ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

Transcript

1 ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Συνισταμένη δυο ή περισσοτέρων δυνάμεων οι οποίες ενεργούν ταυτόχρονα σε ένα σώμα λέγεται η δύναμη που επιέρει τα ίδια μηχανικά αποτελέσματα που επιέρουν όλες μαζί Τις δυνάμεις,f,... που δίνουν την συνισταμένη τις ονομάζουμε συνιστώσες δυνάμεις Οι δυνάμεις διακρίνονται σε. συγγραμμικές δυνάμεις οι οποίες είναι οι δυνάμεις που οι διευθύνσεις τους είναι στην ίδια ή σε παράλληλες ευθείες F (σχήμα ) F (σχήμα ) Οι συγγραμμικές δυνάμεις διακρίνονται σε.α Ομόρροπες συγγραμμικές δυνάμεις : Είναι οι συγγραμμικές δυνάμεις που έχουν την ίδια ορά (σχήμα ).β Αντίρροπες συγγραμμικές δυνάμεις : Είναι οι συγγραμμικές δυνάμεις που έχουν αντίθετη ορά (σχήμα ) και. μη συγγραμικές δυνάμεις : οι οποίες είναι οι δυνάμεις που οι διευθύνσεις τους δεν είναι στην ίδια ή σε παράλληλες ευθείες F ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Α) οι δυνάμεις είναι ομόρροπες και συγγραμμικές: Η συνισταμένη δύναμη έχει την ίδια κατεύθυνση με τις συνιστώσες και μέτρο ίσο το άθροισμα των μέτρων των συνιστωσών = +F F F Αν = 5Ν και F = 0Ν τότε = + F = 5+0 = 5N B) οι δυνάμεις έχουν αντίθετες κατευθύνσεις( Αντίρροπες συγγραμμικές δυνάμεις ): η συνισταμένη δυναμη έχει την ορά της μεγαλύτερης δύναμης και μέτρο ίσο με την διαορά των μέτρων τους = -F F F

2 Αν = 5Ν και F = 0Ν τότε = F = 0-5 = 5N Γ) Σύνθεση πολλών συγγραμμικών δυνάμεων : Έστω ότι σε ένα σώμα ασκούνται πολλές συγγραμμικές δυνάμεις.για να βρούμε την συνισταμένη τους ακολουθούμε την εξής διαδικασία Βήμα ο : επιλέγουμε την θετική ορά Για τις οριζόντιες δυνάμεις θεωρούμε ως θετική ορά την προς τα δεξιά ορά Για τις κατακόρυες δυνάμεις θεωρούμε ως θετική ορά την προς τα πάνω ορά Βήμα o : όσες οριζόντιες δυνάμεις κοιτούν προς τα δεξιά ( αντίστοιχα όσες κατακόρυες δυνάμεις κοιτούν προς τα πάνω ) τις βάζω με πρόσημο ( +) ενώ όσες οριζόντιες δυνάμεις κοιτούν προς τα αριστερά ( αντίστοιχα όσες κατακόρυες δυνάμεις κοιτούν προς τα κάτω ) τις βάζω με πρόσημο ( +) Βήμα 3 ο : Αν η συνισταμένη των δυνάμεων έχει πρόσημο (+) την σχεδιάζω προς τα δεξιά (ή αντίστοιχα προς τα πάνω ). Αν η συνισταμένη των δυνάμεων έχει πρόσημο (-) την σχεδιάζω προς τα αριστερά (ή αντίστοιχα προς τα κάτω ) Παράδειγμα F F 4 F 3 F Αν = 5Ν, F = 0Ν, F 3 = 8Ν, F 4 = 4Ν = + F - F 3 - F 4 = = 5- = 3N (ορά προς τα δεξιά για το πρώτο σχήμα, ή ορά προς τα πάνω για το ο σχήμα ) Παράδειγμα F 3 F 4 F 4 F 3 F Αν = 5Ν, F = 0Ν, F 3 = 8Ν, F 4 = 4Ν = + F - F 3 - F 4 = = 5- = -7N (ορά προς τα αριστερά )

3 ΣΥΝΘΕΣΗ ΜΗ ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Α. ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Όταν οι δυνάμεις σχηματίζουν γωνία 90 ο, δηλαδή είναι κάθετες μεταξύ τους, η διεύθυνση σχηματικά βρίσκεται από το κανόνα του παραλληλογράμμου ( από τα άκρα της κάθε δύναμης έρουμε διακεκομμένες ευθείες παράλληλες στην άλλη δύναμη. Η συνισταμένη είναι μια δύναμη με αρχή την κοινή αρχή των δυο συνιστωσών δυνάμεων, και τέλος στο σημείο στο οποίο συναντώνται οι διακεκομμένες) Φ F το μέτρο της συνισταμένης βρίσκεται από το Πυθαγόρειο Θεώρημα και είναι = F F Και σχηματίζει γωνία με την οριζόντια δύναμη που δίνεται από την σχέση F ε= και γενικά ανεξάρτητα από τον συμβολισμό των F δυνάμεων ε= κατακόρυη δύναμη οριζόντια δύναμη Παράδειγμα Αν = 3 Ν, F = Ν τότε = F = = F ( 3) = 3 = 4 =Ν F Και ε= F = 3 = 30 ο Εαρμογή της ιδιότητας των κάθετων δυνάμεων. Δύναμη που δέχεται από την επιάνεια ένα σώμα που κινείται πάνω στην επιάνεια αυτή Α Ν Το σώμα του σχήματος δέχεται από την επιάνεια πάνω στην οποία βρίσκεται δυο δυνάμεις Α) την κάθετη αντίδραση Ν Τ Β) την τριβή ολίσθησης Τ ολ Η δύναμη αντίδρασης Α που δέχεται το σώμα από το οριζόντιο επίπεδο δίνεται από το διανυσματικό άθροισμα σχέση Α= A N T και το μέτρο της από την N και η διεύθυνση της προσδιορίζεται από την σχέση ε= T Α. ΠΟΛΛΕΣ ΚΑΘΕΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Αν σε ένα σώμα ασκούνται πολλές δυνάμεις που είναι κάθετες μεταξύ τους ( οριζόντιες και κατακόρυες εργαζόμαστε ως εξής : Βήμα Ο : κατασκευάζουμε δυο κάθετους άξονες (ορθογώνιο σύστημα αξόνων ) που η αρχή τους ταυτίζεται με την αρχή των δυνάμεων

4 Τον οριζόντιο άξονα χχ Τον κατακόρυο άξονα Βήμα ο : Βρίσκω την συνισταμένη των δυνάμεων μόνο στον άξονα χχ (την x ). Οι δυνάμεις στον άξονα χχ είναι συγγραμμικές μεταξύ τους Βήμα 3 ο : Βρίσκω την συνισταμένη των δυνάμεων μόνο στον άξονα (την ). Οι δυνάμεις στον άξονα είναι συγγραμμικές μεταξύ τους Βήμα 4 ο : οι x και είναι κάθετες μεταξύ τους οπότε χρησιμοποιώ την μεθοδολογία των κάθετων δυνάμεων δηλαδή Y = F Y και ε= Παράδειγμα Nα βρείτε την συνισταμένη των δυνάμεων αν = 5Ν, F = 0Ν, F 3 = 9Ν, F 4 = 4Ν, F 5 = Ν F 4 χ F 3 F χ F 5 H συνισταμένη των δυνάμεων στον άξονα χχ είναι x = + F - F 3 = = 5-9 = 6N (ορά προς τα δεξιά ) Η συνισταμένη των δυνάμεων στον άξονα είναι = F 4 F 5 = 4- = -8N (ορά προς τα κάτω ) x Και = F Y = = 0Ν Y 8 4 Με ε= = = ( 8) = = 00 Α.3 ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΟΥΝ ΤΥΧΑΙΑ ΓΩΝΙΑ Για να βρούμε την συνισταμένη δυο δυνάμεων που σχηματίζουν γωνία χρησιμοποιούμε την μέθοδο του παραλληλογράμμου Η F συνισταμένη F συμπίπτει με την διαγώνιο του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν οι και F Ισχύει ότι F

5 = F F. F. F. F Και εθ = F F Όπου θ η γωνία που σχηματίζει η συνισταμένη με την οριζόντια δύναμη Παράδειγμα Nα βρείτε την συνισταμένη των δυνάμεων αν = 3 Ν, F = Ν και =30 ο Τότε = F F. F.. = ( 3) = F = 7 6 = 3 Ν και εθ = F F = F 3 3 = Α.4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΕ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ Ανάλυση μιας δύναμης σε συνιστώσες είναι η αντικατάσταση της δύναμης από δυο δυνάμεις οι οποίες ασκούμενες αντί για αυτήν στο ίδιο σώμα θα προκαλούσαν το ίδιο αποτέλεσμα. Όταν θέλουμε να αναλύσουμε μια δύναμη F σε δυο κάθετες μεταξύ F ψ F τους συνιστώσες εργαζόμαστε ως εξής : O F χ Βήμα Ο : κατασκευάζουμε δυο κάθετους άξονες (ορθογώνιο σύστημα αξόνων ) που η αρχή τους ταυτίζεται με το σημείο εαρμογής της δύναμης F Τον οριζόντιο άξονα χχ Τον κατακόρυο άξονα Βήμα ο : Τότε οι συνιστώσες αντιστοιχούν στις προβολές της F στους ορθογώνιους άξονες (Φέρνουμε διακεκομμένες,κάθετες στους άξονες. Οι συνιστώσες F x,f ξεκινούν από το σημείο εαρμογής της δύναμης F και καταλήγουν στο σημείο που οι διακεκομμένες συναντούν τους άξονες ) Αν γνωρίζουμε την γωνία που σχηματίζει η F με έναν από τους άξονες μπορούμε να υπολογίσουμε τις συνιστώσες με την βοήθεια των τριγωνομετρικών αριθμών : συν = F F F χ =F.συν και ημ= F F Y F ψ /F F Y =F.ημ Παράδειγμα :Aν F= 0N και =60 ο τότε F χ =F.συν F χ = 0. συν60 ο F χ = 0. F χ =5Ν και F Y =F.ημ F Y =0.ημ60 ο 3 F Y =0. F Y =5 3 Ν

6 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΠΟΥ ΘΑ ΣΥΝΑΝΤΗΣΟΥΜΕ Α.4. Σώμα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο υπό την επίδραση πλάγιας δύναμης F που σχηματίζει γωνία με το οριζόντιο δάπεδο F Y F τότε F χ =F.συν Και F Y =F.ημ F χ Α.4. Σώμα βρίσκεται σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης.εδώ αναλύουμε το βάρος w Παρατηρήσεις Α) ο άξονας χχ βρίσκεται κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου και ο κάθετος σε αυτόν Β) η γωνία του κεκλιμένου επιπέδου είναι ίση με την γωνία που σχηματίζεται ανάμεσα στο βάρος w και τον άξονα x w x w w και w x = w.ημ w = w. συν Α.4.3 Σώμα το οποίο κρέμεται δεμένο από νήμα που σχηματίζει γωνία με την κατακόρυο H γωνία είναι ίση με την γωνία ανάμεσα στην τάση του νήματος και τον άξονα Τ Τ (ως εντός εναλλάξ) οπότε Τ =T.συν και Τ x =T. ημ T x

7 Α.5 ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Παράδειγμα : Nα βρείτε την συνισταμένη των δυνάμεων αν = 5 Ν, F = 0Ν, F 3 = 9Ν, F 4 = 4Ν, F 5 = Ν F 4 χ F 3 F χ F 5 χ Για να λύσουμε μια τέτοια άσκηση εργαζόμαστε ως εξής : Βήμα Ο : κατασκευάζουμε δυο κάθετους άξονες (ορθογώνιο σύστημα αξόνων ) που η αρχή τους ταυτίζεται με την αρχή των δυνάμεων ) Τον οριζόντιο άξονα χχ )Τον κατακόρυο άξονα Βήμα ο : Αναλύουμε την δύναμη που δεν βρίσκεται πάνω στους άξονες σε συνιστώσες Π.χ στο σχήμα μας η δεν βρίσκεται πάνω στους άξονες οπότε αναλύεται σε χ =.συν χ = 5. συν45 ο χ = 5. χ =5Ν και Y =F.ημ Y =5.ημ60 ο Y =5. Y =5 Ν Βήμα 3 ο : Βρίσκω την συνισταμένη των δυνάμεων μόνο στον άξονα χχ (την x ). Οι δυνάμεις στον άξονα χχ είναι συγγραμμικές μεταξύ τους Π.χ H συνισταμένη των δυνάμεων στον άξονα χχ είναι x = χ + F - F 3 = = 5-9 = 6N (ορά προς τα δεξιά ) Βήμα 4 ο : Βρίσκω την συνισταμένη των δυνάμεων μόνο στον άξονα (την ). Οι δυνάμεις στον άξονα είναι συγγραμμικές μεταξύ τους Π.χ Η συνισταμένη των δυνάμεων στον άξονα είναι = F 4 F 5 = 4- = -8N (ορά προς τα κάτω ) Βήμα 5 ο : οι x και είναι κάθετες μεταξύ τους οπότε χρησιμοποιώ την μεθοδολογία των κάθετων δυνάμεων δηλαδή = Y F και ε= F Y x Και = F Y = = 0Ν Y 8 4 Με ε= = = ( 8) = = 00