نقاط عطف نقاط و تقعر جهت اكسترممها و تابع تغييرات بررسي ميرسيم. عمومي رياضي كتاب 4 فصل مطالب به فصل اين در آن شما كه ميشود تلقي فصل اين جزء هم مجانب درسي كتاب در البته هستند. قسمت اين موضوع تابع نمودار نهايتا و بحراني نمودارها قسمت شروع از قبل و بگيريد ياد خوب را مشتق فرمولهاي بايد مشتق كاربرد از قبل ميبينيد. خودش فصل در را تابع نمودار از ديگري و عطف و تقعر از يكي معموال كه هستند فصل اين از كنكور تست سه دو كنيد. مطالعه را مجانب فصل بايد رب تسلط و فراوان دقت پس ميشوند. حساب باال به متوسط و پرمحاسبه سؤاالت جزء معموال مشتق كاربرد ثابتاند.تستهاي پاي است. ضروري كتاب تمرينهاي كل و اخير سالهاي تستهاي ای است f () c یا 0 باشد f تابع بحرانی نقطهی طول اگرc پس ندارد. وجود یا میشود صفر مشتق آن در که است تابع دامنهی از نقطهای بحرانی نقطهی ندارد. وجود f () c )خط میکند میل بینهایت مشتق جا هر نیستند مساوی هم با راست و چپ مشتق جا هر نیست پیوسته تابع جا هر ن وجود مشتق نقاطی چه در است(. ها محور موازی مماس از: عبارتاند بحرانی نقاط پس است صفر مشتق که نقاطی است ناپیوسته تابع که نقاطی با راست و چپ مشتق که نقاطی نیستند مساوی هم است عمودی مماس خط که نقاطی joî ( ( a) joî ( قائم عطف الف( joî ( ( a) Z»p ( بازگشتی ب( f ( ) 0 الف( ضابطه تابع دامنهی نقاط تمام ب( ثابت صحیح عدد براکت درون الف( میشود. چندضابطهای دامنهی مرز ب( چندضابطهای دامنهی مرز الف( درون سادهی ریشهی ب( نمودار( شکستگی )نقاط قدرمطلق شکل بحرانی نقطهی چند f است. f تابع به مربوط مقابل شکل نمودار 4 ) ) 6 )4 5 ) داریم. بحرانی نقطهی و است صفر مشتق پس است افقی مماس خط درa داریم. بحرانی نقطهی که میگیریم نتیجه افقی مماس دیدن با یعنی است همینطور هم درc است. بحرانی هم نقطه این پس دارد شکستگی نمودار چون کنیم رسم مماس نمیتوانیم b در است. بحرانی نقطه این پس نداریم مشتق و نیست حقیقی عدد مماس شیب است بازگشت نقطهی شبیه شکل درe است. بحرانی نیز نقطه این پس ندارد هم مشتق و است ناپیوسته تابع g در بنابراین شود. معرفی بحرانی نقطهی عنوان به نمیتواند و نیست دامنه در نقطه این پس نداریم( توپر نقطهی )چون نمیشود تعریف تابع d در اما داشت. بحرانی نقطهی 5 f تابع بحرانی نقطهی چند )f ( ضابطهی با تابع 4 4 )4 ) ) ) بگیریم: مشتق میشود. صفر مشتق که بود خواهد جاهایی بحرانی نقطهی پس دارد. مشتق دامنهاش در و است کسری تابع این ( -)( -4)-( )( -) - - 8+ 4- + - 8+ 4 ( - 4) ( - 4) ( - 4) دارید توجه دارد. بحرانی نقطهی دوتا پس ( 4± ( داریم برای مقدار دو +8 4 معادلهی 0 از دهیم قرار صفر مساوی را مشتق اگر نمیشوند. بحرانی و نیستند تابع دامنهی جزء و که 76
a + b کل بر چون ندارند بحرانی نقطهی ( a+ b) غیرثابت خطی و ( ) هموگرافیک ( log ) c + d a لگاریتمی ( a ) نمایی توابع ببینید: را نمودارها نیست. صفر هرگز آنها مشتق و ندارند مشتق خود دامنهی 5 کدام بحرانی نقاط طولهای مجموع )f ( 5 ضابطهی با تابع در )4 ) ) صفر ) 5 f ( ) 5( ) 5 0 کنید: نگاه تابع مشتق به نقطهی که 0 بگوییم میتوانستیم f( ضابطهی( در همان یا دیدن با هم اول همان از البته ندارد. وجود در 0 مشتق این که موافقید است: صفر مشتق ک ی ببینیم حاال شد. بحرانی پس 0 است. بازگشتی( نوع از هم )آن بحرانی 5 5 0 ù ½jIw Hn Ãõw» ÃÎoö است. یعنی +0 بحرانی طولهای جمع و است بحرانی هم پس بحرانی نقطهی شود ایجاد منفی توان مشتق در اگر که باشد حواستان میشوند. پنهان کمی کسری توان با تابع در بازگشتی و قائم عطف نقاط ندارد. معنی منفی توان به صفر چون داریم کدام بحرانی نقاط عرضهای اختالف ( ( ضابطهی با تابع در )4 ) 4 ) ) 77 این باألخره مشتق سراغ برویم حاال میکند. ایجاد تیز نقطهی و است قدرمطلق درون ریشه چون است بحرانی میگوییم 0 اول همین این که کنید دقت است. ( ( شکل به 0> برای و ( ( صورت به برای 0 < ما تابع یعنی عالمت با یا میآید بیرون + عالمت با یا ( ) 0 بگیریم: نظر در را یکی فقط پس است(. ضرب )چون ندارد f ریشهی روی اثری بودن منفی یا مثبت بود. خواهد 4 عرضها اختالف و است ) ) و ( 0) آنها 0 عرض شد. و بحرانی 0 نقاط طول پس 4 میکنند. صفر را مشتق f ریشههای و میکنند ایجاد مشتقناپذیری f سادهی ریشههای هستند. بحرانی نقاط طول f و f ریشههای تمام )f توابع ( در چهقدر نقاط این رئوس با مثلثی مساحت دارد. بحرانی نقطهی سه نمودار 7 8 )4 7 4 ) 9 8 ) 9 4 ) S ABC 9 4 7 8 و داریم ساده ریشهی و در پس ) )( + میشود ( کنیم تجزیه را قدرمطلق داخل اگر هچ با قدرمطلق نیست مهم دیدیم قبل مثال در که همانطور بحرانیاند. نقاط )B 0 (, و )A 0 (, بنابراین نیست. مشتقپذیر تابع که میشود بحرانی هم پس است. آن مشتق میکنیم کار با پس میشود. برداشته عالمتی 9 میبینیم: هم را تابع شکل است. )C, ) بحرانی نقطهی سومین یعنی بود خواهد ) ) 4 4 9 آن عرض 4 داریم: پس است. 9 یعنی C نقطهی عرض برابر آن ارتفاع و AB برابر ABC مثلث قاعدهی 4 > 0 بحرانی نقطهی چند )f ( ضابطهی با تابع نمودار 0 4 )4 ) ) ) > 0 باال ضابطهی از دهیم قرار صفر مساوی را مشتق اگر است. f ( ( تابع مشتق است. صفر مشتق کجا ببینیم اول < 0 طرش با که میآید دست به هم پایین ضابطهی از نمیشود(. قبول شرط 0 < در ) است قبول فقط که میآیند دست به و ار دامنه مرز باید چندضابطهای تابع این در ندارد. وجود مشتق کجا اینکه سراغ میرویم سپس شد. بحرانی فقط فعال پس ندارد. تطبیق ( (0> چون ندارد مشتق اما limf( ( limf( ( f () 0 چون: 0 است پیوسته کنیم. کنترل را مشتقپذیری سپس و پیوستگی اول در 0 یعنی ببینیم + 0 0 دارد. بحرانی نقطهی دوتا کل در و شد بحرانی هم پس 0. f( 0 ) و + f( 0 )
بپرسیم... هم دیگری سؤاالت بیاوریم: دست به را ها و دهیم قرار ضابطه در را ها باید خب! کدام بحرانی نقاط مختصات تابع این در الف( 0 Þ () 0 -() 0 0 Þ A(,) 00 () B(, ) نواحیاند کدام در بحرانی نقاط ب( است.( منفی عرضش و مثبت )طولش دارد. قرار چهارم ناحیهی در B نقطهی و است مختصات مبدأ در A نقطهی ôi ½nIQ ϼö AB ( B A) + ( B A) ( 0) + ( 0) + 4 5 چهقدر هم از بحرانی نقطهی دو فاصلهی ج( ôi ½nIQ KÃ{ m B A 0 AB کدام میکند وصل هم به را بحرانی نقاط که خطی شیب د( B A 0 بازهی یک در باید باشد f تابع نسبی ماکسیمم ( cfc, (() نقطهی اگر یعنی باشد. اطرافش نقاط مساوی یا بیشتر آن عرض که است نقطهای نسبی ماکسیمم نقطهی عرض چرا که بیاورید دلیل مورد هر در خودتان دارند. نسبی ماکسیمم توپر نقطهی در شکلها این تمام است. )f ( fc () همواره بگوییم بتوانیم c شامل است: طرفش دو نقاط مساوی یا بیشتر c کنید: دقت هم نکته دو به باشند. داشته وجود تابع نمودار نقاط تابع راست طرف در هم و چپ طرف در هم یعنی شود تعریف طرف دو هر در باید تابع نسبی ماکسیمم ندارد(. وجود یا است صفر مشتق آنها همهی در )یعنی هستند هم بحرانی نقطهی میبینید باال شکلهای در که نسبی ماکسیمم نقاط این تمام نسبی: مینیمم بشود تا میگوییم برعکس را همهچیز حاال نقطهی یعنی است. )f ( fc () بگوییم بتوانیم c شامل بازهی یک در باید پس باشد. اطرافش نقاط مساوی یا کمتر آن عرض که است نقطهای نسبی مینیمم ببینید: را نسبی مینیممهای این باشد. آنها همعرض یا پایینتر راستش و چپ نقاط از (c,f(c)) بحرانیاند. نقطهی هم نسبی مینیممهای این تمام و شود تعریف نسبی مینیمم طرف( دو هر )یعنی اطراف در باید تابع که کنید توجه هم باز بنابراین است. نسبی مینیمم یا ماکسیمم منظورمان نسبی اکسترمم گفتیم جا هر پس»اکسترمم«. میگذاریم را مینیمم«و»ماکسیمم اسم صرفهجویی برای است. بحرانی حتما نسبی اکسترمم نقطهی هر و شود تعریف نسبیاش اکسترمم طرف دو در باید تابع گفتیم: شرط دو داریم. نسبی مینیمم... و نسبی ماکسیمم... مقابل شکل نمودار در 00, ) 0, ), )4 0, ) نمیبینیم آن چپ سمت در چیزی ما ندارد وجود طرف دو از تابع درa کنیم: بررسی یکییکی نداریم! نسبی اکسترمم هیچ تابع این در d در نیست. اکسترمم هم این پس است( )توخالی نداریم نقطه اصال که هم b در نیست. نسبی اکسترمم پس است( دامنه شروع نقطهی )این نقطه این اما است شده تعریف تابع هم طرف دو از داریم توپر نقطهی درc نیست. اکسترمم هم این پس نیست( تابع دامنهی )در نداریم نقطهای هم رد نیست. نسبی مینیمم یا ماکسیمم پس دارد قرار باالتر راستیها سمت از و است پایینتر چپیها سمت از واقع در نیست. پایینتر یا باالتر اطرافیانش از نیست. پایینتر یا باالتر خودش طرفین نقاط از نقطه این ندارد مینیمم یا ماکسیمم تابع هم e نیستند. اکسترمم اما نداریم( مماس خط )چون بحرانیاند ec, نقاط که کنید دقت نداشتیم. اکسترمم هیچ پس وجود نسبی اکسترمم نقطهی چند 0 دامنهی با )f ( ] [ تابع نمودار در هیچ )4 ) ) 6 ) بلدیم: را تابع این شکل نداریم. نسبی اکسترمم نقطهی ندارد وجود طرف دو هر از تابع چون دامنه پایان و شروع یعنی و 0 در ببینید: دارد. قرار پایینتر اطرافش نقاط از توپر نقطهی چون داریم نسبی مینیمم و نقاط در داریم. نسبی اکسترمم نقطهی دو کل در یعنی نشد پیدا نسبی ماکسیمم هیچ و داریم نسبی مینیمم تا پس مساوی یا کمتر نیز و مساوی یا بیشتر اطرافش نقطههای از نقطه هر چون هستند نسبی مینیمم هم و نسبی ماکسیمم هم نقاط تمام ثابت تابع در دارد. نسبی اکسترمم نقطهی بیشمار باشد ثابت ( فاصلهیab, ) در تابعی اگر پس است. 78
کل به مطلق ماکسیمم در پس اطرافش. نقاط از نه است باالتر نقاط تمام از که کنید دقت باشد. مساوی یا باالتر نقاط تمام از که است نقطهای مطلق ماکسیمم راست یا چپ در که نقاطی یعنی شود. تعریف طرف دو هر از تابع که نیست نیازی مطلق ماکسیمم مورد در میکنیم. نگاه دادهاند را نمودار که بازهای کل یا دامنه شوند. معرفی مطلق( مینیمم )یا مطلق ماکسیمم عنوان به میتوانند هم نداریم تابع آنها ببینید: را شکلها این بخوانید: هم را توضیحات دراد هم نسبی اکسترمم دوتا تابع این دارد. قرار دامنه ابتدای در هم نقطه پایینترین میشود مطلق ماکسیمم و است دامنه انتهایی نقطهی در عرض باالترین f در نسبیاند! فقط پس نیستند. همه از پایینتر یا همه از باالتر نمودار کل در اما هستند min و ma خودشان اطرافیان به نسبت که انتهای در که نقطه پایینترین اما میشود. هم مطلق ماکسیمم است باالتر نیز همه از چون و است باالتر اطرافیانش از که داریم نسبی ماکسیمم یک g نمودار در نداریم. نسبی اکسترمم اصال هم h در نیست. نسبی و است مطلق اکسترمم فقط نشده تعریف تابع طرف دو از چون دارد قرار دامنه کنیم: جمعبندی اینطوری نیستند. نسبی اکسترمم هرگز دامنه سروته و است الزم طرف دو هر باشد وجود مساوی یا پایینتر یا مساوی یا باالتر طرفش دو نقاط از باید فقط نسبی اکسترمم باشند. مطلق اکسترمم میتوانند هم دامنه سروته و باشد مساوی یا پایینتر همه از یا مساوی یا باالتر همه از باید مطلق اکسترمم ندارند: مطلق ماکسیمم شکلها این از هیچکدام باشد. نداشته مطلق مینیمم یا ماکسیمم میتواند تابع نداریم. عرض بیشترین f در است. توخالی نقطه باالترین g در است. در عرض بیشترین h در است. در نقطه باالترین k در است. کشیده را فرد و زوج توابع با تابعهای نمودار درسی کتاب هستند هم شبیه ها n 6 4 کل در و و,, توابع تمام دارند: مطلق و نسبی مینیمم (,) 00 در و است متقارن شکل یک نمودارشان یعنی دارند: مبدأ در مطلق و نسبی ماکسیمم یک و میشود برعکس بود یا 4 یا اگر البته ندارند. اکسترممی هیچ و میشوند رسم»لر«کلمهی شبیه +n یعنی فرد توانهای و و 5 و توابع تمام را مطلق«مینیمم و مطلق ماکسیمم نسبی مینیمم نسبی»ماکسیمم موارد همهی نمودار کدام )4 ) ) ) 79 در در در اما نمودار در ندارد. مطلق مینیمم و ماکسیمم و میروند و + تا شاخهها ندارد. مطلق ماکسیمم و دارند ادامه + تا شاخهها نداریم.( باشد باالتر اطرافیانش از که )نقطهای نداریم. نسبی ماکسیمم ولی داریم نسبی مینیمم داریم. مطلق و نسبی ماکسیمم دیگری و مطلق و نسبی مینیمم یکی اکسترمم نقطهی دو رد» global «و» local «کلمات ترجمهی حال هر به»سراسری«. میگویند هم»مطلق«جای به و»موضعی«میگویند»نسبی«به ریاضی رشتهی در مطلق مینیمم و ماکسیمم حتما باشد پیوسته [ ab [, فاصلهی در f اگر که میکنند ادعا ریاضیها ضمنا است. متفاوت هم با تجربی و ریاضی رشتهی دو بسوزانید. را آن فورا دیدید حرفها این از کتابی یا جزوه یا تست در اگر و نداریم را اینها ما دارد.
مهم جملهی این به حاال برویم. مقادیر کمترین و بیشترین دنبال باید ضابطه روی از مطلق اکسترممهای پیداکردن برای میکردیم. نگاه تابع نمودار به فقط اینجا تا اینطوری بود! خستهای جملهی است.«دامنه انتهای یا ابتدا در حتما نباشد نسبی اگر و است بحرانی نقطهی حتما باشد هم نسبی مطلق اکسترمم»اگر کنید: توجه سپس ندارد( وجود کجا و است صفر مشتق کجا ببینیم )یعنی بیاوریم دست به را بحرانی نقاط تمام طول باید مطلق اکسترممهای پیداکردن برای که بگیرید یاد میآوریم دست به که ها این بین در کنیم. حساب نقاط این تمام در را یعنی تابع مقدار و میگیریم نظر در هم را گفته سؤال که بازهای یا دامنه سروته طول است. مطلق مینیمم برابر مقدار کمترین و مطلق ماکسیمم برابر مقدار بیشترین کنید... دنبال را مثالها این حل کدام [, ] فاصلهی در f( ) تابع مقدار بیشترین )4 ) ) صفر ) f ( ) 0 است: صفر آن مشتق در و دارد مشتق همهجا تابع این ºHodM : f( ) ( ) کنیم. حساب را نقاط این عرض هستند. و هم دامنه سروته 4 4 ¾¹ Hj ÁHkTMH : f( ) ( ) ( ) + ¾¹ Hj ÁI TºH : f( ) 0 کمترین میدهد. رخ (, ( یعنی دامنه ابتدای نقطهي در که است تابع مقدار بیشترین یعنی است. کمترین و بیشترین ها این بین در خب! 4 میدهد. رخ (, ) در هم مقدار 4 است. نقطه عرض مینیمم یا ماکسیمم مقدار از منظور کدام 0 دامنهی روی مطلق مینیمم ضابطهی با تابع در )4 ) صفر ) 7 ) شود: صفر که هستند جاهایی در بحرانی نقاط پس دارد. وجود همواره که است تابع این مشتق SwH oÿå KÄHoò ̼µ\ 0, کنیم: حساب را عرضها نمیخورد. ما درد به پس است,] [0 سؤال بازهی که کنید دقت 0 0 min 7 9 5 )یعنی است. [ 5, ] صورت به بازه این در ب ردش بگوییم میتوانیم شد «5 حداکثرش و حداقل بازه این در و است پیوسته تابع این چون میکند.( تغییر 5 تا از کدام sin + cos تابع مقدار بیشترین 5 4 )4 4 ) ) ) 4 هب کاری دیگر و میکنیم حساب را بحرانیها فقط ما ندارد اشکالی نشود. داده سؤال صورت در خاصی بازهی است ممکن مثلثاتی توابع در sin + cos sincos + ( sin ) sin cos sin sin( cos ) 0 است!!( بیسروته )سؤالش نداریم سروته داریم. را kπ ± π جوابهای و است برابر cos مقدار باشد cos اگر 0 داریم. را k جوابهایπ باشد اگرsin0 ( 0) sin 0+ cos0 0+ با: است برابر مقدار که داریم را وπ 0 جوابهای p تا از 0 دور یک در جوابkπ از ( π) sin π+ cos π 0+ ( ) π π π 5 ( ) sin + cos ( ) + + میدهیم: قرار را π π و π مقادیر هم k 4 4 π ± π جواب از 5 ( π π ) ( ) + + 4 4 هستند. و 5 تابع مقادیر کمترین و بیشترین پس 4 کدام تابع مقدار بیشترین + + 6 )4 ) ) ) صفرشود: آن مشتق که است جایی هم بحرانی نقطهی است مشتقپذیر کل روی تابع این 0 ( + )() 0 + 0 ( + + ) 80
از: عبارتاند مقادیر هستند. و + دامنه سروته بگوییم میتوانیم است تابع دامنهی چون است. نزده حرفی هم دامنه سروته از +, ± 0 نداریم دسترسی آن به که میدهد رخ ± در تابع مقدار کمترین که دارید توجه است. ma تابع مقدار بیشترین پس ببینید: را نمودارش ندارد. مطلق مینیمم پس + + میشود: اینجوری تابع ضابطهی بیاوریم در کامل مربع صورت به را کسر مخرج اگر ( + ) +. ma بنابراین نمیشود( که )کمتر باشد صفر ( ) + قسمت یعنی شود مینیمم مخرج باید پس باشد حداکثر میخواهیم ما حاال بدون آنها مقدار کمترین و بیشترین که هستند محدودی تابعهای اما نیست. ممکن همیشه دادیم انجام باال سؤال در دوم راه عنوان به که کار این ببینید: را اینها میشود. پیدا و... بحرانی نقطهی و مشتقگیری b f( ) a + b + c min S )f ) داریم: باال به رو سهمی در a>0 a است. S برابر تابع مقدار حداکثر پایین به رو سهمی در هستند. A + B و A + B همواره حداکثر و حداقل Asin+ Bcos تابع در هستند. ± a a مطلق مینیمم و ماکسیمم مقدار + تابع در دارد امکان اما شدهاند حذف االن که بودهاند سوم و دوم ریاضی کتابهای در هم )4( و )( بودید. دیده درجهدوم تابع در قبال را )( و )( نزنید! غر باشند. سؤال مورد کدام sin cos تابع مقدار بیشترین )4 ) ) + ) A, B ma A + B + 4 داریم: باال اشارهی در بند به توجه با درسي( )كتاب بحراني نقطهي چند f() 9 + + 60 ضابطهي با تابع 86 صفر )4 ) ) ) وجود بحراني نقطهي چند روبهرو تابع نمودار در 864 ) ) b a c d e 4 ) 5 )4 بحراني نقطهي چند روبهرو منحني 865 6 ) a درسي( )كتاب b c d e h 5 ) 4 ) )4 هستند مثبت هاي در g() 6 تابع + از بحراني نقطهي چند 866 صفر )4 ) ) ) ن بحراني نقطهي f () + b + ضابطهي + با تابع b مقادير كدام ازاي به 867 b < 6 )4 b < 6 ) b < 6 ) b < ) 8 )85 )تجربي كدام مثلث اين نوع مثلثاند يك رأس سه f() ) ( ضابطهي با تابع بحراني نقاط 868 متساويالساقين و قائمالزاويه 4( قائمالزاويه فقط ( متساويالساقين فقط ( متساوياالضالع ( 6 درسي( )كتاب بحراني نقطهي چند داراي h() 5 5 ضابطهي با تابع 869 )4 ) ) صفر )
8 درسي( )كتاب بحراني نقطهي طولها كدام در f() تابع 870 0, )4 ± ) 0,± 4 ) 0, ) 7 درسي( )كتاب كدام مثبت طول با f بحراني نقطهي آنگاه f() 6 7 + 5 اگر 87 8 )4 4 ) ) ) )تجربي 8 ( كدام f() ) (8 ضابطهي با تابع بحراني نقاط طولهاي مجموعهي 87 { 70,,})4 { 0,,}) { 7, 7 }) {,} ) نيست f() بحراني نقطهي طول گزينه كدام 87 )4 ) ) ) درسي( )كتاب كدام f() ( + 4) تابع در بحراني نقاط طولهاي مجموع 874 )4 5 ) ) ) وجود بحراني نقطهي چند 4 + تابع نمودار در 875 4 )4 ) ) ) π 5π كدام (, ) بازهي بر f () sin ضابطهي با f تابع بحراني نقاط تعداد 876 5 )4 4 ) ) ) بحراني نقطهي چند ضابطهي با تابع 877 4 )4 ) ) ) چهقدر آن مساحت مثلثاند. يك رئوس f() 4 ضابطهي با تابع بحراني نقاط 878 )4 6 ) 6 ) ) + كدام خود دامنهي روي بر f() ضابطهي با تابع بحراني نقاط تعداد 879 بيشمار )4 ) ) صفر ) > بحراني نقطهي چند ضابطهي با تابع 880 + 5 )4 ) ) صفر ) + 0 وجود بحراني نقطهي چند تابع نمودار در 88 + < 0 )4 ) ) صفر ) بحرانی نقطه چند f() Ln( ) ضابطهي با تابع 88 )4 ) ) صفر ) بحراني نقطهي چند ضابطهي با تابع 88 بيشمار )4 ) ) ) 8
68 مماس خط چون داريم بحراني نقطهي a در 864 است(. صفر مشتق )يعني است افقي است. بحراني نقطهي و نداريم مشتق پس است ناپيوسته تابع درb داريم. بحراني نقطهي و است افقي مماس خط نيز درc باشد. بحراني كه ندارد وجود نقطهاي پس نميشود. تعريف تابع اصال d در است. بحراني نقطهي و نيست مشتقپذير پس داريم. شكستگي هم درe بحراني. نقطهي تا 4 شد پس داريم. بحراني نقطهي و است صفر مشتق 0 در 865 نداريم. هم بحراني پس نميشود تعريف تابع كه وb a در داريم. بحراني نقطهي و است صفر مشتق درc ± مشتق يعني است ها محور موازي مماس خط وh d در درe داريم. بحراني نقطهي و ميشود نداريم. بحراني پس نيست. ± يا صفر مماس شيب هستند. تابع اين بحراني نقطهي چهارتا داريم: بحراني صفر مشتق نوع از فقط هم باز g() 6 + g () 6 4 6 0 0,c,d,h بنابراين 866 يعني داريم. مختلفالعالمت ريشهي دو است منفي c چون معادله اين در a صفر است منفي ديگري طول و مثبت آنها از يكي طول كه نقطه دو در g يكي. خب هستند مثبت هاي در بحراني نقطهي چند حاال ميشود. مثبت هاي در بحراني نقطهي اين طول داريد دوست اگر )كه است 8 هم ديگرش بحراني نقطهي طول است. + 00 6 نميخواهيم(. را آن ما هيچوقت مشتقش يعني ندارد. بحراني نقطهي 867 دارد!( هميشه مشتق )چون نميشود. صفر f () + b + + f () + b + است: منفي دلتايش پس نشود. صفر است قرار f اين ( b) 4( )( ) 4b 4 < 0 4b < 4 4 b < 6 b < 6 نقطهي براي پس دارد. مشتق جا همه f() اين 868 بشود: صفر مشتقش اينكه دنبال برويم بايد بحراني f() ( ) f () ( ) + ( ) ( ) از ( )( + ) ( )( ) 0 بگيريم فاكتور هم نقطهها عرض به ميشود. صفر و 0 نقاط در مشتق اين داريم: نياز 0 0 ( 0 ) 0 A( 00, ) f() ( ) ( ) B(, ) ( ) 0 C( 0, ) ببينيد: دستگاه در را C و B A نقطهي سه اين حاال A B C و (B 90 ) است قائمالزاويه هم ABC مثلث. (BA BC) است متساويالساقين هم جا همه پس است. چندجملهاي f تابع اين 86 بشود: صفر مشتق كه است نقاطي در فقط بحرانياش نقطهي و دارد مشتق f() 9 + + 60 f () 6 8 + 6( + ) 6( )( ) 0, داريم. بحراني نقطهي دو و طولهاي در پس
87 منفي توان است ممكن ميگيريم مشتق وقتي كسري توانهاي در 869 به صفر )چون است بحراني نقطهي طول حتما 0 شد اينطور اگر شود. 6 h() 5 5 نداريم(. مشتق و ندارد معنی منفي توان 6 4 h 6 () 5 ( )5 6 5 5 5 5 5 5 4 h 6 () 5 ( ) 5 6 بگيريم: فاكتور 4 5 5 ميماند. بگيريم فاكتور را 4 5 اگر 5 از از حاال است. صفر مشتق در و نداريم مشتق 0 در كنيد. نگاه h به حاال داريم. بحراني نقطهي دوتا پس ببينيد: را مشتق 8 5 f() f 8 () ( 4 ) ميماند! برايمان 6 يعني بگيريم فاكتور را 5 از اگر 870 دارد: بحراني هم بشود صفر 4 جا هر ندارد. وجود 0 در مشتق اين جذر 4 0 4 ± 4 7 f() 6 7 + 5 دارد. و 0 ± طولهاي به بحراني نقطهي سهتا پس بگيريم: مشتق 87 f 7 () 6 7 7 6 7 0 6 6 ببينيم ثانيا نداريم. منفي توان به صفر چون است بحراني نقطهي 0 اوال 7 6 7 7 6 7 0 6 6 بزنيم را ها 7 6 6 6 6 ميشود: صفر كي مشتق + وسطين طرفين + 6 6 6 4 ميبينيم: را مشتق f() ( ) f 8 () + ( 8) 0 ( ) + 8 0 + 6 8 0 87 7 8 7( 4) 0 پس ميشود. صفر نيز باشد ± وقتي ندارد وجود 0 در مشتق اين هستند. 0, ± بحراني نقاط در اگر ميشود. كسري عبارت يك تابع مشتق راديكالي تابعهاي در داريم. بحراني نقطهي باشد صفر كسر اين مخرج دامنه از نقطهاي كنيد: نگاه f به f() f () ( ) وقتي است. بحراني نقطهي پس ميشود. صفر در f اين نداريم: مشتق هم باشد 0 ( )( + ) 0, با بحراني نقطهي سه يعني شد. پيدا هم ديگر بحراني نقطهي دوتا پس نيست. بحراني و داريم و طولهاي. + ( ) + ميشود تابع اين بحراني نقاط طولهاي مجموع صفر كجاها ميبينيم و ميگيريم مشتق هم باز 874 ندارد: وجود كجاها و ميشود f() ( + ) f () ( )( + ) 4 6 4 ( )( )( + ) 4 صفر كه 4 + جا هر ميشود. صفر و 0 در مشتق اين + 4 0 نداريم: مشتق هم باشد ميكنيم. كنترل را... و عددهاي معادله اين حل براي است: بخشپذير + بر عبارت و است جواب خوشبختانه + 4 + ( + ) 4 + 4 4 + 4 ( 4 4) 4 + 4 ( 4 + 4) 0 ( + 4) ( + )( 4 + 4) ( + )( ) صفر و نقاط در عبارت 4 + افتاد اتفاقي چه حاال داريم: بحراني نقطهي يعني بحرانياند. هم نقاط اين پس ميشود. ميشود. طولهاشان مجموع كه و 0 يعني اين ن!! وجود مشتق هم و است صفر مشتق هم در االن صفر را f مخرج هم و f صورت هم كه است اين ماجرا خب چي ميكنم: ساده را f داريد حساسيت اگر ولي است بحراني حال هر در ميكند. ( ) f 6 () ( + 4) (( + )( ) ) ( ) ( ) 4 ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) صفر را مشتق چون است بحراني 0 حاال سادهشده. f از هم اين بفرماييد ندارد. وجود مشتق چون بحرانياند هم و و ميكند صورت به قدرمطلق( درون )تابع f() اينجا در 875 بشود: صفر f يا f كه هستند جاهايي بحراني نقاط گفتيم است. +4 f() 4 + ( )( ) 0, f () 4 0 68
68 A B 4 هستند. و 4 0 در بحراني نقاط پس دست به ضابطه از استفاده با نقطهها اين عرض 0 0 A( 00, ) ميآيند: 4 C(, ) C 4 0 B( 40, ) 4 S ABC 6 با: است برابر مثلث مساحت مشتق جا همه و است {} 0 تابع اين دامنهي 879 ميشود: صفر نقاطي چه در f ببينيم برويم پس دارد. + + f() f () + + + ( + ) + + ندارد. بحراني نقطهي پس نميشود. صفر جا هيچ مشتق اين 880 > + 5 پاييني از و بااليي از )حد نيست پيوسته در تابع كه هست حواستان است. بحراني پس است( 6 > كنيد: نگاه مشتق به حاال + 5 < هست(. هم دامنهاش )توي است صفر مشتق در باال ضابطهي از هست(. هم دامنهاش )توي است صفر مشتق 5 در پايين ضابطهي از داريم. بحراني نقطهي سهتا هم روي بحرانياند. هم 5 و پس مرز سراغ ميرويم اول قبل سؤال تجربهي از 88 هم پاييني حد و صفر بااليي ضابطهي حد 0 در. 0 يعني دامنهها است. پيوسته تابع پس است. صفر + > 0 مشتق: دنبال برويم + < 0 از هم چپ مشتق ميشود بااليي ضابطهي از راست مشتق 0 در نيست. بحراني 0 پس است. پاييني ضابطهي رد هم پاييني ضابطهي نميشود صفر هيچوقت كه مشتق بااليي ضابطهي يعني هيچي. به هيچي پس ندارد. قرار دامنهاش در كه ميشود صفر نداريم. بحراني اصال بهنظر خب f () ببينيد: را مشتق 88 صبر اما ندارد. وجود مشتق در ± و است صفر مشتق 0 در ميآيد كه باشد ) [ )یعنی, ] تابع دامنهي جزء بايد بحراني نقطهي كنيد ندارد. بحراني نقطهي پس نيستند. ) 0,, ( اينها از هيچيك مشتق آن از نيست خوبي چيز قدرمطلق 88 بكشيم: را تابع ميكنيم سعي نميگيريم. دارد. بحراني نقطهي يعني ندارد مشتق نقطه در كه است تابلو را sin نمودار هستم! راحتتر شكل با من و طولهاي در بحراني نقطهي سهتا پس است: ديدني هم شكل داريم. در و ندارد مشتق و در است. صفر مشتق 876 كرد: آينه باال به را افقي محور پايين قسمت بايد هم sin براي بلديم. 0 sin 0 sin 5 ندارد. مشتق π و π 0 نقاط در π دارد. بحراني نقطهي تا 5 هم روي است. صفر مشتق هم π و π در sin f () sin ميرويم: هم را قبلي راه π 5π (, ) بحراني نقطهي f () 0 sin 0 0, π, π π π f () 0 cos 0, آمد. دست به بحراني نقطهي پنجتا همان 877 داشت هم ديگري قسمت و داشت قدرمطلقي قسمت يك تابع اگر كنيم. معلوم را قدرمطلق وضع كه است اين كار بهترين ( ) ( ) < < در نداريم. مشتق ± در كنيم. پيدا را بحراني نقاط ميتوانيم حاال است: صفر مشتق ± > 0 ± < دارد. بحراني نقطهي تا 4 پس برداريم: را قدرمطلق شد قرار خب 4 878 4 0 f() 4 4 < 0 است: زير صورت به تابع اين مشتق ± 4 ± ( 4 + ) ( 4) وجود خاطر به هم 0 در ندارد وجود 4 در مشتق اين خب ميشود: صفر مشتق كجا ببينيم برويم ندارد مشتق 0 4 + 0 4 ( 4) ( 4) وسطين طرفين ( ) 4 ( 4) ( 4) + 4