ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

Γενικές έννοιες Μία ροή χαρακτηρίζεται ανομοιόμορφη, όταν το βάθος μεταβάλλεται από διατομή σε διατομή. Η μεταβολή μπορεί να είναι απότομη, όπως στο υδραυλικό άλμα, ή βαθμιαία. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε την βαθμιαίως μεταβαλλόμενη ανομοιόμορφη ροή. Σε μία τέτοια ροή οι δυνάμεις βαρύτητας και τριβής παίζουν τον κύριο ρόλο. Οι γραμμές ροής είναι σχεδόν παράλληλες μεταξύ τους, άρα η κατανομή των πιέσεων είναι υδροστατική. Ακόμη μπορούμε να υποθέσουμε ότι η κλίση της γραμμής ενέργειας σε κάθε διατομή δίνεται από τον τύπο για την ομοιόμορφη ροή με την ίδια διατομή (π.χ. από τον τύπο του Manning).

Ανομοιόμορφη ροή λόγω μεταβολών κατά μήκος του αγωγού ΒΜΡ ΤΜΡ ΒΜΡ ΤΜΡ ΒΜΡ ΤΜΡ ΒΜΡ ΤΜΡ ΒΜΡ ΟΡ υδροφράκτης Υδραυλικό άλμα υπερχειλιστής αλλαγή κλίσεως

Μηκοτομή από επίλυση ανομοιόμορφης ροής με το πρόγραμμα HEC-RAS 50 45 TEXNIKI YDATORREYMATWN Plan: Plan 01 6/5/2010 River_a a Lege nd EG PF 2 WS PF 2 Crit PF 2 Ground LOB ROB E le v a t io n (m ) 40 35 30 25 0 500 1000 1500 2000 Main Channel Di stance (m)

Βασικό θεώρημα Στη βαθμιαίως μεταβαλλόμενη ανομοιόμορφη ροή ισχύει το ακόλουθο βασικό θεώρημα (εφόσον η παροχετευτικότητα του εξεταζόμενου αγωγού, δηλαδή η συνάρτηση Κ 1 (y), είναι αύξουσα): Όταν το βάθος ροής y είναι μεγαλύτερο από το ομοιόμορφο βάθος y n η ειδική ενέργεια αυξάνεται κατά την διεύθυνση της ροής. Αντίθετα, όταν το y είναι μικρότερο από το y n, η ειδική ενέργεια μειώνεται κατά την διεύθυνση της ροής. Η συνάρτηση Κ 1 (y) είναι αύξουσα για τις συνηθισμένες μορφές διατομών, που εμφανίζονται σε φυσικούς και τεχνητούς ανοικτούς αγωγούς. Προσοχή όμως απαιτείται σε αγωγούς κλειστής διατομής, όπου αυτό ισχύει μέχρι κάποιο όριο (π.χ. για y 0.94d στους κυκλικούς αγωγούς).

Υπενθύμιση Η ολική ενέργεια Η συνδέεται με την ειδική ενέργεια Ε με την ακόλουθη σχέση: Η = Ε + z Επομένως οι απώλειες ενέργειας, που οπωσδήποτε υπάρχουν, δεν συνεπάγονται κατ ανάγκην μείωση της ειδικής ενέργειας κατά τη διεύθυνση της ροής, αν η κλίση του πυθμένα είναι μεγαλύτερη από μηδέν.

Καμπύλες (profiles) της ελεύθερης επιφάνειας Ο καθορισμός της καμπύλης για κάθε εξεταζόμενη περίπτωση γίνεται σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο επιλέγεται η κατηγορία της καμπύλης με βάση τη σχέση της κλίσης του αγωγού και της μεταφερόμενης παροχής. Αν η κλίση είναι υποκρίσιμη για την εξεταζόμενη παροχή, αν δηλαδή το αντίστοιχο ομοιόμορφο βάθος ροής y n είναι μεγαλύτερο από το κρίσιμο βάθος y c, έχουμε καμπύλη M. Αν η κλίση είναι υπερκρίσιμη, έχουμε καμπύλη S.

Η γενική μορφή των καμπυλών της ελεύθερης επιφάνειας προκύπτει από το βασικό θεώρημα. Για παράδειγμα, η καμπύλη Μ 1, που εμφανίζεται όταν το βάθος είναι μεγαλύτερο από το ομοιόμορφο, συνεπάγεται αύξηση του βάθους κατά την διεύθυνση της ροής, ώστε να αυξάνεται αντιστοίχως και η ειδική ενέργεια, σύμφωνα με το διάγραμμα Ε-y.

Η βαθμιαία ομαλή μετάβαση από υπερκρίσιμη σε υποκρίσιμη ροή είναι αδύνατη. Πραγματικά, αν η μετάβαση αρχίσει από κλάδο με υπερκρίσιμη κλίση, τότε το βάθος ροής y ξεπερνά το υπερκρίσιμο ομοιόμορφο βάθος y n και η ειδική ενέργεια, σύμφωνα με το βασικό θεώρημα, θα πρέπει να αυξάνεται κατά τη διεύθυνση της ροής, ενώ, σύμφωνα με το διάγραμμα Ε-y, θα πρέπει να ελαττώνεται.

Αν πάλι βρισκόμαστε σε κλάδο υποκρίσιμης κλίσης, όταν το βάθος ροής y ξεπεράσει το κρίσιμο, η ειδική ενέργεια σύμφωνα με το διάγραμμα Ε-y θα αυξάνεται, ενώ σύμφωνα με το βασικό θεώρημα θα έπρεπε να μειώνεται, εφόσον το y είναι ακόμη μικρότερο από το υποκρίσιμο ομοιόμορφο βάθος y n. Και στις δύο περιπτώσεις λοιπόν καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα, μόνος τρόπος μετάβασης από υπερκρίσιμη σε υποκρίσιμη ροή είναι το υδραυλικό άλμα.

Το υδραυλικό άλμα στην ανομοιόμορφη ροή S1 yn1 yn1 yn2 M3 yn2 yn1 yn2

Άσκηση 1 Ο ορθογωνικός αγωγός του σχήματος έχει πλάτος 10 m και μεταφέρει παροχή Q = 50 m 3 /s. Ο συντελεστής του Manning είναι n = 0.02s/m 1/3. α) Να υπολογισθούν τα ομοιόμορφα βάθη ροής στους επί μέρους κλάδους και β) Να καθορισθεί το βάθος στο σημείο αλλαγής κλίσης και να σχεδιασθεί προσεγγιστικά το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας. yn1 I1= 0.001 A I2= 0.003 yn2

Άσκηση 2 Ο αγωγός του σχήματος πολύ μεγάλο πλάτος και αποτελείται από 3 τμήματα κλίσεων I 1 = 2, I 2 = 1 και I 3 = 5. Η μεταφερόμενη παροχή ανά μέτρο πλάτους του αγωγού είναι q = 5 m 2 /s και ο συντελεστής του Manning n = 0.02 s/m 1/3. α) Να υπολογισθούν τα ομοιόμορφα βάθη ροής στους επί μέρους κλάδους β) Να καθορισθούν τα βάθη στα σημεία αλλαγής κλίσης και να σχεδιασθεί προσεγγιστικά το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας γ) Να προσδιορισθεί ποιοτικά και να αιτιολογηθεί η μεταβολή της ειδικής ενέργειας σε κάθε επί μέρους τμήμα του αγωγού. ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΑΠΘ 3/05/2018

Λύση Πρέπει πρώτα να διαπιστωθεί αν οι κλίσεις Ι 1, Ι 2 και Ι 3 είναι μεγαλύτερες ή μικρότερες από την κρίσιμη, για να καθοριστεί το είδος των καμπυλών της ελεύθερης επιφάνειας του νερού σε κάθε τμήμα (M ή S). Το κρίσιμο βάθος είναι: y c = 3 q2 g =1. 36m Για αγωγούς πολύ μεγάλου (απείρου) πλάτους, η υδραυλική ακτίνα ισούται με το βάθος ροής, δηλαδή R h = y. Άρα μπορερί να q= 1 n y5/3 I 1/2 χρησιμοποιηθεί η απλοποιημένη μορφή του τύπου του Manning: q= 1 n y5 /3 I 1/ 2

Οπότε τα ομοιόμορφα βάθη υπολογίζονται από την σχέση: y n = ( qn I 1/2 ) 3/5 y n1 = 1.62m, y n2 = 2,00 m, y n3 = 1,23 m Επειδή τα y n1 και y n2 είναι μεγαλύτερα από το y c, οι αντίστοιχοι κλάδοι έχουν υποκρίσιμες κλίσεις και η ελεύθερη επιφάνεια σε αυτούς έχει μορφή καμπυλών τύπου Μ. Αντίθετα ο κλάδος 3 είναι υπερκρίσιμος, διότι το y n3 είναι μικρότερο από το y c, επομένως εμφανίζονται σε αυτόν προφίλ τύπου S. Για τον τελικό σχεδιασμό της μορφής της ελεύθερης επιφάνειας πρέπει να προσδιοριστούν τα βάθη στα σημεία αλλαγής κλίσης Β και Γ. Όπως αναφέρθηκε, θεωρούμε ότι το ενδιάμεσο τμήμα ΒΓ έχει αρκετό μήκος, ώστε η μία αλλαγή κλίσης να μην επηρεάζει την άλλη.

Σημείο Β. Είναι πέρασμα από μία υποκρίσιμη ροή σε άλλη μεγαλύτερου βάθους (μικρότερη κλίση-μεγαλύτερο βάθος). Με την «εις άτοπον απαγωγή», διαπιστώνεται ότι το βάθος στο Β πρέπει να είναι ίσο με 2.0 m, δηλαδή με το ομοιόμορφο βάθος του τμήματος 2. Σημείο Γ. Είναι πέρασμα από υποκρίσιμη σε υπερκρίσιμη ροή και το βάθος y πρέπει να μειωθεί από y n2 = 2.0 m σε y n3 = 1.23 m. Στον κλάδο ΒΓ το y μπορεί να μειωθεί με προφίλ Μ 2 μέχρι το κρίσιμο βάθος. Στον κλάδο ΓΔ, μπορεί να μειωθεί με προφίλ S 2 μέχρι το y n3, ξεκινώντας όμως το πολύ από το κρίσιμο βάθος. Αρα, για να πληρούνται και οι δύο περιορισμοί, το βάθος στο Γ πρέπει να είναι ίσο με το κρίσιμο, δηλαδή με 1.36 m. Η μορφή του προφίλ δίνεται στο επόμενο σχήμα:

Για τη μεταβολή της ειδικής ενέργειας ισχύουν τα ακόλουθα: Στο τμήμα ΑΒ η ροή είναι υποκρίσιμη και το βάθος αυξάνεται κατά τη διεύθυνση της ροής. Σύμφωνα λοιπόν με το διάγραμμα ειδικής ενέργειαςβάθους η ειδική ενέργεια αυξάνεται. Στο τμήμα ΒΓ η ροή αρχικά είναι ομοιόμορφη (σταθερού βάθους), άρα και η ειδική ενέργεια παραμένει σταθερή. Στη συνέχεια το βάθος μειώνεται κατά την διεύθυνση της ροής, ενώ η ροή είναι υποκρίσιμη, επομένως η ειδική ενέργεια μειώνεται. Τέλος στο τμήμα ΓΔ η ροή είναι υπερκρίσιμη και το βάθος μειώνεται κατά την διεύθυνσή της, μέχρι την τιμή y n3. Επομένως (σύμφωνα πάντα με το διάγραμμα ειδικής ενέργειας-βάθους) κατά μήκος του τμήματος που αντιστοιχεί στο προφίλ S 2 η ειδική ενέργεια αυξάνεται. Στα ίδια συμπεράσματα μπορούμε να καταλήξουμε χρησιμοποιώντας το βασικό θεώρημα της βαθμιαίως μεταβαλλόμενης ανομοιόμορφης ροής.

Άσκηση 3 Ο αγωγός του σχήματος έχει πολύ μεγάλο πλάτος. Ο συντελεστής του Manning είναι n = 0.02 s/m 1/3 και η διοχετευόμενη παροχή ανά μέτρο πλάτους είναι q = 5 m 2 /s. α) Να υπολογισθούν τα ομοιόμορφα βάθη ροής στους επί μέρους κλάδους και β) Να καθορισθούν τα βάθη στα σημεία αλλαγής κλίσης και να σχεδιασθεί προσεγγιστικά το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας.

Άσκηση 4 Ο πρισματικός αγωγός του σχήματος μεταφέρει παροχή Q, ενώ ο συντελεστής του Manning είναι ίσος με n σε όλο το μήκος του. Για τις κλίσεις των επί μέρους κλάδων ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: Ι 3 = 0 Ι 1 < Ι 4 < Ι 2 Δίδεται ακόμη ότι το κρίσιμο βάθος y c = 1.7 m, το βάθος στο σημείο αλλαγής κλίσης Γ είναι y Γ = 2.8 m ενώ το βάθος στο σημείο αλλαγής κλίσης Β είναι μεγαλύτερο του y c (y Β > y c ) Να καθοριστούν τα βάθη στα σημεία αλλαγής κλίσης (σε σχέση με τα ομοιόμορφα βάθη των επί μέρους κλάδων και το κρίσιμο βάθος) και να σχεδιαστεί προσεγγιστικά το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας, (με καθορισμό του είδους των προφίλ στους επί μέρους κλάδους). Αιτιολογήστε την απάντησή σας. Α Ι 1 Β Ι 2 Γ Ι 3 Δ Ι 4 Ε

Άσκηση 5 Ο πρισματικός αγωγός του σχήματος, που μεταφέρει παροχή Q = 36 m 3 /s, έχει ορθογωνική διατομή πλάτους b = 7 m. Ο συντελεστής του Manning είναι n = 0.02 s/m 1/3, ενώ η κλίση του κλάδου ΓΔ είναι Ι 3 = 0.001. Ακόμη, για τις κλίσεις των επί μέρους κλάδων ισχύει η ακόλουθη σχέση: Ι 1 > Ι 4 > Ι 2 > Ι 3 Δίνεται ακόμη ότι: α) το βάθος στο σημείο Δ είναι μεγαλύτερο από το κρίσιμο (y Δ > y c ) β) Το ομοιόμορφο βάθος του 1ου κλάδου είναι μικρότερο από το ισοδύναμο του 4ου και γ) Δεν παρατηρείται μείωση της ειδικής ενέργειας κατά μήκος του 1ου κλάδου. 1) Να υπολογισθεί το ομοιόμορφο βάθος του κλάδου ΓΔ. 2) Να καθορισθούν τα βάθη στα σημεία αλλαγής κλίσης (σε σχέση με τα ομοιόμορφα βάθη των επί μέρους κλάδων και το κρίσιμο βάθος) και να σχεδιασθεί προσεγγιστικά Α το προφίλ της ελεύθερης Ι1 επιφάνειας. Β Ι2 Αιτιολογήστε επαρκώς Γ Ι3 τις επιλογές σας. Δ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΑΠΘ 3/05/2018 Ι4 Ε

Λύση Το κρίσιμο βάθος είναι: y c = 3 q2 =1. 39m g (q = Q/b = 5.14 m2 /s) To y n3 υπολογίζεται με δοκιμές από τον τύπο του Manning. Είναι: Qn =22.768 1/2 I 3 Προκύπτει τελικά ότι y n3 = 2.5 m. Είναι y n3 > y c, άρα ο κλάδος 3 είναι υποκρίσιμος. Στο σημείο Δ μπορεί να έχουμε πέρασμα είτε από υποκρίσιμο σε υπερκρίσιμο κλάδο, είτε από υποκρίσιμο σε υποκρίσιμο.

Στην πρώτη περίπτωση θα είχαμε y Δ = y c. Δίνεται όμως ότι y Δ > y c, άρα και ο κλάδος ΔΕ είναι υποκρίσιμος, δηλαδή Ι 4 < Ι c. Δίνεται ακόμη ότι Ι 2 < Ι 4, επομένως και η κλίση Ι 2 είναι υποκρίσιμη. Για τον πρώτο κλάδο δίνεται ότι ισ y n 1 <y n4 Επειδή το y n4 είναι υποκρίσιμο, το ισοδύναμό του (που έχει την ίδια ειδική ενέργεια) είναι υπερκρίσιμο. Άρα το y n1, που είναι ακόμη μικρότερο, είναι επίσης υπερκρίσιμο. Στο πέρασμα από τον 1 ο στον 2 ο κλάδο έχουμε υποχρεωτικά υδραυλικό άλμα. Δίνεται ότι στον 1 ο κλάδο η ειδική ενέργεια δεν μειώνεται. Το υδραυλικό άλμα, λοιπόν, που συνεπάγεται απώλεια ενέργειας κατά μήκος του, συμβαίνει στον 2 ο κλάδο. Η μορφή του προφίλ φαίνεται στο σχήμα.

Άσκηση 6 Ο πρισματικός αγωγός, που φαίνεται σε κατά μήκος τομή στο σχήμα, μεταφέρει παροχή Q, ενώ ο συντελεστής του Manning είναι ίσος με n σε όλο το μήκος του. Για τις κλίσεις των επί μέρους κλάδων ισχύει η ακόλουθη σχέση: Ι 2 > Ι 4 > Ι 1 > Ι 3 Δίνεται ακόμη ότι: α) Η ειδική ενέργεια δεν μειώνεται σε κανένα τμήμα των κλάδων ΑΒ και ΒΓ και β) Δεν σχηματίζεται υδραυλικό άλμα στον κλάδο ΓΔ. Καθορίστε τα βάθη στα σημεία αλλαγής κλίσης (σε σχέση με τα ομοιόμορφα βάθη ροής των επί μέρους κλάδων και το κρίσιμο βάθος και σχεδιάστε προσεγγιστικά την ελεύθερη επιφάνεια (καθορίζοντας το είδος των προφίλ στα επί μέρους τμήματα). Αιτιολογήστε επαρκώς τις απαντήσεις σας.

Ελεύθερη υδατόπτωση Η ελεύθερη υδατόπτωση στο κάταντες άκρο υποκρίσιμου αγωγού, κατά την οποία η υδάτινη φλέβα αποκολλάται από τις στερεές παρειές μετά την έξοδό της από αυτόν, μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση μετάβασης από κλάδο υποκρίσιμης σε κλάδο υπερκρίσιμης κλίσης. Θεωρητικά λοιπόν, το βάθος στο σημείο αλλαγής κλίσης, δηλαδή στο χείλος της υδατόπτωσης, θα πρέπει να είναι ίσο με το κρίσιμο. Στην πράξη όμως, το κρίσιμο βάθος y c εμφανίζεται προς τα ανάντη του χείλους, σε απόσταση ίση με 3 y c ως 4 y c από αυτό. Mάλιστα, σύμφωνα με το βασικό θεώρημα, η ειδική ενέργεια εξακολουθεί να μειώνεται στο τμήμα ΑΒ και παίρνει την ελάχιστη τιμή της στο χείλος της υδατόπτωσης, όπου το βάθος y Β είναι αρκετά μικρότερο από το y c (y Β 0.7 y c σε ορθογωνικούς αγωγούς, σύμφωνα με εργαστηριακές μετρήσεις).

Αυτό φαίνεται να έρχεται σε αντίφαση με το βασικό συμπέρασμα του ότι η ελάχιστη ειδική ενέργεια αντιστοιχεί στο κρίσιμο βάθος. Η εξήγηση είναι η ακόλουθη: Η σχέση για την ειδική ενέργεια, με βάση την οποία υπολογίσθηκε η ελάχιστη τιμή της, προϋποθέτει υδροστατική κατανομή των πιέσεων στη διατομή, επομένως και παραλληλία των γραμμών ροής. Κοντά στο χείλος της υδατόπτωσης όμως η παραδοχή αυτή προφανώς δεν ισχύει. Μάλιστα στη διατομή Β η πίεση είναι ίση με την ατμοσφαιρική τόσο στην ελεύθερη επιφάνεια όσο και στον πυθμένα, ενώ ενδιαμέσως είναι λίγο μεγαλύτερη. Αφού λοιπόν δεν ισχύουν οι φυσικές προϋποθέσεις, η ακρίβεια τόσο της σχέσης όσο και των υπολογισμών που βασίζονται σε αυτήν, είναι περιορισμένη.

Το μήκος ΑΒ είναι πολύ μικρό, επομένως μπορούμε να δεχθούμε ότι το y c βρίσκεται στο χείλος της υδατόπτωσης, όταν εξετάζεται γενικά μια ανομοιόμορφη ροή, που εκτείνεται σε μήκος χιλιομέτρων. Η διαφορά όμως ανάμεσα στο y Β και στη θεωρητική τιμή του y c πρέπει να λαμβάνεται υπ όψιν, όταν η ελεύθερη υδατόπτωση χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της παροχής με βάση μέτρηση του βάθους ροής. Αν η ελεύθερη υδατόπτωση βρίσκεται στο κάταντες άκρο υπερκρίσιμου αγωγού, τότε το βάθος y Β στο χείλος του, που θεωρητικά θα έπρεπε να είναι ίσο με το υπερκρίσιμο ομοιόμορφο βάθος y n του αγωγού, είναι ελάχιστα μικρότερο από αυτό. Η απόκλιση αυτή εξηγείται πάλι με την καμπύλωση των γραμμών ροής λίγο πριν από το Β, η οποία όμως δεν είναι τόσο έντονη όσο στην περίπτωση του υποκρίσιμου αγωγού.

Εκροή-εισροή σε ταμιευτήρα ή λίμνη σταθερής στάθμης Το βάθος ροής στην είσοδο του αγωγού είναι ίσο με το ομοιόμορφο ή με το κρίσιμο, αν η κλίση του είναι υποκρίσιμη ή υπερκρίσιμη αντιστοίχως. Αυτό μπορεί να ερμηνευθεί, με βάση τα όσα ισχύουν για τη βαθμιαίως μεταβαλλόμενη ανομοιόμορφη ροή. Το σκεπτικό είναι το ακόλουθο: Η ροή του νερού μέσα στον ταμιευτήρα, καθώς πλησιάζει την είσοδο του αγωγού, είναι προφανώς υποκρίσιμη, καθώς έχει πολύ μικρή ταχύτητα. Αν η κλίση του αγωγού είναι υποκρίσιμη επίσης, τότε συμβαίνει ό,τι και στο πέρασμα από υποκρίσιμο σε υποκρίσιμο κλάδο, όπου στο σημείο αλλαγής κλίσης το βάθος ροής είναι ίσο με το ομοιόμορφο βάθος του κατάντη κλάδου. Αν, αντίθετα, η κλίση του αγωγού είναι υπερκρίσιμη, τότε έχουμε πέρασμα από υποκρίσιμη σε υπερκρίσιμη ροή, οπότε στην είσοδο του αγωγού το βάθος είναι ίσο με το κρίσιμο και ακολουθεί προφίλ S 2 μέχρι το ομοιόμορφο βάθος.

Εκροή από ταμιευτήρα σταθερής στάθμης Ποια είναι η παροχή Q που διοχετεύεται από τον ταμιευτήρα σταθερής στάθμης του σχήματος σε ορθογωνική διώρυγα πλάτους 20 m, κλίσεως Ι = 0.004 και συντελεστή Manning n = 0.025 s/m 1/3 ; 4.5 Α Ι = 0.004

Η εκροή από ανοικτό αγωγό σε ταμιευτήρα σταθερής στάθμης εξαρτάται: α) από το είδος της κλίσης του (υποκρίσιμη ή υπερκρίσιμη) και β) από τη στάθμη του νερού στον ταμιευτήρα. Αν η κλίση του αγωγού είναι υποκρίσιμη, τότε διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Η στάθμη του νερού της λίμνης είναι χαμηλότερη από τη στάθμη του κρίσιμου βάθους στον αγωγό στη διατομή εκροής Α. Τότε οι συνθήκες είναι παρόμοιες με αυτές της ελεύθερης υδατόπτωσης, άρα στον αγωγό αναπτύσσεται προφίλ Μ 2 και το βάθος στην Α είναι ίσο με το κρίσιμο.

Η στάθμη του νερού της λίμνης είναι ίση ή ψηλότερη από τη στάθμη του κρίσιμου βάθους στον αγωγό στη διατομή εκροής Α, αλλά χαμηλότερη από τη στάθμη του ομοιόμορφου βάθους. Οι συνθήκες είναι παρόμοιες με τη μετάβαση από μια υποκρίσιμη κλίση σε άλλη μικρότερου ομοιόμορφου βάθους. Επομένως το βάθος στη διατομή Α καθορίζεται από τη στάθμη της λίμνης, ενώ στον αγωγό αναπτύσσεται και πάλι προφίλ Μ 2. Η στάθμη του νερού της λίμνης είναι ίση με τη στάθμη του ομοιόμορφου βάθους του αγωγού στη διατομή εκροής Α. Στην περίπτωση αυτή η ροή στον αγωγό είναι προφανώς ομοιόμορφη.

Η στάθμη του νερού της λίμνης είναι ψηλότερη από τη στάθμη του ομοιόμορφου βάθους του αγωγού στη διατομή εκροής Α. Οι συνθήκες είναι παρόμοιες με τη μετάβαση από μια υποκρίσιμη κλίση σε άλλη μεγαλύτερου ομοιόμορφου βάθους. Επομένως το βάθος στη διατομή Α καθορίζεται από τη στάθμη της λίμνης, ενώ στον αγωγό αναπτύσσεται προφίλ Μ 1.

Αν η κλίση του αγωγού είναι υπερκρίσιμη, τότε διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Η στάθμη του νερού της λίμνης είναι χαμηλότερη από τη στάθμη του ομοιόμορφου βάθους του αγωγού στη διατομή εκροής Α. Τότε οι συνθήκες είναι παρόμοιες με αυτές της ελεύθερης υδατόπτωσης, άρα στον αγωγό το βάθος παραμένει ίσο με το ομοιόμορφο. Η στάθμη του νερού της λίμνης είναι ψηλότερη από τη στάθμη του υπερκρίσιμου ομοιόμορφου βάθους του αγωγού, αλλά χαμηλότερη από τη στάθμη του συζυγούς του y, στη διατομή εκροής Α. Οι συνθήκες παρουσιάζουν ομοιότητες με τη περίπτωση σχηματισμού άλματος σε καταβαθμό, και μάλιστα για τη μεταβατική περιοχή των τιμών των παραμέτρων. Επομένως σχηματίζεται ατελές υδραυλικό άλμα, μετά την είσοδο του νερού στον ταμιευτήρα.

Η στάθμη του νερού της λίμνης είναι ψηλότερη από τη στάθμη του y, συζυγούς του ομοιόμορφου βάθους του αγωγού στη διατομή εκροής Α. Τότε οι συνθήκες είναι παρόμοιες με τη μετάβαση από υπερκρίσιμη σε υποκρίσιμη ροή με σχηματισμό υδραυλικού άλματος στον ανάντη κλάδο. Μετά το άλμα σχηματίζεται προφίλ S 1, το μήκος του οποίου αυξάνει με τη διαφορά μεταξύ της στάθμης της λίμνης και του y. Η αύξηση αυτή συνεπάγεται προφανώς μετάθεση του υδραυλικού άλματος προς τα ανάντη του αγωγού.

Άσκηση Πρισματικός αγωγός αποτελείται από 4 κλάδους διαφορετικής κλίσης (ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΕ), έχει τραπεζοειδή διατομή με πλάτος πυθμένα b = 9 m και κλίση πρανών 1:1 και μεταφέρει παροχή Q = 38 m 3 /s. Ο αγωγός ξεκινά από ταμιευτήρα σταθερής στάθμης και το βάθος στην είσοδο του αγωγού είναι ίσο με το κρίσιμο. Για τις κλίσεις των επί μέρους κλάδων ισχύει η ακόλουθη σχέση: Ι 4 < Ι 1 < Ι 3 < Ι 2 Δίδεται ακόμη ότι: α) Ο συντελεστής Manning είναι n = 0.02 s/m 1/3 σε όλους τους κλάδους β) Η κλίση του κλάδου ΒΓ είναι Ι 2 = 0.011 και γ) Το ομοιόμορφο βάθος του κλάδου ΔΕ είναι μεγαλύτερο από το συζυγές του ομοιόμορφου βάθους του κλάδου ΒΓ (y n4 >y n2συζ )

α) Να υπολογισθεί το ομοιόμορφο βάθος ροής y n2 του κλάδου ΒΓ. β) Να καθοριστούν τα βάθη στα σημεία αλλαγής κλίσης (σε σχέση με τα ομοιόμορφα βάθη ροής των επί μέρους κλάδων και το κρίσιμο βάθος) και να σχεδιαστεί προσεγγιστικά το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας (με καθορισμό του είδους των προφίλ στους επί μέρους κλάδους). Αιτιολογήστε επαρκώς τις απαντήσεις σας.