א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π cos ( 4π cos ( π sin ( 4π cos ( π ( sin(π 4π cos ( π ( sin( π cos ( π ( sin(π π cos ( π sin ( π cos( 4π cos(π 4π cos( π tan(0 sin(40 cos(0 sin(60 cos(60 ( sin(80 40 sin( 60 c ot(0 t an(90 0 tan( 60 sin(60 sin(60 sin(60 sin( 60 c ot(α ; sin(α cos(α cos (α cos(α tan(α sin(α cos(α cot(α ה. cos (α cos(α cos (α 4 cos (α 9 cos (α cos (α c 9 os(α 9 כאשר נלקחה רק התשובה החיובית בגלל הטווח הנתון. כעת נותר: sin (α cos (α sin (α 9 9 4 s in(α 9 כאשר נלקחה רק התשובה החיובית בגלל הטווח הנתון. c os(α 4 7 sin (α cos (α sin (α 6 49 49 s in(α 7 כאשר נלקחה רק התשובה השלילית בגלל הטווח הנתון. t an(α sin(α cos(α 7 4 7 4 c ot(α tan(α 4 s in( π sin( π πk or π π πk א. כאשר k שלם.
π πk or π πk π πk or π 9 π k c os( 4 cos( 0 4 0 60 k or 4 0 60 k כאשר k שלם. 7 60 k or 4 60 k 7. 80 k or.7 90 k cos ( sin( sin ( sin( 0 sin ( s in( sin( ( sin( s in( 0 or sin( π k or π πk 6sin ( sin( sin ( s in( 0 sin( ( sin ( 0 כשk שלם. s in( 0 or sin ( πk or sin ( 0 π k or (sin( (sin( 0 π k or π 4 πk or π π 4 πk or π 4 πk or π π 4 πk π k or π 4 πk or π 4 πk or π 4 πk or π 4 πk π k or π 4 π k or π 4 π k ואפשר את ארבע התשובות הימניות לאחד לשתי תשובות: a 4 a a 4 : באמצעות a א. נבטא את a (n : S n כעת נשתמש בנוסחה n S 8 0 77 8 77. a עבור הסכום נשתמש באותה נוסחה: וזה ההפרש של הסדרה. האיבר הראשון: 0 S 4 0 4 67. 4 60 a (q8 S 8 6400 q a (q6 a (qn q a כנעלמים: נשתמש בנוסחה n S ונגיע לשתי משוואות עם, q a (q S 6 8 S q 8 q q 6 8q 8 q 6 8q 7 0 t 8t 7 0 ( t ( t 7 0 t or t 7 q or q 7 נסמן : q t
נפסול את התוצאה שבה מתקבל q כי זה סותר את הגדרת הסדרה ההנדסית בה / q. 8 6400 a 80a a 6400 80 S a (q q ( ולכן נקבל כי וזאת המנה של הסדרה. כעת נציב זאת בנתון השני: 8600 q כעת נחשב את הסכום המבוקש: ראשית נבטא את האיברים שמהווים סדרה הנדסית בעזרת a ונראה את הקשר ביניהם:, a a ; a0 a 9 ; a8 a 7 והם איברים עוקבים בסדרה הנדסית כלומר: a 9 a a 7 a 9 ( a 9 ( a ( a 7 a 8a a 7a 4 a a 8 a 7 7 0 7 ( 0 6. a ולכן אבל בסדרה חשבונית / 0 כעת נשתמש בנתון השני למצוא קשר נוסף: a S 0 ( a a 6 6 נציב מה שמצאנו מקודם: 0 a 66 a כעת נחשב את הסכום המבוקש: 0a a ; a S 400 n 4 8 6 4 4 8 8 8 4 8... 4k k 4k 4k 4 8... 4k 4k 4k 4k 4k 4k 4k 4k 4k4 4k4 k 4k4 k 4k 4k 4k 4k 4k 4k 4k 4k4 4k4 k 4k4 k 4k 4k 4k 4k 4k 4k 4k 4k4 4k4 k 4k k 4k4 4k 4k 4k4 4k 4k4 4k 4 א. ראשית, נראה נכונות עבור n : כעת נניח נכונות עבור : n k נוכיח נכונות עבור k : n 4k 4k4 4k 4k 4k4 4k4 4k4 4k4 k 4k ( k 8 ( 4k 4 ( 4k ( 4k 4 k 4 ( k 64k k 8 6k 8 8 k 6 4 k 4 4k 6 64k k 6k 8 k 4 k 4 k 8 8 6 4 6 0 0 נשתמש בהנחה:
פסוק אמת. ולכן, מתקיים עבור כל n טבעי. 4 8... 4n n 4n 4n 4 8..... 4 8. 4 8 4 8 8 4 8 4 8..... 4 8. 4 4 4 נשים לב כי: אם מתוך זה נחסיר את: 4 8... (.... 4 8. 4 4. 8 ( 4 8 4 4 4... 8 4 8 048 7 7 4748648.4796084 0.4 0 4 < ( 9 < 4 ( 4 9 < 4 9 < k < k ( k k < k ( k 9 k < 4 k ( k 9 k < 9 k ( k < *??? * 4 k ( k נקבל: א. ראשית, נראה נכונות עבור n : כעת נניח נכונות עבור : n k נוכיח נכונות עבור k : n נציב את ההנחה: נבדוק האם יתקיים: 9 k ( k < 4 k ( k 9 k 9 < 4 k 4 9 k 9 < 6 k 4 < 7 k וזה אכן נכון עבור כל k טבעי, שכן עבור k טבעי אגף ימין של אי השיוויון חיובי, ולכן תמיד יהיה גדול ממספר שלילי. ולכן עבור כל n טבעי מתקיים n < n ( n 4 4... k k 4... k k 4... k k k k ב.ראשית, נראה נכונות עבור n : כעת נניח נכונות עבור : n k נוכיח נכונות עבור k : n כעת נציב את ההנחה: k k k k k k k k k k
k k k k 4... n n פסוק אמת, ולכן עבור כל n טבעי מתקיים n < n ( n n > n n n > ( n 4... n n הוכחנו בסעיף א' כי מתקיים: בסעיף ב' הוכחנו: אם נציב האחד בשני נקבל: 4... n n > ( n 4... n > ( n : (g(( g( במקרה של פונקציה מורכבת. ( 6 א. ( ( 4 ( ( 4 4 ( (4 ( ( 880 ( (.במקרה של מנה u ( : 4 v u v uv v : ( g g g tan( במקרה של מכפלה ( t an( t an( cos ( sin( cos( sin( cos( cos ( sin( cos ( sin( cos ( ( cos ( cos( (cot ( cot( cot( sin( (. ot גם כאן נתייחס לזה כפונקציה מורכבת: cos( sin ( sin (, ויש כאן גם פונקציה מורכבת: ה. במקרה של פונקציה מעריכית: (a a lna [ ] ln( ln( c ( 4 8 4 0 0 7 א. ( ( ( ( ( ( ( ( 4 4 ( 4 ( ( ( ( 4 4 ( 4 ( 4 4 4 ( 4
( s in( 4 cos( c os( 4 c os( ( s in( cos( 4 c os( s in( sin( 4 sin( sin( cos( 4 sin( 4 sin( cos( 4 ( e l n( 4 e 4e (4 ה. ( sinh( sin( c osh( s in( s inh( c os( sinh( s in( cosh( c os( cosh( cos( sinh( s in( cosh( c os( ( 4 ( ( 4 ( 4 4 ( 4 ( 8 א. ( ( 4 9 ( ( 9 ( ( 6 ( ( 4 9 9 4 ( ( sin ( cos( 4 ( sin(cos( c os( s in( 4 ( sin ( cos( (sin(cos(cos( sin( (4(sin ( cos( 4 4 ( e sin( ( 8 esin( cos( ( 8 e sin( e sin( ( cos( ( 8 ( e 8 l n(sin( 0.46789 e 8 (8 sin( cos( e 8ln(sin( e 8 (8cot( e 8 ln(sin( ה.
( 9 4, והאורך של הקטע על החוף האורךשל הקטע בים שבו שוחה דניאל הוא 6 Δ r vt ולכן הזמן הכולל שלוקח לדניאל: t Δr v. 0 הוא 6 t 4 0 6 על מנת למצוא את הזמן המינימלי נגזור ונשווה לאפס: t 6 6 6 0 6.8 8 6 6 0 4 6 6 6 4 6.77708764 o ptimal istance rom restaurant 0 6.496 6.4 [km]. P היקף המלבן יהיה. (, 0 erimeter ( 0 ( 0 נקודה : A כדי למצוא היקף מינימלי נגזור ונשווה לאפס: P erimeter 8 0 0. על מנת לדעת אם זו נקודת מינימום או מקסימום, נגזור ונבדוק זאת: Perimeter 8 < 0 A שיעורי הנקודה. y A 0 0. 49 7 8 ואכן זוהי נקודת מקסימום. והערך של y בנקודה:. ( 0., 49 7 8 עבורם ההיקף מקסימלי הם, S כדי למצוא שטח מקסימלי נגזור ונשווה שטח המלבן יהיה: ( 0 0 לאפס: S 0 6 ±.886746 ±.89 מכיוון שזה ברביע הראשון, ניקח את התוצאה החיובית. על מנת לדעת אם זו נקודת מינימום או מקסימום, נגזור ונבדוק זאת: ; S(.89.89 4.6 < 0 S. y A שיעורי 0.886746 ואכן זוהי נקודת מקסימום. והערך של y בנקודה:.(.89, הנקודה A עבורם השטח מקסימלי הם ההיקף המקסימלי:
P erimeter,ma 0. 49 7 8 00. [Length] S ma.886746 96.04486 [Length ] השטח המקסימלי: א. (8. 8. C ( 4 C 4 44 C ( 6 4 ( 6 ( 4 C ( 4 4 ( 4 4 C (sin( c os( tan ( tan tan cos( sin( t an( C ה.