Άσκηση 5 Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου

Άσκηση 5 Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Αυτό θα γίνει με δύο τρόπους: από την κλίση της (πειραματικής) ευθείας από την επιμήκυνση του ελατηρίου από πρόσθετα βάρη, από τον τύπο της περιόδου μιας γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης. Τα όργανα που θα χρησιμοποιήσεις στο πείραμα είναι: ελατήρια, μάζες, χρονόμετρο, λογισμικό καταγραφής δεδομένων Data Studio, Excel. Πιθανά οφέλη: Να εμπεδώσεις το γεγονός ότι η κλίση μιας ευθείας - καμπύλης μπορεί να εκφράζει το μέτρο ενός φυσικού μεγέθους. Να εκτιμήσεις τη διαφορά μεταξύ θεωρητικής και πειραματικής καμπύλης που προκύπτει από τις δικές σου μετρήσεις με τις αντίστοιχες πειραματικές αβεβαιότητες. Προαπαιτούμενη γνώση: γραμμική αρμονική ταλάντωση, ελαστικές παραμορφώσεις, νόμος του Hooke, γραφικές παραστάσεις, Data Studio, Excel. 5.1 ΘΕΩΡΙΑ 5.1.1 Νόμος του Hooke για ελατήριο Αν ένα ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος, τότε για να μεταβληθεί το μήκος του κατά x, απαιτείται δύναμη μέτρου F = k x (5.1) Η δύναμη πρέπει να έχει διεύθυνση παράλληλη με τον άξονα του ελατηρίου. Το k λέγεται σταθερά του ελατηρίου και εξαρτάται από τα γεωμετρικά στοιχεία και το υλικό του ελατηρίου (Young, 1994). Μονάδα στο SI: k F x N m (5.2) Φυσική σημασία της σταθεράς k: Δείχνει το μέτρο της δύναμης που απαιτείται για να μεταβληθεί το μήκος του ελατηρίου κατά μία (1) μονάδα μήκους. 1

Η γραφική παράσταση του νόμου θεωρητικά είναι ευθεία, επειδή η σχέση F = k x είναι πρώτου βαθμού ως προς x. Εσύ, όμως, θα χαράξεις την καλύτερη πειραματική ευθεία, σύμφωνα με τα σημεία των δικών σου μετρήσεων, στην ελαστική περιοχή (Εικόνα 5.1). Εικόνα 5.1 Σχηματική αναπαράσταση του πειράματος. Από ένα τυχαίο τρίγωνο στην πειραματική ευθεία θα υπολογίσεις την κλίση που ισούται με τη σταθερά του ελατηρίου k: F λ= k x (N/m) (5.3) 5.1.2 Απλή αρμονική ταλάντωση Έχεις έναν απλό ταλαντωτή που αποτελείται από ένα ελατήριο μάζας Μ και ένα σώμα μάζας m. Αν η ταλάντωση γίνει πάνω σε άξονα Χ, τότε το άθροισμα των αριθμητικών τιμών των δυνάμεων στον άξονα Χ πρέπει να ακολουθεί τη σχέση: ΣF = - k x (5.4) όπου: k: η σταθερά του ελατηρίου, x: η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης, ΣF: το αλγεβρικό άθροισμα των αριθμητικών τιμών των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα κατά τη διεύθυνση της κίνησης. Η σταθερά k (Young, 1994) είναι ίση με k= m ω 2 2 4 k m άρα, T 2 2 m k (5.5) Η σχέση αυτή ισχύει για ιδανικό ελατήριο αμελητέου βάρους. Αν λάβουμε υπόψη και τη μάζα του ελατηρίου Μ, αποδεικνύεται ότι 2

T 2 M m 3 k Από τον τύπο (5.6) θα υπολογίσεις τη σταθερά k του ελατηρίου. (5.6) 5.2 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 5.2.1 Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου με το νόμο του Hooke 1. Στερεώνεις τη μία άκρη του ελατηρίου στο άγκιστρο και συνδέεις την άλλη με τον αισθητήρα δύναμης, όπως φαίνεται στην Εικόνα 5.2. Εικόνα 5.2 Πειραματική διάταξη άσκησης 5. 2. Για να εμφανιστεί το κατάλληλο πρόγραμμα στην οθόνη του Η/Υ, ανοίγεις από την επιφάνεια εργασίας το φάκελο MAGOS. 3. Επιλέγεις το πρόγραμμα MAGOS που έχει τον ίδιο αριθμό με την άσκηση που θα κάνεις. Στην οθόνη του υπολογιστή θα εμφανιστεί η Εικόνα 5.3. 3

Εικόνα 5.3 Οθόνη δυναμόμετρου. 4. Το ελατήριο βρίσκεται παράλληλα με ένα βαθμολογημένο χάρακα. Σημειώνεις την ένδειξη της κλίμακας που αντιστοιχεί στο φυσικό μήκος του ελατηρίου (δηλαδή στο άκρο του ελατηρίου που βρίσκεται στον αισθητήρα δύναμης, χωρίς να έχεις ασκήσει δύναμη-παραμόρφωση). Η ένδειξη κλίμακας θα καταχωρηθεί στον Πίνακα 5.1. 5. Με το ελατήριο στο φυσικό του μήκος, κρατάς οριζόντιο τον αισθητήρα δύναμης και πατάς το κουμπί Zero που βρίσκεται πάνω στον αισθητήρα δύναμης. Μηδενίζεις, έτσι, τις προηγούμενες μετρήσεις. 6. Πατάς το κουμπί Start στην οθόνη του υπολογιστή σου. Ταυτόχρονα, ασκείς, παράλληλα προς την κίνηση, δύναμη στον αισθητήρα δύναμης μέχρι το μήκος του ελατηρίου να αυξηθεί κατά 100 mm. 7. Καταγράφεις την ένδειξη της δύναμης που βλέπεις στον μετρητή δύναμης στον Πίνακα 5.1. 8. Επαναλαμβάνεις τα παραπάνω βήματα για νέα επιμήκυνση 100 mm και συμπληρώνεις τον Πίνακα 5.1. 9. Πατάς το κουμπί Stop. 10. Συμπληρώνεις τον Πίνακα 5.2. Οι επιμηκύνσεις υπολογίζονται αφαιρώντας κάθε φορά την ένδειξη κλίμακας από την ένδειξη του φυσικού μήκους του ελατηρίου. Στη δεύτερη στήλη μεταφέρεις τις τιμές της δύναμης από τον Πίνακα 5.1. Με τα δεδομένα του Πίνακα 5.2 και τη βοήθεια ενός προγράμματος, π.χ. Excel, κατασκευάζεις τη γραφική παράσταση που αντιστοιχεί στις τιμές του Πίνακα 5.2. 11. Υπολογίζεις την κλίση της ευθείας. 12. Ζητάς να σου δώσουν την τιμή βιβλιογραφίας (ΤΒ) της k. 13. Υπολογίζεις την εκατοστιαία διαφορά της k ως προς την ΤΒ. Το πείραμα υπολογισμού της σταθεράς ελατήριου με το νόμο του Βίντεο Hook Το βίντεο δείχνει τη διάταξη του πειράματος και πώς παίρνονται οι μετρήσεις που χρειάζονται για τον υπολογισμό της σταθεράς ελατηρίου με το νόμο του Hook. http://repfiles.kallipos.gr/file/16350 4

Βίντεο 5.1 Πείραμα της άσκησης 5 (νόμος του Hook). 5.2.2 Υπολογισμός της σταθεράς του ίδιου ελατηρίου από τον τύπο της περιόδου μιας γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης 1. Ζυγίζεις κατάλληλη μάζα και τη βάζεις στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου. Καταχωρείς την τιμή της μάζας στο τετράδιό σου. m=. 10-3 kg 2. Θέτεις το σύστημα ελατήριο-μάζα σε ταλάντωση. 3. Με ένα χρονόμετρο υπολογίζεις τον χρόνο t ολ που απαιτείται για Ν=.. ταλαντώσεις, άρα t Τ=, Τ=.. s. 4. Ζυγίζεις τη μάζα Μ του ελατηρίου. Μ= 10-3 kg 5. Από τον τύπο (5.6) T M m 2 3 υπολογίζεις το k Τ. k 6. Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά της k Τ ως προς την ΤΒ. (Η ΤΒ παραμένει η ίδια.) Χ Τ =.% 7. Για το ίδιο ελατήριο έχεις τώρα δύο πειραματικές τιμές της σταθεράς k. Ποια μέθοδος έχει τη μικρότερη εκατοστιαία διαφορά ως προς την ΤΒ; Γράψε στο φύλλο εργασίας τις απόψεις σου. Το πείραμα υπολογισμού της σταθερά ελατήριου με γραμμική αρμονική ταλάντωση Βίντεο Το βίντεο δείχνει τη διάταξη του πειράματος και πώς παίρνονται οι μετρήσεις που χρειάζονται για τον υπολογισμό της σταθεράς ελατηρίου με γραμμική αρμονική ταλάντωση. http://repfiles.kallipos.gr/file/16351 Βίντεο 5.2 Πείραμα της άσκησης 5 (γραμμική αρμονική ταλάντωση). 5.3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θα γράψεις τα παρακάτω στο τετράδιο του εργαστηρίου πριν το πείραμα: Τίτλος άσκησης: Όνομα: Ημερομηνία: Σκοπός: 5.3.1 Υπολογισμός σταθεράς του ελατηρίου με το νόμο του Hooke 5

1. Συμπληρώνεις τον Πίνακα 5.1 ο οποίος περιέχει τις ενδείξεις της κλίμακας και τα μέτρα της αντίστοιχης δύναμης. α/α Ένδειξη φυσικού μήκους 1 2 3 4 Ένδειξη κλίμακας ελατηρίου (mm) Δύναμη (Ν) 0 Πίνακας 5.1 Ενδείξεις κλίμακας και μέτρα της αντίστοιχης δύναμης. 2. Συμπληρώνεις τον Πίνακα 5.2 ο οποίος περιέχει τις επιμηκύνσεις του ελατηρίου και τα μέτρα των αντίστοιχων δυνάμεων. X (m) F (N) 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 Πίνακας 5.2 Επιμηκύνσεις ελατηρίου και μέτρα αντίστοιχων δυνάμεων. 3. Γράφεις την τιμή της κλίσης της πειραματικής ευθείας. 4. Γράφεις την ΤΒ για το k. 5. Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά της πειραματικής τιμής του k -που εσύ βρήκες- με την TB. 6. Ποιες είναι, κατά τη γνώμη σου, οι αιτίες αυτής της διαφοράς; 5.3.2 Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου με τη μέθοδο της γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης 6

1. Μετράς τη μάζα σώματος, m=.10-3 kg. 2. Θέτεις το σύστημα ελατήριο-μάζα σε ταλάντωση. 3. Με ένα χρονόμετρο υπολογίζεις τον χρόνο t ολ που απαιτείται για Ν=.. ταλαντώσεις. Άρα, t Τ=, Τ=.. s. 4. Υπολογίζεις τη μάζα Μ του ελατηρίου. Μ= 10-3 kg 5. Από τον τύπο (5.6) T M m 2 3 υπολογίζεις το k Τ : k 6. Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά της k Τ ως προς την ΤΒ. (Η ΤΒ παραμένει η ίδια.) Χ Τ =.% 7. Για το ίδιο ελατήριο έχεις τώρα δύο πειραματικές τιμές της σταθεράς k. Ποια μέθοδος έχει τη μικρότερη εκατοστιαία διαφορά ως προς την ΤΒ; Γράψε στο φύλλο εργασίας τις απόψεις σου. Η άσκηση υπολογισμού της σταθερά ελατήριου Βίντεο Το βίντεο δείχνει όλη την άσκηση για τον υπολογισμό της σταθεράς ελατηρίου (θεωρία, πείραμα, μετρήσεις, υπολογισμούς). http://repfiles.kallipos.gr/file/16352 Βίντεο 5.3 Παρουσίαση της άσκησης 5. Βιβλιογραφία Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμ.ι. (παράγραφοι 6.3, 13.5, σ. 151, 360 ). Αθήνα: Παπαζήση. Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης 1 1. Με τη βοήθεια της εξίσωσης της γραφικής παράστασης στην Εικόνα 5.4, να βρεις τη σταθερά του ελατηρίου στο SI. 7

Εικόνα 5.4 Εξίσωση γραφικής παράστασης Ερώτηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης 5. 2. Σε ελατήριο μάζας 63 g κρεμάμε μάζα 95 g και το εκτρέπουμε σε ταλάντωση. Εάν o χρόνος 60 πλήρων αιωρήσεων είναι 66 s, βρείτε: a) την περίοδο ταλάντωσης Τ σε s, b) τη σταθερά k του ελατηρίου σε N/m. 3. Σε ελατήριο σταθεράς 3,2 N/m ασκούμε δύναμη 0,768 N. Πόσα mm θα επιμηκυνθεί; 4. Η ένδειξη της άκρης του ελατηρίου σε φυσικό μήκος είναι 100 mm. Τραβώ το ελατήριο και η άκρη του πηγαίνει στην ένδειξη 440 mm. Πόση είναι η επιμήκυνση σε m; 5. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; a) Η σταθερά του ελατηρίου δείχνει το μέτρο της δύναμης που απαιτείται για να μεταβληθεί το μήκος του κατά μία (1) μονάδα μήκους. b) Η σταθερά του ελατηρίου εξαρτάται από το υλικό από το οποίο είναι φτιαγμένο το ελατήριο. c) Ελατήριο έχει σταθερά 10 N/m. Κόβω το ελατήριο στη μέση. Το κάθε κομμάτι θα έχει πάλι σταθερά 10 N/m. Απαντήσεις 1. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με την κλίση της ευθείας. Άρα, 4,36 N/m. 8

Εικόνα 5.5 Εξίσωση γραφικής παράστασης Απάντηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης 5. 2. a) T=t/n=66 s/60=1,1 s. b) 3.. 4. Δl = l τ -l α = 440 mm 100 mm = 340 mm = 0,34 m. 5. a) Σωστό b) Σωστό c) Λάθος. Η σταθερά του ελατηρίου εξαρτάται από το μήκος (γεωμετρικά στοιχεία). 9