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FELIPE ANDRADE APOLÔNIO UM MODELO PARA DEFEITOS ESTRUTURAIS EM NANOMAGNETOS Dissertação apresentada à Universidade Federal de Viçosa, como parte das exigências do Programa de Pós-Graduação em Física Aplicada, para obtenção do título de Magister Scientiae. APROVADA: 07 de julho de 2010. Prof. Tiago José de Oliveira Prof. Sidiney de Andrade Leonel Prof. Alexandre Tadeu Gomes de Carvalho Prof. Lucas Álvares da Silva Mol Prof. Winder Alexander de Moura Melo (Orientador)

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s r çõ s r s s r t s ô s ét s r t 3 çã s t r çã M s rr t çã t r t r T r 3 r t r t r r T c r r t r r rê r sã ás rr t s r é rt r 1 çã à t r çã tr tr s s s 1 stê s í s t 3 s r t s r çõ s ã é s s s çã s q s sã t 3 s rt s r çõ s ã t r t st ss t s r s áss s 1 r q t t t r r t s r s s s s r r s t r r q str q ís áss ã 1 r q q r ô ét s ss t étr ã t r ét trár r t s q t r s ét 1t r s s s tô s s rr t s t é t r tr s t t r s tr s s ró r r çã t r çã tr s r s s r r s q â t s s s s q s à t r çã tr ét s r s t tr s étr s ã r à t r çã tr à s rtâ st s st s ét s r s t r s s ssã t t r çã tr P st r r t r s t r s tr s t r çõ s t é rt t s st ô s ét s

s r çõ s r s s r t s ô s ét s t r çã tr s trô t s Pr í 1 sã P q s r q át r s étr s st q â t s q ê t t r çã é q çã t t s s étr s r t s étr P r s r s ss s s r q çã rö r t t r s s s s étr s s r q çã s ã tr q çã rö r s r st à rt 2 2m ( 2 1 + 2 2)ψ( r 1, r 2 )+V( r 1, r 2 )ψ( r 1, r 2 ) = Eψ( r 1, r 2 ), q é st t P r 2π m é ss étr s í s 1 2 r r s às s çõ s s s étr s 1 st q tr ss s r s s s q r s r r s t r r,,, q s t r r r s t st s S z = + /2 s t r 1 r r s t st S z = /2 rt r ss s çõ s s str r çã t s étr (χ A ) três çõ s s étr s (χ S ) χ A = 1 2 ( ) χ S = 1 2 ( + ) q çã rr s s q s s s stã t r s st s t s s t çõ s s r t s q çã rr s s s s s stã r s st tr t s r s tr r çõ s s s s étr s t s étr s s r φ çã rtí α β s st s r t s

s r çõ s r s s r t s ô s ét s t s ψ S ( r 1, r 2 ) = 1 2 [φ α ( r 1 )φ β ( r 2 )+φ α ( r 2 )φ β ( r 1 )] ψ A ( r 1, r 2 ) = 1 2 [φ α ( r 1 )φ β ( r 2 ) φ α ( r 2 )φ β ( r 1 )] 3 r s r s rtí s s r 1 r tr ( r 1 r 2 ) t s q ψ S 2φ α φ β q t ψ A 0 str q é r á q rtí s st t s étr s tr ró1 s s q çã t t étr é r r t rt s rt s t t s t çã s r t s étr q q s rt s r s étr (ψ S ) çã s s r t s étr χ A rs ss s ssí s çõ s t t s sã Ψ total = ψ S ( r 1, r 2 ) χ A Ψ total = ψ A ( r 1, r 2 ) χ S sí t r t t s r 1 ê q s r çã r s s st t 3 r çã t t q s t s étr tr s rtí s 3 t tr s r á s s s s s rtí s s rt s s t ss r rç s ss r t çã r t s s s s t ô s rç tr t r çã tr t ss t q â t q ã ss á áss t 3 r s q s t r str r t s r t s r s r t r çã tr s étr s U( r 1, r 2 ) = e2 4πǫ 0 r 12 r 12 é stâ tr s étr s r s r é s s çõ s s s t r çã ã s U = e2 4πǫ 0 ψ ( r 1, r 2 ) 1 r 12 ψ( r 1, r 2 )d 3 r 1 d 3 r 2 st t ψ( r 1, r 2 ) = 1 2 [φ α ( r 1 )φ β ( r 2 )±φ α ( r 2 )φ β ( r 1 )] t s U = E ± J

s r çõ s r s s r t s ô s ét s E = e2 4πǫ 0 J = e2 4πǫ 0 φ α( r 1 )φ β( r 2 ) 1 r 12 φ α ( r 1 )φ β ( r 2 )d 3 r 1 d 3 r 2 φ α( r 1 )φ β( r 2 ) 1 r 12 φ α ( r 2 )φ β ( r 1 )d 3 r 1 d 3 r 2 t s q E r r s t r é s st t r s r ú t r r s t s ã áss s t r í 1 sã ss s çã r í P s t r 1tr J t r st t tr q rr s à r ç tr s st s s t tr t s ± 1 r ssã st s s s t tr t s r t r çã tr s étr s ã r st s r é rá s tã s r q r s st ss s r s r t t r s s r á s s P r t t s r s U s t r U = E ± J S 1 S 2 à s ê s r r s S i s s r çõ s s t s r s s r 3 s t r /2 st r t r s q S 1 S 2 = +1 rr s s s s st r r s st tr t S 1 S 2 = 1 rr s s s s st r t r s st s t r r t çã r tr r 1 r r ét s t r s r r s r 1928 t s r é tã r H = ±2J 12 S1 S 2 J 12 t t tr stá ss s étr s 1 2 s q st s t çã s r s s étr s é r t t s s tr t t át s s st s ét s tê t s étr s q çã rö r st s st t s étr s ã s r r s s s s çõ s r 1 çõ s t s q t t r çã s r t tr át s 3 s s t r çã r s t q t s r s çã çõ s q s s t r r á s tr sít s 3 s st s r çã s P r 1 r rr st t tr é J 3,45 10 21

s r çõ s r s s r t s ô s ét s s r r s st s t s át s H = <i,j>j ij Si S j J ij s st t tr tr s i s j t çã <, > q s é t tr r r s 3 s r 1 çã é 3 r J ij = J r 3 s s ró1 s J ij = 0 r s s 3 s t r çã rt ss H = J <i,j> S i S j ss t s q t r é í s tór s t s s t r çã s 3 s s r t é q s ± r s t ã r s s st s J r s t r J > 0 J < 0 s r s s q r çã r r r s q J < 0 é t q S i S j < 0 rr t t r r t rr ét á r r r s q J > 0 é t q S i S j > 0 t s t r r rr ét ss s rt t s sã str s r r s q st t r çã ét 1t r H s r tr 3 çã t r r r ih S i r rr ét à r t str çã sq át r t rr ét à sq r t s t çã q s st r étr s t r r t t s át s 3 s é tr r t s ã á ss át s

s r çõ s r s s r t s ô s ét s t r ár s tr t t s r s çã s çõ s é q tr r t ã r r s t s t r s r r s ét s P r ss t s st tr r t é r s sá r t s r r s r sã tr r t é r s t r rê r s t é rr t s t rr t s t r çã tr r r rs s t s rr s s s s s s tô s r çã s s t rr t s é rr t s s s s t s t s st s s ss t s r t s á rr s ô s s r s s s ss s t rr t rr t st çõ s t s s t r s s r s s s r s r 3 ét P r 1 t r s r s r ss t r r sã r t t 3 s t s ór s s rí s í s r t s tr tr s 1 t s s st s 5 2 14 r 2 P r tr t r s t t s s t s 1 r s r t 3 s t s r çã ét t s ú s tr s r r s t s t r P r 2 s t r s r s s t r çã r r tr s s ét s µ 1 µ 2 á s r s r stâ r é r E dip = µ 0 4πr 3[ µ 1 µ 2 3 r 2( µ 1 r)( µ 2 r)] µ 0 é r ét á s ss q t r çã tr s E dip stâ t r çã r t çã r t tr s P r st t E dip s s r s tí s µ 1 = µ 2 = 1µ B r = 2 é ss s r s µ 1 r µ 2 st s r s r µ B = e 2m e é r m ss étr é t r

s r çõ s r s s r t s ô s ét s st s t çã tr s q E dip = µ 0µ 2 B 2πr 3 = 2,1 10 24 t r t r rr s t E = k B T k B é st t t3 st r r é r q t t t r t r r t rr t s t r t r r t t s s t t r t r r rr é t r st r s q t r çã r é t q r s r r t rr ét s tr ét s s çõ s t r r s st s s r t t 3 çã s çã ét é s r t s s à t r çã tr é s rr t s tr s r çõ s ét s t t s s r çõ s t s té q r r s s s st s s tró s st é s st s s r r s ís s sã ê t s t s s r çõ s st s çã ós s st r s q t t t t s ét s t s r çõ s r st rá s P r 1 t s r r r s t é t t s tró ã t ssí r çã q t r ss s r r st 3 P r str r ss sã s tr s s q s r t s s r s rt t rr t t t s tró t r t r s 1 s st é 1 s r s tér s rç tr é s t r t r s s s r s r çã st s s s r çã s ç t ét µ = gµ B S q g é t r s s r q µ 3 â θ ét 1 H r t r çã tr t 3 çã é µh cos θ q í r tér r t r s r çã rt r â θ t r t r T é r r e E/k BT = e xcosθ x = (µh)/(k B T) ss é r ss rr t s é

s r çõ s r s s r t s ô s ét s cosθ = 2π π 0 0 cosθexcosθ senθdθdφ 2π 0 π 0 excosθ senθdθdφ = cothx 1 x = L(x) L(x) é çã sq r é çã θ t r H t r tár r çã t 3 çã ( ) M H µh M = cosθ = L k B T á s s s s r H = 0 str q s t é s q t t q t s rr t s sã st t st s s r t s P rt t s t ã ss tr t r r r s t st s t r s t r st q é à t s r s tró t r s ssí r q q r t 3 çã ã t r s t r 1 r t r t r r t 3 çã r str tr 3 ã s 1 r t s q r 3 rá s r s t é 1 r ê ár r 1 s q s s s t s q r 3 r çã s tê r s s s q r s sá s r t é s st é t q t r s ét s r s ã sã s tró s q t s s r s θ sã t r á s s r s t r s r t s rt t s t s s tr s tr t r st t r çã s ór t ss t tr s t s r s s r t étr ss t r çã r s s s t s çã é st t r s r à t r çã tr t t t t r çã é r s sá s tr t r st s ór t s étr stã r s à str t r r st rá r s s t r çõ s s s s s 3 q st s r r r s 1 s r st rá s s tr t t á r çõ s s ç s q s t r ét é s á s t 3 r q tr s 1 s á s s q t r ç r s 1 s s r 1 r ss t r r t r çã

s r çõ s r s s r t s ô s ét s r t r st é rr q r t q q r r tr t t 3 çã M é t r q s q 1 s t r tr s tr çã s tr á r q s t s s t r s rr ét s s tr s q s stã s t r s ét s s q tê s P r 2 tr t t r ss t r q r çã t 3 çã é t r s r t s tr s r tr ã t q q r r çã s ç s tã q t r tr t t r t s s s s r s s s tr s ss q t r t r st t t á s rt s r çõ s r st rá s t s s s t r s t t r t s s s r s t r r çã s ã sã r s sá s r çã s í s ét s t r q s s í s s rá st t rt s r t r çã s ór t r s r r r í s t ór s s r s s tr sã s r t s 1 r ssõ s ó s s q s sã 1 sõ s sér s tê q t s tr r st s s t s t s 1 r t s á tr t t 1 r ssõ s r r t s s st s r st rá s s st s ú s t tr s 1 s s tr r str s r st s s r t çã r r s s rã s ã s s q q r s tr t r st rt t s tró tr t t é s t r r s s ér s s s str ã é s ér tã s r çõ s s í s rr s q s r r s t s s 1 s á s t 3 çã q sã s s t r str st t s tr é t é r t stát t s r t r çã áss tr s P r t r s r s st s tr r s s s s q çõ s 1 èr t r s t 3 s s t rr t s s r s ç q q r t rr t é t q H d = 0

s r çõ s r s s r t s ô s ét s st st rr t s s r r s s ét s s t r s tr t r H d s r t H ext q é r 3 1t r t à str str t 1 ó s s s r í q à r çã r str 2 r str st tã é r s sá rrê t r r str s t 3 çã Hd r 3 str çã t 3 çã çã M s çã é s H d s r t r t t s r Φ á s tr stát s s çã s t çã t s H d = Φ tr q çã 1 é B = 0 B é çã ét r s st t s q çõ s t s q 2 Φ in = M q s r á tr s t r s rr ét s P s t r r tr stát ρ M = M s s étr r ét s çã r Φ s q ã á çõ s t r s r í t r é Φ in ( r) = 1 4π V M( r ) r r d 3 r V é rr t r é s çã s ç t é r é s çã rçã d 3 r rr t 3 t s r r s r r s t r t A q B = A í tr r q çã r s çõ s t r r A

s r çõ s r s s r t s ô s ét s á r ã 1t r t r M = 0 tã B = µ 0 Hd ss q çã r ss r ã é 2 Φ out = 0 rt r s q çõ s 1 q s t s H d r s à s r í t t tr r t r ã rr t s s r s sã tí s ss s t s B r r s à s r í st s r q r t s às çõ s t r s r í S rr t Φ in S = Φ out S, Φ in n Φ out = M S n ˆn S ˆn é t r tár r à s r í r rr ét s s t r çã q s r s r st s çõ s t r q r s q t s r r t q s q rφ r 2 Φ ã r r r r st r r s q rt t t r s stâ s rr t é s q t r t r q s r s r s t 3 çã 3 r r rt t çã t r r ê AdV = A ˆndS ρ V S M q çã s r í ss s ss r q t 3 r s s r r ét σ M = M ˆn st r 3 s r s 1 r ssã r Φ t s q t s s r íst çõ s tr s r s é r Φ( r) = 1 4π V M( r ) r r d 3 r + 1 4π S ˆn M( r ) r r ds r s Φ H d s r tr r t stát s r r s t E mag = 1 2 V µ 0 M Hd d 3 r

s r çõ s r s s r t s ô s ét s t r çã é t rr t V rt r st r s t s r r q r t stát é 3 q str ã 1 ó s M = 0 M ˆn = 0 q sã st t s t s r r s H d q t q s r r r s st t r r s r s r t stát st q çã s é q t r çã H d r s tr s s s t r tr 3 t r t r s 3 s t r çã tr s s st t s r r s s r r t stát r s sá 1 stê s í s ét s s é st t r r q r r s sã rr t í s s s t r s rr ét s r t r í s r 3 r t t r r r é r r s t çã sq át í s ét s q sã s r s s s r s í s s q s sã r õ s r s ó s q tê r t r 2 r r s q s s s q s r s t r r í s ét s r s í s r 180 90 r r t r r rê á tr s t s s tr é s s s t s P s t r t str çã q q rr t é t 3 s r tr 1 r çã t 3 çã t r á çã M t r s t 3 çã q r s 3 q P r 2

s r çõ s r s s r t s ô s ét s s çã r é ss r 1 s tr t rs t t é ss 1 t str çã s t é s tr 3 é s r r 1 q q é s t â íq s str t s q ét étr é r t s çã s tr 1 s s é 3 s t s tr é 1 í tr t t q t t t P s t r s tr s r í t r q stá ss à ss tr 1 s r í r çã rt t r str s s r í t 3 s ró1 s ã t 3 s rt 1t r str t q r tr st t ã s r àq t r r s t ã ét té s tr r rr ét s t s r rr t r t é t r t r t r s s s s r í s r s tró t t s r é s tró ós st r s s t s s tr é t r s t r t r s à 1 r ssã s tró q t r s ç t ô r r q s r r s rs s t r s st r 1 r ssã r t s s r s tró s r r H = J <i,j>( S x i S x j +S y i Sy j +λsz is z j ) q λ é st t s tr st t té s s s t q râ tr s tr λ r st s s s t s s s s tró r λ = 1 r r s s r s tró s s s ã tê r çã r r 1 t s s í s 2+ 3+ á tr s rsõ s s tró s s r s t s r s s rt r s s r 1 r rê

s r çõ s r s s r t s ô s ét s r r s t çã sq át rr t s tr 1 á r r s t çã sq át rr t s tr á 1 á r λ > 1 s s s tê r rê t r r çã 1 z r 1 st r t r 3 s tr 1 á r s 1 s 3 r r 3 4 P á r 0 < λ < 1 s s s t s r xy r q rr t s r á sq s áss stá str r ít

s r çõ s r s s r t s ô s ét s t r P r é s s t s t s s r t r ss t s t r P r st s s sã t s 3 s λ = 0 H = J <i,j>( S x i S x j +S y i Sy j) s r t t r P r ss ír 1 r ssõ s s r ç s s r s t r r ss r â tr t s st rr q í é S 2 = (S x ) 2 +(S y ) 2 + (S z ) 2 = 1 1 st s três t s s ss q t r P r t s í S 2 = (S x ) 2 + (S y ) 2 = 1 ã t S z â s s é s r t q çã t s r i d S [ ] j dt = Sj,H i = [ 1 Sj,H] = S j H HS j t s q s r r s s S x [ ] S y S z s t s 3 à r r t çã t r s Si α,s β j = i ε αβγ δ j i Si γ q εαβγ é sí t q ss r +1 s α β γ r í s 1 s α β γ r t í s 0 s trár P r s t t s q t r P r [S x,s y ] = 0 á q S z = 0 q [S x,h] = [S y,h] = 0 rt t ã t s â d S j /dt = 0 á r S z 0 s r q d S j /dt 0 s r t r s t S z t st t r ã st r r s t s str r t ê s s s r r s st r s st s st s ét s t s rtí s t st t r s á s ã ssí tr és s 1 r ssõ s s st s çã P r t t t s tí r t s st r s s tró é s ê s 3 s é r P á s s t r P r P r ss 3 s q r str çã r λ λ = 0 s 0 λ < 1 t tr t t é s r 1 s t r s r rê

ít str t r â órt s t s s s s s r t s t r r t r s t s çõ s 1 t çõ s ã r s í S = 1 s órt s s 1 st s t s órt s r r é órt r r s s s órt s r q s tr é s t t r r r s s s xy s é órt r t s s s ró1 s tr órt rt 1 r ss t s r r s xy Pr r r s órt s r s rsã tí órt s r s r t s s r á s t t ê t r r 1 r 1 çã tí H XY = J 2 S { 2 [ ( Sα ) 2 + x α=1 ( ) } 2 Sα ]+ 4a ) 2 d 2 y 2(Sz r t r çã é t s r í S s st s α = x, y t t st q 1 st í S 2 = 1 s r tr 3 r s s s r s s s r s m = cosθ φ r q S = ( 1 m 2 cosφ s t ss ss st q çã s r tr r 1 r rê

str t r â órt s t s r sq s áss S = 1 r t çã s â s s ér s θ φ 1 m2 senφ m) r str r st r t H XY = J 2 S [ m 2 ( m) 2 1 m 2 +(1 m 2 )( φ) 2 + 4 a 2m2 ] d 2 r q = xˆx+ yŷ 3 m = 0 θ = π/2 q çã s rsã tí t r P r H RP = J 2 S ( φ ) 2 d 2 r q s s s só ss s t s s r S x S y q çã t r s stát dφ/dt = 0 q çõ s t r φ t rt r H RP é r δh RP δφ( r) = 0 2 φ( r) = 0 s r = (x, y) q é q çã q çã ss s t s s çã r r rr s st t s φ( r) = constante s t s st t r S q r tr 3 st r é t é t r t 3 çã tár r 3 r M s m = S = M/M s. q t s r s r r r s t r t 3 çã

str t r â órt s t s r çã t órt s çã é r ( ) y yv φ(x,y) = Qarctan +C x x v C é st t r (x v, y v ) tr s st r v Q = 0 ±1 ±2 ±3... é r t ó rt órt tr r r órt r é r s s t s çõ s t r s r t r r çã φ( r) i P r t s s r s s C q s çã r v = (x v, y v ) tr órt t s C φ( r) d l = 2πQ st r r t ó Q s r çã t órt é t q s r ç tr â s r s s s s 3 s s stâ tr órt r s s s ú t t r 2π ii P r t s s s C q ã r v t s φ( r) d l = 0 C Q = 1 t s órt s t s ét s r s s r v s t r t çã q r r t2 q s r rár t rár st t C s çã Q = 1 r r s t t órt q çã é q çã r r q q r çã r φ 1 = + arctan[(y y v )/(x x v )] + C 1 φ 2 = arctan[(y y v )/(x x v )]+C 2 é t é s çã q r s t r çã r órt t órt s três r çõ s s r t s stã r r s t s r órt s t r t tr st s órt s r s q ss s tr s t t r r r s s s s t r s ét s s t s

str t r â órt s t s r str çã sq át órt Q = +1 à sq r t órt Q = 1 tr r órt t órt Q = 0 à r t s sí s r r s t tr str t r P r 2 str s s tr t r st s s çã é s r 3í ss st s t r s s ssí s r çõ s s r à t çã tr s r s tr t stát t 3 ss s t r s s rã t st s ró1 s s ssõ s s t t ê tr s q t tí t s r s tró q çã é E tr = A 2 V 3 ( m α ) 2 d 3 r α=1 q A é st t tr A 10 11 r P r 2 r tr é 3 q t s s t s stã s r r r st í ú s st t q é str r t 3 çã s t r çã M s q r tr r çã q ã s t r t r tr s q é r r t t à st t tr A q t q r r t t 3 çã s tr t st t t r çã rt t r t é l ex r t tr s r t ríst ss t r çã tr r l ex = 2A/µ 0 Ms 2 l ex = A/Ms 2 s ss s µ 0 = 1 l ex 5,7 r P r 2 st q M s 8 10 5 r st t r rt t r s r q ã á çã rã r r t tr l ex t r t r s tr r l ex = A/4πMs 2 l ex = 4πA/µ 0 Ms 2

str t r â órt s t s r str çã st í ú q t s s t s ét s sã r s P r t s t q s sõ s 3 s ô tr s r tr st í ú é r t t rá tr t t t s r s t st á r tr s r çõ s r str à rtâ t r t stát P r 1 r s s r r s í ú é s st órt 1 r t t s r q s í r P r 2 L = 15 r st órt r R 50 q t q r r s r s st t r ár r r ss t st í ú é s r s t r ss t t r q r çã ét s r í t é é r s t tr s ss r çõ s t órt sã t s q r 3ã s ss r r L/R << 1 rs t s r 1 r s R t r s L t st órt r r ss t s s t s ét s r t t st í ú rt r L só q r s t s stã s 1 r s t L t r s r q t t t 1 r rq ê ss rr s r r t t s r r r 3ã L/R 1 r t stát t s çã é E mag = (µ 0 /2) V M H d dv s r t tr s 1 s s s q r s t é r s t r t 3 çã t órt r q tr í s tr r s q s t r t tr órt st str t r é str t r r órt s t é s r r s í t

str t r â órt s t s s sõ s s r tr r s st s tr s q s r r r 1 r á é s r q s t s ét s r 3 s r s st s tr r v órt s r tr t tí é r r ( m α ) 2 P rt t r tr t ê s r R q t stát s q t t s s t t r q r st órt ss s órt s r s s órt s t 3 çã t t é ss t s ét s q stã s st s s s t r r v s r s s r ss s s çã s 3 r t stát ss q çã t é é á q r ç r s q r ã tr s r ç órt rt 1 r r ã á s s s çã r t str q r r t rt s tr t r st s r q é r t θ π/2 r s rá st st rr s 3 t s r tr ró1 à r s r rt t r t t rá s t s ét s q r ã tr r r s r s r r t s r tr r ó st r ã s r r r r ç órt s r p = +1 p = 1 órt t é ss r str t r s tr s q q tr ss s r çã t s q r r st q st s sã t s t 3 s r tr 3 çã r m r st s çã str s ê q 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 mα = sen 2 θ φ + θ α=1 r á θ s r r r ç órt t 3 çã r s t t s s s r ss tót cos θ ±1 tr órt q q t t r s r v = (0, 0) q r +1 r r s t órt r 1 r st r

str t r â órt s t s r sq órt t str tr r ç órt st s r p = +1 st t r ç t 3 çã s r í str t t r t r tr str t r r çã tr t 3 çã ç r r s r r t str r r t r r rê r r ss t cos θ 0 r s st s tr s r cosθ = 0 q r > l 0 r = (x, y) r r s t s çã s l 0 0,68l ex (L/l ex ) 1/3 10 r s P r 2 L = 100 r st q s rá s ss tr ss r s t cosθ = 0 θ = π/2 r s r s st r ã t s s t 3 çã xy tr s rs s çõ s t t t s tr t s q r s t t rt t ss tót t r s q q π/2 s r > l 0 θ = ( n pcos 1 1 r2 l0) 2 s r l 0 p = ±1 é r órt râ tr n é s st r r r ç órt n = 4 é r s t r r á q q n = 1 é r st r r s t P r r s t s st tr s çõ s t t t s r s r 1 r rê s r á 1 st r st s t ór s t s r r r str t r r ç órt s í s s s r 1 r t t

str t r â órt s t s r rr 2 ts P r 2 st r t H = 0 R = 500 L = 50 str r r õ s r s s r s q rr s à ár t 3 çã é r r t str r r t r r rê r ç órt s ét s ss t s t é q s s t t t r r r ç órt s ã s q r ss q P t t s q r r str s rr 2 ts P r 2 sê ét 1t r str r t tr st tr t s s r q ss s r õ s r s p = +1 s r s p = 1 tr rr s à ár t 3 çã é r r t str tr t t tr st str tr t á r ssã st r str í t r t tr s ts q õ rr 2 q é st t s r çõ s s r q t s r t t t t s r q r s t q st s s r s s r 3ã L/R 1 s ss r q t 3 çã M = M s m 1 z t r r s é r M( r) = 0 s t q r t M ˆn t r s ã é t t r t 3 çã t r r à s r í t r s 3 r r t stát q s s çã é t sê ó s ρ M = M = 0 σ M = M ˆn = 0 st é s r çã s r í t r rr st q é s s r í s r r à 1 çã r ç M ˆn 0 s

str t r â órt s t s r s s t s r s r r s t t r ˆn r à s r í s s t s 3 s t 3 çã M( r) sq r r r s t s q rr t r s M ˆn = 0 r t str s s s s t çõ s q t s r r s t 3 çã xy r ç órt t 3 çã t é 1 z st r q s t σ M á tr çõ s t r t stát r é str çã q s r str s r t 3 çã s s r í s s r r t r s r st s s çã t r r st t C q r q çã r φ P r q t 3 çã s r C = qπ/2 q q r q = ±1 q = +1 r r çã t rár q = 1 r rár â órt s st r s r â órt q s t ét 1t r H ext xy str â é r t s t r ç órt P r r r t ô r s s s r s s r st r t s st órt r t st r t t r r tr s r ã r tr r q é tr órt s r çã r s rçã órt s s r s 1 s r sq r

str t r â órt s t s r str çã t 3 çã s s s P2 L = 50 R = 450 s t 1t r H ext rst s str r é t s t s t s ét s s ss t r t s r çã H ext str s t é s r s ét s σ M = M ˆn ρ M = M tr órt r r s t s r ç r r ã r p = +1 s r p = 1 r r t r r rê r t q r órt s rár t rár s t çã t s á t t t t 3 çã r t t ó H ext t q é str r st r s r t órt t té q r ç t t r s st s r q çã t H A q M r s r t t r st q s s t r ó H A t é é str r ó r t s r r H A s tr s st í ú ã str M = M s 1t r s ss t r ç ã r r té q H ext t çã t H N t t 3 çã r st t r t r s r t r s st órt r t t r s r r r s t s rt t á é r r ç s s r r t s st 3 s t st tr t t é rt t s r r q s r s H N H A rt t

str t r â órt s t s r r st r s r s P2 R = 300 L = 60 t r t tr r r t r r rê r s ss r t r s t s s r r s t t t r r H A H N é t r 10 2 10 1 r st s s s s st s q s sq r q r órt s á r t rt s s r ô st s t ss r r s str r q é ssí rt r t é q r órt q é t r rr t étr 3 ç s r r t tr és s q sã s é s q õ s s ss t t ô s t r q t q r r s rt t s s t s ss s à t 3 çã t órt 3 q r rsã tr r ss r 3 t s ts r çã q t r çã é s é t r çã s çã q í r órt t t t s t é t r r ss à t r çã 1t r Hext s t s t r é r rê r 1 r s t rá str r çã H A çã r 3ã 2R/L çã té s s r t r s s sõ s r s é r 1 r s R = 50

str t r â órt s t s r r s r st t r çã r s sá t át s q s t s s ét s r é r E H = µ 0M( r) Hext d 3 r V tr t t s s r str r s s t q s s t s r ç órt s = s = r /R 1 s s r r s q r ç s t s r çã s s st r s órt rí st t s q r s r r s t w H = E H µ 0 πr 2 LM 2 s = h ext s+o(s 3 ) q h ext = H ext /M s st s s r t 3 çã s str í r t tr s s 3 r t r çã z q s r é E tr = 1 2 AL S α=1 3 ( ) 2d mα 2 r tr ss r órt rí t s q r tr r 3 w tr = E tr µ 0 πr 2 LM 2 s = w tr (0)+ 1 2 ( ) 2 lex ln(1 s 2 )+O(s 4 ) R w tr (0) é s r tr r t s s çã l ex t r r t t 1t r t stát stá ss s t às r s ét s s r s σ = M ˆn á s t s st q çã s r r s t r r 3 w mag = E mag µ 0 πr 2 LM 2 s = w m (0)+2πF 1 (β)s 2 +O(s 4 ) s w m (0) s r t stát r β = L/R F µ (x) = 0 J µ (x) sã s çõ s ss f(xt)jµ(t) 2 dt t f(x) = 1 1 e x x P s t r r r t t s çã s r 3 s L R H 3 s r s s tr r s çã

str t r â órt s t s q í r r ç órt s s 1 sã sér 2 r t r s = 0 tr s q ln(1 s 2 ) s 2 r s s r s t r s O(s 3 ) s s 1 s à r t t W = µ 0 πr 2 LMs 2 w(s) s é w(s) = w tr (s)+w m (s)+w H (s) = w(0)+2πf 1 (β)s 2 1 ( ) lex s 2 h ext s+o(s 3 ) 2 R 3 dw(s)/ds = 0 str q é í r tr s s çã q í r s h çã h ext s h = x h R = qh ext 4πF 1 (β) (l ex /R) 2. st s s r r s r çã y hext = (0, h ext ) q r q é q s t s t r ç 1 x s h = (x h /R, 0) ss s r t q s çã q í r s h r ç rt s s s r t çã h ext s r s q t r tró r r s ét s tór q s t s órt ã s s s t é 1 t t t r tró s r r s ss â sã s r t s q çã s t3 rt G v k r = m v a r v a sã r s t t s çã r çã tr ór t ú r ã q r â ss q m v é ss órt q r é t s r G é r t r r ç órt s t t k é râ tr t t t ást ss à rç r st r r t stát q t 1 r r ç órt r tr s á à rç r st r r stá ss t 1 r t órt sê

str t r â órt s t s ét q çã q r q s s t s s r t W h=0 = µ 0 πr 2 LM 2 s [w tr (s)+w m s] 3 s F rest = k r = W h=0 r s t q k = µ 0 πr 2 LM 2 s [ ] 4πF 1 (β) l2 ex. R 2 rç r tró s t r ç órt é r F gir = G v r r à tr órt á à rç ét s t r r étr t s t 3 çã r 1 z t s q G = 2πpMs L/γẑ q γ é t 1 r ét r 10 4 3 r s s P2 ss t r ç órt m v q s tr tór é t t r ç s rç s r tró r st r r r q ê r ss â t r tró t s s rç s é r ω G = k G = γm [ ] s 4πF 1 (β) l2 ex 2 R 2 s st r s t str t t á tr r órt rí s r q ê t 1 β = L/R t ê é q s r r st t r β s t ω G 100 3 r s P2 L = 20 R = 1 µ r rsã r é r rtâ t st çõ s t ó s s s tr t r s s sá q é s r çã t órt sã s s r r 3 t s t t á s r s r 3 r tr r rsã r r rr t s s r 3 q t s t s r ét s s s ét s s tór s 3 s 1 t r t r tró s 1,5 q é t r q q s r s ssár s à rsã r s t t r r t r 10 1 tr t t t s r st r s çõ s q r rsã r s r 3 t r çã órt r st s t r s sã t s rt t t r t s r s str s r t r q str s s

str t r â órt s t s r s s s P2 sã st s r ç órt é r 1t r s R = 500 ssí r s s s çã q í r s q s sã s s s t s é str s t r ç r r s R = 1, 5 µ t rt tr r r t r r rê st t tr J r t r t t t s r r t t q r ss r rsã r ç órt s str s r s t r s r q órt t rt rít v cr = γ 2A/µ 0 q r P2 é tr s r 340 s s r 3 r t ríst t r tr t t s t s str t r s t t â s t é s t s str t r s s s ét s á s st tr q t t t s str t r s q t q s s r s rt t s str s stã r q r 3 s t çã tr s sq s r s s r s s té s s r s r r çã str s é rt t t r q s q s s r s t s stã r s t s r t str í s t r t t r s t r s r rê st s 10 11 t s/ 2 s s P2 st s tr q t s t s r s r t â órt r 3 r rê 1 r t r r r tr tór

str t r â órt s t s órt é t ss t r t s str t r s ét é q t r r s t órt s str ss r s t s s r rí s rá r s çã q í r r str q çã tr t t s r st r tr tr tór r s s t t s ss s s s s çã q í r s s çõ s t t s ô s sã s s t s s í r ç órt tr s r t r s té tã ã t s ssí ss r s s çõ s s s t s t s str t r s rt r é str rt t r ç t é s P2 só q t rt tr s rá â tr s r q r ç tr s r s t r r t r ss r t rt t r 1t r té q st t r st à q t r t t s r r r s t r s ró1 ít r st q t s t s str t r s s t r s s r t r t s s ss tr tór r ç q stá r q t t q 1 r t s r t é s t s s t s ssí s t s q i t tr t s t ii r s s tt r rt t q st s t r s s çõ s r tró s s q t t â r rsã r t r çã r ç órt

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r t s str t r s t s s t t r çã é s r á r ã 1t r r ç t r çã t órt é r 1 t st t rt t é s r q t r ç ss í s q t r rt t s r r çã r t t s r q á t r çã s t s é q r à t r çã t r ç 3 q órt t r r s q s t s 3 s s r r s t s ss t r s t q λ i é s ár r s tí s râ tr λ i s r t s 1 r t s t st t ór sã st t q s q r s r 1 r t tr r t q λ i lex 2 r s t ss s ssã tã q t rr t r çã t r ç râ tr λ i t s r s ó t é s t é tr t r s r s s P rt t t 3 x i t r r tr q çã r q t E tr = E tr E tr def = E tr ( x i )ξ i s st s s q r t r çã ss t x i r r 3õ s s t s é r r à r tr q t s tr s t r r r ξ i = G i ( r x i ) λ i δ 2 ( x x i ) 3 α=1 [ ] 2d mα ( x ) 2 x s r q çã δ 3 ( r x i ) tr t r t t r [ m α ( x )] 2 t r st r t t r r à r tr x 1 r ssã G i é çã q t t 3 x i t r r ç órt s r r r ç órt s r í s r t r rát ã á 1 r ssõ s ít s 1 t s r s r t s r 3 á s r r s çã ss G i ( r x i ) = e α( r x i) 2 s r ss s tr s çõ s r s r s s r s r st t r çã çã θ q çã s r t é q á

r t s str t r s t s r str çã rr t r çã t r ç t r çã é q r r ç r tr é 1 r r ç s s r çã t x i t r çã t t s á1 r = x i t t r é δ 10 stá r 1 r t s r ss t r çã s r tr r s râ tr α q t s α 1 = 2,5 10 4 R 2 t r s r t r çã râ tr r α sã 2 r s ç st t r ss r q t r çã t r ç é rt r s s r r s q t t r çã é t t q r r r ç ç s çã x i t r t t r r ss t té á1 tr r ç t t s s s çõ s r = x i ós ss t r çã t r té 1t r s q tr r st r r r ç P s 1tr r t é G i t r r 3 á r t t r çã q r ss é r δ = 2l 0 /e 10 q stá r r s t s 1 r t s s s r s s r s l 0 8 15 r s tí s r s s P2 st r s q t r t r q çã t t r s ç G i s 3 q ξ i t q t t t t t r s ç t x i s r r t q r q t α ( m α ) 2 q r çã ξ i q çã q çã ã s s t

r t s str t r s t s t r s 1 r ssã r s r çã t órt s s q çõ s r φ θ r s rt r t s tr r 1 r ssã r ξ i s órt rt Q = 1 r p = 1 s 3 s t t ê tr s q ξ i = (2l2 0 x 2 i) 2 +4l 4 0 l 4 0(2l 2 0 x 2 i ) λ i G i ( r x i ) r q s s t t r ss t tr s r çã t órt s r s r t t r 3 w def (s) = W def (s)/µ 0 πr 2 LMs 2 st r çã w def (s) = 2πF 1 (β)s 2 + 1 ( ) 2 lex ln(1 s 2 ) [1 ξ i ] h exts+o(s 3 ) 2 R s r q r r 3 é r t à r s = r/r = 0 s ã q t t r çã tr t r ç órt st q s = 0 r s t t r çã t r ç s t t r çã t s r s r q r t 3 x i 0 t t 1 sã 2 r t r s = 0 r t r tr t r s té s 2 s s r t s çã tr r s çã q í r r ç órt r s ç t s s eq = x eq R = qh ext 4πF 1 (β) (1 ξ i )(l ex /R) 2 t t s ét 1t r r s r çã y h ext = (0, h ext ) t s q çõ s r r q s s r s ç t s ξ i = 0 r s t t çã r s t s s r s r ú r t s r 1 r t r s s ét r çã y s t r ç órt rá s t t q = +1 s t q = 1 tr ss t t r s t s st r

r t s str t r s t s st r s t s str r ss s r t r çã t r ç s r t t r ssí r çã s r s t s 1 r t s s s çã P r t t s r r s r s t s t r s 1 x r t s râ tr s t r çã λ i ss s s s s â s r s ç H ext à r t 1 t r çã 1 t s çã q í r r ç órt t 3 s r r s r t s t t r r t tr s s çã q í r t r ç r H ext s s t s r t s s t s x i λ i α s r é t r çã t r ç t á G( r x i ) ξ i rt r í tr s s çã q í r r ss s r t t s çã tr ss é t 3 s t s r s s çã q í r órt s eq rá s çã q í r rs s ét 1t r h ext r órt q r q = +1 é r s t r s r q rt t r çã s t s r ç órt s ã é s r t tr r str r s r t q çã P s r r s r r s r q tr tór r s t s rá s r s s r t t r s çã x i t q t s s eq = x i /R = 0,19, 0,17,..., 0,17, 0,19 P s t r t é tr és r q á s t s t s i r t s ç s s eq q rr r t t r s h ext q s str q r ç stá t r t r s λ i > 0 st é tr í s t s ç s r t s ss t à t r çã r ç t s á q r çã h ext q ã é 3 t r s r t t t s t s sã r r s t s r s t s r t s ii s r s r q tr s r s s eq r t t ã r ss q h ext s r t t r çã r ç t t tr t λ i < 0 s r s t t tr t s té r s s eq st t r ç órt r t t r s rá 1t r h ext s s t

r t s str t r s t s r r é s çã q í r r ç órt s eq çã ét 1t r h ext s í t é t sã t s str t r s trí s s str r çã r str q ss r s t stá r q t t q 1 r t s r s t s str s ç t 2l 0 tr s str rá t s t tr t λ i < 0 r s λ i > 0 s r s t s 3 s r t s r s t t s r s λ i q r r 3 t s t r çõ s stã 1 λ i 10 25 10 26 2 çõ s i ii q s s r r stã str s r r r s t r s t q 1 r t r s t r s r q t t tr s r s t s é t r çã t r ç s q t t r çã s çã q í r r ç órt s r s t s t s t t r tró ss s r q ê ω G t t t é s r q t t tr tór t r tró r ç s s s q tr tór s s r str s r s r s ss s t r t t stâ r rr r ç órt t r r çã tr t t s á tr çã r 1 t s r t s tr t s r s s é s r s çã tr tór t q r q ê r tró ω G r ç r 1 t t r r s ç t s t s st q rá s t r r t s t s tt r λ i > 0 é q r t

r t s str t r s t s r str çã sq át t r çã r ç órt t s r s tt r str t t r çã s r s r rá s r h ext 1 str çã t r çã r ç órt t tr t r str rr s t 3 çã t t r çã rá s r h ext s t r r r t s t λ i < 0 t t s á s t s tr çõ s s é s r r t r t t órt s á s t s tr t s q r s s ç s t s s t s r s s q é r çã t r q ê r s t t r r s s r q t çã q çã s F rest = k r = W def h=0 tr r s q k = µ 0 πlm 2 s [ 4πF 1 (β) (1 ξ i ) l ] ex R 2 ss k é t t r ξ i s r t q t s str t r s t r t r tró r ç órt tr t t ã s r r é ss á s s ã s ss r q r ç órt r 3 s çõ s r ô s t r s s çã q í r 3 q s s s çã q í r sã r á s s r q t s stã r s t s t r t ss r 1 çã ít st ár s çõ s ér s r ssí s t r t s r st t r çã t r tró

r t s str t r s t s rt r s ç t s str t r s é ss s s r r q t s t s q t r r ç órt t r tró t é t r s t çã r rsã r 3 çã t s s t s t s ã t r rít v cr r t ríst t r s s t t t r s s t P r 1 s r ç ór t stá s r ã tr çã t s tr t s é r t r s s r õ s r ç rá r s q r õ s q s s q t t t str t r s r rá ss r ét r s s s r st s r t r r ç órt tr r s rít q s t r tró r ss rsã r r r s st s s st çõ s s çõ s ér s s r s t s q t s r s r P 2s s

ít sõ s rs t s r s t s q s s r t s str t r s t r s s st s rr ét s s t t s r s s s str t r t át t s r s t s t r ss t s s s t r s s r t s r tr ã t t r t stát s r ã ss ír s rá s ár ã sã 3 s 3 r r s ét s s r s étr s s s ss r s rr ét r 3ã L/R 1 r çã t órt t s 1 r ssã ít r s çã q í r r ç órt str t s q st é s t ét 1t r s q t q çã s r s ç t s é t t r r s ê s t s é r t r st ár s r s rá s çã q í r rs s 1t r r q t t tr r s t s 1 r t s q s t ór s t s ss str t s str t r s t r ç órt P s t r tr s rs t s s r st s s t s s s s t t r 1 r t r çã t t r t stát r t s t r çã ê r çã t 3 çã r str t r çã t s t r s ss s r r s rt s tr s r s q râ tr

sõ s rs t s λ i ss t ê r çã t r Λ i q q t r r rê t 3 çã t r t r r çã r ã t s r s q t r ç t rr r r sã rt s s tr s r r q ê r tró tr r s s r 1 r t t r t t st 1 P s t é st r s çõ s ér s t t s str t r s r q ê r tró t s st tr r t t r P 2s s

ê t r s stê t r çã ét s rt t s s r r s r s rç t à r t r s ét s str t r s á s ssí r 1 r s r tr t s tr s r r s s s r s sq s s st r rt rt rs P r s rs 2 r ç P t r rü r s r tr P sq s s r s ü ss s s r s st t t s s tr s t s rt st t çã ét rr t étr tr és t s rr r ár s s t r s r s ss r s át s rü r st t s s t s s r só q t 3 str s s s s rr t r s r r s t r r s t s 1 r t s q ç r r s stê étr çã ét s r s s r s r çõ s té q r à é t s r r s s r s s t r s stê tr r s t r s q tr r 3 r tór rt t r çã ár sq s r r s r t t t st t t ís rs r r

ê r t s q é á1 í t st ô ss s r t r s stê t 1 çã r ô é r 3 t 1 stá r trô t r s ét s r s ss r r ssí tr r r t s s ss r s r s q s s s 1t r s ss í t s ét s t s t s trár s í çã r çã s t s ét s s s s s étr s ss s st s s s s r r q rr t étr é r s t s rr t s r s étr s st tr étr s st q à t r s stê é t r s st étr r r t çã r t tr s trô t 3 çã t r r str t sq à sq r t s s ét s st t rr ét st s étr s tr r õ s t r s t ss s s tê r s stê s r r s stê t t t á s q r t t s s t çã st st rr ét s t s ét s s s t s s t à çã ét r s r s s étr s t r r s stê t tr rt t s r rá s t r s stê 1 r ss t q s st r s st r s r r s stê s st é r q r r s s t r çõ s t ó s t t r t t s s r r s sq s r s ár q t ústr r çã ét rt r ss s rt t ís s s s t s r 3 t ã r r s r r s r s ssã t ss ár

ê r sq r s t s st s st t rr ét tr r õ s t r s t r s stê t t t r t s t s r s st rr ét r ç s à r s ç ét r t s q tr rá t r s stê tr 1 r s stê r s stê t t 1 r çã ét r í r çã t r ét é r t t s s r çã ét ç t ét t é s r s r r r çã r çã ét t s ss s r çã ç t ss s ts q s r õ s t 3 s í s ét s s t s st s ár sã r s r s s rr t s s t s t s à q 3 rt ç t s ç t s r t 3 r r r çã s t s r õ s t 3 s í s r 3 q íss s rr t s s s r st s rr t s sã t t s ós s çã r ss t s t stá r t t r r t ç t t t s s t s t rr s st t 3 ç t t r t r r t 3 çã í r r r çã t t r t t t r q s s ç t r ss t r t rr s st 1 st s ç t s r í q é t s s sí r t t r r ã t 3 r çã r s st r ã s ç t t r çã r s stê étr t s

ê st 1 r s stê r r s t ár t r s stê ár P r st t rr t r çã r s stê ç t q t 3 t t rr s st r s r r rê q s t s q s r st r r str çã r ss r çã t r ét t 3 r t t ç t t sq r ç t t rr s st t r r t t ss ç t t r é t r r t 1 r çã s r s stê r çã ét s s s r çã r t r r s stê s r r s s r s s r sã t 3 çã t s s s t s r t q s rt ss t r çõ s í s s ét s r ç s s t s r s stê étr r s 3 r ç s s étr t s r á s ç t t r é ss t s ç t s ã r s t r tr t s t s ss s t r s r t r s r çã t s s s ét s s sã 3 s r s r çõ s s r s

ê ór ét ss tór P r s rt t çã t t r s st s 1 r sq t t s á t q t rt t r r s r ã át q s st t r r s tr s ór s 1 r r s t s ssí sq s s rr t étr r s é t s tr 3 s r r s t s r çõ s r s t ssí tr r t r ss tr 3 ss s r r s r s stê çã é t 1 ss st ét s s s q r s 3 r r s t s 3 r s s r çã é r 3 r P ssí r tót é ór ã át q t 3 r í tr r tót s r tr

ê t tí t s r s tró r t s r ss s r r s st s ét s st s st s r s ó s 10 23 rtí s s t r í s s 1 r ssõ s s tró s s tró tr t r rr s t s 3 s à té s r 1 çã r s st t í s r r q â t s s r é tér ét s t s t r t t s tr r t r s s s q s s r s st s t s r s r r r r 1 çã s st 10 23 rtí s s r s r t t s r s r P r t r s t r rr s t s r s s tró s r r s t tí st t ss s q stâ tr s s s 3 s s ró1 s s ç t r a r r é t q r tr s s s s s é q r çã s s s 3 s r t t P rt t s r s q s sít i t r s s s 3 s 3 s s sít s i+1 à r t i 1 à sq r i+2 i 2 1 r str r r s T α = S α i ( ) ( ) S α i+1 +Si 1 α +S α i S α i+2 +Si 2 α s r 1 st r rsõ s tí s r s s tró s q s t str r s rsã tí s tró

ê r q r s ç t r a s q tr s s q t r s sít i α = x y z 1 s t s s sér s 2 r r 1 çã té s r t s Si+1 α = Si α +a Sα i x + a2 2 Si α 2 x +... 2 Si 1 α = Si α a Sα i x + a2 2 Si α 2 x... 2 Si+2 α = Si α +a Sα i y + a2 2 Si α 2 y +... 2 í t r s q Si 2 α = Si α a Sα i y + a2 2 Si α 2 y... 2 T α = 2Si α Si α +a 2 2 Si α x 2 Sα i +2Si α Si α +a 2 2 Si α y 2 Sα i +... [ ] Tα 2 = 2(Sα i ) 2 + a2 2 Si α 2 x + 2 Si α S α 2 y 2 i r s r s três t r s t r çã T x T y T z r 1 s s tór s i j q r t r t r s dx dy dxdy d 2 r = a 2 a 2 i,j S

ê t s q H = 2J S [ (Sx ) 2 +(S y ) 2 +(S z ) 2] d 2 r J 3 a 2 2 α=1 = 2J S 2d2 r a J 3 2 2 α=1 [ 2 Si α x + 2 Si α 2 y 2 [ 2 Si α x + 2 Si α 2 y 2 ] S α d 2 r, ] S α d 2 r s t r çã t s r í S t q S 1 = S x S 2 = S y S 3 = S z í i t s t s s sít s r s r s ss r t r s t r sít s S i S j sã r t t çã q çã 3 t r çã r rt s ú t t r t s dx 2 S α x 2 Sα = ( ) S α 2 dx x dy 2 S α y 2 Sα = ( ) S α 2 dy y t r 2J S 2d2 r a 2 r s t é r E 0 st t s st é t r r t s st s s í ã r S 2 = 1 rt t t t r s r s tr í r s t r st t é tã r r 3 r 3 r st r r 1 çã tí t s r s s tró é r H = J 2 S α=1 [ 3 ( S ) α 2 ) ] S α 2 +( d 2 r = J x y 2 S α=1 3 ( ) 2 mα d 2 r q = xˆx + yŷ t s s r tr 3 çã m = S st t s r r s r t H = J 2 S ( µ m) ( µ m)d 2 r µ = 1 2 1 = x 2 = s r t r é t y t r s σ ã r í S 2 = 1 t st ã é í s 3 çã q s sáss s r q r tr s 3 s q çã r r i,j,k dxdydz a 3 = V d 3 r a 3

ê r t r çã s r t t t rí s à rsã tí t s r s tró r 3 ( ) 2 mα d 3 r H = A 2 V α=1 r = xˆx+ yŷ + zẑ A é st t tr 1 r ss s tr st q çã s r r s r t H = A 2 V ( µ m) ( µ m)d 3 r µ = 1 2 3

ê s t s q çõ s st ê 3 r s s q çõ s çã q çã t s q Pr r t s r tr 3 çã m = (senθ cos φ, senθ senφ, cos θ) 3 ( ) 2 [ ] 2 [ ] 2 [ ] 2 mα = (senθ cosφ) + (senθsenφ) + cosθ α=1 [ = senθ cosφ+cosφ senθ ] 2 [ + senθ senφ+senφ senθ] 2 [ ] 2 + cosθ P s s r q çã r 3 ( ) 2 ( cosφ ) 2 ( ) ] 2 ) 2 ( ) 2 mα = sen θ[ 2 + senφ +( cosθ + senθ + α=1 +2senθ senθ ( cosφ+senφ senφ ) s r r s s çõ s φ q çã θ q çã s q s sã çõ s x y s r s s ss cosθ(x, y) = senθ(x, y) θ(x, y) [ ] 2 [ ] 2 cosθ(x, y) = sen 2 θ θ(x, y) senθ(x, y) = cosθ(x, y) θ(x, y) [ ] 2 [ ] 2 senθ(x, y) = cos 2 θ θ(x, y)

ê cosφ(x, y) = senφ(x, y) φ(x, y) [ ] 2 [ ] 2 cosφ(x, y) = sen 2 φ φ(x, y) senφ(x, y) = cosφ(x, y) φ(x, y) [ ] 2 [ ] 2 senφ(x, y) = cos 2 φ φ(x, y) ss s q çõ s à s st t s r rr s t r s t s q 3 ( ) 2 mα = sen 2 θ ( sen 2 φ+cos 2 φ )( ) 2 ( φ + sen 2 θ+cos 2 θ ) ( ) 2 φ + α=1 = xˆx+ yŷ +2senθcosθ θ ( cosφ cosφ+senφ senφ ) }{{} r r r s r r t r st I = cosφ ( senφ φ ) = I +senφ ( cosφ φ ) 0 r s t q çã tr s q 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 mα = sen 2 θ φ + θ α=1 q é q çã r r r s t q s r s r r çã q çã s çõ s φ θ s q çõ s r s t t r s q st s t Q = 1 r v = (0, 0) p = 1 n = 1 s r r s r r s t r s Pr r φ x = y x 2 +y 2 φ y = x x 2 +y 2 r s φ = y x 2 +y ˆx+ x 2 x 2 +y ŷ 2 ( ) ( ) 2 2 φ x = = x2 +y 2 x 2 +y 2 (x 2 +y 2 ) = 1 2 r 2