ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ

Transcript

1 Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Κεφάλαιο 9 ο : Ειδική ενέργεια, κρίσιμη ροή, εκχειλιστές Φώτιος ΜΑΡΗΣ Αναπλ. Καθηγητής

2 9.1 Ορισμός ειδικής ενεργείας Η επίλυση πολλών προβλημάτων ροής μέσα σε ανοικτούς αγωγούς υποβοηθείται από τον όρο της ειδικής ενέργειας E(m). Η διαθέσιμη ενέργεια του ρέοντος ρευστού σε ένα ορισμένο σημείο της διατομής ανοικτού αγωγού ως προς τον πυθμένα του αγωγού ονομάζεται ειδική ενέργεια ή ειδικό φορτίο. Όπως αναφέρθηκε και στην Παράγραφο 3.6 εξισώσεις (3.1) και (3.), το ολικό ύψος Η(m) δηλαδή η ολική ενέργεια ανά μονάδα βάρους του υγρού, δίνεται από την εξίσωση, H 0 p u g g z (9.1) όπου το ζ αναπαριστά το ύψος του σημείου εφαρμογής της εξίσωσης πάνω από το οριζόντιο επίπεδο που λαμβάνεται σαν χώρος αναφοράς. Αν η κλίση του ανοικτού αγωγού είναι μικρή και αν οι ροϊκές γραμμές είναι ευθείες και παράλληλες μεταξύ τους τότε η μεταβολή της πίεσης με το βάθος του υγρού είναι υδροστατική

3 και τότε και μόνον το άθροισμα (p/ρg) +z είναι ισοδύναμο με το ύψος της ελεύθερης επιφανείας του υγρού από το επίπεδο αναφοράς, h + z. Σε αντίθεση με το ολικό ύψος Η 0, το οποίο μετράτε από το επίπεδο αναφοράς, η ειδική ενέργεια E μετράτε όπως αναφέρθηκε από τον πυθμένα. Δηλαδή, η ειδική ενέργεια σε ένα σημείο δίνεται από την σχέση, E h u g (9.) Είναι αναγκαίο όπως η προς μελέτη ροή να δίνει είτε ομοιόμορφη ροή είτε βαθμιαίως μεταβαλλόμενη. Να αναφερθεί επίσης ότι κλίσεις πυθμένα αγωγού μεγαλύτερης τάξης του 0.1% επιφέρουν σημαντικές ταχύτητες ροής και κατά συνέπεια ασταθή ροή γεγονός το οποίο είναι αντίθετο προς τις ισχύουσες παραδοχές λόγω των εξισώσεων (9.1) και (9.)

4 Λόγω των αναπτυσσομένων τριβών το ολικό ύψος Η 0 μειώνεται στην διεύθυνση της ροής ενώ η ειδική ενέργεια E μπορεί να αυξάνεται ή να μειώνεται ή να μένει σταθερή στην περίπτωση ομοιόμορφης ροής. Πρέπει να τονιστεί ότι η ειδική ενέργεια δεν αναπαριστά όλη τη διαθέσιμη ενέργεια του ρέοντος ρευστού ανά μονάδα βάρους του υγρού διότι αναφέρεται σε ένα δεδομένο επίπεδο πυθμένα ο οποίος δεν είναι κατ' ανάγκη οριζόντιος. Μπορεί να ληφθεί μία γεωμετρική αναπαράσταση των ανωτέρω εννοιών θεωρώντας το Σχήμα 9.1. Ας θεωρηθεί μία γραμμή σε απόσταση u /g υπεράνω της επιφανείας του υγρού. Το ύψος της γραμμής αυτής λέγεται ενεργειακή γραμμή. Υπεράνω ενός οριζόντιου επιπέδου ονομάζεται ολικό ύψος του υγρού ενώ το ύψος της ενεργειακής γραμμής υπεράνω του πυθμένα του αγωγού αναπαριστά την ειδική ενέργεια Ε.

5 Επειδή η μέση ταχύτητα u είναι, u Q (9.3) A τότε, u Q E h h g ga (9.4)

6 9. Ορθογωνικής διατομής ανοικτοί αγωγοί Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας πλατύς ανοικτός αγωγός ορθογωνικής διατομής. Οι αρχές της ειδικής ενεργείας εφαρμόζονται και σε ανοικτούς αγωγούς οποιασδήποτε διατομής, Παράγραφος 9.3. Εάν το πλάτος ενός ορθογωνικής διατομής αγωγού είναι b τότε Q/b είναι η παροχή ανά μονάδα πλάτους και συμβολίζεται με q(m / s), δηλαδή, Q q b Από την εξίσωση (9.4), (9.5) Q 1 q E h h g bh g h (9.6) Η παραπάνω εξίσωση συσχετίζει την ειδική ενέργεια Ε, το βάθος ροής h και την ειδική παροχή q. Οποιαδήποτε από τις παραπάνω μεταβλητές μπορεί να θεωρηθεί ότι εξαρτάται από τις άλλες δύο. Οι δύο πιο σημαντικές περιπτώσεις είναι,

7 α) η α είναι σταθερή ενώ μεταβάλλονται Ε και h, β) η Ε είναι σταθερή ενώ μεταβάλλονται q και h. Οι γραφικές παραστάσεις των παραπάνω δύο καμπύλων φαίνονται στα Σχήματα 9.. και 9.3.

8 9..1 Διάγραμμα h-e για σταθερή παροχή q Το διάγραμμα του Σχήματος 9. είναι γνωστό σαν διάγραμμα της ειδικής ενέργειας. Με την παροχή ανά μονάδα πλάτους q σταθερή, μικρή τιμή της h αντιστοιχεί σε μεγάλη ταχύτητα (κινητικό ύψος) u /g και καθώς το h τείνει προς το μηδέν το u /g τείνει προς το άπειρο όπως επίσης και το Ε, βλέπε εξίσωση (9.6). Έτσι η καμπύλη της ειδικής ενέργειας είναι ασύμπτωτη προς τον άξονα Ε. Αντιστρόφως, καθώς το h αυξάνει η ταχύτητα μικραίνει και το u /g είναι κατά τι μικρότερο του h, έτσι η ειδική ενέργεια Ε τείνει προς το h. Από τα παραπάνω το πάνω τμήμα της καμπύλης του διαγράμματος της ειδικής ενέργειας είναι ασύμπτωτη προς την γραμμή E=h, η οποία, εφόσον βεβαίως χρησιμοποιούνται ίδιες κλίμακες μετρήσεων επί των δύο αξόνων h και Ε, έχει και κλίση ίση προς τη μονάδα. Μεταξύ των δύο μεγαλύτερων υπάρχει ένα ελάχιστο. Το ελάχιστο αναφέρεται σε μια τιμή η οποία είναι γνωστή ως κρίσιμο βάθος ροής h c. Για οποιανδήποτε άλλη τιμή Ε εκτός της ελάχιστης υπάρχουν δύο τιμές της Ε μία μικρότερη και μία μεγαλύτερη του κρίσιμου βάθους ροής h c. Οι δύο αυτές τιμές είναι γνωστές ως εναλλακτικά βάθη ροής.

9 Οι συνθήκες για το κρίσιμο βάθος ροής μπορούν να καθορισθούν επιλύοντας ως προς h την εξίσωση (9.6). Έτσι, E q 3 1 h g h (9.7) Η παραπάνω μερική παράγωγος μηδενίζεται όταν, q gh 1 3 (9.8) ή h 3 q g h c (9.9) Η αντίστοιχη ελάχιστη τιμή του Ε υπολογίζεται εάν αντικατασταθεί η τιμή 3 h στην εξίσωση (9.6). c q g Οπότε: 3 gh c 3 Emin hc h c (9.10) gh c

10 9.. Διάγραμμα h-q για σταθερή ειδική ενέργεια Ε Στην περίπτωση κατά την οποία η ειδική ενέργεια Ε παραμένει σταθερή ενώ τα h και q μεταβάλλονται, λαμβάνεται το διάγραμμα του Σχήματος 9.3.

11 Η καμπύλη δείχνει ότι η ειδική παροχή q παίρνει την μεγαλύτερη τιμή για μία επί μέρους τιμή του βάθους h. Η εξίσωση (9.6) γράφεται, q gh E h (9.11) Επιλύοντας ως προς h και έχοντας σταθερή την ειδική ενέργεια Ε, q q ghe 3h h (9.1) q 0 h ό, h 3h ή h E h 3 c (9.13) (9.14)

12 Η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτόσημη της εξίσωσης (9.10), και έτσι για το κρίσιμο βάθος η παροχή είναι η μεγαλύτερη δυνατή για δοθείσα ειδική ενέργεια, ή ότι η ειδική ενέργεια είναι η μικρότερη δυνατή για δοθείσα παροχή. Η παροχή ανά μονάδα πλάτους είναι, q h1 u hu (9.15) τότε, η ταχύτητα που αντιστοιχεί προς το κρίσιμο βάθος είναι, h 3 c ή, u c q g u h g gh c c c (9.16) (9.17) Η ταχύτητα u c που εμφανίζεται όταν το βάθος ροής είναι κρίσιμο h c, είναι γνωστή σαν κρίσιμη ταχύτητα. Δεν υπάρχει καμιά σχέση με την κρίσιμη ταχύτητα που εμφανίζεται σε τυρβώδη ή στρωτή ροή.

13 9.3 Κρίσιμο βάθος σε μη - ορθογωνικής διατομής ανοικτούς αγωγούς Ας θεωρήσουμε μια μη-ομαλή διατομή Α από την οποία διέρχεται παροχή Q, βλέπε Σχήμα 9.4. Επιλύοντας την εξίσωση (9.4) ως προς h και διατηρώντας σταθερή την παροχή, είναι, de Q da 1 3 dh g A dh (9.18)

14 Στην παραπάνω εξίσωση πρέπει να τεθεί de/dh =0 και να λυθεί ως προς το κρίσιμο βάθος για δοθείσα παροχή. Τώρα, η διατομή Α μπορεί να εκφράζεται με μία γνωστή εξίσωση (συνάρτηση) του βάθους h ή όχι. Στην γενική περίπτωση είναι da=bdh, βλέπε Σχήμα 9.4, έτσι, da/dh = B, όπου Β το πλάτος της επιφάνειας του ύδατος στην διατομή. Η εξίσωση (9.18) γράφεται, 3 Q A g B h h c (9.19) διότι τότε υπάρχει κρίσιμο βάθος. Για δοθείσα διατομή το δεξιό μέρος της παραπάνω εξίσωσης είναι συνάρτηση μόνο του βάθους h. Για να λυθεί λοιπόν η εξίσωση (9.19), δηλαδή λύση του h c, χρειάζεται μία σειρά δοκιμαστικών λύσεων. Επειδή: Q Au c c

15 όπου Ac είναι η διατομή που εμφανίζεται το κρίσιμο βάθος, τότε η εξίσωση (9.19) γράφεται, A u g A B 3 c c c c (9.0) όπου B c είναι το πλάτος της υγρής επιφανείας στην κρίσιμη διατομή, ή u c Ac g B c Αν ο ανοικτός αγωγός είναι ορθογωνικής διατομής τότε, (9.1) A c B h c c (9.) και τότε η ανωτέρω εξίσωση (9.1) είναι ίδια με την εξίσωση (9.17). Πρέπει να αναφέρουμε ότι οι περισσότερες διατομές των ανοικτών αγωγών οι οποίες συναντιούνται στην πράξη είναι τραπεζοειδείς.

16 9.4 Κλίση αγωγού και εναλλακτικά βάθη ροής Η σπουδαιότητα των κρίσιμων συνθηκών ροής είναι ότι διαχωρίζεται η ροή σε δύο είδη ροών. Την ροή όπου η ταχύτητα είναι υποκρίσιμη και την ροή όπου η ταχύτητα είναι υπερκρίσιμη. u Η κρίσιμη ταχύτητα c ghc για ορθογωνικής διατομής αγωγούς αντιστοιχεί προς την ταχύτητα διάδοσης επι φανειακών κυμάτων σε αβαθή υγρά. Έτσι, όταν η ταχύτητα της ροής είναι υποκρίσιμη είναι δυνατόν ένα μικρό επιφανειακό κύμα να μεταδοθεί και προς την ανάντη αλλά και προς την κατάντη ροή. Οποιαδήποτε μικρή διαταραχή της ροής μπορεί να προκαλέσει την δημιουργία ενός μικρού επιφανειακού κύματος. Το κύμα μπορεί να θεωρηθεί ότι μεταφέρει πληροφορίες σχετικές με την προκληθείσα διαταραχή. Αν το κύμα μπορεί να διαδοθεί προς την ανάντη ροή τότε η επιφάνεια του υγρού στα ανάντη θα πληροφορηθεί για την διαταραχή και αναλόγως θα επηρεασθεί από αυτή. Όταν η ταχύτητα είναι μικρότερη του gh c τότε η συμπεριφορά του υγρού στα ανάντη θα διαμορφωθεί από τις κατάντη φυσικές συνθήκες.

17 Στην περίπτωση όμως όπου η ταχύτητα της ροής είναι υπερκρίσιμη, όπου δηλαδή η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη της τιμής gh c τότε το ρευστό ρέει ταχύτερα απ' όσο ένα μικρό κύμα μπορεί να μεταδοθεί στα ανάντη. Έτσι, η πληροφόρηση των γεγονότων τα οποία εμφανίζονται κατάντη δεν μπορούν να επηρεάσουν την ανάντη ροή. Η συμπεριφορά του ρευστού δεν ελέγχεται από τις κατάντη συνθήκες. Στην περίπτωση αυτή τα συμβαίνοντα μεταδίδονται μόνο κατάντη του σημείου όπου έγιναν οι διαταραχές. Κατά την περίπτωση στην οποία η ροή είναι κρίσιμη, ένα μικρό επιφανειακό κύμα το οποίο προσπαθεί να μεταδοθεί στα ανάντη τελικώς δεν τα καταφέρνει. Υπάρχει τότε η περίπτωση στάσιμων κυμάτων. Ο λόγος Fr u gh είναι γνωστός ως αριθμός Froude. Στην γενική περίπτωση αντί του βάθους ροής h υπάρχει η τιμή hc όπου το h c ορίζεται ως ο λόγος υγρής διατομής προς το πλάτος της υγρής επιφανείας το οποίο είναι ένα χαρακτηριστικό μήκος. Κατά τις κρίσιμες συνθήκες ροής ο αριθμός Froude ισούται με τη μονάδα δηλ., u Fr 1 (9.3) gh c

18 Η τιμή της κλίσης του πυθμένα ενός ανοικτού αγωγού για την οποία υπάρχει κρίσιμη ομοιόμορφη ροή λέγεται κρίσιμη κλίση και συμβολίζεται με S c. Πρέπει να αναφερθεί ότι ομοιόμορφη ροή εμφανίζεται σε βάθος το οποίο εξαρτάται από: α) την παροχή, β) το σχήμα και την τραχύτητα της διατομής και γ) την κλίση του πυθμένα του ανοικτού αγωγού. Εάν για δοθείσα τραχύτητα και σχήμα του ανοικτού αγωγού, η κλίση είναι τέτοια ώστε η ομοιόμορφη ροή να είναι υποκρίσιμη, η κλίση χαρακτηρίζεται ως ήπια S<S C, Εάν η ομοιόμορφη ροή είναι υπερκρίσιμη η κλίση χαρακτηρίζεται ως απότομη S<S C. Πάντως μία απότομη κλίση για δοθέντα ανοικτό αγωγό με λεία επικάλυψη μπορεί να είναι ήπια κλίση για την ίδια ροή σε ανοικτό αγωγό με τραχεία επικάλυψη. Ακόμη, για τον, ίδιο ανοικτό αγωγό, η κλίση μπορεί να είναι ήπια για μικρή παροχή και απότομη για μεγαλύτερη παροχή.

19 9.6 Κρίσιμες συνθήκες ροής Κρίσιμες συνθήκες αναμένονται σε διατομή όπου η ποτάμιος ροή μεταβάλλεται σε χειμαρρώδη. Τέτοια κατάσταση φαίνεται στο Σχήμα 9.7 όπου ένας μεγάλου μήκους ανοικτός αγωγός και ήπιας κλίσης S<S c, συνδέεται επίσης με έναν μεγάλου μήκους ανοικτό αγωγό απότομης κλίσης, S>S c. Στο παρακάτω σχήμα οι κλίσεις έχουν υπερμεγενθυθεί για να γίνει κατανοητό. Σε αρκετές απόμακρες αποστάσεις από το σημείο συνένωσης των δύο αγωγών το βάθος σε κάθε τμήμα του αγωγού είναι το κανονικό βάθος ροής το οποίο αντιστοιχεί στις επί μέρους κλίσεις και την παροχή, δηλαδή στον αγωγό με την ήπια κλίση υπάρχει ομοιόμορφη ποτάμιος ροή, ενώ στον άλλον ανοικτό αγωγό η ροή είναι ομοιόμορφη και χειμαρρώδης. Μεταξύ αυτών των δύο καταστάσεων ομοιόμορφης ροής, η ροή είναι ανομοιόμορφη και σε κάποια θέση το βάθος ροής πρέπει να λάβει την κρίσιμη τιμή με ταχύτητα u g h c

20 Αυτή η θέση είναι πλησίον της συνενώσεως των πυθμένων των δύο αγωγών. Αν η αλλαγή της κλίσης είναι απότομη, όπως στο Σχήμα 9.7, τότε η καμπυλότητα των ροϊκών γραμμών είναι αισθητώς μεγάλη στην περιοχή γύρω της συνενώσεως των αγωγών. Τότε η παραδοχή της υδροστατικής μεταβολής της πιέσεως με το βάθος δεν ισχύει. Η θεωρία της ειδικής ενεργείας ισχύει μόνο για υδροστατική κατανομή της πιέσεως με το βάθος και ως εκ τούτου η εξίσωση της ειδικής ενεργείας ισχύει μόνο κατά προσέγγιση. Στην περίπτωση αυτή η διατομή στην οποία η ταχύτητα δίνεται από την εξίσωση g h c βρίσκεται λίγο ανάντη από την γραμμή συνενώσεως των δύο αγωγών.

21 9.7 Εκχειλιστής πλατιάς στέψης Ας θεωρήσουμε ροή στην οποία ο πυθμένας του ανοικτού αγωγού έχει ανυψωθεί, η ανύψωσης αυτή καταλαμβάνει όλο το πλάτος του αγωγού, βλέπε Σχήμα 9.8. Αυτός ο αναβαθμός είναι γνωστός ως εκχειλιστής πλατιάς στέψης. Ας υποτεθεί ότι η προσεγγίζουσα ροή είναι ποτάμιος, οπότε h c < h.

22 To ανάντη τμήμα του εκχειλιστικού είναι καμπυλωμένο ούτως ώστε να αποφεύγεται ο σχηματισμός τυρβώδους ροής και κατά συνέπεια απώλεια ενεργείας του υγρού. Επίσης, ας υποτεθεί ότι κατάντη του εκχειλιστή δεν υπάρχει άλλος αναβαθμός ο οποίος θα μπορούσε να εμποδίσει τη ροή και ότι ο εφοδιασμός γίνεται από δεξαμενή ούτως ώστε η επιφάνεια του νερού στην ανάντη περιοχή του εκχειλιστή να παραμένει σταθερή. Υπεράνω του εκχειλιστή η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού πέφτει ώστε να προκαλέσει βάθος ροής h. Η υγρή επιφάνεια γίνεται παράλληλος προς την επιφάνεια της στέψης. Για να καθορισθεί η τιμή του βάθους h c ας υποτεθεί ότι στην κατάντη περιοχή του εκχειλιστή υπάρχει τοποθετημένο ένα θυρόφραγμα. Αν αρχικά το θυρόφρανμα είναι τελείως κλειστό τότε η υγρή επιφάνεια είναι στάσιμη και η επιφάνεια υπεράνω του εκχειλιστή είναι η ίδια όπως και στα ανάντη αυτής. Έστω ότι η τιμή της ενεργείας είναι Η, η οποία συμπίπτει με την τιμή της ειδικής ενεργείας Ε. Η τιμή αυτή φαίνεται στο σημείο Α του παρακειμένου σχήματος στο οποίο παρουσιάζεται η καμπύλη h-q.

23 Αν το θυρόφραγμα ανυψωθεί κατά τι στη θέση Β, τότε προκαλείται μικρή παροχή Q B, η οποία παριστάνεται από το σημείο Β και αντιστοιχεί στο βάθος h B. Παραπάνω ύψωση του θυροφράγματος δίνει παροχή Q c η οποία είναι η μεγαλύτερη δυνατή διότι τότε το θυρόφραγμα, βλέπε Σχήμα 9.8, βρίσκεται ακριβώς επί της επιφανείας του υγρού. Αν δεν υπάρχει αναβαθμός στα κατάντη η ροή είναι η μεγαλύτερη δυνατή για την διαθέσιμη ειδική ενέργεια, δηλαδή η ροή είναι κρίσιμη υπεράνω του εκχειλιστή και h = h c. Ακόμη και αν ήταν δυνατό το βάθος h να λάβει τιμή πιο κάτω από το κρίσιμο βάθος h c, η καμπύλη h-q δείχνει ότι η παροχή θα ήταν μικρότερη του Q c και όχι μεγαλύτερη. Εάν ο ανοικτός 3 3 αγωγός έχει ορθογωνική διατομή τότε hc q g,έτσι q h g Είναι προφανές ότι η παροχή μπορεί να υπολογισθεί από το βάθος h c και ως εκ τούτου ο εκχειλιστής πλατιάς στέψης είναι χρησιμότατη κατασκευή για τη μέτρηση της παροχής. Επειδή όμως υπάρχουν διακυμάνσεις στο μέτρημα του βάθος h c γι αυτό είναι προτιμότερο να εκφρασθεί η παροχή με τους όρους της ειδικής ενεργείας Ε. Επειδή h c =/3E, βλέπε εξίσωση (9.14),είναι, c

24 E q g 3 3 (9.4) ή E Qb g 3 Η ειδική ενέργεια Ε αναφέρεται στο βάθος υπεράνω του εκχειλιστή. Εάν η ταχύτητα u είναι μικρή ώστε το u /g να είναι αμελητέο τότε η ειδική ενέργεια Ε ισούται προς το ύψος Η. Το παραπάνω ύψος Η μετράτε υπεράνω του εκχειλιστή όχι υπεράνω του ανάντη πυθμένα. Σε μικρές λοιπόν ταχύτητες προσέγγισης η εξίσωση (9.5) γράφεται, H Qb g (9.5) Εάν η ταχύτητα προσέγγισης δεν είναι αμελητέα σαν ποσότητα τότε το ύψος της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού υπεράνω της στέψης του εκχειλιστή είναι, (9.6) u H E (9.7) g Η χρήση του εκχειλιστή πλατιάς στέψης ως μετρητή παροχής έχει το πλεονέκτημα ότι η κατασκευή του εκχειλιστή είναι απλούστατη. Επίσης, ο εκχειλιστής δεν προκαλεί μεγάλη ανύψωση της επιφάνειας του υγρού και δεν δέχεται επιδράσεις από τα κατάντη, εφόσον βεβαίως υπάρχει κρίσιμη ροή υπεράνω της στέψης του. Το σημαντικότερο μειονέκτημα είναι ότι η χρήση του δεν δίνει μεγάλης ακριβείας μετρήσεις.

25 9.8 Βυθισμένος εκχειλιστής Κρίσιμες συνθήκες ροής δεν εμφανίζονται πάντοτε υπεράνω μιας ανύψωσης του πυθμένα του ανοικτού αγωγού. Η μεγαλύτερη παροχή εμφανίζεται μόνο όταν δεν υπάρχουν περαιτέρω εμπόδια στην κατάντη ροή. Εάν το βάθος ροής στην κατάντη περιοχή του εκχειλιστή είναι αρκετά μεγάλο, η ροή υπεράνω του εκχειλιστή μπορεί να μην είναι κρίσιμη, οπότε ο εκχειλιστής ονομάζεται βυθισμένος. Ένα παράδειγμα βυθισμένου εκχειλιστή φαίνεται στο Σχήμα 9.9.

26 Στην περίπτωση αυτή μπορεί η ροή να λάβει κρίσιμες συνθήκες υπεράνω του εκχειλιστή, εμποδίου, το οποίο βρίσκεται στην κατάντη περιοχή του υπό θεώρηση εκχειλιστή. Άλλη περίπτωση φαίνεται στο Σχήμα 9.10 όπου το ύψος της δεξαμενής είναι αρκετά μεγάλο ώστε να διατηρεί ένα βάθος ροής υπεράνω του εκχειλιστή μεγαλύτερο του κρίσιμου βάθους ροής. Στην περίπτωση βυθισμένου εκχειλιστή δημιουργείται πτώση του βάθους ροής υπεράνω του εκχειλιστή. Εάν το βάθος ροής υπεράνω ενός εκχειλιστή είναι κρίσιμο τότε η τυχαία ανύψωση του ύψους του εκχειλιστή αυξάνει το βάθος ροής στην ανάντη περιοχή και η ροή υπεράνω του εκχειλιστή παραμένει κρίσιμη.

27 Παρόμοιες αναλύσεις εφαρμόζονται και στην ελεύθερη πτώση ενός ανοικτού αγωγού με ήπια κλίση, όπου S<S C. Η παροχή είναι μεγαλύτερη για την διαθέσιμη ειδική ενέργεια και η ροή πρέπει να περάσει για των κρίσιμων συνθηκών στην περιοχή γύρω της γωνίας, βλέπε Σχήμα Πάνω στην γωνία οι ροϊκές γραμμές έχουν μια ουσιαστική καμπύλωση και έτσι η εξίσωση Ε=h+u /g δεν ισχύει. Το βάθος ροής ακριβώς πάνω από την γωνία είναι μικρότερο του κρίσιμου βάθους. Σε ορθογωνική διατομή το κρίσιμο βάθος είναι 3 q g και εμφανίζεται σε θέση 3 με 4 φορές της τιμής 3 q g ανάντη της γωνίας.

28 9.9 Χειμαρρώδης ροή προσεγγίζουσα αναβαθμών Στα παραδείγματα της προηγούμενης παραγράφου η προσεγγίζουσα ροή είναι ποτάμια. Ακόμη όμως και σε μία μικρή κλίση του πυθμένα του ανοικτού αγωγού μπορεί να αναπτυχθεί χειμαρρώδης ροή όπως στη ροή κάτω από θυρόφραγμα. Εάν ανάντη ενός θυροφράγματος το ύψος είναι μεγάλο τότε η παροχή η οποία αναπτύσσεται από το άνοιγμα του θυροφράγματος μπορεί να είναι αρκετή ώστε η ροή να είναι χειμαρρώδης. Εάν η παροχή ανά μονάδα πλάτους σε ορθογωνικής διατομής αγωγό είναι q το κρίσιμο βάθος δίνεται από την 3 q g. Εάν αυτό το ύψος είναι μεγαλύτερο από το άνοιγμα του θυροφράγματος τότε η ροή κάτω από το θυρόφραγμα είναι χειμαρρώδης. Αν η ταχύτητα προσέγγισης προς το θυρόφραγμα είναι μηδαμινή τότε η παροχή καθορίζεται από το ύψος h 0 h 1, βλέπε Σχήμα 9.1.

29 και είναι, βλέπε Παράγραφο (εξίσωση (9.53)), qc h g h h (9.8) d όπου C d είναι ο συντελεστής παροχής με τιμές Όταν η χειμαρρώδης ροή πλησιάζει το ανυψωμένο τμήμα του ανοικτού αγωγού η ειδική ενέργεια ελαττώνεται κατά τόσο όσο αυξάνεται το ύψος του εκχειλιστή z, πρέπει πάλι να τονιστεί ότι η ειδική ενέργεια μετράτε πάντοτε υπεράνω του πυθμένα του ανοικτού αγωγού στο υπό θεώρηση σημείο δηλαδή,

30 ενώ, u E h g u Hh z g (9.9) (9.30) Έτσι, για μία μέτρια τιμή της z το αντίστοιχο σημείο στο διάγραμμα της ειδικής ενέργειας h-e, βλέπε Σχήμα 9.13, μετακινείται από το σημείο 1 προς το σημείο. Στην περίπτωση η οποία φαίνεται στο παραπάνω σχήμα η ροή παραμένει υπερκρίσιμη αλλά το βάθος ροής υπεράνω του εκχειλιστή πλησιάζει περισσότερο την κρίσιμη τιμή h c. Για μία μεγαλύτερη τιμή του z, του ύψους δηλαδή του εκχειλιστή, η ειδική ενέργεια μπορεί να μειωθεί στο ελάχιστο δυνατό (q =σταθερό) και τότε οι συνθήκες υπεράνω του εκχειλιστή είναι κρίσιμες. Η ροή δεν ελέγχεται από τον εκχειλιστή γιατί καμιά χειμαρρώδης ροή δεν μπορεί να ελεγχθεί από τις κατάντη συνθήκες ροής. Στο παρόν παράδειγμα η ροή καθορίζεται από τη διαφορά ύψους κατά μήκος του θυροφράγματος. Εάν αυξηθεί το z λίγο περισσότερο τότε περαιτέρω μείωση της ειδικής ενεργείας Ε με την ειδική παροχή q σταθερή είναι αδύνατη, έτσι το βάθος ανάντη του εκχειλιστή αυξάνει.

31 Η ροή τώρα γίνεται ποτάμια αντί χειμαρρώδης και είναι παρόμοια της περίπτωσης της Παραγράφου 9.7. Τότε το θυρόφραγμα ονομάζεται βυθισμένο, δηλαδή η ροή διοχετεύεται προς υγρό το οποίο κινείται με μικρότερη ταχύτητα και σε βάθος το οποίο είναι μεγαλύτερο του ανοίγματος του θυροφράγματος. Τώρα πράγματι ο εκχειλιστής ελέγχει την παροχή από το θυρόφραγμα. Η ροή τώρα μεταξύ των δύο υδραυλικών κατασκευών, θυρόφραγμα - εκχειλιστής είναι τυρβώδης και υπάρχει σημαντική απώλεια ενεργείας.

32 9.10 Υδαταγωγός Venturi Η ποτάμιος ροή μέσα σε ανοικτό αγωγό μπορεί να γίνει κρίσιμη όχι μόνο για της υπερπηδήσεως αναβαθμών αλλά και για της συγκλίσεως των τοιχωμάτων του ανοικτού αγωγού. Στο Σχήμα 9.16 φαίνεται σχετική υδραυλική διάταξη η οποία ονομάζεται υδαταγωγός Venturi. Λόγω των μικρών απωλειών που εμφανίζονται στην ροή, ο υδαταγωγός Venturi είναι προτιμότερος του εκχειλιστικού πλατιάς στέψης, προκειμένου βεβαίως να χρησιμοποιηθεί σαν μετρητής παροχής. Η μεγαλύτερη ταχύτητα της ροής λαμβάνεται στο στενότερο τμήμα του υδαταγωγού. Το τμήμα αυτό ονομάζεται "λαιμός". Η παροχή είναι η μεγαλύτερη δυνατή, εφόσον δημιουργούνται κρίσιμες συνθήκες στο "λαιμό", για τον ίδιο ακριβώς λόγο που αναφέρθηκε και στην περίπτωση του εκχειλιστή πλατιάς στέψης.

33

34 Η ροή λοιπόν στην περιοχή του "λαιμού" είναι κρίσιμη. Ο υδαταγωγός θεωρείται ότι λειτουργεί σε συνθήκες ελεύθερης παροχής. Εάν θεωρηθεί ότι η διατομή είναι ορθογωνική και ότι οι ροϊκές γραμμές είναι ευθείες και παράλληλες μεταξύ τους, τότε η ταχύτητα στο "λαιμό" δίνεται από την εξίσωση, u gh (9.31) όπου h το βάθος της ροής στο "λαιμό". Ο δείκτης 1 αναφέρεται στις συνθήκες εισόδου της ροής στον υδαταγωγό Venturi και βρίσκεται σε θέση απόμακρη του "λαιμού". Με δείκτη σημειώνεται η θέση του "λαιμού". Επομένως η παροχή δίνεται ως, Q bh gh (9.3) όπου b το πλάτος του υδαταγωγού στο λαιμό. Η μέτρηση της παροχής Q απαιτεί την μέτρηση του βάθους h. Η μέτρηση όμως αυτή είναι δύσκολο να ληφθεί με ακρίβεια λόγω των διαταραχών της ροής στην κρίσιμη ταχύτητα. Γι αυτό λοιπόν μεταξύ των σημείων 1 και, βλέπε Σχήματα 9.14 και 9.15, και εφόσον υπάρχει μικρή απώλεια ενέργειας η εφαρμογή της ενεργειακής εξίσωσης δίνει, u1 u gh 3 h1 h h h (9.33) g g g

35 Λύνοντας ως προς h την εξίσωση (9.33) είναι, h u 1 h 3 g 1 Αντικατάσταση της τιμής του h στην εξίσωση (9.3) δίνει, (9.34) u 1 u 1 Q b h1 gh1 3 g 3 g ή 3 (9.35) u (9.36) 1 Q b g h1 3 g Επομένως, είναι προφανές ότι απαιτείται η μέτρηση του βάθους h f πράγμα το οποίο μπορεί να γίνει με μεγαλύτερη ακρίβεια παρότι το βάθος h. Συνήθως απαιτείται να εισαχθεί ένας συντελεστής C d για να ληφθούν υπ' όψη τυχαίες απώλειες της ροής του ρευστού μεταξύ των σημείων 1 και. Ο συντελεστής C d παίρνει τιμές από 0.95 μέχρι Ο συντελεστής αυτός μπαίνει στο δεύτερο μέρος της εξίσωσης (9.36) και τελικά n παροχή του αγωγού είναι. 3 u1 1 Q C d b g h 3 g 3 (9.37)

36 9.1 Εφαρμογές ενεργειακής εξισώσεως Bernoulli Γενικά Είναι σκόπιμο να αναφερθεί η ενεργειακή εξίσωση για ασυμπίεστα ρευστά (υγρά), χωρίς την ύπαρξη δυνάμεων, σε μια ροϊκή γραμμή κατά μήκος της οποίας δεν υπάρχει ούτε παραγωγή έργου όπως π.χ υδροστρόβιλος αλλά ούτε και κατανάλωση έργου όπως π.χ. αυτό συμβαίνει με την χρήση αντλιών. Να ανέρθει ότι η θερμοκρασία του ύδατος παραμένει σταθερή. Τότε η ενεργειακή εξίσωση μεταξύ δύο σημείων 1 και, δηλαδή η εξίσωση του Bernoulli, μπορεί να γραφεί ως p1 u1 p u z1 z (9.38) g g g g Τα πραγματικά όμως ρευστά είναι συνεκτικά (ιξώδη) έχουν δηλαδή κινηματικό ιξώδες του οποίου η τιμή είναι διάφορη του μηδενός οπότε η ανάπτυξη τριβών τάσεων είναι αναπόφευκτη διαδικασία. Να αναφερθεί ότι η τιμή του κινηματικού ιξώδους ν του ύδατος στους C είναι 1.01x10-6 (m /s).

37 Συνέπεια των ανωτέρω διατμητικών τάσεων τμήμα της διαθέσιμης ενέργειας του ρέοντος ύδατος από το σημείο 1 μετατρέπεται σε θερμότητα κατά την ροή του προς την θέση. Επομένως, η ενεργειακή εξίσωση (9.38) διαφοροποιείται ως, p1 u1 p u z1 z h (9.39) f g g g g όπου h f (m) είναι η έκφραση των απωλειών ενεργείας ανά μονάδα βάρους του ρευστού.

38 9.1. Ροή διά μέσω στομίων Ένα στόμιο είναι ένα άνοιγμα μέσα από το οποίο ρέει το υγρό. Το πλάτος του ανοίγματος κάθετα προς την διεύθυνση της ροής είναι αισθητά μικρό σε σύγκριση προς τα άλλα γεωμετρικά μεγέθη. Το Σχήμα 9.17 δείχνει ένα στόμιο τα άκρα μέλη του οποίου έχουν οξύ σχηματισμό. Η δεξαμενή και η ελεύθερη επιφάνεια που περιέχει το ρευστό έχουν μεγάλες διαστάσεις ούτως ώστε η ταχύτητα υποβιβασμού της ελεύθερης επιφανείας του ρευστού να είναι μηδαμινή. Το εξερχόμενο από το στόμιο υγρό σχηματίζει μία ελεύθερη δέσμη, γιατί βρίσκεται κάτω από την επίδραση της βαρύτητας. Το υγρό που πλησιάζει προς το στόμιο συγκλίνει προς αυτό. Οι ροϊκές γραμμές συνεχίζουν να συγκλίνουν και πέρα του στομίου έως ότου γίνουν παράλληλες μεταξύ τους επί της διατομής CC. Η δέσμη είναι δυνατόν και πάλι να αποκλίνει και έτσι η διατομή CC είναι η μικρότερη από όλες τις διατομές της περιοχής και ονομάζεται vena-contracta. Εάν η ροή είναι σταθερή και μη- συνεκτική, τότε η ενεργειακή εξίσωση μεταξύ των τυχαίων σημείων 1 και μιας τυχαίας ροϊκής γραμμής, βλέπε Σχήμα 9.17 δίνει,

39 1 1 p atm p u u z1 0.0 (9.40) g g g g

40 όπου τα υψόμετρα z έχουν ληφθεί σε αναφορά προς οριζόντιο επίπεδο το οποίο διέρχεται από το κέντρο του στομίου. Για τον λόγο αυτό είναι z =0.0m. Η στατική πίεση που ενεργεί στο σημείο είναι η ατμοσφαιρική πίεση P atm η οποία λαμβάνεται ως η πίεση αναφοράς, δηλαδή P atm =0.0N/ m. Σε κανονικές συνθήκες είναι, p bar 76.0cmHg 10.33mH O 10135N m atm επίσης η ταχύτητα υ 1 =0.0 m/s και η εξίσωση (9,40) γράφεται, p1 u z1 g (9.41) g Επειδή η πίεση μέσα στη δεξαμενή είναι υδροστατική, η τιμή p 1 /ρg είναι το βάθος h 1 του σημείου 1 από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Τελικώς, p1 g z 1 h (9.4) όπου h είναι το βάθος της ελεύθερης επιφάνειας του ρευστού από το οριζόντιο επίπεδο. Η εξίσωση (9.41) δίνει,

41 u gh (9.43) Η παραπάνω τιμή είναι η ιδανική τιμή της ταχύτητας η οποία αναπτύσσεται επί της vena-contracta. Στην πραγματικότητα η υ δίνεται από την εξίσωση: u C gh (9.44) v όπου C v ο συντελεστής ταχύτητας που ορίζεται από τον λόγο της πραγματικής ταχύτητας προς την ιδεατή. Η παροχή του υγρού Q δίνεται από την εξίσωση: Q u A (9.45) όπου Α το εμβαδό της επιφάνειας της venacontracta. Εισάγεται ο συντελεστής συγκλίσεως που ορίζεται ως ο λόγος του εμβαδού της επιφάνειας vena-contracta προς το εμβαδό της επιφάνειας της διατομής του στομίου Α στομ. Είναι δηλαδή:

42 Οπότε: C c A A. Q u A u C A C ghc A c. v c. Το γινόμενο C V C C ονομάζεται συντελεστής παροχής C d.επομένως, Q CdQ ή (9.46) (9.47) Οι τιμές των συντελεστών των στομίων ποικίλλουν από κατασκευή σε κατασκευή. Όταν το σχήμα των χειλιών του στομίου είναι οξύ και η διατομή είναι κυκλική, ο συντελεστής ταχύτητας δίνει C v = ,99, ο συντελεστής συγκλίσεως C c = επομένως ο συντελεστής παροχής θα είναι,c d = Για καμπυλοειδή είσοδο της ροής στον χώρο του στομίου οι συντελεστές συγκλίσεως και ταχύτητας αυξάνουν αισθητά. (9.48)

43 9.1.3 Βυθισμένο στόμιο Στο Σχήμα 9,18 φαίνεται ένα βυθισμένο στόμιο, Η παροχή της δέσμης διοχετεύεται σε ρευστό του ίδιου είδους με αυτό της δέσμης. Υπάρχει και εδώ ο σχηματισμός της vena-contracta αλλά η πίεση η οποία δρα δεν είναι η ατμοσφαιρική, όπως στην ελεύθερη εκροή αλλά αντιστοιχεί σε ύψος h ίσο προς p /ρg. Η εφαρμογή της εξίσωσης του Bernoulli μεταξύ των σημείων 1 και που βρίσκονται σε τυχαία ροική γραμμή και σε συνθήκες ιδανικής ροής δίνει,

44 p1 u1 p u z1 z (9.49) g g g g αλλά, p1 g z 1 h, 1 (9.50) Επίσης, p g h, z =0.0m (οριζόντιο επίπεδο) και u 1 =0.0m/s. Επομένως η εξίσωση (9.49) δίνει, h h 1 ή u g u g h h 1 Για τον υπολογισμό της πραγματικής παροχής θα είναι, Q C g h h A d 1 όπου Α το εμβαδόν της οπής του στομίου. (9.51) (9.5) (9.53)

45 9.1.4 Ορθογωνικοί εκχειλιστές Ο εκχειλιστής χρησιμοποιείται από παλιά για την μέτρηση της παροχής του ύδατος μέσα σε ανοικτούς αγωγούς. Στην πιο απλή μορφή του εκχειλιστή το νερό ρέει πάνω από την κορυφή μιας πλάκας όπως φαίνεται στα Σχήματα 9.19 και 9.0.

46 Για να υπολογισθεί η παροχή πρέπει να μετρηθεί το ύψος Η. Το ύψος αυτό μετράτε σχετικώς προς την στέψη του εκχειλιστή. Η μέτρηση πραγματοποιείται στην ανάντη του εκχειλιστή περιοχή και σε μία απόσταση από την στέψη το ελάχιστο πέντε φορές του μεγαλύτερου ύψους Η των πραγματοποιουμένων μετρήσεων. Η ανάντη όψη της πλάκας του εκχειλιστή θα πρέπει να έχει ομαλή την επιφάνεια και η πλάκα θα πρέπει να είναι τοποθετημένη κάθετα προς τον πυθμένα του ανοικτού αγωγού. Η στέψη θα πρέπει να έχει λεπτά άκρα μέρη ούτως ώστε η εκχείλιση του ύδατος να γίνει με καθαρά όρια σε όλα σχεδόν τα ύψη εκτός των πολύ μικρών τιμών του ύψους Η. Ο ανοικτός αγωγός στον χώρο ανάντη του εκχειλιστή θα πρέπει να έχει αρκετά μεγάλο μήκος ώστε να υπάρχει ομοιόμορφη κατανομή της ταχύτητας από τον πυθμένα του αγωγού προς την ελεύθερη επιφάνεια του. Η ελεύθερη επιφάνεια θα πρέπει να είναι τελείως ομαλή με όσο το δυνατό λιγότερους κυματισμούς σε αυτή.

47 Θα μελετηθεί εκείνος ο τύπος εκχειλιστή ο οποίος είναι τόσο πλατύς όσο και ο αγωγός ο οποίος μεταφέρει το ρευστό, δηλαδή θα είναι εκχειλιστής χωρίς πλευρική συστολή. Το πλάτος του εκρέοντος ύδατος είναι το ίδιο ακριβώς όσο και το μήκος της στέψης και επειδή δεν υπάρχει σύγκλιση της ροής στα πλευρικά όρια του αγωγού θεωρείται ότι τα πλευρά έχουν συσταλθεί. Είναι βασικό τα πρανή του αγωγού στην ανάντη περιοχή του εκχειλιστή να είναι ομαλά. Συνήθως τα πρανή επεκτείνονται και κατάντη του εκχειλιστή ούτως ώστε να περιορίσουν, στην κάθετη διεύθυνση, το στρώμα του εκρέοντος ρευστού. Για να ληφθεί η εξίσωση της ροής γι' ένα ορθογωνικό εκχειλιστή με μήκος στέψης L ας θεωρηθεί μία στοιχειώδης ορθογωνική διατομή da οπότε, da Ldh (9.54) όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.0. Αυτή η στοιχειώδης περιοχή είναι ένα οριζόντιο διάκενο μήκους L και ύψους dh. Αν αγνοηθεί εντελώς η ταχύτητα προσέγγισης τότε η ιδανική ταχύτητα διά μέσω αυτής της περιοχής θα είναι ίση προς gh. Έτσι, η παροχή δια μέσω της στοιχειώδους επιφάνειας 6Α θα είναι,

48 d Q d Q ή u d A g h L d h Η αστοιχειώδης παροχή πρέπει να ολοκληρωθεί σε όλη την διαθέσιμη επιφάνεια, δηλαδή από h = 0, μέχρις h = Η, βλέπε Σχήμα 9.0, οπότε, H 1 Qi L g h dh 0 (9.55) (9.56) όπου ο δείκτης i δηλώνει ιδανική ροή. Επομένως, μετά την ολοκλήρωση είναι, Q i L 3 gh 3 (9.57) (9.58) Η πραγματική παροχή θα είναι μικρότερη βεβαίως της ιδανικής παροχής διότι η πραγματική επιφάνεια διά μέσω της οποίας διέρχεται η ροή είναι μικρότερη της LH, λόγω της πτώσεως της τιμής του Η στον χώρο πάνω από την στέψη (κατά 0.15 Η), βλέπε Σχήμα 9.0, αλλά και λόγω της συγκλίσεως του στρώματος του ρέοντος νερού στο κάτω τμήμα του επίσης στον χώρο της στέψης. Έτσι, για να ληφθούν οι ανωτέρω διαφοροποιήσεις εισάγεται ένας συντελεστής παροχής C d ώστε,

49 L Q CdQi Cd gh 3 3 (9.59) Τυπικές τιμές του C d ποικίλλουν από 0.6 για Η/Ρ=0.1 μέχρι και 0.75 για Η/Ρ =.0 όπου Ρ το ύψος του εκχειλιστού. Γερμανικά πειράματα έδειξαν ότι, C d H H (9.60) P Φυσικά η παραπάνω σχέση προήλθε προφανώς από σειρά πειραμάτων. Αυτή η εξίσωση δίνει καλά αποτελέσματα για τιμές Η/Ρ<0.4 και καλύπτει το μεγαλύτερο μέρος των εφαρμόσιμων περιπτώσεων υπολογισμού παροχών της Υδραυλικής Μηχανικής.

50 9.1.5 Τριγωνικοί εκχειλιστές Προκειμένου όμως να μετρηθούν μικρές παροχές ο ορθογωνικός εκχειλιστής πρέπει να είναι πολύ στενός και έτσι θα είναι περιορισμένης ικανότητας μετρήσεων. Διαφορετικούς, εάν δηλαδή ο ορθογωνικός εκχειλιστής είναι αρκετά πλατύς (μεγάλο μήκος στέψης) τότε οι τιμές του Η, δηλαδή η διαφορά του ύψους της ελεύθερης επιφάνειας του ύδατος από την στέψη, θα είναι πάρα πολύ μικρή και η σωστή μέτρηση της ροής βρίσκεται σε αβεβαιότητα. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιούνται τριγωνικοί ή σχήματος V εκχειλιστές οι οποίοι έχουν την δυνατότητα της λειτουργίας όχι μόνο για την μέτρηση μικρών παροχών αλλά και σχετικώς μεγάλων. Το Σχήμα 9.1 δείχνει ένα τριγωνικό εκχειλιστή με γωνία κορυφής θ. Η παροχή μιας στοιχειώδους επιφανείας da είναι, dq C gh da d αλλά το εμβαδόν της στοιχειώδους επιφανείας da είναι, da xdh και από το μισό ορθογώνιο τρίγωνο, x H h (9.61) (9.6) (9.63)

51 οπότε με την ολοκλήρωση της εξίσωσης (9.61) από h=0 μέχρι και h=h, είναι: 8 Q C g H 15 5 d (9.64) Όταν η γωνία της κορυφής του τριγωνικού εκχειλιστή είναι γνωστή και θεωρώντας ότι ο συντελεστής παροχής C d είναι σταθερός, Q 5 KH (9.65)

52 όπου Κ σταθερά, βλέπε εξίσωση (9.64). Το Σχήμα 9. δείχνει τις πειραματικές τιμές του C d για ρέον ύδωρ υπεράνω τριγωνικών εκχειλιστών με γωνία κορυφής μεταβαλλόμενη από την τιμή θ=10.0 μέχρι και θ=90.0. Οι παραπάνω καμπύλες αναπαριστούν πειράματα που έγιναν από τον Lenz, βλέπε Massey (1970).