ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ TE Αρχές Ψηφιακών Συστημάτων Επικοινωνίας και Προσομοίωση Εαρινό Εξάμηνο Διάλεξη 3 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: nsagias@uop.gr

2 Οι τυχαίοι αριθμοί παίζουν πολύ σημαντικό ρόλο στην προσομοίωση Παράγοντας τυχαίους αριθμούς, μιμούμαστε τη στατιστικά τυχαία συμπεριφορά του φαινομένου που μελετάμε Οι τυχαίοι αριθμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε Γεννήτριες bit Γεννήτριες AWGN θορύβου Γεννήτριες διαλείψεων 2

3 Οι τυχαίοι αριθμοί, λόγω του ότι παράγονται βάσει κάποιου αλγορίθμου, δεν είναι εντελώς τυχαίοι και γι αυτό ονομάζονται ψευδοτυχαίοι Οι τυχαίοι αριθμοί ακολουθούν κάποια γνωστή κατανομή, όπως Ομοιόμορφη Κανονική Για την δημιουργία τυχαίων αριθμών σε ΗΥ χρησιμοποιούνται γεννήτριες συναρτήσεις 3

4 Έστω η τυχαία μεταβλητή Χ με ομοιόμορφη κατανομή U[,] Τα δείγματα της Χ θα είναι δεκαδικοί αριθμοί, οι οποίοι θα παίρνουν τιμές μεταξύ και με ίδια πιθανότητα, π.χ..945,.24,.333 Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι X ( ) =, f x x Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής είναι ( ) =, F x x x X Η μέση τιμή και η διακύμανση είναι μ Χ =.5 και var(x) = /2 f X (x) F X (x) x x 4

5 Έστω η τυχαία μεταβλητή Χ με ομοιόμορφη κατανομή U[,] Έστω η τυχαία μεταβλητή Y με ομοιόμορφη κατανομή U[a,b] Χρησιμοποιώντας τη X μπορούμε να παράξουμε τυχαίους αριθμούς που να ακολουθούν την U[a,b] σύμφωνα με το μετασχηματισμό Y = (b a) X + a Δηλαδή, πολλαπλασιάζουμε τα δείγματα της X με (b a) και προσθέτουμε a Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και η αθροιστική συνάρτηση κατανομής είναι y a fy ( y) =, a y b και FY ( y) =, a y b b a b a Η μέση τιμή και η διακύμανση είναι μ Y = (b a)/2 και var(y) = (b a) 2 /2 5

6 Με βάση την U[,], μπορούμε εύκολα να υλοποιήσουμε μια γεννήτρια bit Δεδομένου ότι F X (x) = x, προκύπτει ότι Pr{X<=.5} = F X (.5) =.5 ή 5% Προφανώς ισχύει ότι Pr{X >.5} = - Pr{X<=.5} =.5 ή 5% Ο κώδικας της γεννήτριας bit είναι: 2bit.m Διαιρώντας το [,] σε 4 διαστήματα, μπορούμε να αντιστοιχίσουμε 2 bit σε κάθε διάστημα N = ; A = rand(, N); B = zeros(, N); for k = :N if A(k) <=.5 B(k) = ; else B(k) = ; end end disp('οι τιμές που περιέχει ο A είναι: '); A disp('τα bit που παράχθηκαν είναι: '); B 6

7 Έστω η τυχαία μεταβλητή Χ με ομοιόμορφη κατανομή U[,] Έστω η τυχαία μεταβλητή Y στο διάστημα [a,b] της οποίας η αθροιστική συνάρτηση κατανομής είναι η F Y Χρησιμοποιώντας τη X μπορούμε να παράξουμε τυχαίους αριθμούς Y που να ακολουθούν την F Y σύμφωνα με το μετασχηματισμό Y = F Y - (X) Άρα, αρκεί να μπορούμε να προσδιορίσουμε την F Y - προκειμένου να παράξουμε τυχαίους αριθμούς της κατανομής αυτής 7

8 Παράδειγμα αρνητικής εκθετικής κατανομής Έστω η τυχαία μεταβλητή Χ με ομοιόμορφη κατανομή U[,] Έστω η τυχαία μεταβλητή Y στο διάστημα [,+ ], της οποίας η αθροιστική συνάρτηση κατανομής είναι η ( ) ( λ ) F y = exp y, y Y με παράμετρο λ > Χρησιμοποιώντας τη X μπορούμε να παράξουμε τυχαίους αριθμούς Y που να ακολουθούν την F Y σύμφωνα με το μετασχηματισμό Y = ln λ ( X ) 8

9 Παράδειγμα αρνητικής εκθετικής κατανομής.9 Εμπειρική Θεωρητική Αθροιστική Συνάρτηση Κατανομής Εμπειρική Θεωρητική Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας F Y (x).5 f Y (x) x Κώδικας MATLAB Nexp.m N = ; % Πλήθος τυχαίων αριθμών lamda = ; % Παράμετρος της κατανομής x X = rand(,n); Y = -log( - X) / lamda; % Το διάνυσμα Χ περιέχει N τυχαίους αριθμούς U[,] % Το διάνυσμα Y περιέχει N τυχαίους αριθμούς που % ακολουθούν την αρνητική εκθετική κατανομή 9

10 Έστω η τυχαία μεταβλητή Χ με κανονική κατανομή μηδενικής μέσης τιμής και μοναδιαίας διακύμανσης N(, ) Η τυχαία μεταβλητή Χ με κανονική κατανομή N(μ Χ, σ 2 Χ) έχει αθροιστική συνάρτηση κατανομής Y y FY ( y) Q µ = σy με Q τη συνάρτηση πιθανότητας Η δε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Y είναι ( µ ) 2 Y y fy ( y) = exp 2 2 2πσ 2σY Y Χρησιμοποιώντας τη X μπορούμε να παράξουμε τυχαίους αριθμούς Y που να ακολουθούν την F Y σύμφωνα με το μετασχηματισμό Y = σ Y X + μ X

11 Παράδειγμα μετασχηματισμού κατανομής κατανομής.5 Εμπειρική Θεωρητική Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας.9.8 Εμπειρική Θεωρητική Αθροιστική Συνάρτηση Κατανομής f Y (x).3 F Y (x) x Κώδικας MATLAB Gaussian.m N = ; % Πλήθος τυχαίων αριθμών m = -2; % Η μέση τιμή της κατανομής s = sqrt(.5); % Η τυπική απόκλιση της κατανομής x X = randn(,n); Y = s * X + m ; % Το διάνυσμα Χ περιέχει N τυχαίους αριθμούς N(,) % Το διάνυσμα Y περιέχει N τυχαίους αριθμούς N(m,s^2)

12 Παράδειγμα γεννήτριας λευκού Γκαουσσιανού θορύβου Έστω ένα διάνυσμα X με M δείγματα, κατανεμημένα σύμφωνα με την N(, ), τα οποία αναπαριστούν χρονικά το θόρυβο από έως T Έστω ότι το κάθε δείγμα αντιστοιχεί σε διάρκεια Δt, δηλαδή T = M Δt Ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι F s = /Δt και άρα οι συχνότητες που μπορούμε να δούμε είναι έως ±F s /2 Δt 2Δt 3Δt (M-3)Δt (M-2)Δt (M-)Δt t X f f 2 /(M Δt) 2 3 FFT 4 (M/2-)/(M Δt) M/2 -/(2 Δt) M/2+ IFFT M-2 M- -2/(M Δt) M- M -/(M Δt) M -/(2 Δt) -(M/2-)/(M Δt) -/(M Δt) (M/2-2)/(M Δt) (M/2-)/(M Δt) 2 M/2 M/2+ M- M 2

13 Παράδειγμα γεννήτριας λευκού Γκαουσσιανού θορύβου Η φασματική πυκνότητα του λευκού θορύβου είναι N S ( ) n f =, < f < + 2 Άρα η ισχύς των δειγμάτων του θορύβου πρέπει να είναι σ 2 = F s N /2 Χρησιμοποιώντας τη X μπορούμε να παράξουμε δείγματα θορύβουy ~ N(, σ 2 ), σύμφωνα με το μετασχηματισμό Y= X FN Για N = 2 - W/Hz και F s = 5 MHz WGN.m S n (f) N / 2 2 s Εμβαδό σ 2 = F s N /2 Πλάτος (mv) Λευκός Γκαουσσιανός Θόρυβος -F s /2 F s /2 f Χρόνος (µsec) 3