بلورشناسی )قسمت اول( Crystallography (part I) دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

مراجع 1- بلورشناسی با پرتو L.V. Azaroff X ترجمه: ناصر تجبر 2- Crystals and Crystal Structures, Richard J. D. Tilley, 2006 Wiley دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

فهرست مطالب )1(: مقدمه عناصر و عملهای تفارن شبکه های بلوری )خالصه( گروههای نقطه ای مروری بر اصل تقارن و مباحث گفته شده شبکه دوبعدی شبکه سه بعدی نماد گذاری رخ های بلور گروه های فضایی استریوگراف.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

1- مقدمه بلورها و ساختارهای بلوری دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

تعاریف )1( 1 -آرایه های اتمی دوره ای در سه بعد را بلور می نامند 2 -مکان هندسیی که حول آن تکرارها رخ می دهند عنصر تقارن نامیده می شوند 3- عمل های تقارن یک بلور ساختار آن را به شکل اولش برمیگرداند 4- این عمل ها شامل انتقال شبکه و عمل های نقطه ای دوران و بازتاب وترکیب های آنها می باشند. در واقع حول نقاط شبکه ویا بعضی نقاط خاص ممکن است بتوان دوران ها یا بازتاب هایی اعمال کرد که بلور را به حالت اولیه خود برگردانند. 5- عمل های مرکب نیز می توانند وجود داشته باشند که از ترکیب عمل های انتقال و نقطه ای حاصل می شوند 6- تقارن فضا حول یک نقطه را می توان با مجموعه ای از عناصر تقارن به نام گروه نقطه ای توصیف کرد. گروههای نقطه ای از ترکیب پنج محو دوران مرتب و پنج محور دوران نامرتب ساخته شده اند و تعداد آنها به 32 می رسد دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی 2- عناصر وعمل های تقارن عمل های تقارن

اعمالی كه موجب تكرار اجزاء سازنده بلور می شوند : الف- انتقال: با اين عمل اجزاء سازنده بلور در يك جهت خطي و به فواصل معيني تعادلي ) تكرار مي شوند. ب - چرخش )دوران(: )فاصله دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

د- بازتابی )انعکاسی( دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

3 -شبکه های بلوری: یک بعدی: دوبعدی: -1-2 3- سه بعدی دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی 4 -گروه های نقطه ای

مسئله: چرا فقط دوران های با nهای 2 و 3 و 4 و 6 در تقارن قابل قبول است )صفحات 55 و 56( دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی دوران مرتب

عملها و محورهای دوران دوران-بازتاب و دوران-وارون دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

6 هم ارز است مسئله: کدام یک از محورهای تقارنی با محور های 4 3 2 1 و دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی تقارن یک مکعب

همچنان که اشاره شد تقارن فضا حول یک نقطه را می توان با مجموعه ای از عناصر تقارن به نام گروه 1- نقطه گروههای توصیف نقطه کرد. ای دورانی 1 C 1 2 C 2 3 C 3 4 C 4 6 C 6 دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی 5

2- گروههای نقطه ای دورانی-بازتابی )آینه افقی( m C h 1 C h 2 m 2 3 C h m 3 4 C h m 4 6 C h m 6 = 10 5+ دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

3- گروههای نقطه ای دورانی-بازتابی )آینه عمودی( m C mm2 C 2v 1v m C 1h C v 3m 3 4 C v mm 4 6mm 6 C v = 14 4+ دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

3- گروههای نقطه ای دورانی-وارونی 2 S 1 S 2 1 C h m 1 6 S 3 3 C h m 3 4 S 4 مسئله: از ترکیب یک صفحه آیینه ای عمود بر محور دوران مرتب چند گروه نقطه ای جدید )مختص به خود( ایجاد می شود دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی 3 S 6 +3 = 17

نظریه گروه: وقتی یک عنصر تقارن A با عنصر دیگر B ترکیب شود. پس از آن عنصر C خودبخود تولید می شود A.B=C cos AB g a b cos cos cos 2 2 2 a b sin sin 2 2 a, b, g = "throw" of axis i.e. 2-fold has 180 throw Investigate: 180, 120, 90, 60 دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

Possible Rotor Combinations )5-1( مسئله: با به کار بردن معادله همه گروههای نقطه ای شامل یک محور 2 تا را بیابید دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

Allowed Combinations of Pure Rotations مسئله: نشان دهید که سه محور 2 تا می توانند در یک نقطه ترکیب شوند. مشروط بر آنکه دو به دو بر هم عمود باشند. دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

Rotations + Perpendicular 2-folds Dihedral (D n ) Groups 222 D 32 D 2 3 422 D 622 D 4 6 = 21 4+ دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

Dihedral Groups + s h mmm 2 6 2 D h m D3 h 4 m mm D4 h 6 m mm D6 h = 25 4+ دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

Dihedral Groups + s d 4 D d 2m 2 3m 3 D d D 4d? D 6d? 82m 12 2m = 27 2+ دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

Isometric Groups Roto-Combination with no Unique Axis دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

T Groups 23 T m3 T 43m T h d = 30 3+ دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی T Groups

O Groups 432 O m3m O h = 32 2+ دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

O Groups مسئله: وقتی محور 2 در 90 نسبت به محور 2 واقع شود چه گروه نقطه ای نتیجه می شود )پاسخ را با رسم شکل پیدا کنید( دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

هدش هتفگ ثحابم و نراقت لصا رب یرورم-5 نراقت هباشم:(symmetry) اي رظانتم ندوب يتمسق زا کي راتخاس طسوت کي طخ هطقن هحفص و ار نراقت دنيوگ فده زا :نراقت اب هدافتسا زا نراقت ام يم ميناوت تخانش يرتشيب زا کي رولب اي لوکلوم هتشاد ميشاب ردو فيصوت يرايسب زا ثحابم زا هلمج سنانوزر سيطانغم هتسه (NMR) شارپ وترپ سکيا )X-ray) نودام زمرق (IR) و لاتيبروا يلوکلوم )MO( طوبرم( هب )لوکلوم زا نآ هدافتسا.مينک يازجا يلصا :نوراقت -١ لامعا نراقت رصانع-٢ نراقت لامعا :نراقت لمع نراقت ترابع زا يلمع هک يور کي مسج ماجنا يم دوش هكيروطب سپ زا ماجنا نآ ره مسج هطقن يور هطقن لداعم اي( دياش نامه )هطقن رد تيعقوم هيلوا رارق.دريگ لمع رد يتروص نراقت تسا هك ود تيعضو و يريگتهج مسج لبق و دعب زا نآ تكرح ريغ لباق صيخشت.دشاب یمیهاربا کیزیف هورگ ناتسدرک هاگشناد

در واقع با نگاه کردن به بعضي از سطوح يال ها و گوشه ها متوجه مي شويم که تکرار منظم اجزا خارجي بلور)موتيف يا طرح الگويي(به دليل تاثير عوامل يا عناصر تقارني است. عناصر تقارن: به صورت خط نقطه يا صفحه مي باشند كه به ترتيب محور تقارن مركز تقارن صفحه تقارن ناميده ميشوند و هرکدام داراي يک يا چند عمل تقارني هستند. و 1- محور تقارن: خطي است فرضي که از مرکز جسم مي گذرد و اگر جسم را در حول آن بچرخانيم اجزا همشکل به فواصل زاويه اي معيني تکرار مي شوند. دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

مانند دهد آينه اي در نظر گرفت که تصوير و سطوح نسبت به سطح تقارن اجسام حالت 2- سطح تقارن: سطح تقارن را مي توان را نسبت به سطح خود قرينه نشان مي دست چپ و راست را دارند. دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

3- مرکز تقارن: مركز تقارن يك نقطه فرضي در مركز بلور است كه اجزا هم شكل بلور نسبت به آن و در فاصله مساوي و با زاويه 180 درجه قرينه آن قرار دارند. دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

نحوه نام گذاری عنصرهای تقارن )شیمی...( دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

تقارن در شیمی )گروههای نقطه ای دو بعدی( دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

مولکول CH6 مثالي از محور تقارن C2 دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

یاخته بسیط: هر یاخته )سلول( که تنها یک نقطه شبکه را دار باشد یاخته چندگانه: شامل بیش از یک نقطه شبکه است تعریف : 5 شبکه تخت )دوبعدی( را گاهی 5 شبکه براوه می نامند 6 -شبکه دو بعدی )تخت( دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی مسئله:

محوره يا بلورشناسی در بلورشناسی محوره يا فرضی موسوم به محوره يا بلورشناسی به کارگرفته می شوند که منطبق بر محورهاي ریاضی بوده و آن ها را با aو b cطوري در نظر می گیرند که 1- بردار a بر محور x 2- بردار b بر محور y 3- بردار cبر محور z منطبق است دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی سلول ویگنر- سایتز

انتقال در سه جهت )در فضا( 7 -شبکه سه بعدی )فضایی( با زاویه ها و اندازه های متفاوت دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

تعریف : 14 شبکه فضایی توزیع شده بین شش سیستم بلوری را گاهی 14 شبکه براوه می نامند دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی hcp

مثال: دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

Simple Cubic (SC) a₀ & atomic radius relation: a₀ =2r APF: 0.523 Coordination number: 6 Atomic per unit cell: 1 دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

Body Centered Cubic (BCC) a₀ & atomic radius relation: 3a₀ =4r APF: 0.6798 Coordination number: 8 Atomic per unit cell: 2 دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

Face Centered Cubic (FCC) a₀ & atomic radius relation: 2a₀ =4r APF: 0.74 Coordination number: 12 Atomic per unit cell: 4 دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

Hexagonal Close Packed(HCP) a₀ & atomic radius relation: a₀ =2r, c₀ =1.63 a₀ APF: 0.74 Coordination number: 12 Atomic per unit cell: 6 دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

bcc مثال: ضریب تراکم اتمی ساختار بلوری را با یک اتم پایه بدست آورید دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

ضریب تراکم اتمی ساختار بلوری hcp را با یک اتم پایه بدست آورید دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

32 گروه نقطه ای تصویراستریوگرافیک projection) (Stereographic دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

تک) Crystal system )سه میل( Triclinic (2) Monoclinic ( 13 )میل ) Point group Hermann- Mauguin Symbol Schoenflies Symbol 1 C 1 Chiral P1 1 C i P1 2 C 2 Chiral P2, P2 1, C2 m C s Pm, Pc, Cm, Cc Space groups (international short symbol) 2/m C 2h P2/m, P2 1 /m, C2/m, P2/c, P2 1 /c, C2/c 222 D 2 Chiral P222, P222 1, P2 1 2 1 2, P2 1 2 1 2 1, C222 1, C222, F222, I222, I2 1 2 1 2 1 Orthorhombic (59) )راست گوشه ) mm2 C 2v Pnn2, Cmm2, Cmc2 1, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2, Fmm2, Pmm2, Pmc2 1, Pcc2, Pma2, Pca2 1, Pnc2, Pmn2 1, Pba2, Pna2 1, Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2 mmm D 2h Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma, Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam, Ibca, Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Imma دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

)چار Tetragonal (68) گوشی ) )سه Trigonal ( 25 )گوشی ) )شش Hexagonal ( 27 )گوشی ) Cubic (36) )مکعبی ) 4 C 4 Chiral P4, P4 1, P4 2, P4 3, I4, I4 1 4 S 4 P4, I4 4/m C 4h P4/m, P4 2 /m, P4/n, P4 2 /n, I4/m, I4 1 /a 422 D 4 Chiral P422, P42 1 2, P4 1 22, P4 1 2 1 2, P4 2 22, P4 2 2 1 2, P4 3 22, P4 3 2 1 2, I422, I4 1 22 4mm C 4v P4mm, P4bm, P4 2 cm, P4 2 nm, P4cc, P4nc, P4 2 mc, P4 2 bc, I4mm, I4cm, I4 1 md, I4 1 cd P42m, P42c, P42 42m D 1 m, P42 1 c, P4m2, P4c2, P4b2, P4n2, I4m2, I4c2, 2d I42m, I42d 4/mmm D 4h P4/ncc, P4 2 /mmc, P4 2 /mcm, P4 2 /nbc, P4 2 /nnm, P4 2 /mbc, P4 2 /mnm, P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4 2 /nmc, P4 2 /ncm, I4/mmm, I4/mcm, I4 1 /amd, I4 1 /acd 3 C 3 Chiral P3, P3 1, P3 2, R3 3 S 6 P3, R3 32 D 3 Chiral P312, P321, P3 1 12, P3 1 21, P3 2 12, P3 2 21, R32 3m C 3v P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c 3m D 3d P31m, P31c, P3m1, P3c1, R3m, R3c, 6 C 6 Chiral P6, P6 1, P6 5, P6 2, P6 4, P6 3 6 C 3h P6 6/m C 6h P6/m, P6 3 /m 622 D 6 Chiral P622, P6 1 22, P6 5 22, P6 2 22, P6 4 22, P6 3 22 6mm C 6v P6mm, P6cc, P6 3 cm, P6 3 mc 6m2 D 3h P6m2, P6c2, P62m, P62c 6/mmm D 6h P6/mmm, P6/mcc, P6 3 /mcm, P6 3 /mmc 23 T Chiral P23, F23, I23, P2 1 3, I2 1 3 m3 T h Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3 432 O Chiral P432, P4 2 32, F432, F4 1 32, I432, P4 3 32, P4 1 32, I4 1 32 43m T d P43m, F43m, I43m, P43n, F43c, I43d m3m O h Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m, Fm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3c, Im3m, Ia3d دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

8 -نمادگذاری رخهای بلور 1- انتخاب محورهای بلور 2- شاخص های میلر )محورهای دوران موجود در یک بلور به عنوان محورهای مرجع آن بلور انتخاب می شوند( )شاخص صفحه (hkl) ) در سه مرحله تعیین می شود: 1 -برخوردگاههای صفحه را در امتداد هریک از سه محور بلورنگاری معین کنید. 2- وارونه آنها را یادداشت کنید. 3- اگر کسر اعشاری حاصل شد هر یک را در کوچکتری مضرب مشترکشان ضرب کنید مسئله: h+k=-i را برای شاخص ها و رابطه a 1 a+ 2 a-= 3 کنید رابطه برای محورهای ششگوشی اثبات دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

Cubic lattice Z Intercepts 1 Plane (100) Family {100} 6 The purpose of using reciprocal of intercepts and not intercepts themselves in Miller indices becomes clear the are removed X Y Intercepts 1 1 Plane (110) Family {110} 6 Intercepts 1 1 1 Plane (111) Family {111} 8 (Octahedral plane)

دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی شبکه مکعبي

مثال: شاخص های صفحه ضخیم و نزدیکترین صفحه به مبدا در شکل زیر بدست آورید دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

3- منطقه ها وشکل ها مجموعه دیگری از صفحات که به فراوانی به کار گرفته می شوند مجموعه صفحاتی هستند با راستای مشترک. این راستای مشترک راستایی است که در امتداد آن صفحات یکدیگر را قطع می کنند و محور منطقه نامیده می شود صفحاتی که در یک مجور منطقه مشترکند گفته می شود که به یک منطقه تعلق دارند. یک محور منطقه باسه عدد درست قرار داده شده در دوبند [uvw] نشان داده می شود. که بردار t بنابر معادله برداری t=ua+vb+wc را تعریف می کند. شاخصهای محور منطقه و صفحه از رابطه جبری زیر پیروی می کند: uh+vk+wl=0 و باالخره محور منطقه مربوط به دو صفحه متقاطع را می توان به قرار زیر تعیین کرد: u=k 1 l 2 -k 2 l 1 v=l 1 h 2 -l 2 h 1 [111] [100] w=h 1 k 2 -h 2 k 1 مثال: راستا یا محور منطقه به موازات a و به موازات b [ 010 ]و... مسئله: حداقل شش صفحه مختلف متعلق به منطقه ای را که محور منطقه آن کنید دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی است فهرست

مثال: نماد گذاری محورها و صفحات دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

Related to l index Related to i index Related to k index Related to h index

Hexagonal crystals Miller-Bravais Indices a 3 Intercepts 1 1 - ½ Plane (1 1 2 0) (h k i l) i = (h + k) a 2 a 1 The use of the 4 index notation is to bring out the equivalence between crystallographically equivalent planes and directions (as will become clear in coming slides)

Examples to show the utility of the 4 index notation a 3 a 2 a 1 Intercepts 1-1 Miller (1 1 0 ) Miller-Bravais (1 1 0 0 ) Intercepts 1-1 Miller (0 1 0) Obviously the green and blue planes belong to the same family and first three indices have the same set of numbers (as brought out by the Miller-Bravais system) Miller-Bravais (0 1 1 0)

Intercepts 1 1 - ½ 1 Plane (1 1 2 1) Intercepts 1 1 1 Plane (1 0 1 1)

Miller Indices for PLANES Miller indices for planes is not as intuitive as that for directions and special care must be taken in understanding them Illustrated here for the cubic lattice Find intercepts along axes 2 3 1 Take reciprocal 1/2 1/3 1 Convert to smallest integers in the same ratio 3 2 6 Enclose in parenthesis (326)

مسئله: بلور واقع در شکل زیر را بررسی کنید و همه عناصر تقارن را که در آن می یابید فهرست کرده سپس رده درست و سیستم بلور را تعیین کنید دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

مسئله: گروههای نقطه ای سلول های واحد ساختار بلوری فلزات Cu, Fe, Mg را تعیین کنید دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

زاویه بین صفحات دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

گروه های فضایی تا کنون نشان دادیم که چگونه ترکیب دو عنصر تقارن منجر به عنصر سوم می شود )گروه های نقطه ای( اکنون تنها این باقی می ماند که 32 گروه نقطه ای را با 14 شبکه فضایی ترکیب کنیم همه گروه های فضایی ممکن حاصل شود. چنین نتیجه می شود که عنصرهای تقارن موجود در شبکه های فضایی می توانند مولفه های انتقال را تکرار کنند. )بازتاب + انتقال=لغزش ودوران+انتقال=پیچش( تا دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

از ترکیب یک دوران مرتب با یک زیر انتقال می توان یک محور پیچی به دست آورد پس از n انتقال T و n دوران به زاویه θ فاصله انتقال جمعی باید برابر حاصلضرب عدد درست m در انتقال شبکه t باشد: nt=mt T=mt/n )در شکل های روبه رو شاخص پایین m می باشد( دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

رد ششوک یارب نییعت بیکرت یاه نکمم هورگ یاه هطقن یا اب هکبش یاه ییاضف هن اهنت دیاب 32 هورگ هطقن یا ار هک نونکات هب تسد هدمآ دنا هب راک میریگب هکلب هورگ یاه ینراقت اب طباور هیواز یا ناسکی یلو اب یاهروحم یچیپ هب یاج یاهروحم نارود صلاخ و تاحفص یشزعل هب یاج تاحفص باتزاب صلاخ زین رد رظن.میریگب رگا نیا هورگ یاه نراقت سیدمه ار هب باسح.میروآ نینچ هجیتن یم دوش هک اهنت 230 هار فلتخم یارب نینچ بیکرت ینراقت هکبش اب اه دوجو.دراد یمیهاربا کیزیف هورگ ناتسدرک هاگشناد

استریوگراف تصویر بلورها دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

استریوگراف http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/stereographic/projection.php دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

تصویر بلورها )شبکه ولف( تصویرهای پرسپکتیو: یک تصویر پرسپکتیو یعنی قرار دادن نقاطی از فضا بر یک سطح به همان صورتی که آن نقاط از نقطه ثابتی از فضا روی آن سطح دیده شوند قطب: هر یک از نقاط بر کره را که برخوردگاه هر خط عمود با کره است قطب می نامند. محور منطقه ای هر دو صفحه با توجه به این نکته که قطب آن محور باید به فاصله 90 قرار گیرد به سادگی یافت می شود می توان کره را با دایره های عظیمه همفاصله به نام نصف النهارها و دایره های کوچک به نام مدارها )دایره های عرضی( مثل یک کره جغرافیایی و قطب های گوناگونی به چنین مختصاتی نسبت داد. )مشگل اصلی این تصویر جابجا کردن آن است بنابراین می توان از تصویر کردن کره بر یک صفحه تخت استفاده کرد( دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی انواع تصویرها

چهار نوع تصویر سمت الراسی معمولی دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی

دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی شبکه ولف Net) (Wulff

مسئله: Using the Wulff net, plot the {101} poles on the Using a Wulff net, plot the {100} poles on a stereogram aligned so that the paper is in the x-y plane. By measuring angles along great circles, with rotation of the Wulff net if necessary, plot (320), (323), (510) and (511). Find the angle between (323) and (511). دانشگاه کردستان گروه فیزیک ابراهیمی