ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι: 4 4. Αν x, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: x x. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 8 8 8, 7 48 4. 4. Να υπολογίσετε τα αναπτύγματα: i. x ii. α β iii. x vi. α β vii. xy iv. αβ β viii. α β v.x x 5. Να συμπληρώσετε τα κενά έτσι ώστε να ισχύουν οι παρακάτω ισότητες: i.... 6y ii. iii.... 6αβ. iv. 6. Να γίνουν οι πράξεις με την βοήθεια των σχετικών ταυτοτήτων:. 9β 5..... β α........ i. x x x x ii. x x x 55 x 7. Να αποδειχθούν οι σχέσεις: β) α β αβ α β x y x y 4xy α) 8. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: α) αβ αγ β) 6x x γ) ε) αx βx α αβ αγ δ) 6α β α β 4 4 στ) x y 6xy xy ζ) 5α β γ 5α β γ 0α β γ x η) xα β yβ α θ) 9. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: α β x y α x y α x x α) β) 4α βx y y x β α 5 6 γ) α x α β α x δ) 6y y 8 y 8 y 0. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: α) αx βx αy βy β) x xy x y γ) δ) α 5α 4α 0 ε) 4 x x x στ) x x x α α β αβ β. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: 6 4 α) 4 x β) 9θ 5 γ) 6κ 8λ δ) α 5 ε) α δ ζ) α β 4β η) α β α β θ) x y ι) 00 4 α β. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: α) x x β) α β 7αβ γ) x 4 ε) 5α 80 στ) αx αy βx βy ζ) x μ μ δ) 5 4 α α α x y 4 4

. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: α) 4x xy xy y β) γ) x 9 x 4x δ) x y 4y 9x ε) αβ α β 6α β 6αβ 6α β 4. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: α) x 0x 5 β) 9x 4 x γ) x x 0 δ) 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 4 x β) x x x 4 x x x x 6. Δίνονται οι αλγεβρικές παραστάσεις: x x 6x 5 x 4, 9x 45x α) Να τρέψετε σε γινόμενα τις παραστάσεις Α, Β. β) Να απλοποιήσετε το κλάσμα 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x 5x 6 0 β) x 7x 0 γ) 8. Να αποδείξετε ότι: α) x 9 6x x 4x 0 x 5x 4 γ) Να λύσετε την εξίσωση 5. δ) 9x x 4 0 ε) x x 0 β) 9. Αν χ > και y > 4, να αποδείξετε ότι: x 4y 5 x y x y 0. Να λύσετε τις ανισώσεις: α) x x x 5 β) x x x 5 4 4. Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του χ για τις οποίες ισχύει: 6 4x 9. Να λύσετε τα συστήματα: x 5y 9 α) x 4y β) x y 5 6x 9y γ) α β 6 4 5 α β 6. Αν η εξίσωση x αx β 0 έχει ρίζες ρ και ρ, να βρείτε τα α και β. 4. Να βρείτε μία λύση (x 0, y 0) του συστήματος x y 5 x 4y 0 τέτοια ώστε x0 y0. λx 6y 5. Να λύσετε το σύστημα 4x y 0. ζεύγος x, y, με δεδομένο ότι το σύστημα λx 4y 6 x y δέχεται σαν λύση το

Γεωμετρία 6. Σε δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ να δείξετε ότι: α) Οι διχοτόμοι ΑΚ και ΔΛ είναι ίσες β) Οι διάμεσοι ΒΜ και ΕΘ είναι ίσες. 7. Να δείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ορίζουν ισοσκελές τρίγωνο. 8. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και τα σημεία Δ, Ε της ευθείας ΒΓ που δεν ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ, τέτοια ώστε ΒΔ = ΓΕ. Αν και, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΖΗ είναι ισοσκελές. 9. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Αν ΒΔ, ΓΕ τα ύψη του τριγώνου, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. 0. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ και πάνω σε αυτή παίρνουμε τμήμα ΜΔ = ΑΜ. Ν αποδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΜΓΔ είναι ίσα β) ΑΒ = ΔΓ γ).. Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έστω Μ το μέσο της υποτείνουσας ΒΓ, από το οποίο έρνουμε κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ προς τις άλλες πλευρές. Να δειχθεί ότι ΜΔ=ΜΕ.. Να υπολογίσετε τα μήκη χ, y καθώς και τη γωνία ω του διπλανού σχήματος.. Να βρείτε τη γωνία χ όταν 0 χ 80 και: α) συνx συνx β) ημx 0 γ) Τριγωνομετρία εx 4. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ημx συνx, ταν x 0 ο ό. εx σ45 5. Αν η γωνία ω είναι αμβλεία και γνωρίζουμε ότι αριθμούς της γωνίας ω. 5 συνω, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς 6 6. Αν η γωνία ω είναι αμβλεία και γνωρίζουμε ότι 0ημω 5συνω εω. 4 εω, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 7. Να αποδείξετε ότι: 4 4 α) ημ x συν x συν x β) συν x ημ x ημ x συν x ημα συνα ημx συνx ημx συνx δ) συνα ημα ημα γ) Στέλιος Μιχαήλογλου

Λύσεις 4

. 4 4 x x x x και όταν x είναι x 0, x 0 και. Είναι A x x. 8 8 8 4 9 6 64 A 4 9 6 64 4 8 7 48 4 9 6 8 9 6 8 B 4 9 4 x x x 4x 4x 4. i. 4 4 α β α α β β α 4α β 4β ii. iii. 4 x x x 9x x 4 4 iv. α β α α β β α αβ β 4 9 v. 4 x x x x vi. vii. α β α α β α β β α 6α β αβ 8β xy xy xy xy xy x y x y 6 5 4 αβ β αβ αβ β αβ β β 8α β 6α β 54αβ 7β viii. 5. i. 4y 9 4y 6y ii. 5 9β 5 90β 8β iii. α β 9α 6αβ β α β α 4αβ 4β iv. 6. i. x x x x x 4x 4 x 9 4x 6 x ii. x x x 55 x 4x 4x 9x x 4 5 x 0 x 9 9 4x 4x 9x x 4 5 4x x 6x 8 7. α) x y x y x xy y x xy y = x xy y x xy y =4xy β) α β αβ α α β β 4α β α α β β α β 8. α) αβ αγ α β γ β) 6x x xx γ) α αβ αγ α α β γ δ) 6α β α β α β α β α x β x x α β στ) x y 6xy xy xy4x y ε) ζ) 5α β γ 5α β γ 0α 4 β 4 γ x 5α β γα βγ 4α β γ x η) xα β yβ α xα β yα β α βx y θ) αx x αx x x α 5

9. α) α βx y αx y x yα β α x yβ α β) 4α βx y y x β α β α x y x y β α x yβ α γ) α x α β α x α x α β α x α x α β 5 6 5 δ) 6y y 8 y 8 y y 8 y y y 8 6 y 8 y y 4 0. α) αx βx αy βy xα β yα β α βx y β) x xy x y xx y x y x yx γ) x x x x x x x x δ) α 5α 4α 0 αα 5 4α 5 α 5α 4 ε) x 4 x x x x x x x στ) α α β αβ β α α β β α β α βα β α βα βα β α β α β. α) 4 x x x β) 9θ 5 θ 5θ 5 δ) α 5 α 5α 5 γ) 6κ 8λ 4κ 9λ4κ 9λ ε) α 6 δ 4 α δ α δ ζ) α β 4β α β β α β β αα 4β η) α β α β α β α β α β α β β α 4αβ 00 0 0 ι) 4 α β α β α β θ) x y x y x y. α) x x xx x x x β) α β 7αβ αβ α 9β αβ α β α β μ μ μ μ γ) x x x x x x x δ) x 4 y 4 x y x y x yx yx y ε) 5α 4 80 5α 4 6 5α 4α 4 5α α α 4 ζ) αx αy βx βy αx y βx y α βx y α βx yx y 5 4 4 4 η) α α α α α α α α α α α α α α α α α α 4x xy. α) xy y β) x 4x y y 4x y x y 6

γ) x x x x x 9 x 4x x x x x x x δ) x y x y y x 4y 9x y xy x y x y x ε) αβ α β 6α β 6αβ 6α β αβ β α αβ 6 β α αβ x x x x y x y x x x β α β α β α β α β α 4. α) x 0x 5 x 5 x 5 x 5 β) 9x 4 x x x x γ) x x 0 x αx β x α βx αβ Είναι α β και αβ 0, άρα α και β 5, οπότε x x 0 x x 5 δ) x 5x 4 x x 4x 4 xx 4x x x 4 5. α) Πρέπει x 0 και x 0 x x x x x xx x x x x x x x x x x 4x 4x x δεκτή 4 4 x 4 x x 4 x β) x 4 x x x x x x x x x x xx x 0 x 0 και x 0 x και x 0 x x 4 x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x 4 x x x x 4x x 8 x 8 6x 6x 8 4 x δεκτή 6 6 6. α) x x 6x 5 x 4 x x x 5 x x A x x x 5 x x 4x 5 x 4x 5 β) A B 7. α) x 5x 6 0 5 5 5 46, x, x 7 9x 45x x 5x x 5x x 4x 5 x 4x 5 6x 6x B 6x 9 0x 6 6x 9 0x 6 4x 5 6x 4x 5 6x 5 B 0 4x 5 6x 0 x και x 4 6 x 5 5 x 80x 5 79x x 6x 79 γ) Αρχικά πρέπει

β) x 7x 0 x 7x 0 7 7 7 4, x, x 4 γ) x 4x 0 4 4, 4 4 4 4 x, 4 4 4 4 x δ) 9x x 4 0 4 49 4 0, x 9 ε) x x 0 4 0, οπότε η εξίσωση είναι αδύνατη x 9 6x x 9 6x 0 x 0 ισχύει 8. α) β) x y x y x y x xy y x y x xy y 0 x xy y 0 x y 0 ισχύει 9. x x 9 () και y 4 4y 6 () Από () +() x 4y 5 0. α) 0 0 0 0x 4x 5x 5 x x x 5 x x x 5 5 4 5 4 7 0x 0 8x 5x 5 x 5x 5 5 5x x x 7 x 9 x x x x x 4 4x 4 x 4x x 4 4 x 4x x x 4x x 0 5 αδύνατο β) x 6 4x 4x 6 4x 8 7. 6 4x 9 7 x 4x 9 9 4x 4x 7 x 4 4 x 0 9 5y 9 x x 5y 9 5y 9 x 5y 9 x. α) 8 x 4y 5y 9 4y 5y 7 4y 9y 7 8 y 9 x y 5 6x 9y 5 β) 0 αδύνατο 6x 9y 6x 9y γ) Θέτουμε x και y, τότε το σύστημα γίνεται α β x y x 6y 6 6 y y β 6 5 5 6 6 β 6 x 4y x 4y 6 6 4 5 5 4 9 Από την x x x x α 6 6 6 6 6 α 8

. Επειδή η εξίσωση x αχ β 0 έχει ρίζες τα ρ και ρ, ισχύει ότι: α β 0 α β 4 α β 4 α α και από α β α β 0 α β β β x y 5 x 4y 0 4. x 4y 0 χ 5 y x 4y 0 x 4y 0 ότι: x0 5 y0. Όμως x0 y0, άρα 5 y y 5 6y y 7y 4 y 0 0 0 0 0 0 και x0 5 και αού το (x 0, y 0) είναι λύση, ισχύει 5. Επειδή το σύστημα λx 4y 6 x y λ 4 6 6λ 4 6 λ. Τότε ισχύει x 6y x 6y 6x x 4x y 0 6 4x 6y 0 6. α) Τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΔΕΛ έχουν: ) ΑΒ = ΔΕ ) B και ) A μισά των ίσων γωνιών Α και Δ. Με βάση το κριτήριο ΓΠΓ τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε έχουν και ΑΚ = ΔΛ. β) Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΔΕΘ έχουν: ) ΑΒ = ΔΕ ) A και ) ΑΜ = ΔΘ μισά των ίσων πλευρών ΑΓ και ΔΖ. Με βάση το κριτήριο ΠΓΠ τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε έχουν και ΒΜ = ΕΘ δέχεται σαν λύση το ζεύγος x, y,, είναι: και από την () y. 7. Έδτω Δ, Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα, ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΖΕΓ έχουν: ) ΒΕ = ΕΓ γιατί το Ε είναι μέσο του ΒΓ ) ΒΔ = ΓΖ μισά των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ και ) B βρίσκονται στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου Με βάση το κριτήριο ΠΓΠ τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε έχουν και ΔΕ = ΕΖ, οπότε το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισοσκελές. 8. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΔΒΖ και ΕΓΗ έχουν: ) ΔΒ = ΓΕ και ) B, γιατί B B, ως κατακορυήν και B γιατί βρίσκονται στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου. Τα δύο τρίγωνα έχουν τις υποτείνουσές τους ίσες και μια οξεία γωνία του ενός τριγώνου είναι ίση με μια οξεία γωνία του άλλου, οπότε είναι ίσα. Άρα είναι και ΒΖ = ΓΗ. Επειδή είναι και 9

ΑΒ = ΑΓ, θα είναι και ΑΒ + ΒΖ = ΑΓ + ΓΗ ΑΖ = ΑΗ, άρα το τρίγωνο ΑΖΗ είναι ισοσκελές. 9. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΕΓ και ΒΔΓ έχουν: ) τη πλευρά ΒΓ κοινή και ) B βρίσκονται στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου Τα δύο τρίγωνα έχουν τις υποτείνουσές τους ίσες και μια οξεία γωνία του ενός τριγώνου είναι ίση με μια οξεία γωνία του άλλου, οπότε είναι ίσα. Άρα είναι και ΒΕ = ΔΓ.Επειδή είναι και ΑΒ = ΑΓ, θα είναι και ΑΒ - ΒΖ = ΑΓ - ΓΗ ΑΕ = ΑΔ, άρα το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές. 0. α) Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΜΓΔ έχουν: ) ΑΜ = ΜΔ ) ΒΜ = ΜΓ και ) M M ως κατακορυήν Με βάση το κριτήριο ΠΓΠ τα τρίγωνα είναι ίσα. β) Επειδή τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΜΓΔ είναι ίσα, έχουν και ΑΒ = ΓΔ. γ) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓΔ έχουν: ) ΒΓ κοινή πλευρά ) ΑΒ = ΓΔ και ) B γιατί τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΜΓΔ είναι ίσα Με βάση το κριτήριο ΠΓΠ τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε έχουν και.. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΔΓ και ΜΕΒ έχουν: ) ΜΓ = ΜΒ γιατί το Μ είναι μέσο του ΒΓ και ) ΓΔ = ΕΒ μισά των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ. Τα δύο τρίγωνα έχουν τις υποτείνουσές τους ίσες και μια κάθετη πλευρά του ενός τριγώνου είναι ίση με μια κάθετη πλευρά του άλλου, οπότε είναι ίσα. Άρα είναι και ΜΔ = ΜΕ. x x. ημ0 x 0 x 5 0 0 x 5 εω, άρα ω 45 5 5 x 5 0 0 ημω y 0 y 5 y y 0 x80. α) συνx συνx συνx συνx συν60 x 60, 0 x80 β) ημx 0 ημx ημx ημ60 x 60 ή x 80 60 0 0 x80 γ) εx ε0 ε80 0 ε50 x 50 συν0 συν 80 60 συν60, ε0 ε 80 60 ε60, ε45 4. ημ0 ημ 80 60 ημ60, ημ0 συν0 ε0 ε45 0

5. 5 5 ημ ω συν ω ημ ω ημ ω ημω. 6 6 6 6 Επειδή 90 ω 80 είναι ημω 0, άρα 4 ημω 4 4 6. εω ημω συνω συνω ημω ημω, εω 6 6 συνω 5 5 6 4 6 ημ ω συν ω συνω συν ω συν ω συν ω 6συν ω 9συν ω 9 9 9 5συν ω 9 συν ω συνω. Επειδή 90 ω 80 είναι συνω 0, άρα 5 5 4 4 συνω. Τότε ημω 5 5 5 4 4 0ημω 5συνω εω 0 5 8 9 6. 5 5 ημ x συν x ημ x συν x ημ x συν x ημ x συν x 4 4 7.α) β) συν x συν x συν x ημ x συν x ημ x συν x συν x ημ x συν xημ x συν xημ x συν xημ x ημ x συν x γ) ημx συνx ημx συνx 4ημ x ημx συνx 9συν x4ημ x ημx συνx ημ x συν x ημ x συν x ημα συνα 9συν x συνα ημα η μ α συνα ημ α συνα ημ α συνα συν α συνα δ) συνα ημα ημα συνα ημα συνα ημα συνα συνα ημα Στέλιος Μιχαήλογλου