نگاه کلی به فصل ششم اهداف کل ی آشنایی با ماتریس و ویژگیهای آن آشنایی با شرط تساوی دو ماتریس ماتریس صفر قرینه یک ماتریس و ویژگیهای آنها 3 آشنایی با اعمال روی ماتریسها )جمع ماتریسها ضرب عدد در ماتریس ضرب ماتریسها( 4 آشنایی با روش به دست آوردن دترمینال و وارون یک ماتریس 5 حل دستگاه دو معادله و دو مجهول با استفاده از ماتریس عملکرد مورد انتظار دانشآموزان دانشآموزان باید بتوانند: ماتریس را تشخیص دهند و با ذکر مثالی ویژگیهای آن را بیان کنند. درایههای یک ماتریس را مشخص و مرتبه آن ماتریس را پیدا کنند. 3 شرط تساوی دو ماتریس را بیان کنند و دو ماتریس مساوی را تشخیص دهند. 4 شرط جمعپذیری دو ماتریس را بیان کنند و حاصل جمع دو یا چند ماتریس جمعپذیر را به دست آورند. 5 ویژگیهای ماتریس صفر را با ذکر مثالی بیان کنند. 6 حاصل ضرب یک عدد در یک ماتریس را به دست آورند. 7 قرینه یک ماتریس را به دست آورند و ویژگیهای آن را بیان کنند. 8 شرط ضربپذیری دو ماتریس را بیان کنند و حاصل ضرب دو ماتریس ضربپذیر را به دستآورند. 9 دترمینال و وارون یک ماتریس را به دست آورند. 0 دستگاه دو معادله و دو مجهول را با استفاده از ماتریس حل کنند. پیشنیازها آشنایی با محاسبات جبری و حل معادالت درجه اول زمانبندی پیشنهادی برای تدریس این فصل جلسه سی و هشتم تساوی و جمع ماتریسها جلسه سی و نهم ضرب ماتریسها و حل دستگاه دو معادله و دو مجهول جلسه چهلم حل تمرینات 3
ه ای تد س ا ات )( نقشۀ مفهومی فصل ششم کتاب درسی حل دستگاه دو معادله و دو مجهول اعمال روی ماتریس وارون ماتریس ماتریس واحد دترمینال ماتریس ٢ ٢ ماتریس دا ستنی رای معلم واژه ماتریس اولین بار در سال 850 میالدی به وسیله جیمز جوزف سیلوستر ریاضی دان انگلیسی به کار گرفته شد. مفهوم ماتریس قبل از اینکه ابداع شود تصدیق و گسترش یافت.چرا که مقدم بر آن مفهوم دترمینان در مطالعه دستگاههای معادالت خطی در اوایل قرن هجدهم میالدی مطرح شده بود. یکی از نقش های اصلی ماتریس ها آن است که آنها ابزار اساسی محاسبات عملی ریاضیات هستند یعنی درست همان نقش که سابقا اعداد برعهده داشتند. از این نظر می توان گفت نقش امروز ماتریس ها همانند نقش دیروز اعداد است. البته ماتریس ها به معنایی اعداد و بردارها را دربردارند بنابراین می توان آنها را تعمیقی از اعداد و بردارها درنظر گرفت. ماتریس را به عنوان آرایش مستطیلی از اعداد حقیقی تعریف میکنیم اگر A یک ماتریس با m سطر و n ستون باشد میگوییم ماتریس از مرتبه m * n است. اعداد داخل مستطیل را درایههای ماتریس مینامیم. زیرنویس i و j درایه a برای مشخص کردن سطر و ستونی که a در آنها قرار دارد به کار میرود. سطر i ا م ماتریس A عبارت است از: ] n [a a...a 4 و ستون j ا م ماتریس A عبارت است از: a a a j j mj a a a n a a n an a mn m n برای دو ماتریس A و B می گوییم A B اگر A و B دارای یک مرتبه باشند و درایههای متناظر A و B با هم مساوی باشند یعنی به ازای هر i,,..., m و j,,..., n داشته باشیم a b
میشود. نامیده مربعی ماتریس یک باشند برابر ستونها و سطرها تعداد آن در که ماتریسی a a a n a a an a mn درایههای همه از A اصلی قطر گاه آن باشد n * n مرتبه با مربعی ماتریس یک A اگر میشود. تشکیل a, a,..., a nn ماتریسها ضرب میشود. مطرح بحثها از بسیاری در که است مفیدی و مهم بسیار عمل ماتریسها ضرب ساخته دوم ماتریس ستونهای یک به یک در اول ماتریس سطرهای یک به یک عددی ضرب با ماتریس دو ضرب حاصل ا م: j ستون و ا م i سطر ضرب میشود. bj b [a a... a ] = a b + a b +... + a b bnj j i i in i j i j in nj ستونهای تعداد که معنا این به باشند تطبیق قابل آنها مرتبههای که است امکانپذیر صورتی در B و A ماتریس دو ضرب بنابراین باشد. B سطرهای تعداد برابر A ماتریس ضرب حاصل باشند حقیقی درایههای با n * K مرتبه از ماتریس یک B و m * n مرتبه از ماتریس یک A اگر کلیتر بیان به آید: می دست به زیر رابطه از C ماتریس درایه هر آن در که است C ماتریس میشود داده نمایش AB با که B در A ماتریسی C = a b + a b +... + a b = a b ij i j i j in nj ir rj r= n a * b b * a داریم b و a حقیقی عدد هر برای )یعنی ندارد. جابهجایی خاصیت حقیقی اعداد ضرب برخالف ماتریسها ضرب )AB BA ماتریسها ضرب برای اما,C,B A ماتریسهای برای یعنی است شرکتپذیر حقیقی اعداد ضرب همانند ماتریسها ضرب دیگر طرف از (AB)C A(BC) و داده نمایش I با که n * n مربعی ماتریس نیز ماتریسها در و میشود نامیده ضرب عمل خنثی عضو عدد حقیقی اعداد در رفص درایهها بقیه و اصلی قطر درایههای همه I ماتریس در میباشد. ماتریسها ضرب در خنثی عضو میشود نامیده همانی ماتریس میباشد. 0 0 0 I = 0 0 0 0 0 n n δ ij = 0 i= j i j میشود: داده نمایش نیز زیر صورت به که 5
)( ات ا س تد ای ه نماد این او افتخار به و کرد معرفی ماتریس ساده محاسبه برای را δ نماد 83( )89 لئوپولدکرونکر آلمانی دان ریاضی میشود. نامیده کرونکر دلتای کرد. ضرب خودش در را ماتریس بتوان که است تعریف قابل ماتریس یک توانهای صورتی در ماتریسها ضرب به توجه با تعریف قابل مربعی ماتریسهای برای فقط ماتریس یک توانهای پس باشند. برابر هم با ستونهایش و سطرها تعداد باید بنابراین است. میشود: تعریف زیر صورت به A توانهای A مانند n * n ماتریس هر برای کلیتر بیان به A 0 I A n AA n است. n * n واحد ماتریس یک I آن در که مجموع صورت این در باشند مرتبه هم ماتریس دو B و A اگر یعنی میشود. تعریف ها ماتریس تساوی به توجه با ماتریسها جمع میآید: دست به زیر رابطه از آن درایه هر که است m * n ماتریس یک میشود داده نمایش A B صورت به که آنها C a b درایه هر در r ضرب از که میشود تعریف ra r[a ] m*n صورت به m * n مرتبه با A ماتریس در r حقیقی عدد هر ضرب همچنین مانند ماتریس یک قرینه یعنی A ( (A)( که صورت این به کرد تعریف نیز را A ماتریس قرینه میتوان است. آمده دست به A ماتریس که است m * n ماتریسی A و A مجموع ماتریس دو جمع تعریف بنابر لذا میآید. وجود به A ماتریس در عدد ضرب حاصل از A میدهیم. نمایش O m*n صورت به را آن و میشود نامیده صفر ماتریس ماتریسی چنین اند. صفر برابر درآیههایش تمام ششم فصل های بخش آموزش بخش بر کلی نگاه به اشاره بدون گذشته در گفت میتوان میشوند.البته آشنا ماتریس نام به ریاضی در جدیدی مفهوم با آموزان دانش بخش این در میشوند. آشنا کاملتری طور به آن خواص و مفهوم این با بخش این در ولی شدهاند آشنا مفهوم این با حدودی تا ماتریس نام میوه فروشی یک توسط شده فروخته میوههای وزن مثال از میتوان کتاب همانند بخش این آموزش برای مطلب: به ورود نآ انواع و مرتبه و درایه ماتریس مفهوم با را دانشآموزان مسئله دادههای دستهبندی با سپس و کرد استفاده قبیل این از مثالهایی یا کرد. آشنا 6 و 6 های صفحه کالس در تمرین ماتریس یک در درایه هر نامگذاری روش و جایگاه و ستون سطر مفاهیم با دانشآموزان آشنایی هدف: مختلف مثالهای ارائه با است بهتر دارند خاصی اهمیت فوقالذکر مفاهیم ماتریسها روی جبری محاسبات در اینکه به توجه با شود. حاصل اطمینان مفاهیم این یادگیری از متنوع و 63 صفحۀ کالس در تمرین هممرتبه ماتریس دو در نظیر درایههای بین تناظر برقراری آموزش هدف: 6
مثالهای صفحۀ 65 هدف: آشنایی دانش آموزان با شرط جمعپذیری دو ماتریس و روش به دست آوردن حاصل جمع یا تفاضل دو یا چند ماتریس در این قسمت بهتر است مثالهایی ارائه شوند که در آنها چند ماتریس با هم جمع یا از هم کم شوند تا دانشآموزان با مفهوم جمع یا تفاضل ماتریسها به درستی آشنا شوند. تمرین در کالس صفحۀ 7 هدف: بررسی شرایط ضربپذیری دو ماتریس و سپس به دست آوردن حاصل ضرب آنها تمرین در کالس صفحۀ 73 هدف: استفاده از ماتریسها در حل معادالت درجه دوم دانشآموزان در گذشته با حل دستگاه دو معادله و دو مجهول با روشهای دیگری آشنا شده بودند. در این فصل دانشآموزان با استفاده از ماتریس به حل این نوع معادالت میپردازند. سؤاالت تکمیلی B و A B باشند مقدار x و y را به دست آورید. و = x y A = 4 0 x+ y 0 ١ اگر B و A B باشند مقدار )y x( را به دست آورید. = x+ y 3 و x y A = 3 اگر و A B باشند. مقدار (z x) y را به دست آورید. y+ x B = z و x y A = 4 ٣ اگر 3 0 + = 5 I A )الف 4 ماتریس A را به دست آورید به طوری که: = 5 O A )ب. A B 3 3 + = B باشند مقدار a را طوری تعیین کنید که 3 6 3 = a 0 A و = 3 ٥ فرض کنید B آن گاه درستی تساوی های زیر را بررسی کنید: (A B) (A B) A B )الف (A B) A AB B )ب 3 و = 3 A 4 5 = 5 4 ٦ اگر 7
ه ای تد س ا ات )( 0 = 0 ٧ اگر A آنگاه ماتریس های A 00 و A 0 را به دست آورید. 8 از تساوی های زیر مقادیر x و y و z را به دست آورید: )الف )ب )ج 3x [ x ] = 6 5 x 0 = y 3 0 0 4 x 8 3 z = + y 0 3 0 = 0 A )الف باشد ثابت کنید A. 0 ab b A = a ab 3 = 9 اگر برابر صفر باشد. ١٠ اگر A باشد حاصل A A را به دست آورید. 3 a ١١ مقدار a را چنان پیدا کنید که دترمینان ماتریس ١٢ وارون ماتریس های زیر را در صورت وجود به دست آورید: B )ب 3 = 4 C )ج = 4 8 = 3 4 A aa را طوری بیابید که 3bI 0 b و a باشد مقدار A ١٣ اگر ١٤ دستگاه های دو معادله و دو مجهولی زیر را با استفاده از ماتریس معکوس ضرائب حل کنید. )الف x+ y= 3x+ 4y= 5 )ب )ج x y= x + y = )د AX باشند ماتریس X را بیابید. x+ y= 7 x y = 3x+ y= x 3y = 5 AX باشند ماتریس X را بیابید. 3 = و A 0 = 0 = 3 A و = 4 6 ١٥ اگر ١٦ اگر 8
نمو نه سؤاالت ارزشیابی پایانی در یک مثلث قائمالزاویه کوچکترین ضلع 3 سانتیمتر میباشد و اضالع مثلث تشکیل دنباله حسابی میدهند. دو ضلع دیگر را به دست آورید. دنباله تقریبات اعشاری عدد 8 را بنویسید. 3 تابعی را رسم کنید که به هر عدد حقیقی عدد 3 را نظیر میکند. x + 4 در تابع مقادیر a و b را چنان بیابید که دامنه تابع {} R باشد. f(x) = x + ax + b 5 درستی یا نادرستی عبارت های زیر را مشخص کنید: الف( اگر f (x) x آن گاه () f ب( رابطه > 0 x x به ازای هر عدد حقیقی x همواره برقرار است. پ( اگر ) y f (x آن گاه میتوان نوشت (x).y f 6 معادله لگاریتمی زیر را حل کنید. log( x ) + log x = log3 7 نمودار تابع ( y log x) و معکوس آن را در یک دستگاه مختصات رسم کنید و دامنه هر یک را مشخص کنید. 8 چه مدت طول میکشد تا عقربه دقیقه شمار به اندازه /5π رادیان دوران کند. 9 خط y ax با محور xها زاویه 35 میسازد مقدار a را مشخص کنید. 0 نمودار تابع πx) y = sin( را رسم کنید. در شکل زیر اگر مساحت مثلث 3 باشد اندازه اضالع مثلث را به دست آورید. B c a A 0 45 b 3c C 0 = 3 4 B ماتریس B A را پیدا کنید. 9 6 3 = A و 3 0 اگر 3 به ازای چه مقدار از m ماتریس 4 دستگاه m A = m 3 x+ 3y= 4 x 5y = = 3 وارونپذیر نیست را با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید. 5 اگر A در این صورت ) A) را مشخص کنید. 6 اگر B ماتریس A B را پیدا کنید. 3 و = A 0 = 9
نگاه کل ی به فصل هفتم اهداف کل ی آشنایی با اصل ضرب در انتخاب اشیاء آشنایی با مفهوم فاکتوریل یک عدد و روش محاسبه آن 3 آشنایی با مفهوم جایگشت r شیء از n شیء 4 آشنایی با مفهوم ترکیب r شیء از n شیء عملکرد مورد انتظار دانشآموزان دانشآموزان باید بتوانند: اصل ضرب را در مسائل مربوط به کار ببرند. نمودار درختی یک آزمایش را رسم کنند. 3 فاکتوریل یک عدد صحیح مثبت را محاسبه کنند. 4 جایگشت r شیء از n شیء را محاسبه کنند. 5 ترکیب r شیء از n شیء را به دست آورند. زمانبندی پیشنهادی اصل شمارش اصل ضرب جایگشت ترکیب حل تمرینات جلسه چهل و یکم جلسه چهل و دوم جلسه چهل و سوم جلسه چهل و چهارم نقشۀ مفهومی فصل هفتم کتاب درسی ترکیب جایگشت نمودار درختی نماد فاکتوریل اصل ضرب شمارش غیر مستقیم 3
)( ات ا س تد ای ه معلم رای ستنی دا شمارش بدون مجموعهای عناصر مقدار تعیین یا خاص آزمایش یک برای محتمل نتایج تعداد شمارش برای فصل این در اساسی اصل با موضوع میگیرند. قرار مالحظه مورد ترکیبی آنالیز عنوان به غالبا روشهایی چنین میشود. ارائه روشهایی مستقیم عمل آن متعاقب و مختلف طریق n به دوم عمل آن پی در اگر و باشد انجامپذیر مختلف طریق n به عملی»اگر شود. می آغاز شمارش حاصل صورت به بگیرند انجام هم با میتوانند عملها این که هایی حالت تعداد آنگاه باشند انجامپذیر... و مختلف طریق n 3 به سوم است. درختی نمودار ضرب اصل تعیین برای مفید و ساده راه یک بود.«خواهد n, n, n 3,... ضرب اینکه تعیین برای باشد. داشته وجود مختلف راه 4 C شهر به B شهر از و مختلف راه 3 B شهر به A شهر از کنیم فرض مثال ار A مجموعه از a, a, a 3 اعضای اولیه شاخه سه میکنیم. استفاده درختی نمودار از برود C به A از میتواند راه چند از شخص یک.برای میکند مشخص را B مجموعه از b 4, b 3, b, b عضوهای که میشوند تقسیم شاخه چهار به شاخه سه این از یک هر سپس رسم زوج مختصات اولین نشاندهنده شاخه اولین انتخاب میکنیم. شروع اول شاخه و درخت ریشه از A B عضوهای آوردن دست به ه شاخ به و میشود شروع اول شاخه از مسیر هر ترتیب همین به میکنیم. انتخاب را دوم شاخه دوم عضو تعیین برای پس است. مرتب میشوند. طبقهبندی A B عضوهای با شاخههای سرانجام میشود. ختم درخت برگ یا دوم a a a 3 b b b 3 b 4 b b b 3 b 4 b b b 3 b 4 جدا هم از دو به دو مجموعهها آنکه شرط به کرد تعریف متناهی مجموعه برای میتوان نیز را جمع اصل ضرب اصل همانند نباشد. ممکن زمان هم صورت به آنها وقوع اگر میگویند ناسازگار پیشامدهای مجموعهها این به احتمال در که باشند ممکن زمان یک در آنها دوی هر وقوع امکان ولی بیاید خط یا شیر است کنیم ممکن پرتاب را سکهای اگر مثال عنوان به نیست. داریم: باشند هم از جدا دو به دو و متناهی مجموعههای A k,,... A, A مجموعههای اگر A A... A = A + A +... + A k k میدهد روی چه نباشند جدا هم از دو به دو A k,,... A, A مجموعههای اگر به فرمول این دارد. نیاز ترکیبات بحث جزئیات به آن اثبات و میشود پیچیدهتر A A... Ak فرمول حالت این در میشوند. آشنا آن با گسسته ریاضیات در دانشآموزان که است معروف شمول«عدم و شمول»اصل گشت جا گرفتن قرار نحوه و اشیاء آرایش انتخابها این در گاهی و روبهروییم شیء چند انتخاب با ترکیبی آنالیز مباحث از بسیاری در معین آرایش با شیء n مجموعه از ترتیبی جایگشت واقع در مینامیم. جایگشت را انتخاب نوع این که دارد اهمیت یکدیگر کنار آنها میشود. نامیده شیء n از تایی r جایگشت معین آرایش با اشیاء این از مقدار r n هر جایگشت میباشد. 3
با را حرفی سه کلمه هر اگر کنیم. پیدا میخواهیم را f e d c b a حروف شیء 6 از تایی 3 جایگشت تعداد مثال طور به دهیم: نشان کادر سه 6 5 4 4 به آخر حرف نیز آن متعاقب و مختلف حالت 5 به دوم حرف آن پی در و شود انتخاب مختلف حالت 6 به میتواند اول حرف حرف بدون فوق حرف شش از حرفی سه واژه 6 * 5 * 4 0 شمارش نوشتن اصل طبق شود. انتخاب میتواند متفاوت حالت میشود. ممکن تکراری طریق n به میتواند شیء n از شیء r جایگشت در اول عنصر میشود. استنتاج فوق مثال دستورالعمل از جایگشت فرمول روش n به جایگشت سوم عنصر آن دنبال به و مختلف طریق n به جایگشت دوم عنصر آن متعاقب شود. انتخاب مختلف میشود. انتخاب مختلف روش n r) ( n r به تایی r جایگشت در ا م r عنصر روش این ادامه با میگردد. انتخاب متفاوت دهیم. می نشان P(n,r) با را شیء n از تایی r جایگشت n! p(n,r) = n(n )(n )...(n r + ) = (n r)! قضیه: است: شده حاصل زیر رابطه از فوق فرمول دوم طرف n(n )(n )...(n r + )(n r)! n! n(n )(n )...(n r + ) = = (n r)! (n r)! p(n,n) n(n )(n )... 3 * * n! n که خاص حالت در داریم: r دارد. وجود شیء n برای جایگشت n یعنی تکرار با جایگشتهای میآیند. دست به زیر قضیه طبق هستند که هم متشابه آنها از تعدادی که میخواهیم را اشیائی از جایگشتهایی گاهی است ا م r نوع از آن از تا n,... و دوم نوع از آن از تا n و اول نوع از آن از تا n که شیء n جایگشتهای تعداد قضیه: از: است عبارت 33 n! n!n!...n! 3 مطلوب DADDy واژه حروف از ممکن حرفی 5 کلمات تمام ساخت میکنیم فرض میدهیم. نشان مثال یک با را فوق قضیه هستند. متمایز هم از Dها از تا سه که طوری به دارد وجود D AD D 3 y اشیاء برای جایگشت!5 0 اینجا در باشد زیر: جایگشت در 6 جایگشت 0 این در D D D 3 Ay, D D D 3 Ay, D 3 D D Ay D D D 3 Ay, D 3 D D Ay, D D 3 D Ay است شده نتیجه حقیقت این از 6.عدد میآورند وجود به را یکسانی واژههای شود برداشته آنها در D حرف اندیسهای اگر دارد. وجود جایگیری برای مختلف روش!3 3 * * 6 تعداد کلمات اول بخش سه در D 3, D, D حرف سه برای که 5 متفاوت واژه 5!! = 0 تعداد به بنابراین است برقرار نیز میشود ظاهر D حرف که دیگر بخشهای از کدام هر برای امر این 3 است. ساخت قابل DADDy از استفاده با که دارد وجود حرفی
ه ای تد س ا ات )( ترکیب اگر در یک مجموعه r شیء از n شیء را انتخاب کنیم به طوری که ترتیب آنها مورد توجه نباشد آن گاه ترکیب r شیء از n شیء را به دست آوردهایم و این تعداد با (r C(n, نشان داده میشود. به طور مثال تعداد ترکیبات دو تایی از حروف b a و c را تعیین میکنیم. بدین ترتیب تعداد ترکیبات در! که برابر تعداد جایگشتهای هر کدام از آنها است ضرب میشود. بنابراین: جایگشت ab ba ac ca bc cb p( 3, ) p( 3, ) = C( 3, ).! C( 3, ) =! ترکیبات ab ac bc از آنجا که هر ترکیب r تایی از n شیء تعداد! r جایگشت برای اشیاء معین میسازد بنابراین میتوان نتیجه گرفت که: P(n, r) C(n, r).r! p(n,r) n! C(n,r) = = r! r!(n )! n n n r n = a b r= 0 r n C(n,r) = r r که البته در بسط دو جملهای داریم: ضریب هر جمله برابر است با بنابراین: n! r!(n r)! n r آموزش بخش های فصل هفتم نگاه کل ی به بخش در این بخش از کتاب مفهوم شمارش غیرمستقیم با روشهای نمودار درختی جایگشت و ترکیب مورد بررسی قرار میگیرد. ورود به مطلب: روشهای شمارش با مثالهایی از محیط پیرامون دانشآموزان از قبیل شماره شناسنامه کد ملی و آغاز شده است. ارائه مثالی از علم زیستشناسی ارتباط ریاضی با علوم دیگر را مشخص میکند. در تمامی این مثالها سؤال اصلی این است که چگونه میتوان حالتهای مختلف یک آزمایش خاص را مشخص کرد فع الیت صفحۀ 77 هدف: تعداد حالتهای دو حرفی یک رشته چهار حرفی را مشخص کنید. در این فعالیت قبل از آموزش روشهای شمارش از دانشآموزان خواسته شده است تمام رشتههای دو حرفی چهار باز آلی G, A, T, C را مشخص کنند. 34
مفهوم از روشنتری معنای میدهند ارائه و نمودار یا و جدول رسم دستهبندی با دانشآموزان که مختلفی نمایشهای کنند. می ایجاد شمارش روشهای 78 صفحۀ فع الیت کنند. رسم را آزمایش یک درختی نمودار بتوانند دانشآموزان هدف: نمودار طرح از گیرد انجام محدود های صورت به میتواند هرکدام که آزمایش سری یک مورد در محتمل نتایج همه تعیین برای اول شاخه از مسیر هر درختی نمودار در است. شده تشریح فعالیت ضمن در درختی نمودار رسم روش میشود. استفاده درختی نوشت. میتوان مرتب زوج صورت به را مسیرها میشود. ختم درخت برگ یا و دوم شاخه به و میشود شروع 79 صفحۀ کالس در تمرین آورند. دست به را مسئله هر در حاالت تعداد جدول یا و درختی نمودار از استفاده با دانشآموزان هدف: ضرب اصل مطلب به ورود ار ضرب اصل مفهوم درک که شدهاند آشنا شمارش برای جدول و درختی نمودار روشهای با دانشآموزان قبل بخش در میکند. سادهتر باشد. اجرا قابل مختلف طریق m به اول جزء و باشد شده تشکیل مختلف جزء دو از عملی هرگاه که میشود بیان ضرب اصل در دوم جزء )این میشود. انجام مختلف طریق n به دوم جزء آن پی در و میباشد.( درختی نمودار در اول شاخه و تنه اول جزء این )که دارد. مختلف حالت m * n عمل آن انجام آنگاه میباشند( درخت دوم شاخههای آنگاه: نماییم محاسبه را حاالت تعداد کادر یا و جدول با که حالتی در و m * n عمل آن بنابراین میشود. پر عمل دوم جزء حالت n تعداد با دوم کادر و عمل اول جزء حالت m تعداد با اول کادر عمل اول جزء عمل دوم جزء دارد. مختلف حالت m n باشد. شده گفته آن خالف آنکه مگر است مجاز تکرار شده مطرح مثالهای و مسائل تمام در 8 صفحۀ مسائل {,,5,6} با متناظر ١٠٠١ کد الف(...}... {... تهی متناظر کد دارد. را و 0 حالت دو کادر هر میگیریم نظر در کادر شش با را تایی 6 کدهای تعداد ب( کدها تعداد 6,,,,, = 6 زیرمجموعه تعداد است. 0 و تایی n کدهای تعداد برابر,},,... {n زیرمجموعههای تعداد کلی حالت در ج( تایی n کدهای تعداد n عضوی n مجموعه یک زیرمجموعههای تعداد 35
ه ای تد س ا ات )( 3 در تعداد اعداد سه رقمی متقارن خانه اول و خانه آخر باید یکسان باشند. خانه اول با یکی از اعداد یک تا 9 پر میشود پس 9 حالت دارد. خانه آخر باید شبیه خانه اول باشد پس یک حالت دارد و خانه وسط ده حالت دارد. = 90 9 0 4 الف( پرانتز اول دو جمله و پرانتز دوم سه جمله دارد پس: جمله * 3 6 ب( جمله * * 3 5 عدد سه رقمی بدون رقم 8 است. بنابراین خانه اول 8 و 0 نمیتوانند باشند پس 8 حالت دارد و خانه دوم فقط عدد 8 را نمیتواند داشته باشد پس به 9 حالت و خانه سوم نیز 9 حالت یعنی: 8 9 9 = 8 9 9= 8 6 خانه اول با یکی از سه رنگ رنگ میشود و چون خانه دوم باید با اولی متفاوت باشد پس برای خانه دوم دو رنگ داریم و همچنین تا آخر ٣ ٢ ٢ ٢ ٢ ٤٨ a a a 3 b c c c 3 c 4 c c b 3 c 3 c 4 c c b c 3 c 4 c c b 3 c 3 c 4 c c b c 3 c 4 b 3 c c c 3 c 4 7 شاخههای انتهایی میباشد پس به طریق این سه نفر را میتوان رهسپار کرد. جایگشت اهداف دانشآموزان بتوانند: ( فاکتوریل هر عدد صحیح نامنفی را به دست آورند. ( جایگشت r شیء از n شیء را محاسبه نمایند. پیشنیاز آشنایی با محاسبه تعداد حاالت با جدول یا نمودار درختی 36
تشخیص ارزشیابی دهد. نشان را سکه پرتاب بار سه مختلف حاالت که کنید رسم درختی نمودار بخش به کل ی نگاه ءیش r جایگشت و است مهم اعمال انجام ترتیب آنها در که میشوند آشنا مثالهایی با فعالیت انجام با دانشآموزان بخش این در میشود. معرفی فاکتوریل نماد مثال یک طی همچنین مینمایند. محاسبه فرمول با سپس جدول با ابتدا را شیء n از برای دانشآموز سه که است حاالتی تعداد کردن مشخص جایگشت مفهوم آموزش برای کتاب روش مطلب: به ورود ترتیبی عنوان به را جایگشت مفهوم دانشآموزان ضرب اصل از استفاده و جدول تکمیل با روند. سکو باالی میتوانند هدایا دریافت میشوند. آشنا میدهد دست به را معینی آرایش یکدیگر کنار گرفتن قرار حاالت آنان در که افراد یا اشیاء از گاه: آن بگیرید نظر در را d و c b a حروف مجموعه بپرسید: کنید. پیدا را حروف این حرفی چهار جایگشتهای تعداد الف( کنید. پیدا را حروف این حرفی سه جایگشتهای تعداد ب( کنید. پیدا را حروف این حرفی دو جایگشتهای تعداد پ( 83 صفحۀ مثال شوند. آشنا فاکتوریل نماد با دانشآموزان هدف: آورید. دست به را ٦!٥ حاصل بپرسید: آورید. دست به را n * n)!( حاصل دهید: توسعه 84 صفحۀ بیندیشیم بسازید. را 6 عدد ریاضی اعمال و پرانتز و فاکتوریل نماد چند و صفر رقم سه تنها از استفاده با (0! 0! 0!) 3! 6 84 صفحۀ مثال شوند. آشنا شیء n از تایی r جایگشت فرمول با دانشآموز هدف: آموزشی نکتۀ نمیباشد. آموزشی اهداف جزء جایگشت فرمول اثبات درسی کتاب در شیء n از تایی k جایگشت تعداد به سپس میشود محاسبه مدال دریافت برای نفر 0 از تایی سه جایگشت ابتدا مثال این در میشود. داده تعمیم 85 صفحۀ کالس در تمرین 6! P( 6, 3) = = 0 است: نظر مورد نفر 6 از تایی سه جایگشت سؤال این در 3 3! 85 صفحۀ مسائل حرف پنج از تایی پنج جایگشت تعداد الف( P(5, 5) 5! 0 37
)( ات ا س تد ای ه تعداد پس بدهیم قرار هم کنار را حرف دو چون و میشود! که است حالت دو به هم کنار w و a حرف دو گرفتن قرار ب(! * 4! * 4 48 داریم: را حرف 4 از تایی 4 جایگشت 0 48 7 میکنیم. کم را گرفتهاند قرار هم کنار w و a که حالتهایی جایگشتهای تعداد کل از ج( میخواهیم. را حرف شش از تایی شش جایگشتهای تعداد پس بگیریم نظر در حرف یک عنوان به را com اگر P(6, 6) 6! com p u t e r شود تصویر B مجموعه عضوهای از یکی به وقتی دارد وجود حالت 0 B مجموعه به A مجموعه از عضو برای 3 آخر عضو تا ترتیب همین به و دارد وجود B مجموعه به حالت 9 A مجموعه از عضو برای 38 بنابراین:... =0! 0 9 میگیریم: نظر در حالت دو پس باشد زوج آن یکان رقم که است زوج رقمی پنج عدد وقتی 4 باشند متمایز باید چون و داریم دیگر عدد 9 داریم حالت یک یکان رقم برای پس باشد صفر یکان رقم اول: حالت بنابراین: یکان رقم 9 * 8 * 7 * 6 304 )عددصفر( 9876 در صفر رقم چون و داریم حالت 4 یکان رقم برای پس باشد صفر از غیر به زوج اعداد از یکی یکان رقم اگر دوم: حالت حالت 8 نیز بعدی مکان برای و است. مکان این برای حالت 8 پس گیرد قرار نمیتواند چپ سمت اول مکان یکان رقم 9876 حالت ٤ A. 0 B. 0 داشت. خواهد وجود حالت 6 بعدی و 7 بعدی مکان برای و گرفتهاند قرار مکان دو در رقم ده از رقم دو زیرا 8 * 8 * 7 * 6 * 4 075 3776 304 075 ها: حالت کل مختلف کتاب 4 برای و است فیزیک کتابهای چرخش حاالت تعداد!3 پس باشند هم کنار فیزیک کتابهای اینکه برای 6 میشود.!5 که داریم مکان 5 فیزیک کتب بسته یک و ریاضی 5! * 3! حاالت: کل دانشآموز و... و 9 دوم دانشآموز و امکان 0 اول دانشآموز برای میگیرند قرار اول ردیف در اول دانشآموز 6 7 پس: دارد. وجود امکان 5 ششم * 0 * 9 990 500 * 70 990
86 صفحۀ بیندیشیم ٣ ٢ ١ ٦ نرسند. پایان خط به همزمان هیچکدام اول: حالت حالت 3 برسند. پایان خط به همزمان نفر دو دوم: حالت حالت یک برسند. پایان خط به همزمان سه هر سوم: حالت حالت ٣ شوند. دوم هم با بعدی نفر دو و اول نفر یک چهارم: حالت ٦ ٣ ١ 3 ١٣ جمع اصل ترکیب بخش اهداف ترکیب مفهوم با آشنایی پیشنیاز شیء n از تایی r جایگشت با آشنایی بخش به کل ی نگاه توجه مورد شیء n از شیء r انتخاب در اشیاء گرفتن قرار ترتیب آنها در که میشوند آشنا مثالهایی با دانشآموزان کتاب این در میرسند. ترکیب فرمول به آموزشی فعالیتهای انجام با و نیست نیست مهم انتخاب در اشیاء گرفتن قرار ترتیب آنها در که است مسائلی با دانشآموزان آشنایی بخش این هدف مطلب: به ورود یط سپس و ندارد اهمیتی ترتیب مواردی چه در نمایند درک را مفهوم این دانشآموزان ابتدا که میشود ارائه مثالهایی دلیل همین به نیست. کتاب آموزشی اهداف جزء فرمول اثبات شوند. آشنا ترکیب فرمول با آموزشی فعالیتهای انجام 87 صفحۀ فع الیت دهند. تشخیص را نیست توجه مورد اشیاء گرفتن قرار ترتیب آنها در که مسائلی دانشآموزان هدف: ه شمار شطرنجباز کرد. استفاده درختی نمودار از میتوان فعالیت این حل برای اب شماره شطرنجباز و کند بازی 5 و 4 و 3 و شماره شطرنجباز با میبایستی و 5 و 4 شمارههای با فقط 3 شماره شطرنجباز و 5 و 4 و 3 های شماره شطرنجبازهای میکند. بازی 5 شماره شطرنجباز با فقط 4 شماره شطرنجباز شمارش با را بازیها کل تعداد و میدهد انجام بازی چهار بازیکن هر بنابراین قسمتهای در که است واضح میآوریم. دست به میباشد 0 که انتهایی شاخههای ندارد. اهمیتی ترتیب ج و ب الف 87 صفحۀ فع الیت شیء 9 از تایی 3 ترکیباتی عضوی 9 مجموعه یک تایی 3 زیرمجموعههای تعداد و جایگشت از استفاده با دانشآموزان هدف: آوردند. دست به را 39 3 3 4 5 3 4 5 4 5 4 5
)( ات ا س تد ای ه کرد: حل نیز جدول با میتوان را آموزشی فعالیت این جایگشتها زیرمجموعه }١ ٢ ٣{ }١ ٢ ٤{ }١ ٢ ٥{ }١ ٢ ٦{ }١ ٢ ٧{ }١ ٢ ٨{ }١ ٢ ٩{ ١٢٣ ١٣٢ ٢١٣ ٢٣١ ٣١٢ ٣٢١ ١٢٤ ١٤٢ ٢١٤ ٢٤١ ٤١٢ ٤٢١ دارد. را اعداد جایگشت!3 تعداد به تایی سه زیرمجموعه هر بنابراین ندارد. وجود یکسانی جایگشتهای مختلف تایی سه زیرمجموعههای برای و جایگشتهای کل تعداد و میشود ضرب آنها از کدام هر جایگشتهای تعداد برابر که!3 در زیرمجموعهها تعداد ترتیب بدین میآید. دست به عضو 9 از 3 تایی P( 93, ) تایی 3 زیرمجموعههای تعداد 3! = P( 93, ) a 3! = P( 93, ) a = = 84 3! 88 صفحۀ مثال. آوردند دست به فرمول از استفاده با را شیء n از تایی k ترکیب r دانشآموزان هدف: میکنیم. پیدا را عضوی 0 مجموعه یک از عضوی 4 زیرمجموعههای تعداد مثال این در قبل فعالیت همانند عضوی 0 مجموعه تایی 4 زیرمجموعههای تعداد * 4! P(0, 4) زیرمجموعهها تعداد 0! P( 0, 4) ( 0 4)! 0! = = = 4! 4! 64!! شیء n از تایی k ترکیب که را عضوی n مجموعه یک از عضوی k زیرمجموعههای تعداد به را مثال میتوان ترتیب همین به داد. تعمیم n P(n,k) n! = C(n,k) = = k k! k!(n k)! n n (n )! (n )! + = + k k k!(n k)! (k )!(n (k ))! است. الزامی فرمول این در n k شرط بود خواهد چقدر C,n) (n یعنی باشد n k اگر بپرسید: 89 صفحۀ کالس در تمرین ب( 3 (n )! (n )! = + k!(n k )! (k )!(n k)! 40
(n k)(n )! + k(n )! (n )!(n k + k) = = k!(n k)! k!(n k)! n(n )! n! n = = = k!(n k)! k!(n 4 )! k n n! n! = = = 0 0!(n 0 )! n! n = 0 4 انتخاب صفر شیء از n شیء یعنی انتخابی نداشته باشیم پس از طرف دیگر: n n = k n k n n n + +... + = 0 n 7 مسائل صفحۀ 90 طرف اول: تعداد زیر مجموعههای k عضوی از مجموعه n عضوی است: تعداد زیرمجموعههای یک مجموعه n عضوی طرف دوم: برای تعیین تعداد زیرمجموعه های هر مجموعه 8 عضوی برای هر عضو حالت وجود دارد. عضو n ام عضو دوم عضو اول... بنابراین: تعداد زیرمجموعهها n n n n + +... + = 0 n n حداقل یک نفر کشتیگیر باشد: هر سه کشتیگیر دو نفر کشتیگیر و یک نفر وزنهبردار یک نفر کشتیگیر و نفر وزنهبردار 4 5 7 5 7 7 + + 3 5! C( 5, ) = = 0 3!! 3 ورزشکاران از 5 کشور 0 0 0 0 + + +... + = 5 0 4 0 7 = 35 3 4 سه شهر از 5 شهر 5 0 0 0 3 ٥ 6 آن شهر انتخاب یک دانشآموز از 0 دانشآموز
)( ات ا س تد ای ه تکمیلی سؤاالت 4 نباشد: مجاز تکرار اگر ١ داد تشکیل میتوان رقمی سه عدد چند 9 7 6 5 3 رقم شش با الف( است 400 از کوچکتر اعداد این از تعدادی چه ب( است زوج آنها از تعدادی چه پ( است فرد آنها از تعدادی چه ت( است 5 مضرب آنها از تعدادی چه ث( ها پاسخ 6 * 5 * 4 0 الف( باشند. کوچکتر 400 از بایستی اعداد تمام است زیرا 3 یا ارقام فقط چپ سمت کادر ب( 54 4 به میانی کادر و طریق 5 به چپ طرف کادر میشود پر 6 یا اعداد طریق با فقط راست سمت کادر پ( 54 5 * 4 * 40 میشوند. پر طریق کادر میشود پر 9 و 7 5 3 ارقام وسیله به طریق 4 به فقط راست طرف کادر باشند فرد بایستی اعداد چون ت( میشود. پر طریق 4 به نیز میانی کادر و طریق 5 به چپ طرف 5 4 4 5 4 4 = 80 میشود پر 5 رقم وسیله به طریق یک به فقط راست طرف کادر باشند 5 مضرب بایستی اعداد که آنجا از ث( میشود. پر طریق 4 به میانی کادر و طریق 5 به چپ طرف کادر 5 4 5 4 = 0 بگیرند. قرار ردیف یک در دومی سال دانشآموز و اول سال دانشآموز 3 طریق چند به الف( کنار نیز دومیها و هم کنار اولیها که شرط این با بگیرند قرار ردیف یک در میتوانند طریق چند به آنها ب( بگیرند. قرار هم بنشینند. هم کنار دومیها که شرط این با بگیرند قرار ردیف یک در میتوانند طریق چند به آنها پ( پاسخها بنشینند. ردیف یک در طریق 5 * 4 * 3 * * 0 میتوانند نفر 5 الف( رو این از بنشینند هم کنار *! به دومیها و طریق!3 3 * * 6 به اولیها موارد تمام در ب( دارد. وجود طریق *!3 *! 4 رفته هم روی کی و اول دانشآموز 3 برای کادر 3 و داریم دومیها برای! باشند هم کنار دومیها اینکه با مطابق افراد برای پ( بنشینند. هم کنار میتوانند طریق!4 *! صورت این در که میگیریم نظر در دوم دانشآموز برای کادر دهد. پاسخ را سؤال 8 بایستی دانشآموز سؤال 0 بین از امتحان یک در 3 کند انتخاب میتواند طریق چند به را سؤاالت این او الف(
ب( اگر او بخواهد حتما به 3 سؤال اول پاسخ دهد انتخاب او به چند طریق خواهد بود پ( اگر او بخواهد از 5 سؤال اول حداقل به 4 سؤال جواب دهد انتخاب او به چند طریق خواهد بود پاسخ ها 7 = 5 ب( 5 5 = 0 5 3 5 5 = 5 4 4 0 = 45 8 الف( پ( اگر به هر 5 سؤال اول جواب دهد: ج( اگر به 4 سؤال از 5 سؤال اول جواب دهد: چ( کال انتخاب نماید: 0 5 35 4 به چند طریق میتوان 5 کتاب بزرگ 4 کتاب متوسط و 3 کتاب کوچک را در یک قفسه جای داد با این شرط که کتابهای هماندازه با هم قرار بگیرند ( 5! 4! 3!) 3! = 5 0 نقطه B A... روی یک صفحه قرار دارند به طوری که هیچیک از سه تایی آنها روی یک خط قرار نمیگیرند. 0 = 8 = 0 = 3 9 = 3 8 = الف( با این نقاط چند خط مستقیم میتوان رسم کرد ب( چه تعداد از این خطوط از A یا B عبور نمیکنند پ( با این نقاط چه تعداد مثلث میتوان تشکیل داد ت( چه تعداد از این مثلث شامل نقطه A میشوند ث( چه تعداد از این مثلثها شامل ضلع AB است 6 محاسبه کنید: + (n (n + )! )الف = )(n)! = n + n! n! )ب )پ n! n(n )(n )! = = n(n ) (n )! (n )! (n )! (n )! = = (n + )! (n + )(n + )n(n )! (n + )(n + )n r (n r + )! (n r + )(n r)(n )ت = )! = (n r + )(n r) (n r ) (n r )! 43
ای ت س ا ات )( نمو نه سؤاالت ارزشیابی پایانی در یک دنباله حسابی جمله ششم 4 و جمله دهم 58 میباشد دنباله را مشخص کنید. f (x و ) f (x را به دست آورید. f( ) f (x) باشد آنگاه ) 3x اگر f (x) را طوری رسم کنید که دامنه آن مجموعه اعداد حقیقی کوچکتر یا مساوی x 3 نمودار تابع 4 باشد. 4 دامنه توابع زیر را بیابید. y = x x + )الف + 3x y= )ب 5 3 = y )پ x x y= )ت 5 دو تابع f و g را چنان رسم کنید که هر دو دارای دامنه و برد مساوی باشند ولی نمودارهای آنها یکسان نباشد. 6 نمودار کدامیک از توابع زیر یک به یک است چرا 7 دو تابع )} f {(, a ), (, b و )} g {(3, ), (a, معکوس یکدیگرند. a و b را پیدا + 3 > 0 x کنید. 8 نامعادله را حل کنید. x x 9 با توجه به نمودارها کدام شکل نمودار کدام تابع میتواند باشد x y ( ) = y = پ( ) y log (x ت( x = x y log ب( الف( 44
0 معادله زیر را حل کنید. مقدار عبارت زیر را به دست آورید. log(x ) log(x ) log(x ) A = log 0/ 00 log 8 log 0 3 64 معادله یک تابع سینوسی y a sinbx را بنویسید که برد آن [4 [,4 و دوره تناوب آن 9 است را بنویسید. 3 مساحت متوازیاالضالعی که اندازه دو قطر آن 8 و 6 و زاویه بین آنها 0 است را به دست آورید. 4 وزنهای به یک فنر وصل است به گونهای که به طور پیوسته پایین و باال میرود. فاصله وزنه از نقطه مقابل b بعد از t ثانیه از رابطه d = 3cos t به دست میآید. بیشترین فاصله وزنه از نقطه تعادل پس از چند ثانیه برای 5 اولین بار اتفاق میافتد 5 چند جایگشت 5 تایی از مجموعه {6,},,3,4,5 میتوان نوشت 6 به چند طریق میتوان 4 کتاب ریاضی 3 کتاب فیزیک و 5 کتاب ادبیات متمایز را در یک قفس قرار داد به طوری که همه کتابهای دارای یک موضوع کنار هم باشند 7 در رابطه زیر مقدار n را پیدا کنید. P(n, 4) 4P(n, ) 8 با ارقام,0,,,3,4 5 چند عدد زوج با ارقام متمایز میتوان نوشت 9 در یک آپارتمان 4 خانوار زندگی میکنند. میخواهیم یک مدیریت شامل 5 نفر از آنها تشکیل دهیم از هر خانوار فقط زن یا شوهر میتواند عضو مدیریت باشد. به چند طریق میتوان مدیریت را انتخاب کرد 45
ه ای تد س ا ات )( منابع ١ مهارت های آموزشی )روش ها و فنون تدریس( حسن انتشارات سمت ١٣٨٩ ٢ بهبود بخشی دستاورد شاگ ردان در ریاضیات )مجموعه رویه های آموزشی( کریستین داگالس جی. سبوال آماگروز دفتر همکاری های علمی بین المللی وزارت آموزش و پرورش ١٣٨٠ ٣ پیش نویس راهنمای برنامه درسی ریاضی ٤ کتاب م علم ریاضیات ١ بخشعلی زاده بروجردیان و سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی ١٣٩٠ ٥ فرهنگ ریاضیات گروه ریاضی انتشارات مدرسه چاپ چهارم ١٣86 46