ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ

Transcript

1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Σηµειώσεις µαθήµατος ηµήτρης Βαλουγεώργης Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χηµικών ιεργασιών Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Βόλος, Οκτώβριος 2005

2 Πρόλογος Το µάθηµα των Υπολογιστικών Μεθόδων εισήχθη στα πλαίσια της δεύτερης αναµόρφωσης του Προγράµµατος Σπουδών και συγκεκριµένα την ακαδηµαϊκή χρονιά ιδάσκεται στο 5ο εξάµηνο και οι φοιτητές που το παρακολουθούν θα πρέπει να έχουν ολοκληρώσει µε επιτυχία τα µαθήµατα των Συνήθων και Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων, του Προγραµµατισµού, της Αριθµητικής Ανάλυσης και να έχουν αποκτήσει βασικές γνώσεις στην Μηχανική των Ρευστών και Στερεών. Στόχος του µαθήµατος είναι να ενισχύσει την θεωρητική και εφαρµοσµένη γνώση του φοιτητή στην υπολογιστική επίλυση µηχανολογικών προβληµάτων. Το µάθηµα εντάσσεται στη γενικότερη προσπάθεια που γίνεται στο ΤΜΜΒ ώστε να αναβαθµιστούν οι ικανότητες των φοιτητών του τµήµατος στις νέες τεχνολογίες, στη πληροφορική και στην ανάπτυξη και εφαρµογή τεχνικού λογισµικού. Η ύλη του µαθήµατος περιλαµβάνει την αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων (Σ Ε) που περιγράφουν προβλήµατα αρχικών τιµών, την ταξινόµηση των µερικών διαφορικών εξισώσεων (Μ Ε), την αριθµητική επίλυση συνήθων και µερικών διαφορικών εξισώσεων µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών και τέλος µία εισαγωγή στη µέθοδο των πεπερασµένων όγκων. Συγκεκριµένα στο 1 ο Κεφάλαιο αναπτύσσονται οι µέθοδοι αριθµητικής ολοκλήρωσεης Σ Ε και συστηµάτων Σ Ε και διατυπώνονται οι συνθήκες σύγκλισης και ευστάθειας των µεθόδων ολοκλήρωσης. Στο 2 ο Κεφάλαιο παρουσιάζεται η αριθµητική παραγώγιση και µία εισαγωγή στη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών µε πιλοτικές εφαρµογές σε προβλήµατα οριακών τιµών που περιγράφονται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Στη συνέχεια στο 3 ο Κεφάλαιο γίνεται η µαθηµατική ταξινόµηση των µερικών διαφορικών εξισώσεων 2 ου βαθµού και εξηγείται η φυσική της σηµασία. Στα Κεφάλαια 4 και 5 η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών αναπτύσσεται µε λεπτοµέρεια και εφαρµόζεται σε 2

3 µεγάλο εύρος ελλειπτικών και παραβολικών προβληµάτων αντίστοιχα. ίδεται έµφαση στις έννοιες της ευστάθειας, της συνοχής και της σύγκλισης του αριθµητικού σχήµατος και στα προβλήµατα που εµφανίζονται από την διακριτοποίηση των συνεχών διαφορικών εξισώσεων. Στο 6 ο Κεφάλαιο διατυπώνεται η βασική µεθοδολογία των πεπερασµένων όγκων, επιλύεται µία σειρά απλών προβληµάτων και κυρίως περιγράφονται οι απαραίτητες προϋποθέσεις ώστε να υπάρχει αντιστοιχία ανάµεσα στις µεθόδους των πεπερασµένων διαφορών και όγκων. Επίσης περιγράφεται ο φαινοµενολογικός χαρακτήρας της ευστάθειας στις εξισώσεις πεπερασµένων όγκων. Τέλος στο 7 ο Κεφάλαιο εφαρµόζεται η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών στις εξισώσεις κύµατος 1 ης και 2 ης τάξης και γενικότερα σε προβλήµατα υπερβολικού χαρακτήρα. Στη συνέχεια των σπουδών τους οι φοιτητές του ΤΜΜΒ έχουν την δυνατότητα να παρακολουθήσουν τα µαθήµατα των Πεπερασµένων Στοιχείων και των Υπολογιστικών Μεθόδων στην Ενεργειακή Περιοχή του 6 ου και 7 ου εξαµήνου αντίστοιχα, και να ολοκληρώσουν ένα βασικό κύκλο µαθηµάτων στην Υπολογιστική Μηχανική. Βόλος, Οκτώβριος

4 Περιεχόµενα 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων (Σ Ε) και συστηµάτων προβλήµατα αρχικών τιµών (8 ώρες) 1.1 Εισαγωγή 1.2 Μέθοδος Euler 1.3 Μέθοδοι Runge-Kutta 1.4 Αριθµητική επίλυση συστηµάτων διαφορικών εξισώσεων 1.5 Ευστάθεια και σφάλµατα µεθόδων Euler και Runge-Kuttta 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών σε Σ Ε (6 ώρες) 2.1 Εισαγωγή 2.2 Εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυώνυµα παρεµβολής 2.3 Προβλήµατα δύο οριακών τιµών 2.4 Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών 2.5 Οριακές συνθήκες µε παραγώγους 3. Ταξινόµηση µερικών διαφορικών εξισώσεων 2 ης τάξης (4 ώρες) 3.1 Εισαγωγή 3.2 Ταξινόµηση Μ Ε. 2 ης τάξης µε δυο ανεξάρτητες µεταβλητές 3.3 Ταξινόµηση Μ Ε. 2 ης τάξης µε περισσότερες από δυο ανεξάρτητες µεταβλητές 3.4 Οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet, Neumann και Robin 3.5 Σωστά τοποθετηµένα προβλήµατα 3.6 Φυσική σηµασία ταξινόµησης Μ Ε 4. Επίλυση ελλειπτικών µερικών διαφορικών εξισώσεων µε 4.1 Εισαγωγή (Εξισώσεις Laplace, Poisson, Helmholtz, ιαρµονική) 4.2 Εξισώσεις πέντε και εννέα σηµείων 4.3 Επίλυση συστηµάτων 4.4 Μέθοδος ADI 4.5 Οριακές συνθήκες µικτού τύπου και ακανόνιστα όρια 4.6 Κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγµένες 4

5 5. Επίλυση παραβολικών µερικών διαφορικών εξισώσεων µε 5.1 Εισαγωγή θερµότητας ή διάχυσης 5.2 ιακριτοποίηση του πεδίου ορισµού 5.3 Ρητό σχήµα 5.4 Πεπλεγµένο σχήµα 5.5 Πεπλεγµένο σχήµα Crank-Nicolson 5.6 Ευστάθεια 5.7 Συνοχή 5.8 Σύγκλιση 5.9 Εξίσωση θερµότητας ή διάχυσης σε δύο διαστάσεις 5.10 Ανάλυση ευστάθειας σε δύο διαστάσεις 5.11 Εφαρµογή της µεθόδου ADI σε παραβολικές εξισώσεις 5.12 Αντιστοιχία παραβολικών και ελλειπτικών σχηµάτων 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων (12 ώρες) 6.1 Εισαγωγή 6.2 Ολοκλήρωση σε όγκο αναφοράς 6.3 Οριακές συνθήκες 6.4 Χρονικά µεταβαλλόµενα προβλήµατα 6.5 Ολοκλήρωση σε δισδιάστατο και τρισδιάστατο όγκο αναφοράς 6.6 Κυλινδρικές συντεταγµένες 6.7 Επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών προβληµάτων 6.8 Σύγκριση µεταξύ των µεθόδων πεπερασµένων διαφορών και όγκων 7. Επίλυση υπερβολικών µερικών διαφορικών εξισώσεων µε 7.1 Εξισώσεις κύµατος 1 ης και 2 ης τάξης 7.2 Πρόδροµη στο χρόνο ανάδροµη στο χώρο 7.3 Σύγκριση αριθµητικής και αναλυτικής λύσης 7.4 Ρητά σχήµατα Lax-Wendroff και McCormack 7.5 Πεπλεγµένα σχήµατα Euler και Τραπεζίου 7.6 Αριθµητική επίλυση εξίσωσης κύµατος 2 ης τάξης Παράρτηµα 1. Αναλυτικές λύσεις µερικών διαφορικών εξισώσεων 5