אנליזה וקטורית

אנליזה וקטורית 104033 יוחאי מעין אביב תשע ז

הקדמה הרשימות האלו נכתבו עבור הקורס אנליזה וקטורית בטכניון בסמסטר אביב תשע ז. מטרתן לשמש חומר עזר משלים לשיעורים הפרונטליים, לספרי הלימוד וליתר חומרי העזר הקיימים. הם בשום אופן לא מהווים תחליף לאף מרכיב לימודי אחר. במיוחד, רמת הפירוט והדיוק אינם אינדיקציה לרמה הנדרשת בקורס או בבחינות, ובהחלט יתכנו טעויות מכל סוג. אם מצאתם טעות, אשמח אם תדווחו לי עליה במייל:.ymaayan@technion.ac.il 1

מבוא הנושא המרכזי בקורס הוא שדה וקטורי: וקטור בכל נקודה של תחום מסוים. למשל, שדה כבידה או שדה חשמלי. אנחנו נחקור את התנהגותם ונלמד לחשב גדלים בעלי משמעות פיסיקלית שקשורים אליהם. בנוסף לדוגמאות פיסיקליות של שדה וקטורי, שבהן השדה הוקטורי הוא האובייקט שברצוננו להבין, יש גם מקרים שבהם השדה הוקטורי הוא כלי עזר כדי לחקור אובייקט אחר. למשל, הגרדיאנט של פונקציה בשני משתנים הוא שדה וקטורי שיעזור לנו לחקור את הפונקציה עצמה. 2.0 1.5 1.0-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 איור 1: כמה מהוקטורים בשדה כבידה ישנם נושאים משניים שנצטרך ללמוד לפני שנוכל להבין שדות וקטוריים. למשל, וקטורים! בנוסף, גיאומטריה במישור R 2 ובמרחב R 3 (ישרים, מישורים, עקומים ומשטחים) ואינטגרל משולש. הנושאים המשניים האלו הם נושאי הפרקים הראשונים. 2

פרק 1 וקטורים המטרה של הפרק הזה היא להזכיר בקצרה את ההגדרות והתכונות שנזדקק להן בהמשך. זהו לא פרק מקיף על וקטורים ולא ננסה למצות את הנושא. 1.1 הגדרות גיאומטריות באופן איטואיטיבי, וקטור u הוא אובייקט מתמטי שיש לו שתי תכונות: גודל שמסומן u, וכיוון. אנחנו נצייר וקטור על ידי חץ. u θ=40 איור 1.1: ציור של וקטור. אורך החץ הוא הגודל u של הוקטור, והכיוון שאליו החץ מצביע הוא הכיוון של הוקטור (צפונה, דרומה, בזווית של 40 ביחס לאופק, וכו ). דוגמאות: טמפרטורה אינה וקטור כי אין לה כיוון, רק גודל: C 20. זה נקרא סקלר. מהירות היא וקטור. למשל, u = 100 קמ ש בכיוון דרום ו v = 50 קמ ש בכיוון צפון. אין חשיבות היכן מציירים את הוקטור. רק גודלו וכיוונו חשובים. גם זה הוקטור v : 3 u v

נתניה המסלול ירושלים איור 1.2: הוקטור u לא מייצג את הדרך אלא את ההעתק. נראה שהדרך מיוצגת על ידי עקום. העתק: יורי יצא בבוקר מנתניה והגיע בערב לירושלים. ההעתק שלו באותו יום מצוייר באיור 1.2. סקלרים נוספים: נפח, לחץ, מסה, מטען. באופן כללי, כל מספר ממשי. וקטורים נוספים: תאוצה, כוח. כפל של וקטור בסקלר אם a R (סקלר) ו u וקטור, a u הוא וקטור בכיוון של u (או בכיוון ההפוך אם < 0 a) שגודלו (1.1) a u = a u חיבור וקטורים חיבור וקטורים מוגדר על ידי כלל המשולש; ראו איור 1.4. ההגדרה הזו של חיבור וקטורים מתאימה למשל לחישוב העתק כולל ביום אחד של מסע אם ידועים ההעתקים במחצית הראשונה והשניה של היום. לפעמים נוח לצייר מקבילית (למשל, אם הוקטורים יוצאים מאותה נקודה), אבל העיקרון זהה. תכונות: u + u+ v = v (רואים במקבילית, איור 1.4). זה נקרא קומוטטיביות (של חיבור וקטורים).

u 2 u 3 u 4 u -2 u איור 1.3: כפל בסקלר שלילי הופך את כיוון הוקטור. u u+v v v u v u+v v u איור 1.4: כדי לקבל את הוקטור u, + v יש להעתיק את הוקטור v כך שהזנב שלו נמצא בראש הוקטור u ואז לסגור משולש. אפשר גם לצייר מקבילית. w) ( u + v) + w = u + ( v + (אפשר להוכיח גיאומטרית, בדומה לקומוטטיביות). זה נקרא אסוציאטיביות. u a. (b u) = (ab) גם זה אסוציאטיביות, ביחס לפעולות אחרות. a v.a ( u + v) = a u + זה נקרא דיסטריבוטיביות. הערה: התכונות האלו לא מתקיימות בכל הפעולות. למשל, כפל בין מטריצות הוא לא קומוטטיבי. נראה דוגמה נוספת לפעולה לא קומוטטיבית, שתהיה גם לא אסוציאטיבית. דוגמה:. u + v מכפלה סקלרית אם יורי מתהלך במהירות v בתוך רכבת שמהירותה u, המהירות של יורי ביחס לקרקע היא נתונים שני וקטורים,u. v המכפלה הסקלרית u v היא סקלר שמוגדר באופן הבא: v (1.2) u v = u v cos α u α

α הזווית מ u ל v נגד כיוון השעון. זהו סקלר שמכמת את מידת החפיפה בין u ל v תוך התחשבות בגדלים שלהם. מקרים מיוחדים: אם u, v הם וקטורי יחידה: = 1 v, u = אז 0 = v u אם ם u v (ניצבים). (או 90 = (α α=90.(α = 0 (כי u = v אם ם u v = 1.(α = π (כי u = v אם ם u v = 1 אם,u v אינם וקטורי יחידה, אז יש מצבי קצה דומים תוך התחשבות בגדלים. u 2 u u = (מאוד שימושי!). אם רק v וקטור יחידה, u v = u cos α הוא אורך ההיטל של u על v (כולל סימן); ראו איור 1.5. ההיטל הוא וקטור באורך הנ ל שכיוונו כשל v, כלומר: u ). (v v u u α v היטל היטל α v איור 1.5: הוקטור v מצויר אופקי בתור ייחוס. בשרטוט השמאלי v הוא וקטור יחידה, בעוד שבימני הוא לא. ההיטל לא מושפע מזה. אם v אינו וקטור יחידה, אז ולכן: v ) הוא כן וקטור יחידה (שהוא בעצם הכיוון של vˆ = v v (1.3) P v ( u) = ( u ˆv) ˆv = ( ) u v v 2 v הערה: כל ציורי הוקטורים עד כה היו בדו מימד. זה לא אומר שהם מוגבלים ל R: 2 כל שני וקטורים תמיד ניתנים לציור בתוך מישור, שאפשר לבחור אותו בתור מישור הציור. גם צירופים לינאריים של שני וקטורים (כמו סכום הוקטורים) שייכים לאותו מישור.

1.2 ייצוג קרטזי של וקטור בהנתן מערכת צירים xy או,xyz נסמן את וקטורי היחידה בכיווני הצירים y x, (ו z אם יש) על ידי ĵ î, (ו k ˆ) בהתאמה. כל מערכות הצירים יהיו מערכות צירים ימניות, כלומר נראות כמו באיור 1.6 לאחר סיבוב קשיח (אך לא שיקוף). ניתן לבדוק אם מערכת צירים xyz היא y ı x איור 1.6: אם מערכת הצירים xy היא בעצם חלק ממערכת צירים,xyz אז ציר z (כלומר, kˆ) צריך להצביע לכיוון הקורא. ימנית בעזרת כלל יד ימין או כלל הבורג. וקטור דו ממדי המספרים a = u î, b = u ĵ נקראים רכיבי הוקטור (לפי מערכת הצירים). ניתן לראות y A O b=u u a=u ı B x באיור 1.7 ש איור 1.7: כל וקטור הוא הסכום של הטליו על כיווני הצירים. (1.4) u = aî + bĵ בנוסף, לפי משפט פיתגורס במשולש,OAB (1.5) u = a 2 + b 2

(1.6) u = ( u î) î + ( u ĵ) ĵ +. aî + bĵ 2 = a 2 + b 2 לכן לפי משפט פיתגורס במשולש (1.7) u = a 2 + b 2 + c 2 וקטור תלת ממדי בדומה למקרה הדו ממדי, ניתן לראות באיור 1.7 ש ( u ˆk) ˆk aî + bĵ + cˆk לפי משפט פיתגורס במשולש,OAB,OBC הערות: הוקטור aî + bĵ הוא ההיטל של u על מישור.xy לעיתים קרובות נקצר בכתיבה כך: c). u = aî + bĵ + cˆk (a, b, זה עלול ליצור בלבול כי גם נקודות מסומנות באופן דומה: (c P.,a),b חשוב להבדיל בין נקודה לוקטור, לפי ההקשר והסימונים. נשים לב ש ( c OP =,a),b, כך שיש קשר ביניהם אך הם לא זהים. ראו איור 1.8. איור :1.8 הוקטור 1) (1, 2, = u מסתיים בנקודה 1) (1, 2, P אם מציירים אותו כך שזנבו בראשית. (1.8) הוקטור מנקודה ) 1 P (x 1, y 1, z לנקודה ) 2 Q (x 2, y 2, z הוא P Q = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 )

(1.9) d (P, Q) = P Q = גודלו הוא המרחב בין P ל Q : (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 המרחק בין 2) (1, 4, P לראשית 0) (0, 0, O הוא d (O, P ) = î + 4ĵ + 2ˆk = 1 + 16 + 4 = 21 דוגמה: פעולות בסיסיות בייצוג קרטזי הגדרנו את הפעולות הבאות באופן גיאומטרי. כעת נבדוק איך משתמשים בהן בייצוג קרטזי. נכתוב את הרכיבים הקרטזיים של כל וקטור בתור ) 3 u = (u 1, u 2, u וכן הלאה. כפל בסקלר: ) 3 α u = (αu 1, αu 2, αu (כל רכיב מוכפל ב α ). חיבור וקטורים: ) 3 u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v (זה ברור לכל רכיב, והחיבור הוא קומוטטיבי ואסוציאטיבי). מכפלה סקלרית: לפי משפט הקוסינוסים במשולש שבאיור 1.9, v u 2 = u 2 + v 2 2 u v cos α (v 1 u 1 ) 2 + (v 2 u 2 ) 2 + (v 3 u 3 ) 2 = u 2 1 + u 2 2 + u 2 3 + v 2 1 + v 2 2 + v 2 3 2 u v (1.10) u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 לכן: נפתח את הסוגריים באגף שמאל, נבודד את u v ונפשט: 1.3 פרטים נוספים נציין ראשית כמה תכונות נוספות של הפעולות שראינו: תכונות: w.(a u + v) w = a u w + v כלומר, מכפלה סקלרית היא לינארית ברכיב הראשון. u u v = v זה נקרא סימטריות. זה מוכיח שמכפלה סקלרית היא לינארית גם ברכיב השני.

v -u u α v איור 1.9: חישוב של מכפלה סקלרית באמצעות רכיבים קרטזיים. v u v u זה נקרא אי שוויון קושי שוורץ (בעצם, זה מקרי פרטי של משפט כללי שנקרא כך). ההוכחה שלו במקרה שלנו היא פשוטה: u v = u v cos α u v נשים לב שיש שוויון באי שוויון קושי שוורץ אם ם u ו v קו לינאריים (מקבילים או אנטי מקבילים). v u. + v u + זה נקרא אי שוויון המשולש ראו איור 1.10. נוכיח אותו: u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = u u + 2 u v + v v u 2 + 2 u v + v 2 = ( u + v ) 2 כאשר אי השוויון הוא אי שוויון קושי שוורץ. נוציא שורש וסיימנו. נשים לב שיש שוויון באי שוויון המשולש קיים > 0 α כך ש α v u. = המכפלה הוקטורית (בתלת מימד בלבד!) נתונים שני וקטורים,u. v המכפלה הוקטורית שלהם u v היא וקטור שכיוונו ניצב ל u ו v כך ש u, v, u v שלשה ימנית (במילים אחרות, אפשר למצוא את הכיוון בעזרת כלל יד ימין) וגודלו שווה ל (1.11) u v = u v sin α

v u u +v איור 1.10: המשולש באי שוויון המשולש. איור 1.11: המכפלה הוקטורית והמקבילית שנוצרת מ u ו v.. הערה: במקבילית ששני הוקטורים יוצרים במישור משותף שלהם (ראו איור 1.12), α v sin הוא אורך הגובה לצלע u. לכן לפי הנוסחה לשטח מקבילית, שטח המקבילית שנוצרת מ u ו v u v = (1.12) זה היה תיאור גיאומטרי. המשפט הבא הוא התיאור בייצוג קרטזי: משפט 1.1: לכל,u v מתקיים: (1.13) u v = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ) הוכחה: תרגיל.

v v sinα u איור 1.12: שטח המקבילית הנוצרת. קשה לזכור את נוסחה (1.13) כמו שהיא, אבל יש טריק כדי לשחזר אותה מהר בעזרת דטרמיננט של מטריצה : î ĵ ˆk (1.14) u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 (זו לא באמת מטריצה כי יש וקטורים בשורה הראשונה.) תכונות: 0 = u v אם ם u v (מקבילים). זה נובע מכך שהגודל של המכפלה הוקטורית מתאפס אם ם 0 =, u v = 0 או = 0 α.sin בשני המקרים הראשונים, וקטור האפס מקביל לכל וקטור. במקרה השני, α =,0 π ולכן הוקטורים מקבילים. המכפלות הוקטוריות בין וקטורי הכיוון של הצירים הן: î ĵ = ˆk, ĵ ˆk = î, ˆk î = ĵ מצד שני, ĵ. î = kˆ kˆ כלומר, המכפלה הוקטורית אינה קומוטטיבית. v. v u = u זה נקרא אנטי קומוטטיביות. המכפלה הוקטורית אינה אסוציאטיבית. למשל,.î (î ĵ) = ĵ 0 = (î î) ĵ לכן אין משמעות לסימון u v w (יש לציין בעזרת סוגריים איזו מכפלה מבצעים קודם).

פרק 2 ישרים ומישורים 2.1 ישרים הדרך המוכרת לייצג ישר ב R 2 היא על ידי משוואה פשוטה: y, = ax + b או באופן כללי יותר (כדי לכלול גם ישרים אנכיים כמו = 4 x): ax + by + c = 0, לא שניהם אפס a, b זה מתאים לכלל האצבע: כל משוואה מורידה מימד (זהירות! זה רק כלל אצבע). כלומר, קבוצת הנקודות y) (x, במישור הדו ממדי R 2 שמקיימות את המשוואה = 0 c ax + by + היא גוף חד ממדי. לפי אותו כלל, משוואה אנלוגית במרחב: = 0 d+ ax+by +cz מתארת גוף דו ממדי (פרטים בהמשך). לכן זה לא יתאים לתיאור ישר. ישנם שני תיאורים עיקריים של ישר: ייצוג פרמטרי של ישר (תיאור ראשי) ישר מאופיין על ידי נקודה שעליו ) 0 P (x 0, y 0, z ווקטור כיוון c) ; u = (a, b, ראו איור.2.1 נקודה איור 2.1: ישר במרחב. z) Q (x, y, נמצאת על הישר אם ם מתקיים OQ OP u, כלומר, קיים t R כך ש OQ = OP + t u 13

(2.1) כלומר: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + t (a, b, c) זה אומר שיש שוויון בכל רכיב, ונקבל את הייצוג הפרמטרי של הישר: x = x 0 + ta y = y 0 + tb, t R z = z 0 + tc כלומר: הנקודות על הישר הן הנקודות (z Q,x),y שמתקבלות בצורה (2.1). הערות: הערך המשתנה t נקרא פרמטר. הוא מזווג חח ע ועל עם נקודות על הישר. אם למשל = 0,a אז x = x 0 על כל הישר. אם ידועות שתי נקודות,P Q על הישר, אפשר לבחור u. = P Q יש ייצוגים פרמטרים שונים לאותו ישר נתון. למשל, הנה שני ייצוגים של אותו ישר: x = 1 + t y = 3 z = 4t ו, t R x = 2 + 2s y = 3 z = 4 8s, s R כאשר מתעסקים במספר ישרים (או אפילו במספר ייצוגים של אותו ישר), כדאי לתת שם שונה לפרמטר של כל ייצוג. ייצוג קנוני של ישר (תיאור משני) נתחיל מהייצוג הפרמטרי (2.1), ונניח תחילה ש 0 c,a.,b נחלץ את t מכל שורה ונשווה בין הביטויים שהתקבלו: (2.2) x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c זה נקרא הייצוג הקנוני של הישר. נסביר את המילה קנוני בהמשך. הערות: ברוב המקרים, הייצוג הפרמטרי יותר נוח. בכל אופן, קל לעבור ביניהם. בייצוג הקנוני, יש להקפיד שהמקדמים של המשתנים במונה יהיו 1. אחרת, אי אפשר להסיק שהמכנים הם רכיבי וקטור כיוון של הישר וכו. למשל, 2x 1 3 = y + 5 4 = z 6 מייצג ישר, אבל (6,3),4 אינו וקטור כיוון מתאים. מצאו אחד מתאים כתרגיל.

אם למשל = 0 a, אז מחלצים את t רק משתי השורות האחרונות ומקבלים: x = x 0, y y 0 b = z z 0 c באופן דומה, אם למשל = 0 b a, = אז מקבלים את הייצוג הקנוני x = x 0, y = y 0, z R (אין הגבלה על z). טכניקות בסיסיות הייצוגים הפרמטרי והקנוני תקפים גם בדו מימד (במישור). השלישי. טכניקות פשוט משמיטים את הרכיב מציאת חיתוך בין ישרים: בייצוג פרמטרי, פותרים מערכת של 3 משוואות ב 2 נעלמים: x 0 + ta = x 0 + sã y 0 + tb = ỹ 0 + s b z 0 + tc = z 0 + s c אם יש פיתרון יחיד, הישרים נחתכים. אם יש אינסוף פתרונות, הישרים מתלכדים, כלומר: אלו שני ייצוגים של אותו ישר (בונוס: הפתרון הכללי יהיה כלל המעבר בין הייצוגים). אם אין פיתרון, יתכן שהישרים יהיו מקבילים או מצטלבים ראו למטה. מציאת המרחק d מנקודה Q לישר שמכיל את הנקודה P ו u וקטור כיוון שלו: בדו מימד לפי משפט פיתגורס באיור 2.2, ( P Q 2 P Q u = d 2 + u ) 2 בתלת מימד לפי הנוסחה לשטח מקבילית באיור 2.3, P Q u = u d (2.3) d = P Q u u לכן נעיר שניתן להשתמש בנוסחה (2.3) גם בדו מימד, על ידי הוספת רכיב שלישי 0 לכל הוקטורים.

Q u P PQ u u איור 2.2: מרחק נקודה מישר. מצבים הדדיים בין ישרים: נניח שהישרים אינם זהים. מקבילים אם וקטורי הכיוון מקבילים. נחתכים ראו מציאת חיתוך בין ישרים. מצטלבים בכל מצב אחר (ישרים שלא נחתכים ולא מקבילים). זה לא יכול לקרות בדו מימד. נראה בקרוב שאפשר לחשב גם את המרחק בין ישרים מצטלבים באמצעות וקטורים. דוגמה: נמצא את המרחק בין הנקודה (3,1),2 לישר המתואר על ידי x = 2t y = 3 z = 1 4t, t R (ראו איור 2.4). הישר מכיל את הנקודה (1,3,0) P ו ( 4,0,2) = u הוא וקטור כיוון של הישר. בעצם, ניתן יהיה יותר קל לבחור (2,0,1) = u (כל כפולה שונה מאפס של וקטור כיוון של ישר הוא וקטור כיוון מתאים). אז d = P Q = (1, 5, 2) (1, 5, 2) (1, 0, 2) (1, 0, 2) î ĵ ˆk (1, 5, 2) (1, 0, 2) = 1 5 2 = ( 10, 4, 5) 1 0 2 לפי נוסחה (2.3), נחשב:

Q u P איור 2.3: במרחב, הנוסחה פשוטה יותר. d = ( 10, 4, 5) (1, 0, 2) = 141 5 5.31 לכן 2.2 מישורים מישור במרחב K R 3 הוא הזזה של תת מרחב ממימד 2: K = span { u 1, u 2 } + OP כאשר ) 0 P (x 0, y 0, z נקודה במישור ו u 1, u 2 וקטורים שמוכלים בתוך המישור (ליתר דיוק: אם מזיזים אותם כך שיתחילו על המישור, אז נקודות הסיום שלהם גם על המישור). תיאור פרמטרי של מישור לכן נקודה (z Q,x),y נמצאת על המישור אם ם קיימים,s t R כך ש (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + s (a 1, b 1, c 1 ) + t (a 2, b 2, c 2 ) לפי רכיבים, נקבל את הייצוג הפרמטרי של מישור: x = x 0 + sa 1 + ta 2 y = y 0 + sb 1 + tb 2, s, t R z = z 0 + sc 1 + tc 2 הייצוג הזה יהיה פחות שימושי מהייצוג הפרמטרי של ישר. מעניין לציין שלתיאור ישר נחוץ פרמטר אחד, ולתיאור מישור נחוצים שני פרמטרים. זה חלק מתופעה כללית: לתיאור קבוצה k ממדית (במרחב n ממדי, n) k נחוצים k פרמטרים. אנו נסתפק במקרים =,1 2 k, אבל נראה בקרוב שימושים לקבוצות חד ודו ממדיות שאינן ישר או מישור (כלומר, שיש להם עקמומיות).

איור 2.4: דוגמה לחישוב מרחק נקודה מישר. משוואת המישור הדרך השימושית לתאר מישור היא הדרך הבאה. בהנתן מישור כנ ל, נקודה (z Q,x),y נמצאת על המישור אם ם הוקטור P Q מוכל בתוך המישור, שזה אומר שהוא צירוף לינארי של u 1 ו. u 2 זה קורה אם ם P Q u 1 u 2, כי המכפלה הוקטורית מאונכת לשני וקטורי הכיוון. לכן התנאי הוא (נניח ש ( C :( N u 1 u 2 = (A, B, 0 = P Q N = A (x x 0 ) + B (y y 0 ) + C (z z 0 ) זה נותן לנו את משוואת המישור מתוך נקודה על המישור ווקטור שמאונך למישור, שנקרא נורמל למישור. אם נפתח סוגריים ונסמן D = Ax 0 By 0 Cz 0 נקבל את המשוואה: Ax + By + Cz + D = 0 מצבים הדדיים בין מישורים שני מישורים יכולים להתלכד, להיות מקבילים או להחתך לאורך ישר. פירוט נוסף ינתן בתרגול. נעיר רק שראינו כבר תיאור של ישר כחיתוך של שני מישורים: התיאור הקנוני. מה שהופך את התיאור הקנוני לקנוני הוא שהקפדנו לכתוב את משוואות המישורים בצורה מאוד מסוימת, כך שרואים מתוכם נקודה על הישר ווקטור כיוון של הישר. מצבים הדדיים בין ישר למישור ישר יכול להיות מוכל במישור, להיות מקביל לו או לחתוך אותו בנקודה אחת. פרטים נוספים בתרגול. נעיר רק שאם ישר מקביל למישור, ניתן למצוא את המרחק ביניהם על ידי בחירת

איור 2.5: מישור מוגדר מתוך נקודה ושני כיוונים. נקודה על הישר ומציאת מרחקה מהמישור בעזרת הנוסחה הבאה. מרחק בין נקודה למישור בהנתן מישור K לפי הסימונים למעלה, נחשב את המרחק d מנקודה (z Q,x),y למישור. כפי שניתן לראות באיור 2.6, d = P N P Q = P Q N N = Ax + By + Cz + D A2 + B 2 + C 2 המונה נראה כמו הצבת הנקודה Q במשוואת המישור. ובאמת, אם הנקודה Q נמצאת על איור 2.6: מרחק בין נקודה למישור המישור, אז = 0.d

2.3 המכפלה המעורבת האנלוג התלת ממדי של מקבילית הוא מקבילון. שלושה וקטורים v u, ו w במרחב יוצרים מקבילון; ראו איור 2.7. הוקטור u v מאונך למישור שנוצר מ v,u ולכן הגובה למישור הזה איור 2.7: מקבילון. w. מצד שני, שטח המקבילית בבסיס הוא v u. לכן נפח המקבילון V = w ( ) u v u v = ( u v) w u v ( u v ) במקבילון הוא הוא המספר u ) (v w (ששווה כאמור לנפח המקבילון) נקרא המכפלה המעורבת של הוקטורים ו w. v, u u 1 u 2 u 3 ( u v) w = u ( v w) = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 משפט :2.1 לכל v, u ו w, בפרט, = 0 (w u v ) אם ם הוקטורים תלויים לינארית, כלומר, קו פלנאריים (מוכלים באותו מישור). הוכחה: תרגיל (פותחים את כל האגפים ובודקים שוויון).

פרק 3 עקומים ומשטחים 3.1 עקומים עקום (או עקומה, או מסלול) במישור/מרחב הוא שרוך חד ממדי שמייצג, למשל, מסלול של חלקיק נקודתי במשך פרק זמן מסוים. נתחיל בשתי דוגמאות כלליות של עקומים במישור: עקומים מוכרים גרף של פונקציה של משתנה אחד: b].y = f (x), x [a, זה עקום במישור. אם (x) f גזירה, ידוע שמשוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה x 0 (כלומר, בנקודת ההשקה )) 0 (x 0, f (x על הגרף) היא y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) לכן כל וקטור כיוון של הישר הוא וקטור משיק לעקום. למשל, (( 0 u. =,1) f x) הוקטור (1, ) 0 f) x) מאונך לוקטור המשיר ולכן הוא מאונך לעקום. זה נקרא וקטור נורמל לעקום. קו גובה של פונקציה בשני משתנים: f,x) (y = C הוא בד כ עקום. למשל, אם f (x, y) = x 2 + y 2 אז קווי הגובה x 2 + y 2 = C הם מעגלים עבור > 0,C נקודה בודדת (שזה לא עקום/עקום מנוון) עבור = 0 C וריקים (לא עקום) עבור < 0 C. באינפי 2 מ הוכח שאם (y f,x) פונקציה גזירה אז לכל ) 0 x) 0, y מתקיים שהגרדיאנט f (x 0, y 0 ) ( f x (x 0, y 0 ), f ) y (x 0, y 0 ) הוא וקטור נורמל לקו הגובה המתאים בנקודה ) 0 x) 0, y (זה הקו שמתאים ל = C.f (x 0, y 0 ) לכן )) 0,( f y (x 0, y 0 ), f x (x 0, y שמאונך ל f, הוא וקטור משיק לקו הגובה המתאים בנקודה ) 0.(x 0, y הערה: אם (x) y = f גרף של פונקציה של משתנה אחד, אז הוא מתואר על ידי המשוואה השקולה y f (x) = 0 21

5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 איור :3.1 הגרף y = x + sin x עבור 5] [0,,x הישר המשיק, וקטור משיק ווקטור נורמל בנקודה = 2.x לכן אם נגדיר F (x, y) := y f (x) אז הגרף הוא קו גובה של (y F,x) (עבור = 0 C). כלומר, קו גובה הוא דוגמה כללית יותר לעקום מאשר גרף של פונקציה. דוגמה: המשוואה = 0 x arccos (1 y) y (2 y) מתארת ציקלואידה (ראו איור (3.3 ראינו גם דוגמה לעקום במרחב: קו ישר. זהו עקום שאין לו עקמומיות, אבל הוא בכל זאת מקרה לעקום/מסלול. נזכיר את התיאור הפרמטרי של ישר במרחב: x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + ct, t R ההגדרה שלנו לעקום תתבסס על התיאור הפרמטרי של ישר. אנחנו נחליף את הפונקציות האפיניות (לינאריות + קבוע) בפונקציות כלליות: הגדרה: עקום (פרמטרי) הוא פונקציה.γ : [a, b] R 3 הערות: אם זה עקום במישור, זה יהיה לתוך.γ : [a, b] R 2 :R 2 אפשר להחליף את הקטע הסגור בקטע פתוח, חצי פתוח, בכל R וכו.

5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 איור 3.2: כמה קווי גובה של הפונקציה (xy) f.,x) (y = sin הגרדיאנט מאונך לקווי הגובה בכל נקודה. 2.0 1.5 1.0 0.5 2 4 6 8 10 איור 3.3: המשוואה למעשה מתארת את החלק המודגש בלבד. החלק המקווקו הוא ההמשך הטבעי של העקום ע י שיקוף וכו. x = f (t) y = g (t) z = h (t), t [a, b] כלומר, עקום ניתן לתיאור על ידי: כאשר (t)) γ (t) = (f (t), g (t), h (הרכיבים של (t).γ הגדרה: יהי b] γ (t), t [a, עקום..1 העקום נקרא רציף אם הפונקציות (t) f (t), g (t), h רציפות בקטע b].[a,.2 העקום נקרא גזיר אם הפונקציות (t) f (t), g (t), h גזירות בקטע b].[a,.3 העקום נקרא סגור אם (b).γ (a) = γ.4 העקום נקרא פשוט אם לכל s < t מתקיים (t) γ (s) γ פרט אולי למקרה.s = a, t = b

איור 3.4: עקום סגור ופשוט, ועקום פתוח ולא פשוט. דוגמאות: { x = t y = 2t, t [0, 1] העקום הוא חלק מישר (ראו איור 3.5). זה נקרא קטע. באופן כללי יותר, בהנתן שתי נקודות ) 1,Q (x 2, y 2, z 2 ),P (x 1, y 1, z הקטע שמחבר ביניהם הוא החלק מהישר שעובר דרך P ו Q שנמצא בין הנקודות: γ (t) = P + t P Q = tq + (1 t) P, t [0, 1] (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + t (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ), t [0, 1] כלומר: טווח הזמן נבחר כך מכיוון שעבור = 0 t מתקבלת הנקודה P ועבור = 1 t מתקבלת הנקודה Q. לכן הקטע ביניהם מתאים ל 1 t 0. ראו איור 3.6. { x = cos t y = sin t חלק מהמעגל = 1 2 x2 + y בין הזוויות π 6 ו : π 2 [ π, t 6, π ] 2 אכן, זה ברור שלכל t מתקיים ש ( t ) γ על המעגל (הפרמטריזציה מקיימת את משוואת המעגל). דאגנו לחלק המבוקש מהמעגל באמצעות בחירת התחום הנכון של הפרמטר.

2.0 1.5 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 איור 3.5: הקטע בין הנקודות (0,0) ו ( 2,1). אם העקום מתואר בצורה פיסיקלית, ניתן לבנות פרמטריזציה מתוך התיאור. למשל, זבוב מעוך על גלגל שמסתובב ללא החלקה. נבחר בזווית שמסומנת באיור 3.7 בתור הפרמטר, ונניח לצורך פשטות שרדיוס הגלגל הוא 1. כפי שרואים בציור, אם הזווית היא t אז מרכז הגלגל (שנמצא תמיד בגובה 1) נמצא במרחק אופקי של t מהראשית ולכן: (3.1) { x (t) = t sin t y (t) = 1 cos t, 0 t 2π (אפשר להמשיך גם ל 2π t > אם הגלגל עושה יותר מסיבוב אחד). ניתן לעבור מייצוג פרמטרי לייצוג על ידי משוואה (כלומר, למצוא משוואת עקום מתוך הייצוג הפרמטרי) על ידי חילוץ של t מאחת המשוואות והצבתו למשוואה השניה. למשל, במקרה של הזבוב, ניתן לחלץ מתוך המשוואה התחתונה: (0 < t < ש π (בהנחה t = arccos (1 y) ולהציב (נשתמש בכך ש :(sin (arccos s) = 1 s 2 x = arccos (1 y) sin (arccos (1 y)) = arccos (1 y) 1 (1 y) 2 לאחר פישוט נקבל את משוואת הציקלואידה. הערות לגבי סימון לעיתים קרובות נסמן את רכיבי העקום (t) f (t), g (t), h בסימון (t) x (t), y (t), z (כמו בדוגמה עם הזבוב המעוך).

איור 3.6: קטע בין שתי נקודות במרחב. חשוב להפריד בין העקום הפרמטרי (t) γ שהוא פונקציה, לבין התמונה שלו במרחב/מישור שהוא קבוצה (זו הקבוצה שאנחנו מציירים). נסמן את תמונת (t) γ בד כ על ידי Γ. ל Γ נתון יש הרבה (t) γ שונים ש מפיקים אותו. כלומר, לעקום נתון יש פרמטריזציות שונות. נאמר ש Γ רציף/פשוט וכו אם יש פרמטריזציה (t) γ בעל התכונה הרצויה. עקום רציף, סגור ופשוט נקרא עקום ג ורדן. המשפט הבא הוא משפט עמוק שההוכחה שלו מורכבת מכדי להביא אותה כאן, ומאוד מעניינת. הוא נקרא משפט ג ורדן. משפט 3.1: יהי Γ R 2 עקום רציף, סגור ופשוט. אז Γ מחלק את המישור לשני חלקים נפרדים: פנים וחוץ. הפנים יסומן (Γ).int וקטור משיק נשים לב לתופעה הבאה: בציקלואידה באיור 3.3 ישנם שפיצים למרות שהפרמטריזציה (3.1) שמצאנו שלה היא גזירה. איך זה מסתדר עם כלל האצבע שפונקציה (x) f היא גזירה אם בגרף שלה אין שפיצים? ראשית נציין שהפרמטריזציה היא גזירה ולא פונקציה שהעקום הוא הגרף שלה, ולכן אין סתירה ישירה. בכל זאת, ננסה ליישב את האינטואיציה. מושג שיעזור לנו והוא חשוב בכל מקרה הוא הוקטור המשיק לעקום בנקודה נתונה. יהי (t) γ עקום פרמטרי. לכל,s, t המיתר שמחבר בין הנקודות על העקום בזמנים s ו t הוא (t) γ (s) γ (ראו איור 3.9). ככל ש t מתקרב ל s, הכיוון של המיתר מתקרב למה שאמור להיות כיוון המשיק אך גודל המיתר שואף לאפס. ננרמל חלקית על ידי חלוקה ב ( s t) ונקבל:

2.0 1.5 cos(t) 1.0 0.5 1 t -1.0-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 t sin(t) איור 3.7: זבוב (הנקודה האדומה) מעוך על גלגל בתחילת התנועה ולאחר זמן מה. המסלול שהזבוב עבר (לו אנו מחפשים פרמטריזציה) הוא המסלול המקווקו האדום. הגדרה: הוקטור המשיק בזמן t /בנקודה (t) γ (אם הוא קיים) הוא γ (t + t) γ (t) γ (t) = lim t 0 t γ (t + t) γ (t) t ( x (t + t) x (t) =, t y (t + t) y (t), t נכתוב במפורש את הרכיבים: z (t + t) z (t) t לכן הגבול עבור 0 t קיים אם ם העקום γ גזיר, ואז γ (t) = (ẋ (t), ẏ (t), ż (t)) ) הערה: הגודל של הוקטור המשיק בנקודה נתונה תלוי בפרמטריזציה ויכול להיות שונה מהגודל בנקודות אחרות. הכיוון של הוקטור המשיק בנקודה נתונה אינו תלוי בפרמטריזציה (עד כדי היפוך). גם הוא יכול להיות שונה מאשר בנקודות אחרות. { x (t) = R cos t y (t) = R sin t דוגמה: המעגל ברדיוס R שמרכזו בראשית:, t [0, 2π] γ (t) = ( R sin t, R cos t) בפרמטריזציה הזאת,. γ (t) נשים לב שבמקרה, R הגדרה: עקום פרמטרי נקרא חלק אם 0 (t) γ לכל t. חלקות היא התנאי הנכון לאי קיום שפיצים בעקום. זהו לא תנאי שקול (יתכן עקום שיש לו פרמטריזציה חלקה וגם פרמטריזציה לא חלקה) אבל הוא מספיק.

4 2-4 -2 2 4-2 -4 3.2 משטחים איור 3.8: הפנים של עקום אשר נקרא קרדיואיד. בדומה לעקומים, גם משטחים אינם עניין חדש לגמרי. משטחים מוכרים גרף של פונקציה בשני משתנים, y).z = f (x, למשל, פרבולואיד היפרבולי:.z = x 2 y 2 זה נראה כמו אוכף של סוס; ראו איור 3.10. אם הפונקציה גזירה בנקודה מסוימת ) 0 x) 0, y (בתור פונקציה של שני משתנים לעיתים אומרים דיפרנציאבילית ) אז ידוע שיש מישור משיק למשטח בנקודה המתאימה )) 0.(x 0, y 0, f (x 0, y בנוסף, הוקטור הבא הוא וקטור נורמל למישור המשיק הזה (אפשר לומר שהוא בעצם נורמל למשטח בנקודה): ( f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ), 1 ) באופן כללי, אם חלקיק נע על גבי משטח, אז המהירות הרגעית שלו תשיק למשטח כלומר, המהירות בכל רגע היא וקטור שמוכל בתוך המישור המשיק. משטח רמה של פונקציה של שלושה משתנים: f.,x),y (z = C זה המושג המקביל לקו גובה עבור פונקציה של שני משתנים. קוראים לזה רמה ולא גובה מפני שהמילה גובה מתארת את מה שקבוע על קו גובה: הגובה בגרף. עבור פונקציה של שלושה משתנים, הגרף (z w = f,x),y הוא תת קבוצה של R 4 שאי אפשר לצייר או לדמיין, וגם לא נעסוק בו. נציין רק שהמילה גובה עבור ציר z מוחלפת במילה רמה עבור ציר w. למשל, היפרבולואיד חד יריעתי: = 1 2 x 2 + y 2 z (ראו איור (3.12 והיפרבולואיד דו יריעתי: 1 = 2 x 2 + y 2 z (ראו איור.(3.13

5 6 8 10 12-5 -10 איור 3.9: מספר מיתרים בין נקודה קבועה לנקודות שהולכות ומתקרבות אליה. אם (z f,x),y גזירה בנקודה מסוימת, אז הגרדיאנט f מאונך למשטח (כלומר, למישור המשיק למשטח) בנקודה. לא נוכיח את העובדה הזו. זה אנלוגי לכך שהגרדיאנט ניצב לקווי הגובה עבור פונקציה של שני משתנים. המקרים המוכרים הנ ל של משטחים שימושיים, אך ישנו תיאור נוח מאוד של משטחים שנזדקק לו בהמשך. זהו תיאור פרמטרי, כמו עבור עקומים: הגדרה: משטח פרמטרי הוא פונקציה R : D R 3 כאשר D R 2 תחום. ברוב המקרים, D יהיה מלבן. ניתן לחשוב על המשטח בתור טרנספורמציה של המלבן (או מה שלא יהיה D) משוכנת בתוך המרחב. זהו משטח פרמטרי. כלומר, משטח פרמטרי מתואר על ידי x = x (s, t) y = y (s, t) z = z (s, t), (s, t) D דוגמה: ספרה, = 1 2 x 2 + y 2 + z ניתנת לתיאור פרמטרי כדלקמן. נקבע נקודה z) (x, y, על הספרה. הפרמטר הראשון הוא הזווית ϕ בין הוקטור (z,x),y לבין ציר ה z ; ראו איור 3.14. לפי המשולש ישר הזווית בציור רואים ש ϕ z. = cos בנוסף, החתך של הספרה בגובה z הוא מעגל, כאשר בעזרת אותו משולש רואים שהרדיוס שלו.sin ϕ נסמן ב θ את זווית הסיבוב המעגל הזה (כמו בפרמטריזציה של מעגל) ונקבל: x = cos θ sin ϕ y = sin θ sin ϕ z = cos ϕ כאשר [2π θ,0] ו [ π ϕ,0] כבר מכסה את כל הספרה.

איור 3.10: ניתן לשחזר את הציור מהנוסחה על ידי ציור של החתכים עם מישורים פשוטים. החתכים הם פרבולות והיפרבולות, ומשם גם שם המשטח. וקטור נורמל בהנתן משטח פרמטרי ונקודה ) 0 P = R s) 0, t עליו, הנה שני עקומים שמוכלים במשטח ועוברים דרך P (ראו איור 3.15): { γ 1 (s) = (x (s, t 0 ), y (s, t 0 ), z (s, t 0 )) γ 2 (t) = (x (s 0, t), y (s 0, t), z (s 0, t)) שני הוקטורים המשיקים המתאימים ) 0 γ 1 (s ו ( γ 1 (t 0 מוכלים במישור המשיק למשטח בנקודה P ולכן הוקטור הבא הוא נורמל: n (s 0, t 0 ) = γ 1 (s 0 ) ( R γ 2 (t 0 ) = s R t ) (s 0, t 0 ) דוגמה: לכל גרף של פונקציה (y z = f,x) יש פרמטריזציה שמתקבלת מעצם היות המשטח גרף של פונקציה: t)) R (s, t) = (s, t, f (s, כאשר t) (s, בתחום הגדרת הפונקציה. יש פרמטריזציות נוספות, שלפעמים יותר מוצלחות, אבל נדון כרגע בזו. נחשב את וקטור הנורמל: n (s, t) = î ĵ ˆk 1 0 f s = ( f s, f t, 1) 0 1 f t נציין שבאופן דומה, לעקום (x) y = f יש פרמטריזציה (t)),γ (t) = (t, f ווקטור משיק מתאים. γ (t) = (1, f (t)) הערה: היפוך). הגודל של הוקטור הנורמל תלוי בפרמטריזציה, אך הכיוון לא תלוי (עד כדי אולי

איור 3.11: מישור משיק לגרף של פונקציה/משטח רמה של פונקציה ווקטור נורמל. במקרים מסוימים, יתכן שהנורמל מתאפס בפרמטריזציה נתונה. זהו מצב לא רצוי (בדומה לעקום לא חלק).

איור 3.12: היפרבולואיד חד יריעתי. החתכים בגובה קבוע הם מעגלים. איור 3.13: היפרבולואיד דו יריעתי. עבור ערכים מסוימים של z, אין פתרונות למשוואה ולכן מתקבל אזור גבהים ריק.

איור 3.14: פרמטריזציה של ספרה. איור 3.15: שני עקומים שמתקבלים בצורה פשוטה מהפרמטריזציה, ווקטור שמאונך לשניהם שהוא למעשה נורמל למשטח.

פרק 4 אינטגרל משולש נתונה z),g (x, y, כאשר g : D R ו.D R 3 לאינטגרל הכפול הייתה משמעות של נפח מתחת לגרף שהולכת לאיבוד באינטגרל משולש כי לא נתעסק בגרף במרחב 4 ממדי, וכן משמעות של מסה כוללת/מטען כולל של גוף עם צפיפות מסה ליחידת שטח נתונה. כדאי לחשוב בהתאם על (z g,x),y בתור צפיפות מסה/מטען ליחידת נפח, ואנו רוצים לחשב את מסה/מטען הגוף כולו. D 4.1 הוא תיבה אם [f D, =,a] [b,c] [d,e] חלוקה של התיבה מתקבלת מחלוקה של כל אחד מהקטעים: P 1 = {a = x 0 < x 1 < < x n = b} P 2 = {c = y 0 < y 1 < < y m = d} P 3 = {e = z 0 < z 1 < < z l = f} P = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] [z k 1, z k ] i, j, k }{{} =:R i,j,k על ידי: זו חלוקה של התיבה לתתי תיבות קטנות; ראו איור 4.1. הגדרה: נגדיר את פרמטר החלוקה על ידי )} 3 λ (P ) = max {λ (P 1 ), λ (P 2 ), λ (P (כאשר ) i λ (P הם פרמטרים של חלוקות חד ממדיות)..U (g, P ) = i,j,k sup R i,j,k סכום דרבו עליון: {g} x i y j z k.l (g, P ) = i,j,k inf R i,j,k סכום דרבו תחתון: {g} x i y j z k סכום רימן: בוחרים נקודות ביניים בחלוקות החד ממדיות: x i [x i 1, x i ] ỹ j [y j 1, y j ] z k [z k 1, z k ] i = 1,..., n j = 1,..., m k = 1,..., l ויוצרים את הסכום: i,j,k g ( x i, ỹ j, z k ) x i y j z k. 34

איור 4.1: חלוקה של תיבה לתתי תיבות קטנות. בכל המקרים, האינדקסים רצים בהתאם למספר הנקודות בכל חלוקה: j m,1 i n 1 ו l k.1 הערה: בחרנו את נקודות הביניים של סכום רימן באופן מסוים מאוד. כלומר, אי אפשר לבחור סתם נקודה בכל תת תיבה, אלא בוחרים נקודות ביניים חד ממדיות ויוצרים מהן נקודות בתתי התיבות. זה לא חשוב במיוחד, אבל זה קצת יותר פשוט בכתיבה. ראו איור 4.2 לתמונה של נקודות הביניים בתתי התיבות. הגדרה: תהי z) g (x, y, חסומה בתיבה.D 1. נאמר ש g אינטגרבילית (לפי דרבו) בתיבה אם sup L (g, P ) = inf U (g, P ) P P כאשר P רץ על כל החלוקות שתוארו. במקרה זה, הערך המשותף יקרא האינטגרל המשולש של.D על g 2. נאמר ש g אינטגרבילית (לפי רימן) בתיבה אם קיים מספר I R (שנקרא האינטגרל המשולש של g על (D כך שלכל > 0 ɛ קיים > 0 δ עבורו לכל חלוקה P שמקיימת,λ (P ) < δ ולכל בחירה של נקודות ביניים בהתאם, מתקיים g ( x i, ỹ j, z k ) x i y j z k I < ɛ i,j,k

איור 4.2: חלוקה של תיבה לתתי תיבות, ונקודת הביניים בכל תת תיבה שערך הפונקציה בה מהווה קירוב לצורך סכום רימןחלוקה של תיבה לתתי תיבות, ונקודת הביניים בכל תת תיבה שערך הפונקציה בה מהווה קירוב לצורך סכום רימן. משפט 4.1: שתי ההגדרות שקולות. הוכחת המשפט אנלוגית למקרה של אינטגרל כפול ולא נתעמק בה כאן. הסימון לאינטגרל משולש הוא.I = g (x, y, z) dx dy dz D כל התכונות שנוסחו והוכחו עבור אינטגרל כפול (לינאריות, מונוטוניות וכו ) נכונות גם עבור אינטגרל משולש בגרסה המתאימה. הוכחותיהן של התכונות הללו זהות או דומות מאוד. נדגיש שתיים מתוך התכונות: אם 1 z) g (x, y, אז האינטגרל המשולש על D שווה לנפח של.D. g D D אי שוויון המשולש האינטגרלי: g חישוב של אינטגרל משולש באופן דומה לאינטגרל כפול, ניתן לחשב אינטגרל משולש באמצעות אינטגרלים נשנים. בשונה מאינטגרל כפול, יש אפשרות לקבל אינטגרל נשנה שהוא דו ממדי (כלומר, כפול). במילים אחרות, יש יותר דרכים לנסח את משפט פוביני מאשר במקרה של אינטגרל כפול: משפט 4.2: תהי (z g,x),y אינטגרבילית בתיבה D. אם האינטגרלים הנשנים בשוויונות הבאים קיימים כולם, אז השוויונות מתקיימים: שיטת הקטעים: (ראו איור 4.3) שיטת הפרוסות: (ראו איור 4.4) D g = [a,b] [c,d] (ˆ f e ) g (x, y, z) dz dx dy

איור 4.3: שיטת הקטעים: עושים אינטגרציה מעל כל נקודה קבועה בהיטל של התחום. D g = ˆ f e ( ) g (x, y, z) dx dy dz [a,b] [c,d] D g = ˆ f e (ˆ d (ˆ b c a ) ) g (x, y, z) dx dy dz פירוק מלא: הערה: כלומר, אם מנסים לחשב אינטגרל משולש באמצעות אינטגרלים נשנים באחת השיטות וזה פועל, אז בדיעבד זה מותר. אם זה פועל, אז זה פועל. נציין שבכל שיטה יש לפחות שני תנאים: האינטגרל הפנימי צריך להיות קיים לכל ערך/ערכים קבוע/ים, והאינטגרל של תוצאת האינטגרל הפנימי (שהוא האינטגרל החיצוני) צריך להיות קיים גם הוא. הוכחה: לא נכתוב הוכחה מלאה. ניתן לכתוב אחת כזו בתור תרגיל מתוך מה שנציג כעת. בכל שיטה נסדר את סכום רימן כך שיתכנס לאגף ימין. בשיטת הקטעים, נכתוב g ( x i, ỹ j, z k ) x i y j z k = i,j i,j,k ( ) g ( x i, ỹ j, z k ) z k x i y j k f לפי תכונות אם ניקח סדרת חלוקות מתאימה, הסכום הפנימי מתכנס ל dz g x ) e,i ỹ j, (z בסיסיות של אינטגרל בממד אחד. לבסוף, הביטוי (ˆ f i,j e ) g ( x i, ỹ j, z) dz x i y j

איור 4.4: שיטת הפרוסות: עושים אינטגרציה בכל גובה קבוע על החתך, או פרוסה, של התחום באותו גובה., f e הוא סכום רימן (עבור אינטגרל דו ממדי) של הפונקציה הבאה של x ו y : g,x),y (z dz ולכן עבור סדרת חלוקות מתאימה זה יתכנס כרצוי ל [a,b] [c,d] (ˆ f ) g (x, y, z) dz dx dy e g ( x i, ỹ j, z k ) x i y j z k = k i,j,k בשיטת הפרוסות, נכתוב ( ) g ( x i, ỹ j, z k ) x i y j z k i,j ונקבל באופן דומה ש ( ) ( ) g ( x i, ỹ j, z k ) x i y j z k g (x, y, z k ) dx dy z k λ(p 1 ),λ(p 2 ) 0 k i,j k [a,b] [c,d] ˆ f ( ) g (x, y, z) dx dy dz λ(p 3 ) 0 e [a,b] [c,d] לבסוף, עבור הפירוק המלא נסכום בשלושה שלבים, או שנפעיל את משפט פוביני לאינטגרל כפול על אחת מהשיטות הנ ל. z 2 dx dy dz = [0,1] 3 [0,1] 2 דוגמה: נחשב את האינטגרל המשולש הבא: (ˆ 1 ) z 2 1 dz dx dy = 0 [0,1] 2 3 dx dy = 1 3

D 4.2 הוא תחום בעל נפח יהי D R 3 תחום חסום, ונקבע תיבה R שמכילה את D (ראו איור 4.5). איור 4.5: תחום שאינו תיבה, ותיבה גדולה שמכילה את התחום. הגדרה: 1. נאמר ש D הוא תחום בעל נפח אם הפונקציה המאפיינת של D: χ A (x, y, z) 1 A (x, y, z) = { 1 (x, y, z) D 0 (x, y, z) / D היא אינטגרבילית לפי רימן בתיבה R (במובן של ההגדרה הקודמת בתיבה). 2. תהי (z f,x),y מוגדרת התחום בעל נפח D. נאמר ש f אינטגרבילית ב D אם הפונקציה המורחבת D f (x, y, z) = { f (x, y, z) f (x, y, z) dx dy dz = (x, y, z) D 0 (x, y, z) / D R אינטגרבילית בתיבה R. במקרה זה, נגדיר f (x, y, z) dx dy dz הערה: ניתן להוכיח ששני המושגים הנ ל אינם תלויים בבחירת התיבה R, בתנאי שהיא מכילה את D. זה מושאר בתור תרגיל. דוגמאות:

הכדור } 2 D B (0, R) {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 < R הוא קבוצה בעלת נפח. נסביר: הפונקציה 1 D רציפה בכל נקודה פרט לנקודות על הספרה D, מכיוון שבסביבת כל נקודה שאינה על הספרה, זו פונקציה קבועה (0 או 1, לפי מיקום הנקודה). כלומר, אוסף נקודות אי הרציפות של הפונקציה המאפיינת היא הספרה. זו קבוצה בעלת נפח 0 (ניתן לבדוק ישירות לפי ההגדרה, שהיא אנלוגית להגדרה של קבוצה בעלת שטח 0 במישור) ולכן לפי משפט (פונקציה חסומה בתיבה היא אינטגרבילית אם ם קבוצות נקודות אי הרציפות שלה היא בעלת נפח אפס זכרו שכל המשפטים האנלוגיים לאינטגרל כפול מתקיימים), הפונקציה המאפיינת אינטגרבילית בתיבה. באופן דומה, קבוצה חסומה כללית D היא בעלת נפח אם ם D בעלת נפח 0. הערה: המושג קבוצה בעלת נפח אינו מתייחס לכך שהנפח של הקבוצה הוא חיובי, אלא לעובדה שהנפח של הקבוצה בכלל מוגדר. לדוגמה, נקודה בודדת ( יחידון ) הוא קבוצה בעלת נפח (והנפח הזה הוא אפס). איך מחשבים אינטגרל משולש בתחום שאינו תיבה? נתחיל בדוגמה מקדימה: דוגמה: נחשב את הנפח V של הכדור (R B.,0) לפי תכונות האינטגרל, V = B(0,R) 1 dx dy dz לפי ההגדרה, צריך לבחור תיבה שהכדור מוכל בה. נוכל לבחור למשל את התיבה [R 3,R ] (ראו איור 4.6). לכן לפי שיטת הקטעים, איור 4.6: הכדור (R B,,0) התיבה [R 3,R ] שמכילה את הכדור. ניתן לראות את ההיטל של הכדור באדום, ומספר קטעי אינטגרציה. V = f (x, y, z) dx dy dz = [ R,R] 3 (ˆ R [ R,R] 2 R ) f (x, y, z) dz dx dy

נחשב תחילה את האינטגרל הפנימי. מתקיים 0 z) f (x, y, אם ם R).(x, y, z) B (0, בפרט, יש (y, x ) ים מסוימים שעבורם אין אף z מתאים: הגדרה: ההיטל של קבוצה D R 3 על מישור xy הוא הקבוצה π (D) = { (x, y) R 2 z R : (x, y, z) D } V = π(d) (ˆ R R ) f (x, y, z) dz dx dy (כי עבור (D),x) (y / π האינטגרל הפנימי הוא 0 ולכן לא תורם דבר). במקרה שלנו, x 2 + y 2 + z 2 R 2 אם ם (כדאי לחשוב על x, y קבועים).z 2 R 2 x 2 y 2 יש כאלה z ים אם ם 0 2,R 2 x 2 y ואז R 2 x 2 y 2 z R 2 x 2 y 2 לכן V = x 2 +y 2 R 2 (ˆ R 2 x 2 y 2 1 dz R 2 x 2 y 2 ) dx dy = 2 R 2 x 2 y 2 dx dy x 2 +y 2 R 2 לכן זהו אינטגרל כפול, שניתן לחשב בעזרת כל המשפטים המוכרים. נעבור למשתנים פולריים: V = ˆ 2π 0 ˆ R dθ 0 2 R 2 r 2 r dr = 2π (R2 r 2 ) 3 2 3 2 R 0 = 4πR3 3 באופן כללי: אם D בעל נפח ו f אינטגרבילית ב D, אז (שיטת הקטעים) D f (x, y, z) dx dy dz = = (שיטת הפרוסות) = (פירוק מלא) π(d) ˆ b (ˆ β(x,y) α(x,y) a ˆ b (ˆ d(x) (ˆ β(x,y) a f (x, y, z) dz ) ( ) f (x, y, z) dx dy dz D z c(x) α(x,y) f (x, y, z) dz dx dy ) dy ) הערות: כל השיטות זהות למקרה של תיבה. באופן זה אין צורך להתעסק עם הפונקציה המורחבת f (אם כי זה מה שעושים בעצם כאשר מחפשים את ההיטל או החתכים). ראו איור 4.7. dx

איור 4.7: תחום בעל נפח, ההיטל שלו, אחד מקטעי האינטגרציה (החלק שלא מקווקו), ואחד החתכים/פרוסות. אם התחום D אינו פשוט (ראו למשל איור 4.8), אז יתכנו מספר חתיכות מסוג מסוים (ואז מקבלים סכום של אינטגרלים). לדוגמה, יתכן שחתכים בגבהים מסוימים מורכבים משני חלקים נפרדים, או שקטע אינטגרציה בשיטת הקטעים הוא בעצם איחוד של שני קטעים לא צמודים. הכל פועל גם במקרים אלו, כאשר יש לסכום את האינטגרלים על כל החלקים כאמור. דוגמה: נחשב את נפח הגוף שמוגדר על ידי z 2 x z 0 z 1 0 y z המשטח y = z הוא מישור. קל לצייר את החתך של התחום z 2 x z עם מישור,xz ומכיוון שזהו תחום גלילי (נראה זהה לכל y) צריך רק למרוח את החתך הזה לאורך כל ציר y. לסיכום נקבל את התחום באיור 4.9. ניתן לראות על ידי התבוננות בתחום שערכי z (בסך הכל) הם בדיוק ב [ 1,0]; לכל z קבוע, ערכי y הם בדיוק ב [ z,0]; ולכל,y z קבועים, ערכי x הם בדיוק ב [ z z]. 2, לכן V = ˆ 1 0 (ˆ z 0 (ˆ z z 2 dx ) dy ) dz = ˆ 1 0 ( ) z 3 2 z 3 dz = 3 20 הערה: על פניו, גבולות האינטגרציה זהים לגבולות בתיאור של התחום. זו שיטה טובה למציאת גבולות אינטגרציה, אך יש לה חסרונות. ראשית יש לוודא שזה מתאים לכלל האצבע שגבולות אינטגרציה

איור 4.8: תחום שבו יש כמה קטעים זרים מעל נקודות מסוימות בהיטל. יכולים להיות תלויים אך ורק במשתנים שעושים עליהם אינטגרציה ממש מחוץ לאינטגרל הנוכחי (הגבול הפנימי של האינטגרציה dx לא יכול להיות תלוי ב x...). שנית, יש לוודא שהתיאור הוא הדוק : אם נחליף את השורה 2 z 0, ניתן לבדוק שמתקבל בדיוק אותו התחום (כי אז החלק של < 2 z < 1 הוא ריק!), אבל באינטגרל החלק הנוסף < 2 z < 1 לא נותן 0.

איור 4.9: תחום גלילי קטום על ידי מישורים.

פרק 5 החלפת משתנים באינטגרל משולש עבור אינטגרל כפול f,x) (y dy dy הנוסחה להחלפת משתנים היא, D D f (x, y) dx dy = E f (x (u, v), y (u, v)) J (u, v) du dv תחת ההנחות המתאימות. כדאי לשים לב שלצורך נוחות הניסוח, החלפת המשתנים כתובה הפוך לכיוון הזמן : היא מוגדרת מ E (התחום החדש שרוצים לעבור אליו) אל התחום D (התחום הנתון, שקשה לנו להתמודד איתו). יתרון/מטרה: לפשט את התחום (לפעמים לפשט את האינטגרנד). אנחנו נראה נוסחה אנלוגית עבור אינטגרל משולש. לא נוכיח אותה, אבל נעבור על רעיון ההוכחה בכלליות כעת לפני ניסוח המשפט. נניח שברצוננו לחשב (z f,x),y ונתונה טרנספורמציה ( החלפת משתנים ) מתחום E D (בשאיפה פשוט יותר מ D, אבל יכול להיות כל דבר בעל נפח) ל D : x = x (u, v, w) y = y (u, v, w) z = z (u, v, w), (u, v, w) E אם ניקח חלוקה של E לתתי תיבות קטנות, היא תעבור על ידי הטרנספורמציה לחלוקה (אם הטרנספורמציה חח ע) של כל D (אם הטרנספורמציה על) לצורות קטנות שדומות למקבילונים, אם לא באמת ישרה (זהו קירוב מקומי של עקום/משטח גזיר על ידי עקום/משטח לינארי). ניקח תיבה קטנה אחת ABCDEF GH שקודקודיה (u, v, w), (u + u, v, w),..., G (u + u, v + v, w + w) נסמן את הקודקוד ה ראשון ב ( w A,u),v ונתבונן בקודקודים B (u + u, v, w), D (u, v + v, w), E (u, v, w + w) הם וקטורים שיוצרים את התיבה.ABCDEF GH הם מעניינים במיוחד כי AD, AB ו AE אם נסמן את תמונות הקודקודים על ידי הטרנספורמציה בסימון A, B וכו, אז הנפח של תמונת התיבה שווה בקירוב לנפח של המקבילון H.A B C D E F G מטרתנו כעת להעריך את הנפח של המקבילון הזה. 45

ברור כי הקודקוד A (תמונת הקודקוד (A הוא w)),a = (x (u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, וכן B = (x (u + u, v, w), y (u + u, v, w), z (u + u, v, w)) D = (x (u, v + v, w), y (u, v + v, w), z (u, v + v, w)) E = (x (u, v, w + w), y (u, v, w + w), z (u, v, w + w)) אם הטרנספורמציה גזירה, אז לפי הגדרת הגזירות (של פונקציה במספר משתנים) נקבל עבור הנקודה :B x (u + u, v, w) = x (u, v, w) + x (u, v, w) u + o ( u ) u y (u + u, v, w) = y (u, v, w) + y (u, v, w) u + o ( u ) u z (u + u, v, w) = z (u, v, w) + z (u, v, w) u + o ( u ) u וכנ ל עבור D ו E, עם,v w בהתאמה במקום u. נציין שהביטויים יחסית פשוטים (רק נגזרת חלקית אחת בכל שורה) כי השינוי הוא בכל פעם באחד הרכיבים בלבד. לכן: A B ( x u A D ( x v A E ( x w y z (u, v, w), (u, v, w), u y z (u, v, w), (u, v, w), v (u, v, w), y w u (u, v, w)) u (u, v, w)) v v z (u, v, w), (u, v, w)) w w לפי הנוסחה לנפח מקבילון, הנפח של המקבילון שמקרב את הצורה הקטנה בחלוקה של D הוא בערך (עד כדי סימן, מיד נוסיף ערך מוחלט): A B ( A D ) A E = x u x v x w y (u, v, w) y (u, v, w) y (u, v, w) u v w z (u, v, w) z (u, v, w) z (u, v, w) u v w (u, v, w) (u, v, w) u v w J (u, v, w) u v w (u, v, w) (בשורה הראשונה היה גורם משותף u, הוא כבר כתוב מחוץ לדרמיננט וכנ ל עם w v, בשורה השניה, שלישית בהתאמה). הגדרה: המטריצה של הנגזרות החלקיות של הטרנספורמציה נקראת מטריצת יעקובי והיא מסומנת על ידי (x, y, z) (u, v, w) = x u x v x w y (u, v, w) y (u, v, w) y (u, v, w) ( ) (x, y, z) J (u, v, w) = det (u, v, w) x u x v x w u v w z (u, v, w) z (u, v, w) z (u, v, w) y (u, v, w) y (u, v, w) y (u, v, w) u v w u v w (u, v, w) (u, v, w) (u, v, w) z (u, v, w) z (u, v, w) z (u, v, w) היעקוביאן מוגדר על ידי u v w (u, v, w) (u, v, w) (u, v, w) נסכם. סכום רימן הבא (לא של f ב E, אלא קצת שונה!): f (x (ũ i, ṽ j, w k ), y (ũ i, ṽ j, w k ), z (ũ i, ṽ j, w k )) J (ũ i, ṽ j, w k ) u i v j w k i,j,k

שווה בקירוב לסכום של ערכי f בצורות הקטנות בחלוקה של D כפול נפח הצורה הקטנה. זה אמור לקרב את האינטגרל המשולש של f על D, ולאחר השלמת פרטים ודיוק מקבלים את המשפט הבא: משפט 5.1: נניח ש x = x (u, v, w) y = y (u, v, w) z = z (u, v, w), (u, v, w) E טרנספורמציה גזירה ברציפות, חח ע ועל מ E ל D, כאשר D,E תחומים חסומים בעלי נפח. נניח ש 0 w) J (u, v, עבור.(u, v, w) E תהי z) f (x, y, פונקציה אינטגרבילית ב D. אז w)) f (x (u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, אינטגרבילית ב E, ו D f (x, y, z) dx dy dz = E f (x (u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) J (u, v, w) du dv dw הערות: דוגמה: ניתן לראות מתוך הדיון שהיעקוביאן מכמת את מידת העיוות של הנפח מבחינה מקומית: אם לוקחים תיבה קטנה, הנפח של התמונה של התיבה הוא בערך הנפח של התיבה מוכפל ביעקוביאן בנקודה בתוך התיבה. באופן אנלוגי לאינטגרל כפול, זה בסדר אם תנאי אחד או יותר על הטרנספורמציה נכשלים על קבוצה שנפחה אפס (האינטגרל המשולש אינו חש בקבוצות כאלה). נחשב את הנפח של התחום D = { (x, y, z) R 3 (2x + y + z) 2 + (x + 2y + z) 2 + (x + y + 2z) 2 1 } זהו תחום מסובך להבנה, אבל יש החלפת משתנים מתבקשת שתהפוך את התחום D לתחום E (במשתנים החדשים) שהוא פשוט ומוכר: u = 2x + y + z v = x + 2y + z w = x + y + 2z, (x, y, z) D אכן, נקבל 1} 2 E = {u 2 + v 2 + w כדור היחידה. הבעיה: במשפט, החלפת המשתנים נתונה הפוך (מ E ל D ). כפי שאנו רואים בדוגמה הזו, לעיתים קרובות דווקא יותר טבעי להגדיר מ D ל E. מה עושים? על פניו, הופכים את ההעתקה ומשתמשים במשפט. אבל, כפי שהמשפט הבא יבטיח, מספיק לבדוק את התנאים על ההעתקה שהגדרנו בלי להפוך אותה, וכן ניתן לחשב את היעקוביאן ללא היפוך ההעתקה. נדגים: ההעתקה שהגדרנו היא לינארית ומיד נראה שהיא הפיכה. ברור שהיא גזירה ברציפות. נחשב את היעקוביאן שלה (זה לא היעקוביאן הנכון במשפט!): det ( ) (u, v, w) = (x, y, z) 2 1 1 1 2 1 1 1 2 = 4 0

( ) (x, y, z) J (u, v, w) = det = (u, v, w) det 1 ( (u,v,w) (x,y,z) ) = 1 4 המשפט יגיד לנו שאז: הערה: לסיכום, היעקוביאן יצא קבוע. אם לא, צריך בנוסף לעבור למשתנים,u,v w (לא להשאר עם,x).,y z V = D dx dy dz = u 2 +v 2 +w 2 1 1 4 du dv dw = π 3 (כי האינטגרל של 1 על כדור היחידה שווה לנפח הכדור, ). 4π 3 המשפט שהוזכר בדוגמה לעיל שמאפשר לעבוד עם החלפת משתנים הפוכה הוא המשפט הבא. משפט 5.2: נניח שהטרנספורמציה u = u (x, y, z) v = v (x, y, z) w = w (x, y, z), (x, y, z) D היא חח ע ועל מ D ל E, בעלת נגזרות חלקיות רציפות ב D ומקיימת det ( (u, v, w) (x, y, z) ) (x, y, z) 0 לכל,x).,y (z D אז הטרנספורמציה ההפוכה שלה (מ E ל D ) מקיימת את תנאי המשפט על החלפת משתנים, ו (x, y, z) (u, v, w) (u, v, w) = (x (u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) (u, v, w) (x, y, z) J = det 1 ( (u,v,w) (x,y,z) בפרט (ברישום מקוצר ללא ציון המשתנים): ) דוגמאות חשובות קואורדינטות כדוריות: זה דומה לפרמטריזציה של ספרה באמצעות שתי זוויות שראינו בעבר. מסמנים ב r את המרחק מהראשית, ב ϕ את הזווית ביחס לציר ה z וב θ את זווית הסיבוב בתוך המעגל בגובה של הנקודה עם רדיוס מתאים (לא r אלא r, sin ϕ המרחק לציר ה z ). מתקבל: x = r cos θ sin ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos ϕ

אם θ < 2π,0 r 0 ו π ϕ 0 נקבל את כל המרחב, ובהתאם לתחום בכל פעם נקבל גבולות מתאימים אחרים. למשל, עבור כדור: r R 0 (והיתר כנ ל), עבור שכבה בין שני כדורים: a r b (והיתר כנ ל), עבור גזרה תלת ממדית: α θ β,0 r R ו δ,γ ϕ ועוד. נחשב יעקוביאן: V = cos θ sin ϕ r sin θ sin ϕ r cos θ cos ϕ J (r, θ, ϕ) = sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos ϕ 0 r sin ϕ = r2 sin ϕ ˆ 2π 0 ˆ π dθ 0 ˆ R dϕ r 2 sin ϕ dr = R3 0 3 ˆ 2π 0 כלומר,. J = r 2 sin ϕ דוגמה: נחשב שוב נפח של כדור: dθ ˆ π 0 sin ϕ dϕ = 4πR3 3 הכללות: ניתן לבצע הזזה של נקודת הייחוס (כרגע זה הראשית), וניתן למתוח את הצירים בפרופורציות שאינן בהכרח שוות. בסך הכל, x = x 0 + ar cos θ sin ϕ y = y 0 + br sin θ sin ϕ z = z 0 + cr cos ϕ היעקוביאן במקרה זה הוא. J = abcr 2 sin ϕ קואורדינטות גליליות: בשונה מקואורדינטות כדוריות, הפעם שומרים את המשתנה z כמשתנה (זהו הגובה), ומשתמשמים בקואורדינטות פולריות (דו ממדיות) עבור ההיטל של הנקודה (z,x),y על מישור,xy שהיא פשוט הנקודה (0,y,x). זה נראה כך: x = r cos θ y = r sin θ z = z כאשר θ < 2π 0, r 0 ו R z, נקבל את כל המרחב, ובהתאם לתחום בכל פעם נקבל גבולות מתאימים אחרים. היעקוביאן הוא: cos θ r sin θ 0 J (r, θ, z) = sin θ r cos θ 0 0 0 1 = r V = ˆ h ˆ 2π ˆ R 0 0 דוגמה: נפח של גליל בגובה h עם רדיוס בסיס R: 0 r dr dθ dz = πr 2 h

פרק 6 אינטגרל קווי עד כה ראינו אינטגרלים חד ממדיים, דו ממדיים (כפולים) ותלת ממדיים (משולשים). המשותף לכל אלו הוא שמבצעים בהם אינטגרציה ( סכימה רציפה ) של פונקציה על תחום שהמימד שלו מתאים למספר המשתנים שהפונקציה תלויה בהם. כעת נכיר סוג חדש של אינטגרל שהוא גם חדש מבחינה תפיסתית מקודמיו: הקבוצה שעליה נבצע אינטגרציה תהיה עקום (כלומר, חד ממדי) אבל האינטגרנד יהיה תלוי ביותר ממשתנה אחד. אפשר לחשוב על זה בתור כיוון אחר של הכללת האינטגרל במשתנה אחד. יהי Γ עקום בעל פרמטריזציה γ (t) = (x (t), y (t), z (t)), a t b נניח לכל אורך הדיון ש ( t ) γ גזיר ברציפות (כלומר, (t) x (t), y (t), z פונקציות של משתנה אחד שהן גזירות עם נגזרת רציפה). למעשה, בהמשך נאפשר גם גזירות ברציפות למקוטעין, מה שאומר ש ( t ) γ רציף בכל נקודה וגזיר ברציפות בכל נקודה פרט (אולי) למספר סופי של נקודות. כפי שנראה, ישנם שני סוגים של אינטגרל קווי, שיש ביניהם קשר אך הם שונים ומייצגים דברים שונים. 6.1 אינטגרל קווי מסוג ראשון: אינטגרנד סקלרי (מסה, מטען, שטח פנים) נתונה y) f (x, (או z) (f (x, y, שמוגדרת לפחות בכל נקודה על העקום:.f : Γ R נחשוב על (z f,x),y כעל צפיפות מסה ליחידת אורך כאשר העקום הוא תיל שעשוי מחומר (אולי) לא אחיד. ברצוננו להגדיר אינטגרל של f לאורך Γ שייצג את המסה של התיל. מוטיבציה (לא הגדרה): נקרב את העקום על ידי מסלול פוליגונלי באופן הבא: נבחר חלוקה של b] [a, (הקטע שבו נמצא הפרמטר), b}.p = {a = t 0 < t 1 < < t n = לכל,i נשים קו ישר במרחב בין הנקודות ) 1 i γ t) ו ( γ. t) i זה יוצר מסלול שהוא ישר למקוטעין (זה נקראה פוליגונלי) וקרוב ל Γ (אבל לא מוכל בתוך Γ!). האורך של החלק מתוך Γ בין הנקודות ) 1 i γ t) ו ( γ t) i הוא בערך אורך הישר הנ ל ( אורך הקשת שווה בערך לאורך המיתר). נקרב 50

בקטע ה i את הצפיפות על ידי (( i f. γ) t) אם כך, המסה של התיל שווה בקירוב לסכום הבא: = n f (γ (t i )) γ (t i 1 ) γ (t i ) i=1 n f (x (t i ), y (t i ), z (t i )) (x (t i ) x (t i 1 )) 2 + (y (t i ) y (t i 1 )) 2 + (z (t i ) z (t i 1 )) 2 i=1 זה מוביל אותנו להגדרה הבאה. הגדרה: יהי Γ עקום עם פרמטריזציה גזירה ברציפות.γ (t), a t b תהי.f : Γ R האינטגרל הקווי מהסוג הראשון של (z f,x),y לאורך Γ מוגדר על ידי הביטוי הבא, אם הוא קיים: ˆ Γ ˆ Γ f (x, y, z) ds = f (x, y, z) ds = ˆ b a ˆ b a f (γ (t)) γ (t) dt f (x (t), y (t), z (t)) x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt בכתיבה מלאה: דוגמה: נחשב את אורכה של הציקלואידה (ליתר דיוק, של המחזור הראשון שלה). מצאנו בעבר את הפרמטריזציה: = האורך של l (Γ) := Γ = ˆ Γ ˆ 2π 0 { x = t sin t 1 ds = y = 1 cos t 2 sin ˆ 2π 0 ( ) t 2 1, 0 t 2π ˆ 2π ( ) t (1 cos t) 2 + sin 2 t dt = 2 sin 2 dt 0 2 dt = 8.0 t 2π לכל sin ( t 2) כאשר השתמשנו בכך ש 0 אם המסלול Γ סגור, נשתמש בסימון f,x),y (z ds (זו בסך הכל תזכורת לכך שהמסלול Γ סגור). משפט 6.1: האינטגרל הקווי מהסוג הראשון מוגדר היטב. כלומר, לכל שתי פרמטריזציות (t) γ ו ( t ) γ של אותו עקום Γ מתקיים: ˆ b a f (γ (t)) γ (t) dt = ˆ b ã f ( γ (t)) γ (t) dt לכן בפרט אנו רואים שאין חשיבות לכיוון ש ( t ) γ מגדיר; תוצאת האינטגרל תהיה אותה תוצאה. נתייחס להוכחת המשפט כאשר נדבר על אינטגרל קווי מסוג שני, שם יהיה משפט דומה אך עם שינוי מהותי אחד: תהיה חשיבות לכיוון התנועה על העקום.

דוגמה: נתון תיל מעגלי ברדיוס R עם צפיפות מסה אורכית x + y f.,x) (y = נחשב את המסה של R התיל: M = ˆ 2π 0 M = x 2 +y 2 =R 2 1 R ( x + y ) ds כדי לחשב אינטגרל קווי, צריך פרמטריזציה. יש לנו כזו עבור מעגל: { x = R cos t y = R sin t, 0 t < 2π ˆ 1 2π R ( R cos t + R sin t ) ( R sin t) 2 + (R cos t) 2 dt = R ( cos t + sin t ) dt 0 ˆ 2π 0 sin t dt = ˆ π 0 sin t dt + ˆ 2π π ( sin t) dt = 2 + 2 = 4 לכן: נחשב בנפרד: 2π ובאופן דומה (או משיקולי מחזוריות) = 4 dt cos t. לכן בסך הכל,.M = 8R 0 כל הדיון תקף לדו מימד וכן לתלת מימד באופן דומה. יש משמעות נוספת לאינטגרל הקווי מסוג ראשון במקרה הדו ממדי: אם נצייר את העקום על מישור xy במרחב ונצייר יריעה ( וילון ) מעל העקום כך שמעל הנקודה (t) γ, גובה הוילון הוא ((t) f, γ) אז האינטגרל הקווי מסוג ראשון שווה לשטח הפנים של הוילון. משפט :6.2 אם Γ 1 ו Γ 2 גזירים ברציפות ו 0 = ) 2 l (Γ 1 Γ (לחיתוך שלהם יש אורך אפס), אז ˆ ˆ ˆ f ds = Γ 1 Γ 2 f ds + Γ 1 f ds Γ 2 זה נקרא אדיטיביות (ביחס לתחום). בפרט, האינטגרל הקווי מסוג ראשון מוגדר היטב על עקומים שהם גזירים ברציפות למקוטעין על ידי סכום האינטגרלים הקווים על החלקים הגזירים למקוטעין. 6.2 אינטגרל קווי מסוג שני: עבודה (שדה וקטורי) נתון שדה וקטורי F : R 2 R 2 (או F : R 3 R 3,( שרכיביו מסומנים כך: F (x, y, z) = P (x, y, z) î + Q (x, y, z) ĵ + R (x, y, z) ˆk זהו וקטור בכל נקודה, שיש לחשוב עליו בתור הכוח שיפעל על גוף נתון אם יוצב בנקודה. למעשה, השדה לא חייב להיות מוגדר בכל נקודה. שדה וקטורי בתחום D R 3 הוא פונקציה וקטורית. F : D R 3 דוגמאות:

שדה כבידה (קירוב גס קבוע, מכוון למטה, גודלו שווה למשקל הגוף): F (x, y, z) = Wˆk 1 = 2ˆr F (x, y, z) = 1 r x 2 + y 2 + z 2 שדה כבידה (יותר מדויק החוק של ניוטון): xî + yĵ + kˆk x2 + y 2 + z 2 x y z = î ĵ ˆk (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 נניח שחלקיק נע לאורך עקום Γ באזור שבו פועל שדה כוחות. מהו השינוי באנרגיה של החלקיק כתוצאה מפעולת הכוח? העיקרון הפיסיקלי הוא הוא שהעבודה (שינוי באנרגיה) שווה לכוח כפול דרך, כאשר רק המרכיב של הכוח בכיוון המקביל לדרך תורם. כלומר, אם נסתכל על קטע זמן קטן [t,t], t + העבודה לאורך המיתר המתאים על העקום שווה בערך ל F γ (t) (γ (t)) γ γ (t) γ (t + t) (t) הסבר: הביטוי בסוגריים שווה להיטל של הכוח על כיוון התנועה הרגעי (=מהירות=וקטור משיק). הביטוי השני שווה בערך לדרך שהחלקיק עבר בחלון הזמן הקטן הנ ל. ראינו ביטוי כנ ל במוטיבציה להגדרת אינטגרל קווי מסוג ראשון, כאשר במקום הביטוי בסוגריים הייתה לנו פונקציה סקלרית (z f.,x),y לפי ההגיון ההוא, העבודה אמורה להיות שווה לאינטגרל הקווי מהסוג הראשון: ˆ Γ F γ γ ds = ˆ b F = P î + Qĵ + Rˆk ויהי,γ (t), a F γ (t) (γ (t)) γ ˆ b γ dt = F (γ (t)) γ (t) dt (t) a לביטוי האחרון יש אופי משלו, והוא מוביל להגדרה הבאה. הגדרה: יהי Γ עקום עם פרמטריזציה גזירה ברציפות a t b שדה וקטורי שמוגדר לפחות על Γ. אינטגרל העבודה (או האינטגרל הקווי מהסוג השני) של F לאורך Γ מוגדר (אם הוא קיים) על ידי ˆ Γ F (x, y, z) ds = ˆ b a ( ) F (γ (t)) γ (t) dt

ˆ Γ ˆ b בכתיב מלא: F (x, y, z) ds = P (x (t), y (t), z (t)) ẋ (t) dt + Q (x (t), y (t), z (t)) ẏ (t) dt a a }{{}}{{} =: Γ P dx ˆ b ˆ b =: Γ Q dy + R (x (t), y (t), z (t)) ż (t) dt a }{{} =: Γ R dz הערה: זה יכול להיות מבלבל, אבל P dx הוא אחד הביטויים באינטגרל הקווי מסוג שני. Γ באופן שקול, הוא שווה לאינטגרל הקווי מהסוג שני של השדה P. î ˆ Γ y dx + x dy = דוגמה: נחשב את העבודה של השדה yî + xĵ לאורך החצי הימני של מעגל היחידה: ˆ π 2 π 2 (sin t ( sin t) + cos t cos t) dt = ˆ π 2 π 2 cos (2t) dt = 1 2 sin (2t) π 2 π 2 אם המסלול Γ סגור, נסמן. Γ F ds עבור מסלול סגור במישור, הכיוון החיובי על המסלול הוא הכיוון שבו אדם שעומד על המסלול (ראש בכיוון החוצה מהדף) והולך בהתאם לכיוון, רואה את המסלול משמאלו. כפי שמיד נראה, לכיוון יש השפעה על אינטגרל העבודה. אם הכיוון חיובי, נסמן. Γ F ds = 0 משפט 6.3: יהי Γ עקום ותהיינה (t) γ ו ( t ) γ שתי פרמטריזציות של Γ. אם (t) γ ו ( t ) γ מכוונים באותו כיוון על Γ (משרים את אותה אוריינטציה), אז ˆ b a ( ) F (γ (t)) γ (t) dt = ˆ b ã ( F ( γ (t)) γ ) (t) dt ˆ b a ( ) F (γ (t)) γ (t) dt = אם (t) γ ו ( t ) γ משרים את אוריינטציות הפוכות, אז ˆ b ã ( F ( γ (t)) γ ) (t) dt כלומר, האינטגרל הקווי מסוג שני לא תלוי בפרמטריזציה, עד כדי היפוך שהופך סימן. הערה: יש נקודה מבלבלת בסימון. אין דרך להבין מהו הכיוון שיש לקחת על העקום Γ בחישוב של אינטגרל קווי מסוג שני לכן בד כ זה יצויין במפורש בנפרד מהסימון.. Γ המקרה יוצא דופן הוא מסלול סגור, שאז כאמור יש סימון לכיוון החיובי. ההוכחה של המשפט זהה למקרה של אינטגרל קווי מסוג ראשון (שלא עשינו). החלק הראשון, עבור אוריינטציות זהות, מצריך כלים שאין לנו. נוכיח את החלק השני. לצורך כך נציין שאפשר להניח ללא הגבלת הכלליות שהתחום של הפרמטר הוא [1,0], כי יש שינוי פרמטר פשוט שמעביר קטע כלשהו לקטע הזה.

הוכחה: הפרמטריזציה 1 t γ (1 t), 0 היא פרמטריזציה בכיוון ההפוך של (t),γ כלומר, באותו כיוון כמו (t) γ. לכן לפי החלק הראשון של המשפט, תוצאת החישוב של האינטגרל הקווי מסוג שני זהה עבור t) γ (1 ו ( t ). γ לכן בלי הגבלת הכלליות, t). γ (t) = γ (1 נעבור לחישוב. לפי כלל השרשרת, ˆ 1 F (γ (1 t)) 0 ˆ d 1 (γ (1 t)) dt = F (γ (1 t)) γ (1 t) dt dt 0 נבצע הצבה,s = 1 t ואז ds = dt וגבולות האינטגרציה 0, 1 עוברים ל 0 1, בהתאמה. לכן ˆ 1 F (γ (1 t)) 0 ˆ d 0 (γ (1 t)) dt = F (γ (s)) γ ˆ 1 (s) ds = F (γ (t)) γ (t) dt dt 1 0 כרצוי. דוגמה: נחשב את האינטגרל הקווי מסוג שני של השדה y 2 î + x 2 ĵ לאורך שני מסלולים שונים שמחברים בין הנקודות (0,0) ו ( 1,1). המסלול הראשון Γ 1 הוא הקו הישר ביניהם. פרמטריזציה: { ˆ x = t y = t Γ 1 y 2 dx + x 2 dy = ˆ 1 0, 0 t 1 ( t2 1 + t 2 1 ) dt = 2 3 ולכן המסלול השני Γ 2 מורכב משני ישרים: מ ( 0,0) ל ( 0,1), ומשם ל ( 1,1). נוכל לבחור פרמטריזציה לכל חלק בנפרד: ˆ { x = t y = 0 Γ 2 y 2 dx + x 2 dy = ו 1] [0, t, ˆ 1 0 { x = 1 y = t, t [0, 1] ( 0 1 + t2 0 ) ˆ 1 ( dt + t2 0 + 1 1 ) dt = 1 0 לכן: התוצאה שונה לאורך כל עקום. בד כ Γ F ds לא תלוי רק בנקודות הקצה של Γ, אלא ממש בכל המסלול. הגדרה: שדה וקטורי F נקרא משמר בתחום D אם לכל שתי נקודות,A B D מתקיים התנאי הבא: לכל שני מסלולים חלקים למקוטעין Γ,Γ מ A ל B שמוכלים ב D, ˆ Γ F ˆ ds = Γ F ds