08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך נחשב את הגבולות: f ( ) f ( ) 0 f ( ) lim? lim f ( ) 0 f ( ) f ( ) ( ) (00) ( ) (00) lim ( ) (00) f ( ) ( ) f ( ) lim ( ) (00) f f ( ) lim g( ) ( ) (00) f ( ) a ( ) (00) ln ( ) (00) a מכאן לפי כלל הסנדביץ מתקיים: שאלה נתונה פונקציה הוכיחו כי עבור כל ערך של פרמטר ממשי בכל הנקודות הפונקציה חסומה בכל קבוצה חסומה וסגורה (00) ) ( הפונקציה רציפה כי בנקודות האלה היא שווה לפונקציה אלמנטארית )g ( ln אשר רציפה בכל הנקודות של תחום ההגדרה לכן בכל קבוצה שלא מכילה את f ( ) הראשית פונקציה חסומה לפי משפט ווירשטראס נשאר להוכיח כי הפונקציה חסומה בכל קבוצה חסומה וסגורה נחקור התנהגות הפונקציה כאשר אשר מכילה את הראשית (00) ) ( ז"א נחשב את הגבול: ( ) (00) ( ) (00) lim f ( ) lim ( )ln 0 ( )? לא ניתן לחשב מיד את הגבול באמצעות המשפטים כי הוא במצב אי-וודאות לכן נפתח את הנוסחה המגדירה את הפונקציה:
08 005 f ( ) ( )ln ( )ln f ( ) f( ) f ( ) t f ( ) פונקציה נחשב גבול היא חסומה: 0 lim f( ) lim ( )ln ( ) (00) ( ) (00) ( ) (00) t 0 L' Hospial Rule ln t ln t t lim tln t 0 ( ) lim lim lim t lim lim( t) 0 t t t t t0 t0 t0 t0 t0 t0 lim f ( ) lim f ( ) f ( ) 0 ( ) (00) ( ) (00) h( ) 0 ( ) (00) ln ( ) (00) (00) ) ( לכן ( ) (00) ( ) (00) לפי המסקנה מכלל הסנדביץ מתקיים h( ) נתבונן בפונקציה פונקציות ) f ( שונות רק בנקודה lim h( ) lim f ( ) 0 h(00) מכאן פונקציה ( )h רציפה גם בראשית ז"א היא רציפה בקבוצה לפי משפט ווירשטראס הפונקציה ( )h זהות בכל הנקודות פרט בנקודה אחת לכן גם חסומה בקבוצה זאת ערכי הפונקציות ( f ( פונקציה ) f ( חסומה בקבוצה sin 0 f ( ) 0 0 *שאלה 3 )שאלה מתקדמת( נתונה פונקציה א( מצאו את נקודות הרציפות של הפונקציה ב( הוכיחו כי אוסף כל הנקודות של אי-הרציפות הוא קבוצה שאינה סגורה א( הפונקציה רציפה בכל הנקודות ) 0 0 ( כי 0 0
08 005 lim f ( ) lim sin sin f ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 אם 0 0 נתבונן בנקודות (00 ( אזי הגבול lim f ( ) lim sin 0 0 0 0 0 Pn אזי 0 n Mn 0 n אינו קיים לכך מספיק לבחור שתי סדרות lim f ( Pn ) lim sin n n n 0 0 lim f ( M ) lim sin n 0 n n n 0 מכאן בנקודות 00) 0 0 ( הפונקציה אינה רציפה f (0 0) 0 נתבונן בנקודה (00) נחשב גבולות הפונקציה בשני המקרים: 0 ) lim f ( ) lim 0 0 f (0 0) 0 0 0 0 ) lim f ( ) lim sin 0 0 0 0 0 lim f ( ) 0 f (00) 0 0 0 לכן lim 0 0 0 g( ) sin פונקציה חסומה מכאן הפונקציה רציפה בנקודה (00) אוסף כל נקודות הרציפות: {( ) 0} {(00)} 3
08 005 ב( אוסף כל הנקודות של אי-הרציפות הוא קבוצה לקבוצה: בכל סביבה הראשית (00) {( 0) 0} ((00)) N קיימות נקודות: - נקודת רציפות M 0 רציפות הראשית לא נמצאת בין נקודות אי-רציפות לכן הקבוצה אינה סגורה היא נקודה גבולית - נקודת אי- M 0 קואורדינאטות קוטביות )פוליריות( שימוש לחישוב גבולות קואורדינאטות קוטביות של נקודה במישור אם במישור נבחרה מערכת צירים קרטזית אזי כל נקודה מוגדרת באופן חד-חד ערכי ע"י זוג של קואורדינאטות: ( M ( מיקום הנקודה מוגדר היטב ע"י זוג מספרים אחר הנקרא קואורדינאטות קוטביות של הנקודה נחבר את נקודה M ששונה מהראשית נמדוד את אורך רדיוס הווקטור ונסמן אותו ב- r מספר זה הוא הקואורדינאטה הקוטבית הראשונה )הקואורדינאטה הרדיאלית( של הנקודה הכיוון החיובי של ציר ה- ורדיוס הווקטור יוצרים זווית θ הנמדדת מהציר לרדיוס הווקטור זווית θ הקואורדינאטה הקוטבית השנייה )הקואורדינאטה הזוויתית( של הנקודה אם זווית נמדדת נגד כיוון השעון אז היא מוגדרת כחיובית; אם הזווית נמדדת לפי כיוון השעון אז היא שלילית ראו את האיור: r θ M() ובכן זוג 0 0 0 r ; M הוא הקואורדינאטות הקוטביות של ( r ) הראשית נקראת הקוטב יש לציין כי הקוטב מוגדר ע"י הקואורדינאטה הרדיאלית r 0 בלבד הכיוון החיובי של ציר ה- נקרא ציר קוטבי בין קואורדינאטות קרטזיות וקואורדינאטות קוטביות ישנו קשר המתבטא ע"י הנוסחאות: ) 0 ( tan r rsin rcos אם יש לחשב ) lim f ( ולחקור ( ) (00) lim f ( r cos r sin ) r0 אז ניתן להחליף את הקואורדינאטות הקרטזיות בקואורדינאטות קוטביות אם ערך הגבול תלוי בזווית אז ניתן להפריך את קיום הגבול ע"י בחירה של שני מסלולים שלאורכם הגבול מקבל ערכים שונים אם ניתן להוכיח כי מתקיים: אזי lim f ( ) 0 f ( r cos r sin ) g( r) lim g( r) 0 r0 ( ) (00)
08 005 ( ) (00) f ( ) 0 ( ) (00) ( ) (00) שאלה נתונה פונקציה הוכיחו כי הפונקציה רציפה בנקודה הפונקציה רציפה בנקודה (00) אם ורק אם (00) אם ורק אם lim f ( ) f (00) 0 לחקירת הגבול ניעזר בקואורדינאטות קוטביות ונתבונן בגבול: r cos rsin r lim f ( r cos r sin ) lim lim r cos sin r0 r0 r0 lim r נבחר את המסלול כאשר למשל ונחשב את אם אזי lim r0 r0 r 0 הגבול לאורך המסלול הישר המתאים לווית זאת: lim f ( r cos r sin ) lim r0 r0 r ( ) ( ) הגבול לאורך המסלול הוא אינסופי לכן ( lim f ( לא יכול להיות סופי ואז הפונקציה לא יכולה להיות r0 r0 ( ) (00) רציפה בנקודה (00) ז"א אם אזי הפונקציה איננה רציפה בראשית 0 lim r lim r r מכאן אם אזי r0 r0 lim f ( r cos r sin ) lim r cos sin cos sin cos sin אזי הגבול שווה ל- 3 ; אם אזי הגבול שווה ל- הגבול תלוי בזווית : אם 3 3 מצאנו שני מסלולים שלאורכם לגבול ישנם שני ערכים שונים לכן הגבול עצמו ( lim f ( לא קיים ואז הפונקציה לא יכולה להיות רציפה בנקודה (00) ז"א אם אזי : f ( r cos r sin ) cos sin ( ) (00) הפונקציה איננה רציפה בראשית f ( r cos r sin ) r cos sin r g( r) אם אזי נעריך את 5
08 005 lim g ( r ) lim r 0 0 r0 r0 ( ) (00) מכאן אם אזי (00) f lim f ( ) 0 והפונקציה רציפה בראשית ובכן הוכחנו כי הפונקציה רציפה בנקודה (00) אם ורק אם 6