Για τα παιδιά η γεωμετρία ξεκινά με παιχνίδι: Seven-Pieces Mosaic Puzzle

221 Για τα παιδιά η γεωμετρία ξεκινά με παιχνίδι: Seven-Pieces Mosaic Puzzle Ιωάννης Παπαδόπουλος 1 Αλέξανδρος Παπαμιχαήλ 2 Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης ΑΠΘ 1, 2 ypapadop@eled.auth.gr 1 avpapami@eled.auth.gr 2 Περίληψη O στόχος αυτής της μικρής κλίμακας έρευνας είναι να μελετήσει, αφενός, κάποιες όψεις της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών όπως αυτές αποτυπώνονται στο πλαίσιο παιχνιδιού με το seven-piece-mosaic-puzzle κι αφετέρου, να ανιχνεύσει την πιθανότητα εμφάνισης στοιχείων μεταγνώσης κατά τη διάρκεια της επίλυσης των προβλημάτων. Τα ευρήματα της έ- ρευνας δίνουν ενδείξεις ότι στο συγκεκριμένο περιβάλλον του παζλ οι μαθητές εμπλέκονται σε όψεις της γεωμετρίας όπως η αναγνώριση σχημάτων, η χρήση της γεωμετρικής ορολογίας και η ανακάλυψη σχέσεων μεταξύ των μερών του παζλ. Ταυτόχρονα οι μαθητές φάνηκε να είναι σε θέση να μεταφέρουν προηγούμενη γνώση σε μια νέα προβληματική κατάσταση. Τέλος, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η τάση μαθητών να εφαρμόζουν έναν απλό αλλά από μαθηματικής άποψης σημαντικό συστηματικό πειραματισμό. Λέξεις - κλειδιά: Επίπεδα σχήματα, πρωτοβάθμια, παζλ, γεωμετρική αντίληψη Εισαγωγή Κατά την επίσκεψή του το 1987 στο Brooklyn College o van Hiele εισάγεται στη χρήση του seven-piece mosaic, ενός παζλ που αποτελείται από 7 σχήματα που τοποθετημένα κατάλληλα σχηματίζουν ένα τετράγωνο. Αν και ενθουσιασμένος από τις προοπτικές χρήσης του, υπάρχει μόνο μια γραπτή του εργασία όπου συζητά συγκεκριμένους τρόπους χρήσης του στη διδακτική γεωμετρικών εννοιών (van Hiele, 1999). Σε αυτήν προτείνονται μια σειρά από προσεγγίσεις, από τις οποίες επιλέχθηκαν δύο για την παρούσα μικρής κλίμακας έρευνα. Οι πρώτες τάξεις του σχολείου προσφέρονται για μια πρώιμη διασθητική κυρίως προσέγγιση των σχημάτων από τη μεριά των μαθητών κυρίως στο πρώτο από τα πέντε Επίπεδα στα ο- ποία ο Van Hiele διακρίνει την γεωμετρική σκέψη. Πρόκειται για το Επίπεδο-0, γνωστό με τον όρο «Εξεικόνιση» όπου ο μαθητής βασίζεται κυρίως σε αυτό που βλέπει, στην οπτική εντύπωση που του δημιουργεί το σχήμα. Μέσα σε αυτό το πλαίσιο λοιπόν προσπαθήσαμε να καταγράψουμε όψεις της γεωμετρικής αντίληψης των μαθητών που να σχετίζονται με τις προτιμήσεις τους σε είδη σχημάτων, στον τρόπο που χρησιμοποιούν δοσμένα σχήματα και στο κατά πώς μπορούν να αντιληφθούν την ισοδυναμία που υπάρχει ανάμεσα στους διαφορετικούς τρόπους που μπορεί να συντεθεί ένα σχήμα με τη χρήση διαφορετικού α- ριθμού επιμέρους υποσχημάτων. Για την ακρίβεια η πρόθεσή μας ήταν να αναζητήσουμε μια απάντηση στα εξής ερωτήματα: (α) Ποιες όψεις της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών αυτής της ηλικίας μπορούν να αποτυπωθούν μέσα από ένα παιχνίδι με το seven-piecemosaic;, και (β) Μπορούν οι δραστηριότητες αυτές να υποστηρίξουν την καλλιέργεια μιας πρώιμης μεταγνώσης ή ενός πειραματισμού στις ηλικίες αυτές; Το πρώτο ερώτημα έχει υ- πάρξει κατά καιρούς αντικείμενο πολλών ερευνών, αποτελεί όμως απαραίτητο στοιχείο για να απαντηθεί το δεύτερο ερώτημα για το οποίο τα ευρήματα μπορούν να υποστηρίξουν το σχεδιασμό μιας μεγαλύτερου εύρους έρευνας αφού η συγκεκριμένη θεματική (ιδιαίτερα

222 του πειραματισμού) έχει αναπτυχθεί λίγο για τις μεγαλύτερες ηλικίες (Papadopoulos & Iatridou, 2010), αλλά καθόλου για τόσο μικρούς μαθητές. Σύντομη βιβλιογραφική επισκόπηση Το seven-piece-mosaic αποτελεί μια συγκεκριμένη περίπτωση μιας σειρά από αντίστοιχα παζλ που χρησιμοποιούνται στην τάξη, όπως για παράδειγμα το tangram. Στο χώρο της διδακτικής των μαθηματικών, μπορεί κανείς να εντοπίσει μια σειρά από έρευνες που μελετούν την επίδραση αυτών των εργαλείων στον τρόπο με τον οποίο οι μικροί μαθητές αντιλαμβάνονται γεωμετρικές έννοιες. O van Hiele (1999) προτείνει μεταξύ άλλων τους εξής τρόπους χρήσης των παζλ αυτών: (α) δίνεται το περίγραμμα κάποιου σχήματος και ζητείται από τους μαθητές να καταφέρουν να το φτιάξουν χρησιμοποιώντας κάθε φορά διαφορετικό αριθμό σχημάτων του παζλ, και (β) ζητάμε να βρουν όλα τα (γνωστά) σχήματα που μπορούν να δημιουργηθούν με τη χρήση συγκεκριμένου αριθμού μερών του παζλ. Με τη μορφή παιχνιδιού, με τον τρόπο αυτό, οι μαθητές έρχονται σε επαφή με τα συγκεκριμένα σχήματα, τις ιδιότητές τους, τις έννοιες της παραλληλίας, της συμμετρίας κλπ. Οι Clements, Wilson και Sarama (2004), μελετώντας παιδιά ηλικίας νηπιαγωγείου μέχρι και Β Δημοτικού, βρήκαν ότι με τη χρήση τέτοιων παζλ οι μαθητές ενώ δεν ήταν σε θέση να συνθέσουν γεωμετρικά σχήματα, εν τούτοις άρχισαν σταδιακά (αρχικά με τη χρήση δοκιμής-λάθους και αργότερα με χρήση συγκεκριμένων χαρακτηριστικών των σχημάτων) να αποκτούν ικανότητες προς τη κατεύθυνση αυτή. Ο Fianga (2013) εξέτασε το θέμα της διατήρησης του εμβαδού (κάτι που η διεθνής βιβλιογραφία θεωρεί ως σημαντικό αλλά και δύσκολο στόχο) με μαθητές 9-10 ετών, κάνοντας χρήση των παζλ. Βρήκε ότι το παζλ λειτουργεί ως ένα εποπτικό υλικό που βοηθά τους μαθητές να αποκτήσουν πραγματική αίσθηση της διατήρησης του εμβαδού μέσα από τη δημιουργία -με τα κομμάτια του παζλ- διαφορετικών σχημάτων, που όμως έχουν όλα το ίδιο εμβαδόν. Ανάλογες προσπάθειες χρήσης του παζλ έχουν υλοποιηθεί από ερευνητές και σε ψηφιακά περιβάλλοντα. Μπορεί επιλεκτικά να γίνει αναφορά σε μελέτη που εμπλέκει μαθητές της Στ Δημοτικού που εργάζονται με ένα εικονικό tangram. Ο στόχος ήταν να διευκολυνθούν οι μαθητές στην πρόσκτηση γεωμετρικών εννοιών μέσα από δραστηριότητες επίλυσης προβλήματος στο περιβάλλον αυτό. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι η συμβολή της εμπειρίας αυτής στην αντίληψη των μαθητών για τα σχήματα και την περιστροφή τους στο επίπεδο ήταν σημαντική, ελαττώνοντας την απόσταση μεταξύ μαθητών χαμηλών και υψηλών επιδόσεων (Lin et al., 2011). Τέλος, όπως σημειώνουν οι Nyet Moi και Sopiah (2012), τέτοιους είδους δραστηριότητες βοήθησαν και τους εκπαιδευτικούς να διευκολύνουν όχι μόνο τη γεωμετρική σκέψη των μαθητών τους αλλά και την ανάπτυξη αυτοπεποίθησης και ενδιαφέροντος σε σχέση με τη γεωμετρία. Περιγραφή της έρευνας Η έρευνα υλοποιήθηκε σε δημοτικό σχολείο της Θεσσαλονίκης σε δυο φάσεις και συμμετείχαν 26 μαθητές της Β Δημοτικού. Οι μαθητές εργάστηκαν ο καθένας μόνος σε ξεχωριστή συνεδρία. Σε κάθε φάση οι μαθητές είχαν μια συγκεκριμένη δραστηριότητα που σχεδιά-

223 στηκε ειδικά για το σκοπό αυτό. Κατά τη διάρκεια των σχολικών μαθημάτων οι μαθητές είχαν διδαχθεί από τα γεωμετρικά σχήματα το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, το τετράγωνο και το ορθογώνιο τρίγωνο και σε ενότητα του βιβλίου υπήρχε δραστηριότητα με σαφή ονομαστική αναφορά στο πλάγιο παραλληλόγραμμο. Αυτό που λείπει ως τυπική γνώση στην ηλικία αυτή είναι το τραπέζιο που μόνο ως διαισθητική γνώση από άλλες εμπειρίες μέσα ή έξω από το σχολείο αναμένεται να έχει ένας μαθητής αυτής της ηλικίας. Εικόνα 1: Πρώτη Δραστηριότητα Η δραστηριότητα της πρώτης φάσης παρουσίαζε στους μαθητές ένα κενό πλαίσιο σε ένα μακετόχαρτο που θύμιζε «βάρκα» και το ζητούμενο ήταν οιμαθητές να επιλέξουν από το seven-piece-mosaic 2, 3, ή 4 κομμάτια με τα οποία να μπορούν να συμπληρώσουν το σχήμα. Όντως, το σχήμα που δόθηκε στους μαθητές μπορούσε να κατασκευαστεί με τη χρήση 2, 3 ή τεσσάρων επιμέρους σχημάτων. Από τους μαθητές ζητήθηκε χωρίς να τεθεί προτεραιότητα- να καταφέρουν όλες τις περιπτώσεις (Εικ. 1). Η δραστηριότητα της δεύτερης φάσης έδινε στα παιδιά τρία από τα κομμάτια του παζλ, ένα τετράγωνο και δύο ίσα ισοσκελή και ορθογώνια τρίγωνα που οι ίσες τους πλευρές είχαν το ίδιο μήκος με την πλευρά του τετραγώνου. Το ζητούμενο ήταν οι μαθητές να κάνουν χρήση και των τριών κομματιών για να δημιουργήσουν όσο περισσότερα γεωμετρικά σχήματα μπορούν. Ο κατάλληλος συνδυασμός των κομματιών αυτών μπορούσε να δώσει ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο τρίγωνο, πλάγιο παραλληλόγραμμο και τραπέζιο (Εικ.2). Οι δυο δραστηριότητες επιλέχτηκαν για να αποτιμηθεί η γεωμετρική σκέψη των μαθητών με όρους σχέσεων των σχημάτων και των χαρακτηριστικών μεταξύ τους (πλευρές που ταιριάζουν στα μήκη, συνδυασμός σχημάτων που καλύπτει ακριβώς μια επιφάνεια). Ταυτόχρονα, η κλιμακούμενη αύξηση στον απαιτούμενο αριθμό σχημάτων στην πρώτη θα έδινε

224 ενδείξεις για μια πιθανή μεταγνώση (γνώση που αποκτάται σε ένα προηγούμενο σχήμα μεταφέρεται στο επόμενο;), ενώ στη δεύτερη θα αναζητούνταν ενδείξεις για την αναγνώριση γνωστών σχημάτων σαν σύνθεση επιμέρους συνδυασμών υποσχημάτων, γεγονός που οδηγεί τους μαθητές σε μια διαισθητική αποδοχή της διατήρησης του εμβαδού που θα α- ντιμετωπίσουν αργότερα στη σχολική τους ζωή. Εικόνα 2: Δεύτερη Δραστηριότητα Όση ώρα οι μαθητές προσπαθούσαν να λύσουν το κάθε πρόβλημα καταγράφονταν παρατηρήσεις από τη μεριά των ερευνητών όπως επίσης αποτυπώνονταν με μια φωτογραφική κάμερα μια σειρά λήψεων για κάθε μαθητή που είτε αποκάλυπταν τη στρατηγική που επιλέχθηκε είτε σηματοδοτούσαν την αλλαγή της. Οι σημειώσεις και οι φωτογραφίες αποτέλεσαν και τα δεδομένα της έρευνας που στη συνέχεια κωδικοποιήθηκαν με βάση τα εξής επίπεδα: (α) Την απεικόνιση της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών σε σχέση με την επιλογή, αναγνώριση και σύνθεση σχημάτων, και (β) την αποτύπωση (σε περίπτωση που υπάρχει) κάποιας ένδειξης για ένα είδος μεταγνώσης σε τόσο πρώιμο ηλικιακό επίπεδο. Παρουσίαση αποτελεσμάτων - Συζήτηση Για την πρώτη φάση δεκαοχτώ από τα είκοσι έξι παιδιά κατάφεραν να συμπληρώσουν το παζλ με όλους τους τρόπους. Μιας που δεν υπήρχε απαίτηση να ακολουθήσουν συγκεκριμένη σειρά για τις διάφορες εκδοχές συμπλήρωσης του σχήματος, ενδιαφέρον παρουσιάζει να δούμε πως κατανέμονται οι επιλογές αυτές στο σύνολο των μαθητών. Όπως αναμενόταν λοιπόν η πλειοψηφία των μαθητών ακολούθησε τη σειρά 2-3-4 (14 μαθητές) ενώ άλλοι 4 μαθητές σκέφτηκαν να ακολουθήσουν την ίδια σειρά, απλά δεν κατάφεραν να πετύχουν την εκδοχή με τα 4 σχήματα. Γενικά φάνηκε τα παιδιά να μη δυσκολεύονται ιδιαίτερα με τις απαιτήσεις της δραστηριότητας. Όμως στη φάση αυτή αξίζει να επικεντρωθούμε σε δυο σημεία που αποκτούν ιδιαίτερο ενδιαφέρον αν λάβουμε υπόψη μας την ηλικία των μαθητών: (α) Την ένδειξη συστηματικού πειραματισμού από τη μεριά των μαθητών, και (β) την ένδειξη ύπαρξης ενός είδους μεταγνώσης στην πορεία της επίλυσης.

225 Δεδομένου ότι δεν υπήρχε προϋπάρχουσα εμπειρία σε αντίστοιχες δραστηριότητες, αυτό που αναμενόταν ήταν οι μαθητές να προσπαθήσουν κυρίως να εντοπίσουν τις διάφορες εκδοχές του σχήματος με τη χρήση δοκιμής-λάθους. Αυτό από μόνο του είναι σημαντικό γιατί οδηγεί τους μαθητές στο να αντιληφθούν γιατί ένα κομμάτι του παζλ που φάνηκε να είναι αρχικά πολλά υποσχόμενο στο τέλος αποδείχθηκε να μην είναι καλή επιλογή, γεγονός που μπορεί να υποστηρίξει τους μαθητές στο να αρχίσουν να αντιλαμβάνονται τις σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ των μερών του παζλ. Σταδιακά όμως αρκετοί μαθητές επέδειξαν μια συμπεριφορά επίλυσης που παρουσιάζει ενδιαφέρον από μαθηματικής άποψης. Πρόκειται για μια τακτική που θα μπορούσαμε να την αποκαλέσουμε «συστηματικό πειραματισμό». Στον πειραματισμό η κεντρική ιδέα είναι γενικά να κρατάω μια (ή περισσότερες) παραμέτρους σταθερές και να αλλάζω κάποια άλλη, ώστε να διαπιστώσω τη λειτουργία της, τη συμβολή της, στο συγκεκριμένο πρόβλημα (Papadopoulos & Iatridou, 2010). Αυτό λοιπόν που παρατηρήθηκε ήταν ότι αρκετά παιδιά, προκειμένου να βρουν το σωστό συνδυασμό σχημάτων, διατηρούσαν αμετάβλητο το ένα από αυτά, για το οποίο ήταν σίγουροι για τη θέση του, και από κει και μετά δοκίμαζαν: (α) το κατά πόσο ένα δεύτερο ταιριάζει με αυτό σε κάποιο συγκεκριμένο χαρακτηριστικό (πχ ίση πλευρά) και (β) κατά πόσο ταιριάζει με το περίγραμμα του ζητούμενου σχήματος. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η χρήση του ισοπλεύρου τριγώνου στο «πανί» του «καραβιού» (Εικ. 1) που αποτελούσε καλή επιλογή για σταθερό σχήμα και που οδηγούσε πάντα στην εύρεση των υπολοίπων. Το ίδιο μπορούσε να γίνει με αρχική επιλογή δυο κομματιών (αντί του ενός) με κριτήριο και πάλι το πώς χωρούσαν και ταίριαζαν σε κάποια γωνία του κενού πλαισίου. Οπότε, στη συνέχεια, με αυτά αμετακίνητα, πειραματίζονταν με τα υπόλοιπα για να φτάσουν στη λύση. Αυτός ο τρόπος εργασίας μπορεί να εκληφθεί ως ένας πρώιμος συστηματικός πειραματισμός με την έννοια που δίνεται στον όρο παραπάνω. Ταυτόχρονα, παρατηρήθηκε σε αρκετά από τα παιδιά μια τακτική που και αυτή έχει από μαθηματικής άποψης ξεχωριστό ενδιαφέρον, ως ενδεικτική της ικανότητας των μαθητών, ώστε γνώση που αποκτήθηκε σε προηγούμενο στάδιο να μπορεί να αναγνωριστεί ως κατάλληλη σε ένα νεότερο και να εφαρμοστεί. Αυτό μπορούσε να υποστηριχτεί από τη συγκεκριμένη δραστηριότητα λόγω ακριβώς του ότι ζητούσε εξελικτικά μια σειρά από εκδοχές όπου θα μπορούσε ο λύτης, προκειμένου να πετύχει μια μεταγενέστερη, να βασιστεί σε μια προηγούμενη. Για παράδειγμα, κάποιος μαθητής που είχε συμπληρώσει, στο πλαίσιο της εκδοχής με τα τρία κομμάτια, ένα μέρος του σχήματος (πχ το πανί) με δυο από τα διαθέσιμα κομμάτια, συγκράτησε αυτή τη λύση στο μυαλό του και όταν στη συνέχεια έπρεπε να συμπληρώσει το ίδιο σχήμα με τέσσερα κομμάτια θυμήθηκε ποια δύο είχαν συμβάλει αποτελεσματικά στο σχηματισμό του πανιού, τα επανέλαβε και επικέντρωσε την προσοχή του στο υπόλοιπο μέρος της «βάρκας». Η πρακτική αυτή εντοπίστηκε σε δεκατρία από τα παιδιά που συμμετείχαν και που όλοι τους κατάφεραν με επιτυχία να συμπληρώσουν όλες τις εκδοχές του σχήματος. Η ικανότητα αυτή, να είναι δηλαδή σε θέση ο λύτης να εντοπίζει μέρη του προβλήματος που μπορούν να αντιμετωπιστούν με την εφαρμογή γνώσης που αποκτήθηκε μέσα από κάποια άλλη δραστηριότητα, είναι από μόνη της σημαντική μαθηματικά γιατί δείχνει ότι ο λύτης μπορεί να εντοπίζει τα δομικά στοιχεία του προβλήματος, τα μαθηματικά χαρακτηριστικά τους, τη συνάφειά τους με άλλα προβλήματα που έχει λύσει και κυρίως την εφαρμοσιμότητα και μεταφορά, σε μια νέα κατάσταση, μεθόδων που είχαν

226 επιτυχία σε μια παλαιότερη. Αυτή ακριβώς είναι η μεταγνώση που ζητάμε από τους μικρούς μαθητές. Για τη δεύτερη φάση, στους μαθητές δόθηκαν τρία από τα σχήματα του παζλ, προκειμένου να σχηματίσουν όλα τα δυνατά γεωμετρικά σχήματα (στην περίπτωσή μας τέσσερα) χρησιμοποιώντας κάθε φορά και τα τρία μέρη του παζλ. Όπως αναμενόταν, το σχήμα που σχεδόν όλοι κατάφεραν να δημιουργήσουν εύκολα (24 από τους 26 μαθητές) ήταν το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Μόλις έξι κατάφεραν να δημιουργήσουν το ορθογώνιο τρίγωνο και κανένας το παραλληλόγραμμο και το τραπέζιο. Οι αριθμοί αναφέρονται στους μαθητές που σχημάτισαν (αναγνωρίζοντας) και ονόμασαν τα συγκεκριμένα σχήματα. Όμως, δεν ήταν λίγα τα παιδιά που στην προσπάθεια να πετύχουν αναγνωρίσιμα σχήματα δημιούργησαν τα υπόλοιπα, όμως είτε δεν τα αναγνώρισαν καθόλου είτε τους φάνηκαν οικεία χωρίς όμως να είναι σε θέση να τα ονομάσουν ή να τα κατατάξουν σίγουρα στην κατηγορία των γνωστών γεωμετρικών σχημάτων. Οι μαθητές αυτοί συνήθως προσπερνούσαν τέτοια σχήματα αναζητώντας αυτά που συνδέονταν με την υπάρχουσα γνώση τους. Εικόνα 3: Σχήματα από την καθημερινή εμπειρία (αριστερά). Επιλογή των δύο ίσων τριγώνων (δεξιά) Υπήρχαν όμως και μερικοί που έμεναν σε αυτά λόγω της οικειότητας που τους δημιουργούσε η εικόνα του σχήματος, χωρίς όμως να είναι σε θέση να κάνουν την απαραίτητη σύνδεση με το ζητούμενο του προβλήματος. Κάποιοι μάλιστα εξέφρασαν την οικειότητά τους με τα σχήματα μέσα από συσχετίσεις τους με εμπειρίες, εικόνες, της καθημερινής ζωής. Έτσι ένα τραπέζιο ήταν για κάποιους «ράμπα του skate» ή το τετράγωνο με το τρίγωνο από πάνω του ήταν ένα «σπίτι», κλπ (Εικ. 3, αριστερά). Αξίζει τέλος να αναφερθούμε και στο ποιο ή ποια σχήματα επέλεξαν οι μαθητές ως αρχική τους επιλογή για την προσπάθεια δημιουργία ενός σχήματος. Η πλειοψηφία των μαθητών επέλεξε να ξεκινήσει με τα δυο τρίγωνα (17 μαθητές) σχηματίζοντας άμεσα το τετράγωνο που προκύπτει από την ένωση των δυο ίσων ορθογωνίων και ισοσκελών τριγώνων, οπότε αυτό έκανε προφανή το συσχετισμό με το τετράγωνο που απέμενε ώστε να δημιουργήσουν το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο (Εικ. 3, δεξιά). Από κει και μετά όμως τα πράγματα δυσκόλευαν πολύ για τους μαθητές. Η τακτική τους τότε ήταν να διατηρούν σταθερό το τετράγωνο και να πειραματίζονται με τα τρίγωνα με την ελπίδα να πετύχουν κάτι που θα μπορούσαν να αναγνωρίσουν ως γεωμετρικό σχήμα.

227 Συμπερασματικά Η ικανότητα των μαθητών να περιγράφουν, να χρησιμοποιούν, και να οπτικοποιούν τα α- ποτελέσματα της σύνθεσης και ανάλυσης γεωμετρικών σχημάτων αποτελεί μια σημαντική όψη της γεωμετρικής σκέψης. Για να κατανοήσουμε καλύτερα την ικανότητα αυτή σε μαθητές της Β Δημοτικού, σχεδιάσαμε τις δυο δραστηριότητες που παρουσιάστηκαν στην εργασία αυτή. Προφανώς, τα δεδομένα που μας παρείχε η μικρής κλίμακας έρευνά μας, δεν είναι τέτοια που να επιτρέπουν να κάνουμε γενικεύσεις. Μπορούμε απλά να μιλάμε για ενδείξεις που όμως περιλαμβάνουν ενδιαφέροντα ευρήματα, τα οποία εν πολλοίς είναι ευθυγραμμισμένα με αποτελέσματα σημαντικών ερευνών στην ίδια γνωστική περιοχή. Ο τρόπος που δούλεψαν οι μαθητές μας μάς επιτρέπει να αναφερθούμε σε διακριτά επίπεδα σκέψης και ικανοτήτων στην περιοχή της σύνθεσης και ανάλυσης γεωμετρικών σχημάτων. Δεν εργάστηκαν όλοι οι μαθητές με τον ίδιο τρόπο ούτε έφτασαν στο σωστό αποτέλεσμα με την ίδια ευκολία. Αυτό έχει να κάνει με την ικανότητα να δημιουργούν ένα σχήμα συνδυάζοντας επιμέρους σχήματα (αρχικά με τη μέθοδο δοκιμής-λάθους και αργότερα λαμβάνοντας υπόψιν συγκεκριμένα χαρακτηριστικά των επιμέρους σχημάτων όπως είδαμε πιο πάνω). Αυτή η παρατήρηση είναι πλήρως εναρμονισμένη με το πνεύμα των Piaget και Inhelder (1967) που υποστηρίζουν ότι αυτές οι διεργασίες αρχικά λαμβάνουν χώρα και ε- νεργούνται πάνω σε «φυσικά» σχήματα (φτιαγμένα από κάποιο υλικό), καθιστώντας έτσι τους μαθητές ικανούς αργότερα να ενεργούν πάνω σε νοερές κατασκευές, σε επίπεδο σκέψης, βλέποντας τα σχήματα όχι ως υλικές αλλά ως διακριτές μαθηματικές οντότητες. Είναι ουσιαστικής σημασίας οι μικροί μαθητές να έχουν εμπειρίες που ενισχύουν μια πιο θετική στάση απέναντι στα μαθηματικά. Οι εμπειρίες με το παζλ εμπλέκουν ενεργά τους μαθητές καθώς καλλιεργούν την ανάπτυξη δεξιοτήτων σχετικών με την αναγνώριση σχημάτων και επομένως την χρήση γεωμετρικής ορολογίας, όπως και την ανακάλυψη σχέσεων μεταξύ των μερών του παζλ (σχέσεις μεταξύ πλευρών η γωνιών). Τα ευρήματά μας είναι σε συμφωνία με όσα παρατηρούν οι Bohning και Althouse (1997). Θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε λοιπόν ότι δραστηριότητες, όπως αυτές που θέσαμε στους μαθητές, απαιτούν τη μέγιστη δυνατή εμπλοκή τους. Οι μαθητές είναι «αναγκασμένοι» να αναδιατάσσουν ξανά και ξανά τα μέρη του παζλ. Αυτό δημιουργεί ένα ενδιαφέρον. Η διαχείριση των μερών για να δημιουργήσουμε σχήματα (που μπορεί να μας θυμίζουν γνωστές μας φιγούρες όπως πχ μια βάρκα) είναι διασκεδαστική για τους περισσότερους μαθητές. Το ενδιαφέρον αυτό και η εμπλοκή των μαθητών φάνηκε σε μας να υποστηρίζει παράλληλα και όψεις της επίλυσης προβλήματος όπως η ανάδυση μεταγνώσης και μια πρώιμη μορφή συστηματικού πειραματισμού, δυο πολύ ουσιαστικές δεξιότητες στη μαθηματική σχολική ζωή κάθε μαθητή. Το seven-piece-mosaic όπως και τα συναφή παζλ δίνουν στα μαθηματικά μια μορφή διασκέδασης χωρίς τον περιορισμό απλά της μιας σωστής απάντησης που συναντούμε στα πλαίσια μιας συνήθους τάξης των μαθηματικών. Η συμβουλή μας από τη μικρή μας εμπειρία: Κάθε ηλικία στο δημοτικό είναι η κατάλληλη ηλικία με τον ουσιαστικό ρόλο να τον έχει ο δάσκαλος της τάξης που θα ρυθμίσει το βαθμό πρόκλησης και δυσκολίας των δραστηριοτήτων

228 Βιβλιογραφία Bohning, G., & Althouse, J. K. (1997). Using tangrams to teach geometry to young children. Early Childhood Education Journal, 24(4), 239-242. Clements, D., Wilson, D. & Sarama J., (2004), Young Children's Composition of Geometric Figures: A Learning Trajectory. Mathematical Thinking and Learning, 6(2), 163 18. Fianga, S. (2013). First cycle on designing the tangram game activities as an introduction to the concept of area conservation. Game activity for 3 rd grade (9-10 year old). In Zulkardi (Ed.), The first South East Asia design/development research (SEA-DR) International Conference, Unsri, Palembang (ISBN : 978-602-17465-1-6) Lin, C.P., Shao, Y.J., Wong, L.H., Li, Y.J., & Niramitranon J. (2011). The Impact of Using Synchronous Collaborative Virtual TangramIn Children s Geometric. The Turkish Online Journal of Educational Technology, 10(2), 250-258. Moi Siew, N., & Abdullah, S. (2012). Learning geometry in a large-enrollment class: do tangrams help in developing students geometric thinking?. British Journal of Education, Society and Behavioural Science, 2(3), 239-259. Papadopoulos, I. & Iatridou, M. (2010). Systematic Approaches to Experimentation: The Case of Pick s Theorem. The Journal of Mathematical Behavior, 29(4), 207-217. Piaget, J., & Inhelder, B. (1967).The child s conception of space (F. J. Langdon & J. L. Lunzer, Trans.). New York: W. W. Norton. Van Hiele, P. (1999). Developing Geometric Thinking through Activities that Begin with Play. Teaching Children Mathematics, 6, 310-316.