Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων τριγώνων είτε αυτά είναι κύρια στοιχεία (πλευρές, γωνίες), είτε είναι δευτερεύοντα ( ύψη, διχοτόμοι, διάμεσοι). Προβολή σημείου σε ευθεία Δίνεται ευθεία ε και σημείο Α που δεν ανήκει σε αυτήν. Ορθή προβολή ή απλά προβολή του σημείου Α στην ε λέγεται το ίχνος Α, της καθέτου που άγεται από το Α προς την ε. Αν κάποιο σημείο, όπως το Β, ανήκει στην ευθεία ε, η προβολή του Β είναι το ίδιο το Β. Προβολή ευθύγραμμου τμήματος σε ευθεία Προβολή ενός τμήματος ΓΔ πάνω στην ευθεία ε λέμε το τμήμα Γ Δ που έχει άκρα τις προβολές Γ και Δ των άκρων Γ και Δ του τμήματος ΓΔ. Αν ο φορέας ενός τμήματος ΚΛ είναι κάθετος στην ε τότε οι προβολές των Κ και Λ συμπίπτουν. Έτσι η προβολή του ΚΛ είναι ένα σημείο, δηλαδή έχει μέτρο 0. ΔΙΑΤΥΠΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του ισούται με το γινόμενο της προβολής της στην υποτείνουσα επί την υποτείνουσα Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α ˆ = 90 φέρουμε το ύψος ΑΔ. Τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΒΓ είναι όμοια, επειδή Α ˆ = ˆ = 90 και Αˆ = Γˆ 1 ως γωνίες με πλευρές κάθετες. Από την ομοιότητα προκύπτει ότι : ΑΒ ΒΓ =, δηλαδή ΑΒ = Β ΒΓ. Β ΑΒ (Πυθαγόρειο Θεώρημα) Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνoυσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α ˆ = 90 φέρουμε το ύψος ΑΔ και σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα ισχύουν οι σχέσεις : ΑΒ = Β ΒΓ και ΑΓ = Γ ΒΓ. Mε πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε ΑΒ + ΑΓ = Β ΒΓ + Γ ΒΓ = = ( Β + Γ) ΒΓ = ΒΓ.

(Αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος) Αν σ ένα τρίγωνο το τετράγωνο μιας πλευράς ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά αυτή. Θεωρούμε ορθή γωνία χ Ο Λ ψ και επί των πλευρών Οχ, Οψ παίρνουμε αντίστοιχα τα τμήματα ΟΔ=ΑΒ, ΟΕ=ΑΓ. Τότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΔΕ θα έχουμε: ΔΕ =ΟΔ +ΟΕ =ΑΒ +ΑΓ =ΒΓ. Άρα ΔΕ=ΒΓ, δηλαδή τα τρίγωνα ΑΒΓ,ΟΔΕ έχουν τρεις πλευρές ίσες μια προς μια, άρα είναι ίσα. Οπότε: Λ Λ Ο Α = Ο = 90. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών στην υποτείνουσα. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α ˆ = 90 φέρουμε το ύψος ΑΔ. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι όμοια γιατί Β ˆ = Αˆ 1 ως συμπληρωματικές της γωνίας Γˆ. Α Γ Άρα = ή Α = Β Γ. Β Α Πίνακας μετρικών σχέσεων για ορθογώνια τρίγωνα ΑΒ = ΒΔ ΒΓ ή γ = ΒΔ α ΑΓ = ΓΔ ΒΓ ή β = ΓΔ α ΒΓ = ΑΓ + ΑΒ ή α = β + γ ΑΔ = ΒΔ ΔΓ ή υ α = ΒΔ ΔΓ ΑΓ ΑΒ = ΒΓ ΑΔ ή β γ = α υ α ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Το τετράγωνο πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία (αμβλεία) γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωμένο (αυξημένο) κατά το διπλάσιο γινόμενο της μιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή. 3

ˆ Γ < 90, τότεγ = β + α α Γ ˆ Γ > 90, τότε γ = β + α + α Γ Έστω ˆ Γ < 90. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ ισχύει ΑΒ = Α + Β (1) Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ ισχύει Α = ΑΓ Γ () Όμως ΒΔ=ΒΓ-ΔΓ, άρα Β = ΒΓ + Γ ΒΓ Γ (3) Λόγω των σχέσεων (), (3) η (1) γίνεται : ΑΒ = ΑΓ Γ + ΒΓ + Γ ΒΓ Γ = ΑΓ + ΒΓ ΒΓ Γ Παρόμοια αν Γ Λ > 90. Κριτήρια για το είδος γωνίας τριγώνου: Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ οι πλευρές α, β, γ συνδέονται με μια από τις παρακάτω σχέσεις, τότε μπορούμε να εξασφαλίσουμε το είδος της αντίστοιχης γωνίας. α α α = β γ + < β + γ > β + γ Α ˆ = 90 Α ˆ < 90 Α ˆ > 90 o o o ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση α = β + γ βγ συνα. ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1ο θεώρημα διαμέσων. Το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο τετράγωνο της μεταξύ τους διαμέσου αυξημένο κατά το μισό τετράγωνο της τρίτης α πλευράς. Δηλαδή β γ µ α. Η γωνία ΑΜˆ Β είναι οξεία άρα ΑΒ = ΑΜ + ΜΒ ΜΒ Μ (1) Η γωνία ΑΜˆ Γ είναι αμβλεία άρα ΑΓ = ΑΜ + ΜΓ + ΜΓ Μ () Προσθέτουμε τις δύο σχέσεις κατά μέλη και επειδή ΜΒ=ΜΓ

ΒΓ ΒΓ ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ + ΜΒ = ΑΜ + ( ) = ΑΜ + Από το Πρώτο Θεώρημα Διαμέσων αν λύσουμε ως προς τη διάμεσο µ α προκύπτει ένας πολύ χρήσιμος τύπος ο οποίος μας υπολογίζει την διάμεσο του τριγώνου από τις πλευρές του. β + γ α Ο τύπος είναι: µ α = Παρόμοιοι τύποι προκύπτουν και για τις διαμέσους µ β και µ γ : α + γ β µ β =, α + β γ µ γ = ο Θεώρημα διαμέσων. Η απόλυτη διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της διαμέσου πάνω σε αυτή. Δηλαδή β γ = α Μ Η γωνία ΑΜˆ Β είναι οξεία άρα ΑΒ = ΑΜ + ΜΒ ΜΒ Μ (1) Η γωνία ΑΜˆ Γ είναι αμβλεία άρα ΑΓ = ΑΜ + ΜΓ + ΜΓ Μ () ΒΓ Αφαιρούμε τις δύο σχέσεις (1) και () κατά μέλη και επειδή ΜΒ = = ΜΓ ΑΓ ΑΒ = ΜΒ Μ = ΒΓ Μ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ Θεωρούμε έναν κύκλο (Ο, R) και ένα εξωτερικό ή εσωτερικό σημείο του Ρ. Από το Ρ φέρουμε δύο τυχαίες ευθείες που τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Α, Β και Γ, Δ αντίστοιχα. Αν δύο χορδές ΑΒ, ΓΔ ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Ρ, τότε ισχύει ΡΑ ΡΒ = ΡΓ ΡΔ. Τα τρίγωνα ΡΑΓ και ΡΒΔ είναι όμοια, αφού: ΡÂΓ = ΡΔ Β και ΡΓ Α = ΡB Δ. (Στο σχ.17α έχουμε ότι ΡÂΓ = ΡΔ Β γιατί το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και η ΡÂΓ είναι εξωτερική του γωνία. Στο σχ.17β έχουμε ότι ΡÂΓ = ΡΔ Β ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο). ΡΑ Ρ Επομένως, ισχύει ότι = ή ΡΑ ΡΒ = ΡΓ ΡΔ. ΡΓ ΡΒ Αν από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (O, R) φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ και μία ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α, Β, τότε ισχύει ότι ΡΕ = ΡΑ ΡΒ. 5

Φέρουμε την ευθεία ΡΟ η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία Γ και Δ. Θέτουμε ΟΡ = δ, οπότε από προηγούμενο θεώρημα έχουμε ότι: ΡΑ ΡΒ = ΡΓ ΡΔ = (δ R)(δ + R)= δ R. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΡΟΕ προκύπτει ότι PE = PO OE = δ R. Άρα ΡΕ = ΡΑ ΡΒ. ΟΡΙΣΜΟΣ Η διαφορά δ R λέγεται δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (O, R) και συμβολίζεται με: Δ Ρ (Ο, R) = δ R = ΟΡ R. Από τον ορισμό της δύναμης σημείου ως προς κύκλο καταλαβαίνουμε ότι ουσιαστικά εκφράζει τη σχετική θέση του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (O, R), καθώς εξαρτάται μόνο από το δ, δηλαδή την απόσταση του Ρ από το κέντρο του κύκλου. Επομένως, έχουμε ότι: o Το Ρ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου (O, R) Δ Ρ (Ο, R) > 0 o Το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου (O, R) Δ Ρ (Ο, R) < 0 o Το Ρ είναι σημείο του κύκλου (O, R) Δ Ρ (Ο, R) = 0 Λυμένες ασκήσεις Θέμα 1 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ο ) με ύψος ΑΔ και ΑΓ = 8, ΔΓ = 3. Να υπολογίσετε τα μήκη των παρακάτω τμημάτων: α) ΒΓ β) ΑΒ γ) ΑΔ 5 Λύση α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: ΑΓ = ΒΓ ΓΔ 8 = ΒΓ 3 ΒΓ = 10 5 β) Με εφαρμογή του πυθαγόρειου θεωρήματος στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: Άρα ΑΒ = 6 ΑΒ = ΒΓ ΑΓ = 10 8 = 36 γ) Στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΔ = ΔΒ ΔΓ και 6

Άρα ΔΒ = ΒΓ ΔΓ = 10 3 5 = 18 5 ΑΔ = 3 5 18 5 = 576 5 ΑΔ = 576 5 = 5 Θέμα Τα μήκη των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ είναι α = 8, β = 6 και γ = 5. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. β) Να υπολογίσετε τις προβολές της πλευράς ΑΒ στις πλευρές ΑΓ και ΒΓ. Λύση α) Για να βρούμε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του, θυμόμαστε ότι απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου, βρίσκεται και η μεγαλύτερη του γωνία. Οπότε υπολογίζουμε το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς και το συγκρίνουμε με το άρθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών: α = 6, β + γ = 61 Επομένως α > β + γ Α > 90 ο και άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο. β) Α ν ΑΔ η προβολή της ΑΒ πάνω στην ΑΓ, τότε από τη γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήματος για αμβλεία γωνία έχουμε: α = β + γ + β ΑΔ 6 = 61 + 6 ΑΔ ΑΔ = 1 Αν ΒΕ η προβολή της ΑΒ πάνω στη ΒΓ, τότε από τη γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήματος για οξεία γωνία έχουμε: 7

β = α + γ α ΒΕ 36 = 6 + 5 8 ΒΕ ΒΕ = 53 16 Θέμα 3 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α = 5, γ = 3 και διάμεσο µ β = 19 α) Να υπολογίσετε την πλευρά ΑΓ. β) Να υπολογιστεί η γωνία Β γ) Να βρείτε την προβολή της διαμέσου µ α πάνω στην πλευρά α. Λύση α) Εφαρμόζουμε το πρώτο θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ. Αρα ΑΓ = 7 α + γ = µ β + β β) Εφαρμόζουμε το νόμο των συνημιτόνων: 19 5 + 9 = + β β 19 = 3 β = 9 β = 7 β = α + γ αβ συνβ 7 = 5 + 3 5 3 συνβ 9 = 3 30 συνβ συνβ = 1 Αρα Β = 10 ο γ) Αν ΜΔ η προβολή της διαμέσου µ α πάνω στην πλευρά α, από το δεύτερο θεώρημα των διαμέσων έχουμε: β γ = α ΜΔ 7 3 = 5 ΜΔ 0 = 10 ΜΔ ΜΔ = Θέμα Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γ =, α = 3 εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ) και έστω ΒΔ ύψος του και ΒΜ η διάμεσος του. Έστω επίσης Ε το σημείο τομής της διαμέσου ΒΜ με τον κύκλο. Αν ΜΔ = 7, να βρεθούν: 8 α) η πλευρά ΑΓ β) το μήκος ΜΕ γ) η δύναμη του σημείου Μ ως προς τον κύκλο (Ο, ρ) Λύση α) Εφαρμόζουμε το δεύτερο θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ: γ α = ΑΓ ΜΔ ΑΓ = γ α ΜΔ ΑΓ = 3 7 ΑΓ = 8 8

β) Οι ΒΕ και ΑΓ είναι τέμνουσες του κύκλου και τέμνονται στο Μ. Αρα: ΑΜ ΜΓ ΒΜ ΜΕ = ΑΜ ΜΓ ΜΕ = ΒΜ = ΒΜ (1) Η ΒΜ όμως είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ και μπορεί να υπολογιστεί με εφαρμογή του πρώτου θεωρήματος των διαμέσων: µ β = α + γ β = + 3 = 3 µ β = 3 Οπότε η (1) δίνει: ΜΕ = 8 3 = 8 3 3 γ) Η δύναμη του σημείου Μ ως προς τον κύκλο (Ο, ρ) είναι ίση με: ΜΜ ΔΔ (ΟΟ,ρρ) = ΑΜ ΜΓ = ββ = 16 = Θέμα 5 Σε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ και διάμεσο ΑΜ = µ α ισχύει µ α = γ και β = γ. Να αποδείξετε 3 ότι: α) α = β β) Η πλευρά ΑΓ εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΜΒ στο σημείο Α. γ) Αν ΔΜ η προβολή της ΑΜ στη ΒΓ = α, τότε ΔΜ = α 9 Λύση α) Εφαρμόζουμε το πρώτο θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ: µ α = β + γ α γ = β + γ α γ = β + γ α γ = β + γ α α = β α = β β) Αρκεί να δείξουμε ότι ΑΓ = ΜΓ ΓΒ. Όμως η ΜΓ είναι ίση με το μισό της ΒΓ γιατί η ΑΜ είναι διάμεσος στο τρίγωνο ΑΒΓ. Οπότε έχουμε: 9

ΜΓ ΓΒ = α α = α = β = β = ΑΓ Αρα η ΑΓ εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΜΒ στο σημείο Α γ) Στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β > γ γιατί γ = β. Συνεπώς μπορούμε να υπολογίσουμε την ΔΜ από το 3 δεύτερο θεώρημα των διαμέσων: Άρα β γ = α ΔΜ β β 3 α ΔΜ = 9α = α ΔΜ 8β 9 = α 9α = α 9 = α ΔΜ ΔΜ = β 9α Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστές ή Λανθασμένες. 1. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο τότε ισχύει α > β + γ. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ο ) με ΑΔ το ύψος ισχύει ΑΒ ΒΔ =. Τότε ΑΓ ΔΓ 3. Αν ΑΒ η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ και ΑΒ > ΑΓ + ΒΓ, τότε αυτό είναι αμβλυγώνιο.. Για τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ με ύψος ΑΔ ισχύει ΑΒ = ΒΓ ΒΔ 5. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ ισχύουν ταυτόχρονα α < β + γ, β < α + γ, β < α + γ, τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. 6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, η ΑΜ είναι διάμεσος και το ΑΔ είναι ύψος. Ισχύει ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ + ΔΜ 7. Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι. Σημείο Ρ κινείται στον εξωτερικό κύκλο. Η δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον εσωτερικό κύκλο είναι σταθερή. 8. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β = α γ, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και Α = 90 ο 9. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, η ΑΜ είναι διάμεσος και το ΑΔ είναι ύψος. Ισχύει πάντα ΑΒ ΑΓ = ΒΓ ΔΜ 10. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΔ είναι η προβολή της πλευράς ΒΓ στην ΑΓ. Ισχύει α = β + γ + β ΑΔ 11. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β = α + γ αγ συνα 1. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β < α + γ, τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. 13. Δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ τέμνονται στο Κ. Αν ΑΚ =, ΒΚ = 9, ΚΔ = 6, ΚΓ = 3, τότε τα σημεία Α, Β, Γ, Δ 10

είναι ομοκυκλικά. 1. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β γ = α, τότε το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. 15. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α = 90 ο. Ισχύει β + γ = µ α 16. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ, ισχύει α = β + γ β ΑΔ, όπου ΑΔ η προβολή της γ πάνω στη β. Αν ισχύει οτι β < ΑΔ, τότε Α < 90 ο Ασκήσεις Θέμα 1 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 6, ΑΓ = 8. Φέρουμε το ύψος του ΑΔ και τη διάμεσο ΑΜ και ισχύει ότι ΔΜ =. α) Να αποδείξετε ότι ΒΓ = 7 β) Να βρείτε το μήκος του ύψους ΑΔ. Θέμα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90 ο δείξτε ότι ισχύει µ α + µ β + µ γ = 3 α Θέμα 3 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή και το ύψος του ΑΔ. Ενας κύκλος διέρχεται απο τα σημεία Δ, Γ και τέμνει την ΒΑ στο Ε και την προέκταση της στο Ζ έτσι ώστε ΒΕ = 6, ΒΖ = 8 και ΒΔ =. Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΒΓ και ΑΒ. Θέμα Έστω τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο στο Α και το ύψος του ΑΔ. Αν ΑΓ = 6 και ΑΒ = 8, υπολογίστε το ΑΔ. Θέμα 5 Θεωρούμε κύκλο (Ο, ρ) και δύο διαμέτρους του ΑΒ και ΓΔ. Εστω Μ είναι σημείο του κύκλου τέτοιο ώστε ΜΑ = 15, ΜΒ = 0 και ΜΓ =. Υπολογίστε το ΜΔ. Θέμα 6 Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΔ = α και ΑΒ = α. Από τις κορυφές Δ και Β φέρουμε τις κάθετες στην ΑΓ που την τέμνουν στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι ΑΕ = ΕΖ = ΖΓ. 11

Θέμα 7 Να βρεθεί και να υπολογιστεί η μεγαλύτερη γωνία ενός τριγώνου ΑΒΓ με β = α και γ = α 7. Θέμα 8 Σε οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) φέρουμε το ύψος ΓΔ. Να αποδείξετε ότι ΒΓ = ΑΒ ΒΔ Θέμα 9 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών α = 5, β = 7 και γ = 3. α) Να αποδείξετε ότι Β = 10 ο β) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς α πάνω στην ευθεία ΑΒ Θέμα 10 Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΒ = ΑΓ = 11 και ΒΓ = 10. Αν Δ εσωτερικό σημείο της βάσης ΒΓ με ΒΔ = 3, να αποδειχθεί ότι ΑΔ = 10 Θέμα 11 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α γ =, γ β = 7 7. α) Να υπολογίσετε τη διάμεσο ΑΜ β) Να βρείτε το είδος της γωνίας Β γ) Αν φέρουμε κάθετη ΑΕ στην πλευρά ΒΓ, δείξτε ότι ΒΕ δ) Δείξτε ότι Β = 10 ο ΑΒ = 1 Θέμα 1 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ για το οποίο έχουμε α = 7, β = 6 και η διάμεσος του µ γ = 89 α) Να αποδείξετε ότι γ = 9. β) Να υπολογίσετε την προβολή ΜΔ της διαμέσου ΓΜ πάνω στην πλευρά γ Θέμα 13 Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει µ β = β + α, να δειχτεί ότι αυτό είναι ισοσκελές. Το ίδιο αν ισχύει µ β + µ γ = β + 5γ. 1

Διαγώνισμα 1 στη Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο : Μετρικές σχέσεις Θέμα 1 ο Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσος µ β. Δείξτε ότι: Θέμα ο ΒΓ + ΒΑ = µ β + ΑΓ (Μονάδες 0) Αφού εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α = 5, β = και γ = 3 να βρείτε: α) Το είδος της γωνίας Α (Μονάδες 7) β) Το μήκος της διαμέσου ΑΜ (Μονάδες 7) γ) Το μήκος της προβολής ΔΜ της διαμέσου ΑΜ πάνω στη ΒΓ (Μονάδες 7) δ) Το μήκος του ύψους ΑΔ. (Μονάδες 7) Θέμα 3 ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών ΒΓ = α 3, ΑΓ = α και ΑΒ = α, όπου α > 0. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και να βρείτε ποια είναι η ορθή γωνία. (Μονάδες 13) β) µ γ = 3α, όπου µ γ η διάμεσος του ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην πλευρά ΑΒ. (Μονάδες 13) Θέμα ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Β = 90 ο ) με ύψος ΒΔ και ΑΒ =, ΑΔ = 16. Να υπολογίσετε τα μήκη των παρακάτω τμημάτων: α) ΑΓ (Μονάδες 8) β) ΒΓ (Μονάδες 8) γ) ΒΔ (Μονάδες 10) 5 Διαγώνισμα στη Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο : Μετρικές σχέσεις Θέμα 1 ο Εστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΒΓ > ΒΑ, η διάμεσος µ β και η προβολή ΔΜ της µ β πάνω στην ΑΓ. Δείξτε ότι: ΒΓ ΒΑ = ΑΓ ΔΜ (Μονάδες 0) 13

Θέμα ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΑΒ = 6, ΒΓ = 9 και Β = 60 ο. α) Να αποδείξετε ότι ΑΓ = 3 7 (Μονάδες 9) β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. (Μονάδες 10) γ) Να υπολογίσετε την προβολή της ΑΒ πάνω στη ΒΓ. (Μονάδες 9) Θέμα 3 ο Εστω τρίγωνο ΑΒΓ με Β = 10 ο ώστε να ισχύει β α = α γ =. α) Να βρείτε τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 15) β) Δείξτε ότι η διάμεσος ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ είναι ίση με 91. (Μονάδες 11) Θέμα ο Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), το εξωτερικό του σημείο Ρ, την τέμνουσα του ΡΑΒ και το εφαπτόμενο του τμήμα ΡΓ. α) Αν R = 3, ΟΡ = 0, ΡΑ = 16 υπολογίστε το ΑΒ (Μονάδες 8) β) Αν ΡΑ =, ΑΒ = 5 υπολογίστε το ΡΓ (Μονάδες 8) γ) Αν ΟΡ = 5, ΡΑ = 36, ΡΒ = 50 υπολογίστε την ακτίνα R (Μονάδες 10) 1