27-Ιαν-2009 ΗΜΥ (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό"

Ευστοργιος Βικελίδης
9 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΗΜΥ (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1

2 (i) Βασική στατιστική 2

3 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και άλλων αθέμιτων στοιχείων που μπορεί να προέρχονται από ατέλειες στα συστήματα ΨΕΣ. «Πραγματικά» σήματα, και σήματα που μετρούμε. Στατιστική εξηγεί τα σήματα που μετρούμε Πιθανότητα εξηγεί τη διαδικασία παραγωγής των σημάτων, δηλ. τα «πραγματικά» σήματα Η στατιστική μας δίνει εκτιμήσεις των πραγματικών τιμών του σήματος και όχι των δειγμάτων. Στατιστική διακύμανση / λάθος κάθε φορά που διεξάγουμε ένα πείραμα η στατιστική παρουσιάζει μικρές διακυμάνσεις, παρόλο που οι πιθανότητες της παραγωγής είναι οι ίδιες. 3

4 Γραφικές παραστάσεις Άξονας y εξαρτημένη μεταβλητή, π.χ. τάση, ένταση φωτός κλπ. Άξονας x ανεξάρτητη μεταβλητή / πεδίο, π.χ. χρόνος, συχνότητα. Γενικά για ψηφιακά σήματα είναι ο αριθμός δείγματος. Η μεταβλητή στον άξονα y είναι συνάρτηση της μεταβλητής στον άξονα x. Για μια συγκεκριμένη τιμή του άξονα x μπορούμε να βρούμε την τιμή στον y, αλλά συνήθως όχι το αντίθετο. N: αριθμός συνολικών δειγμάτων: Χ(ι), i=1,,ν ήi=0,,ν-1. 4

5 ΜέσοςόροςκαιΔιασπορά Σήμα με Ν δείγματα, Μέσος όρος: Τυπική απόκλιση, σ: όπου σ 2 : διασπορά. μ = 1 1 N x i i= 0 N X = [ x 1,..., x N ] N 1 1 ( μ) Μας δίνει την ισχύ που αντιπροσωπεύει η απόκλιση κάθε σημείου από το μέσο όρο. Τιμή Μέσης Τετραγωνικής Ρίζας (RMS) αν ένα σήμα δεν έχει DC component, τότε RMS=τυπική απόκλιση. Matlab: mean, var, std 2 σ = N 1 i= 0 x i 2 5

6 Running statistics: μ και σ υπολογίζονται συνεχώς με την έλευση νέων δειγμάτων. Γι αυτό χρειάζονται 3 μεταβλητές: (1) πόσα δείγματα έχουμε μέχρι τώρα, (2) το άθροισμα των δειγμάτων, και (3) το άθροισμα των τετραγώνων των δειγμάτων. Άρα μ=(2)/(1) και σ=1/((1)-1) * [(3)-(2)^2/(1)]: σ N 1 N = xi x N 1 i= 0 N i= Χρησιμοποιείται, π.χ. σε υπολογιστικές μηχανές. Signal-to-Noise Ratio (SNR): μ / σ Coefficient of variation (CV): (σ / μ) * 100%. i 2 6

7 Στατιστικό λάθος του μέσου όρου: σ/sqrt(n). Για τον υπολογισμό του σ χρησιμοποιούμε τον υπολογισμένο και όχι τον «πραγματικό» μέσο όρο, ο οποίος περιέχει στατιστικό λάθος που τείνει να μικραίνει την υπολογισμένη τιμή σ. Γι αυτό αντί Ν χρησιμοποιούμε (Ν-1) για τον υπολογισμό του σ όταν το Ν είναι μεγάλο δεν έχει σημασία, αλλά όταν είναι μικρό τότε παίρνουμε τιμή του σ πιο κοντά στην πραγματική και μιλούμε για εκτίμηση του πραγματικού σ. Αν χρησιμοποιούσαμε Ν τότε θα είχαμε σ των δειγμάτων. Σήματατωνοποίωνμ& σ δεν έχουν σταθερή τιμή με το χρόνο non-stationary, σήματα με διακυμάνσεις. Σε έτσι περίπτωση παράθυρα. Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 7

8 Ιστόγραμμα Ιστόγραμμα: αριθμός των δειγμάτων που παίρνουν μια συγκεκριμένη τιμή. Για διακριτά σήματα. Hi, i=0,,μ-1, Μ: αριθμός των bins. Άθροισμα όλων των τιμών ιστογράμματος = Ν. 1 Στατιστικός θόρυβος M Χρήσιμο για υπολογισμό μ & σ, κυρίως για μεγάλο Ν: μ = M 1 M ih i, σ = N i= 0 N 1 i= 0 ( i μ) 2 H i 1 M 1 ( y 10) 2 / 8 Y = e 2 2π Matlab: hist 8

9 PMF & PDF (συνάρτηση κατανομής πιθανότητας) Probability mass function (pmf): το αντίστοιχο του ιστογράμματος για το «πραγματικό» σήμα. - Διαφορά με ιστόγραμμα: το παίρνουμε αν είχαμε άπειρο αριθμό δειγμάτων, ενώ ιστόγραμμα είναι για πεπερασμένο αριθμό δειγμάτων. - Ιστόγραμμα & pmf: για διακριτά σήματα. - Προσέγγιση pmf μέσω ιστογράμματος: διαιρούμε κάθε τιμή του ιστογράμματος με το Ν, έτσι έχουμε τιμές μεταξύ 0-1. Το άθροισμα όλων των τιμών είναι 1. - Το pmf μας δίνει την πιθανότητα να έχουμε μία συγκεκριμένη τιμή. Probability density function (pdf): ίδια ιδέα για σήματα συνεχούς χρόνου. - Εμβαδόν της καμπύλης pdf = 1. 9

10 Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 10

11 Δημιουργία ψηφιακού θορύβου Κατανομή Gauss (καμπάνα): όπου μ: κέντρο, σ: πλάτος καμπύλης. P( x) 1 = e σ 2π 2 2 ( x μ ) / 2σ Ποσότητα τυχαίου θορύβου είναι σημαντική γιατί π.χ. περιορίζει πόσο μικρά σήματα μπορούν να μετρηθούν, κλπ. «Καρδιά» παραγωγής ψηφιακού θορύβου: γεννήτρια τυχαίων αριθμών. Παραγωγή γκαουσιανού ψηφιακού θορύβου (γψθ): βασίζεται στο Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (το οποίο δικαιολογεί γιατί τα Gaussian σήματα είναι τόσο διαδεδομένα στη φύση). 1 ος τρόπος - Για κάθε δεδομένο γψθ, Χ i : (1) Υ i =τ.μ. 1 +τ.μ τ.μ. 12 (2) Υ i =Υ i -6 (έτσι ώστε μ Υ =0) (3) γψθ, Χ i =συ i +μ 2 ος τρόπος - Για κάθε δεδομένο γψθ, Χ i : (1) Υ i =(-2log(τ.μ. 1 ))^0.5 cos(2π τ.μ. 2 ). (2) γψθ, Χ i =συ i +μ. Matlab: rand, randn ΚΟΘ: το άθροισμα τυχαίων μεταβλητών (τ.μ.) είναι πιο γκαουσιανό από τις ίδιες τις μεταβλητές 11

12 Precision (προσέγγιση) & Accuracy (ακρίβεια) Τρόποι περιγραφής λάθους μεταξύ «πραγματικής» και μετρημένης τιμής Ακρίβεια: μετατόπιση από τον «πραγματικό» μέσο όρο Προσέγγιση: πλάτος της συνάρτησης κατανομής πλάτους δείχνει πώς οι ίδιες μετρήσεις διαφέρουν η μια από την άλλη. Δηλ. σήsnr ή CV. Μετρήσεις με καλή ακρίβεια αλλά κακή προσέγγιση συνάρτηση κατανομής πλάτους είναι κεντραρισμένη στον πραγματικό μέσο όρο αλλά έχει μεγάλο πλάτος. Όχι καλή επαναληψιμότητα λόγω τυχαίων λαθών (λάθη που αλλάζουν κάθε φορά επανάληψης της μέτρησης). Χρησιμοποίηση μέσης τιμής βελτιώνει την προσέγγιση. Μετρήσεις με καλή προσέγγιση αλλά μικρή ακρίβεια μετρήσεις έχουν κοντινές τιμές αλλά έχουν μεγάλο λάθος λόγω συστηματικού σφάλματος (επαναλαμβάνεται ακριβώς το ίδιο κάθε φορά που γίνεται η μέτρηση). Συνήθως οφείλεται στη βαθμονόμηση (calibration) του συστήματος. Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 12

Σχετικά έγγραφα

17-Φεβ-2009 ΗΜΥ Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση

17-Φεβ-2009 ΗΜΥ Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση ΗΜΥ 429 7. Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση 1 Μαθηματικές ιδιότητες Αντιμεταθετική: a [ * b[ = b[ * a[ παρόλο που μαθηματικά ισχύει, δεν έχει φυσικό νόημα. Προσεταιριστική: ( a [ * b[ )* c[ = a[ *( b[ * c[