγιστος χρόνος ανόδου και η μετατόπιση του σώματος μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητα του. Τριβή δεν υπάρχει και δίνεται g = 0 m/s. Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις: Το βάρος w και η αντίδραση Ν από το επίπεδο. Εκλέγουμε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με τον ένα άξονα παράλληλο στην διεύθυνση της κίνησης. Το βάρος σχηματίζει γωνία με τον άξονα Ο. Αναλύουμε το βάρος w στις συνιστώσες w και w. Είναι: w = wημ w = mgημ και w = wσυν w = mgσυν. Στον άξονα Ο ισχύει: Σ = mα - w = mα - mgημ = mα α = - gημ α = - 0ημ30 0 άρα α = - 5 m/s. Το σώμα σταματάει στιγμιαία όταν υ = 0. Επειδή το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη υ 0 m/s 0 κίνηση, για t 0 = 0 ισχύει υ = υ 0 + αt. Άρα υ 0 + αt ma = 0 t = - t = - t ma ma ma = s. α - 5 m/s υ 0 w w N w w N υ w w Η μετατόπιση του σώματος δίνεται από την σχέση : m m Δ =υ t+ αt Δ = 0 s + -5 s ma 0 ma s s ( ) ( ) Δ ma = 0 m. Παράδειγμα 6. Κίνηση δύο σωμάτων Δυο σώματα Σ και Σ με μάζες m = 0 kg και m = 30 kg αντίστοιχα είναι δεμένα με ιδανικό νήμα και ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τα σώματα σύρονται από οριζόντια δύναμη = 80 N που ασκείται στο σώμα Σ. Αν μετά από χρόνο Δt = 5 s το νήμα κόβεται να υπολογιστεί πόσο θα απέχουν τα σώματα σε χρόνο Δt = 5 s μετά το κόψιμο του νήματος αν η δύναμη εξακολουθεί να ασκείται στο σώμα Σ. Τριβές δεν υπάρχουν. Το μήκος του νήματος θεωρείται αμελητέο σε σχέση με τις μετατοπίσεις. α. Τα σώματα είναι συνδεδεμένα με το νήμα Τα σώματα έχουν κοινή επιτάχυνση α γιατί στον ίδιο χρόνο διανύουν ίσες μετατοπίσεις. Στο σώμα Σ ασκείται η δύναμη Τ ν από το νήμα, άρα από τον ο νόμο Newton έχουμε: Τ ν = m α ❶ T ν m m T ν
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 5 - Στο σώμα Σ ασκούνται η οριζόντια δύναμη και η δύναμη Τ ν από το νήμα, άρα από τον ο νόμο Newton έχουμε: Τ ν = m α ❷ Για ιδανικό (αβαρές και μη εκτατό) νήμα ισχύει Τ ν = Τ ν. m Τ ν Τ ν Τ ν = Τ ν (δράση αντίδραση για τα σώματα m - νήμα) Τ ν = Τ ν (δράση αντίδραση για τα σώματα m - νήμα) Τ ν Τ ν m Για το νήμα Σ νημ = m να ή Τ ν Τ ν = m να (αβαρές νήμα άρα m ν = 0) άρα Τ ν Τ ν = 0 άρα Τ ν = Τ ν άρα Τ ν = Τ ν Προσθέσουμε κατά μέλη τις ❶ και ❷ : Τ ν + Τ ν = m α + m α άρα 80 N = ( m + m ) α ή α = ή α = άρα α =,6 m/s. m + m 30 kg + 0 kg Στην χρονική διάρκεια Δt τα δύο σώματα αποκτούν την ίδια ταχύτητα υ όπου υ = υ 0 + α Δt. Για υ 0 = 0 έχουμε υ = α Δt ή υ = (,6 m/s ) (5 s) άρα υ = 8 m/s. β. Κίνηση των σωμάτων μετά το κόψιμο του νήματος Κίνηση του σώματος Σ Το σώμα Σ μετά το κόψιμο του νήματος κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, γιατί δεν ασκείται πάνω του δύναμη στον οριζόντιο άξονα. Άρα στην χρονική διάρκεια Δt μετατοπίζεται κατά Δ = υ Δt ❶ Κίνηση του σώματος Σ Το σώμα Σ μετά το κόψιμο του νήματος κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (με επιτάχυνση α, διαορετική της αρχικής α, γιατί άλλαξε η μάζα την οποία μετακινεί η δύναμη ) στον οριζόντιο άξονα. Στο σώμα Σ ασκείται μόνο η οριζόντια δύναμη άρα από τον ο νόμο Newton έχουμε: = m α ή α = m 80 N α = άρα α = 4 m/s. 0 kg ή Άρα στη χρονική διάρκεια Δt το σώμα Σ μετατοπίζεται κατά Δ = υ Δt + α Δt ❷ Σε χρόνο Δt μετά το κόψιμο του νήματος τα δύο σώματα θα απέχουν d = Δ Δ και από τις ❶,❷ είναι d = (υ Δt + α Δt ) (υ Δt ) ή d = υ Δt + α Δt m υ Δt άρα d = α Δt ή d = 4 ( ) 5 s άρα s d = 50 m. Παράδειγμα 7. Κίνηση συστήματος σωμάτων Δυο σώματα Σ και Σ με αντίστοιχες μάζες m = 5 kg και m = 0 kg βρίσκονται σε επαή σε λείο και οριζόντιο δάπεδο. Αν στο σώμα Σ ασκηθεί οριζόντια δύναμη = 50 N όπως στο σχήμα να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση κάθε σώματος β. Η δύναμη που ασκεί το ένα σώμα στο άλλο. Δίνεται g = 0 m/s. Στο σύστημα των δυο σωμάτων ασκούνται οι δυνάμεις: Τα βάρη w και w, οι δυνάμεις από το δάπεδο Ν και Ν και η δύναμη. (Οι δυνάμεις από το ένα σώμα στο άλλο είναι ίσες και αντίθετες άρα για το σύστημα έχουν μηδενική συνιστάμενη). Τα σώματα έχουν την ίδια επιτάχυνση που είναι και η επιτάχυνση του συστήματος διαορετικά θα έχαναν την επαή τους. Για τον άξονα έχουμε: Σ 50 N = m ολ α = (m + m ) α α= α= α = m/s. m +m 5 kg+0 kg N N Σ Σ w w
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 6 - Για να βρούμε τη δύναμη που ασκεί το ένα σώμα στο άλλο εξετάζουμε μόνο του το ένα σώμα πχ το Σ. Είναι: Σ = m α = m α = 0 Κg m/s = 0 N Παράδειγμα 8. Κίνηση συστήματος σωμάτων Σώμα μάζας m = 4 kg βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι δεμένο με νήμα που περνάει από ακίνητη τροχαλία. Αν στο άκρο του νήματος (α) εαρμοστεί δύναμη = 0 N ή (β) εξαρτηθεί σώμα βάρους w = 0 N να συγκριθούν οι επιταχύνσεις που αποκτά το σώμα σε κάθε περίπτωση. Ποια είναι τα συμπεράσματα που προκύπτουν. Δίνεται g = 0 m/s. α. Αν στο άκρο του νήματος ασκείται δύναμη, τότε λόγω της τροχαλίας η δύναμη που επιταχύνει το σώμα 0 N είναι η. Άρα το σώμα αποκτά επιτάχυνση α : = m α α = α = α =,5 m/s. m 4 Kg β. Αν στο άκρο του νήματος εξαρτηθεί σώμα με βάρος w, τότε αυτή η δύναμη επιταχύνει το σύστημα των δυο σωμάτων. Αν το σύστημα αποκτά επιτάχυνση α είναι : w 0 N Σ = m ολα w = (m + m ) α α = α = m + m 4 kg+ kg α = m/s. Παρατηρούμε ότι το σώμα Σ με την επίδραση της ίδιας δύναμης αποκτά μεγαλύτερη επιτάχυνση στην πρώτη περίπτωση. Αυτό είναι αναμενόμενο γιατί στην δεύτερη περίπτωση η αδράνεια (συνολική μάζα) είναι μεγαλύτερη. m w N Τ Τ m w Παράδειγμα 9. Κίνηση ενός σώματος Ένας άνθρωπος με βάρος w = 800 Ν είναι έτοιμος να εγκαταλείψει ένα λεγόμενο κτίριο από ένα παράθυρο που βρίσκεται σε ύψος h = 30 m πάνω από το πεζοδρόμιο. Για να σωθεί μπορεί να χρησιμοποιήσει καλώδιο αρκετού μήκους αλλά με αντοχή Τ α = 700 Ν (μικρότερη από το βάρος). Ζητείται η ελάχιστη ταχύτητα υ με την οποία ο άνθρωπος τάνει στο πεζοδρόμιο ώστε η σύγκρουση με το έδαος να περιοριστεί στο ελάχιστο. Δίνεται g = 0 m/s. Οι δυνάμεις που ασκούνται στον άνθρωπο είναι το βάρος w και η δύναμη από το καλώδιο Α. Η δύναμη Α είναι ίση με την δύναμη που τείνει το καλώδιο. Θεωρούμε κατακόρυο άξονα Ο με θετική ορά προς τα κάτω. Αν ο άνθρωπος κατεβαίνει το καλώδιο με σταθερή ταχύτητα τότε α = 0 άρα Σ = 0 w - Α = 0 Α = w Α = 800 Ν, άρα το καλώδιο θα σπάσει. Για να μην συμβεί αυτό πρέπει Α < w Δηλαδή ο άνθρωπος να κατεβαίνει με επιτάχυνση α για την οποία ισχύει Σ = mα w - Α = mα. Για να είναι ελάχιστη η επιτάχυνση καθόδου πρέπει Α = Τ θ. Άρα mα = w - Τ θ. Επειδή ισχύει w = mg α= ( 800 Ν-700 Ν) ( 0 m/s ) 800 N w m = g. H προηγούμενη σχέση γίνεται α =,5 m/s. wα =w-t θ g α= ( ) θ w-t g w Α w
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 7 - Ο άνθρωπος κατεβαίνει από ύψος h με σταθερή επιτάχυνση α άρα έχουμε : h= αδt Δt= h α 0 m Δt=,5 m/s Δt = 4 s. Άρα η ταχύτητα με την οποία τάνει στο έδαος είναι: υ = α Δt υ =,5 4 υ = 5 m/s. Παράδειγμα 0. Ελεύθερη πτώση Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 ένα σώμα αήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος h = 80 m. α. Ποιά είναι η ταχύτητα και η θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t = s. β. Πόση απόσταση έχει διανύσει το σώμα τη χρονική στιγμή που έχει ταχύτητα υ = 30 m/s. γ. Ποιά χρονική στιγμή τάνει στο έδαος και με ποιά ταχύτητα. Δίνεται g = 0 m/s. α. Η ταχύτητα είναι υ = g t ή υ = (0 m/s ) ( s ) άρα υ = 0 m/s. Η θέση του σώματος δίνεται από τη σχέση = g t ή m = 0 ( s s ) άρα = 0 m. υ 30 m/s β. Είναι υ = g t ή t = ή t = άρα t = 3 s. g 0 m/s και = g t ή m = 0 ( 3 s s ) άρα = 30 m. γ. Στο έδαος = h ή g t =h ή h t = g ή 80 m t = 0 m/s άρα t = 4 s. Η ταχύτητα δίνεται από την υ = g t ή υ = ( 0 m/s ) ( 4 s ) άρα υ = 40 m/s. g t 0 = 0 0 = 0 υ 0 = 0 t,, υ t ε, υ ε ε = h Παράδειγμα. Πτώση Δύο συμμαθητές, ο Γιώργος και ο Κώστας ανέλαβαν να μετρήσουν το ύψος ενός κτηρίου έχοντας στη διάθεση τους τα κατάλληλα όργανα ώστε να μετρούν με μεγάλη ακρίβεια χρόνο και γνωρίζοντας από άλλες μετρήσεις ότι εκεί η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 9,80m/s Έτσι, μια μέρα που είχε άπνοια, ο Γιώργος ανέβηκε στην ταράτσα του κτηρίου έχοντας μαζί του ένα μικρό σώμα (π.χ μια πέτρα) το οποίο άησε ελεύθερο να πέσει από την άκρη της ταράτσας. Ο Κώστας με τη βοήθεια των οργάνων μέτρησε το χρόνο που χρειάστηκε η πέτρα για να τάσει στο έδαος και τον βρήκε,00s. Το συμπέρασμα στο οποίο κατέληξαν οι δύο συμμαθητές ήταν ότι το ύψος του κτηρίου ήταν α. 9,60m β. περισσότερο από 9,60m γ. λιγότερο από 9,60m Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση (μονάδες 3) και να τη δικαιολογήσετε (μονάδες 4) Αν το σώμα έκανε ελεύθερη πτώση (στο ΚΕΝΟ) τότε σε χρόνο s θα έπετε κατά m h = gt = 9,8 ( s ) = 9, 6m Τώρα όμως, εξαιτίας της αντίστασης του αέρα (η αναορά σε άπνοια, s δλδ ότι δε υσάει αέρας, σημαίνει ότι υπάρχει αέρας) το σώμα θα κινηθεί με επιτάχυνση μικρότερη από g, επομένως στον ίδιο χρόνο (s) θα διανύσει μικρότερο διάστημα. ΣΩΣΤΗ η πρόταση γ
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 8 - Α. Η δύναμη της τριβής είναι αντίθετη στην ολίσθηση των σωμάτων και όχι κατ ανάγκη στην κίνηση των σωμάτων. Β. Όταν δεν γίνεται διάκριση ανάμεσα στον συντελεστή οριακής τριβής και τον συντελεστή τριβής ολίσθησης θα θεωρούμε ότι έχουν την ίδια τιμή. Γ. Σε προβλήματα με τριβή ολίσθησης εαρμόζεται η μεθοδολογία για δυνάμεις σε κινούμενα ή ακίνητα σώματα και επιπλέον : ❶ Από την συνθήκη Σ = 0 βρίσκουμε την κάθετη δύναμη αντίδρασης N ❷ Από την σχέση Τ = μ N βρίσκουμε την τριβή Τ ❸ Από την σχέση Σ = m α βρίσκουμε την επιτάχυνση α, αν το σώμα κάνει μεταβαλλόμενη κίνηση. Παράδειγμα. Κίνηση ενός σώματος Σώμα ρίχνεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ 0 = 0 m/s σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του σώματος β. Ο χρόνος κίνησης του σώματος μέχρι να σταματήσει γ. Η μετατόπιση του σώματος τότε. Δίνεται g = 0 m/s. α. Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις: Το βάρος w και η δύναμη Α από το δάπεδο που αναλύεται σε δυο συνιστώσες κάθετες μεταξύ τους, την N που είναι κάθετη στο οριζόντιο επίπεδο και την τριβή Τ που είναι παράλληλη στο οριζόντιο επίπεδο. Στον άξονα το Σώμα ισορροπεί άρα Σ = 0 N - w = 0 N = w. Αλλά Τ = μ N Τ = μ w Τ = μmg. Αν α η επιτάχυνση του σώματος στον άξονα ισχύει Σ = mα - Τ = mα - μmg = mα α = - μg α = - 0, 0 α = - m/s. β. To σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση και θα σταματήσει όταν υ = 0 υ υ 0 - αδt = 0 Δt = 0 0 Δt = Δt = 0 s. α w Α N υ Τ 0 υ Γ =0 Δ γ. Η μετατόπιση του σώματος τότε είναι Δ = υ t - αt 0 Δ = 0 0-0 Δ = 00 m. Παράδειγμα 3. Κίνηση σε κεκλιμένο επίπεδο Σώμα εκτοξεύεται από την βάση κεκλιμένου επιπέδου με γωνία κλίσης = 30 0 με ταχύτητα υ 0 = 0 m/s 3 παράλληλα στο κεκλιμένο επίπεδο. Ο συντελεστής τριβής του σώματος με το επίπεδο είναι μ =. Δίνεται 3 g = 0 m/s. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του σώματος β. Ο χρόνος που θα κινηθεί το σώμα και το διάστημα που θα διανύσει μέχρι να σταματήσει στιγμιαία.
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 9 - Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις: Το βάρος w που αναλύεται σε δυο κάθετες συνιστώσες w και w με w = wημ και w = wσυν και την αντίδραση του επιπέδου που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση Ν και την τριβή Τ. Στον άξονα το σώμα ισορροπεί άρα Σ = 0 Ν - w = 0 Ν = wσυν. Για την τριβή ισχύει: Τ = μν T = μwσυν Τ = μmgσυν Στον άξονα το σώμα κάνει μεταβαλλόμενη κίνηση άρα Σ = mα - Τ - w = mα - μmgσυν - mgημ = mα mα = - mg( μσυν + ημ ) 3 α = - g( μσυν + ημ ) α = - 0 ( 3 3 + ) α = - 0 m/s. To σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Η ταχύτητα του δίνεται από την σχέση υ = υ 0 + αδt. Όταν σταματήσει στιγμιαία είναι υ = 0 άρα: υ υ 0 + αδt = 0 Δt = - 0 0 m/s Δt = - Δt = s. α - 0 m/s υ 0 T N w υ w w To σώμα όταν σταματήσει θα έχει μετατοπιστεί κατά Δ = υ 0Δt + αδt Δ = 0 + ( - 0 ) Δ = 0 m. Παράδειγμα 4. Ισορροπία σε κεκλιμένο επίπεδο Το άδειο δοχείο μάζας m του σχήματος (α) ισορροπεί στο πλάγιο επίπεδο λόγω τριβής. (α) (β) mg Μg Α. Η δύναμη της στατικής τριβής που ασκείται στο δοχείο έχει μέτρο α. I S =µmg S β. IS=µmgσυν S γ. I =mgηµ S Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσετε. Β. Αν βάλουμε νερό στο δοχείο (σχήμα β), ενώ το κρατάμε ακίνητο, και το αήσουμε ελεύθερο, τότε το δοχείο α. θα παραμείνει ακίνητο. β. θα κινηθεί προς τα κάτω. γ. μπορεί να κινηθεί προς τα κάτω, μπορεί και όχι, εξαρτάται από τη μάζα του νερού που προσθέσαμε. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσετε.
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 0 - [Σε κάθε περίπτωση θεωρούμε ότι το δοχείο δεν ανατρέπεται, ότι το νερό δεν χύνεται και ότι οι συντελεστές (μέγιστης) στατικής τριβής και κινητικής τριβής είναι ίσοι.] Σ = 0 I s = mg ηµ Α. Επειδή το δοχείο ισορροπεί θα ισχύουν οι συνθήκες ισορροπίας: Σ = 0 N = mg συν Σύμωνα με τη σχέση () σωστή είναι η πρόταση γ. Β. Η δύναμη τριβής είναι στατική άρα μικρότερη από την οριακή (μέγιστη στατική), δηλαδή ισχύει ότι (),() I s I mg mg (3) ορ ηµϕ µ συνϕ εϕϕ µ Αν προσθέσουμε νερό η συνολική μάζα νερού και δοχείου είναι Μ (σχήμα β) Στον άξονα ισχύει η σχέση () στη μορή Ν = Μg συν (4) Για να βρούμε αν το δοχείο θα κινηθεί προς τα κάτω ή αν θα παραμείνει ακίνητο, αρκεί να συγκρίνουμε τη δύναμη w = Mgημ με τη δύναμη τριβής I ορ = µ Ν = µmg συν w Mgηµϕ εϕϕ εϕϕ = = Όμως σύμωνα με τη σχέση (3): I µ Mgσυνϕ µ µ επομένως w w I ορ I ορ Η δύναμη w δεν μπορεί να κινήσει το δοχείο όσο νερό και να βάλουμε. Σωστή η πρόταση α. Παράδειγμα 5. Κίνηση συστήματος σωμάτων Το σύστημα των σωμάτων του σχήματος κινείται με σταθερή επιτάχυνση α = m/s. O συντελεστής τριβής του σώματος με το δάπεδο είναι μ = 0,. Δίνεται m = 0 kg και g = 0 m/s. Να υπολογιστούν: α. Η δύναμη της τριβής β. Η δύναμη Τ ν που τείνεται το νήμα γ. Το βάρος w. α. Το σώμα μάζας m ισορροπεί στον άξονα άρα Σ = 0 N - w = 0 N = m g άρα η τριβή Τ = μn T = μm g Τ = 0, 0 0 Τ = 0 Ν. β. Στον άξονα είναι: Σ = m α Τ ν - Τ = m α Τ ν = m α + Τ Τ ν = 0 + 0 Τ ν = 40 Ν. Τ m w N ορ Τ ν α ( ) ( ) Τ ν m w α γ. Για το σώμα μάζας m ισχύει: Σ = m α w - Τ ν = m α w - Τ ν = T g w ( g - α ) = Τ ν g ν w = g - α 40 0 w = w = 50 N. 0 - w g α wg - Tνg = wα Παράδειγμα 6. Κίνηση συστήματος σωμάτων Δυο σώματα Σ και Σ με αντίστοιχα βάρη w = 60 Ν και w = 40 Ν βρίσκονται το ένα πάνω στο άλλο όπως στο σχήμα. Αν μεταξύ των σωμάτων Σ και Σ υπάρχει τριβή με συντελεστή τριβής μ = 0,, ενώ μεταξύ του σώματος Σ και του εδάους δεν υπάρχει τριβή να υπολογιστεί η μέγιστη οριζόντια δύναμη που πρέπει να ασκηθεί στο Σ ώστε το Σ να είναι ακίνητο.
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - - N Εικόνα Σ Σ w N Σ Σ w Εικόνα Α Τ w Στο σύστημα των δυο σωμάτων όπως αίνεται στο πρώτο σχήμα ασκούνται οι δυνάμεις:, w, w και Ν (Η συνολική αντίδραση του εδάους που ασκείται στο σώμα w ). w + w Για τον άξονα έχουμε: Σ = m ολα = (m + m )α = α ❶ g Στο σώμα Σ όπως αίνεται στο δεύτερο σχήμα ασκούνται οι δυνάμεις: Το βάρος w και η αντίδραση Α από το σώμα Σ που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση Ν και την τριβή Τ. Για τον άξονα έχουμε: Σ = 0 Ν - w = 0 Ν = w Ν = 40 N. Για την τριβή Τ ισχύει Τ = μν T = 0, 40 T = 8 N. Για τον άξονα έχουμε: Σ = m α (Γιατί το σώμα συμμετέχει στην κίνηση του συστήματος ενώ είναι ακίνητο ως προς το σώμα Σ ). w άρα Τ = m α Τ = g α α = T g ❷ w w + w Τ g w + w 60 + 40 Από τις ❶, ❷ έχουμε : = = T = 8 = 0 N. g w w 40 7. Δύο δυνάμεις έχουν μέτρα = 00 N και = 60 N. Να βρεθεί το μέτρο και η κατεύθυνση της συνισταμένης δύναμης, αν οι δυνάμεις έχουν: α. ίδια κατεύθυνση και β. αντίθετες κατευθύνσεις. [ Απ.: α. = 60 N, β. = 40 N ] 8. Τρεις δυνάμεις με μέτρα = 0 Ν και = 0 Ν με κατεύθυνση προς τα δεξιά και 3 = 0 Ν με κατεύθυνση προς τα αριστερά έχουν κοινό σημείο εαρμογής. Να βρεθεί η συνισταμένη τους. [ Απ.: = 0 ] 9. Να βρεθεί η συνιστάμενη δυο δυνάμεων με μέτρα = 8 N και = 6 N οι οποίες έχουν κοινό σημείο εαρμογής και οι ορείς τους σχηματίζουν γωνία α. = 0 0, β. 80 0. 30. Να βρεθεί η συνιστάμενη δυο δυνάμεων με μέτρα = 8 N και = 6 N οι οποίες έχουν κοινό σημείο εαρμογής και η ορείς τους σχηματίζουν ορθή γωνία. 3. Δυο δυνάμεις σχηματίζουν γωνία και έχουν μέτρα = = 0 N. Να βρεθεί η συνιστάμενη τους όταν = 60 0, = 90 0, = 0 0 και = 80 0. 3. Τρεις δυνάμεις με μέτρα 0 Ν, 0 Ν και 0 Ν έχουν κοινό σημείο εαρμογής και σχηματίζουν ανά δύο γωνία 0 0. Να βρεθεί η συνισταμένη τους.
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - - 33. Σε ένα υλικό σημείο ασκείται δύναμη μέτρου = 6 N μαζί με μια άλλη δύναμη. Αν η συνιστάμενη τους έχει μέτρο = 8 N και ο ορέας της είναι κάθετος στον ορέα της να βρεθεί το μέτρο της. 34. Στο σύστημα του σχήματος ο μικρός δακτύλιος ισορροπεί όταν οι γωνίες που σχηματίζουν τα νήματα με την κατακόρυη είναι = 45 0 και ω = 60 0. Αν είναι w = 0 Ν να υπολογιστούν: α. Οι δυνάμεις με τις οποίες τεντώνονται τα νήματα. β. Το βάρος w. [Απ.: α. w =5 3+ N ] T =5 6 N, Τ = 0Ν, β. ( ) 35. Σαίρα με βάρος w=0 3 N και ακτίνα R ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης. Η σαίρα συγκρατείται στο επίπεδο με τη βοήθεια οριζόντιου νήματος. Το ένα άκρο του νήματος δένεται στο σημείο Α της σαίρας και το άλλο στο σημείο Γ του επιπέδου. Αν το μήκος του νήματος είναι ΑΓ = R να υπολογιστούν: α. Η γωνία β. Η δύναμη με την οποία τείνετε το νήμα γ. Η δύναμη που ασκεί το κεκλιμένο επίπεδο στη σαίρα. [ Απ.: α. = 30 0, β. Τ = 0 Ν, γ. Ν = 0 Ν ] ω w w Α Γ 36. Σαίρα βάρους w = 30 Ν κρέμεται από σταθερό σημείο μέσω αβαρούς νήματος που έχει όριο θραύσης Τ = w. Στη σαίρα ασκείται οριζόντια δύναμη και τότε το νήμα ισορροπεί σε νέα θέση που σχηματίζει με την αρχική θέση γωνία. Να υπολογιστούν: α. Το μέτρο της δύναμης για γωνίες = 30 0 και = 45 0 β. Για ποια τιμή της γωνίας θα σπάσει το νήμα. [ Απ.: α. =0 3 N, = 30 N, β. = 60 0 ] 37. Ένα σώμα ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο και μετά αρχίζει να ανεβαίνει ολισθαίνοντας σε κεκλιμένο επίπεδο. Να σχεδιάσετε και να περιγράψετε τις δυνάμεις (ποιο σώμα ασκεί τη δύναμη) που ασκούνται στο σώμα όταν αυτό κινείται: α. Στο οριζόντιο επίπεδο β. Στο κεκλιμένο επίπεδο 38. Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο σώμα ασκείται οριζόντια δύναμη με μέτρο = 00 N. Το σώμα σε χρόνο Δt = 0 s αποκτά ταχύτητα υ = 0 m/s. Να βρεθεί η μάζα του σώματος. [ Απ.: m = 50 kg ] 39. Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο σώμα ασκείται οριζόντια δύναμη μέτρου = 0 N. Το σώμα αποκτά ταχύτητα υ = 0 m/s όταν έχει μετατοπιστεί κατά Δ = 00 m. Να βρεθεί η μάζα του σώματος. [ Απ.: m = 0 Kg ] 40. Αυτοκίνητο με μάζα m = 00 kg κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή ταχύτητα υ 0 = 7 Κm/h. Ξανικά ο οδηγός ρενάρει όποτε το αυτοκίνητο σταματάει αού μετατοπιστεί κατά Δ = 40 m. Να υπολογιστούν: α. Το μέτρο της δύναμης που ασκήθηκε στους τροχούς κατά το ρενάρισμα
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 3 - β. Η χρονική διάρκεια της κίνησης μέχρι να σταματήσει το αυτοκίνητο. [ Απ.: α. = 6000 N, β. Δt = 4 s ] 4. Σώμα μάζας m = 5 kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο σώμα ασκούνται δύο οριζόντιες δυνάμεις = 0 N και = 0 N με αντίθετες κατευθύνσεις. Να βρεθεί η μετατόπιση του σώματος σε χρόνο Δt = 4 s. [ Απ.: Δ = 6 m ] 4. Σε σώμα μάζας m = 5 kg που κινείται με ταχύτητα υ 0 = 5 m/s σε λείο και οριζόντιο επίπεδο ασκείται σταθερή δύναμη συγγραμμική και ομόρροπη της ταχύτητας. Αν το κινητό σε χρόνο Δt = 5 s αποκτά ταχύτητα υ = 5υ 0 να υπολογιστούν: α. Το μέτρο της δύναμης β. Η μετατόπιση του σώματος στον χρόνο Δt. [ Απ.: α. = 0 N, β. Δ = 75 m ] 43. Σώμα μάζας m = 4 kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο σώμα ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη. Το σώμα όταν μετατοπιστεί κατά Δ = 5 m αποκτά ταχύτητα υ = 0 m/s. Τότε η δύναμη καταργείται και στο σώμα ασκείται σταθερή δύναμη αντίθετης κατεύθυνσης. Η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται όταν το σώμα έχει μετατοπιστεί κατά Δ = 5 m από την αρχική θέση ηρεμίας. Να υπολογιστούν οι δυνάμεις και. [ Απ.: = 8 N, = N ] 44. Δύο σώματα με μάζες m = 6 kg και m = 4 kg ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τα σώματα συνδέονται με νήμα που έχει όριο θραύσης Τ θ = 36 Ν. Ποια είναι η μέγιστη τιμή της οριζόντιας δύναμης που μπορεί να ασκηθεί α. στο σώμα m, β. στο σώμα m για να μην σπάσει το νήμα. [ Απ.: α. ma = 90 N, β. ma = 60 N ] 45. Σώμα βάρους w είναι κρεμασμένο από ζυγαριά (με ελατήριο) που βρίσκεται κρεμασμένη στην οροή ανελκυστήρα. Όταν ο ανελκυστήρας ανεβαίνει με επιτάχυνση α τότε η ένδειξη της ζυγαριάς είναι Α = 0 Ν, ενώ όταν κατεβαίνει με την ίδια επιτάχυνση η ένδειξη της ζυγαριάς είναι Α = 80 Ν. Δίνεται g = 0 m/s. Να υπολογιστούν: α. Το βάρος w του σώματος β. Η επιτάχυνση του ανελκυστήρα. [ Απ.: α. w = 00 Ν, β. α = m/s ] 46. Σώμα βάρους w = 500 Ν είναι τοποθετημένο σε ζυγό με ελατήριο που βρίσκεται στο δάπεδο ανελκυστήρα. Δίνεται g = 0 m/s. Να υπολογιστεί η ένδειξη του ζυγού στις εξής περιπτώσεις: α. Ο ανελκυστήρας κινείται κατακόρυα προς τα πάνω με σταθερή ταχύτητα υ = 5 m/s β. Ο ανελκυστήρας ανεβαίνει με σταθερή επιτάχυνση α = m/s γ. Ο ανελκυστήρας κατεβαίνει με σταθερή επιτάχυνση α = m/s δ. Ο ανελκυστήρας κατεβαίνει με σταθερή επιτάχυνση α = 0 m/s ε. Ο ανελκυστήρας κατεβαίνει με σταθερή επιτάχυνση α = m/s [ Απ.: α. Α = 500 Ν, β. Α = 600 Ν, γ. Α = 400 Ν, δ. Α = 0, ε. Α = - 00 Ν ] 47. Σώμα μάζας m = kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο σώμα ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη = 4 Ν στην χρονική διάρκεια από t 0 = 0 έως t = s. Από t = s έως t = 6 s παύει να ασκείται η δύναμη. Από την χρονική στιγμή t = 6 s και μετά ασκείται στο σώμα η ίδια δύναμη. Να βρεθεί η μετατόπιση του σώματος την χρονική στιγμή t 3 = 8 s. [ Απ.: Δ = 3 m ]
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 4-48. Τα σώματα του σχήματος με μάζες m και m = 3 kg αρχικά συγκρατούνται ακίνητα. Όταν αήνονται ελεύθερα η τάση του νήματος είναι Τ = Ν. Δίνεται g = 0 m/s, η τροχαλία θεωρείται αβαρής και χωρίς τριβή, το νήμα ιδανικό και το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση των δύο σωμάτων β. Η μάζα m. m Τ Τ m w [ Απ.: α. α = 4 m/s, β. m = kg ] 49. Σώμα με μάζα m = 0 kg βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο και ηρεμεί. Στο σώμα ασκείται οριζόντια δύναμη = 50 N οπότε το σώμα αποκτά ταχύτητα υ = 6 m/s αού μετατοπιστεί κατά Δ = 8 m. Να εξετάσετε αν υπάρχει τριβή ανάμεσα στο σώμα και το δάπεδο και να υπολογιστεί το μέτρο της. [ Απ.: Τ = 30 Ν ] 50. Ένας κύβος με μάζα m = 0 kg σύρεται με οριζόντια δύναμη σε οριζόντιο επίπεδο με επιτάχυνση α =,5 m/s. Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ του κύβου και του επίπεδου είναι μ = 0, να υπολογιστούν α. Η κάθετη δύναμη που ασκεί το οριζόντιο επίπεδο στο σώμα. β. Η δύναμη. Δίνεται g = 0 m/s. [ Απ.: α. N = 00 N, β. = 45 N ] 5. Ένα σώμα μάζας m κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο έχει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,. Την χρονική στιγμή t 0 = 0 το σώμα έχει ταχύτητα υ 0 και βρίσκεται στην θέση 0 = 0. Σε χρόνο t το σώμα σταματάει. Η μετατόπισή του τότε είναι Δ = 5 m. Αν g = 0 m/s να υπολογιστούν : α. Η επιτάχυνση του σώματος β. Η αρχική ταχύτητα υ 0 γ. Ο χρόνος κίνησης t [ Απ.: α. α = m/s, β. υ 0 = 0 m/s, γ. t = 5 s ] 5. Ένα σώμα μάζας m = kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,5. Στο σώμα ασκείται την χρονική στιγμή t 0 = 0 δύναμη = 0 N η οποία σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία με συν = 0,8 και ημ = 0,6. Αν g = 0 m/s να υπολογιστούν : α. Η δύναμη της τριβής Τ και η επιτάχυνση α που αποκτά το σώμα β. Η χρονική διάρκεια Δt που απαιτείται για να αποκτήσει το σώμα ταχύτητα υ = 30 m/s γ. Η μετατόπιση του σώματος τότε. [Απ.: α. Τ = 4 Ν, α = 6 m/s, β. Δt = 5 s, γ. Δ = 75 m] 53. Σώμα αήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα σε ένα σημείο κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης = 30 0. Το σώμα κατεβαίνει ολισθαίνοντας. Δίνεται g = 0 m/s. Να βρεθεί η επιτάχυνση του σώματος και το διάστημα που διανύει σε χρόνο Δt = s. α. Aν δεν υπάρχει τριβή. 3 β. Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ του σώματος και του επιπέδου είναι μ =. 5 [ Απ.: α. α = 5 m/s, Δ = 0 m, β. α = m/s, Δ = 4 m ] 54. Ένα σώμα μάζας m = kg αήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα σε ένα σημείο κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης με συν = 0,8 και ημ = 0,6. Το σώμα παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,5 με το επίπεδο. Αν g = 0 m/s να υπολογιστούν: α. Η δύναμη της τριβής Τ β. Η επιτάχυνση α που αποκτά το σώμα γ. Ο χρόνος Δt που απαιτείται για να μετατοπιστεί το σώμα κατά Δ = 00 m
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 5 - δ. Η ταχύτητα του σώματος τότε. [Απ.: α. Τ = 8 Ν, α = m/s, β. Δt = 0 s, γ. υ = 0 m/s] 55. 55. Σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης = 30 0 και ύψους h = m αήνουμε να ολισθήσει από το ανώτατο 3 σημείο ένα σώμα. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος και του επιπέδου είναι μ = 5 και δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 m/s να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του σώματος. β. Ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα για να τάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. [Απ.: α. α = m/s, β. Δt = s] 56. Ένα σώμα μάζας m = kg εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα υ 0 = 0 m/s προς τα επάνω παράλληλα στην επιάνεια κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης = 30 0. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του 3 σώματος και του επιπέδου είναι μ = και δίνεται g = 0 5 m/s, να υπολογιστούν: α. Η δύναμη της τριβής Τ και η επιτάχυνση α που αποκτά το σώμα β. Ο χρόνος Δt που απαιτείται για να σταματήσει στιγμιαία το σώμα γ. Η μετατόπιση του σώματος τότε δ. Θα ξεκινήσει το σώμα να κινείται προς τα κάτω; [ Απ.: α. Τ = 3 Ν, α = 8 m/s, β. Δt =,5 s, γ. Δ = 5 m, δ. ναι ] 57. Ένα σώμα μάζας m = kg ανεβαίνει προς τα επάνω παράλληλα στην επιάνεια κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης με την βοήθεια δύναμης = 30 N της οποίας η διεύθυνση είναι παράλληλη στην επιάνεια του κεκλιμένου επιπέδου. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος και του επιπέδου είναι μ = 0,5, δίνεται g = 0 m/s και συν = 0,8, ημ = 0,6 και την t 0 = 0 είναι υ 0 = 0, να υπολογιστούν : α. Η δύναμη της τριβής Τ β. Η επιτάχυνση α που αποκτά το σώμα γ. Ο χρόνος Δt και η μετατόπιση Δ για να αποκτήσει το σώμα υ = 40 m/s [Απ.: α. Τ = 8 Ν, β. α = 5 m/s, γ. Δt = 8 s, Δ = 60 m] 58. Ένα σώμα μάζας m = kg ανεβαίνει προς τα επάνω παράλληλα στην επιάνεια κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης με την βοήθεια δύναμης = 60 N της οποίας η διεύθυνση είναι οριζόντια. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος και του επιπέδου είναι μ = 0,5, για την γωνία είναι συν = 0,8, ημ = 0,6, δίνεται g = 0 m/s και την t 0 = 0 είναι υ 0 = 0, να υπολογιστούν: α. Η δύναμη της τριβής Τ β. Η επιτάχυνση α που αποκτά το σώμα γ. Ο χρόνος Δt και η μετατόπιση Δ για να αποκτήσει το σώμα υ = 0 m/s [Απ.: α. Τ = 6 Ν, β. α = 5 m/s, γ. Δt = 4 s, Δ = 40 m] 59. Σώμα με μάζα m = kg βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο και ηρεμεί. Στο σώμα ασκείται οριζόντια δύναμη = N και αποκτά ταχύτητα υ = 6 m/s σε χρόνο Δt = s. Δίνεται g = 0 m/s. Να υπολογιστούν: α. Η δύναμη της τριβής Τ. β. Ο συντελεστής τριβής σώματος επιπέδου. γ. Αν η δύναμη πάψει να ενεργεί μετά από χρόνο Δt = s μετά την εαρμογή της να υπολογιστεί μετά από πόσο συνολικό χρόνο θα σταματήσει το σώμα και ποια θα είναι η συνολική μετατόπισή του. [ Απ.: α. Τ = 6 Ν, β. μ = 0,3, γ. Δt ολ = 4 s, Δ ολ = m ]
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 6-60. Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο και οριζόντιο επίπεδο. Στο σώμα ασκείται δύναμη που σχηματίζει γωνία = 30 0 με το οριζόντιο επίπεδο ώστε η αντίδραση από το επίπεδο να είναι ίση με μηδέν. Να υπολογιστεί ο χρόνος στον οποίο το σώμα μετατοπίζεται κατά Δ = 0 3 m. Δίνεται g = 0 m/s. [ Απ.: Δt = s] 6. 6. Στην διάταξη του σχήματος τα βάρη των σωμάτων Σ και Σ είναι Σ Τ αντίστοιχα w = 60 Ν και w = 40 Ν, ενώ ο συντελεστής τριβής του Σ με το δάπεδο είναι μ = 0,. Δίνεται g = 0 m/s. α. Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης που πρέπει να ασκηθεί οριζόντια στο σώμα Σ ώστε το σώμα Σ να ανέρχεται με σταθερή επιτάχυνση α = 0,5 m/s. β. Με ποια δύναμη τείνεται το νήμα τότε. [ Απ.: α. = 73 N, β. T = 63 N ] Τ Σ w 6. Ένας μαθητής κρατάει ανάμεσα στις παλάμες των δύο χεριών του κατακόρυα ένα βιβλίο με μάζα m = 0,8 kg πιέζοντας το με κάθετη δύναμη k = 5 N. Δίνεται g = 0 m/s. Να υπολογιστούν: α. Ο συντελεστής τριβής ανάμεσα στα χέρια του μαθητή και το βιβλίο. β. Η δύναμη που ασκεί ο μαθητής στο βιβλίο (μέτρο και διεύθυνση). [ Απ.: α. μ = 0,8, β. A = 6,4 N με ε =,5 ] 63. Στη διάταξη του σχήματος το σώμα Α έχει βάρος w = 80 Ν και συντελεστή τριβής με το δάπεδο μ = 0,3. Αν είναι = 45 0 να υπολογιστούν: α. Το μέγιστο βάρος του σώματος w ώστε το σύστημα να ισορροπεί. β. Οι δυνάμεις στα νήματα τότε. [Απ.: α. w = 4 N ] Σ Δ Α 64. Σώμα με μάζα m = 6 kg κινείται υπό την επίδραση δύναμης σε κατακόρυο τοίχο όπως αίνεται στο σχήμα. Ο συντελεστής τριβής σώματος τοίχου είναι μ 3 = και = 5 600. Αν δίνεται g = 0 m/s να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης για να μετατοπιστεί το σώμα με σταθερή ταχύτητα: α. προς τα επάνω. β. προς τα κάτω. [ Απ.: α. = 800 N, β. = 00 N ] 65. Ένα σώμα χρειάζεται διπλάσιο χρόνο για να ολισθήσει σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσης θ = 45 0, παρά σε ένα όμοιο λείο κεκλιμένο επίπεδο της ίδιας κλίσης. Να βρεθεί ο συντελεστής τριβής ολίσθησης. [ Απ. : μ = 0,75 ] 66. Το σώμα μάζας m = 0 kg που είναι τοποθετημένο σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης = 30 0 είναι δεμένο με νήμα με άλλο σώμα μάζας m όπως αίνεται στο σχήμα. Αν ο συντελεστής 3 τριβής μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι μ = να βρεθεί 5 ανάμεσα σε ποιες τιμές πρέπει να βρίσκεται το βάρος w ώστε το w να ισορροπεί. [ Απ.: 0 Ν w 80 Ν ] w w
o ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ - 7-67. Σώμα ολισθαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης με υ 0 = 0, μετατοπίζεται κατά Δ 0 και συνεχίζει χωρίς διακοπή να κινείται σε οριζόντιο επίπεδο οπότε μετατοπίζεται κατά Δ και ηρεμεί. Να βρεθεί ο συντελεστής τριβής μ αν έχει την ίδια τιμή και στα δυο επίπεδα. Δίνεται η γωνία = 60 0 και ο λόγος Δ 3 κ = =. [ Απ.: μ = Δ ] 5 0 68. Ένα σώμα βάρους w = 6N στην επιάνεια του πλανήτη Χ, αρχίζει τη χρονική στιγμή t 0 = 0 να κινείται σε οριζόντιο δάπεδο με τη βοήθεια οριζόντιας δύναμης = 4N. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και δαπέδου είναι μ = 0,5 και το σώμα κινείται με επιτάχυνση 3m/s, να υπολογίσετε α. το μέτρο της τριβής ολίσθησης που ασκείται στο σώμα. β. τη μάζα του σώματος. γ. την ταχύτητα του σώματος όταν έχει μετατοπιστεί κατά Δ = 6m. 69. Στην εικόνα του διπλανού σχήματος τόσο η τροχαλία όσο και το νήμα είναι αμελητέας μάζας. Το σύστημα βρίσκεται στην επιάνεια του πλανήτη Χ και γνωρίζουμε ότι w w = 0N και ότι m + m = 0kg.Το σύστημα αήνεται ελεύθερο από την ηρεμία ενώ τα δύο σώματα βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Να υπολογίσετε α. την κοινή επιτάχυνση που αποκτούν τα σώματα. β. την ταχύτητά τους τη χρονική στιγμή t = s. γ. τη χρονική στιγμή που τα σώματα θα απέχουν κατακόρυα μεταξύ τους κατά d = 8m