ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΘΑΛΑΣΣΑΣ Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & Drifters. ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (Επιβλέπων: Δ. Βασίλης Ζεβάκης) Μιχάλης Μιχαηλίδης ΜΥΤΙΛΗΝΗ 007
«Πνευματικά δικαιώματα έχουν τα παιδιά που έχονται...» ΕΞΩΦΥΛΛΟ: Η γενική μοφή των ευμάτων στον παγκόσμιο ωκεανό, αποτέλεσμα του συνδυασμού γεωστοφικής οής και ανεμολογικής δάσης (Institute of the Environment 007, από Garrison 993). ii iii
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η εγασία αυτή παγματοποιήθηκε στα πλαίσια ενός ευύτεου project με συμμετέχοντες το Ελληνικό Κέντο Θαλασσίων Εευνών (ΕΛ.ΚΕ.Θ.Ε.) και το Πανεπιστήμιο της πολιτείας της Ουάσινγκτον των Η.Π.Α. (University of Washington, Seattle), με σκοπό τη μελέτη των εσωτεικών κυμάτων σε μία πειοχή με πολύ μικό εύος παλίοιας, όπως είναι το νότιο Αιγαίο. Τα δεδομένα που συλλέχθηκαν από CTD, A.D.C.P. και Drifters, αξιοποιήθηκαν για τον υπολογισμό του πεδίου ταχυτήτων των γεωστοφικών ευμάτων. Αχικά υπολογίστηκε η βαοκλινική συνιστώσα σε ολόκληη τη στήλη του νεού (μέχι το μέγιστο βάθος μέτησης του κάθε σταθμού) και έπειτα το πεδίο της απόλυτης ταχύτητας από τις μετήσεις A.D.C.P., στα βάθη μέτησης των Drifters. Στη συνέχεια υπολογίστηκε η βαοτοπική συνιστώσα στα αυτά βάθη και ο μέσος όος αυτών, έτσι τελικά κατέστη εφικτή η συνολική μελέτη της κυκλοφοίας των υδάτινων μαζών με την ποσθήκη της βαοτοπικής συνιστώσας σε ολόκληη την υδάτινη στήλη και την εξαγωγή του πεδίου της απόλυτης ταχύτητας του εύματος σε κάθε βάθος. Η Εισαγωγή αποτελεί το απααίτητο θεωητικό υπόβαθο για τη μελέτη των γεωστοφικών ευμάτων. Εδώ καθοίζονται οι κατάλληλες εξισώσεις και εξηγείται η δυναμική των γεωστοφικών ευμάτων. Οι πώτες διαμοφώνονται τελικά για τον πακτικό υπολογισμό της ταχύτητας των γεωστοφικών ευμάτων. Εξετάζονται επίσης, οι πααδοχές, οι πειοισμοί, τα σφάλματα (συστηματικά και τυχαία) και γενικά τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα του υπολογισμού του πεδίου γεωστοφικών ταχυτήτων (βαοκλινική συνιστώσα) από μετήσεις CTD. Παατείθενται μεικά στοιχεία για εναλλακτικούς τόπους μέτησης της (απόλυτης) ταχύτητας στη θάλασσα, όπως μέσω A.D.C.P. και Drifters και γίνεται μία σύντομη αναφοά στις θεωίες (Euler και Lagrange) που διέπουν τις μετήσεις με αυτά τα όγανα. Η τελευταία παάγαφος πειέχει τα βασικά στοιχεία της πειοχής μελέτης και διατυπώνονται οι στόχοι της εγασίας. Στο πώτο κεφάλαιο παατείθεται η διαδικασία της ποεπεξεγασίας των raw data. Οι αχικές χονοσειές που πάθηκαν στο πεδίο εισάγονται στο κατάλληλο λογισμικό (συνοδευτικό των CTD) και διοθώνονται, βαθμονομούνται, ομαλοποιούνται κλπ. Τελικά μετατέπονται σε απλά ASCII αχεία για την εισαγωγή τους στο πόγαμμα Matlab. Στο δεύτεο κεφάλαιο πειγάφεται η τεχνική που χησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της βαοκλινικής συνιστώσας των γεωστοφικών ευμάτων από τις μετήσεις με CTD (οι υπολογισμοί έγιναν σε Matlab 6.5) και παατείθενται όλα τα αποτελέσματα. Στο τίτο κεφάλαιο παουσιάζονται οι μετήσεις και τα αποτελέσματα από A.D.C.P. και γίνεται η σύγκισή τους με τα αποτελέσματα από CTD. Εδώ υπολογίστηκε το πεδίο απόλυτης ταχύτητας στα βάθη απόιψης των Drifters και σε συνδυασμό με τα αποτελέσματα από CTD υπολογίστηκε και το πεδίο της βαοτοπικής συνιστώσας των γεωστοφικών ευμάτων. Στο τέτατο κεφάλαιο παουσιάζονται οι μετήσεις και τα αποτελέσματα από τους Drifters και γίνεται η σύγκισή τους με τα αποτελέσματα από A.D.C.P. μέσω στατιστικής συσχέτισης (correlation). Έτσι ελέγχθηκε η αξιοπιστία των μετήσεων από A.D.C.P., κατ επέκταση και της βαοτοπικής συνιστώσας που υπολογίστηκε από αυτές. iii v
Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται μία συζήτηση, όπου παουσιάζονται τα συμπεάσματα της εγασίας και γίνεται μία ποσπάθεια εμηνείας των αποτελεσμάτων. Εδώ επίσης εφαμόζεται συνολικά η μέθοδος, για τον έλεγχο της κυκλοφοίας των υδάτων στα βαθύτεα νεά ( 80db 350db), στα οποία δεν ήταν δυνατόν να γίνουν μετήσεις τόσο με A.D.C.P. όσο και με Drifters και γίνεται μία συνοπτική μελέτη των αποτελεσμάτων. Τέλος, διατυπώνονται συνοπτικά και οι μελλοντικές τάσεις και οι ανάγκες για πόσθετη έευνα επί του αντικειμένου. Η Βιβλιογαφία που παατείθεται, είναι μία καλή βάση για την πεαιτέω μελέτη του αντικειμένου και διαχωίζεται σαφώς από τις Αναφοές. Αυτές είναι πηγές που πειέχουν λεπτομέειες και επεκτάσεις επί του αντικειμένου, οι οποίες δεν ήταν απααίτητο να συμπειληφθούν στην παούσα εγασία και αποτελούν πολύ καλό συμπλήωμα της Βιβλιογαφίας. Μιχάλης Μιχαηλίδης m.michaelidis@gmail.com Μυτιλήνη Οκτώβιος 007 vi iv
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... I.Οισμός εύματος, διαχωισμός από κύματα... II.Μελέτη και καθοισμός αχικών εξισώσεων με τη μέθοδο διαχωισμού κλιμάκων... III.Οισμός γεωστοφικού εύματος, πειγαφή δυναμικής... 5 IV.Πααδοχές εξισώσεων γεωστοφικών ευμάτων... 6 V.Διαμόφωση εξισώσεων υπό βαοτοπικές συνθήκες... 8 VI.Διαμόφωση εξισώσεων υπό βαοκλινικές συνθήκες... 0 VII.Διαμόφωση εξισώσεων υπό παγματικές συνθήκες... 4 VIII.Τα επίπεδα «μη κίνησης» (level of no motion) και «γνωστής κίνησης» (level of known motion)6 IX.Πακτικός υπολογισμός ταχύτητας γεωστοφικών ευμάτων υπό ομογενείς συνθήκες... 7 X.Πακτικός υπολογισμός ταχύτητας γεωστοφικών ευμάτων υπό παγματικές συνθήκες... 9 a. Γεωδυναμικό και ανωμαλία γεωδυναμικού... 9 b. Καθοισμός τελικής εξίσωσης... XI.Μέθοδοι καθοισμού της απόλυτης ταχύτητας των γεωστοφικών ευμάτων... 7 XII.Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα των γεωστοφικών εξισώσεων... 30 XIII.Στοιχεία A.D.C.P. (Acoustic Doppler Current Profiler), θεωία Euler... 3 XIV.Στοιχεία Drifters, θεωία Lagrange... 34 XV.Σκοπός εγασίας και βασικά στοιχεία πειοχής μελέτης... 36 A. ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ CTD... 38 I.Data Conversion (μετατοπή δεδομένων)... 38 II.Align CTD (ευθυγάμμιση CTD)... 40 III.Cell Thermal Mass (διόθωση θεμικής μάζας κελιού)... 4 IV.Loop Edit (διόθωση επαναληπτικών μετήσεων)... 43 V.Derive (ποκύπτουσες παάμετοι)... 44 VI.Wild Edit (διόθωση ακαίων τιμών)... 46 VII.Window Filter (εξάλειψη θούβου)... 47 VIII.Bin Average (υπολογισμός μέσης τιμής ανά db )... 49 IX.Strip (εξαγωγή στηλών)... 5 X.Split (διαχωισμός upcast και downcast δεδομένων)... 5 XI.ASCII Out (εξαγωγή αχείων ASCII)... 5 B. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΓΕΩΣΤΡΟΦΙΚΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ... 54 I.Δημιουγία χάτη... 55 II.Υπολογισμός γεωστοφικού εύματος σε τομές... 56 III.Υπολογισμός ισοσταθμικών καμπυλών της ανωμαλίας γεωδυναμικού (ΔΦ)... 58 0db 90db IV.Υπολογισμός γεωστοφικού εύματος (βαοκλινική συνιστώσα) στα και στα... 59 C. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ A.D.C.P. (Acoustic Doppler Current Profiler)... 6 0db 90db I.Υπολογισμός γεωστοφικού εύματος (απόλυτη ταχύτητα) στα και στα... 6 i v
0db 90db II.Υπολογισμός γεωστοφικού εύματος (βαοτοπική συνιστώσα) στα και στα & η μέση τιμή τους... 6 D. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ DRIFTERS... 63 I.Δημιουγία χάτη... 64 0db 90db II.Υπολογισμός γεωστοφικού εύματος (απόλυτη ταχύτητα) στα και στα... 64 III.Στατιστική συσχέτιση αποτελεσμάτων Drifters με αποτελέσματα A.D.C.P. (correlation)... 65 E. ΣΥΖΗΤΗΣΗ... 66 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 7 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ... 74 I.Εικόνες... 75 II.Πίνακες... 38 vi
ΕΙΣΑΓΩΓΗ I. Οισμός εύματος, διαχωισμός από κύματα Ένα εύμα χαακτηίζεται από απουσία πειοδικότητας και, μακοπόθεσμα, από μεταφοά μάζας νεού και όχι απλώς ενέγειας (Ζεβάκης 004). Θεωώντας ότι τα εύματα δεν είναι πειοδικά, δεν υπονοείται ότι δε θα μποούσαν να εμφανίζουν πειοδικότητα, αφού φε ειπείν το θεμόαλο μέτωπο των Δαδανελλίων αλλάζει εποχιακά τη θέση του, ενώ τα εύματα παάκτιας ανάβλυσης εξατώνται από τη χονική μεταβλητότητα του γενεσιουγού τους αιτίου, δηλαδή του ανέμου (Ζεβάκης 004). Ένας γενικός κανόνας διαχωισμού των ευμάτων (από κύματα) μέσω της πειόδου τους T (Ζεβάκης 004). Κινήσεις των οποίων η χονική κλίμακα εξέλιξής τους είναι μεγαλύτεη από δηλαδ ή : T > 5 χαακτηίζονται γενικά είναι η σύγκιση με την τοπική αδανειακή πείοδο ( ) inertial μεικές αδανειακές πειόδους ( ) T inertial ως εύματα, με πιθανή εξαίεση κάποιες παλιοιακές συνιστώσες (Ζεβάκης 004). Ως γνωστόν, η τοπική αδανειακή πείοδος είναι συνάτηση μόνο του γεωγαφικού πλάτους και δίνεται από τον τύπο (Colling et al. 004): T inertial π () f π όπου f Ω sinφ, 0 φ, ο συντελεστής Coriolis και π Ω 7.9 0 5 η παγματική γωνιακή ταχύτητα της Γης (Colling et al. 86,60s s 004). Τότε θα ισχύει: π 0 φ 0 sinφ 0 () f T T.458 0 inertial inertial h 4 () s 4 4.3 0 s Όπως θα δούμε και αμέσως παακάτω, η χονική κλίμακα εξέλιξης των γεωστοφικών ευμάτων είναι πείπου 0 ημέες ( T 0d ). Σύμφωνα με τον οισμό του εύματος θα πέπει: ( T 0d T ) T > 5 Tinertial Tinertial < Tinertial < d (3) 5 Δοκιμάζοντας διάφοα γεωγαφικά πλάτη (Εξ. ), ποκύπτει ότι για τις πειοχές από τους Πόλους μέχι και 4 πείπου εκατέωθεν του Ισημεινού, () 86,60s 3h 56min είναι ο παγματικός χόνος που χειάζεται η Γη για μία πλήη πειστοφή γύω από τον άξονά της, ως πος τους απλανείς αστέες και λέγεται αστική ημέα (sidereal day) (Colling et al. 004). Από αυτόν τον οισμό ποκύπτει ο όος «παγματική γωνιακή ταχύτητα».
Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & drifters. η αδανειακή πείοδος είναι όντως μικότεη από d. Συνεπώς, είναι λογικό να διαχωίζονται τα γεωστοφικά εύματα από τα κύματα. II. Μελέτη και καθοισμός αχικών εξισώσεων με τη μέθοδο διαχωισμού κλιμάκων Εξετάζοντας τα μεγάλης κλίμακας θαλάσσια εύματα, με τη μέθοδο διαχωισμού κλιμάκων, διαφαίνεται ότι η μόνη σημαντική επιτάχυνση που υφίσταται το νεό είναι αυτή που οφείλεται στην πειστοφή της Γης (Ζεβάκης 004). Διαισθητικά, αυτό φαίνεται σωστό σε πώτη ποσέγγιση για τον ίδιο λόγο που μία βάκα θα κινηθεί για μεικά m αφού σταματήσει ο κωπηλάτης, ενώ ένα δεξαμενόπλοιο που κινείται με την ίδια ταχύτητα μποεί να κινηθεί για 3 μεικά km αφού σβήσουν οι μηχανές, όμοια θεωείται πως εφ όσον km νεού που ζυγίζει 0 5 kg μποεί να διατηήσει την κίνησή του για πείπου d, τα μεγάλης κλίμακας εύματα που πειέχουν πείπου 3,000km νεού και ζυγίζουν 0 8 kg θα μποούν να διατηήσουν την κίνησή τους για ακετές ημέες (Stewart 004). Είναι συνεπώς λογικό να πααλειφθούν οι τιβές και οι μη-γαμμικοί όοι στις εξισώσεις κίνησης (Stewart 004). Για παάδειγμα, με 4 6 f Ω sin 45 0 σε ένα μέσο γεωγαφικό πλάτος, T 6 0 s, s 5 L m L 0 m και U.7 0, ο αιθμός Rossby θα είναι πείπου (Pond T s 3 & Pickard 003): U.7 0 Ro Ro.7 0 4 5 f L 0 0 Ro, που σημαίνει ότι η χονική επιτάχυνση της οής σε σταθεό σημείο, όπως και η επιτάχυνση λόγω των όων μεταφοάς (μη-γαμμικοί όοι), είναι πείπου,000 φοές μικότεες από την επιτάχυνση λόγω της πειστοφής της Γης, άα μποούν να πααλειφθούν (Ζεβάκης 004). Για τις πααπάνω τιμές και επιπλέον 3 3 m H 5 0 m, A Ay U L.7 0 (τιβές κατά τους οιζόντιους άξονες s H U 0 m και y) και A z 4. 0 (τιβές κατά τον κάθετο άξονα z), οι αιθμοί L s A 3 Ekman θα είναι πείπου (Pond & Pickard 003): E, E y EH.7 0 f L Az 3 και Ez.7 0, που σημαίνει ότι λόγω των μεγάλων χωικών f H κλιμάκων η οή μποεί να θεωηθεί χωίς τιβές 3 (Ζεβάκης 004). Από την άλλη πλευά, το γεγονός ότι 3 A A y.7 0 4 0 A Ay 4 0 Az A Ay >> A 0 z οφείλεται εν A A 4. 0 z z 0 Δηλαδή κινήσεις των οποίων η χονική κλίμακα μεταβολής είναι της τάξης 0 d ή 0 km μεγαλύτεη, η χωική τους κλίμακα είναι (Ζεβάκης 004) και συμβαίνουν μακιά από τα επιφανειακά και τα βενθικά στώματα Ekman (Stewart 004). 3 Χωίς ιξώδες ακιβέστεα.
Εισαγωγή μέει στη στατική σταθεότητα λόγω στωμάτωσης και αφ ενός εμποδίζει την κάθετη τυβώδη διάχυση, αφ ετέου επιτέπει τη οή του νεού σχεδόν μόνο κατά τους οιζόντιους άξονες,y (Pond & Pickard 003). Στον κάθετο άξονα (z), η εξίσωση κίνησης είναι (Stewart 004): w w w w p + u + v + w + Ω cosφ u g t y z z και σύμφωνα με τη μέθοδο διαχωισμού των κλιμάκων, μποεί να γαφτεί ως εξής (Stewart 004): W T W W W + U + U + W L L H P H + f U g 6 m όπου τυπικά L 0 m (οιζόντιες αποστάσεις), U 0 (οιζόντιες ταχύτητες), s 3 3 kg H 0 m (βάθη για κάθετη πίεση), 0 (πυκνότητα), m 3 4 m f Ω cosφ 0 (συντελεστής Coriolis), g 0 (η επιτάχυνση της s s L 7 7 βαύτητας), T 0 s (χόνος) και P g H 0 Pa (πίεση). Από την U εξίσωση της συνέχειας (Pond & Pickard 003) ισχύει επίσης: u v w w u v + + 0 + (6) y z z y τότε οι κάθετες ταχύτητες (W) θα είναι της τάξης: H U U H m W W 0 (7) L L s W 4 Κατά συνέπεια η Εξ. 5 θα γίνει (Stewart 004): 0 0 4 7 0 + 0 0 0 4 6 + 0 + 0 4 4 0 7 0 4 0 0 0 + 0 + 0 6 3 3 3 0 0 0 0 5 + 0 + 0 0 + 0 0 4 0 0 Οπότε η Εξ. 4 μποεί να ποσεγγιστεί με ικανοποιητική ακίβεια 0 0 6 ppm από την ακόλουθη εξίσωση (Stewart 004): 5 0 p p 0 + 0 + 0 + 0 + 0 g g (9) z z Στον οιζόντιο άξονα χ, η εξίσωση κίνησης είναι (Stewart 004): u u u u p + u + v + w + Ω sinφ v t y z και σύμφωνα με την ίδια μέθοδο, θα γαφτεί (Stewart 004): (4) (5) (8) (0) 3
Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & drifters. U T U U + U + U + W L L U H p + f U 0 Pa όπου τυπικά H 0 m (βάθη για οιζόντια πίεση) και p H g 0 L m (μεταβολή της πίεσης κατά τον άξονα χ). Κατά συνέπεια η Εξ. θα γίνει (Stewart 004): 0 0 7 + 0 0 0 0 4 0 0 + 0 + 0 0 6 6 3 3 0 0 0 0 8 8 8 8 5 0 + 0 + 0 + 0 0 + 0 5 + 0 Συνεπώς η Εξ. 0 μποεί να ποσεγγιστεί με ικανοποιητική ακίβεια 0 5 0 3 ppt από την ακόλουθη εξίσωση (Stewart 004): 8 0 4 0 () () p p 0 + 0 + 0 + 0 + f v f v (3) Στον οιζόντιο άξονα y, η εξίσωση κίνησης είναι (Stewart 004): v v v v p + u + v + w Ω sinφ u t y z y και σύμφωνα με την ίδια μέθοδο, θα γαφτεί (Stewart 004): U T U U + U + U + W L L U H p y f U Pa όπου τυπικά p H g 0 (μεταβολή της πίεσης κατά τον άξονα y). y L m Κατά συνέπεια η Εξ. 5 θα γίνει (Stewart 004): 0 0 7 + 0 0 0 0 4 0 0 + 0 + 0 0 6 6 3 3 0 0 0 0 8 8 8 8 5 0 + 0 + 0 + 0 0 0 5 0 Οπότε η Εξ. 4 μποεί να ποσεγγιστεί με ικανοποιητική ακίβεια 0 5 0 3 ppt από την ακόλουθη εξίσωση (Stewart 004): 8 0 4 0 (4) (5) (6) p p 0 + 0 + 0 + 0 f u f u (7) y y Έτσι η εξίσωση διατήησης της ομής καταλήγει στην εξής δυναμική ισοοπία που χαακτηίζει τα εύματα μεγάλης κλίμακας (Ζεβάκης 004): r r r ) Ω u p g k (8) η οποία αναπτύσσεται στους 3 άξονες ως εξής (Ζεβάκης 004, Stewart 004): 4
p f v p f u y p g z ( α) ( β ) ( γ ) Εισαγωγή (9) Οι Εξ. 9α και 9β δείχνουν ότι στις κινήσεις μεγάλης κλίμακας, η ταχύτητα u κατά τον άξονα εξατάται από τη μεταβολή της πίεσης (p) στον p άξονα y και αντίστοφα η ταχύτητα v κατά τον άξονα y εξατάται από τη y p μεταβολή της πίεσης (p) στον άξονα. Αυτό θα γίνει κατανοητό γιατί συμβαίνει στην αμέσως επόμενη παάγαφο, στην οποία εξηγείται πώς το διάνυσμα της ταχύτητας ενός γεωστοφικού εύματος είναι πάντα κάθετο στο gradient της πίεσης. Εικόνα : Ι) Η δύναμη βαοβαθμίδας αχικά ποκαλεί την κίνηση του νεού και αμέσως η δύναμη Coriolis επιδά πάνω σε αυτό, στέφοντάς το πος τα δεξιά (στο Βόειο Ημισφαίιο). ΙΙ) Τελικά επέχεται η λεγομένη γεωστοφική ισοοπία και δημιουγείται το γεωστοφικό εύμα (Colling et al. 004, τοποποιημένο). III. Οισμός γεωστοφικού εύματος, πειγαφή δυναμικής Κατά τη φυσική εμηνεία των Εξ. 9 ποκύπτει ότι στον κατακόυφο άξονα ισχύει η υδοστατική ισοοπία 4, ενώ στους άλλους δύο η ψευδοδύναμη Coriolis εξισοοπείται από μία δύναμη που ποκαλείται από το gradient της 4 Έτσι η πίεση σε κάθε σημείο της υδάτινης στήλης οφείλεται αποκλειστικά στο βάος της στήλης πάνω από το σημείο (Stewart 004). 5
Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & drifters. πίεσης και λέγεται δύναμη βαοβαθμίδας (Ζεβάκης 004, Stewart 004). Μόλις το νεό αχίσει να κινείται λόγω της δύναμης βαοβαθμίδας, υπόκειται στην επίδαση της ψευδοδύναμης Coriolis, η οποία έχει οιζόντια και κάθετη διεύθυνση ως πος το gradient της πίεσης και φοά πος τα δεξιά του, στο Βόειο Ημισφαίιο (Colling et al. 004). Σταδιακά οι δύο δυνάμεις τείνουν να εξισοοπήσουν η μία την άλλη και αποκτούν ίδια διεύθυνση, αλλά αντίθετη φοά (Colling et al. 004). Αυτή είναι γνωστή και ως γεωστοφική ισοοπία (Stewart 004, βλ. και Εικόνα ). Όταν η ψευδοδύναμη Coriolis εξισοοπεί τη δύναμη βαοβαθμίδας, δημιουγείται ένα γεωστοφικό εύμα (Colling et al. 004) με διεύθυνση κάθετη και οιζόντια στις δύο αυτές δυνάμεις (Ζεβάκης 004) και οι Εξ. 9α, 9β και 9γ πειγάφουν την κίνησή του. Στο Βόειο Ημισφαίιο, τα γεωστοφικά εύματα έχουν τέτοια φοά ώστε οι υψηλές πιέσεις να βίσκονται στα δεξιά και οι χαμηλές πιέσεις στα αιστεά (Εικόνα ), ενώ στο Νότιο Ημισφαίιο συμβαίνει το ακιβώς αντίθετο (Ζεβάκης 004). Το μέτο της ταχύτητας του γεωστοφικού εύματος αυξάνεται καθώς η μεταβολή της πίεσης γίνεται μεγαλύτεη (πιο πυκνές ισοβαείς καμπύλες) (Ζεβάκης 004). IV. Πααδοχές εξισώσεων γεωστοφικών ευμάτων Από τα πααπάνω ποκύπτουν οι πααδοχές που γίνονται για την απλοποίηση των εξισώσεων κίνησης, στην πείπτωση των γεωστοφικών ευμάτων (Stewart 004): Εικόνα : Σχηματικό διάγαμμα της γεωστοφικής ισοοπίας στο Βόειο Ημισφαίιο. Το διάνυσμα της ταχύτητας του γεωστοφικού εύματος είναι πάντα κάθετο στα διανύσματα των δυνάμεων της βαοβαθμίδας και της Coriolis (με φοά αιστεά της Coriolis για το Βόειο Ημισφαίιο) και το μέτο του αυξάνεται όσο πιο απότομα μεταβάλλεται η πίεση (πυκνότεες ισοβαείς καμπύλες). 6
du dv dw ) Μη-επιταχυνόμενη οή: 0. dt dt dt Ισχύει ότι (Pond & Pickard 003): du u u u u + u + v + w dt t y z dv v v v v + u + v + w dt t y z dw w w w w + u + v + w dt t y z Από τις Εξ. 9, 3 και 7 όμως, ισχύει: du 0 + 0 + 0 + 0 dt dv 0 + 0 + 0 + 0 dt dw 0 + 0 + 0 + 0 dt du 0 dt dv 0 dt dw 0 dt ό.έ.δ. Εισαγωγή ) Οι οιζόντιες ταχύτητες είναι πολύ μεγαλύτεες από τις κάθετες: u, v >> w. Όπως οίστηκε πααπάνω, μία τυπική τιμή ταχύτητας του νεού στους m οιζόντιους άξονες, y είναι U 0 6. Την ίδια στιγμή, για τυπικά L 0 m s 3 και H 0 m, μία συνηθισμένη τιμή κάθετης ταχύτητας (στον άξονα z) είναι m W 0 4 (Εξ. 4). Τότε: s U W 0 0 4 0 3 U 0 δηλαδή οι οιζόντιες ταχύτητες είναι πείπου,000 φοές μεγαλύτεες από τις κάθετες. 3) Η μοναδική εξωτεική δύναμη που ασκείται είναι η βαύτητα: F r εξ. g( φ, z). Σύμφωνα με τις Εξ. 4, 0 και 4 5, οι επιτάχυνση του νεού (αιστεά μέλη) εξισοοπείται από τη συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στη μάζα του νεού (δεξιά μέλη). Οι μοναδικές δυνάμεις που εμφανίζονται και στις 3 αυτές r εξισώσεις, είναι η πίεση p, η βαύτητα (-g) και η ψευδοδύναμη Coriolis r ( r Ω u ). Κατά τον οισμό των γεωστοφικών ευμάτων όμως, η πίεση και η Coriolis είναι οι γενεσιουγές δυνάμεις αυτών, συνεπώς όλες οι υπόλοιπες δυνάμεις θεωούνται «εξωτεικές». Η μοναδική δύναμη που απομένει στην 3 W (0) () () 5 Oι οποίες είναι ουσιαστικά εφαμογή του ου Νόμου του Νεύτωνα: (Pond & Pickard 003). v r r F m a a m r F 7
Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & drifters. ποκειμένη πείπτωση είναι η βαύτητα, άα θα είναι και η μοναδική εξωτεική. 4) Οι τιβές είναι αμελητέες: A, A, A 0. y z Όπως φάνηκε και πααπάνω, από τους αιθμούς Ekman, οι τιβές είναι πείπου,000 φοές μικότεες σε σχέση με την επιτάχυνση λόγω της πειστοφής της Γης. Συνεπώς μποούν να αγνοηθούν. V. Διαμόφωση εξισώσεων υπό βαοτοπικές συνθήκες Τα γεωστοφικά εύματα διακίνονται σε δύο συνιστώσες, τη βαοτοπική και τη βαοκλινική. Η δυναμική τους είναι ακιβώς ίδια, διαφέουν όμως στα ιδιαίτεά τους χαακτηιστικά (Ζεβάκης 004). Το άθοισμά τους δίνει την απόλυτη ταχύτητα των γεωστοφικών ευμάτων. Η απλούστεη πείπτωση μελέτης είναι η βαοτοπική, κατά την οποία η πυκνότητα του νεού είναι σταθεή 6, δηλαδή η στήλη του νεού είναι ομογενής (Εικόνα 3a). Βαοτοπικές συνθήκες επικατούν συνήθως στα καλώς αναμειγμένα, επιφανειακά, ωκέανια νεά, στα ηχά υφαλοκηπιδικά νεά, τα οποία αναμειγνύονται καλά από την παλίοια και στα βαθειά ωκεάνια νεά κάτω από το μόνιμο θεμοκλινές (Colling et al. 004). Εικόνα 3: (a) Στην πείπτωση των βαοτοπικών συνθηκών στη στήλη του νεού, οι ισοβαείς επιφάνειες είναι παάλληλες πος τις αντίστοιχες ισόπυκνες. (b) Βαοκλινικές συνθήκες επικατούν όταν οι δύο αυτές επιφάνειες βίσκονται υπό γωνία. Σε αυτήν την πείπτωση η πυκνότητα του νεού μεταβάλλεται τόσο ως πος το βάθος, όσο και ως πος την κατεύθυνση των οιζόντιων αξόνων (Ζεβάκης 004, από Colling et al. 004, τοποποιημένο). Παατηώντας τις Εξ. 9, βλέπουμε ότι, στην ουσία, γενικά αναζητούμε τη μεταβολή της πίεσης κατά τους οιζόντιους άξονες, αφού οι τιμές του συντελεστή Coriolis (f) και της πυκνότητας () υπολογίζονται εύκολα. Στη συνέχεια, με απλή αντικατάσταση, υπολογίζονται οι ταχύτητες u και v. Αναζητώντας αχικά την εξίσωση της πίεσης στην πείπτωση των βαοτοπικών συνθηκών, θα έχουμε από την Εξ. 9γ (Colling et al. 004): 6 Ή γενικότεα όταν οι ισόπυκνες επιφάνειες είναι παάλληλες πος τις αντίστοιχες ισοβαείς (Ζεβάκης 004). 8
p g p g z z p ( σταθ.) ( z) p g ( z 0) p( z) a pz pa dp g p a 0 ( z< 0) g z z dz p ( z) p + g z a Εισαγωγή Με άλλα λόγια, εφ όσον η πυκνότητα του νεού είναι σταθεή, η πίεση σε κάθε σημείο, θα εξατάται γαμμικά από το βάθος (Ζεβάκης 004). Επιπλέον, για τον ίδιο λόγο, ισχύει ότι (Colling et al. 004): p ( σταθ ). Έστω ότι ανάμεσα σε σημεία Α, Β, που απέχουν κατά «Δχ» υπάχει και κλίση γωνίας «θ» (Εικόνα 4). Τότε από την Εξ. 3 θα έχουμε ότι η πίεση στα σημεία αυτά θα είναι (Colling et al. 004): p A Δp Δ ( z + Δz ) (3) (4) p + g z < p p + g (5) a όπου «p a» η ατμοσφαιική πίεση, την οποία θεωούμε ίση για τα δύο σημεία και η διαφοά πίεσης «Δp» θα είναι (Colling et al. 004): Δp ( Δz> 0) p B p A B [ pa + g ( z + Δz )] ( pa + g z ) [ g ( z + Δz )] ( g z ) g ( z + Δz z ) g Δz g Δz Αφού υπάχει διαφοά πίεσης στα δύο σημεία, θα ποκληθεί μία δύναμη βαοβαθμίδας, η οποία θα τείνει να μετακινήσει τη μάζα του νεού από το σημείο υψηλότεης (Β) πος το σημείο χαμηλότεης πίεσης (Α). Η δύναμη αυτή (εδώ στον άξονα χ) θα είναι (Colling et al. 004): p 4) Δp Δ ( a Δz g Δ Από το σχήμα όμως, παατηούμε ότι ισχύει (Colling et al. 004): Δz Δ tanθ οπότε τελικά η ταχύτητα του γεωστοφικού εύματος θα δίνεται από την Εξ. 9α, διαμοφωμένη ως εξής (Colling et al. 004): (6) (6) (7) (8) g tanθ f v g tanθ v (9) f Ας σημειωθεί ότι η δύναμη της βαοβαθμίδας, κατ επέκταση και η ταχύτητα του γεωστοφικού εύματος, είναι ανεξάτητα από το βάθος, στην πείπτωση των βαοτοπικών συνθηκών (Εικόνα 5a) (Colling et al. 004). 9
Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & drifters. Εικόνα 4: Δύναμη βαοβαθμίδας σε συγκεκιμένο βάθος «z», ανάμεσα σε σημεία (Α, Β), με σταθεή πυκνότητα νεού (βαοτοπική πείπτωση) (Ζεβάκης 004, από Colling et al. 004, τοποποιημένο). VI. Διαμόφωση εξισώσεων υπό βαοκλινικές συνθήκες Κάπως πιο σύνθετη πείπτωση αποτελεί η μελέτη των βαοκλινικών συνθηκών, κατά τις οποίες οι ισοβαείς επιφάνειες βίσκονται υπό γωνία με τις αντίστοιχες ισόπυκνες (Εικόνα 3b). Τέτοιες συνθήκες επικατούν κυίως σε πειοχές με ταχεία οή επιφανειακών ευμάτων (Colling et al. 004). Όμοια με το ποηγούμενο παάδειγμα, θεωούμε ομογενή ( σταθ. < σταθ. ) στώματα, των οποίων η διεπιφάνεια έχει διαφοετική κλίση από τις ισοβαείς επιφάνειες 7 (Εικόνα 6). Έστω ότι η ελεύθεη επιφάνεια πειγάφεται από την εξίσωση «η(χ)», η διεπιφάνεια των στωμάτων (η ισόπυκνη επιφάνεια δηλαδή) από την εξίσωση «h()» και το μέσο πάχος του άνω στώματος είναι «d». Σύμφωνα με την Υδοστατική Εξίσωση (Εξ. 3), η πίεση σε δεδομένο σημείο (,z) του άνω στώματος θα είναι (Ζεβάκης 004): [ ( z] p(, z) pa ( ) + g η ) + (30) Ανάμεσα στα σημεία Α, Β, που απέχουν κατά «δχ», θα υπάχει διαφοά πίεσης 8, η οποία θα ποκαλέσει μία δύναμη βαοβαθμίδας, η οποία θα τείνει να μετακινήσει τη μάζα του νεού από το σημείο υψηλότεης (Α) πος το σημείο χαμηλότεης πίεσης (Β). Η δύναμη αυτή (εδώ στον άξονα χ) θα είναι (Ζεβάκης 004): p (30) p a p a { p ( ) + g [ η( ) + z] } a η + g η + g 7 Ουσιωδώς, οι ισοβαείς θα είναι παάλληλες πος τη θαλάσσια επιφάνεια. Αυτό ποκύπτει από την Υδοστατική Εξίσωση (Εξ. 3), σύμφωνα με την οποία η πίεση μεταβάλλεται γαμμικά με το βάθος (Ζεβάκης 004). 8 Αφού η ελεύθεη επιφάνεια μεταβάλλεται χωικά. (3) 0
Εισαγωγή Εικόνα 5: (a) Το μέτο της ταχύτητας του γεωστοφικού εύματος δεν αποτελεί συνάτηση του βάθους στις βαοτοπικές συνθήκες. (b) Στην πείπτωση των βαοκλινικών συνθηκών το γεωστοφικό εύμα εξασθενεί, καθώς αυξάνεται το βάθος (Ζεβάκης 004, από Colling et al. 004, τοποποιημένο). όπου «p a» η ατμοσφαιική πίεση, η οποία μεταβάλλεται χωικά. Οπότε τελικά η ταχύτητα του γεωστοφικού εύματος στο άνω στώμα θα δίνεται από την Εξ. 9α, διαμοφωμένη ως εξής (Ζεβάκης 004): f v pa η + g v pa + f g f η Συνεπώς, η ταχύτητα του άνω στώματος αποτελείται από συνιστώσες: α) τη χωική μεταβολή της ατμοσφαιικής πίεσης και β) την κλίση της ελεύθεης επιφάνειας (Ζεβάκης 004). Με εντελώς όμοιο συλλογισμό εξάγεται και η εξίσωση της ταχύτητας του κάτω στώματος. Η πίεση σε δεδομένο σημείο (,z) του κάτω στώματος θα είναι (Ζεβάκης 004): [ η( ) + d h( ) ] + g [ z d h( )] (3) p(, z) pa ( ) + g + (33) Εικόνα 6: Η πιο απλή πείπτωση βαοκλινικών συνθηκών (Ζεβάκης 004). Ανάμεσα στα σημεία Α, Β, που απέχουν κατά «δχ», θα υπάχει διαφοά πίεσης 9, η οποία θα ποκαλέσει μία δύναμη βαοβαθμίδας, που θα τείνει πάλι να μετακινήσει τη μάζα του νεού από το σημείο υψηλότεης (Β) πος το 9 Πλέον και λόγω διαφοετικής πυκνότητας.
Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & drifters. σημείο χαμηλότεης πίεσης (Α). Η δύναμη αυτή (εδώ στον άξονα χ) θα είναι (Ζεβάκης 004): [ ] [ { } ] + + + + + + + + + + (33) ) ( ) ( ) ( ) ( η η η η h g g p h g h g g p h g h g p h d z g h d g p p a a a a (34) όπου «p a» η ατμοσφαιική πίεση, η οποία μεταβάλλεται χωικά. Σημειώνεται ότι ο λόγος, αφού. Επιπλέον, το γινόμενο ' g g είναι γνωστό ως ελαττωμένη βαύτητα (reduced gravity). Τότε η Εξ. 34 επαναδιατυπώνεται ως εξής (Ζεβάκης 004): h g g p p a + + ' η (35) Οπότε τελικά η ταχύτητα του γεωστοφικού εύματος στο κάτω στώμα θα δίνεται από την Εξ. 9α, διαμοφωμένη ως εξής (Ζεβάκης 004): h f g f g p f v h g g p v f a a + + + + ' ' η η (36) Η Εξ. 36, είναι γνωστή και ως Εξίσωση Margules (Ζεβάκης 004). Συνεπώς, η ταχύτητα του κάτω στώματος αποτελείται από 3 συνιστώσες: α) τη χωική μεταβολή της ατμοσφαιικής πίεσης, β) την κλίση της ελεύθεης επιφάνειας και γ) την κλίση της διεπιφάνειας, αλλά και τη διαφοά πυκνοτήτων των στωμάτων (Ζεβάκης 004). Συγκίνοντας τις Εξ. 3 και 36 με την Εξ. 9, παατηούμε ότι τελικά, η εξίσωση που πειγάφει τις βαοκλινικές συνθήκες είναι κατά μία έννοια γενίκευση των βαοτοπικών εξισώσεων, αφού πειλαμβάνει τις συνιστώσες της βαοτοπικής εξίσωσης και μία τίτη 0, η οποία μεταβάλλεται με το βάθος, σύμφωνα με την κατανομή πυκνοτήτων στο εσωτεικό του ευστού (Ζεβάκης 004). Αντίθετα με τις βαοτοπικές συνθήκες, οι ισοβαείς επιφάνειες σταδιακά παύουν να ακολουθούν την ελεύθεη επιφάνεια (Εικόνες 3b και 5b), αφού στα κατώτεα στώματα η πυκνότητα επηεάζει σημαντικά την κατανομή της πίεσης στη στήλη του νεού (Colling et al. 004). Σύμφωνα μάλιστα με την κλασσική υπόθεση για τη γένεση των γεωστοφικών ευμάτων θεωείται ότι: «η κυκλοφοία του νεού οδηγείται από τον άνεμο (σ.σ.: ή από τυχόν διαφοές στην ατμοσφαιική πίεση) στην επιφάνεια και η κατανομή πυκνότητας ποσαμόζεται για να μηδενίσει το εύμα στα ενδιάμεσα βάθη» (Pond & Pickard 003). Έτσι, οι 0 Ουσιωδώς η συνιστώσα της βαοκλινικής ταχύτητας. Δηλαδή η θεμοκασία (T) και η αλατότητα (S).
Εισαγωγή ισοβαείς επιφάνειες τείνουν να απωλέσουν την αχική τους κλίση από την επιφάνεια, συνεπώς η ταχύτητα του γεωστοφικού εύματος ελαχιστοποιείται (Colling et al. 004). Είναι ωστόσο αξιοσημείωτο το γεγονός ότι υπό απόλυτα βαοκλινικές συνθήκες, το γεωστοφικό εύμα (σε αντίθεση με τις βαοτοπικές συνθήκες) αυξάνεται με το βάθος. Μάλιστα, συχνά σε κάποιο βάθος η βαοκλινική συνιστώσα γίνεται ίση και αντίθετη με τη βαοτοπική συνιστώσα. Για αυτόν το λόγο, σε αυτό το βάθος, η συνισταμένη ταχύτητα του γεωστοφικού εύματος μηδενίζεται (βλ. Εικόνα 7 και ΧΙ, «ΕΙΣΑΓΩΓΗ» πεί καθοισμού επιπέδου αναφοάς). Για του λόγου το αληθές, έστω σε βάθος «z 0» το gradient της πίεσης μηδενίζεται. Τότε θα έχουμε: + + + (34) 0 0 η η h g g p h g g p p a a (37) Η Εξ. 37 δείχνει ότι στο βάθος όπου το gradient της πίεσης μηδενίζεται, η βαοτοπική συνιστώσα του εύματος (αιστεό σκέλος της Εξ. 37) εξισοοπείται από τη βαοκλινική συνιστώσα (δεξιό σκέλος της Εξ. 37). Εφ όσον πάγματι υπάχει δεδομένο βάθος «z 0», όπου η μεταβολή της πίεσης θα είναι μηδενική, θα ισχύει: 0 0 v p f v p (38) Στην γενική πείπτωση όπου η πυκνότητα μεταβάλλεται συνεχώς με το βάθος για τον υπολογισμό των γεωστοφικών ευμάτων στους οιζόντιους άξονες ποκύπτουν οι ακόλουθες εξισώσεις (Stewart 004), με ακιβώς τα ίδια συμπεάσματα: + + ) ( ) (, ) ( ), ( ) ( ) ( ) (, ) ( ), ( ) ( 0 0 β η φ α η φ y f g y p f z u dz z z g y z f u u f g p f z v dz z z g z f v v a s h s a s h s (39) οίζοντας σαφώς την πίεση ως: (40) ( ) + η φ h a dz z z g p z p ) ( ), ( όπου «p a» είναι η ατμοσφαιική πίεση και επιτέπεται στη θαλάσσια επιφάνεια να βίσκεται τόσο πάνω όσο και κάτω από το επίπεδο ( η 0 z h ). Η επιτάχυνση της βαύτητας (g) διατυπώνεται ητά ότι είναι συνάτηση του γεωγαφικού πλάτους (φ) και του βάθους (z). Παατηούμε ότι στην πείπτωση που επικατούν βαοτοπικές συνθήκες ο δεύτεος όος στις Εξ. 39 μηδενίζεται (αφού. σταθ ), οπότε η ταχύτητα είναι σταθεή ( s v v : βαοτοπική συνιστώσα) σε όλο το βάθος της στήλης του νεού. Αντίθετα, αν η Αντικαθιστώντας την Εξ. 40 στις Εξ. 9α και 9β και χησιμοποιώντας την ποσέγγιση Boussinesq, ποκύπτουν οι Εξ. 39α και 39β. Για πεισσότεες λεπτομέειες, βλ. Stewart 004. 3 3
Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & drifters. πυκνότητα του νεού μεταβάλλεται (βαοκλινικές συνθήκες), τότε ο δεύτεος όος στις Εξ. 39 είναι διάφοος του μηδέν και οι εξισώσεις μποούν να πειγάψουν και τη βαοκλινική συνιστώσα της ταχύτητας (Stewart 004). Εικόνα 7: (αιστεά) Η βαοκλινική συνιστώσα είναι πάντα μηδενική στην επιφάνεια (αφού στην επιφάνεια δεν υπάχει διαφοά πυκνοτήτων) και αυξάνεται με το βάθος. (κέντο) Η βαοτοπιπκή συνιστώσα είναι σταθεή σε ολόκληη τη στήλη (εδώ έστω v ). (δεξιά) Το άθοισμα των συνιστωσών παάγει την απόλυτη ταχύτητα του γεωστοφικού εύματος σε ολόκληη τη στήλη του νεού. Σε κάποιο βάθος (έστω «z0») το μέτο της βαοκλινικής συνιστώσας γίνεται ίσο με τη βαοτοπική ( και η φοά των διανυσμάτων αντίθετη (σημειώνονται με μπλε βέλη στις v s ) στήλες αιστεά και στο κέντο). Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να μηδενιστεί η ταχύτητα του γεωστοφικού εύματος στο βάθος αυτό και στο οποίο θα αντιστοιχεί το επίπεδο μη κίνησης (level of no motion). Ο δεύτεος όος στις Εξ. 39 οφείλεται λοιπόν στις διαφοές πυκνότητας και αποκαλείται σχετική ταχύτητα 3, συνεπώς για τον τελικό υπολογισμό του γεωστοφικού εύματος από την κατανομή των πυκνοτήτων στη στήλη του νεού απαιτείται ο υπολογισμός της απόλυτης ταχύτητας ( v 0,u 0 ) στην επιφάνεια της θάλασσας ή σε κάποιο βάθος (Stewart 004). Αυτό το ζήτημα θα εξεταστεί αναλυτικά παακάτω, αφού ελέγξουμε πώτα τη διαμόφωση των εξισώσεων για μία παγματική 4 κατακόυφη δομή της πυκνότητας του νεού. VII. Διαμόφωση εξισώσεων υπό παγματικές συνθήκες Σπάνια η παγματική κατανομή της πυκνότητας πειλαμβάνει πλήως ομογενή στώματα (π.χ.: Εικόνα 6). Ακόμα κι όταν συμβαίνει αυτό, η διεπιφάνεια δεν είναι απειοστά μικού πάχους, αλλά είναι ένα στώμα 3 Ενός στώματος νεού με πυκνότητα, ως πος την ταχύτητα ενός στώματος νεού με πυκνότητα σε διαφοετικό βάθος. Η διαφοά ταχύτητας των δύο στωμάτων επιτέπει επίσης την εκτίμηση (πεπεασμένης διαφοάς) της διάτμησης ταχύτητας Pickard 003). 4 Μη ομογενής ή συνεχώς μεταβαλλόμενη (Ζεβάκης 004). s V z (Pond & 4
Εισαγωγή ανάμειξης, στο οποίο η κατακόυφη διάχυση έχει επιδάσει και στα στώματα, ποκαλώντας μία συνεχή μετάβαση της πυκνότητας από το ένα στο άλλο 5 (Ζεβάκης 004). Σε αυτήν την πείπτωση, γνωίζοντας ότι η πυκνότητα του θαλασσινού νεού είναι συνάτηση της θεμοκασίας (T), της αλατότητας (S) και της πίεσης (p) μποούμε να γάψουμε ότι (Ζεβάκης 004): ( ) z y z y,, ' ),, ( 0 + (4) όπου «0» είναι μία σταθεή συνιστώσα (τιμή) της πυκνότητας και «(,y,z)» είναι η συνιστώσα που μεταβάλλεται λόγω αλλαγής των πααμέτων T, S και p 6. Αντικαθιστώντας την Εξ. 4 στην Εξ. 40 ποκύπτει η εξίσωση της πίεσης λόγω μεταβολής τόσο της ατμοσφαιικής πίεσης όσο και της πυκνότητας του νεού (Ζεβάκης 004): (4) [ ] ( ) dz z y z g h z g p dz z y z g dz z g p dz z y z g p dz z y z g p z y p h a h h a h a h a + + + + + + + + ),, '( ), ( ) ( ), ( ),, '( ), ( ), ( ),, '( ), ( ),, ( ), ( ),, ( 0. 0 0 0 φ η φ φ φ φ φ η σταθ η η η η Τότε η μεταβολή της πίεσης, κατά τον οιζόντιο άξονα, θα είναι: ( ) [ ] + + + + + + + + η η η φ η φ φ η φ φ η φ h a h h a h a dz z y z g z g p dz z y z g h z g p dz z y z g h z g p p ),, '( ), ( ), ( ),, '( ), ( ), ( ),, '( ), ( ), ( 0 0 0 0 (43) και η δύναμη βαοβαθμίδας θα είναι: + + η η h a dz z y g g p p ),, '( 0 0 0 (44) Οπότε σύμφωνα με τη γεωστοφική ισοοπία, θα ποκύπτει η ταχύτητα του γεωστοφικού εύματος, όμοια με την Εξίσωση Margules (Ζεβάκης 004): + + + + η η η η h a h a dz z y f g f g p f v dz z y g g p v f ),, '( ),, '( 0 0 0 0 (45) 5 Εναλλακτικά μποεί να διατυπωθεί, ότι η στήλη του νεού αποτελείται από πάα πολλά και πολύ λεπτά (σχεδόν απειοστά) ομογενή στώματα νεού (Ζεβάκης 004). 6 Είναι λογικό να θεωήσουμε ότι 3 0 000, m kg και ( ) ( ) ( ) [ ] 3 3 50,,,,,,,, ),, ( ' m kg z y p z y S z y T z y m kg t σ (Ζεβάκης 004). 5 5
Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & drifters. Οι δύο πώτοι όοι αναπαιστούν τη βαοτοπική συνιστώσα και ο τίτος όος τη βαοκλινική 7 (Ζεβάκης 004). VIII. Τα επίπεδα «μη κίνησης» (level of no motion) και «γνωστής κίνησης» (level of known motion) Επανεχόμαστε τώα στο ζήτημα που τέθηκε ποηγουμένως, για την ανάγκη υπολογισμού της ταχύτητας στην επιφάνεια της θάλασσας ή σε κάποιο βάθος. Σύμφωνα με τις έως τώα εξισώσεις χησιμοποιείται η κατανομή της πυκνότητας του νεού, από την οποία μποεί να εξαχθεί μόνο η σχετική ταχύτητα, ήτοι οι διαφοές ανάμεσα στην ταχύτητα δύο στωμάτων. Ωστόσο, αν είναι γνωστή η κλίση των ισοβαών ( tan θ ) ή η ταχύτητα σε κάποιο βάθος ( v 0 ), θα είναι εφικτό να χησιμοποιηθεί η κατανομή της πυκνότητας για να υπολογιστεί πόσο διαφοετικές θα είναι η κλίση ή η ταχύτητα σε διαφοετικά βάθη (Colling et al. 004). Για λόγους ευκολίας συνηθίζεται να θεωείται ότι σε κάποιο ακετά μεγάλο βάθος η κλίση των ισοβαών μηδενίζεται, συνεπώς μηδενίζεται και η απόλυτη ταχύτητα του γεωστοφικού εύματος (Colling et al. 004 κ.ά.), όπως επεξηγήθηκε και πααπάνω. Σε γενικές γαμμές αυτή η υπόθεση είναι σωστή, αφού κατά κανόνα τα επιφανειακά εύματα είναι ισχυότεα από εκείνα στα βαθύτεα νεά 8 (Pond & Pickard 003). Με αυτόν τον τόπο οι σχετικές ταχύτητες που υπολογίζονται μποούν να θεωηθούν ως οι απόλυτες γεωστοφικές ταχύτητες (Colling et al. 004). Το επίπεδο που αντιστοιχεί στο βάθος αυτό, συχνά αναφέεται και ως «επίπεδο αναφοάς» (reference level) ή «επίπεδο μη κίνησης» (level of no motion) 9. Το ζήτημα που τείθεται κατά τη χήση αυτής της μεθόδου είναι η κατά το δυνατόν «καλή» 7 Άλλωστε είναι και ο μοναδικός όος, ο οποίος εισάγει τη μεταβολή της ταχύτητας ως πος το βάθος (Ζεβάκης 004). 8 Αυτό δε σημαίνει φυσικά ότι τα εύματα κάτω από ένα βάθος έχουν μηδενική ταχύτητα, 3 m αφού συνήθως υπάχουν ασθενή εύματα με ταχύτητες 0 0 (Pond & Pickard s 003). Είναι σημαντικό όμως να σημειωθεί ότι στην πείπτωση που χειάζεται, φε ειπείν, να υπολογιστεί η ολική μεταφοά όγκου σε ολόκληη τη στήλη του νεού, είναι ανάγκη να ποσδιοιστεί και η ταχύτητα του γεωστοφικού εύματος κάτω από το επίπεδο αναφοάς (Pond & Pickard 003). Για παάδειγμα, αν θεωηθεί ως επίπεδο αναφοάς στα,000m και m από την επιφάνεια μέχι εκεί η μέση ταχύτητα του εύματος είναι 0., ενώ υπάχει και ένα s m ασθενές εύμα από τα,000m μέχι τα 4,000m με ταχύτητα 0.0 (και ιδίας κατεύθυνσης), s 0.0 00 τότε το σφάλμα στον υπολογισμό της ταχύτητας είναι μόλις 0%. Η συνολική 0. 3 m μεταφοά όγκου όμως σε ολόκληη τη στήλη του νεού θα είναι πείπου 00, αγνοώντας m s 3 m το ασθενές εύμα, αλλά 80 συνυπολογίζοντάς το, ποκαλώντας σφάλμα m s ( 80 00) 00 (Pond & Pickard 003). 00 80% 9 Βλ. και Colling et al. 004 κ.ά. 6
Εισαγωγή επιλογή του επιπέδου αναφοάς. Για τον ανοιχτό ωκεανό ειδικά (π.χ.: Ειηνικός, Ατλαντικός κλπ.) είναι συχνά λογικό, βάσει των ιδιοτήτων του νεού εκεί, να θεωηθεί ως επίπεδο αναφοάς εκείνο που αντιστοιχεί στα,000m βάθος (Pond & Pickard 003). Άλλοι μελετητές έχουν ποτείνει την επιλογή του dv βάθους, στο οποίο μηδενίζεται η διάτμηση ταχύτητας (Stewart 004). Σε dz κάθε πείπτωση, θα πέπει να αποκλειστεί η επιλογή του βυθού ως επίπεδο αναφοάς. Αυτό συμβαίνει για τους εξής λόγους: α) αποτελεί σύνοο και μαζί με τις ακτές έχει αποκλειστεί κατά τον οισμό των γεωστοφικών ευμάτων, αφού θεωούμε κίνηση μακιά από το βενθικό στώμα Ekman και χωίς τιβές (οι οποίες στον πυθμένα δεν είναι αμελητέες), β) οι τιβές στον πυθμένα είναι τόσο έντονες που κατά κανόνα τείνουν να μηδενίζουν το γεωστοφικό εύμα και γ) αν τυχόν εμφανίζονται ισχυά εύματα στον πυθμένα, συνήθως πόκειται για παοδικά ή τοπικά εύματα, τα οποία δεν οφείλονται σε κάποια γεωστοφική συνιστώσα (Pond & Pickard 003). Κατά παόμοιο τόπο οίζεται και το «επίπεδο γνωστής κίνησης» (level of known motion), το οποίο αποτελεί μία «γενικότεη» πείπτωση και χησιμοποιείται ευύτεα. Εδώ, δε θεωείται ότι η κίνηση του νεού μηδενίζεται κάπου, αλλά είναι γνωστή 0. Σύμφωνα με αυτήν τη μέθοδο, μετάται η απόλυτη ταχύτητα του γεωστοφικού εύματος σε ένα συγκεκιμένο βάθος, ενώ υπολογίζεται από τις γεωστοφικές εξισώσεις η βαοκλινική συνιστώσα σε ολόκληη τη στήλη του νεού. Στο βάθος όπου είναι γνωστή η απόλυτη ταχύτητα του γεωστοφικού εύματος, μποεί να υπολογιστεί και η βαοτοπική συνιστώσα (με απλή αφαίεση της βαοκλινικής από την απόλυτη). Όμως, εφ όσον η βαοτοπική συνιστώσα είναι σταθεή σε ολόκληη την υδάτινη στήλη, μποεί να χησιμοποιηθεί έπειτα για να ποστεθεί στη βαοκλινική συνιστώσα (που υπολογίστηκε ποηγουμένως από τις γεωστοφικές εξισώσεις), ώστε να ποκύψει η απόλυτη ταχύτητα σε ολόκληη τη στήλη του νεού (βλ. και Εικόνα 7). Αυτή η μέθοδος ακολουθήθηκε και στην παούσα εγασία. IX. Πακτικός υπολογισμός ταχύτητας γεωστοφικών ευμάτων υπό ομογενείς συνθήκες Μέχι αυτό το σημείο έχει μελετηθεί ο θεωητικός υπολογισμός των γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση σύνθετων εξισώσεων. Στην πάξη, όμως, πώς υπολογίζονται τα γεωστοφικά εύματα στη θάλασσα; Επανεχόμαστε στην πλέον απλή πείπτωση, την πείπτωση όπου επικατούν ομογενείς συνθήκες, ανάμεσα σε σταθμούς που απέχουν μεταξύ τους απόσταση «L» (Εικόνα 8) και στους οποίους είναι διαθέσιμες οι μετήσεις θεμοκασίας και αλατότητας, από τις οποίες εξάγεται η κατανομή της πυκνότητας στη στήλη του νεού. Έστω «z 0» το βάθος όπου θεωούμε το επίπεδο αναφοάς. Η Εξ. 9 θα δίνει την ταχύτητα σε όλα τα βάθη. Όπως έχει ποαναφεθεί όμως, η κλίση των ισοβαών (δηλαδή η tan θ ) δεν μποεί να υπολογιστεί. Θα πέπει να εκμεταλλευτούμε τις μετήσεις, δηλαδή την κατανομή της πυκνότητας του νεού. Συγκεκιμένα, θα θεωήσουμε τις μέσες πυκνότητες «Α» και «Β». Έστω > Α Β. Τότε από την Υδοστατική Εξίσωση (Εξ. 0 Φε ειπείν από μετήσεις με ένα ευματογάφο κ.ά. (Pond & Pickard 003). 7
Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & drifters. 3), ποκύπτει τότε ότι η ισοβαής «p» θα βίσκεται ψηλότεα στο σταθμό Β, σχηματίζοντας γωνία «θ» με το επίπεδο, δηλαδή h < h Α Β (Colling et al. 004). Παατηούμε σε αυτό το σημείο ότι για τη γωνία «θ» ισχύει (Colling et al. 004): h ha tan θ (46) L Οπότε, ακεί να εκφάσουμε το ένα από τα δύο βάθη ως συνάτηση του άλλου. Γνωίζουμε ότι κατά μήκος μίας ισοβαούς η πίεση πααμένει σταθεή, δηλαδή: p p A 0 A p B σταθ. g h A A p 0 B B g h B B σταθ. ( α) ( β ) (47) Εικόνα 8: Η απλούστεη πείπτωση υπολογισμού γεωστοφικού εύματος, ανάμεσα σε > Α σταθμούς Α,Β που απέχουν κατά «L», με μέση πυκνότητα στήλης Β. Διακίνονται, η ισοβαής (p0) στο επίπεδο αναφοάς (z0) και η ισοβαής (p) στο ζητούμενο βάθος (z) (Colling et al. 004, τοποποιημένο). Δηλαδή, η μεταβολή της πίεσης ανάμεσα σε ισοβαείς, είναι σταθεή σε όλα τα σημεία (Colling et al. 004). Έχουμε: Δp A Δp B ( p σταθ.) ( 47β ) p h 0 B p A A p 0 A h A g h A h A p A 0 B B B p B h A p B B g h Ουσιωδώς, σε αυτό το σημείο, ποκύπτει ένα σύστημα εξισώσεων (Εξ. 3, 46) με αγνώστους (h A, h B ). 0 B (48) 8
Εισαγωγή Τότε η Εξ. 46 θα γίνει (Colling et al. 004): A A h h h A A A B B tanθ (49) L L και τελικά η ταχύτητα του γεωστοφικού εύματος (για κάθε βάθος), θα δίνεται από την Εξ. 9, τοποποιημένη λόγω της Εξ. 49 ως εξής (Colling et al. 004): v h g A A B L f g h A A B f L Η Εξ. 50 είναι γνωστή και ως Εξίσωση Helland-Hansen (Colling et al. 004) και η μοναδική μεταβλητή είναι η «h A», δηλαδή το βάθος υπολογισμού. Εφαμόζεται σε μεικά βάθη, διαδοχικά, και με αυτόν τον τόπο εξάγεται το ποφίλ του γεωστοφικού εύματος ανάμεσα σε σταθμούς από την επιφάνεια μέχι το βάθος στο οποίο αντιστοιχεί το επίπεδο αναφοάς (Colling et al. 004). X.Πακτικός υπολογισμός ταχύτητας γεωστοφικών ευμάτων υπό παγματικές συνθήκες Στην παγματική και πιο σύνθετη πείπτωση του ωκεανού, στις πααπάνω εξισώσεις εισάγεται η ανωμαλία γεωδυναμικού (Ζεβάκης 004, Stewart 004, Pond & Pickard 003). Η μέθοδος αυτή ποσφέει μεγάλη ακίβεια (θα δούμε στη συνέχεια πόση) και για την παουσίασή της θα ξεκινήσουμε από την ίδια την έννοια του γεωδυναμικού. a. Γεωδυναμικό και ανωμαλία γεωδυναμικού Κάθε μάζα που βίσκεται υπό την επίδαση της βαυτικής έλξης της Γης έχει δυναμική ενέγεια ανάλογη του ύψους στο οποίο βίσκεται (Ζεβάκης 004). Αυτή η ενέγεια, μίας απειοστά μικής ποσότητας του γεωφυσικού ευστού (θαλασσόνεο, ατμοσφαιικός αέας κλπ.), λέγεται γεωδυναμικό και οίζεται από την εξίσωση (Ζεβάκης 004): r g Φ r (5) eff. όπου το «g r eff.» είναι η επιτάχυνση της βαύτητας που ασκείται όχι μόνο θεωώντας τη Γη ως σφαία, αλλά λαμβάνοντας υπ όψη: α) την πειστοφή της Γης και β) τις ανωμαλίες λόγω αυξημένης κατανομής μάζας από την ύπαξη νησιών και έντονου βαθυμετικού ανάγλυφου3, δηλαδή το σύνολο των (50) Έχει, δηλαδή, τη δυνατότητα να «αποκτήσει» κινητική ενέγεια, κινουμένη πος την κατεύθυνση της βαύτητας (Ζεβάκης 004). 3 Λόγω του ελλειψοειδούς σχήματος της Γης η τιμή του g r eff. στην επιφάνεια της θάλασσας μεταβάλλεται μόνο κατά 0.3%, με το γεωγαφικό πλάτος (Ζεβάκης 004). 9
Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & drifters. βαυτικών δυνάμεων 4 οι οποίες μποούν να γαφτούν ως βάθμωση ενός δυναμικού πεδίου, του λεγομένου γεωδυναμικού Φ, το οποίο σε πώτη ποσέγγιση 5 m : Φ ( z) g z g c z όπου g c 9.8 και μονάδα του είναι το s γεωδυναμικό μέτο (geopotential meter gpm), που οίζεται ως (Ζεβάκης 004): m J gpm 9.8 9. 8 (5) s kg Από τις μονάδες και τον οισμό του γεωδυναμικού ποκύπτει ότι το γεωδυναμικό μέτο δείχνει το στοιχειώδες έγο «dw» που ποσλαμβάνει μία μάζα «m», για τη μετακίνησή της κατά στοιχειώδες ύψος «dz», αντίθετα πος την κατεύθυνση της βαύτητας και αγνοώντας τις τιβές, δηλαδή: dw m g dz (Pond & Pickard 003). Συχνά χησιμοποιείται και το γεωδυναμικό ύψος, που οίζεται ως η ποσότητα (Ζεβάκης 004): Φ Z (53) και, αιθμητικά, είναι είναι πείπου ίδιο με το παγματικό γεωμετικό ύψος 6 (Ζεβάκης 004). Γενικά, αν το διάνυσμα της δύναμης της βαύτητας είναι κάθετο σε κάθε σημείο μίας επιφάνειας, αυτή η επιφάνεια λέγεται γεωδυναμική επιφάνεια (Pond & Pickard 003). Έτσι, αν η θάλασσα ηεμούσε, η επιφάνειά της θα συνέπιπτε με τη γεωδυναμική επιφάνεια Φ0 (Ζεβάκης 004). Είναι γνωστό ότι (Ταχανάς 00): r Φ dz r dφ (54) Συνεπώς η Εξ. 5 θα δίνει τη στοιχειώδη μεταβολή του γεωδυναμικού κατά τον άξονα z (από το βάθος «z» στο βάθος «z»), αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με το στοιχειώδες διάνυσμα «dz r»: r r r Φ dz g eff. Φ g c r dφ dz dφ g dz ή g dz z z dφ z z g dz ( z ) Φ( z ) z z g dz (55) 7 Η ποσότητα «Φ(z )-Φ(z )» λέγεται γεωδυναμική απόσταση των επιπέδων που αντιστοιχούν στα βάθη «z», «z» με πιέσεις «p», «p» αντίστοιχα (Pond & 4 Εξ αιτίας αυτών των δυνάμεων, η διεύθυνση του διανύσματος του γεωδυναμικού (κατακόυφος) δε συμπίπτει οπωσδήποτε με τη γαμμή που ενώνει το κέντο βάους της μάζας με το κέντο της Γης (Ζεβάκης 004). 5 Κοντά στην επιφάνεια της Γης, ακεί ποσεγγιστικά να θεωήσουμε την επιτάχυνση της βαύτητας σταθεή. 6 Το γεωδυναμικό ύψος σε m ισούται με το γεωδυναμικό εκφασμένο σε gpm (Ζεβάκης 004). 7 Το συμπέασμα είναι λογικό και αναμενόμενο, αφού η υπό ολοκλήωση ποσότητα, ως διαφοικό (εδώ το «dφ»), ισούται πάντα με τη διαφοά των τιμών της σχετικής συνάτησης στα άκα της καμπύλης ολοκλήωσης, δηλαδή το σύνοό της (Ταχανάς 00). 0
Εισαγωγή Pickard 003). Σε αυτό το σημείο διαφαίνεται η αιτία χήσης του γεωδυναμικού. Η κλίση των ισοβαών είναι ιδιαίτεα δύσκολο να μετηθεί άμεσα. Έμμεσα όμως, υπολογίζεται μέσω της γεωδυναμικής απόστασης, η οποία την αντικαθιστά στις αχικές εξισώσεις (Εξ. 9). Από την Υδοστατική Εξίσωση (Εξ. 3), ισχύει ότι: dp dp g dz g dz (56) Εδώ πέπει να σημειωθεί ότι η ποσότητα είναι γνωστή και ως ειδικός όγκος και οίζεται ως (Pond & Pickard 003): α και αφού η πυκνότητα του νεού είναι συνάτηση της θεμοκασίας (T), της αλατότητας (S) και της πίεσης (p) (Stewart 004):, ( S T, p) (57) α( S, T, p) (58) Για λόγους ευκολίας όμως, ο ειδικός όγκος οίζεται ακιβέστεα ως (Pond & Pickard 003): α ( S, T, p) α( 35,0, p) α ( 35,0, p) + δ + δ + δ S + δ, T S, T + δ S, p + δ T, p δ Δ S, T + δ S, p + δ T, Δ S, T δ S + δ T + δ S, όπου ο όος «α(35,0,p)» είναι ο ειδικός όγκος νεού αλατότητας 35, θεμοκασίας 0 C και πίεσης ιδίας με του δείγματος, ο όος «δ» λέγεται ανωμαλία ειδικού όγκου και συνοψίζει τις μεταβολές της πυκνότητας λόγω μεταβολών στις πααμέτους T, S, p και ο όος «ΔS,T» λέγεται θεμοστεική ανωμαλία και αποτελεί ειδικά το άθοισμα της επίδασης των πααμέτων T, S στην πυκνότητα του νεού (Pond & Pickard 003). Τότε η Εξ. 56 λόγω των Εξ. 57, 58 και 59 θα γίνει (Pond & Pickard 003): p [ α( 35,0, p) + δ ] dp g dz [ α( 35,0, p) + δ ] p p p α + δ T p dp S, T, p + δ S, T, p p ( 35,0, p) dp δ dp p z z g dz z z g dz Οπότε τελικά η Εξ. 55, λόγω της Εξ. 60, διαμοφώνεται ως εξής (Pond & Pickard 003): Φ z p ( z ) Φ( z ) g dz α( 35,0, p) dp δ dp z p ΔΦ std ΔΦ p p (59) (60) 8 (6) 8 Τυπικά (και είναι εύλογο) ισχύει p 0 σταθ. και p > 0. Τα άκα ολοκλήωσης «z» και «z», θα αντιστοιχούν σε αυτές τις πιέσεις.
Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & drifters. Ο όος «ΔΦ std» είναι η πότυπη γεωδυναμική απόσταση ( std ΔΦ std ( p) ) όος «ΔΦ» είναι η ανωμαλία γεωδυναμικού 9 ( ΔΦ( S, T, p) ) ΔΦ και ο ΔΦ (Pond & Pickard 003) και οι τιμές τους εξάγονται εύκολα και με ακίβεια πλέον σήμεα από τις μετήσεις CTD. b. Καθοισμός τελικής εξίσωσης Αυτά όσον αφοά στο γεωδυναμικό και στις σχετικές έννοιες. Πώς όμως εισάγονται στις γεωστοφικές εξισώσεις (π.χ.: Εξ. 9, 9), ώστε να είναι δυνατός ο πακτικός υπολογισμός της ταχύτητας των γεωστοφικών ευμάτων; Θα εξετάσουμε τι γίνεται σε μία τυπική παγματική πείπτωση (παόμοια με την ποηγούμενη όπου επικατούσαν βαοτοπικές συνθήκες), στην οποία επικατούν βαοκλινικές συνθήκες (Εικόνα 9). Θεωούμε σταθμούς Α, Β οι οποίοι απέχουν κατά «L» και για τους οποίους είναι διαθέσιμες οι μετήσεις θεμοκασίας (T) και αλατότητας (S), δηλαδή η κατανομή της πυκνότητας (), άα είναι γνωστή η κατανομή του ειδικού όγκου (α), η ανωμαλία ειδικού όγκου (δ) και τελικά είναι γνωστές η πότυπη γεωδυναμική απόσταση ( ΔΦ std ) και η ανωμαλία γεωδυναμικού (ΔΦ). Θα υπολογίσουμε τη σχετική ταχύτητα των ανώτεων στωμάτων, που πεικλείονται από τις ισοβαείς «p0», «p» και «p», g tanθ «p». Ισχύει ότι θ > θ. Οι υπολογισμοί, θα βασιστούν στην Εξ. 9 v, f την οποία θα τοποποιήσουμε κατάλληλα εισάγοντας την ανωμαλία γεωδυναμικού (Pond & Pickard 003). Αχικά εφαμόζεται η Εξ. 9 στο παάδειγμα για να καθοιστούν οι αχικές εξισώσεις υπολογισμού της ταχύτητας στα στώματα. Έτσι θα έχουμε (Pond & Pickard 003): v v g tanθ f v g tanθ f ( ) g ( tanθ tanθ ) v Αυτή είναι και η θεμελιώδης εξίσωση, η οποία δίνει τη σχετική ταχύτητα του ενός στώματος ως πος το άλλο. Από το σχήμα, ποκύπτουν οι ζητούμενες εφαπτομένες ( tan θ, tanθ ) (Pond & Pickard 003): f (6) 9 Ανατέχοντας στην Εξ. 59, παατηούμε ότι η ανωμαλία γεωδυναμικού είναι πείπου 3 τάξεις μεγέθους μικότεη από την πότυπη γεωδυναμική απόσταση (Pond & Pickard 003), ιδίως στην πείπτωση μελέτης των γεωστοφικών ευμάτων, όπου η μεταβολές της πυκνότητας δεν είναι ιδιαίτεα μεγάλες. Για παάδειγμα, για δύο μάζες νεού με τυπικές πυκνότητες.05 0 kg m 3 και 3.06 0 m 3 3 kg.06 0 α αντίστοιχα. Τότε: kg 3, ισχύει ότι 3 m δ α α m 3 3 α.05 0 και kg m 3 3 3 6.06 0.05 0 0 και η διαφοά κλίμακας θα είναι: δ 0 α 0 6 3 0 3 δ 0 3 α α 0 3 δ ΔΦ std 0 3 ΔΦ ό.έ.δ. kg
BF tanθ A F BF tanθ A F BF tanθ L BF tanθ L Οπότε η διαφοά τους θα είναι (Pond & Pickard 003): BF BF tanθ tanθ L ( γεωμετία ) BB F F L ( γεωμετία )( z4 z3 ) A A L ( z z ) ( z z ) 4 3 L Εισαγωγή (63) (64) 30 Όμως, εφαμόζοντας την Εξ. 6 (εδώ ακιβώς εισάγεται το γεωδυναμικό και ακιβέστεα η ανωμαλία γεωδυναμικού) θα έχουμε (Pond & Pickard 003): Εικόνα 9: Η πλέον απλή, παγματική πείπτωση πακτικού υπολογισμού της ταχύτητας γεωστοφικών ευμάτων, ανάμεσα σε σταθμούς. Το διάνυσμα της ταχύτητας και η κλίση των ισοβαών είναι τέτοια, που υποδηλώνουν ότι οι σταθμοί βίσκονται στο Βόειο Ημισφαίιο (βλ. και επεξήγηση παακάτω στο κείμενο). Με «Φ» συμβολίζονται οι γεωδυναμικές επιφάνειες, με «p» οι ισοβαείς καμπύλες και με «θ» οι γωνίες κλίσης των δεύτεων ως πος τις πώτες. Με «v» υποδεικνύονται οι ταχύτητες του επιφανειακού γεωστοφικού εύματος (v0), καθώς επίσης και οι σχετικές ταχύτητες των ανώτεων στωμάτων (v, v). Με «z» σημειώνονται χήσιμες αποστάσεις, ενώ σημειώνονται και κίσιμα σημεία (A, B, F), που θα αξιοποιηθούν κατά τους υπολογισμούς. Ποσέξτε ότι η κλίση της ελεύθεης επιφάνειας (p0) είναι άγνωστη (Pond & Pickard 003, τοποποιημένο). B ( ) 30 Για το ο F BF F F βήμα ισχύει: BF BF + BB F F. BF BF BB 3
Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & drifters. ( ) A A B B g g dz g g dz g ( z z ) ( z z ) [( z z ) ( z z )] 4 4 3 3 ΔΦ ΔΦ ( ( ) ) p p ( g ) ( ( ) ) ( ) ( ) p p z 4 z3 z z ( ) δ A dp δ B dp g p p (65) 3 g p B std std ΔΦ ΔΦ δ dp p A B A p p p p δ dp α α ( 35,0, p) ( 35,0, p) Τότε η Εξ. 64, λόγω της Εξ. 65, θα γάφεται ισοδύναμα: g tanθ tanθ p p A p p δ dp A δ dp g L L p p B p p δ dp dp dp δ B dp p p p p δ A dp ( ) δ dp Οπότε τελικά η θεμελιώδης Εξ. 6, λόγω της Εξ. 66, μποεί να γαφεί ως εξής (Pond & Pickard 003): v v g p p p p A δ dp A δ dp f f L ΔΦ Α ΔΦ f L Β g L p p p p δ B dp δ B dp Η Εξ. 67 είναι η εξίσωση που χησιμοποιείται ευύτεα για τον πακτικό υπολογισμό της μέσης σχετικής ταχύτητας 3 ενός γεωστοφικού εύματος σε βάθος πίεσης «p» ως πος την ταχύτητα ενός γεωστοφικού εύματος σε βάθος πίεσης «p», ανάμεσα σε σταθμούς (Pond & Pickard 003). Το πόσημο της διαφοάς «v -v» καθοίζει τη φοά του διανύσματος της ταχύτητας 33. Με B (66) (67) 3 Είναι ιδιαίτεα ενδιαφέον να σημειωθεί ότι τα μέλη στο ο βήμα είναι ομόσημα και μάλιστα ανητικά. Αυτό ποκύπτει από το γεγονός ότι σε ένα τυπικό ωκεανογαφικό σύστημα αξόνων, τα βάθη «z» έχουν ανητικό πόσημο. Με δεδομένο λοιπόν ότι z < z < z < z 0, οι 4 3 < πάξεις στο αιστεό μέλος παάγουν ανητικό πόσημο. Όσο για το ότι το δεξιό μέλος έχει ανητικό πόσημο, είναι κάτι πααπάνω από ποφανές, αφού όπως επεξηγήθηκε πααπάνω 3 ισχύει ότι ΔΦ 0 ΔΦ (Pond & Pickard 003). std 3 Για έναν εναλλακτικό τόπο εξαγωγής της Εξ. 67, βλ. και Pond & Pickard 003, όπου επεξηγείται αναλυτικά η έννοια της μέσης ταχύτητας. 33 Είναι πολύ σημαντικό να να διευκινιστεί εδώ, ότι η ταχύτητα ενός γεωστοφικού εύματος αποτελεί συνάτηση τόσο της μεταβολής της ανωμαλίας γεωδυναμικού, όσο και της μεταβολής της ίδιας της απόστασης ανάμεσα στους σταθμούς. Έτσι σημειώνεται το (εκ πώτης) ακόλουθο παάδοξο: η φοά και το μέγεθος του διανύσματος της ταχύτητας που θα ποκύψει από τον 4