VI.- ΜΟΝΙΜΗ ΡΟΗ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ

Transcript

1 VI.- ΜΟΝΙΜΗ ΡΟΗ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ Η μελέτη των μόνιμων ροών σε συστήματα ανοικτών αγωγών έχει ιδιαίτερη σημασία στην πράξη για την επίλυση τεχνικών προβλημάτων. Πράγματι, η επαγγελματική πρακτική του Πολιτικού Μηχ/κού στον τομέα αυτό έχει καθιερώσει την υπόθεση ότι οι ροές είναι μόνιμες για τον υπολογισμό των διατομών σε αγωγούς και διώρυγες συστημάτων α- ποχέτευσης, ύδρευσης, άρδευσης στα υδροδυναμικά έργα όπως υπερχειλιστές, φράγματα και στις διευθετήσεις ποταμών. Η παραδοχή ότι η ροή είναι μόνιμη οδηγεί σε απλουστευμένους υπολογισμούς. Με κατάλληλη επιλογή της παροχής σχεδιασμού οι διατομές που υπολογίζονται είναι γενικά προς την πλευρά της ασφάλειας όχι όμως αναγκαστικά και της οικονομίας. Στην πραγματικότητα, οι μη μόνιμες ροές αποτελούν τον κανόνα στη φύση και χάρις στα σύγχρονα υπολογιστικά μέσα ο υπολογισμός και οι έλεγχοι των διατομών σε μη μόνιμες ροές είναι δυνατό να γίνουν με απλό σχετικά τρόπο, βελτιώνοντας το σχεδιασμό του μηχανικού. Στις μόνιμες ροές με ελεύθερη επιφάνεια οι δυνάμεις

2 -210- βαρύτητας εξισορροπούνται από τις δυνάμεις τριβής. Για τυρβώδη ροή οι απώλειες τριβής υπολογίζονται με ημιεμπειρικούς τύπους, ενώ οι διάφορες ειδικές περιπτώσεις ροής μπορούν να καταταγούν σε δυο ομάδες: τις ομοιόμορφες και τις ανομοιόμορφες ροές. VΙ.1 0μοιόμορφη ροή Είναι η ροή που έχει σταθερά υδραυλικά χαρακτηριστικά (βάθος, ταχύτητα) κατά μήκος του αγωγού. Είναι φανερό ότι για να δημιουργηθεί τέτοια κατάσταση ροής πρέπει η διατομή του αγωγού και η κλίση του πυθμένα να διατηρούνται σταθερά. Όπως φαίνεται στο σχ. 70 στην Σχ. 70 Κανονικό βάθος ομοιόμορφης ροής σε ανοικτό αγωγό.

3 -211- περίπτωση αυτή το 3άθος ροής h = h n είναι ομοιόμορφο και ονομάζεται κανονικό βάθος ροής. Η κλίση της ελεύθερης επιφάνειας Ι, ταυτίζεται με την κλίση του πυθμένα Ι και με την κλίση της γραμμής ενέργειας Ι f. Eivαι δηλαδή: Σε μια ομοιόμορφη ροή με ελεύθερη επιφάνεια ενδιαφέρον παρουσιάζει η γνώση της κατανομής των ταχυτήτων κατά βάθος. Αυτό μπορεί να έχει πρακτική σημασία, όταν γνωρίζοντας τη σχέση ανάμεσα στις τοπικές τιμές της ταχύτητας προς τη μέση ταχύτητα μπορούμε από τοπικές μετρήσεις να υπολογίσουμε τη μέση ταχύτητα. Στην πραγματικότητα, η επίδραση των πλευρικών τοιχωμάτων δημιουργεί συνθήκες τρισδιάστατης ροής, αφού οι ταχύτητες μεταβάλλονται όχι μόνο κατά βάθος αλλά και μέσα σε μια εγκάρσια διατομή. Στο σχ. 71 φαίνονται οι καμπύλες ίσης ταχύτητας όπως προσδιορίστηκαν σε εργαστηριακά πειράματα σε πρισματικούς αγωγούς. Παρατηρούμε ότι η μέγιστη ταχύτητα εμφανίζεται στο επάνω μέρος της ροής και κοντά στην ελεύθερη επιφάνεια. Όταν η επίδραση των πλευρικών τοιχωμάτων θεωρηθεί αμελητέα, όπως στην περίπτωση αγωγών μεγάλου πλάτους, τότε η κατακόρυφη κατανομή των ταχυτήτων είναι πολύ κοντά στο λογαριθμικό νόμο της τυρβώδους ροής σε τραχύ τοίχωμα. Με βάση τη θεωρία του μήκους ανάμιξης του PRANDTL (βλ. "Εισαγωγή στη Μηχανική των Ρευστών",

4 -212- Σχ. 71 Γραμμές ίσης ταχύτητας σε πρισματικούς αγωγούς. σελ. 321), η ταχύτητα u σε απόσταση y από τον πυθμένα μπορεί να υπολογισθεί από τη σχέση: όπου: u* = το / ρ, τ ο : διατμητική τάση στο τοίχωμα k : σταθερά του PRANDTL ίση με.4 u max : η μέγιστη ταχύτητα για y = h Από την έκφραση (VI.I.2) μπορούμε να υπολογίσουμε τη

5 -213- μέση ταχύτητα U. Πράγματι, έχουμε: Μετά την ολοκλήρωση προκύπτει: οπότε ο νόμος (VI.1.2) γράφεται: Παρατηρούμε ότι η τοπική ταχύτητα υ ισούται με τη μέση ταχύτητα U στο βάθος y που ορίζεται από τη σχέση: Στην πράξη, η μέτρηση της τοπικής ταχύτητας σε απόσταση. 4h από τον πυθμένα ή σε βάθος.6h δίνει αποτελέσματα πολύ κοντά στη μέση ταχύτητα. Μια καλύτερη προσέγγιση προκύπτει από το μέσο όρο των τοπικών ταχυτήτων στις θέσεις 0.2h και.8h. Αυτό επαληθεύεται από το θεωρητικό νόμο (VI.1.3). Πράγματι έχουμε:

6 μέσος όρος των δυο παραπάνω εκφράσεων λαμβάνοντας υ- πόψη ότι k =.4 δίνει ακριβώς την τιμή U/u*. Στην πραγματικότητα βέβαια η κατανομή των ταχυτήτων είναι πολύπλοκη, όπως φαίνεται στο σχ. 72 σε μια διατομή ποταμού. Σχ. 72, Κατανομή ταχυτήτων σε διατομή ποταμού. Για το σχεδιασμό αγωγών ελεύθερης ροής ιδιαίτερη σημασία έχει η σχέση που συνδέει την παροχή με την κλίση της γραμμής ενέργειας σα συνάρτηση των χαρακτηριστικών της διατομής ροής (βάθος, πλάτος ροής στην επιφάνεια). Στην ουσία μια τέτοια σχέση δείχνει τον τρόπο μετατροπής της δυναμικής ενέργειας που έχει το

7 -215- ρευστό λόγω διαφοράς υψομέτρου κατά μήκος του αγωγού, σε ενέργεια τριβών λόγω τυρβώδους ροής και λόγω διάτμησης στον πυθμένα. Επειδή τις περισσότερες φορές στην πράξη η ροή σε ανοικτούς αγωγούς είναι τυρβώδης με τοιχώματα που έχουν σχετικά μεγάλη τραχύτητα, για τον υπολογισμό των απωλειών υδραυλικού φορτίου θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε την ανάλυση που εφαρμόσαμε στη Μηχανική των Ρευστών, με βάση τη θεωρία του PRANDTL για τυρβώδη ροή κοντά σε τοίχωμα. 0 συντελεστής απωλειών φορτίου λ συνδέει την κλίση της γραμμής ενέργειας Ι f με τη μέση κινητική ενέργεια του ρευστού ανά μονάδα βάρους U 2 /2g χρησιμοποιώντας την υδραυλική ακτίνα R H ίση με το 1/4 της υδραυλικής διαμέτρου. 0 τύπος των DARCY - WEISBACH, που μπορεί να προκύψει σαν συμπέρασμα της διαστατικής ανάλυσης γράφεται: όπου ο συντελεστής λ είναι συνάρτηση του αριθμού Reynolds Re, της αδιάστατης τραχύτητας των τοιχωμάτων ε/r H αλλά και της γεωμετρικής μορφής της διατομής, δηλ. Σε πρώτη προσέγγιση θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τα αποτελέσματα της τυρβώδους ροής σε σωλήνες (βλ. "Εισαγωγή στη Μηχανική των Ρευστών", τύποι (VIII ), (VIII.4.2.8) και (VIII }.Λαμβάνοντας

8 -216- υπόψη ότι ο αριθμός Re για τους ανοικτούς αγωγούς είναι. Re = UR Η /v = UD Η /4v, δηλ. το 1/4 του αντίστοιχου αριθμού για σωλήνες έχουμε: Διώρυγες με λεία τοιχώματα: Διώρυγες με λεία τοιχώματα: Διώρυγες με τραχεία τοιχώματα: Σύνθετη μεταβατική περιοχή: Οι τύποι αυτοί ισχύουν για αριθμό REYNOLDS Re > 500 (ή αντίστοιχα για τους σωλήνες για αριθμό REYNOLDS μεγαλύτερο του 2000), οπότε η ροή είναι τυρβώδης. Για στρωτή ροή σε ανοικτούς αγωγούς ισχύει Παρόλο ότι οι παραπάνω τύποι έχουν μια λογική εξήγηση, εντούτοις δεν επικράτησαν στην πρακτική των γραφείων μελετών του Μηχανικού. Η πολύπλοκη γεωμετρία της διατομής των φυσικών υδατορευμάτων που σύμφωνα με τον τύπο (VI.1.5) επιδρά στην τιμή του συντελεστή απωλειών, οδήγησε του μελετητές σε τύπους ημιεμπειρικούς που εφαρμόσθηκαν από τον 18ο αιώνα όταν άρχι-

9 -217- ζαν τα πρώτα βήματα της Υδραυλικής επιστήμης. Οι πιο γνωστοί, από τους τύπους αυτούς είναι οι τύποι των CHEZY και MANNING, που έχουν γενική μορφή: c είναι ένας συντελεστής αντίστασης, R Η η υδραυλική α- κτίνα και I f η κλίση της γραμμής ενέργειας, που για μόνιμη και ομοιόμορφη ροή ταυτίζεται με την κλίση του πυθμένα, (τύπος VI.1.1). Οι εκθέτες α, β και ο συντελεστής c έχουν διαφορετικές τιμές ανάλογα με τον εμπειρικό τύπο που χρησιμοποιούμε. Τύπος του CHEZY. οπότε η εξίσωση (VI.1.10) γράφεται: 0 συντελεστής C δίδεται από τον τύπο του ΒΑΖΙΝ γ είναι ένας συντελεστής που εξαρτάται από την τραχύτητα των τοιχωμάτων. Για διαστατικούς λόγους η εξίσωση (VI.1.12) δείχνει ότι το γ έχει ίδιες διαστάσεις με το R 1/2 Η δηλ. m 1/2. 0 παρακάτω πίνακας δίνει τις τιμές του συντελεστή γ ανάλογα με την τραχύτητα των

10 -218- τοιχωμάτων της διώρυγας. Τύπος πυθμένα ροής Χείμαρροι ακανόνιστης διαδρομής με άφθοβλάστηση Διώρυγες σε έδαφος χωρίς συντήρηση, θαμνώδης κοίτη Διώρυγες σε έδαφος με κανονική διατομή, μικρή βλάστηση. Φυσικό υδατόρευμα με ομαλή χάραξη, χωρίς βλάστηση ούτε αποθέσεις Διώρυγες χωρίς επένδυση, πολύ ομαλές χωρίς α- πότομες στροφές. Διώρυγες από τοιχοποιία με λείο πυθμένα ύστερα από λεπτές αποθέσεις Διώρυγες από σκυρόδεμα με απότομους αρμούς ή επενδεδυμένες με πέτρα Διώρυγες από τραχύ σκυρόδεμα με ομαλούς αρμούς. Αγωγοί από ξύλο με ακανόνιστους αρμούς. Μεταλλικές συγκολλητές διώρυγες. Αγωγοί με κανονική τοιχοποιία λαξευτής πέτρας Διώρυγες από λείο σκυρόδεμα. Μεταλλικά τοιχώματα με ομαλούς αρμούς ΒΑΖΙΝ γ(m 1/2 ) , Πίνακας VI.1: Τιμές του συντελεστή γ στον τύπο του ΒΑΖΙΝ Τύπος των MANNING - STRICKLER: Είναι: α = 2/3, β = 1/2, c = Κ οπότε η εξίσωση (VI.1.10) γράφεται:

11 -219- Κ είναι ο συντελεστής τραχύτητας που εξαρτάται από τη φύση των τοιχωμάτων. Παρατηρούμε ότι το Κ έχει διαστάσεις m 1/3 /s. Στην πράξη ο τύπος των MANNING -STRICKLER έχει επικρατήσει γιατί είναι απλός και δίνει καλά αποτελέσματα. Στον πίνακα που ακολουθεί δίδονται οι τιμές του Κ ανάλογα με την τραχύτητα των τοιχωμάτων. Συγκρίνοντας τους τύπους του CHEZY (VI.1.11) και των MANNING - STRICKLER (VI.1.13) παρατηρούμε ότι οι συντελεστές C και Κ συνδέονται με τη σχέση: Επίσης συγκρίνοντας τους τύπους αυτούς με την εξίσωση των DARY - WEISBACH (VI.1.5) βρίσκουμε ότι Εισάγοντας στην εξίσωση (VI.1.15) την έκφραση (VI.1.7) του συντελεστή λ για τυρβώδη ροή σε τραχεία τοιχώματα, έχουμε:

12 -220- Τύπος πυθμένα ροής Κοίτη με μεγάλη τραχύτητα STRICKLER Κ (m 1/3 /s) Οικισμοί 12 Χείμαρρου ακανόνιστης διαδρομής που μεταφέρουν βράχους Χαμηλά δάση 25 Θαμνώδης πυθμένας 30 Καλλιεργημένη έκταση 42 Ποτάμι με χαλίκια 40 Ομαλά ποτάμια σε βράχο 50 Κοίτη με τραχύτητα Κανονικό έδαφος, τραχύ σκυρόδεμα, παλιά τοιχοποιία Λεία κοίτη 60 Ασφαλτική επένδυση Κανονική τοιχοποιία 70 Λείο σκυρόδεμα 75 Κανονικό επίχρισμα 80 Πολύ λεία κοίτη Λείο επίχρισμα 85 Λείο τσιμέντο, αμιαντο-τσιμέντο, λαμαρίνα Πίνακας VI.2: Τιμές του συντελεστή τραχύτητας Κ στον τύπο των MANNING - STRICKLER

13 -221- η ακόμα: Γνωρίζοντας την κλίση της γραμμής ενέργειας I f για μόνιμη και ομοιόμορφη ροή μπορούμε να υπολογίσουμε τις διατμητικές τάσεις στον πυθμένα τ o. Η ισορροπία των δυνάμεων βαρύτητας με τις δυνάμεις τριβής δίνει: Σχ. 73 Υπολογισμός των διατμητικών τάσεων στον πυθμένα διώρυγας ελεύθερης ροής.

14 -222- Για μικρές κλίσεις έχουμε sinθ Ι ο = Ι f. Η εξίσωση (VI.1.18) παίρνει τώρα τη μορφή: Η διατμητική τάση στον πυθμένα έχει ιδιαίτερη σημασία στην περίπτωση που η διώρυγα είναι χωρίς επένδυση, οπότε υπάρχει κίνδυνος στερεομεταφοράς. Η συνολική ποσότητα στερεών υλικών που μεταφέρεται αποτελείται από τους συρόμενους εδαφικούς κόκκους στον πυθμένα και τα αιωρούμενα στερεά υλικά. Για το σχεδιασμό φυσικών διωρύγων που εμφανίζουν ευστάθεια σε στερεομεταφορά σαν κριτήριο μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέγιστη επιτρεπόμενη μέση ταχύτητα ροής ή η μέγιστη επιτρεπόμενη μέση διατμητική τάση στον πυθμένα. 0 παρακάτω πίνακας (VI.3) δίνει ενδεικτικά τις μέγιστες επιτρεπόμενες μέσες τιμές της ταχύτητας και της διατμητικής τάσης για το σχεδιασμό ευσταθών διωρύγων μέσου βάθους ροής μικρότερου από.9m. Με βάση τον τύπο των MANNING - STRICKLER (VI.1.13), η παροχή Q της διώρυγας για ομοιόμορφη ροή (I f = Ι ο ) δίδεται από τη σχέση: όπου Σ η διατομή ροής. Για τις πρακτικές εφαρμογές, ό- ταν άγνωστοι είναι η παροχή Q, η κλίση Ι ο ή ο συντελεστής τραχύτητας Κ, η χρήση του τύπου (VI.1.20) είναι άμεση και χωρίς υπολογιστικά προβλήματα. Όταν όμως είναι άγνωστο το κανονικό βάθος ροής h n, τότε

15 -223- Υλικό πυθμένα Συντελεστής τραχύτητας K(m 1/3 /s) Καθαρό νερό Νερό που μεταφέρει κολλοειδή λάσπη V τ ο V τ ο (m/s) (N/m 2 ) (m/s) (N/m 2 ) Λεπτή άμμος Άμμος μη κολλοειδής Προσχωσιγενής λάσπη μη κολλοειδής Λεπτό αμμοχάλικο Σκληρή άργιλος κολλοειδής Προσχωσιγενής λάσπη κολλοειδής Χοντρά χαλίκια Κροκάλες Πίνακας VI.3: Μέγιστες επιτρεπόμενες μέσες τιμές ταχύτητας και διατμητικής τάσης για ευσταθείς διώρυγες (βάθος ροής <.9m) η εξίσωση (VI.1.20) είναι μη γραμμική και η επίλυση

16 -224- της δύσκολη. Μια γραφική ή προσεγγιστική λύση μπορεί, να βασισθεί στον υπολογισμό της καμπύλης παροχετευτικότητας Φ(h) της διώρυγας, όπου Φ(h) ορίζεται με βάση την εξίσωση (VI.1.20) με τη μορφή: Η μορφή της καμπύλης παροχετευτικότητας εξαρτάται από τη γεωμετρία της διατομής και από τις σχέσεις που συνδέουν τη διατομή Σ και την υδραυλική ακτίνα R H με το βάθος ροής h. Για πρισματικές διώρυγες, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αποτελέσματα που συνοψίζονται στον πίνακα της σελ. 71. Εφαρμογή Β.11 Βρήτε το κανονικό βάθος ροής διώρυγας ορθογωνικής διατομής πλάτους b = 4m, κλίσης Ι o =10-3 με συντελεστή τραχύτητας Κ = 50 m 1/3 /s, όταν η μεταφερόμενη παροχή είναι Q = 10 m 3 /s. Έχουμε: Q/ I o =10/(. 001) 1/2 = Για μερικά βάθη ροής h συντάσσουμε τον πίνακα:

17 -225- Σ(m 2 ) Π(m) R H (m) KΣR 2/3 H = Φ(h) Από τις τιμές της παροχετευτικότητας Φ(h) παρατηρούμε ότι το κανονικό βάθος h ευρίσκεται ανάμεσα στις τιμές h = 1.5m και h = 2m. Η ακριβής τιμή μπορεί να βρεθεί με γραφική ή αριθμητική παρεμβολή. Σε πρώτη προσέγγιση, η γραμμική παρεμβολή δίνει: h n = 1.5+ (2-1.5)x( )/( ) = 1.67 m Σε μικροϋπολογιστή, η αριθμητική λύση της εξίσωσης (VI.1.20) μπορεί να βασισθεί στην παρακάτω επαναληπτική διαδικασία, θέτουμε την εξίσωση (VI.1.20) με τη μορφή: Γνωρίζοντας την προσεγγιστική τιμή του κανονικού βάθους h m, η εξίσωση (VI.1.22) χρησιμοποιείται για να υπολογίσουμε την προσέγγιση m+1 με τη μopcpή: Η επαναληπτική διαδικασία συγκλίνει εφόσον ισχύει η

18 -226- ανισότητα: F'(h) < 1 Η μορφή της συνάρτηση F(h) εξαρτάται από τη γεωμετρία της διώρυγας. Με βάση τα στοιχεία του πίνακα της σελ. 71 έχουμε: Ορθογωνική διατομή Η σχέση (VI.1.20} γράφεται: Με τη μορφή (VI.1.22) η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφεί: Τριγωνική διατομή Με τους συμβολισμούς της σελ. 71 είναι: Μετά από ανακατατάξεις και την εκτέλεση των πράξεων παίρνουμε:

19 -227- Τραπεζοειδής διατομή Η εξίσωση (VI.1.20) γράφεται: Μετά από αλγεβρικές πράξεις παίρνουμε: Εφαρμογή Β.12 Βρήτε με επαναληπτική διαδικασία το ομοιόμορφο βάθος ροής για την ορθογωνική διώρυγα της εφαρμογής Β.11. Ποια είναι η μέση ταχύτητα ροής και η μέση διατμητική τάση στον πυθμένα; Με βάση την εξίσωση (VI.1.24) και χρησιμοποιώντας σαν αρχική τιμή h = lm το παρακάτω πρόγραμμα σε γλώσσα BASIC επιτρέπει να βρούμε: h n = 1.67 m, U = 1.49 m/s, τ ο = 8.94 N/m 2

20 -228- Πρόγραμμα Β.12 Υπολογισμός κανονικού βάθους ροής σε ορθογωνική διώρυγα Εφαρμογή Β.13 Διώρυγα τραπεζοειδούς διατομής, με πλάτος πυθμένα b = 4m, κλίση πυθμένα Ι ο =10-3, κλίση πρανών 2:1 μεταφέρει παροχή Q = 5 m 3 /s. Αν ο συντελεστής τραχύτητας είναι Κ = 60 m 1/3 /s, βρήτε το κανονικό βάθος της ροής. Χρησιμοποιώντας την επαναληπτική διαδικασία και την ε- ξίσωση (VI.1.26) το παρακάτω πρόγραμμα δίνει: h n =.73 m

21 -229- Πρόγραμμα Β.13 Υπολογισμός κανονικού βάθους ροής σε διώρυγα τραπεζοειδούς μορφής. Διώρυγα κυκλικές διατομής Η κυκλική διατομή χρησιμοποιείται πολύ στις υδρεύσεις με βαρύτητα και ιδίως στα δίκτυα υπονόμων. Με βάση τους συμβολισμούς του σχ. 74 και τον τύπο του MANNING έχουμε: Σχ. 74 Διώρυγα κυκλικής διατομής

22 -230- Σε αγωγό με συντελεστή τραχύτητας Κ και κατά μήκος κλίση Ι ο, η παροχή Q είναι: Όταν η διατομή είναι πλήρης έχουμε Q = Q ο και θ = 0, οπότε: 0 λόγος Q/Q ο δίδεται από τη σχέση: Αντίστοιχα ο λόγος των μέσων ταχυτήτων U/U ο είναι:

23 -231- Το σχ. 75 δείχνει το νόμο μεταβολής των λόγων Q/Q ο και U/U ο σε συνάρτηση με το βάθος h/d. Σχ. 75 Μεταβολή των λόγων Q/Q ο και U/U ο σε συνάρτηση με το βάθος ροής σε διώρυγα κυκλικής διατομής. Παρατηρούμε ότι η μέγιστη παροχή δεν αναπτύσσεται για πλήρη διατομή, αλλά όταν: Αντίστοιχα η μέγιστη ταχύτητα αναπτύσσεται όταν το βάθος ροής γίνει:

24 -232- Εφαρμογή Β.15 Βρήτε το βάθος ροής σε αγωγό αποχετευτικού δικτύου κυκλικής διατομής, διαμέτρου D = 2m και κλίσης 1%ο, όταν μεταφέρει παροχή Q = m /s. 0 συντελεστής τραχύτητας των τοιχωμάτων είναι Κ = 75. Η παροχή Q ο για πλήρη διατομή υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο (VI.1.28). Έχουμε: 0 λόγος Q/Q ο είναι 3.225/4.692 = 0.69 και από το νομογράφημα του σχ. 75 βρίσκουμε ότι h/d = 0.61 ή Πολλές φορές η διατομή των ανοικτών διωρύγων είναι σύνθετη, όπως φαίνεται στο σχ. 76 για την περίπτωση διώρυγας μεγάλου πλάτους. Το βάθος του νερού είναι Σχ. 76 Υπολογισμός σύνθετης διατομής διώρυγας ελεύθερης ροής.

25 -233- μικρό στα πλευρικά τμήματα, σε σχέση με το μεγάλο βάθος ροής στο κεντρικό μέρος της διατομής. Στην περίπτωση αυτή ο υπολογισμός γίνεται κατά προσέγγιση, χωρίζοντας τη διατομή σε τμήματα και υπολογίζοντας χωριστά τα υ- δραυλικά στοιχεία κάθε τμήματος, όπως τη βρεχόμενη περίμετρο, την υδραυλική ακτίνα και την παροχή. Η συνολική παροχή της διατομής προκύπτει σαν άθροισμα των επί μέρους παροχών. Το πρόβλημα βέβαια είναι ο προσδιορισμός των διαχωριστικών ορίων ανάμεσα στα διάφορα τμήματα της διατομής, που πρέπει να είναι γραμμές μηδενικών εφαπτομενικών εσωτερικών δυνάμεων. Για το σχ. 76, αν οι γραμμές αυτές θεωρηθούν κατακόρυφες έχουμε: VI.2 Υδραυλικά βέλτιστες διατομές ροής Ένα σχετικά απλό ερώτημα που μπορεί να τεθεί κατά το σχεδιασμό αγωγών ελεύθερης ροής, είναι ο προσδιορισμός των διαστάσεων της διατομής, ώστε να διοχετεύεται η μέγιστη παροχή με σταθερή κλίση του πυθμένα Ι ο και σταθερό συντελεστή τραχύτητας Κ. Με βάση τον τύπο των MANNING - STRICKLER έχουμε:

26 -234- Η παροχή γίνεται μέγιστη όταν γίνει μέγιστος ο λόγος Σ 5 /Π 2. Αν θεωρήσουμε το λόγο αυτό συνάρτηση μιας χαρακτηριστικής μεταβλητής x (όπως το βάθος ροής) τότε η συνθήκη του μεγίστου δίνει: Αν θεωρήσουμε ότι η συνολική διατομή Σ διατηρείται σταθερή, τότε η παραπάνω σχέση δείχνει ότι πρέπει να έχουμε ελάχιστη βρεχομένη περίμετρο, δηλ. Από φυσική άποψη η παραπάνω συνθήκη δείχνει ότι η διατομή εμφανίζει ελάχιστες απώλειες τριβής. Όπως είναι γνωστό απόλες τις γεωμετρικές μορφές με την ίδια επιφάνεια Σ ο κύκλος έχει την ελάχιστη περίμετρο. Επειδή για κατασκευαστικούς λόγους η ημικυκλική διατομή είναι δύσκολο να εκσκαφεί και να συντηρηθεί, οι τεχνητές διώρυγες έχουν συνήθως ορθογωνική ή τραπεζοειδή μορφή. Ορθογωνική διατομή Η συνθήκη (VI.2.1) της ελάχιστης βρεχομένης περιμέτρου για σταθερή διατομή Σ δίνει:

27 -235- οπότε: Σχ. 77 Βέλτιστη ορθογωνική διατομή. Όπως φαίνεται στο σχ. 77, η βέλτιστη από υδραυλική άποψη ορθογωνική διατομή είναι εκείνη που περιγράφεται σε ημικύκλιο ακτίνας r = h = b/2. Η υδραυλική ακτίνα της διατομής αυτής είναι:

28 -236- Τραπεζοειδής διατομή Έχουμε: Για δεδομένη διατομή η βρεχομένη περίμετρος είναι: Αυτή ελαχιστοποιείται όταν: Όπως φαίνεται στο σχ. 78 η συνθήκη αυτή δείχνει ότι η βέλτιστη διατομή είναι η περιγεγραμμένη σε κύκλο ακτίνας r = h. Πράγματι με τους συμβολισμούς του σχ. 78 έ- χουμε: Η συνθήκη (VI.2.4) δίνει: r = h.

29 -237- Σχ. 78 Βέλτιστη τραπεζοειδής διατομή. Η υδραυλική ακτίνα που αντιστοιχεί στη βέλτιστη διατομή είναι: Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε ότι η βέλτιστη από υδραυλική άποψη τραπεζοειδής διατομή είναι ε- κείνη που δίνει τις μέγιστες ταχύτητες ροής. Εφαρμογή Β.16 Διώρυγα τραπεζοειδούς διατομής με πλάτος πυθμένα 2 m και κλίση πρανών 1:2 μεταφέρει παροχή ίση με 50 m 3 /s. Βρήτε την ταχύτητα ροής αν γνωρίζουμε ότι η διατομή είναι υδραυλικά "βέλτιστη" ή υδραυλικά "οικονομική". Από τον τύπο (VI.2.4) υπολογίζουμε το βάθος ροής. Είναι:

30 -238- Για b = 2m, z = 2 έχουμε Η διατομή ροής είναι Οπότε η ταχύτητα του νερού δίδεται από τη σχέση: Γενικά η "βέλτιστη" από υδραυλική άποψη διατομή οδηγεί σε μεγάλες ταχύτητες, που μπορούν να δημιουργήσουν προβλήματα ευστάθειας της κοίτης και των πρανών. Βέβαια η κατάλληλη επένδυση της διώρυγας επιτρέπει γενικά την αύξηση των επιτρεπόμενων τιμών της ταχύτητας, με ταυτόχρονη αύξηση του κόστους κατασκευής. Έτσι συνήθως αποφεύγεται η χάραξη διωρύγων με διατομή υδραυλικά βέλτιστη, γιατί εκτός από τους παραπάνω λόγους το κόστος είναι αυξημένο, επειδή απαιτούνται μεγάλες εκσκαφές (σημαντικό βάθος ροής).

31 -239- VI.3 Ενεργειακά χαρακτηριστικά της Ροής. Εδική ενέργεια. Όπως είδαμε πιο μπροστά με τον τύπο (1.10) και την υπόθεση υδροστατικής κατανομής των πιέσεων, η συνολική υ- δραυλική ενέργεια σε μια διατομή ροής ή το ολικό υδραυλικό φορτίο Η δίδεται από την έκφραση: Σχ. 79 Ορισμός της ειδικής ενέργειας σε ροή με ελεύθερη επιφάνεια. Η μεταβολή του Η κατά μήκος της ροής παριστάνει τη γραμμή ενεργείας (σχ. 79), η κλίση της οποίας δείχνει την ένταση των απωλειών τριβής. Αν χρησιμοποιήσουμε σαν άξονα αναφοράς τον κεκλιμένο

32 -240- πυθμένα της διώρυγας, τότε ορίζουμε την ειδική ενέργεια h s της ροής (BAKHMETEFF, Β.Α ) με τον τύπο: όπου σε πρώτη προσέγγιση ο συντελεστής α μπορεί να θεωρηθεί περίπου ίσος με 1. Η μεταβολή της ειδικής ενέργειας h σε συνάρτηση με το βάθος ροής h επιτρέπει την κατάταξη του τύπου της ροής και την καλύτερη ερμηνεία των υδροδυναμικών της χαρακτηριστικών. Μπορούμε να διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: (α) την οικογένεια ροών σταθερής παροχής και (β) τις ροές σταθερής ειδικής ενέργειας. (α) ροές σταθερής παροχής (Q = σταθ.) Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα τέτοιων ροών με μεταβλητό βάθος h και ταχύτητα U, είναι η περίπτωση των ροών σταθερής παροχής πάνω από τοπική υπερύψωση σε οριζόντιο αγωγό (σχ. 80). Ανάντι της τοπικής υπερύψωσης υπάρχουν δυο τρόποι για να πετύχουμε την παροχή Q. 0 ένας είναι να έχουμε μεγάλο βάθος h 1 και μικρή ταχύτητα U 1, ενώ ο δεύτερος αντιστοιχεί αντίστροφα σε μικρό βάθος h 2 και μεγάλη ταχύτητα U 2. Για τους δυο τύπους ροής η ειδική ενέργεια h s ' πάνω από την υπερύψωση είναι μικρότερη από την αρχική h s, επειδή λόγω της υπερύψωσης Δz, η διατήρηση της ολικής ενέργειας (χωρίς τριβές) δίνει:

33 -241- Σχ. 80 Ροή πάνω από τοπική υπερύψωση. Όπως προκύπτει από τον τύπο (VI.3.2), στην περίπτωση 1, η υπερύψωση δημιουργεί, αύξηση της ταχύτητας (U' 1 > U 1 ) με συνέπεια τη μείωση του βάθους ροής (h' 1 < h 1 ), ενώ στην περίπτωση 2 έχουμε μείωση της ταχύτητας (U' 2 < U 2 ) με αντίστοιχη αύξηση του βάθους (h' 2 > h 2 ). Τα παραπάνω μπορούν να εξηγηθούν ποσοτικά χρησιμοποιώντας τον ορισμό (VI.3.2) της ειδική ενέργειας. Σε συνάρτηση με την παροχή Q, έχουμε: Όπως φαίνεται στο σχ. 81 η καμπύλη ειδικής ενέργειας-

34 -242- βάθους είναι το άθροισμα της γραμμής δυναμικής ενέργειας, που σε άξονες με την ίδια κλίμακα είναι μια ευθεία με κλίση 45 και της καμπύλης κινητικής ενέργειας, που έχει ασύμπτωτους τους δυο άξονες. Η ειδική ενέργεια ε- λαχιστοποιείται, όταν στον τύπο (VI.3.3) μηδενίσουμε την παράγωγο dh s /dh, δηλ. όταν: Σχ. 81 Καμπύλη βάθους-ειδικής ενέργειας για σταθερή παροχή. Από το σχ. 79 είναι φανερό ότι το πλάτος b της διατομής ροής στην ελεύθερη επιφάνεια συνδέεται με τις απειροστές μεταβολές της διατομής dσ και του βάθους

35 -243- dh με τη σχέση: dσ = bdh ή dz/dh = b Ο τύπος (VI.3.4) γράφεται τώρα: Όταν ισχύει η σχέση (VI.3.5) η ροή είναι κρίσιμη. Πράγματι, αν ονομάσουμε U c = Q/Σ c την κρίσιμη ταχύτητα και h mc = Σ c /b c το μέσο κρίσιμο βάθος (σχ. 79), τότε η σχέση (VI.3.5) δείχνει ότι ο αριθμός FROUDE της ροής είναι κρίσιμος, δηλ. ότι: Όταν το βάθος ροής είναι μεγαλύτερο από το κρίσιμο, τότε ο αριθμός FROUDE είναι μικρότερος της μονάδας και η ροή λέγεται υποκρίσιμη ή ποταμιά (περίπτωση 1 του σχ. 80). Αντίθετα η ροή είναι υπερκρίσιμη ή χειμαρρώδης για αριθμούς FROUDE μεγαλύτερους της μονάδας, δηλ. για βάθη ροής μικρότερα από το κρίσιμο και μεγάλες ταχύτητες ροής (περίπτωση 2 στο σχ. 80).

36 -244- (β) ροές με σταθερή ειδική ενέργεια (h s = σταθ.) Από φυσική άποψη, ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα οικογένειας ροών σταθερής ειδικής ενέργειας είναι αυτό που φαίνεται στο σχ. 82. Ένα διάφραγμα ρυθμίζει την παροχή πάνω από ένα αρκετά μακρύ οριζόντιο κατώφλι. Η ειδική ενέργεια, όπως ορίζεται με την ταχύτητα και το βάθος ροής στην αρχή της υπερύψωσης διατηρείται σταθερά, εφόσον παραλείψουμε τις τριβές. Η παροχή Q αυξάνεται όσο ανυψώνεται το διάφραγμα. Παρατηρούμε Σχ. 82 Ροές με σταθερή ειδική ενέργεια πάνω από μακρύ κατώφλι.

37 -245- ότι πριν ανοίξει τελείως το διάφραγμα, οπότε η παροχή γίνεται, μέγιστη, υπάρχουν δυο τιμές του βάθους ροής h 1 > h c και h 2 < h c για την ίδια παροχή (σχ.82α) Όταν η παροχή γίνει μέγιστη, τότε τα βάθη ροής h 1. και h 2 τείνουν στο κρίσιμο βάθος h c. Τα παραπάνω μπορούν να αποδειχθούν αναλυτικά. Πράγματι από τον τύπο (VI.3.3) για σταθερή ειδική ενέργεια h s, η παροχή Q δίδεται από τη σχέση: Όπως φαίνεται στο σχ. 83, η σχέση αυτή παριστάνει μια παραβολή, που δίνει δυο τιμές h 1 και h 2 για την ίδια παροχή. Η μέγιστη παροχή αντιστοιχεί στο μηδενισμό της παραγώγου dq/dh. Από τη σχέση (VI.3.7) Σχ. 83 Μεταβολή της παροχής σε συνάρτηση με το βάθος ροής, για σταθερή ειδική ενέργεια.

38 -246- παίρνουμε : Θέτοντας bdh = de, παίρνουμε: Αντικαθιστώντας στη σχέση (VI.3.7) παίρνουμε: που είναι ακριβώς η συνθήκη κρίσιμης ροής (VI.3.6). Η παροχή λοιπόν γίνεται μέγιστη, όταν ο αριθμός FROUDE γίνει ίσος με τη μονάδα, οπότε το βάθος είναι κρίσιμο. Η τιμή της μέγιστης παροχής δίδεται από τη σχέση (VI.3.8) και είναι: Θέτοντας h = h c, h mc = Σ c /b c και συνδυάζοντας τους τύπους (VI.3.7) και (VI.3.9) βρίσκουμε ότι: Για ορθογωνική διατομή με πλάτος b είναι h mc = h c, οπότε

39 -247- Αντικαθιστώντας στη σχέση (VI. 3.7), βρίσκουμε: Υπολογισμός του κρίσιμου βάθους ροής h c Μπορούμε να διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: (α) δίδεται η παροχή Q. Η συνθήκη κρίσιμης ροής (VI.3.5) μπορεί να πάρει τη μορφή: Η τιμή του h που επαληθεύει την παραπάνω σχέση μπορεί να βρεθεί με διαδοχικές προσεγγίσεις ή γραφικά. Δίδοντας αύξουσες τιμές στο h προσδιορίζουμε το λόγο Σ 3 /b έτσι ώστε να είναι ίσος με Q 2 /g. βρίσκουμε ότι το κρίσιμο βάθος h c πληροί την εξίσωση: (β) δίδεται η ειδική ενέργεια της ροής h s. Συνδυάζοντας τις σχέσεις:

40 -248- Η λύση της εξίσωσης αυτής μπορεί, επίσης να βρεθεί με διαδοχικές προσεγγίσεις. Εκτός από το κρίσιμο βάθος h ένα χαρακτηριστικό μέγεθος της ροής είναι η κρίσιμη κλίση I c. Ονομάζουμε έτσι την κλίση του αγωγού που δημιουργεί ομοιόμορφη ροή με κανονικό βάθος ίσο με το κρίσιμο. Για γνωστή παροχή Q, από τον τύπο του MANNING βρίσκουμε ότι: όπου Σ c και R c ανταποκρίνονται στο κρίσιμο βάθος h c. Ό- ταν Ι o < Ι c η ομοιόμορφη ροή είναι υποκρίσιμη (h n < h c ), ενώ για κλίση Ι o > Ι c η ροή είναι υπερκρίσιμη (h n > h c ). Εφαρμογή Β.17 Αγωγός τραπεζοειδούς διατομής, με πλάτος βάσης b o = 5m και κλίση πρανών 2:1 μεταφέρει παροχή Q = 10 m 3 /s. 0 συντελεστής τραχύτητας Κ = 80. Βρήτε το κρίσιμο βάθος και την κρίσιμη κλίση του αγωγού. Το κρίσιμο βάθος h αντιστοιχεί σε αριθμό FROUDE ίσο με 1. Η σχετική εξίσωση (VI.3.13) γράφεται:

41 -249- Συντάσσουμε τον πίνακα: h b Σ Σ 3 /b Παρατηρούμε ότι το κρίσιμο βάθος h είναι μεταξύ 0.50 και 1.0 m. Με γραφική παρεμβολή ή διαδοχικές προσεγγίσεις βρίσκουμε ότι: h = 0.68 m. Οπότε: Από τον τύπο (VI.3.15) η κρίσιμη κλίση είναι:

42 -250- Εφαρμογή Β.18 Βρήτε την μεγίστη παροχή που μπορεί, να μεταφέρει αγωγός τραπεζοειδούς διατομής με πλάτος βάσης 2.5 m και κλίση πρανών 2:1 όταν το ειδικό φορτίο είναι 6.0m. Η παροχή γίνεται μέγιστη για το κρίσιμο βάθος ροής. Για σταθερή ειδική ενέργεια h ισχύει η σχέση (VI. 3.14). Με διαδοχικές προσεγγίσεις συντάσσουμε τον πίνακα: h b Σ Το κρίσιμο βάθος βρίσκεται μεταξύ 4 και 5 m. Με γραφική παρεμβολή ή διαδοχικές προσεγγίσεις βρίσκουμε: h c = 4.7 m. Με βάση τον τύπο Q 2 /g = Σ 3 /b, έχουμε

43 -251- VI.4 Ομαλά μεταβαλλόμενη ροή: υπολογισμός των καμπυλών ελεύθερης επιφάνειας Ο υπολογισμός των καμπυλών στάθμης του νερού σε ροές με ελεύθερη επιφάνεια και συνθήκες ομαλά μεταβαλλόμενης ροής, είναι από τα πιό σημαντικά προβλήματα που αντιμετωπίζει ο Πολιτικός Μηχ/κός των Υδραυλικών Έργων. Ο- ποιαδήποτε υπολογιστική μέθοδος, που σήμερα μπορεί να εφαρμοσθεί με άνεση στους μικρο-υπολογιστές, στηρίζεται στην εξίσωση, που παριστάνει την ισοστάθμιση των ποσοτήτων κίνησης με τις εξωτερικές δυνάμεις για μόνιμη ροή. Η εξίσωση αυτή μπορεί να προκύψει από το σύστημα (III. 5.3) και (II1.5.4) των εξισώσεων SAINT-VENANT, που για μόνιμη ροή (θ/θt = 0) γράφεται: Η εξίσωση (VI.4.1) δείχνει ότι η παροχή Q διατηρείται σταθερή για κάθε διατομή της διώρυγας. Χρησιμοποιώντας αυτή τη συνθήκη στο ανάπτυγμα του πρώτου μέλους της ε- ξίσωσης (VI.4.2) παίρνουμε: Επειδή η ταχύτητα U και το βάθος ροής h μεταβάλλονται

44 -252- μόνο κατά x, η μερική παράγωγος είναι ολική και η προ ηγούμενη σχέση γράφεται: Με βάση τον ορισμό της ειδικής ενάργειας h s, η παρά πάνω διαφορική εξίσωση της ομαλά μεταβαλλόμενης μόνιμης ροής μπορεί να πάρει τη μορφή: Η εξίσωση (VI.4.3) ή η έκφραση (VI.4.4) περιγράφει τη διαφορική μεταβολή κατά τη διεύθυνση της ροής, του ολικού υδραυλικού φορτίου Η, με την προϋπόθεση ότι ο πυθμένας της διώρυγας έχει πολύ μικρή κλίση. Όπως φαίνεται στο σχ. 84, αν x είναι η απόσταση κατά τη Σχ. 84 Ομαλά μεταβαλλόμενη στάθμη ελεύθερης ροής.

45 -253- διεύθυνση της ροής και κατά μήκος του αγωγού, τότε το ολικό υδραυλικό φορτίο Η ορίζεται από τη σχέση: Διαφορίζοντας την εξίσωση αυτή κατά μήκος του αγωγού x και θέτοντας: παίρνουμε: που είναι ταυτόσιμη με την εξίσωση (VI.4.3). Η παράγωγος d/dx(u 2 /2g) μπορεί να αναπτυχθεί ως εξής: Αν b είναι το πλάτος της διατομής στην επιφάνεια τότε, όπως είδαμε και στην εξίσωση (VI.3.5), έχουμε b = dσ/dh και ο αριθμός FROUDE της ροής έχει τη μορφή: Η εξίσωση (VI.4.3) γράφεται λοιπόν:

46 -254- ή ακόμα: Η διαφορική αυτή εξίσωση προσφέρεται τόσο για τον αριθμητικό προσδιορισμό των καμπυλών στάθμης νερού h(x), όσο και για την κατάταξη των διαφορών τύπων καμπυλών ελεύθερης επιφάνειας. Διακρίνουμε δυο οριακές περιπτώσεις: (α) dh/dx = 0 : μηδενική κλίση της ελεύθερης επιφάνειας προς τον πυθμένα της διώρυγας. Όπως δείχνει η εξίσωση (VI.4.7), αυτό συμβαίνει όταν έχουμε ομοιόμορφη ροή με βάθος h ίσο με το κανονικό h, δηλ. όταν: Ι f = Ι o Με βάση τον τύπο του MANNING η παραπάνω σχέση δείχνει ότι: όπου ο δείκτης n αναφέρεται στο κανονικό βάθος ροής. (β) dh/dx : Η εξίσωση (VI.4.7) δείχνει ότι αυτό συμβαίνει όταν ο αριθμός FROUDE τείνει στη μονάδα,

47 -255- δηλ. όταν η ροή είναι κρίσιμη και το βάθος ροής h=h c. Στην πραγματικότητα αυτή η ανώμαλη κατάσταση δεν παρατηρείται στη φύση, γιατί η μετάβαση από την υπερκρίσιμη στην υποκρίσιμη ροή γίνεται με υδραυλικό άλμα. Στην περιοχή του υδραυλικού άλματος η εξίσωση (VI.4. 7) δεν ισχύει, όμως δίνει μια ασυμπτωτική τάση, που εκφράζεται με την καθετότητα της στάθμης στην εφαπτόμενη στο κρίσιμο βάθος. Μια πληρέστερη διερεύνηση των διαφόρων περιπτώσεων καμπυλών στάθμης που περιγράφει η εξίσωση (VI.4.7) δίδονται στο σχ. 85, με βάση το παρακάτω σκεπτικό. Επειδή οι συναρτήσεις Σ και R είναι αύξουσες συναρτήσεις του h από την εξίσωση (VI.4.8) φαίνεται ότι ισχύουν οι ανισότητες: Από τις ανισότητες αυτές προκύπτει ακόμα ότι για την κρίσιμη κλίση Ι c έχουμε: Τέλος ως γνωστόν όταν ο αριθμός FROUDE Fr < 1 έχουμε υποκρίσιμη ροή (h > h c ), ενώ για Fr > 1 η ροή είναι υ- περκρίσιμη (h < h c ). Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να διακρίνουμε διάφορες περιπτώσεις, από τις οποίες οι (α) και (β) στο σχ. 85 είναι οι κυριώτερες.

48 -256- Σχ. 85 Διερεύνηση των διαφόρων τύπων καμπυλών στάθμης.

49 -257- Περίπτωση (α) : Καμπύλες τύπου Μ - Αγωγός με κλίση Ι o < Ι c άρα h n > h c (α.1) h > h n > h c : dh/dx > 0 καμπύλη Μ 1. Όπως φαίνεται στο σχ. 85 είναι η περίπτωση της υπερυψωμένης στάθμης που δημιουργείται λόγω υπερχειλιστή προς τα κατάντι. Τέτοιες καμπύλες Μ 1 επεκτείνονται συνήθως σε πολλά χιλιόμετρα ανάντι και τείνουν στο κανονικό βάθος ροής. Συνήθως μια διαφορά βάθους 0.01m θεωρείται αρκετή για να φθάσουμε στο όριο της ομοιόμορφης ροής. (α.2) h n > h > h c : dh/dx < 0, καμπύλη Μ 2. Είναι η καμπύλη μείωσης του βάθους ροής που δημιουργείται πίσω από μια ελεύθερη πτώση (σχ. 85α) ή πίσω από μια τοπική διαπλάτυνση της διατομής. (α.3) h n > h c > h : dh/dx > 0, καμπύλη Μ 3. Τέτοια καμπύλη υπερύψωσης δημιουργείται στην έξοδο θυροφράγματος (οπή κοντά στον πυθμένα) ή σε αλλαγή κλίσης του πυθμένα από απότομη σε ομαλή (σχ. 85α). Περίπτωση (β) : Καμπύλες τύπου S - Αγωγός με κλίση Ι > Ι άρα h < h (β.1) h > h c > h n : dh/dx > 0, καμπύλη S 1. Η καμπύλη αυτή εμφανίζεται σε μια υδροδυναμική κατά-

50 -258- σκευή, όπως ένα φράγμα ή μια υπερύψωση του πυθμένα (σχ. 85β) αγωγού απότομης κλίσης. (β.2) h c > h > h n : dh/dx < 0, καμπύλη S 2 Η καμπύλη S 2 είναι συνήθως μικρού μήκους και δημιουργείται στην είσοδο αγωγού απότομης κλίσης (σχ. 85β) ή σε αλλαγή κλίσης του πυθμένα από ομαλή σε απότομη. (β.3) h c > h n > h : dh/dx > 0, καμπύλη S 3 Δημιουργείται στην αλλαγή κλίσης από απότομη σε λιγώτερο απότομη (σχ.85β), ή πίσω από θυρόφραγμα που είναι τοποθετημένο σε αγωγό απότομης κλίσης. Περίπτωση (γ) : Καμπύλες τύπου Η Όπως φαίνεται στο σχ. 85γ πρόκειται για την περίπτωση οριζόντιου αγωγού. Το κανονικό βάθος τείνει στο άπειρο και υπάρχουν μόνο δυο τύποι καμπυλών Η 2 και Η 3. Περίπτωση (δ) : Αγωγός με αρνητική κλίση Το κανονικό βάθος τείνει στο άπειρο, οπότε η παράγωγος dh/dx τείνει στο 1/I o. Αυτό σημαίνει πως η καμπύλη στάθμης τείνει ασυμπτωτικά σε οριζόντια ευθεία. Οι καμπύλες Α 2, Α 3 είναι συνήθως πολύ μικρού μήκους (σχ. 85δ). Με βάση την παραπάνω κατάταξη, είναι δυνατό να προβλέψουμε ποιοτικά τη μορφολογία των καμπυλών στάθμης σε ροή με ελεύθερη επιφάνεια. Για το σκοπό αυτό ιδι-

51 -259- αίτερο ρόλο παίζουν οι λεγόμενες "διατομές ελέγχου", που προκαθορίζουν κατά κάποιο τρόπο το είδος της ροής. Τέτοιες διατομές είναι οι θέσεις αλλαγής κλίσης του πυθμένα της διώρυγας, οι υπερχειλιστές, τα θυροφράγματα και οι διατομές εισόδου και εξόδου σε μια διώρυγα. Όπως φαίνεται στο σχ. 86, η αύξηση της κλίσης του αγωγού από υποκρίσιμη (Ι o < Ι c ) σε υπερκρίσιμη (Ι o > Ι c ) δημιουργεί μείωση του βάθους και μετάβαση από Σχ. 86 Ομαλή (α) και απότομη (β) αύξηση της κλίσης του αγωγού. υποκρίσιμη (h > h c ) σε υπερκρίσιμη ροή (h < h c ). Η απότομη μεταβολή της κλίσης, δημιουργεί συνθήκες κρίσιμης ροής ακριβώς στη διατομή αλλαγής (σχ. 86β). Η μείωση της κλίσης από υπερκρίσιμη σε υποκρίσιμη μπορεί να οδηγήσει σε δυο περιπτώσεις (σχ. 87). Όταν το βάθος h n της αδιατάρακτης ροής κατάντη είναι σχε-

52 -260- Σχ. 87 Μείωση της κλίσης του αγωγού, με μικρό κανονικό βάθος κατάντη (α) και μεγάλο βάθος (β). τικά μικρό και συγκεκριμένα μικρότερο από το συζυγές h 2 του βάθους ροής στη διατομή εισόδου, τότε το άλμα σχηματίζεται προς τα κάτω. Η θέση σχηματισμού του υδραυλικού άλματος είναι εκείνη η οποία επιτρέπει την αύξηση του h 1 σε h' 1 (σχ. 87α), όπου το συζυγές του h' 1 ταυτίζεται με το h n. Όταν το βάθος h n είναι μεγαλύτερο από το h 2 τότε το άλμα βυθίζεται και σχηματίζεται προς τα ανάντη (σχ. 87β). Δυο διατομές ελέγχου φαίνονται στο σχ. 88: η πρώτη αντιστοιχεί σε υπερχειλιστή παχειάς στέψης πάνω από τον οποίο το βάθος ροής είναι κρίσιμο. Η δεύτερη είναι η διατομή ροής κάτω από θυρόφραγμα, που ε- λέγχει το βάθος ροής ανάντη και κατάντη.

53 -261- Σχ. 88 Ροή σε υπερχειλιστη (α) και κάτω από θυρόφραγμα (3) Διάφορες περιπτώσεις καμπυλών στάθμης φαίνονται στο σχ. 89 για την περίπτωση διώρυγας μεγάλου μήκους που συνδέει δυο δεξαμενές. Οι διατομές ελέγχου επισημαίνονται με μικρά τετράγωνα, ενώ οι διάφοροι τύποι των καμπυλών α- ναγνωρίζονται ανάλογα και σύμφωνα με την προηγούμενη κατάταξη. Στην είσοδο του αγωγού μπορούμε να διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: (α) όταν η κλίση της διώρυγας είναι μικρή, τότε οι ομοιόμορφες συνθήκες ροής αρχίζουν στη διατομή εισόδου με απότομη πτώση της στάθμης (β) όταν η κλίση Ι o είναι μεγαλύτερη από Ι c τότε το βάθος ροής στην είσοδο είναι κρίσιμο. Στην έξοδο του αγωγού όταν Ι o < Ι c διακρίνουμε τις περιπτώσεις (α), (β) και (γ) του σχ. 89 κατά φθίνοντα υψόμετρα της στάθμης στη δεξαμενή. Όταν Ι o > Ι c έχουμε σχηματισμό υδραυλικού άλματος (περιπτώσεις (δ) και (ε)) η συνέχιση της ομοιόμορφης ροής (περίπτωση (στ)), όταν η στάθμη της δεξαμενής είναι χαμηλή.

54 -262- Σχ. 89 Διατομές ελέγχου και καμπύλες στάθμης σε αγωγό που συνδέει δυο δεξαμενές.

55 -263- Εφαρμογή Β.19 Στη διώρυγα του σχήματος Β.19α δίδονται, τα κανονικά βάθη ροής h n1 = 10m, h n2 = 6m, h n3 = 2m και η παροχή ανά μονάδα πλάτους q = 25 m 3 /s/m. Σχεδιάστε προσεγγιστικά τις καμπύλες ελεύθερης στάθμης, αναγνωρίστε το είδος τους και υπολογίστε τα βάθη ροής στις θέσεις αλλαγής κλίσης. Σχ. Β.19 Μορφολογία των καμπυλών ελεύθερης στάθμης σε αγωγό προοδευτικά αυξανόμενης κλίσης. Το κρίσιμο βάθος ροής υπολογίζεται από τη σχέση:

56 -264- Επομένως η ροή στο κατάντη τμήμα είναι υπερκρίσιμη και το κρίσιμο βάθος εμφανίζεται στη διατομή ελέγχου 2. Η ροή στα άλλα δυο τμήματα είναι υποκρίσιμη. Η μορφή των καμπυλών στάθμης φαίνεται στο σχ. Β.19β. Στη διατομή 1 το βάθος είναι 6m, επειδή σε υποκρίσιμη ροή οι υδραυλικές συνθήκες ροής προσδιορίζονται από αυτές που ισχύουν κατάντι. 0 αριθμητικός υπολογισμός της καμπύλης ελεύθερης στάθμης βασίζεται στην ολοκλήρωση της κανονικής διαφορικής εξίσωσης (VI.4.4) ή (VI.4.7). Κατά το παρελθόν διάφοροι τρόποι αναλυτικοί, ημιαναλυτικοί και γραφικοί έχουν προταθεί για την ολοκλήρωση της εξίσωσης αυτής. Τα τελευταία όμως χρόνια η τάση που αναπτύχθηκε είναι να ε- φαρμόζεται αριθμητική επίλυση της εξίσωσης σε μικρουπολογιστή. Βέβαια με οποιαδήποτε μέθοδο επίλυσης αναγκαία προϋπόθεση είναι η γνώση των οριακών συν θηκών ροής. Σε περίπτωση υποκρίσιμης ροής (h > h c ) είναι αρκετό να γνωρίζουμε το βάθος ροής κατάντη, ενώ για υπερκρίσιμη ροή (h < h c ) το βάθος ανάντη. Για την αριθμητική ολοκλήρωση διακρίνουμε δυο μεθόδους: (α) Μέθοδος μεταβλητού βήματος Γνωρίζοντας το βάθος h. και την ταχύτητα U. στη διατομή i, η απόσταση Δx(i) μέχρι τη διατομή i+ι, στην οποία το βάθος είναι h i+1, και η ταχύτητα U i+1, δίδεται

57 -265- από τη σχέση: Η εξίσωση αυτή εκφράζει σε πεπερασμένες διαφορές τη διαφορική εξίσωση (VI.4.4). Η μέση κλίση της γραμμής ε- νέργειας I f μπορεί να υπολογισθεί χρησιμοποιώντας στον τύπο του MANNING τα μέσα μεγέθη U = (U i + U i+1 )/2 και h = (h i +h i+1 )/2 Από πρακτική άποψη, γνωρίζοντας το βάθος σε μια διατομή ελέγχου και καθορίζοντας μια σταθερή διαφορά Δh υπολογίζουμε με τον τύπο (VI.4.11) τα διαδοχικά διαστήματα Δx(i), μέχρι να αποκατασταθεί η ομοιόμορφη ροή. Εφαρμογή Β.20 Σε αγωγό ορθογωνικής διατομής πλάτους b = 4m, κλίσης I o =1%ο και παροχής Q = 10 m 3 /s παρεμβάλεται φράγμα, που δημιουργεί ολικό βάθος ροής στη στέψη του ίσο με 4 m. Υπολογίστε το μήκος L που απαιτείται για την αποκατάσταση προς τα ανάντι της ομοιόμορφης ροής. Το κανονικό βάθος της ομοιόμορφης ροής h n υπολογίζεται ίσο με 1.67 m. To κρίσιμο βάθος είναι:

58 -266- Όπως φαίνεται στο σχ. Β.20 πρόκειται για καμπύλη της Μ 1. Ο υπολογισμός οργανώνεται στον παρακάτω πίνακα Β.20, με βάση τον οποίο βρίσκουμε: L = 4386 m. Σχ. Β.20 Υπολογισμός καμπύλης Μ., με τη μέθοδο του μεταβλητού βήματος. Για την ακρίβεια των υπολογισμών, η επιλογή του Δh μπορεί να γίνει με κριτήριο η διαφορά των ταχυτήτων U που υπολογίζονται στις διαδοχικές διατομές, να μη ξεπερνά το 1%. Το κριτήριο αυτό δεν τηρήθηκε στους παραπάνω υ- πολογισμούς. Είναι προφανές ότι λόγω του ασυμπτωτικού χαρακτήρα της καμπύλης Μ 1, η επιλογή πολύ μικρού Δh μπορεί να οδηγήσει σε μεγάλα μήκη L.

59 -267- h Σ Π R υ U 2 /2g hs If (x10 3 ) ,00 Πίνακας Β.20 Εφαρμογή της μεθόδου του μεταβλητού βήματος Δhs I f I f Io- (x10 3 ) (x10 3 ) Δx L = ΣΔx = 4386m

60 -268- Η αυτοματοποίηση των παραπάνω υπολογισμών μπορεί, να γίνει σε γλώσσα BASIC με τη βοήθεια του παρακάτω προ γράμματος Β.20. Πρόγραμμα Β.20 Υπολογισμός καμπύλης υπερύψωσης με τη μέθοδο του μεταβλητού βήματος. (β) Μέθοδος σταθερού βήματος Δx Η μέθοδος αυτή είναι ιδιαίτερα πρόσφορη για τον υπολογισμό των καμπυλών ελεύθερης στάθμης σε αγωγούς μεταβλητής διατομής. Τέτοιες περιπτώσεις εμφανίζονται σε φυσικά υδατορεύματα (ποτάμια, χείμαροι) και σε διώρυγες με μεταβλητό πλάτος πυθμένα (υπερχειλιστές, κλπ.).

61 -269- Εκλέγοντας κατ' αρχήν το χωρικό βήμα Δx ανάλογα με τις απαιτήσεις της αριθμητικής ακρίβειας, μπορούμε να διακρίνουμε δυο παραλλαγές της μεθόδου: (β.1) διαδοχικές προσεγγίσεις του βάθους ροής και (β.2) μέθοδος RUNGE- KUTTA. (β.1) Μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων Η διαφορική εξίσωση (VI.4.7) μπορεί να γραφεί με τη μορφή: Όπως φαίνεται στο σχ. 90, γνωρίζοντας το βάθος h i ο υ- πολογισμός του βάθους h i+1. στη διατομή i + 1 μπορεί Σχ. 90 Υπολογισμός της καμπύλης στάθμης σε τμήμα αγωγού απειροστού μήκους Δx.

62 -270- να γίνει με την παρακάτω διαδικασία: Σε πεπερασμένες διαφορές η εξίσωση (VI.4.12) παίρνει την μορφή: Η μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων μπορεί να εφαρμοσθεί ως εξής: 1.- Υποθέτουμε ότι το βάθος ροής h i είναι γνωστό. 2.- Το βάθος h i+1 υπολογίζεται με διαδοχικές επαναλήψεις ώστε να πληρούται η εξίσωση (VI.4.13). Κατ' αρχήν δίνουμε στο h. +1 μια αυθαίρετη τιμή, ίση με τη μεγαλύτερη τιμή των h που αναμένουμε. 3.- Υπολογίζουμε την τιμή f i+1/2 σύμφωνα με τη σχέση (VI.4.14). 4.- Υπολογίζουμε την ποσότητα: ε = h i+l - h i - Δx f i+l/2 που είναι 0 και μάλιστα θετική. 5.- Διορθώνουμε το h i+1, με την μορφή h i+1 - Δh και επανερχόμαστε στο βήμα (3) υπολογισμός σταματά όταν ε 0. Αν συμβεί το ε να αλλάξει πρόσημο, τότε η διόρθωση του h i+1 γίνεται Δh/10, οπότε επανερχόμαστε στο βήμα (3).

63 -271- Αν και πάλι συμβεί το ε να αλλάξει πρόσημο τότε η διόρθωση γίνεται Δh/100, κ.ο.κ. μέχρι να πετύχουμε την επιθυμητή ακρίβεια. (β.2) Η μέθοδος RUNGE - KUTTA Η μέθοδος αυτή ακολουθεί την παρακάτω διαδικασία: 1.- Χρησιμοποιώντας τη σχέση (VI.4.15) υπολογίζεται η ποσότητα: k 1 = Δx f(x i, h i ) 2.- Υπολογίζεται η ποσότητα: θέτοντας x = Δx/2, h x = h i + k 1 /2 στους τύπους υπολογισμού των όρων (VI.4.15). 3.- Υπολογίζεται η ποσότητα: 4.- Υπολογίζεται η ποσότητα: k 4 = Δx f(x i + Δx, h i + k 3 ) (x = Δx, h x = h i + k 3 ) 5.- Θέτουμε:

64 Υπολογίζουμε το h i+1 από την σχέση: h i+1 = h i + k και προχωρούμε στο επόμενο βήμα Δx για να υπολογίζου με το h i+2. Μια παραλλαγή της μεθόδου των διαδοχικών επαναλήψεων μπορεί να βασισθεί στην επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (VI.4.4). Για μια πρώτη προσέγγιση του βάθους ροής h i+1, υπολογίζουμε πρώτα μεταξύ των διατομών i, i + 1 τη διαφορά του ειδικού φορτίου Δh s = h s,i+1 - h s,i από τον τύπο: όπου I f υπολογίζεται με τα μέσα γεωμετρικά και κινηματικά στοιχεία των διατομών i, i+1. Γνωρίζοντας το h s,i+1 βρίσκουμε με διαδοχικές προσεγγίσεις το h i+1 λύνοντας την εξίσωση: Επανερχόμαστε έτσι με το νέο βάθος h i+1 στη σχέση (VI.4.16) και συνεχίζουμε τις επαναλήψεις μέχρι τη σύγκλιση. Εφαρμογή Β.21 Για τα αριθμητικά δεδομένα της εφαρμογής Β.20 και

65 -273- εκλέγοντας Δx = 500 m, υπολογίστε την καμπύλη υπερύψωσης που φαίνεται στο σχ. Β.21. Σχ. Β.21 Υπολογισμός της καμπύλης Μ 1 με τη μέθοδο του σταθερού βήματος Δx. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (VI.4.16) και (VI.4.17) η οργάνωση των υπολογισμών για τη πρώτη διατομή μπορεί να γίνει σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα Β.21. Το πρόγραμμα Β.21 δίνει τη δυνατότητα εφαρμογής της μεθόδου σε μικρο-υπολογιστή.

66 -274- x h Σ U U 2 /2g hs R U 2 /K 2 R 4/3 I f (x10 3 ) Πίνακας Β.21 Εφαρμογή της μεθόδου του σταθερού βήματος. Δhs hs h

67 275- Πρόγραμμα Β.21 Υπολογισμός καμπύλης Μ 1 με τη μέθοδο του σταθερού βήματος.

68 -276- VI.5 Απότομα μεταβαλλόμενη ανομοιόμορφη ροή: υπολογισμός του υ- δραυλικού άλματος Όπως είδαμε παραπάνω, το υδραυλικό άλμα δημιουργείται στις θέσεις μετάβασης από υπερκρίσιμη σε υποκρίσιμη ροή. Το σχ. 91 δείχνει τον τρόπο σχηματισμού στάσιμου υδραυλικού άλματος σε οριζόντια διώρυγα. Το Σχ. 91 Σχηματισμός στάσιμου υδραυλικού άλματος και απώλειες ενέργειας. υδραυλικό άλμα συνοδεύεται με έντονες τυρβώδεις διαταραχές και απώλειες ενέργειας που εξηγούν από φυσική ά- ποψη τον τρόπο σχηματισμού του: η έντονη ειδική ενέργεια ανάντη του άλματος (σημείο 1) μετατρέπεται στην ειδική ενέργεια που αντιστοιχεί στις συνθήκες ομοιόμορφης ροής κατάντη (σημείο 2) με μια ασυνέχεια, που συνεπάγεται απότομη αύξηση του βάθους ροής h και

69 -277- απώλειες ενέργειας Δh s. Για τον αριθμητικό υπολογισμό του υδραυλικού άλματος είναι φανερό ότι το θεώρημα του BERNOULLI δεν προσφέρεται γιατί είναι από την αρχή άγνωστος ο όρος των απωλειών. Αντίθετα, όπως αποδεικνύεται και από την πράξη το θεώρημα ποσοτήτων κίνησης δίνει πολύ καλά αποτελέσματα. Η εφαρμογή του θεωρήματος αυτού ανάμεσα στις διατομές 1 και 2 (σχ. 91), με την παραδοχή ότι οι διατμητικές τάσεις στον πυθμένα είναι αμελητέες και θεωρώντας υδροστατική κατανομή των πιέσεων στις διατομές 1 και 2, δίνει τη σχέση: όπου h1 και h 2 είναι οι αποστάσεις του κέντρου βάρους των διατομών 1 και 2 από την ελεύθερη επιφάνεια. Για σταθερή παροχή Q, η παραπάνω σχέση μπορεί να πάρει την μορφή: Η εξίσωση αυτή επιτρέπει τον υπολογισμό της υπερύψωσης που δημιουργείται στη θέση του άλματος, αν είναι γνωστό το βάθος ροής ανάντη ή κατάντη, καθώς και η μορφή της διατομής της διώρυγας. Για τραπεζοειδή αγωγό π.χ. ο ό- ρος

70 -278- όπου y η απόσταση από την ελεύθερη επιφάνεια. Από την εξίσωση (VI.5.2) για ομοιόμορφο βάθος ροής κατάντη του άλματος h 2 ίσο με 1.2 m σε τραπεζοειδή διατομή (b o = 6m, z = 1.5, Q = 8.5 m 3 /s), με διαδοχικές προσεγγίσεις βρίσκουμε ότι h 1 = 1.0 m. Γενικά η εξίσωση (VI.5.2) δείχνει ότι το άθροισμα Ρ+Μ της δύναμης πίεσης Ρ και της ορμής Μ διατηρείται σταθερό πριν και μετά το άλμα. Στο σχ. 92 φαίνεται η Σχ. 92 Προσδιορισμός των συζυγών βαθών σε υδραυλικό άλμα. μορφή της καμπύλης, που αντιστοιχεί στην ε- ξίσωση: Η τιμή Ρ+Μ είναι κοινή για τα βάθη h 1 και h 2 πριν

71 -279- και μετά το άλμα. Τα βάθη αυτά ονομάζονται συζυγή. Για h = h c η συνάρτηση Ρ+Μ ελαχιστοποιείται. Η εξίσωση (VI.5.2) απλουστεύεται πολύ σε αγωγό ορθογωνικής διατομής. Θέτοντας: Σ 1 = bh 1, Σ 2 = bh 2, h 1 = h 1 /2, h 2 = h 2 /2 στην εξίσωση (VI.5.2) παίρνουμε: όπου q η παροχή ανά μονάδα πλάτους. Η πραγματική ρίζα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ως προς h 1 δίνει:

72 -280- Fr 1 και Fr 2 είναι αντίστοιχα οι αριθμοί FROUDE Η απώλεια ενέργειας στο υδραυλικό άλμα αντιστοιχεί στη μεταβολή της ειδικής ενέργειας Δh s Στη γενική περίπτωση έχουμε: Για ορθογωνικό αγωγό έχουμε: Απαλοίφοντας την παροχή q με βάση τη σχέση (VI.5.3), παίρνουμε: Το μήκος του άλματος L ποικίλλει ανάλογα με τη μορφή της διατομής. Για διώρυγες ορθογωνικής διατομής αρκεί να προβλέψουμε μήκος L = (5-7) φopές το ύψος του άλματος. Για τραπεζοειδείς διατομές μπορεί να εφαρμο-

73 -281- σθεί ο τύπος: όπου b το πλάτος στην επιφάνεια. Η θέση του άλματος καθορίζεται με την αλληλοτομία της καμπύλης των συζυγών βαθών της ανάντη υπερκρίσιμης ροής με την καμπύλη στάθμης της κατάντη υποκρίσιμης. Η αριθμητική εφαρμογή Β.22 δείχνει τον τρόπο υπολογισμού. Εφαρμογή Β.22 θυρόφραγμα ανοίγματος 0.3 m δίνει παροχή Q = 1.5 m 3 /s σε ορθογωνικό αγωγό πλάτους b = 0.5 m, κλίσης πυθμένα Ι ο =5 %ο με Κ = 75 m 1/3 /s. Υπολογίστε την υπερύψωση και τη θέση του άλματος. Το κανονικό βάθος ροής κατάντη για Ι ο =5 ο / οο και τα υ- πόλοιπα δεδομένα βρίσκεται ίσο με h n = 1.65 m. To κρίσιμο βάθος: Συνεπώς I o < Ι c και πρόκειται για καμπύλη Μ 3. (σχ. Β.22). Με τη μέθοδο του μεταβλητού βήματος για Δh = 0.1 m βρίσκουμε τις τιμές Δx και χαράσσουμε την καμπύλη Μ 3. Για h = 0.3, 0.4, 0.5, 0.6 και 0.7 m υπολογίζουμε με βάση τον τύπο (VI.5,5) τα συζυγή βάθη h 2 (πιν. Β.22). Στο σχ. Β.22 φαίνεται ο γραφικός προσδιορισμός της υπερύψωσης και της θέσης του άλματος

74 -282- Σχ. Β.22 Γραφικός προσδιορισμός της θέσης του άλματος. σαν αλληλοτομίας της καμπύλης των συζυγών βαθών με το βάθος της ομοιόμορφης ροής. 2 h Δx Fr 1 h Πίνακας Β.22 Υπολογισμός των συζυγών βαθών.

75 -283- VI.6 Ροή σε υδροδυναμικές κατασκευές: οπές, διαφράγματα και υπερχειλιστές Η ρύθμιση της παροχής και του βάθους ροής σε αρδευτικές διώρυγες, σε αγωγούς με ελεύθερη ροή για ύδρευση ή αποχέτευση και στα υδροδυναμικά έργα γίνεται συνήθως με ειδικές κατασκευές όπως διαφράγματα, υπερχειλιστές, α- γωγούς πτώσης κλπ. Τα κατασκευαστικά προβλήματα που α- ντιμετωπίζει ο Πολιτικός Μηχανικός που ασχολείται με τα έργα αυτά μελετώνται στο ειδικό εφαρμοσμένο μάθημα των Υδροδυναμικών Έργων. Τα κυριότερα στοιχεία του υδραυλικού υπολογισμού των κατασκευών αυτών αναπτύσσεται στην παράγραφο αυτή. θα μπορούσαμε να διακρίνουμε δυο κατηγορίες υδροδυναμικών κατασκευών. Η πρώτη αντιστοιχεί στη ροή με πίεση μέσα από διατομές ποικίλης γεωμετρικής μορφής και περιλαμβάνει τις ροές από οπές, διαφράγματα, εκκενωτές πυθμένα, θυροφράγματα κλπ. Η δεύτερη κατηγορία περιλαμβάνει τις ροές με ελεύθερη επιφάνεια σε κατασκευές με μεταβλητή διατομή και ποικίλη μορφή στο κατακόρυφο επίπεδο, όπως είναι οι υπερχειλιστές, αγωγοί πτώσης, λεκάνες καταστροφής ενέργειας κλπ. Ροή από οπές και θυροφράγματα Η ταχύτητα V και κατά συνέπεια η παροχή Q με την οποία βγαίνει το νερό από πλευρική οπή, μπορεί να υπολογισθεί χρησιμοποιώντας την εξίσωση ισοστάθμισης της ενέργειας με τη μορφή του θεωρήματος BERNOULLI. To

76 -284- σχ. 93 δείχνει τρεις χαρακτηριστικές περιπτώσεις ροής από πλευρική οπή. Η εφαρμογή του θεωρήματος του BERNOULLI ανάμεσα στο σημείο 1, πάνω στην ελεύθερη επι- Σχ. 93 Ροή από πλευρική οπή: στον ατμοσφαιρικό αέρα (α), με συνθήκες βυθισμένης οπής (β) και με εσωτερική πίεση μεγαλύτερη από την ατμοσφαιρική (γ). φάνεια και στο σημείο 2, που βρίσκεται στον άξονα της ρευστής φλέβας στην έξοδο, δίνει: Λαμβάνοντας υπόψη ότι η διατομή του δοχείου είναι πολύ μεγαλύτερη από τη διατομή της οπής, οπότε η ταχύτητα V 1 = 0, ότι η πίεση στα σημεία 1 και 2 είναι ίση με την ατμοσφαιρική (p 1 = p 2 = p α ) και θέτοντας z 1 - z 2 = Δh, παίρνουμε:

77 -285- Αν Σ είναι η διατομή της οπής, θεωρητικά η παροχή Q δίδεται από τη σχέση: Τα πειραματικά αποτελέσματα δείχνουν ότι η τιμή της παροχής Q στην πραγματικότητα είναι μικρότερη από τη θεωρητική τιμή που δίδεται από τη σχέση (VI.6.3) για δυο λόγους: (α) λόγω των τριβών που οφείλονται στο ιξώδες του ρευστού και στις διατμητικές τάσεις, η πραγματική ταχύτητα V' 2 είναι μικρότερη από τη θεωρητική (VI.6.2) και δίδεται από τη σχέση: όπου C v ο συντελεστής ταχύτητας, που για οπές χωρίς ε- πιστόμια παίρνει τιμές μικρότερες της μονάδας, στο διάστημα (β) Ο δεύτερος λόγος μείωσης της παροχής είναι η συστολή της ρευστής δέσμης, όπως εμφανίζεται στις περιπτώσεις (α) και (β) του σχ. 93, αλλά όχι στην περίπτωση (γ), λόγω της μεγάλης εσωτερικής πίεσης. Το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό στη βιβλιογραφία (vena contracta) και περιγράφεται εμπειρικά με το συντελεστή συστολής C c, όπου C είναι ο λόγος ανάμεσα στη διατομή συστολής Σ c και στην ολική διατομή της οπής, δηλ.

78 -286- Με βάση τα παραπάνω η πραγματική παροχή Q της οπής δίδεται από τον τύπο: όπου C ο συντελεστής παροχής, που μεταβάλλεται στο διάστημα Στον τύπο (VI.6.6) και με βάση τo σχ. 93β και (γ) η διαφορά Ah είναι ίση με: z 1 - (z 2 + p 2 /ρg) για βυθισμένη οπή (z 1 + p 1 /pg) - p α για το σχ. 93γ. Ο τύπος (VI.6.6) ισχύει με την προϋπόθεση ότι η διατομή της οπής είναι αρκετά μικρή, ώστε η ταχύτητα να θεωρηθεί περίπου σταθερή. Για οπές μεγάλων διαστάσεων ο υπολογισμός μπορεί να γίνει με ολοκλήρωση. Σαν παράδειγμα μπορούμε να αναφέρουμε την περίπτωση ορθογωνικής διατομής πλάτους b και ύψους h 2 - h 1, όπου h 2 και h 1 είναι το βάθος του νερού αντίστοιχα στο κάτω και στο άνω όριο της οπής. Η ταχύτητα σε βάθος h 1 < h < h 2 είναι ίση με 2gh και η παροχή dq σε λωρίδα (bdh) ίση με: Συνεπώς η παροχή Q δίδεται από τη σχέση: