Тухайн Дифференциал Тэгшитгэл Үүеэ Отгонбаяр
Гарчиг Бүлэг 1. 1 Хичээл 1. 1 Хичээл 2. 4 Хичээл 3. 8 Хичээл 4. 11 Хичээл 5. 15 Бүлэг 2. 19 Хичээл 1. 19 Хичээл 2. 21 Ишлэл 23 Товъёг 25 iii
БҮЛЭГ 1 Хичээл 1. Бид Nakhlé H. Asmar-ийн Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value problems (Хоёр дахь хэвлэл, Pearson Prentice Hall 2005, 2000) номыг дагах болно. Энэ ном нь хялбар ойлгомжтой бичигдсэн бөгөөд жишээ тайлбараар баялаг ном юм. Бид доор дурдагдах ойлголтуудыг мэддэг гэж үзэх бөгөөд дараах тэмдэглэгээнүүдийг ашиглах болно. Гэхдээ дифференциал тэгшитгэл бодоход чухал үүрэг гүйцэтгэх теоремуудыг бол ихэнхийг нь батална эсвэл нарийн томъёололыг нь өгөх болно. Нэг болон олон хувьсагчтай, тасралтгүй болон дифференциалчлагддаг функцийн тухай; бид функцуудаа f(x), f(x, y, z), u(x, t) гэх мэтчилэн тэмдэглэх болно. Мөн Рийманы интегралыг мэддэг гэж тооцно. Функцан дараалал болон цувааны нийлэлт; тэмдэглэгээ lim f n(x), u n (x, t) n гэх мэт. Үүний дотор цэгчилсэн/pointwise нийлэлт жигд/uniform нийлэлт ийн талаар мэддэг гэж үзнэ. Бид мөн компакт олонлог дээрх жигд нийлэлт L 2 -нийлэлт гэсэн нийлэлтүүдийг ашиглах ба энэ талаар мэдэх шаардлагагүй. Зэрэгт цуваа болон Тейлорийн цуваа; тодруулбал нийлэлтийн радиус коэффициентуудынн томьёо ямар функцууд Тейлорийн цуваанд задардаг болох сонгодог функцууд, тухайлбал e x, sin x, cos x гэх мэтийн функцуудын Тейлорийн задаргаа Энэ талаар номны A.4, A.5 хавсралтуудыг үзнэ үү. Энгийн дифференциал тэгшиттгэлийн (үүнээс хойш ЭДТ) анхан шатны мэдлэг, тухайлбал 1
2 1 нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл u Õ (x)+p(x)u(x) =g(x) ийн шийдэл; хоёрдугаар эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл (тогтмол коэффиценттэй, нэгэн төрлийн) u ÕÕ (x)+pu Õ (x)+qu(x) = 0 ийн шийдэл. Энэ талаар номны A.1, A.2 хавсралтыг үзнэ үү. Тейлорийн цуваанаас гадна Фурьегийн цуваа гэж чухал цуваа байдаг бөгөөд энэ талаар ямар нэг мэдлэг шаардахгүй болно. Энэ нь 2π-үет функцыг a 0 + (a n cos(nx)+b n sin(nx)) хэлбэртэй задална гэсэн үг. Номны нэрнээс харахад ойлгомжтойчилон, Фурьегийн цуваа нь бидний судлах нэгэн гол сэдэв байх бөгөөд дифференциал тэгшитгэлийг бодох гол багаж маань байх болно. Энэ судалгаанд ямар функц, ямар утгаар Фурьегийн цуваанд задрах вэ гэдэг асуулт чухал байр суурь эзлэх болно. Бид тухайн уламжлалт дифференциал тэгшитгэл (үүнээс хойш ТУДТ), өөрөөр хэлбэл, олон хувьсагчийн дифференциал тэгшитгэлийн талаар судална. Хоёр хувьсагчаас эхэлье: үл мэдэгдэх функцаа u(x, t) гэе. Тэгвэл x t (x, t) = бэхлэгдсэн t-ийн хувьд x-ээр авсан уламжлал (x, t) = бэхлэгдсэн x-ийн хувьд t-ээр авсан уламжлал болохыг санъя. Жишээ 1.1. Хэрвээ u(x, t) := x 2 + sin(t)x бол (x, t) = 2x + sin(t) x (x, t) =cos(t)x. t Цааш нь үргэлжлүүлэхийн өмнө давхар функцийн уламжлал олдог дүрэмээ санъя. Жишээ 1.2. (1) Хэрвээ f = f(x), g = g(s) нь дифференциалчлагддаг функцууд бөгөөд f(s) := f(g(s)) бол d f df dg (s) = (g(s)) ds dx ds (s).
(2) Хэрвээ ХИЧЭЭЛ 1 3 f = f(x), g = g(s, t) нь дифференциалчлагддаг функцууд бөгөөд бол (3) Хэрвээ f(s) := f(g(s, t)) f df g (s) = (g(s)) s dx s (s). u = u(α, β), α = α(x, t), β = β(x, t) нь дифференциалчлагддаг функцууд бөгөөд бол болно. ũ(x, t) := u(α(x, t),β(x, t)) ũ x = α α x + β β x ũ t = α α t + β β t Одоо эхний маш хялбар ТУДТ-ээ авч үзье: u = u(x, t) x + =0. (1.1) t Энэ тэгшитгэл ямар шийдүүдтэй вэ? (1) Нэг шийд таахад амархан: Үнэхээр u(x, t) := x t. x =1, t = 1 тул x + t =0. (2) Цаашилбал, дурын дифференциалчлагддаг функц f-ийн хувьд нь шийд болно: Иймээс u(x, t) := f(x t) (1.2) x = f Õ, t = f Õ. (t s) 3, e (t s)2, sin(t s) + 3 гэх мэтийн маш олон функцууд нь шийд болно.
4 1 Энгийн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд ч анхны утга зааж өгөхгүй бол нэг утгатай бодогддоггүйг санъя: жишээлбэл, ямар ч тогтмол тоо C-ийн хувьд y(t) := C e at нь y Õ = ay тэгшитгэлийн шийд болох бөгөөд энэ үед C = y(0). Тэгэхээр бид u(x, 0) = өгөгдсөн функц (1.3) гэсэн анхны утгын нөхцөл/initial value condition дээр анхаарлаа төвлөрүүлнэ. ТУДТ-ийг анхны утгын нөхцөлтэй нь нийлүүлээд анхны утгын бодлого/initial value problem гэнэ. (1.1) жишээн дээр, хэрвээ өгөгдсөн функц маань дифференциалчлагддаг функц f бол u = f(x t) нь энэ анхны утгын бодлогын шийдэл болно. Хичээл 2. Одоо (1.1) тэгшитгэл өөр шийдгүй болохыг харуулъя. Тэгэхийн тулд u(x, t) =v(α, β), α(x, t) =ax + bt, β(x, t) =cx + dt гэсэн шугаман орлуулалт хийе (тодорхойлогч ad bc = 0байх шаардлагатай). Тэгвэл x = a v α + c v β t = b v α + d v β болж болно. Тиймээс x + v v =(a + b) +(c + d) t α β a =1, b =0, c =1, d = 1 гэж авбал тэгшитгэл маань v (α, β) = 0 α болж хялбаршина. Өөрөөр хэлбэл, ямар зөвхөн β-аас хамаарсан функц C = C(β)-ийн хувьд v(α, β) =C(β) байх болно. Нөгөө талаас β(x, t) =x t тул u(x, t) =v(α, β) =C(β) =C(x t) болж (1.2) бүх шийд болох нь харагдлаа. Тэмдэглэл 1.3. Боломжтой бол ДТД-ийг ЭДТ-рүү шилжүүлж бодно. Энэ аргыг бид хэд хэдэн хувилбараар хэрэглэх болно. Тэмдэглэл 1.4. (1.1) нь зөөгдөх тэгшитгэл/transport equation гэж нэрлэгдэх тэгшитгэлийн хялбар хэлбэр юм. Номонд advection equation гэж нэрлэсэн байгаа. Ерөнхий тохиолдолд + κ(x, t) = k(x, t) x t
ХИЧЭЭЛ 2 5 гэж бичигдэнэ. Дасгал 1.1-ийн The method of characteristic curves болон Дасгал 1.2.27-г харна уу. Одоо хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлүүд авч үзье. Энд бид нилээд их ажиллагаа шаардлагатай болох бөгөөд нэг хэсэгтээ хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлд анхаарлаа төвлөрүүлнэ. Гурван чухал тэгшитгэл байна: Тодорхойлолт 1.5. c>0 гэе. Тэгвэл долгионы тэгшитгэл: u = u(x, t) 2 u t 2 c2 2 u x 2 =0 дулааны тэгшитгэл: u = u(x, t) t c2 2 u x 2 =0 Лапласын тэгшитгэл: u = u(x, y) 2 u x 2 + c2 2 u y 2 =0. Харгалзах олон гишүүнтүүдийг нь харвал, тус бүр, τ 2 c 2 ξ 2 = a τ c 2 ξ 2 = a ξ 2 + c 2 η 2 = a болох нь харагдах бөгөөд иймээс дээрх дифференциал тэгшитгэлүүдийг тус бүр гиперболлог, параболлог, эллипслэг гэж нэрлэнэ. Хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлүүд ямар ангид хамаарахаасаа шалтгаалан шийд болон шийдүүдийн шинж чанар нь огт өөр боловч дээр дурдсан тэгшитгэлүүд энэ ангиудын хамгийн чухал бөгөөд төлөөлөгч жишээнүүд тул бид тэднийг нарийн судлах болно. Эхлээд долгионы тэгшитгэлийг авч үзье: 2 u t 2 c2 2 u =0. (1.4) x2 Хувьсагч x нь [0,L] дээр тодорхойлогдсон, бөгөөд бүх t R-ийн хувьд u(0,t) = 0 = u(l, t) (1.5) гэж үзье. Энэ нөхцөл нь гитарын утас мэт хоёр үзүүр нь бэхлэгдсэн L урттай хэлбэлзэх утсанд харгалзана. Физик тайлбарыг нь номноос уншина уу. Ийм маягийн нөхцөлийг захын нөхцөл/boundary condition гэж нэрлэнэ. Долгионы тэгшитгэлийг бодох үндсэн хоёр арга байна: Хувьсагч солих: Юуны өмнө t ± c x =0
6 1 тэгшитгэлийн хоёр удаа дифференциалчлагддаг шийдүүд нь долгионы тэгшитгэлийг хангахыг хялбархан шалгаж болно. Өөрөөр хэлбэл, F, G гэсэн 2 удаа дифференциалчлагддаг функцуудын хувьд u(x, t) =F (x + ct)+g(x ct) нь долгионы тэгшитгэлийн шийд болно. Долгионы тэгшитгэлийн бүх шийд ийм хэлбэртэй болохыг дасгал болгон өгсөн. Фурьегийн цуваа ашиглах: Энэ арга нь дээрх шиг хялбар биш боловч маш хүчирхэг юм. Энэ нь жишээлбэл дулааны тэгшитгэл дээр харагдах болно. Дулааны тэгшитгэлд дээрх шиг хялбар шийдэл байхгүй бөгөөд Фурье анх Фурьегийн цуваа ашиглан шийдэж байжээ. Бид одоо энэ хоёр дахь арга дээр анхаарлаа төвлөрүүлье. Гэхдээ энэ удаа гол санааг нь харуулах үүднээс нарийн ширийн зүйлүүдийг нь авч хэлэлцэхгүй болно. Фурьегийн цуваа үзсэний дараа дифференциал тэгшитгэлрүү эргэн ирэх бөгөөд тэр үед бүх алхамыг нь нарийн тайлбарлана. Хялбарыг бодож c =1, L = π гэе. Тэгвэл бодлого маань 2 u t 2 2 u x 2 =0 u(0,t) = 0 = u(π, t) гэж бичигдэнэ. Юуны өмнө нэг шийд таахад амархан 1 : Үнэхээр тул Мөн тул u(x, t) := sin(x) cos(t). 2 u t 2 = u = 2 u x 2 2 u t 2 2 u x 2 u =0. u t (x, t) := (x, t) = sin(x) sin(t) t I u(x, 0) = sin(x) u t (x, 0) = 0 гэсэн анхны утга авна. Хэрвээ I u(x, 0) = 0 u t (x, 0) = sin(x) гэсэн анхны утгатай шийд хүсвэл u(x, t) := sin(x) sin(t) 1 бид энд хувьсагч салгах аргыг ашигласан бөгөөд энэ талаар дараа дэлгэрэнгүй авч үзнэ.
гэхэд хангалттай. Энэ хоёрыг нийлүүлээд, жишээлбэл, I u(x, 0) = 1 2 sin(x) u t (x, 0) = 3 sin(x) гэсэн анхны утгын бодлогын хариу ХИЧЭЭЛ 2 7 u(x, t) := 1 sin(x) cos(t) + 3 sin(x) sin(t) 2 болохыг харна. (Өөр шийдтэй эсэхийг дараа авч хэлэлцэнэ.) Арай дэлгэрүүлбэл, I u(x, 0) = f(x) гэсэн анхны утгын нөхцөлийн оронд I u(x, 0) = f(x) u t (x, 0) = 0 u t (x, 0) = g(x) I u(x, 0) = 0 u t (x, 0) = g(x) гэсэн хоёр анхны утгын нөхцөлийг тус тусад нь авч үзэхэд хангалттай байна. Үүнээс хойш бид эхний нөхцөлд нь анхаарлаа төвлөрүүлнэ. Ерөнхий c, L-ийн хувьд, бага зэрэг сунгахад хангалттай: u(x, t) := sin 3 π L x 4 cos Энэ шийдийг голлох шийд/principal solution гэнэ. Өөр шийдүүд: буцаад c =1, L = π гэвэл 3 cπ L t 4. u 2 (x, t) := sin(2x) cos(2t). u n (x, t) := sin(nx) cos(nt) функцууд нь бүгд шийд болно. Учир нь 2 u n t 2 = n 2 u = 2 u x 2 байна. Эдгээр шийдүүд мөн u(0, t) = 0 = u(π, t) гэхэн захын нөхцөлийг хангана. Харин анхны утгын нөхцөл нь I un (x, 0) = sin(nx) болно. Ерөнхий c, L-д u n (x, t) := sin n t (x, 0) = 0 3 4 nπ L x cos 3c nπ 4 L t гэж авна. Энэ шийдүүдийг жирийн төлөв/normal mode гэнэ. Цаашилбал, жирийн төлөвүүдээ нийлүүлээд Nÿ 3 4 nπ u(x, t) := b n sin L x cos 3c nπ 4 L t
8 1 гэсэн шийдтэй болно. Үүнийг суперпозиц/superposition гэнэ. Анхны утга нь: Nÿ 3 4 nπ u(x, 0) = b n sin L x болно. Энд болохыг ашиглав. u t (x, t) = u t (x, 0) = 0 Nÿ Хэрвээ u(x, 0) = f(x) нь 3 c nπ 4 3 4 nπ b n sin L L x sin 3c nπ 4 L t f(x) = Хичээл 3. Nÿ 3 4 nπ b n sin L x гэсэн хэлбэртэй бол долгионы тэгшитгэлийн анхны утгын бодлогыг суперпозиц ашиглаад Nÿ 3 4 nπ u(x, t) = b n sin L x cos 3c nπ 4 L t гэж шийдэж болохыг харлаа. Тэгвэл төгсгөлгүй цуваа 3 4 nπ f(x) = b n sin L x u(x, t) = 3 4 nπ b n sin L x cos 3c nπ 4 L t ашиглаж болох уу, үгүй юу? Болбол ямар тохиолдолд болох вэ? Энэ асуултад хариу өгөх нь Фурьегийн цувааны онол юм. Дээр дурьдсанчилан, долгионы тэгшитгэлийг бодоход энэ бүхэн шаардлагагүй бөгөөд хувьсагч солих замаар илүү хялбар шийдэх боломжтой. Фурьегийн цувааны давуу тал нь зөвхөн онoлын төдийгүй хэрэглээний бусад олон бодлого бодоход ашиглагддаг явдал юм. Жишээ болгож Фурьегийн цуваа ашиглан дулааны тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж болохыг харья. Энэ талаар 3.5 бүлэгт нарийн үзэх болно. Тэгшитгэл маань захын нөхцөл, анхны утгын нөхцөлтэй хамтдаа t c2 2 u x 2 =0 u(0,t) = 0 = u(l, t) u(x, 0) = f(x) болно. Энэ тэгшитгэл нь физикт L урттай савааны дулааны тархалтийг илэрхийлдэг ба энд, хоёр үзүүр нь 0 дулаантай, x цэгийн анхны дулаан f(x) байсан гэж үзлээ.
Долгионы тэгшитгэлийн адил u 1 (x, t) := sin u n (x, t) := sin. ХИЧЭЭЛ 3 9 3 π L x 4 e c2 ( π L) 2 t 3 nπ L x 4 e c2 ( nπ L ) 2 t гэсэн шийдүүдийг тааж олоход төвөгггүй бөгөөд эдгээрийг супепозиц хийвэл 3 4 nπ u(x, t) := b n sin L x e c2 ( nπ L ) 2 t u(x, 0) := 3 4 nπ b n sin L x болно. Цувааны нийлэлт болон энэ цуваа маань хэзээ үнэхээр дулааны тэгшитгэлийг хангах эсэхийг үл анхаарвал, хэрвээ f(x)-ийг 3 4 nπ f(x) = b n sin L x (1.6) хэлбэртэй бичиж чадвал дулааны тэгшитгэлийг ерөнхийд нь шийдлээ гэсэн үг болох нь. Фурье ямар ч f-ийн хувьд энэ нь боломжтой бөгөөд ингэж дулааны тэгшитгэлийг бүрэн шийдэх боломжтой гэсэн боловч, тухайн үеийнхээ математикчидаас утгагүй зүйл ярилаа, цуваа чинь нийлэхгүй бол яах вэ? гэж зэмлүүлж байжээ. Үнэхээр (1.6) цуваа хэзээ нийлэх вэ, ямар утгаар нийлэх вэ гэдэг бол чухал асуулт юм. Аз болоход үе үеийн математикчидийн ачаар бид өнөөдөр хариуг нь мэддэг болж, тэр нь Фурьегийн онол гэж нэрлэгдэх болжээ. Одоо 2.1 бүлэгт бэлтгэж бага зэрэг бие халаалт хийе. Тодорхойлолт 1.6. Бодит тоон функц f : R R нь дурын x R-ийн хувьд f(x + T )=f(x) байдаг бол f-ийг T -үет функц гэнэ. T -үет функцыг тодорхойлохын тулд [0,T) (эсвэл ямар нэг a R-ийн хувьд [a, a + T ) эсвэл (a, a + T ]) хэрчим дээрх утгыг нь заахад хангалттай. Жишээ 1.7. f(x) =x функцыг ( L, L] хэрчимээс 2L үетэй болгон өргөтгөе: f(x) =x 2kL, x ((2k 1)L, (2k + 1)L], k Z. Энэ функц нь..., L, L, 3L,... цэгүүдэд үсрэлттэй. Үүнээс хойш бид зөвхөн ямар хэрчимээс ямар үетэй болгон өргөтгөж байгаагаа хэлэх болно. Жишээ 1.8. Номны 18-р хуудасны хөрөөний шүд/saw-tooth функц: 2πүетэй бөгөөд [0, 2π) хэрчим дээр f(x) := 1 (π x), x [0, 2π) 2
10 1 гэж тодорхойлнo. Энэ мэтээр бид үсрэлттэй функцуудтай ажиллах хэрэгтэй болох нь. Тодорхойлолт 1.9. f :[a, b] R функцийн тасралтийн цэг x-ийн хувьд f(x ) := lim f(x ε), f(x+) := lim f(x + ε) ε 0,ε>0 ε 0,ε>0 оршин байдаг бол x-ийг үсрэлтийн цэг гэнэ. Зарчимийн хувьд f(x) бол ямар ч утга авч болох бөгөөд мөн заримдаа f-ийг x цэг дээр огт тодорхойлогдоогүй байхыг ч зөвшөөрөхийг анхааруулья. Мөн хэрэв x нь a юм уу b бол бид зөвхөн f(a+) юм уу f(b )-ийг авч үзнэ. Тодорхойлолт 1.10. f : [a, b] R функц нь зөвхөн төгсгөлөг тооны үсрэлтээс өөр тасралтгүй бол f-ийг хэсэгчилж тасралтгүй/piecewise continuous функц гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, [a, b] хэрчимийг a = t 0 <t 1 < <t m <t m+1 = b гэж f нь бүх задгай хэрчимүүд (t i,t i+1 ) дээр тасралтгүй бөгөөд f(t i ), f(t i +) хязгаарууд нь оршин байхаар хувааж болдог бол f-ийг хэсэгчилж тасралтгүй гэнэ (захын цэгүүд a, b дээр зөвхөн f(a+), f(b )-ийг харна). Хэсэгчилэн тасралтгүй функцуудын нийлбэр болон үржвэр мөн хэсэгчилж тасралтгүй болохыг анхаарна уу. Бид мөн C 0 = тасралтгүй C 1 = тасралтгүй дифференциалчлагддаг, өөрөөр хэлбэл, дифференциалчлагддаг бөгөөд уламжлал нь тасралтгүй гэсэн товчлол ашиглана. Номонд C 1 гэхийг гөлгөр/smooth гэж нэрлэж байгаа боловч бид энэ нэрийг C буюу төгсгөлгүй дифференциалчлагддаг функцуудад ашиглах болно. Эцэст нь ахиад нэг тодорхойлолт өгье. Тодорхойлолт 1.11. f :[a, b] R функцын хувьд f болон f Õ нь хоёулаа хэсэгчилж тасралтгүй 2 бол f-ийг хэсэгчилж C 1 гэнэ. f : R R нь ямар ч битүү хэрчим дээр хэсэгчилж C 1 бол бид f-ийг хэсэгчилж C 1 гэнэ. Жишээ 1.12. (1.7, 1.8) дахь жишээнүүд хэсэгчилж C 1 болно. Жишээ 1.13. f(x) =x 2 функцыг [ 1, 1] хэрчимээс бүх бодит тооруу 2- үет функц болгон үргэлжлүүлье. Тэгвэл f нь тасралтгүй бөгөөд хэсэгчилж C 1 болно. 2 энд f Õ нь f-ийн дифференциалчлагддаггүй цэгүүд дээр тодорхойлогдоогүй болохыг анзаарна уу.
ХИЧЭЭЛ 4 11 Хичээл 4. Битүү олонлог дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй функц интегралчлагддаг, өөрөөр хэлбэл Рийманы нийлбэр нь нийлдэг 3, болохыг мэднэ. Эндээс ямар ч хэсэгчилж тасралтгүй функц Рийман интегралчлагддаг болохыг төвөггүй харж болно. Үет функцын интегралийн талаарх дараах Лемма хялбар боловч олон удаа ашиглагдана. Баталгаа нь дасгал. Лемма 1.14. f : R R нь интегралчлагддаг T -үет функц бол, ямар ч a R-ийн хувьд байна. T 0 f(x)dx = a+t a f(x) Одоо Фурьегийн цуваад анхаарлаа шилжүүлье. Юуны өмнө хэрэв f = f(x) нь T үетэй бол g(x) := f(px), p = 0нь T /p үетэй болохыг анзаарна уу. Тиймээс sin(x), cos(x) функцууд нь 2π, sin(nx), cos(nx) функцууд нь 2π/n үетэй болно. n нь натурал тоо болохыг анхаарвал, sin(nx), cos(nx) функцууд нь мөн 2π үетэй болох нь харагдана. Лемма 1.15. n, m нь бүхэл тоонууд болог. Тэгвэл I π 2π, n =0, cos(nx)dx = 0, n = 0 sin(nx)dx =0, n болно. Цаашилбал, болно. 2π, n = m =0, cos(nx) cos(mx)dx = π, n = m = 0, 0, n = m sin(nx) cos(mx)dx =0, sin(nx) sin(mx)dx = n, m I π, n = m, 0, n = m Баталгаа. Эхний хоёр тэнцэтгэл маань шууд тооцоо эсвэл тэгш хэмээс гарна: 1dx =2π, 3 Бид зөвхөн Рийманы интеграл ашиглах болно.
12 1 cos(nx)dx = 1 (sin(nπ) sin( nπ)) = 0, n = 0, n sin(nx)dx = 0 (sin(nx)+sin( nx))dx =0. Бусад нь эднийг ашиглан синус косинусийн нийлбэрийн дүрэмээс гарна: cos(x) cos(y) = 1 (cos(x y)+cos(x + y)) 2 sin(x) cos(y) = 1 (sin(x y)+sin(x + y)) 2 sin(x) sin(y) = 1 (cos(x y) cos(x + y)). 2 Тэмдэглэл 1.16. Эхний хоёр тэнцэтгэл нь сүүлийн хэдээсээ m =0гэж авсан тухайн тохиолдол болж мөрдөн гарахыг анзаарна уу. Тэмдэглэл 1.17. Дээрх бүх интегралуудыг [0, 2π] хэрчим дээр бодож болно. Тэгэхээр хэрвээ 2π үетэй функц f : R R нь f(x) =a 0 + (a n cos(nx)+b n sin(nx)) гэж бичигддэг бөгөөд нэмэгдэхүүнчилэн интегралчилж болдог гэж үзвэл f(x)dx = a 0 dx + (a n cos(nx)dx + b n sin(nx)dx) = 2πa 0 болно. Мөн, m = 0бол, f(x) cos(mx)dx = a 0 cos(mx)dx + (a n cos(nx) cos(mx)dx + b n sin(nx) cos(mx)dx) = πa m, f(x) sin(mx)dx = a 0 sin(mx)dx + (a n cos(nx) sin(mx)dx + b n sin(nx) sin(mx)dx) = πb m болно (энд ч нэмэгдэхүүнчилэн интегралчилж болдог гэж үзэв). Энэ бүхэн дээр үндэслэн бид доорх тодорхойлолтыг өгье.
ХИЧЭЭЛ 4 13 Тодорхойлолт 1.18. f : R R нь хэсэгчилж тасралтгүй 2π-үет функц бол түүний Фурье коэффициентүүдийг a 0 := 1 2π a n := 1 π b n := 1 π f(x)dx f(x) cos(nx)dx f(x) sin(nx)dx гэж тодорхойльё. Харгалзах цуваа a 0 + (a n cos(nx)+b n sin(nx)) -г нь f-ийн Фурьегийн цуваа гэх бөгөөд тухайн нийлбэрийг нь Nÿ s N = s N (f) := a 0 + (a n cos(nx)+b n sin(nx)) гэж тэмдэглэнэ. Дээрх томьёонуудыг Эйлерийн томьёо гэдэг бөгөөд эднийг Фурьегээс өмнө Эйлер ашиглаж байжээ. Харин энэ коэффициентүүд болон цуваа маш өргөн хэрэглээтэй болон, тухайбал, ямар ч үет функцыг ингэж задалж болно гэж Фурье анх анзаарч энэ талаар судалгаа хийж байжээ. Тэмдэглэл 1.19. Эйлерийн томьёогоор Фурьегийн цуваа тодорхойлоход f нь [, π] хэрчим дээр интeгралчлагддаг байхад хангалттай. Учир нь энэ үед, f(x) cos(nx), f(x) sin(nx) функцууд мөн интегралчлагдана. 4 Яагаад гэдэгийг дасгал болгон харуулна уу. Тэмдэглэл 1.20. Энд ч гэсэн бүх интегралийг [0, 2π] дээр бодож болохыг анхаарна уу. Жишээ 1.21. Хөрөөний шүд функц (1.8): 2π-үет бөгөөд f(x) := 1 (π x), 2 x [0, 2π). Тэгвэл, f нь [, π] дээр сондгой функц (тодорхойлолтыг шаардлагатай бол 1.29-аас харна уу) болох тул тэгш хэмээс a 0 = 1 2π a n = 1 π f(x)dx =0 f(x) cos(nx)dx =0 4 Лебегийн интеграл ашиглавал Коши-Шварцийн тэнцэтгэл биш ашиглаад энэ нөхцөлийг f нь хэмжигдэм бөгөөд f 2 нь интегралчлагддаг, өөрөөр хэлбэл f L 2 [, π], гэж сулруулж болно.
14 1 болох бөгөөд тооцоогоор 2π b n = 1 1 (π x) sin(nx)dx π 0 2 = 1 2π ( x) sin(nx)dx 2π 0 = 1 2π 1 xd cos(nx) 2π 0 n = 1 3-1 --- 2π 2π 4 2π n x cos(nx) 1 n cos(nx)dx = 1 n болно. Тиймээс f-ийн Фурьегийн цуваа нь 0 0 1 n sin(nx) болно. Энэ цуваа нийлэх үү? Тэгнэ, цэгчилэн нийлнэ, гэхдээ I x (0, 2π) бол f(x)-рүү x =0бол 0-лүү нийлнэ. Энэ жишээг ерөнхийлбөл доорх теорем гарна. Баталгааг нь номны 2.8 бүлэгээс харна уу. 5 Tеорем 1.22. f : R R нь 2π-үет хэсэгчилж C 1 функц болог. Тэгвэл Эйлерийн томъёогоор тодорхойлогдсон Фурьегийн цуваа цэг бүрчилэн нийлэх бөгөөд дурын x R-ийн хувьд a 0 + (a n cos(nx)+b n sin(nx)) = 1 2 (f(x )+f(x+)) байна. Нэмээд хэрэв f нь x дээр тасралтгүй бол f(x ) =f(x) =f(x+) тул байна. a 0 + (a n cos(nx)+b n sin(nx)) = f(x) Тэмдэглэл 1.23. Энд f нь хэсэгчилж C 1 гэдэг нөхцөл зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд f-ийг тасралтгүй юм уу хэсэгчилж тасралтгүй гэж авбал дээрх теорем биелэхгүй болно. 5 Бүх Лекцээ бичиж дууссаны дараа Asmar-ын ном байхгүй байсан ч уншиж болохоор болгож өргөтгөнө.
ХИЧЭЭЛ 5 15 Хичээл 5. Хэрэв 2π-үет хэсэгчилж C 1 функц f : R R нь тасралтгүй бол Теорем 1.22- өөс f-ийн Фурьегийн цуваа нь f-рүү цэгчилэн нийлэх нь харагдана. Үнэндээ дараах илүү хүчтэй теорем биелнэ. Tеорем 1.24. f : R R нь 2π-үет хэсэгчилж C 1 бөгөөд тасралтгүй функц болог. Тэгвэл f-ийн Фурьегийн цуваа нь f-рүү жигд нийлнэ. Баталгааг номны 2.9 бүлэгээс харна уу. Тэмдэглэл 1.25. Энд хэсэгчилж C 1 дээр нэмээд тасралтгүй гэдэг нөхцөл зайлшгүй шаардлагатай. Тасралтын цэг байвал, тэр цэгийн орчимд сонин шинж чанар ажиглагддаг бөгөөд үүнийг Гиббсийн үзэгдэл гэнэ. Энэ талаар доорх холбоосоос дэлгэрэнгүй үзнэ үү. http://www.sosmath.com/fourier/fourier3/gibbs.html Энд I 1, x [, 0) f(x) := 1, x [0,π) функцын Фурьегийн цуваа 4 3sin(x) + 1 π 3 sin(3x) + 1 4 5 sin(5x)+... бөгөөд 0 орчинд 3 4 π s 2n 1 2 2n π 0 болохыг харуулсан байгаа. sin(x) dx 1.18, n x Жишээ 1.26. Гурвалжин долгион: I π + x, x [, 0] g(x) := π x, x [0,π] гэсэн функц нь хэсэгчилж C 1 бөгөөд тасралтгүй. Энэ функцын Фурьегийн цуваа нь π 2 + 4 3cos(x) + 1 π 3 2 cos(3x) + 1 4 5 2 cos(5x)+... болохыг дасгал болгон харуулна уу. Тэгвэл ямар ч x-ийн хувьд cos(2n 1)x - (2n 1) 2-1 (2n 1) 2, n 1 бөгөөд 1 (2n 1) 2 < тул энэ Фурьегийн цуваа үнэхээр жигд нийлэх нь харагдлаа.
16 1 Тэмдэглэл 1.27. Энэ жишээнээс π 2 -ийг илэрхийлсэн томъёо гарна. Үнэхээр, x =0дээр дээрх цуваа нийлэх тул π = π 2 + 4 1 π (2n 1) 2 болох ба эндээс болно. Цаашилбал, тул болно. π 2 8 = ÿ 1 (2n 1) 2 1 n 2 = ÿ = 1 (2n 1) 2 + ÿ 1 (2n 1) 2 + 1 4 π 2 6 = ÿ 1 n 2 1 (2n) 2 1 n 2 Жишээ 1.28. (1.8, 1.26) жишээнүүд дэхь функцуудыг ашиглаад f(x) + 1 I π x, x [0,π) 2 g(x) = 0, x [π, 2π) гэсэн шинэ функц байгуулъя. Тэгвэл Фурьегийн цуваа нь π 4 + ÿ 3 1 ( 1) n πn 2 cos(nx) + 1 4 n sin(nx) гэж бичигднэ. Одоо тэгш болон сондгой функцуудыг авч үзье. Юуны өмнө тодорхойлолтоо санъя. Тодорхойлолт 1.29. f : R R нь ямар ч x-ийн хувьд f( x) =f(x) бол тэгш, ямар ч x-ийн хувьд f( x) = f(x) бол сондгой функц болно. Жишээ 1.30. x, x 2, cos(nx) нь тэгш, x, x 3, sin(nx) нь сондгой. f нь интегралчлагддаг сондгой функц бол p p f(x)dx = p 0 f(x)+f( x)dx =0 болно. Бид энэ чанарыг олон ашиглах бөгөөд урд нь жишээ 1.21-д ч ашигласан билээ. Тэгш болон сондгой функцын Фурьегийн цувааны талаар ярихын өмнө нэг тодорхойлолт өгье.
ХИЧЭЭЛ 5 17 Тодорхойлолт 1.31. f гэсэн хэсэгчилж тасралтгүй функцын хувьд гэж тодорхойльё. f := 1 2 (f(x )+f(x+)) Тэгвэл, f нь ч хэсэгчилж тасралтгүй функц болох бөгөөд f-тэй адилхан Фурьегийн цуваатай байна. Мөн Теорем 1.22-ooр f-ийн Фурьегийн цуваа fрүү цэгчилэн нийлнэ. Лемма 1.32. f : R R нь 2π үетэй хэсэгчилж C 1 функц бөгөөд f-ийн Фурьегийн цуваа нь f(x) =a 0 + (a n cos(nx)+b n sin(nx)) болог. Тэгвэл (i) f нь тэгш ямар n-ийн хувьд bn =0, (ii) f нь сондгой ямар n-ийн хувьд an =0 байна. Баталгаа нь хялбар бөгөөд дасгал. Мөн f-ийн оронд f-ийг авбал теорем биелэхгүй болохыг жишээгээр харуулна уу. Тодорхойлолт 1.33. a 0 + a n cos(nx) хэлбэртэй цувааг косинусийн цуваа, b n sin(nx) хэлбэртэй цувааг синусийн цуваа гэнэ. Дасгал 1.34. A.2(1, 5, 9, 62), 1.1(2a, 3a, 4), 1.2(1, 2, 3, 4, 16, 18, 25), 2.1(3, 4, 5, 27), 2.2(2, 4, 6a, 7a, 20a). 6 6 Бүх Лекцээ бичиж дууссаны дараа дасгалуудыг оруулна. Тэр болтол ном ашиглана уу.
БҮЛЭГ 2 Хичээл 1. Одоо Лемма 1.32-ийн хэдэн жишээ харъя. Жишээ 2.1. Хөрөөний ир функц (жишээ 1.8) нь сондгой бөгөөд Фурьегийн цуваа нь sin(nx). n Жишээ 2.2. Гурвалжин долгион функц (жишээ 1.26) нь тэгш бөгөөд Фурьегийн цуваа нь π 2 + 4 cos((2n 1)x) π (2n 1) 2. [0, π] дээр тодорхойлогдсон функцыг [, π]-руу үргэлжлүүлэх гол хоёр арга байна. Тодорхойлолт 2.3. Өгөгдсөн функц f : [0, π] R-ийг (, π]-руу. f тэгш (x) := f( x ) f( x), x (, 0) f сондгой (x) := f(x), x (0,π) 0, x =0,π гэж өргөтгөөд 2π-үетэйгээр R-луу өргөтгөе. Тэгвэл f тэгш нь тэгш, f сондгой нь сондгой функц болно. Жишээ нь f(x) = x, x [0,π] функцыг тэгшээр өргөтгөвөл гурвалжин долгион хэлбэрийн, сондгойгоор өргөтгөвөл хөрөөний ир хэлбэрийн функц гарна. f нь хэсэгчилж тасралтгүй функц бол эдгээр өргөтгөлүүд нь мөн хэсэгчилж тасралтгүй болох бөгөөд Фурьегийн коэффициентүүд нь тус бүр a 0 = 1 f тэгш (x)dx 2π = 1 π a n = 1 π = 2 π 0 0 f(x)dx f тэгш (x) cos(nx)dx f(x) cos(nx)dx 19
20 2 b n = 1 f сондгой (x) sin(nx)dx π = 2 f(x) sin(nx)dx π 0 болно. Бид a 0 + a n cos(nx) цувааг f-ийн косинусийн цуваа, b n sin(nx) цувааг f-ийн синусийн цуваа гэнэ. Тэмдэглэл 2.4. Хэрэв f нь тасралтгүй бөгөөд хэсэгчилж C 1 бол f тэгш нь мөн тасралгүй бөгөөд хэсэгчилж C 1 болох тул f-ийн косинусийн цуваа нь f- рүү жигд нийлнэ. Харин синусийн цувааны хувьд f(0) = f(π) = 0 гэсэн нэмэлт нөхцөл шаардлагатай, эс бөгөөд f сондгой нь тасралтгүй болохгүй. Oдоо 2π-аас өөр үетэй функцуудыг авч үзье. f нь 2p, p>0үетэй функц болог. Шинээр 3 4 p g(x) := f π x гэсэн функц авч үзвэл g нь 2π үетэй болно: 3 4 3 4 3 4 p p p g(x +2π) =f π (x +2π) = f π x +2p = f π x = g(x). 1 2 Мөн f(x) = g π p x тул g-ийн Фурьегийн цувааг ашиглан f-ийг цуваанд задалж болно. Жишээлбэл f нь хэсэгчилж C 1 бол g ч тийм бөгөөд 3 4 π 3 3 4 3 44 π π f(x) = g p x = a 0 + a n cos p nx + b n sin p nx байна. Энд a 0 = 1 2π = 1 2π = 1 2p болох бөгөөд үүнтэй төстэйгээр a n = 1 p b n = 1 p p p p p p p g(x)dx f 3 p π x 4 dx f(x)dx 3 4 π f(x) cos p nx dx 3 4 π f(x) sin p nx dx
ХИЧЭЭЛ 2 21 болно. Бид эднийг ч Фурье коэффициент, Фурьегийн цуваа гэж нэрлэнэ. 2π үет функцын Фурьегийн цувааны талаарх теоремууд хялбар өөрчлөлттэйгээр дурын 2p үет функц дээр биелнэ. Жишээлбэл 1, cos 3 π p x 4, cos функцууд ортогональ бөгөөд p гэх мэт. p 3 π p 2x 4,...,sin cos 3 π p x 4 2 dx = p 3 π p x 4,... Жишээ 2.5. p = π 2 гэе. Тэгвэл f : [0,π] R функцын Фурьегийн цуваа нь a Õ 0 + (a Õ n cos(2nx)+b Õ n sin(2nx)) гэж бичигднэ: өөрөөр хэлбэл π-үетэйгээр үргэлжлүүлэх замаар синус болон косинусийн цуваанаас гадна гуравдагч цуваатай боллоо. Жишээ болгож f(x) =sin(x) функцыг [0,π] дээр авч үзье. Сондгой үргэлжлэл нь зүгээр л sin(x) байх бөгөөд синусийн цуваа нь sin(x) гэсэн ганцхан гишүүнтэй цуваа болно. Харин sin(x)-ийн тэгш өргөтгөл нь π-үетэй өргөтгөлтэй нь давхцах тул харгалзах цуваа нь ижилхэн бөгөөд a Õ n cos(2nx) n=0 хэлбэртэй. Үүнтэй төстэйгээр, f(x) =x cos(x), x [/2,π/2] функцыг авч үзвэл синусын цуваа нь b Õ n sin(2nx) хэлбэртэй болно. Жишээ 2.6. Арай төвөгтэй жишээ гэвэл h(x) = 1 x 2, x [ 1, 1] функцыг 2-үетэй үргэлжлүүлье. Тэгвэл бид тасралтгүй, хэсэгчилж C 1 функцтай болох бөгөөд Фурьегийн цуваа нь болно. h(x) = 2 3 4 π 2 ÿ Хичээл 2. ( 1) n cos(nπx) Одоо номны 2.5 бүлэгийн талаар ярья. a 0 + (a n cos(nx)+b n sin(nx)) n 2
22 2 цувааны эхний N гишүүний нийлбэрийг Nÿ s N := a 0 + (a n cos(nx)+b n sin(nx)) гэе. Бид цэг бүрчилэн болон жигд нийлэлтийн тухай ярьсан билээ. Фурьегийн цувааны хувьд L 2 -нийлэлт гэдэг өөр нийлэлт олон тохиолдолд илүү зохистой. Тодорхойлолт 2.7. {f n } болон f нь [a, b] хэрчим дээр тодорхойлогдсон хэсэгчилэн тасралтгүй функцууд болог. Бид хэрэв N үед b бол f n -ийг f-рүү L 2 -нийлнэ гэнэ. 1 a f N (x) f(x) 2 dx 0 Тодорхойлолт 2.8. f нь хэсэгчилж тасралтгүй функц болог. Фурьегийн цуваа ашиглаад E N := 1 f(x) s N (x) 2 dx 2π гэж тодорхойлъё. E N -ийг f-ийн N дэхь дундаж квадрат алдаа гэнэ. Дараах теорем Фурьегийн цувааны онолын хамгийн чухал теоремийн нэг бөгөөд баталгааг энд хийхгүй болно. Tеорем 2.9. f : R R нь 2π үетэй, хэсэгчилсэн тасралтгүй функц болог. Тэгвэл N үед E N 0, өөрөөр хэлбэл f-ийн Фурьегийн цуваа нь f-рүү L 2 -нийлнэ. Тэмдэглэл 2.10. Хэрвээ f нь тасралтгүй бөгөөд хэсэгчилж C 1 байсан бол Фурьегийн цуваа нь f-рүү жигд нийлэх тул мөн L 2 -нийлнэ. Яагаад гэдэг нь дасгал. Мөн дээрх теоремд f-ийг Рийман интегралчлагддаг гэж авахад хангалттай. 2 болно. Бидний батлах гол теорем нь дараах теорем болно. Tеорем 2.11. f нь хэсэгчилж тасралтгүй гэе. Тэгвэл E N = 1 f(x) 2 dx a 2 0 1 (a 2 n + b 2 2π 2 n) 1 Лебегийн интеграл ашиглавал fn болон f нь L 2 -функц гэж үзэхэд хангалттай. 2 Лебегийн интеграл ашиглавал f L 2 [, π] гэж үзэхэд хангалттай бөгөөд энэ нь дээрх теоремийн хамгийн төгс хэлбэр болно.
Ишлэл [Asm05] Nakhlé H. Asmar, Partial differential equations with fourier series and boundary value problems, 2 ed., Pearson Prentice Hall, 2005. 23
Товъёг C 0, 10 C 1, 10 C, 10 equation advection, 4 transport, 4 төгсгөлгүй дифференциалчлагддаг, 10 хэсэгчилж C 1, 10 хөрөөний ир, 9 хэсэгчилж тасралтгүй, 10 үет функц, 9 normal mode, 7 principal solution, 7 superposition, 8 Гиббсийн үзэгдэл, 15 ТДТ, 2 ЭДТ, 1 анхны утгын бодлого, 4 анхны утгын нөхцөл, 4 голлох шийд, 7 жирийн төлөв, 7 захын нөхцөл, 5 зөөврийн тэгшитгэл, 4 зөөлтийн тэгшитгэл, 3 косинусийн цуваа, 17, 20 синусийн цуваа, 17, 20 суперпозиц, 8, 9 тухайн дифференциал, 2 тухайн дифференциал тэгшитгэл, 2 тэгшитгэл Лапласын, 5 долгионы, 5 дулааны, 5, 8 зөөврийн, 4 функц гурвалжин долгион, 15 интегралчлагддаг, 11 сондгой, 16 тасралтгүй дифференциалчлагддаг, 10 тэгш, 16 25