ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 62

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Περιεχόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή στα συστήµατα CAD/CAM/CAE...21 1.1 ΓΕΝΙΚΑ... 21 1.2 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ CAD, CAM, ΚΑΙ CAE... 27 1.3 ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΩΝ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕΣΩ ΜΙΑΣ ΚΟΙΝΗΣ ΒΑΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΝΑ ΣΕΝΑΡΙΟ... 30 1.4 ΧΡΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ CAD/CAM/CAE ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΕΝΑ ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ... 34 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Τα συστατικά των συστηµάτων CAD/CAM/CAE...43 2.1 ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ... 43 2.1.1 Συσκευές γραφικών ανανέωσης διανυσµάτων... 44 2.1.2 Συσκευές γραφικών ράστερ... 48 2.2 ΙΕΥΘΕΤΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ... 52 2.3 ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ... 54 2.4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ CAD ΒΑΣΙΣΜΕΝΑ ΣΤΑ WINDOWS... 60 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Βασικές έννοιες προγραµµατισµού γραφικών...65 3.1 ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ... 65 3.2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... 68 3.3 ΠΑΡΑΘΥΡΟ ΚΑΙ ΠΑΡΑΘΥΡΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣ... 75 3.4 ΠΡΩΤΟΓΕΝΗ ΣΧΗΜΑΤΑ... 79 3.4.1 Ευθεία γραµµή... 79 3.4.2 Πολύγωνο... 80 3.4.3 Σηµειωτής... 81 3.4.4 Κείµενο... 83

14 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3.5 ΕΙΣΟ ΟΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ... 85 3.6 ΛΙΣΤΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ... 86 3.7 ΜΗΤΡΩΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ... 87 3.7.1 Μετακίνηση... 88 3.7.2 Περιστροφή... 89 3.7.3 Χαρτογράφηση... 95 3.7.4 Άλλα µητρώα µετασχηµατισµών... 100 3.8 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΡΥΦΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΚΑΙ ΚΡΥΦΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ... 101 3.8.1 Αλγόριθµος αφαίρεσης πίσω εδρών... 102 3.8.2 Αλγόριθµος ταξινόµησης βάθους, ή αλγόριθµος του ζωγράφου... 104 3.8.3 Αλγόριθµος αφαίρεσης κρυφών γραµµών... 105 3.8.4 Μέθοδος της προσωρινής µνήµης z... 107 3.9 ΦΩΤΟΑΠΟ ΟΣΗ... 108 3.9.1 Σκίαση... 109 3.9.2 Ακτινανίχνευση... 115 3.10 ΙΑΣΥΝ ΕΣΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΜΕ ΤΟ ΧΡΗΣΤΗ... 117 3.11 ΣΥΣΤΗΜΑ X WINDOW... 118 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 120 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Συστήµατα παραγωγής σχεδίων µε τη βοήθεια υπολογιστή...125 4.1 ΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΤΟΥ ΣΧΕ ΙΟΥ... 126 4.1.1 Μονάδες... 126 4.1.2 Μέγεθος του σχεδίου (όρια)... 126 4.1.3 Στρώσεις... 129 4.1.4 Κάνναβος και έλξη... 130 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΧΕ ΙΑΣΤΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ... 130 4.2.1 Ευθείες γραµµές... 130 4.2.2 Κύκλοι και τόξα κύκλων... 131 4.2.3 Καµπύλες Spline... 132 4.2.4 ιαγραφή... 132 4.2.5 Στρογγύλευµα και λοξότµηση... 132 4.2.6 ιαγραµµίσεις... 133 4.3 ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΥ... 134 4.3.1 ιαστασιολόγηση... 134 4.3.2 Σηµειώσεις... 136 4.4 ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ... 136 4.4.1 Αντιγραφή... 136 4.4.2 Παράθυρα... 137 4.4.3 Σύµβολα... 137

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 15 4.4.4 Μακροεντολές ή παραµετρικός προγραµµατισµός... 138 4.4.5 Μετρήσεις... 139 4.4.6 ιάφορες λειτουργίες... 139 4.5 ΣΥΜΒΑΤΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΑΡΧΕΙΩΝ ΣΧΕ ΙΩΝ... 140 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 140 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Συστήµατα γεωµετρικής µοντελοποίησης...147 5.1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ... 148 5.2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ... 149 5.3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΕΡΕΟΥ... 151 5.3.1 Συναρτήσεις µοντελοποίησης... 152 5.3.2 οµή δεδοµένων... 164 5.3.3 Τελεστές του Euler... 184 5.3.4 Λογικές πράξεις... 186 5.3.5 Υπολογισµός ογκοµετρικών ιδιοτήτων... 189 5.4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ... 195 5.5 ΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ... 198 5.5.1 Βασικές λειτουργίες της µοντελοποίησης µηχανισµών... 199 5.5.2 Περιήγηση σε ένα µηχανισµό... 201 5.5.3 Λειτουργίες ταυτόχρονης σχεδίασης... 201 5.5.4 Χρήση µοντέλων µηχανισµών... 202 5.5.5 Απλοποίηση των µηχανισµών... 203 5.6 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟΝ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΙΣΤΟ... 205 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 206 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Αναπαράσταση και χειρισµός καµπυλών...209 6.1 ΤΥΠΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ... 210 6.2 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ... 211 6.2.1 Κύκλος ή τόξο κύκλου... 211 6.2.2 Έλλειψη ή ελλειπτικό τόξο... 212 6.2.3 Υπερβολή... 214 6.2.4 Παραβολή... 215 6.3 ΕΡΜΙΤΙΑΝΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ... 215 6.4 ΚΑΜΠΥΛΗ BEZIER... 218 6.4.1 Παραγώγιση της εξίσωσης µιας καµπύλης Bezier... 222 6.4.2 Υπολογισµός καµπύλης Bezier... 224 6.5 ΚΑΜΠΥΛΗ B-SPLINE... 225 6.5.1 Υπολογισµός µιας καµπύλης B-Spline... 236 6.5.2 Σύνθεση καµπυλών B-Spline... 236 6.5.3 Παραγώγιση καµπύλης B-Spline... 236

16 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 6.6 ΜΗ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΡΗΤΗ ΚΑΜΠΥΛΗ B-SPLINE (NURBS)... 238 6.6.1 Υπολογισµός µιας καµπύλης NURBS... 244 6.6.2 Παραγώγιση µιας καµπύλης NURBS... 244 6.7 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ... 247 6.7.1 Παρεµβολή µε τη χρήση Ερµιτιανής καµπύλης... 248 6.7.2 Παρεµβολή µε τη χρήση καµπύλης B-Spline... 251 6.8 ΤΟΜΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ... 253 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 255 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Αναπαράσταση και χειρισµός επιφανειών...261 7.1 ΤΥΠΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ... 261 7.2 ΙΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ... 262 7.3 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΤΜΗΜΑ COON... 264 7.4 ΙΚΥΒΙΚΟ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΤΜΗΜΑ... 266 7.5 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ BEZIER... 270 7.5.1 Υπολογισµός µιας επιφάνειας Bezier... 272 7.5.2 Παραγώγιση µιας επιφάνειας Bezier... 273 7.6 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ B-SPLINE... 275 7.6.1 Υπολογισµός µιας επιφάνειας B-Spline... 276 7.6.2 Παραγώγιση µιας επιφάνειας B-Spline... 277 7.7 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ NURBS... 278 7.8 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ... 284 7.9 ΤΟΜΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ... 287 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 289 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Μοντελοποίηση και ανάλυση πεπερασµένων στοιχείων... 293 8.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ... 295 8.2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ... 298 8.3 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ... 314 8.4 ΑΥΤΟΜΑΤΗ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ... 318 8.4.1 Η προσέγγιση της σύνδεσης κόµβων... 319 8.4.2 Η προσέγγιση τοπολογικής διάσπασης... 323 8.4.3 Προσεγγίσεις γεωµετρικής διάσπασης... 325 8.4.4 Η προσέγγιση µέσω καννάβου... 327 8.4.5 Η προσέγγιση χαρτογράφησης στοιχείου... 330 8.4.6 Βελτίωση της ποιότητας του πλέγµατος... 333 8.5 ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ... 336 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 345

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Βελτιστοποίηση...349 9.1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ... 349 9.2 ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ... 352 9.2.1 Εξωτερικές συναρτήσεις ποινής... 353 9.2.2 Εσωτερική συνάρτηση ποινής... 355 9.3 ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ... 357 9.4 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΝΟΠΤΗΣΗΣ... 361 9.4.1 Συνδυαστική βελτιστοποίηση... 361 9.4.2 Ο αλγόριθµος... 363 9.4.3 Εφαρµογές... 366 9.5 ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ... 369 9.5.1 Οι βασικές αρχές... 371 9.5.2 Εφαρµογή... 377 9.6 ΟΜΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ... 378 9.6.1 Βελτιστοποίηση µεγέθους... 379 9.6.2 Βελτιστοποίηση σχήµατος... 381 9.6.3 Βελτιστοποίηση τοπολογίας... 383 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 388 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ολοκλήρωση CAD και CAM...391 10.1 ΓΕΝΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΥΚΛΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΩΝ... 392 10.2 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΙΕΡΓΑΣΙΩΝ... 393 10.2.1 Η µη αυτόµατη προσέγγιση... 394 10.2.2 Η εναλλακτική προσέγγιση... 400 10.2.3 Η παραγωγική προσέγγιση... 401 10.3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ... 402 10.3.1 CAM-ICAPP... 403 10.3.2 MIPLAN και MultiCAPP... 406 10.3.3 MetCAPP... 406 10.3.4 ICEM-PART... 407 10.4 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΑ ΩΝ... 407 10.4.1 Ταξινόµηση και κωδικοποίηση... 408 10.4.2 Υπάρχοντα συστήµατα κωδικοποίησης... 410 10.5 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ... 420 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 422

18 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Αριθµητικός έλεγχος...425 11.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 426 11.2 ΣΥΝΘΕΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΜΙΑΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΗΣ NC... 427 11.3 ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ... 428 11.4 NC/CNC/DNC... 429 11.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΩΝ... 432 11.5.1 Συστήµατα συντεταγµένων... 433 11.5.2 Η σύνταξη του προγράµµατος εξαρτήµατος... 435 11.6 ΜΗ ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΩΝ... 442 11.7 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ... 448 11.7.1 Η γλώσσα προγραµµατισµού APT... 449 11.7.2 Άλλες γλώσσες προγραµµατισµού εξαρτηµάτων... 466 11.8 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΗ ΒΑΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΤΟΥ CAD... 468 11.8 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΩΝ... 468 11.8.1 ηµιουργία διαδροµής εργαλείου... 471 11.8.2 Προσοµοίωση και επαλήθευση διαδροµής εργαλείου... 478 11.8.3 Μελέτη περίπτωσης... 481 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 494 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ταχεία κατασκευή πρωτοτύπου και βιοµηχανική παραγωγή...497 12.1 ΓΕΝΙΚΑ... 498 12.2 ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΕΣ ΙΕΡΓΑΣΙΕΣ RP&M... 499 12.2.1 Στερεολιθογραφία... 499 12.2.2 Σκλήρυνση στερεού εδάφους... 504 12.2.3 Επιλεκτική πυροσυσσωµάτωση µε λέιζερ... 505 12.2.4 Τρισδιάστατη εκτύπωση... 507 12.2.5 Βιοµηχανική παραγωγή στρωσιγενούς αντικειµένου... 508 12.2.6 Μοντελοποίηση µε απόθεση σε κατάσταση τήξης... 511 12.2.7 Μηχανές RP&M χαµηλού κόστους... 511 12.3 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ RP&M... 513 12.3.1 Πρωτότυπα για αξιολόγηση της σχεδίασης... 514 12.3.2 Πρωτότυπα για την επαλήθευση της λειτουργίας... 515 12.3.3 ιεργασίες ταχείας κατασκευής καλουπιών... 516 12.3.4 Παραδείγµατα ειδικών εφαρµογών... 533 12.4 Η ΙΕΡΓΑΣΙΑ ΤΗΣ ΣΤΕΡΕΟΛΙΘΟΓΡΑΦΙΑΣ... 536 12.4.1 Είσοδος γεωµετρικών δεδοµένων... 537 12.4.2 Προσανατολισµός εξαρτήµατος... 542

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 19 12.4.3 οµή υποστήριξης... 543 12.4.4 Τεµαχισµός και συγχώνευση... 544 12.4.5 Προετοιµασία... 549 12.4.6 ηµιουργία εξαρτήµατος... 549 12.4.7 Ολοκλήρωση εξαρτήµατος και αποστράγγιση... 553 12.4.8 Μετεπεξεργασία... 553 12.5 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΓΙΑ RP&M... 555 12.5.1 Εργασίες λογισµικού προετοιµασίας εξαρτηµάτων... 556 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 562 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 Εικονική τεχνική µελέτη...565 13.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ... 566 13.2 ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ... 567 13.2.1 Εικονική σχεδίαση... 567 13.2.2 Ψηφιακή προσοµοίωση... 569 13.2.3 Εικονική κατασκευή πρωτοτύπου... 570 13.2.4 Εικονικό εργοστάσιο... 572 13.3 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ... 573 13.3.1 Εργαλείο σχεδίασης... 573 13.3.2 Εκτίµηση της δυνατότητας βιοµηχανικής παραγωγής... 574 13.3.3 Εκτίµηση και έλεγχος ποιότητας... 574 13.3.4 Επικύρωση και βελτιστοποίηση διεργασιών... 575 13.3.5 Προγραµµατισµός παραγωγής και προϊόντος... 575 13.3.6 ιασύνδεση µε τον πελάτη... 575 13.3.7 Γνωσιακή βάση δεδοµένων... 576 13.3.8 Συνεργατική τεχνική µελέτη... 576 13.4 ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ... 577 13.4.1 Ολοκλήρωση CAD και προσοµοίωσης... 577 13.4.2 LOD και διαλογή... 577 13.5 ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΤΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ... 579 13.6 ΠΡΟΪΟΝΤΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ... 582 13.7 ΠΡΟΪΟΝΤΑ ΥΛΙΚΟΥ... 588 13.8 ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ... 592 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 594 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Πρότυπα επικοινωνίας µεταξύ συστηµάτων...597 14.1 ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΤΑΛΛΑΓΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ... 598 14.2 Η ΑΡΧΙΚΗ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΗ ΑΝΤΑΛΛΑΓΗΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ (IGES)... 600 14.3 ΜΟΡΦΗ ΑΝΤΑΛΛΑΓΗΣ ΣΧΕ ΙΩΝ... 604

20 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 14.4 ΠΡΟΤΥΠΟ ΑΝΤΑΛΛΑΓΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ (STEP)... 606 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 611 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Υλοποίηση της δοµής δεδοµένων ηµιακµών...613 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Υλοποίηση της δοµής δεδοµένων ακµών-πτερύγων... 617 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Τελεστές του Euler...621 Γ.1 ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΤΟΥ EULER ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ SNUMOD... 621 Γ.2 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΤΟΥ EULER... 627 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Εφαρµογή αλγορίθµου για την υλοποίηση λογικής πράξης...639 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ε οµή δεδοµένων και τελεστές τοπολογίας για συστήµατα µη πολλαπλής µοντελοποίησης...647 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΤ Ο αλγόριθµος de Casteljau...659 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Z Υπολογισµός της καµπύλης B-Spline µε τη µέθοδο Cox-de Boor...663 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ H Συνδυασµός καµπυλών B-Spline...669 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Θ Απόδειξη του τύπου παραγώγισης καµπυλών B-Spline... 673 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι Η προσέγγιση του Peng για τον υπολογισµό της τοµής επιφανειών NURBS...677 Ι.1 ΥΠΟ ΙΑΙΡΕΣΗ... 677 Ι.2 ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΤΟΜΗΣ... 679 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Κ ιατύπωση εξισώσεων συστήµατος FEA από τη γενική διαφορική εξίσωση...683 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Λ Σύγκριση συστηµάτων CAD για Windows...691 Βιβλιογραφία...699 Λεξικό όρων...711 Ευρετήριο...721

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πρόλογος Μετά από τις δραµατικές αλλαγές στην ισχύ των υπολογιστών και στη µεγάλη διαθεσι- µότητα εργαλείων λογισµικού σχεδίασης και παραγωγής, οι τεχνικοί και οι µηχανικοί χρησιµοποιούν πλέον συστήµατα CAD/CAM/CAE κανονικά στις καθηµερινές τους εργασίες, και όχι απλώς για λόγους επίδειξης. Ο διεθνής ανταγωνισµός, η µειωµένη διαθεσιµότητα ειδικευµένων εργαζοµένων, και οι αυξανόµενες απαιτήσεις για υψηλή ποιότητα επιβάλλουν και στους κατασκευαστές τη χρήση συστηµάτων CAD/CAM/CAE για να αυτοµατοποιήσουν τις διαδικασίες σχεδιασµού και παραγωγής. Ως αποτέλεσµα, οι εκπαιδευτικοί των τεχνικών σχολών αισθάνονται µια νέα πίεση να αλλάξουν τον τρόπο που παραδίδουν µαθήµατα τεχνικού σχεδιασµού ώστε να δίνουν στους φοιτητές τους τη δυνατότητα αλληλεπίδρασης µε συστήµατα CAD/CAM/CAE και τις γνώσεις των βασικών αρχών που τα διέπουν. Στόχος του βιβλίου αυτού είναι να παρουσιάσει τις θεµελιώδεις αρχές και έννοιες στις οποίες βασίζονται τα συστήµατα CAD/CAM/CAE, και όχι να εξηγήσει τη χρήση συγκεκριµένων συστηµάτων. Κάποιοι µπορεί να πουν ότι είναι αρκετό για ένα σπουδαστή να µάθει να χρησιµοποιεί υπάρχοντα συστήµατα, ή ακόµη και ένα δηµοφιλές σύστη- µα, επειδή ο σπουδαστής ως µηχανικός θα είναι χρήστης και όχι προγραµµατιστής τέτοιων συστηµάτων. Όµως, για να µπορεί να χρησιµοποιεί αποτελεσµατικά το υπάρχον λογισµικό και να δηµιουργεί λειτουργικές µακροεντολές ή προγράµµατα για την αυτοµατοποίηση του σχεδιασµού, ο χρήστης πρέπει να κατανοεί τόσο το περιβάλλον του υπολογιστή όσο και τις υποκείµενες αρχές του συστήµατος. Με αυτές τις θεµελιώδεις γνώσεις, ο σπουδαστής µπορεί να µάθει γρήγορα ένα συγκεκριµένο σύστηµα µέσα σε ένα δεδοµένο περιβάλλον, και να το χρησιµοποιεί αξιοποιώντας πλήρως τις δυνατότητές του. Εκτός από αυτό, τα εγχειρίδια και η τεκµηρίωση που συνοδεύουν τα συστήµατα CAD/CAM/CAE συνήθως επικεντρώνονται στη διασύνδεση µε το χρήστη και τη σύνταξη των εντολών της, υποθέτοντας ότι ο χρήστης έχει ένα καλό θεωρητικό υπόβαθρο. Έ- νας χρήστης χωρίς το υπόβαθρο αυτό θα δυσκολευτεί να κατανοήσει την ορολογία της

8 ΠΡΟΛΟΓΟΣ τεκµηρίωσης του συστήµατος αλλά και να αντιµετωπίσει µε επιτυχία τα σφάλµατα του συστήµατος. Το βιβλίο αυτό αφορά κυρίως συστήµατα CAD/CAM/CAE των µηχανικών. Τα θέ- µατα όµως σχετικά µε τα γραφικά υπολογιστών µπορεί να παρουσιάζουν ενδιαφέρον και για πολλούς άλλους τεχνικούς τοµείς. Το βιβλίο προορίζεται για προπτυχιακούς και µεταπτυχιακούς σπουδαστές. Από τους σπουδαστές απαιτείται να έχουν κάποιο υπόβαθρο µόνο στον προγραµµατισµό, την άλγεβρα, και την άλγεβρα µητρώων και διανυσµάτων, χωρίς προηγούµενες γνώσεις στα συστήµατα CAD/CAM/CAE. Γι' αυτό, οι πολύπλοκοι µαθηµατικοί όροι και επεξηγήσεις έχουν διατηρηθεί στο ελάχιστο δυνατόν. Αντί γι' αυτό, επεξηγούµε τα σχετικά θέµατα όσο πιο απλά γίνεται. Επίσης, αν επιλέξετε τα κεφάλαια µε τον τρόπο που σας εξηγούµε πιο κάτω, µπορείτε να χρησιµοποιήσετε το βιβλίο και ως εκπαιδευτικό εγχειρίδιο για σπουδαστές και ως αναφορά για µηχανικούς που χρειάζονται µια γενική µατιά στα συστήµατα CAD/CAM/CAE. Όταν έγραφα το βιβλίο, στόχος µου ήταν να σας εξηγήσω τις θεµελιώδεις έννοιες µε τον κατάλληλο αριθµό εικόνων και παραδειγµάτων χωρίς υπερβολικά πολλές λεπτοµέρειες. Έχουν πέσει στην αντίληψή µου διάφορα βιβλία που χάνουν το δάσος επειδή α- σχολούνται πάρα πολύ µε τα δένδρα. Αυτή η εµµονή στις λεπτοµέρειες κάνει ένα βιβλίο τόσο παχύ που τροµάζει τους σπουδαστές αρκετά ώστε να µην το χρησιµοποιούν αποτελεσµατικά. Για τις λεπτοµέρειες, συνιστώ στους σπουδαστές µου να ανατρέξουν στη Βιβλιογραφία στο τέλος του βιβλίου. Τις πηγές που παραθέτω στη βιβλιογραφία τις διάλεξα επίσης µε τα ίδια κριτήρια. Προσπάθησα να συστήσω µόνο τις πηγές που αφορούν άµεσα κάθε συγκεκριµένο θέµα, ώστε να διατηρήσω τον αριθµό των πηγών στο ελάχιστο δυνατόν. Κάποια βιβλία παραθέτουν τόσο πολλές πηγές βιβλιογραφίας, ώστε οι σπουδαστές τροµοκρατούνται στη θέα τους. Στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζεται ο ρόλος των συστηµάτων CAD/CAM/CAE µέσα στον κύκλο του προϊόντος. Επίσης, το κεφάλαιο δίνει τον ορισµό των συστηµάτων CAD/CAM/CAE και δείχνει τη χρήση τους µε µελέτες περιπτώσεων στις οποίες τα συστήµατα αυτά χρησιµοποιούνται στη διαδικασία της σχεδίασης και της παραγωγής. Οι µελέτες περιπτώσεων αποσαφηνίζουν τον τρόπο που οι αρχές οι οποίες αναλύονται στα επόµενα κεφάλαια συµβάλλουν σε µια νέα δραστηριότητα σχεδίασης και παραγωγής µε τη βοήθεια συστηµάτων CAD/CAM/CAE. Στο Κεφάλαιο 2 εξετάζονται τα διαθέσιµα συστατικά υλικού και λογισµικού που απαρτίζουν τα σηµερινά συστήµατα CAD/CAM/CAE. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να ενηµερώνει το κεφάλαιο αυτό µε οποιοδήποτε νέο υλικό και λογισµικό εµφανίζεται στην αγορά. Το κεφάλαιο αυτό πρέπει να δίνεται µάλλον ως άσκηση µελέτης παρά να καλύπτεται σε βάθος. Το Κεφάλαιο 3 παρουσιάζει όλες τις έννοιες που απαιτούνται για προγραµµατισµό σε περιβάλλον γραφικών για οποιαδήποτε βιβλιοθήκη γραφικών, χωρίς να περιορίζεται σε συγκεκριµένη βιβλιοθήκη. Πάντως, στα δείγµατα προγραµµάτων γραφικών χρησιµοποιήθηκε η βιβλιοθήκη γραφικών που ονοµάζεται OpenGL, επειδή συνήθως είναι το ντεφάκτο πρότυπο βιβλιοθήκης που λειτουργεί και σε σταθµούς εργασίας και σε προσω-

ΠΡΟΛΟΓΟΣ 9 πικούς υπολογιστές. Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί ένα καλό εισαγωγικό υλικό για όποιον ενδιαφέρεται γενικά για τα γραφικά των υπολογιστών. Το Κεφάλαιο 4 καλύπτει τις βασικές λειτουργίες που παρέχουν τα περισσότερα συστήµατα σχεδίασης µε τη βοήθεια υπολογιστή. Παρόµοια µε το Κεφάλαιο 3, περιγράφει τις γενικές έννοιες και λειτουργίες που παρέχουν τα περισσότερα συστήµατα σχεδίασης µε τη βοήθεια υπολογιστή για την τεκ- µηρίωση του προϊόντος. Τα παραδείγµατα εντολών όµως που χρησιµοποιούνται στο κεφάλαιο αυτό είναι από το AutoCAD επειδή αυτό είναι σήµερα το πιο δηµοφιλές σύστηµα σχεδίασης. Ο τρόπος χρήσης ενός συγκεκριµένου συστήµατος µπορεί να αποτελέσει το θέµα µιας εργαστηριακής άσκησης που θα συµπληρώσει τη διδασκαλία. Το Κεφάλαιο 5 εξηγεί τις βάσεις των συστηµάτων γεωµετρικών µοντέλων. Κάνει επίσης µια εισαγωγή σε ένα σύστηµα µη πολλαπλής µοντελοποίησης (nonmanifold modeling system), έναν αναδυόµενο τοµέα στη γεωµετρική µοντελοποίηση. Κάποια θέµατα που είναι πολύ προχωρηµένα για σπουδαστές παρουσιάζονται στα παραρτήµατα, για τους επαγγελµατίες. Όσοι τους ενδιαφέρει µόνον η χρήση των συστηµάτων γεωµετρικών µοντέλων µπορούν να αγνοήσουν τα θέµατα αυτά. Τα Κεφάλαια 6 και 7 καλύπτουν την αναπαράσταση και το χειρισµό καµπυλών και επιφανειών. Τα θέµατα αυτά παρέχουν τις µαθηµατικές βάσεις για τα συστήµατα γεωµετρικών µοντέλων αλλά και για τα συστήµατα σχεδίασης µε τη βοήθεια υπολογιστή. Προσπάθησα να κρατήσω στο ελάχιστο τους τύπους καµπυλών και επιφανειών, αλλά ταυτόχρονα να επαρκούν για τις περισσότερες εφαρµογές. Για να µην µπερδευτούν οι σπουδαστές, µετέφερα τις πολύπλοκες µαθηµατικές παραγωγίσεις, από το σώµα του βιβλίου, στα παραρτήµατα. Επίσης, προσπάθησα να εξηγήσω τις µαθηµατικές έννοιες µε απλό τρόπο, κατάλληλο για µηχανικούς και όχι για µαθηµατικούς. Το Κεφάλαιο 8 αποτελεί µια εισαγωγή στα συστήµατα CAE. Εξηγεί τον τρόπο παραγωγής του προγράµµατος ανάλυσης πεπερασµένων στοιχείων και τον τρόπο που απαιτεί το πρόγραµµα ανάλυσης να του δίνει τις απαραίτητες πληροφορίες το γεωµετρικό µοντέλο το οποίο δηµιουργούν τα συστήµατα CAD. Έτσι, το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις διάφορες µεθόδους αυτόµατης παραγωγής πεπερασµένων στοιχείων. Στο Κεφάλαιο 9 καλύπτονται οι διάφορες τεχνικές βελτιστοποίησης. Οι αναδυόµενες τεχνικές βελτιστοποίησης όπως ο αλγόριθµος προσοµοίωσης ανόπτησης (simulated annealing algorithm) και ο γενετικός αλγόριθµος (genetic algorithm) περιγράφονται αναλυτικά. Ένα παράδειγµα συνδυασµού της ανάλυσης πεπερασµένων στοιχείων και της βελτιστοποίησης είναι µια σχετικά καινούργια έννοια που ονοµάζεται δοµική βελτιστοποίηση (structural optimization). Η µέθοδος της δοµικής βελτιστοποίησης µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την αρχική εννοιολογική σχεδίαση ενός εξαρτήµατος, ώστε να εξασφαλιστεί ότι αυτό θα έχει την επιθυµητή ικανότητα παραλαβής φορτίου. Το Κεφάλαιο 10 παρουσιάζει διάφορες µεθόδους σχεδιασµού διεργασιών και είδη λογισµικού που αποτελούν κρίσιµα στοιχεία του συνδυασµού CAD/CAM. Επίσης, εισάγει την έννοια της οµαδικής τεχνολογίας (group technology), η οποία δίνει τη δυνατότητα κωδικοποίησης των εξαρτηµάτων και είναι προαπαιτούµενο για τον αυτοµατοποιηµένο

10 ΠΡΟΛΟΓΟΣ σχεδιασµό διεργασιών (automated process planning). Το Κεφάλαιο 11 περιγράφει τον τρόπο προγραµµατισµού των µηχανών NC µετά από τον ορισµό του σχήµατος ενός ε- ξαρτήµατος µέσω ενός συστήµατος CAD και τον προσδιορισµό της διαδικασίας που θα εφαρµοστεί. Το Κεφάλαιο 12 κάνει µια εισαγωγή στην αναδυόµενη τεχνολογία βιοµηχανικής παραγωγής που έχει το όνοµα ταχεία κατασκευή πρωτοτύπου (rapid prototyping) ως µίας από τις πλευρές του CAM. Αντίθετα µε την παραγωγή µέσω µηχανών NC, αυτή η τεχνολογία παράγει ένα εξάρτηµα απευθείας από το αντίστοιχο µοντέλο του συστήµατος CAD χωρίς να απαιτεί πολύπλοκο σχεδιασµό διεργασιών. Για την ακρίβεια, η συγκεκρι- µένη τεχνολογία συνδυάζει για πρώτη φορά πλήρως αυτοµατοποιηµένα συστήµατα CAD/CAM. Το Κεφάλαιο 13 παρουσιάζει άλλη µία αναδυόµενη τεχνολογία µε το όνοµα εικονική τεχνική µελέτη (virtual engineering) µε την προσέγγιση αυτή, συστήµατα γεω- µετρικών µοντέλων, γραφικά υπολογιστών, και συστήµατα CAE και CAM εφαρµόζονται όλα κατά τη διαδικασία ανάπτυξης του προϊόντος. Στο Κεφάλαιο 14 εξετάζονται διάφορα πρότυπα µορφών αρχείων που επιτρέπουν την επικοινωνία µεταξύ των διαφορετικών συστηµάτων. Τα πρότυπα αυτά είναι αναντικατάστατα για τη συνδυασµένη χρήση των συστηµάτων CAD/CAM/CAE. Κάθε κεφάλαιο του βιβλίο τελειώνει µε ένα σύνολο προβληµάτων ή και ασκήσεων προγραµµατισµού που έχουν γραφεί µε στόχο να βαθύνουν τη γνώση του σπουδαστή για το υλικό. Κάποιες ασκήσεις απαιτούν τη χρήση των συστηµάτων του ίδιου του σπουδαστή. Στις περιπτώσεις αυτές, τα εγχειρίδια των συστηµάτων αυτών µπορούν να χρησιµοποιηθούν ως συµπλήρωµα του βιβλίου. Όπως είπα και προηγουµένως, το βιβλίο αυτό µπορείτε να το χρησιµοποιήσετε και σε µαθήµατα σε προπτυχιακό επίπεδο. Στην περίπτωση αυτή, µπορείτε να παραλείψετε τα θέµατα των παραρτηµάτων επειδή παρουσιάζονται από τη σκοπιά του παραγωγού συστηµάτων. Αντί γι' αυτά, σας συνιστώ να δώσετε βάρος στα έργα που έχουν σχέση µε τις εφαρµογές των συστηµάτων CAD/CAM/CAE. Τα έργα αυτά περιλαµβάνουν τη δη- µιουργία ενός στερεού, τη δηµιουργία του αντίστοιχου σχεδίου, την αξιολόγηση του σχεδιασµού µε τη βοήθεια ανάλυσης πεπερασµένων στοιχείων, και την παραγωγή του αντίστοιχου πρωτοτύπου µέσω µιας φρέζας NC ή άλλων µηχανών ταχείας κατασκευής πρωτοτύπων, όπως µια µηχανής στερεολιθογραφίας. Αν το βιβλίο πρόκειται να χρησιµοποιηθεί σε προχωρηµένα µαθήµατα γεωµετρικής µοντελοποίησης για πτυχιακούς φοιτητές, µπορείτε να προτείνετε για µελέτη τα Κεφάλαια 1, 2, 4, και 14 και να ασχοληθείτε σε βάθος µε τα θέµατα που παρουσιάζονται στα παραρτήµατα. Χρωστώ ευγνωµοσύνη στους επιµελητές του βιβλίου για τα χρήσιµα σχόλια και τις συστάσεις τους που αναµφίβολα βελτίωσαν την ποιότητα του βιβλίου. Θέλω να εκφράσω την εκτίµησή µου στον καθηγητή David C. Gossard του Τεχνολογικού Ιδρύµατος της Μασαχουσέτης (Massachusetts Institute of Technology), ο οποίος µου έδωσε πολύτιµες συµβουλές στη φάση σχεδιασµού του βιβλίου αυτού. Επίσης, θέλω να ευχαριστήσω τον καθηγητή Kyung Ho Cho, τον καθηγητή Professor Young II Kim, τον καθηγητή Jongwon Kim, τον ρ. Woncheol Choi, τον ρ. Ha-Yong Shin, και τους κυρίους Suk Ju Kim

ΠΡΟΛΟΓΟΣ 11 και Mr. Jin Pyung Chung στους οποίους οφείλω το υλικό το σχετικό µε τη βελτιστοποίηση, την εικονική µηχανική, το σχεδιασµό διεργασιών, και τα πρότυπα αρχεία δεδοµένων. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω τους φοιτητές µου, ειδικά τους Junghoon Hur και Inhaeng Cho, που µε βοήθησαν να ετοιµάσω το κείµενο και τις εικόνες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Συστήµατα γεωµετρικής µοντελοποίησης Μπορούµε να θεωρήσουµε τη διαδικασία σχεδιασµού ως προσθήκη λεπτοµερειών σε ένα σχήµα καθώς η ιδέα του σχεδιαστή εξελίσσεται. Έτσι, το λογισµικό CAD ως σχεδιαστικό βοήθηµα είναι απλώς ένα εργαλείο που διευκολύνει αυτή τη διαδικασία της προσθήκης λεπτοµερειών. Όπως είπαµε στην Ενότητα 2.3, το τυπικό λογισµικό CAD µπορεί να χωριστεί σε δύο οµάδες. Η µια οµάδα περιέχει το σύστηµα παραγωγής σχεδίων µε τη βοήθεια υπολογιστή (computer-aided drafting system) που δίνει στο σχεδιαστή τη δυνατότητα να υλοποιήσει την ιδέα του σχεδιασµού χειριζόµενος το σχήµα σε δύο διαστάσεις, όπως περιγράψαµε στο Κεφάλαιο 4. Η άλλη είναι το σύστηµα γεωµετρικής µοντελοποίησης (geometric modeling system) µέσω του οποίου ο σχεδιαστής χειρίζεται σχήµατα στις τρεις διαστάσεις. Το επόµενο παράδειγµα δείχνει πώς µπορεί να χρησιµοποιηθεί ένα σύστηµα γεωµετρικής µοντελοποίησης στη διαδικασία σχεδίασης. Φαντασθείτε ένα παιδί που παίζει µε πλαστελίνη προσπαθώντας να φτιάξει ένα σχήµα. Το παιδί προχωρεί προς το τελικό σχή- µα παραµορφώνοντας και, µερικές φορές, προσθέτοντας ή κόβοντας κοµµάτια πλαστελίνης. Η διαδικασία αυτή µπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία σχεδίασης, επειδή περιλαµβάνει προσθήκη λεπτοµερειών σε ένα σχήµα καθώς εξελίσσεται η σχεδιαστική ιδέα. Στην πραγµατικότητα, το παιδί αφοσιώνεται τελείως στη διαδικασία σχεδίασης χωρίς να έχει γνώσεις τεχνικού σχεδίου ούτε καν µολύβι και χαρτί. Αν θέλει να δώσει το τελικό προϊόν σε άλλους, ας πούµε για κατασκευή πρωτοτύπου ή µαζική παραγωγή, µπορεί να τους δώσει απλώς το τελικό µοντέλο από το οποίο µπορούν να εξαχθούν όλες οι απαραίτητες πληροφορίες. Αυτή η φυσική χρήση της διαδικασίας σχεδίασης εγείρει κάποια ε- ρωτήµατα όπως: Είναι τα τεχνικά σχέδια απαραίτητα στη διαδικασία σχεδίασης; Υποστηρίζουν τα συστήµατα παραγωγής σχεδίων µε τη βοήθεια υπολογιστή µε φυσικό τρόπο τις δραστηριότητές µας στη διαδικασία σχεδίασης; Μπορούµε να δικαιολογήσουµε τη χρήση σχεδίων λέγοντας ότι η διαδικασία προσθήκης λεπτοµερειών µε χρήση ενός υλικού όπως

148 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ η πλαστελίνη δεν επιτρέπει την υλοποίηση ενός πολύπλοκου σχήµατος ικανοποιώντας παράλληλα αυστηρές απαιτήσεις µεγέθους ή διαστάσεων. Ακόµα, στις περισσότερες περιπτώσεις είναι πολύ δύσκολο να εξαγάγουµε τις απαραίτητες πληροφορίες από πραγµατικά µοντέλα, ώστε να προχωρήσουµε σε µια ακριβή αναπαραγωγή τους. Τα συστήµατα γεωµετρικής µοντελοποίησης εφευρέθηκαν για να ξεπεραστούν τα προβλήµατα που προκαλεί η χρήση φυσικών µοντέλων στη διαδικασία σχεδίασης. Τα συστήµατα αυτά παρέχουν ένα περιβάλλον παρόµοιο µε αυτό της δηµιουργίας και φυσικού χειρισµού του πραγµατικού µοντέλου. Με άλλα λόγια, χρησιµοποιώντας ένα σύστη- µα γεωµετρικής µοντελοποίησης, ο σχεδιαστής παραµορφώνει, προσθέτει, και κόβει κοµµάτια από το οπτικό µοντέλο κατά την προσθήκη λεπτοµερειών σε ένα σχήµα, ακριβώς όπως κάνει το παιδί µε το φυσικό µοντέλο της πλαστελίνης. Το οπτικό µοντέλο µπορεί να φαίνεται ίδιο µε το φυσικό, αλλά είναι άυλο. Πάντως, το τριδιάστατο µοντέλο συνοδεύεται από τη µαθηµατική του περιγραφή και, εποµένως, εξαλείφει την ανάγκη µετρήσεων για την κατασκευή πρωτοτύπου ή για µαζική παραγωγή, πράγµα που αποτελεί το κυριότερο µειονέκτηµα της χρήσης ενός φυσικού µοντέλου. Τα συστήµατα γεωµετρικής µοντελοποίησης διαιρούνται σε συστήµατα µοντελοποίησης δικτυώµατος (wireframe modeling systems), συστήµατα µοντελοποίησης επιφανείας (surface modeling systems), συστήµατα µοντελοποίησης στερεού (solid modeling systems), και συστήµατα µη πολλαπλής µοντελοποίησης (nonmanifold modeling systems), κατά σειρά της ιστορικής εξέλιξής τους. Στις επόµενες ενότητες θα αναπτύξουµε αυτές τις κατηγορίες ξεχωριστά. 5.1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ Τα συστήµατα µοντελοποίησης δικτυώµατος (wireframe modeling systems) αναπαριστούν ένα σχήµα µε τις χαρακτηριστικές του γραµµές και τα άκρα τους. Χρησιµοποιούν αυτές τις γραµµές και τα σηµεία για να εµφανίζουν τριδιάστατα σχήµατα και να επιτρέπουν το χειρισµό τους. Με άλλα λόγια, το οπτικό µοντέλο είναι απλώς ένα σχέδιο του σχήµατος µε τη µορφή δικτυώµατος, και η αντίστοιχη µαθηµατική περιγραφή είναι µια λίστα εξισώσεων καµπυλών, συντεταγµένων σηµείων, και πληροφοριών σύνδεσης των καµπυλών και των άκρων τους. Οι πληροφορίες σύνδεσης καθορίζουν ποια σηµεία είναι άκρα και σε ποιες καµπύλες, και ποιες καµπύλες συνδέονται µε άλλες και σε ποια σηµεία. Τα συστήµατα µοντελοποίησης δικτυώµατος ήταν δηµοφιλή όταν πρωτοπαρουσιάστηκαν τα γεωµετρικά µοντέλα. Η δηµοτικότητα αυτή οφείλονταν στο γεγονός ότι τα συστήµατα µοντελοποίησης δικτυώµατος απαιτούν απλή είσοδο από το χρήστη για να δηµιουργήσουν ένα σχήµα, και στο ότι είναι σχετικά εύκολο για τους χρήστες να αναπτύξουν τέτοια συστήµατα µόνοι τους. Όµως, ένα οπτικό µοντέλο αποτελούµενο µόνον από γραµµές µερικές φορές δεν είναι και τόσο σαφές, όπως φαίνεται στην Εικόνα 5.1. Ακόµα, η αντίστοιχη µαθηµατική περιγραφή δεν περιέχει πληροφορίες σχετικά µε τις εσωτερικές και τις εξωτερικές οριακές επιφάνειες του αντικειµένου που µοντελοποιείται. Χωρίς αυτές τις πληροφορίες, είναι αδύνατον να υπολογιστούν οι ιδιότητες µάζας του

5.2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ 149 Εικόνα 5.1 Ασαφή µοντέλα δικτυώµατος αντικειµένου, να οριστούν οι διαδροµές των εργαλειοµηχανών για τη µηχανική κατεργασία των επιφανειών του, ή να παραχθούν τα πεπερασµένα πλέγµατα για την ανάλυση πεπερασµένων στοιχείων, παρόλο που το σχήµα µοιάζει µε τριδιάστατο. Εποµένως, επειδή αυτές οι δυνατότητες είναι σηµαντικές στη διαδικασία σχεδίασης, τα συστήµατα µοντελοποίησης δικτυώµατος έχουν αντικατασταθεί από τα συστήµατα µοντελοποίησης επιφανείας και τα συστήµατα µοντελοποίησης στερεού. 5.2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Στα συστήµατα µοντελοποίησης επιφανείας (surface modeling systems), η µαθηµατική περιγραφή που αντιστοιχεί σε ένα οπτικό µοντέλο περιλαµβάνει και πληροφορίες επιφανειών εκτός από τις πληροφορίες των χαρακτηριστικών γραµµών και των άκρων τους που περιέχει η περιγραφή του δικτυώµατος. Έτσι, καθώς χειριζόµαστε το οπτικό µοντέλο στην οθόνη γραφικών, ενηµερώνεται µια λίστα εξισώσεων επιφανειών, µια λίστα εξισώσεων καµπυλών, και οι συντεταγµένες των άκρων των γραµµών. Το οπτικό µοντέλο σε ένα σύστηµα µοντελοποίησης επιφανείας µπορεί να φαίνεται ίδιο µε αυτό του µοντέλου δικτυώµατος όταν οι επιφάνειες δεν έχουν ούτε χρώµα ούτε σκίαση. Η µαθηµατική περιγραφή µπορεί να περιλαµβάνει τις πληροφορίες σχετικά µε τη σύνδεση των επιφανειών (δηλαδή, πληροφορίες για τον τρόπο σύνδεσης των επιφανειών και ποιες επιφάνειες συνδέονται µε ποιες άλλες µέσω ποιων καµπύλων, κ.ο.κ.). Αυτές οι πληροφορίες γειτνίασης είναι πολύ χρήσιµες σε µερικά προγράµµατα εφαρµογών. Για παράδειγµα, ένα πρόγραµµα που παράγει διαδροµές εργαλείων για µια µηχανή φρέζας NC µπορεί να χρησιµοποιήσει της πληροφορίες αυτές για να ελέγχει την ανεπιθύµητη κατεργασία της επιφάνειας που γειτνιάζει µε αυτή που υφίσταται κατεργασία. Όµως, η µαθηµατική περιγραφή του µοντέλου επιφανειών που παράγει ένα σύστηµα µοντελοποίησης επιφανείας τυπικά περιλάµβανε µόνο µια λίστα εξισώσεων επιφανείας (ή τα χαρακτηριστικά γνωρίσµατα που ορίζουν τις εξισώσεις επιφανείας) για επιφάνειες άπειρου µεγέθους χωρίς πληροφορίες σύνδεσης. Η θέση, η διεύθυνση του κεντρικού άξονα, και η ακτίνα µιας κυλινδρικής επιφάνειας είναι παραδείγµατα των χαρακτηριστικών γνωρισµάτων που ορίζουν µια εξίσωση κυλινδρικής επιφάνειας. Χωρίς πληροφορίες σύνδεσης ε- πιφανειών, το πρόγραµµα εφαρµογής (για παράδειγµα, ένα πρόγραµµα διαδροµής εργα-

150 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ λείου NC) πρέπει να βρει τα όρια των επιφανειών και τις πληροφορίες σύνδεσής τους. Λόγω αυτής της δυσκολίας, τα συστήµατα µοντελοποίησης επιφανείας που αναπτύσσονται τελευταία περιλαµβάνουν πληροφορίες σύνδεσης επιφανειών. Συνήθως, τρεις είναι οι µέθοδοι που χρησιµοποιούνται για τη δηµιουργία µιας επιφάνειας στα συστήµατα µοντελοποίησης επιφανείας: (1) η παρεµβολή των σηµείων που εισαγάγει ο χρήστης, (2) η παρεµβολή των καθορισµένων δικτύων καµπυλών, και (3) η µετακίνηση ή η περιστροφή µιας δεδοµένης καµπύλης. Η µέθοδος εισόδου για κάθε µία από αυτές τις µεθόδους δηµιουργίας επιφανειών εξαρτάται από το συγκεκριµένο σύστη- µα µοντελοποίησης επιφανείας. Πάντως, µπορείτε να καταλάβετε εύκολα τη βασική µέθοδο εισόδου ενός συστήµατος από τον τρόπο που αναπαραστά τις καµπύλες και τις επιφάνειες, όπως περιγράφουµε στα Κεφάλαια 6 και 7. Τα συστήµατα µοντελοποίησης επιφανείας χρησιµοποιούνται για τη δηµιουργία µοντέλων µε πολύπλοκες επιφάνειες κυρίως για δύο σκοπούς το οπτικό µοντέλο χρησι- µοποιείται για την αισθητική αξιολόγηση του µοντέλου, και η µαθηµατική περιγραφή για την παραγωγή των διαδροµών των εργαλείων NC για την κατεργασία των επιφανειών. Η Εικόνα 5.2 δείχνει την αξιολόγηση της εµφάνισης του αµαξώµατος ενός αυτοκινήτου που έχει µοντελοποιηθεί µε ένα σύστηµα µοντελοποίησης επιφανείας. Η Εικόνα 5.3 παρουσιάζει τον υπολογισµό και την επαλήθευση των διαδροµών εργαλείων NC που παράχθηκαν για ένα αντικείµενο δηµιουργηµένο µε ένα σύστηµα µοντελοποίησης επιφανείας. Εικόνα 5.2 Μοντελοποίηση αµαξώµατος αυτοκινήτου

5.3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΕΡΕΟΥ 151 Εικόνα 5.3 Υπολογισµός και επαλήθευση διαδροµών εργαλείων NC (Με την άδεια της OPEN MIND Software Technologies GmbH., HyperMILL ) 5.3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΕΡΕΟΥ Τα συστήµατα µοντελοποίησης στερεού (solid modeling systems) χρησιµοποιούνται για τη δηµιουργία του µοντέλου ενός σχήµατος µε κλειστό όγκο, που ονοµάζεται στερεό (solid). Αντίθετα µε τα συστήµατα µοντελοποίησης δικτυώµατος ή τα συστήµατα µοντελοποίησης επιφανείας, δεν επιτρέπεται ένα απλό σύνολο επιφανειών ή ένα απλό σύνολο χαρακτηριστικών γραµµών που δεν µπορεί να δώσει έναν κλειστό όγκο. Η µαθηµατική περιγραφή ενός σχήµατος δηµιουργηµένου µε ένα σύστηµα µοντελοποίησης στερεού περιέχει τόσο τις πληροφορίες που παρέχει ένα σύστηµα µοντελοποίησης επιφάνειας, όσο και πληροφορίες οι οποίες προσδιορίζουν κατά πόσο µια θέση βρίσκεται µέσα, έξω, ή επάνω στον κλειστό όγκο. Εποµένως, µπορούν να εξαχθούν οποιεσδήποτε πληροφορίες έχουν σχέση µε τον όγκο του στερεού και, εποµένως, να γραφούν προγράµµατα εφαρµογών που εκτελούν διάφορες εργασίες σε επίπεδο όγκου αντί σε επίπεδο επιφανείας. Για παράδειγµα, µπορεί να γραφεί ένα πρόγραµµα εφαρµογής που θα παράγει αυτό- µατα τα πεπερασµένα στοιχεία ενός τύπου στερεού από ένα στερεό µοντέλο. Ακόµη, µπορεί να γραφεί ένα πρόγραµµα παραγωγής διαδροµών εργαλείων NC, το οποίο θα παράγει αυτόµατα όλες τις διαδροµές των εργαλείων για την αφαίρεση µε µηχανική κατεργασία του όγκου από το υπό επεξεργασία υλικό. Αυτό µπορεί να γίνει χωρίς παραγωγή των διαδροµών των εργαλείων επιφάνεια προς επιφάνεια, που θα απαιτούσε είσοδο από το χρήστη για κάθε επιφάνεια. Οι δυνατότητες αυτές είναι υλοποιήσιµες όταν το µοντέλο δηµιουργείται ως πλήρες στερεό. Η δηµιουργία ενός µοντέλου ως πλήρους στερεού απαιτεί µεγάλο αριθµό δεδοµένων εισόδου, ανάλογο µε την ποσότητα των δεδοµένων που είναι αποθηκευµένα στη µαθηµατική περιγραφή. Αυτός είναι ένας από τους λόγους ανάπτυξης των συστηµάτων µη πολλαπλής µοντελοποίησης (nonmanifold modeling systems). Τα συστήµατα µη πολλαπλής µοντελοποίησης επιτρέπουν ένα µίγµα επιφανειών και στερεών. Τα συστήµατα αυτά θα τα αναλύσουµε στην Ενότητα 5.4.

152 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Αν ένα σύστηµα µοντελοποίησης στερεού απαιτεί απευθείας καταχώριση όλων των πληροφοριών της µαθηµατικής περιγραφής, οι χρήστες θα το θεωρήσουν εξαιρετικά πολύπλοκο και δεν πρόκειται να το χρησιµοποιήσουν. Έτσι, η διαδικασία προσθήκης λεπτοµερειών σε ένα σχήµα δε θα µοιάζει µε τη διαισθητική διαδικασία της φυσικής µοντελοποίησης, και το αποτέλεσµα θα είναι αντίθετο µε την πρόθεση των συστηµάτων γεωµετρικής µοντελοποίησης. Εποµένως, οι κατασκευαστές συστηµάτων µοντελοποίησης στερεού προσπαθούν να παρέχουν απλές και φυσικές λειτουργίες µοντελοποίησης ώστε οι χρήστες να µπορούν να χειρίζονται το σχήµα ενός στερεού όπως θα έκαναν και µε ένα φυσικό µοντέλο, χωρίς να χρειάζεται να ασχολούνται µε τις λεπτοµέρειες της µαθηµατικής περιγραφής. Οι λειτουργίες µοντελοποίησης όπως η δηµιουργία πρωτογενών στοιχείων (primitives), οι λογικές (Boolean) πράξεις, η ανύψωση (lifting), η σάρωση (sweeping), η ταλάντωση (swinging), και η στρογγύλευση (rounding) συνήθως απαιτούν απλή µόνον είσοδο από το χρήστη. Στη συνέχεια, µπορούν να αναλάβουν όλες τις διαχειριστικές εργασίες που χρειάζονται για την ενηµέρωση της µαθηµατικής περιγραφής. 5.3.1 Συναρτήσεις µοντελοποίησης Οι συναρτήσεις µοντελοποίησης που υποστηρίζουν τα περισσότερα συστήµατα µοντελοποίησης στερεού µπορούν γενικά να ταξινοµηθούν σε πέντε οµάδες. Η πρώτη οµάδα περιλαµβάνει τις συναρτήσεις µοντελοποίησης που χρησιµοποιούνται για τη δηµιουργία ενός απλού σχήµατος µέσω της χρήσης ενός στερεού, το οποίο είναι ένα από τα πρωτογενή στερεά που έχουν αποθηκευτεί στο πρόγραµµα εκ των προτέρων, και της προσαρ- µογής του µεγέθους του. Για το λόγο αυτόν, ονοµάζονται συναρτήσεις δηµιουργίας πρωτογενών (primitive creation functions). Σε αυτή την οµάδα ανήκουν επίσης οι συναρτήσεις προσθήκης ή αφαίρεσης τµηµάτων από ένα στερεό. Οι συναρτήσεις αυτές είναι συναρτήσεις λογικών πράξεων (Boolean operations). Οι συναρτήσεις µοντελοποίησης της πρώτης οµάδας δίνουν σε ένα σχεδιαστή τη δυνατότητα να δηµιουργήσει γρήγορα ένα µοντέλο σχήµατος που θα είναι πολύ κοντά στο τελικό σχήµα, όπως κάνει ένα παιδί όταν χρησιµοποιεί πλαστελίνη για να δηµιουργήσει ένα κατά προσέγγιση φυσικό µοντέλο. Η δεύτερη οµάδα αποτελείται από συναρτήσεις µοντελοποίησης που δηµιουργούν ένα στερεό µέσω της µετακίνησης µιας επιφάνειας. Έτσι, οι συναρτήσεις σάρωσης (sweeping) και επένδυσης (skinning) ανήκουν σε αυτή την οµάδα. Η συνάρτηση σάρωσης δηµιουργεί ένα στερεό µετακινώντας ή περιστρέφοντας µια προκαθορισµένη κλειστή επίπεδη περιοχή. Η συνάρτηση µοντελοποίησης που χρησιµοποιεί περιστροφή µιας επίπεδης περιοχής ονοµάζεται επίσης ταλάντωση (swinging). Για τον ορισµό της κλειστής επίπεδης περιοχής, ο χρήστης µπορεί να επιβάλει γεωµετρικούς περιορισµούς και να καταχωρίσει δεδοµένα διαστάσεων αντί να καθορίσει άµεσα το σχήµα. Εδώ, οι γεωµετρικοί περιορισµοί αφορούν τις σχέσεις µεταξύ στοιχείων του σχήµατος (για παράδειγµα, καθετότητα µεταξύ δύο γραµµών, συνθήκη εφαπτοµένης µεταξύ γειτονικών τόξων και ευθυγράµµων τµηµάτων, κ.ο.κ.). Στην περίπτωση αυτή, το σύστηµα παράγει το ακριβές σχή- µα που αντιστοιχεί στα δεδοµένα εισόδου. Έτσι, η αλλαγή των γεωµετρικών περιορισµών

5.3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΕΡΕΟΥ 153 και των δεδοµένων των διαστάσεων θα δώσει µια διαφορετική κλειστή επίπεδη περιοχή και διαφορετικό τελικό στερεό. Η προσέγγιση αυτή ονοµάζεται παραµετρική µοντελοποίηση (parametric modeling) επειδή παράγονται διαφορετικά στερεά όταν αλλάζουν οι παράµετροι. Οι παράµετροι µπορεί να είναι κάποιες σταθερές που αφορούν τους γεωµετρικούς περιορισµούς, και κάποιες τιµές διαστάσεων. Η συνάρτηση επένδυσης (skinning) παράγει ένα στερεό δηµιουργώντας την επιφάνεια επένδυσης που θα περιβάλει έναν ό- γκο, όταν δίνονται οι διατοµές του επιθυµητού στερεού. Οι συναρτήσεις της δεύτερης οµάδας επιτρέπουν σε ένα σχεδιαστή να ξεκινήσει τη µοντελοποίηση από ένα σχήµα πολύ κοντά στο τελικό, επειδή οι διατοµές και µόνο περιγράφουν µε ακρίβεια το τελικό στερεό. Η τρίτη οµάδα περιλαµβάνει τις συναρτήσεις µοντελοποίησης που χρησιµοποιούνται κυρίως για την τροποποίηση ενός υπάρχοντος σχήµατος. Οι συναρτήσεις στρογγύλευσης (rounding) ή ανάµιξης (blending) και ανύψωσης (lifting) είναι τυπικές στην οµάδα αυτή. Η τέταρτη οµάδα αποτελείται από συναρτήσεις µε τις οποίες µπορούµε να χειριστούµε απευθείας τις οντότητες χαµηλού επιπέδου ενός στερεού, όπως κορυφές, ακµές, και έ- δρες. Η χρήση των συναρτήσεων αυτών, που ονοµάζεται µοντελοποίηση ορίων (boundary modeling), είναι παρόµοια µε αυτή των συναρτήσεων που παρέχουν τα συστήµατα µοντελοποίησης επιφανείας. Στην τελευταία οµάδα περιέχονται οι συναρτήσεις µε τη βοήθεια των οποίων ένας σχεδιαστής µπορεί να δηµιουργήσει το µοντέλο ενός στερεού χρησιµοποιώντας γνωστά σχήµατα. Για παράδειγµα, ο σχεδιαστής µπορεί να χρησιµοποιήσει διαταγές όπως οι "δηµιούργησε µια οπή αυτού του µεγέθους σε αυτή τη θέση" και "δη- µιούργησε µια λοξότµηση αυτού του µεγέθους σε αυτή τη θέση". Η χρήση των συναρτήσεων αυτών ονοµάζεται µοντελοποίηση µε βάση γνωρίσµατα (feature-based modeling). Αρχίζει να αποκτά όλο και µεγαλύτερο ενδιαφέρον επειδή ένα µοντέλο δηµιουργηµένο µε τον τρόπο αυτόν περιέχει πληροφορίες γνωρισµάτων παραγωγής, χωρίς τις οποίες το πρόγραµµα διεργασιών του εξαρτήµατος δεν µπορεί να δηµιουργηθεί αυτόµατα. Σηµειώστε ότι ένα µοντέλο δηµιουργηµένο µε άλλες συναρτήσεις µοντελοποίησης περιέχει µόνο τις απλές γεωµετρικές πληροφορίες για τις έδρες, τις ακµές, τις κορυφές του, κ.λπ. Συναρτήσεις δηµιουργίας πρωτογενών (primitive creation functions) Οι συναρτήσεις αυτές παίρνουν ένα στερεό µε απλό σχήµα από τα πρωτογενή στερεά που είναι εκ των προτέρων αποθηκευµένα στο πρόγραµµα και δηµιουργούν ένα στερεό µε το ίδιο σχήµα αλλά µε µέγεθος που καθορίζει ο χρήστης. Στην Εικόνα 5.4 βλέπετε τα πρωτογενή στερεά που υποστηρίζουν τα περισσότερα συστήµατα µοντελοποίησης στερεού. Οι διαστάσεις που παρουσιάζονται µε γράµµατα είναι οι παράµετροι µεγέθους που πρέπει να καθορίσει ο χρήστης. Τα πρωτογενή στερεά αποθηκεύονται κατά διαδικασία καθώς δη- µιουργούνται, και οι τιµές των παραµέτρων µεταβιβάζονται ως ορίσµατα στην αντίστοιχη διαδικασία. Η δηµιουργία ενός πρωτογενούς στερεού περιγράφεται στο Παράρτηµα Γ.

154 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Εικόνα 5.4 Τα γενικά υποστηριζόµενα πρωτογενή στερεά Λογικές πράξεις (Boolean operations) Η δηµιουργία µοντέλου του επιθυµητού στερεού µε την απλή ανάγνωση ενός πρωτογενούς στερεού θα ήταν θαυµάσια. Εξαιτίας όµως των πολλών πιθανών εφαρµογών, δεν είναι δυνατή η εκ των προτέρων αποθήκευση όλων των πιθανών σχηµάτων. Αλλά ένας συνδυασµός πρωτογενών σχηµάτων µπορεί να αυξήσει δραµατικά το ρεπερτόριο των προς µοντελοποίηση σχηµάτων. Έχουν εφαρµοστεί οι λογικές πράξεις της θεωρίας συνόλων ως µέθοδος συνδυασµού πρωτογενών στη µοντελοποίηση στερεών. Με άλλα λόγια, κάθε πρωτογενές στερεό θεωρείται ως ένα σύνολο σηµείων, εκτελείται µια λογική πράξη σε σύνολα σηµείων, και το αποτέλεσµα είναι ένα στερεό αποτελούµενο από τα σηµεία που συµµετέχουν στο αποτέλεσµα αυτής της πράξης. Οι λογικές πράξεις που υποστηρίζουν τα περισσότερα συστήµατα µοντελοποίησης στερεού είναι η ένωση (union), η τοµή (intersection), και η διαφορά (difference), που φαίνονται στις Εικόνες 5.5, 5.6, και 5.7, αντίστοιχα. Για να εκτελεστούν οι λογικές

5.3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΕΡΕΟΥ 155 A B A B Εικόνα 5.5 Παράδειγµα πράξης ένωσης A A B B Εικόνα 5.6 Παράδειγµα πράξης τοµής A B A-B Εικόνα 5.7 Παράδειγµα πράξης διαφοράς πράξεις θα πρέπει πρώτα να οριστούν οι σχετικές θέσεις και προσανατολισµοί των δύο πρωτογενών. Επίσης, οι λογικές πράξεις µπορούν να εφαρµοστούν και σε δύο µη πρωτογενή στερεά, παρόλο που στις εικόνες παρουσιάζονται λογικές πράξεις µε πρωτογενή. Μια άλλη συνάρτηση µοντελοποίησης υλοποιείται µε τον ίδιο τρόπο όπως οι λογικές πράξεις: η τοµή ενός στερεού µε ένα επίπεδο ώστε το αποτέλεσµα να είναι ένα στερεό που περιέχει δύο τµήµατα. Μπορείτε να πάρετε το ίδιο αποτέλεσµα εφαρµόζοντας την πράξη της διαφοράς στο στερεό της τοµής και σε έναν κύβο που περιέχει το επίπεδο το- µής ως µία από τις έδρες του, οπότε θα µπορούσατε να υλοποιήσετε την πράξη της τοµής µε επίπεδο ως µια ειδική περίπτωση λογικής πράξης. Όταν χρησιµοποιείτε τις λογικές πράξεις, προσέξτε να αποφύγετε καταστάσεις που δε δίνουν ως αποτέλεσµα ένα έγκυρο στερεό. Η Εικόνα 5.8 δείχνει τι µπορεί να συµβεί όταν µια λογική πράξη δε δίνει ως αποτέλεσµα ένα στερεό. Μερικά συστήµατα µοντελοποίησης στερεού εµφανίζουν µια προειδοποίηση όταν αναµένεται µια τέτοια κατάσταση άλλα µπορεί απλώς να καταρρεύσουν. Τα συστήµατα µη πολλαπλής µοντελοποίησης επίσης µπορούν να χειριστούν αυτές τις ειδικές περιπτώσεις, επειδή υποστηρίζουν µια µορφή ανάµικτη µε δικτυώµατα, επιφάνειες, και στερεά.

156 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Σάρωση Η σάρωση (sweeping) είναι µια συνάρτηση µοντελοποίησης µε την οποία µια κλειστή επίπεδη περιοχή µετακινείται ή περιστρέφεται για να σχηµατίσει ένα στερεό. Όταν η επίπεδη περιοχή µετακινείται, η δραστηριότητα της µοντελοποίησης ονοµάζεται σάρωση µετακίνησης (translational sweeping) όταν η επίπεδη περιοχή περιστρέφεται, ονοµάζεται ταλάντωση (swinging), ή περιστροφική σάρωση (rotational sweeping). Αν το επίπεδο σχήµα που θα µετακινηθεί ή θα περιστραφεί δεν είναι κλειστό, το αποτέλεσµα της σάρωσης είναι µια επιφάνεια αντί για στερεό. Για την ακρίβεια, αυτή είναι η συνάρτηση σάρωσης που παρέχουν τα συστήµατα µοντελοποίησης επιφανείας. Οι Εικόνες 5.9 και 5.10 παρουσιάζουν τους δύο τύπους λειτουργιών σάρωσης, αντίστοιχα. Παρόλο που η Εικόνα 5.10 δείχνει µια περιστροφή 360 µοιρών, τα περισσότερα συστήµατα µοντελοποίησης στερεού επιτρέπουν και περιστροφή κατά γωνία µικρότερη από 360 µοίρες. Επένδυση Η επένδυση (skinning) είναι µια συνάρτηση µοντελοποίησης που χρησιµοποιείται για το σχηµατισµό ενός κλειστού όγκου ή ενός στερεού µέσω της δηµιουργίας µιας επιφάνειας επένδυσης επάνω από προκαθορισµένες επίπεδες διατοµές, όπως φαίνεται στην Εικόνα 5.11 της σελίδας 158. Αυτό είναι ανάλογο µε τη δηµιουργία µιας κατασκευής µέσω της κάλυψης των πλαισίων που αποτελούν τα όρια των διατοµών της, µε µια επιφάνεια επένδυσης από ύφασµα ή πλαστικό. Αν στην επιφάνεια της επένδυσης δεν προστεθούν οι δύο ακραίες έδρες που αντιστοιχούν στις δύο ακραίες διατοµές, το µοντέλο που θα προκύψει θα είναι επιφάνεια και όχι στερεό. Αυτή είναι η συνάρτηση επένδυσης που παρέχουν τα περισσότερα συστήµατα µοντελοποίησης επιφανείας. Στρογγύλευση (ή ανάµιξη) Η στρογγύλευση (rounding) ή ανάµιξη (blending) είναι µια συνάρτηση που χρησιµοποιείται για την τροποποίηση ενός υπάρχοντος µοντέλου ώστε µια οξεία ακµή ή κορυφή να αντικατασταθεί από µια λεία καµπύλη επιφάνεια της οποίας τα κάθετα διανύσµατα είναι συνεχή µε αυτά των επιφανειών που συναντώνται στην αρχικά οξεία ακµή ή κορυφή. Στην Εικόνα 5.12(α) της σελίδας 158 βλέπετε την αντικατάσταση µιας οξείας ευθείας ακµής µε µια κυλινδρική επιφάνεια. Τα κάθετα διανύσµατα της κυλινδρικής επιφάνειας είναι συνεχή µε αυτά των γειτονικών επιπέδων επιφανειών στο κοινό τους όριο. Η Εικόνα 5.13 δείχνει την αντικατάσταση µιας οξείας κορυφής µε µια σφαιρική επιφάνεια. Και πάλι, τα κάθετα διανύσµατα είναι συνεχή στο κοινό όριο. Μια ειδική περίπτωση παρουσιάζεται όταν το στρογγύλευµα επιτυγχάνεται µε την προσθήκη υλικού αντί για την αφαίρεση, όπως φαίνεται στην Εικόνα 5.12(β) της σελίδας 158.

5.3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΕΡΕΟΥ 157 A A B B Εικόνα 5.8 Παράδειγµα µιας λογικής πράξης που πρέπει να αποφεύγεται Εικόνα 5.9 Παράδειγµα σάρωσης µετακίνησης Εικόνα 5.10 Παράδειγµα περιστροφικής σάρωσης

158 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Ôñï éü ÄéáôïìÞ 1 ÄéáôïìÞ 2 ÄéáôïìÞ 3 Εικόνα 5.11 Παράδειγµα δηµιουργίας στερεού µε επένδυση (á) (â) Εικόνα 5.12 Παραδείγµατα στρογγύλευσης ακµών Εικόνα 5.13 Παράδειγµα στρογγύλευσης κορυφής Ανύψωση Η ανύψωση (lifting) είναι µια συνάρτηση που χρησιµοποιείται για τον ελκυσµό ενός τµήµατος ή µια ολόκληρης έδρας ενός στερεού σε µια συγκεκριµένη διεύθυνση, µε αποτέλεσµα την αντίστοιχη επιµήκυνση του στερεού. Η Εικόνα 5.14(α) δείχνει τη λειτουργία της ανύψωσης. Αν η λειτουργία εφαρµοστεί µόνο σε ένα τµήµα έδρας, όπως φαίνεται στην Εικόνα 5.14(β), η διαίρεση της έδρας πρέπει να γίνει εκ των προτέρων. Για το σκοπό αυτόν, µπορείτε απλώς να προσθέσετε µια ακµή διαίρεσης. Όµως, πρέπει να εκτελεστούν εσωτερικά και άλλες εργασίες για να υλοποιηθεί η διαίρεση της έδρας. Μια τυπική εργασία είναι η ενηµέρωση των συνδέσεων της έδρας. Τις εργασίες αυτές χειρίζονται εσωτερικά οι τελεστές του Euler που θα εξηγήσουµε στην Ενότητα 5.3.3. Όταν χρησιµοποιείτε τη συνάρτηση ανύψωσης, πρέπει να καθορίζετε κατάλληλα την κατεύθυνση ή την απόσταση της ανύψωσης ώστε να µην υπάρξουν παρεµβολές µεταξύ

5.3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΕΡΕΟΥ 159 του επεκτεταµένου τµήµατος και του αρχικού στερεού, όπως δείχνει η Εικόνα 5.15. Αυτό µπορεί να µην είναι πρόβληµα αν η συνάρτηση ανύψωσης υλοποιηθεί µε τρόπο που να δίνει το ίδιο αποτέλεσµα σε περίπτωση αυτο-παρεµβολής, µε αυτό που θα έδινε η ένωση του επεκτεταµένου τµήµατος και του αρχικού στερεού. Πάντως, η συνάρτηση ανύψωσης αναπτύχθηκε καταρχήν για την εφαρµογή τοπικών τροποποιήσεων µικρής σηµασίας και, έτσι, η ειδική περίπτωση που παρουσιάζεται στην Εικόνα 5.15 θα έχει ως αποτέλεσµα ένα µη έγκυρο στερεό. Μοντελοποίηση ορίων Οι συναρτήσεις µοντελοποίησης ορίων (boundary modeling) χρησιµοποιούνται για την προσθήκη, τη διαγραφή, ή την τροποποίηση των χαµηλότερου επιπέδου οντοτήτων ενός στερεού, όπως οι κορυφές, οι ακµές, και οι έδρες, ώστε να µπορούµε να το χειριστούµε απευθείας. Έτσι, η διαδικασία που χρησιµοποιεί συναρτήσεις µοντελοποίησης ορίων είναι η ίδια όπως αυτή στα συστήµατα µοντελοποίησης επιφανείας. Με άλλα λόγια, δηµιουργούνται σηµεία, στη συνέχεια δηµιουργούνται ακµές µέσω της σύνδεσης των σηµείων, και τέλος ορίζονται επιφάνειες από τις ακµές των ορίων. Πάντως, στα συστήµατα µοντελοποίησης στερεού, αντίθετα µε τα συστήµατα µοντελοποίησης επιφανείας, πρέπει να ορίσετε όλες τις επιφάνειες µέχρι να σχηµατιστεί ένας κλειστός όγκος. Η Εικόνα 5.16 δείχνει τη µοντελοποίηση µιας σφήνας µε τις συναρτήσεις µοντελοποίησης ορίων. Η διαδικασία περιλαµβάνει τη δηµιουργία σηµείων, ακµών, και επιφανειών. (á) (â) Εικόνα 5.14 Παραδείγµατα λειτουργίας ανύψωσης Εικόνα 5.15 Αυτό-παρεµβολή προκαλούµενη από ανύψωση