م ماره ٢ ایپ پ ی ٢٩ تان ٩٠ ص ص ۵۵-۶۴ ج ه ریا یات کار دی ا د لا جان سال شاپا ۶٠٨٣-٢٠٠٨ Downloaded fro jalu.lau.ac.r at 8: on uesda Jul th 8 رش مستقل از معکس زن دار برای حل معادله مقدار یژه رسید مقاله: 89//9 پذیرش مقاله: 89//5 چکیده مرتضی کاردل تعمیم یافته امیرحسین رفاهی * شیخانی دانشگاه آزاد اسلامی احد زابل گره ریاضی زابل ایران دانشگاه آزاد اسلامی احد لاهیجان گره ریاضی لاهیجان ایران رش های زیادی برای حل معادله مقدار یژه تعمیم یافته جد دارد. برخی از رش ها کمتر از سطح انتظار مقادیر یژه را تعیین می کنند برخی دیگر بیش از تعداد مرد نیاز مقادیر یژه را محاسبه می کنند. در این مقاله به بیان رش مستقل از معکس برای محاسبه مقدار یژه تعمیم یافته پرداخته با استفاده از رش های تصیرسازی ترکیب آن ها با اگریتم مستقل از معکس د رش جدید برای محاسبه مقادیر یژه ارایه می دهیم.کارآیی این الگریتم ها را با حل مثال های عددی نشان دادیم. نتایج نشان میدهند که رش های جدید از سرعت دقت خبی برخردارند. کلمات کلیدی: متقارن مقدار یژه زیرفضای کریلف زن دار. مقدمه مضع مساله مقدار یژه تعمیمیافته برای ماتریس های مربعی A که حل معادله AX λx است یک متمرکز در جبرخطی عددی میباشد. محاسبه مقادیر یژه از طریق حل صریح معادله مفسر λ det A به جز در مارد یژه راه حل خبی نمیباشد چن که ضرایب معادله مفسر را نمیتان از طریق محاسبه دترمینان با رش های پایدار عددی محاسبه نمد. لذا حتی اگر معادله مفسر به طر دقیق تعیین شد آن گاه محاسبه ریشههای آن با دقت زیاد ممکن است از ناپایداری بالایی برخردار باشد. این مطلب هنگامی بیشتر نمد پیدا میکند که ماتریس های مربعی از نظر بعد بزرگ باشند. برخی از رش ها مانند رش تکرار خارج قسمت رایلی کمتر از سطح انتظار مقادیر یژه را تعیین می کنند برخی دیگرمانند رش تکراری QZ بیش از تعداد مرد نیاز مقادیر یژه را محاسبه می کنند. 55 * عهده دار مکاتبات آدرس الکترنیکی: ah_refah@ahoo.co
ھ م یا ه ع عاد قدا ر ه ع س زن دار ای ل کاردل کار رش ل از Downloaded fro jalu.lau.ac.r at 8: on uesda Jul th 8 اما رش های ارایه شده در این مقاله این امکان را فراهم میسازد تا دقیقا به تعداد مرد نیاز مقادیر یژه را محاسبه نماییم. این کار علاه بر افزایش دقت هزینه زمان محاسبات را کاهش میدهد. برای این منظر A, رش های تصیرسازی که از آن جمله رش لانزس میباشد را بیان می کنیم. این رش زج مربعی را که از مرتبه n میباشد را با یک زج مربعی از مرتبه حایز اهمیت هستند که در عمل ما به تمام مقادیر یژه تعمیمیافته زج مشخصی از مقادیر یژه مرد نظر است. n متشابه میسازد. این رش ها از این نظر,A نیاز نداریم. بلکه فقط تعداد تعریف فرض کنید A د ماتریس n n باشند. عدد λ c را یک مقدار یژه تعمیم یافته زج A, مینامیم هر گاه بردار یافت شد به طری که. بردار X بردار یژه تعمیم یافته زج AX λx A, نامیده میشد. مجمعه همه مقادیر یژه طیف نامیده میشد. X AX λx A λ X n n n det A λ λ α λ... α n چند جملهای مشخصه زج A, بنابراین مقادیر یژه زج A, ریشههای چند جملهای مشخصه زج A, میباشند. رش مستقل از معکس با استفاده از زیر فضای کریلف در این رش با یک زیر فضای کریلف متغیر که در هر تکرار تغییر می کند به دنبال کچکترین بزرگترین, n n متقارن معین مثبت می باشد. An n مقدار یژه جفت زج,A هستیم که اساس این رش رش تکرار خارج قسمت رایلی می باشد. به عبارت دیگر هدف مینیمم کردن خارج قسمت رایلی ری یک زیر فضای کریلف معین در هر تکرار می باشد که آن زیر فضای کریلف معین نتیجه یک انتقال مناسب می باشد. A, یک تقریب الیه برای کچکترین مقدار یژه بردار یژه متناظر با آن برای زج, X فرض کنید باشد. بر اساس رش تکراری خارج قسمت رایلی تقریب بعدی بهتر نسبت به یعنی از حل دستگاه: A پیدا می شد. اما یکی از رشهای مجد برای حل این دستگاه استفاده از رش های زیر فضای کریلف می باشد. اساس کار یافتن یک پایه برای زیر فضای کریلف. می باشد. که K K {, A,,..., A } A, Span n به [5] مراجعه شد. لذا تلاش خد را برای یافتن یک پایه برای K متمرکز می کنیم. با ادامه رند بالا به الگریتم زیر می رسیم که به آن رش مستقل از معکس با استفاده از زیر فضای کریلف می گییم. 5
ج ه ریا یات کار دی ا د لا جان ١٣٩٠ ٢٩ ۵۵-۶۴ Downloaded fro jalu.lau.ac.r at 8: on uesda Jul th 8 Algort: Invers free Krlov Subspace ethod nput and ntal approat on wth A For K,,... Construct abass Z untl Convergence do For A Z A Z and Z Fnd the Sallest egenpar end do u and Zv الگریتم رش مستقل از معکس for A, [ z,..., z ] for K Span{, A,..., A } Z u, v for A,, A انجام می دهیم در هر تکرار در این الگریتم محاسبات را بر ری زج انتقال یافته را از کچکترین مقدار یژه زج ری Z محاسبه می کنیم. که این معادل است با محاسبه مستقیم Z AZ, Z می باشد. با تجه به الگریتم ملاحظه می شد که در این الگریتم یک تکرار اصلی یا خارجی جد دارد که تا پیدا کردن یک تقریب خب ادامه دارد. اما در هر تکرار خارجی یک تکرار داخلی جد دارد که ابسته به K می باشد منجر به ساختن یک پایه متعامد برای در هر تکرار خارجی می شد. رش های متفاتی برای K جد دارد. استفاده از این رش های متفات تاثیری بر ری نتایج حاصل از ساختن یک پایه متعامد برای الگریتم ندارد. اما ممکن است پایداری عددی پیچیدگی محاسباتی متفاتی داشته باشند. همگرایی رش تکراری مستقل از معکس یک زج, λ مقادیر یژه تعمیم یافته زج A, باشد. < λ...... < مقادیر n λ n قضیه فرض کنید باشد. همچنین فرض کنید < λ. در این صرت داریم < λ به سیلە الگریتم, تقریب به دست آمده از باشد یژه ماتریس A u بردار یکه یژه متناظر با λ λ λ λ O λ u u P n p, p a P که 57
ھ م یا ه ع عاد قدا ر ه ع س زن دار ای ل کاردل کار رش ل از K در تکرار ام از الگریتم داریم: که P مجمعه همه چند جمله ای های حداکثر از درجە می باشد. { p c } P p, برهان قرار می دهیم C A Downloaded fro jalu.lau.ac.r at 8: on uesda Jul th 8 u u n u Au u p P, p c n n u u p C C p C A u u u p C p C A اما چن متقارن است لذا قطری شدنی است. یعنی ماتریس متعامد U چنان مجد است که n می باشد. لذا یک ماتریس قطری... A اما چن مقادیر یژه. A U U با درایه های ری قطر },,..., { می باشد. n چنین چند جمله ای هایی جد همچنین فرض کنید مینیمم چند جمله ای هایی در P باشد که دارند زیرا اگر P چند جمله ای مشخصە A باشد آن گاه کافی است قرار دهیم P در. بنابراین < a این صرت. قرار می دهیم می باشد. زیرا در غیر این باشد این یک تناقض است. صرت چند جمله ای با درجه کمتر از درجه جد دارد که U U U U U U U U U U C C C C C U U U U بنابراین داریم: U U e U e آن گاه داریم: [,,,...,] e e e n,,..., ] [ که در رابطە فق: n فرض کنید که ],..., [, e 58
ناج لا د یدراک تای ایر ه ا ج ٢٩ ١٣٩٠ ۵۵-۶۴ 59 a e e u u e :میراد نیاربانب e e e e e U A U A :میراد اذل n :نیاربانب :میراد رگید فرط زا :میراد نیاربانب طبار هب هجت اب لاح :میراد Downloaded fro jalu.lau.ac.r at 8: on uesda Jul th 8
ھ م یا ه ع عاد قدا ر ه ع س زن دار ای ل کاردل کار رش ل از Downloaded fro jalu.lau.ac.r at 8: on uesda Jul th 8 λ λ λ λ λ λ اثبات کامل میشد. حال با ترکیب رابط داریم: λ O حال با قرار دادن که در قضیه بیان شد یک کران بالا به صرت زیر برحسب ها لازم به ذکر است که میتان برای ψ ψ ψ n A که همان ها هستند هب بیان کرد. [] مراجعه کنید: 5 که: بنابراین سرعت همگرایی الگریتم به میزان پراکندگی مقادیر یژه بستگی دارد. این برجستگی اساسی مهم این الگریتم به ما این اجازه را میدهد که سرعت همگرایی را با استفاده از تبدیلات معادل پیش شرط بالا ببریم. این تبدیلات ها را تغییر میدهند اما مقادیر یژه زج هیچ تغییری نمیکنند. نکته قابل تجه دیگر که در رابطه 5 ملاحظه میشد این است که با افزایش A, سرعت همگرایی افزایش پیدا میکند آزمایشهای عددی نیز بیانگر همین مطلب میباشد. همچنین میتانیم A بیان کنیم که که کران بالای رابطه 5 را نیز برحسب مقادیر یژه A λ منجر به شکلگیری لم زیر میشد. لم فرض کنید مقادیر یژه به جای مقادیر یژه λ A باشد آنگاه داریم: γ < γ... ψ λ λ ψ ψ γ ψ λ λ O γ n γ γ n ψ در آن میباشد.
ج ه ریا یات کار دی ا د لا جان ١٣٩٠ ٢٩ ۵۵-۶۴ Downloaded fro jalu.lau.ac.r at 8: on uesda Jul th 8 محاسبه P کچکترین بزرگترین مقدار یژه زج A, با استفاده از رش تهیسازی اضح است که برای پیدا کردن بزرگترین مقدار یژۀ تعمیم یافته زج A, کافی است رش مستقل از معکس زیر فضای کریلف را برای زج -A, اجرا کنیم. فرض کنید P زج یژۀ A, محاسبه شده باشد. <P<n همچنین فرض کنید V P ماتریسی باشد که ستنهای آن P بردار یژۀ محاسبه شدۀ A, Λ p یک ماتریس قطری باشد که عناصر ری قطر آن P مقدار V P V P I AV Λ P V P یژۀ زج A, باشد.از طرفی می دانیم که بردارهای یژه زج A, متعامدند. لذا داریم: P A, A V V, p اجتماع مجمعە },... λ { p λ n p p λ p dag 7 حال اگر قرار دهیم: { λ } p,..., 8 که حال با تجه به رابط 7 اضح است که مقادیر یژۀ 8 می باشد. لذا با بکار بردن الگریتم مستقل از λ p λ p } p..., }می باشد بنابراین کچکترین مقدار یژۀ 8 معکس پیش شرط شدۀ زیر فضای کریلف الگریتم بر ری زج - مشخص می شد. یعنی با فرض داشتن P کچکترین مقدار یژه زج A, می تان P امین مقدار یژه را محاسبه کرد. A, مثال ماتریس های A را به صرت زیر در نظر بگیرید. جدل. نحه عملکرد الگریتم مستقل از معکس Arnold برای پیداکردن کچکترین مقدار یژه زج به ازای مقادیر مختلف 8 Inner traton 8 5 7 5 Outer traton 8 7 7 7 5 otal of nner traton 9 5 5 8 e 9/8 /7 9/ 9/ 8/... A...... 5........... 7...... 8..................... Dag,,,,
ھ م یا ه ع عاد قدا ر ه ع س زن دار ای ل کاردل کار رش ل از کچکترین مقدار یژه زج که r,a را با به کارگیری الگریتم مستقل از معکس با شرط تقف 7 r A λ / محاسبه کردیم. در شکل تعداد تکرارهای داخلی مرد نیاز برای رسیدن به دقت مطلب به ازای,,8, نشان داده شده است. Downloaded fro jalu.lau.ac.r at 8: on uesda Jul th 8 شکل. تعداد تکرارهای داخلی مرد نیاز برای رسیدن به دقت مطلب به ازای,,8, از چپ به راست مشاهده میکنید که با افزایش تعداد تکرارهای داخلی کاهش مییابد.اما این بدین معنی نیست که را هر چقدر که بخاهیم افزایش دهیم.زیرا در این صرت تعامد مجد بین اعضای پایه از بین میرد تکرارهای داخلی افزایش مییابد. جدل را ببینید. مشاهده میکنید که مناسبترین میباشد. حال با به کارگیری الگریتم مستقل از معکس تهی- سازی چهار تا کچکترین مقدار یژه زج است.,A را محاسبه میکنیم. نتایج در جدل - نشان داده شده جدل. نحه عملکرد الگریتم مستقل از معکس Arnold برای پیداکردن چهار تا کچکترین مقدار یژه زج با دقت 7- p A, Inner traton Outer traton 7 9 89 7 e 8/ 7/7 /8 77/ λ P /585 /87 /895 /9 A, در شکل تعداد تکرارهای خارجی مرد نیاز برای محاسبه چهار تا کچکترین مقدار یژه زج دقت 7- نشان داده شده است. با A, با دقت -7 شکل. تعداد تکرارهای خارجی مرد نیاز برای محاسبه چهار تا کچکترین مقدار یژه زج
ج ه ریا یات کار دی ا د لا جان ۵۵-۶۴ ١٣٩٠ ٢٩ Downloaded fro jalu.lau.ac.r at 8: on uesda Jul th 8 5 رش مستقل از معکس زن دار حال برای ساختن یک پایه متعامد در الگریتم مستقل از معکس از رش [] W-Arnold که یکی از,A را با به کارگیری رش های زیر فضای کریلف میباشد استفاده میکنیم. کچکترین مقدار یژه زج الگریتم مستقل از معکس با شرط تقف r که 7 r A λ / محاسبه کردیم. در شکل تعداد تکرارهای داخلی مرد نیاز برای رسیدن به دقت مطلب به ازای,, نشان داده شده است. جدل. شکل. تعداد تکرارهای داخلی مرد نیاز برای رسیدن به دقت مطلب به ازای,, از چپ به راست نحه عملکرد الگریتم مستقل از معکس w-arnold برای پیداکردن کچکترین مقدار یژه زج A, Inner traton Outer traton 9 otal of nner traton e به ازای مقادیر مختلف 8 7 5/ 8/87 /9 مشاهده میکنید که مناسبترین میباشد.حال با به کارگیری الگریتم مستقل از معکس تهیسازی,A را محاسبه میکنیم. نتایج در جدل نشان داده شده است. چهار تا کچکترین مقدار یژه زج جدل. نحه عملکرد الگریتم مستقل از معکس w-arnold برای پیداکردن چهار تا کچکترین مقدار یژه زج A, با دقت -7 p Inner traton Outer traton 7 5 77 e /9 /9 8/57 5/7 λ P /585 /87 /895 /9 A, در شکل تعداد تکرارهای خارجی مرد نیاز برای محاسبه چهار تا کچکترین مقدار یژه زج 7- نشان داده شده است. با دقت شکل. تعداد تکرارهای خارجی مرد نیاز برای محاسبه چهار تا کچکترین مقدار یژه زج A, با دقت -7
ھ م یا ه ع عاد قدا ر ه ع س زن دار ای ل کاردل کار رش ل از مقایسه جدل های نشان میدهد که تعداد تکرارها زمان محاسبات رش مستقل از معکس w-arnold به مراتب کمتر از رش مستقل از معکس Arnold است.جدل 5 را ببینید. Downloaded fro jalu.lau.ac.r at 8: on uesda Jul th 8 جدل 5. مقایسه رش های Arnold-nverse free ethod W-Arnold-nverse free ethod برای محاسبه چهارتا کچکترین مقدار یژه A, با دقت تعمیمیافته زج Outer traton e Arnold-nverse free ethod 859 98/9 W-Arnold-nverse free ethod 8 5/ نتیجه گیری رش های ارایه شده در[ ] [] [ ] دارای کاستی هایی می باشند بدین معنا که بعضی از آن ها کمتر از حد انتظار بعضی دیگر بیش از حد انتظار مقادیر یژه را محاسبه می کنند. لذا در این مقاله برای حل این شکل به بیان رش های زیر فضای کریلف پرداختیم. مشاهده نمدیم که در رش مستقل از معکس با محاسبه صریح زج نرمال این مشکل برطرف شد در نهایت با استفاده از معادلات تبدیل مناسب در رش مستقل از معکس مرتبه ی همگرایی رش را که قبلا یک بد به د افزایش پیدا کرد مقادیر یژه ی زج A, با دقت بسیار بالایی محاسبه شد. اما دیدیم که در بین رش های مستقل از معکس رش مستقل از معکس زن دار مقادیر یژه را با سرعت بیشتری محاسبه میکرد. لذا در حالت کلی که ماتریس های A, بزرگ Sparse می باشند رش مستقل از معکس زن دار برای محاسبە مقادیر یژه تعمیم یافته تصیه می شد. منابع [] Essa, A., 998. Weghted Fo and GMRES for solvng nonsetrc lnear sstes, Nuer. Algorth 8.77-9. [] Morgen,., 99. Restartng the Arnold ethod for large nonsetrc egenvalue probles, ath. Copute. -. [] Stathopoulos, A., Saad, Y., K.WU, 998. Dnac thc Restartng of the Dardson and the plctl restarted Arnold Algorth, SIAM J.Sc. Copute. 9. 7-5. [] Lehouc, R.., 995. Analss and pleentaton of an plctl restarted Arnold nteraton. Ph. D. thess, Departent of coputatonal and Appled Matheatcs, Rc Unverst, R 95-. [5] Golub, H., YE, Q., An Inverse Free Precondtoned Krlov Subspace Method for Setrc Generalzed Egenvalue probles, SIAM J. SCI. copute, Vo., No., pp.- [] Meurant, G., 999. Coputer Soluton of Large Lnear Sste, Elsever, Arsterda.