27-Ιαν-2009 ΗΜΥ (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

Transcript

1 ΗΜΥ (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1

2 (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 2

3 Βασικά μέρη συστήματος ΨΕΣ Φίλτρο αντι-αναδίπλωσης ΔκΣ ΜΑΨ Ψηφιακός επεξεργαστής ΜΨΑ Φίλτρο ανακατασκευής 3

4 Βασικά μέρη συστήματος ΨΕΣ Φίλτρο αντι-αναδίπλωσης ΔκΣ ΜΑΨ Ψηφιακός επεξεργαστής ΜΨΑ Φίλτρο ανακατασκευής (1) Φίλτρο αντιαναδίπλωσης: το φίλτρο που χρησιμοποιείται για αποφυγή του φαινομένου της αντιαναδίπλωσης. Εφαρμόζεται στον αναλογικό κόσμο. (2) ΔκΣ: δειγματοληψία και συγκράτηση (sample-and-hold). Κρατά την τιμή του αναλογικού σήματος σταθερή για να μπορέσουμε να κάνουμε δειγματοληψία αφού αυτό δεν είναι δυνατόν να πραγματοποιηθεί στιγμιαία. Η έξοδος του μπορεί να αλλάζει μόνο σε περιοδικά διαστήματα, κατά τα οποία η τιμή της είναι ίδια με τη στιγμιαία τιμή της εισόδου. Η δειγματοληψία μετατρέπει την ανεξάρτητη μεταβλητή από συνεχές σε διακριτό χρόνο. Νέοι ΜΑΨ περιέχουν κυκλώματα για ΔκΣ. 4

5 Φίλτρο αντι-αναδίπλωσης ΔκΣ ΜΑΨ Ψηφιακός επεξεργαστής ΜΨΑ Φίλτρο ανακατασκευής (3) ΜΑΨ (ADC): Μετατροπέας Αναλογικού-σε-Ψηφιακό (Analog-to- Digital Converter). Δειγματοληπτεί το σήμα σε διακριτές χρονικές στιγμές και μετατρέπει το πλάτος του στην πλησιέστερη τιμή την οποία επιτρέπει η πεπερασμένη ακρίβεια του ψηφιακού συστήματος επεξεργασίας. Αυτή η προσέγγιση εισάγει ένα σφάλμα, το οποίο μικραίνει με την αύξηση των διαθέσιμων bits. (4) Ψηφιακός Επεξεργαστής (Digital processor): η «καρδία» του σηστήματος. Μπορεί να είναι μικροϋπολογιστής γενικής χρήσης, π.χ. Motorola MC68000, ένα ψηφιακό μικροκύκλωμα (chip) επεξεργασίας σημάτων, π.χ. Texas Instruments TMS320C50, ή άλλα hardware. 5

6 Φίλτρο αντι-αναδίπλωσης ΔκΣ ΜΑΨ Ψηφιακός επεξεργαστής ΜΨΑ Φίλτρο ανακατασκευής (5) ΜΨΑ (DAC): Μετατροπέας Ψηφιακού-σε-Αναλογικό (Digital-to-Analog Converter). Διαδεδομένη ανακατασκευή είναι κλιμακωτή. (6) Φίλτρο ανακατασκευής: η έξοδοςτουμψαείναισυνήθως κλιμακωτό σήμα, άρα χρειάζεται εξομάλυνση. Επίσης το φίλτρο απομακρύνει συχνότητες > fs/2. Εφαρμόζεται στον αναλογικό κόσμο. 6

7 Βήματα ΜΑΨ 1. Δειγματοληψία (Sampling): Μετατροπή της ανεξάρτητης μεταβλητής από συνεχές σε διακριτό χρόνο. Ομοιόμορφη ή περιοδική δειγματοληψία: x( n) = xa ( nt ) = xa ( t), < n < όπου x(n): σήμα διακριτού χρόνου παίρνοντας δείγματα από το αναλογικό σήμα, x α (nt), κάθε Τ δευτερόλεπτα (T: περίοδος δειγματοληψίας). Fs=1/T: συχνότητα δειγματοληψίας (δείγματα/δευτερόλεπτο ή Hz) Παλμική σειρά: θεωρητικό συνεχές σήμα που αποτελείται από μία σειρά παλμών στα σημεία δειγματοληψίας. Δειγματοληψία επιτυγχάνεται πολλαπλασιάζοντας το σήμα με την παλμική σειρά. 7

8 2. Κβαντοποίηση (Quantisation): μετατροπή του σήματος διακριτού-χρόνου (ΔΧ) συνεχόμενης-τιμής σε σήμα ΔΧ διακριτής-τιμής, όπου κάθε διακριτή τιμή αντιπροσωπεύεται με μία τιμή από πεπερασμένο σύνολο. (Μη-κβαντοποιημένο σήμα) (Κβαντοποιημένο σήμα) = Λάθος Κβαντοποίησης Δηλ. η κβαντοποίηση δεν είναι τίποτε άλλο από προσθήκη συγκεκριμένου ποσού τυχαίου θορύβου στο σήμα! Ο θόρυβος αυτός κυμαίνεται μεταξύ Δ Δ e q ( n) 2 2 όπου Δ: ευκρίνεια κβαντοποίησης (least significant bit), η απόστασημεταξύδύο συνεχόμενων επιπέδων κβαντοποίησης. Αν x min και x max είναι η μέγιστη και ελάχιστη τιμή του δειγματοληπτημένου σήματος, x(n), αντίστοιχα και Λ ο αριθμός επιπέδων δειγματοληψίας (π.χ. 8 bits 256 επίπεδα): xmax xmin Δ = L 1 8

9 Αναδίπλωση: το φαινόμενο αλλαγής της συχνότητας κατά τη δειγματοληψία. Συμβαίνει στις συχνότητες του σήματος που είναι μεγαλύτερες από τη συχνότητα Nyquist. Η αναδίπλωση αλλάζει τη συχνότητα σε μια που μπορεί να αντιπροσωπευτεί στα δείγματα. Μεγαλύτερη διαφορά μεταξύ σημάτων συνεχούς χρόνου και διακριτού: οι συχνότητες των αναλογικών σημάτων παίρνουν τιμές από [0, ), ενώ των ψηφιακών περιορίζονται στο [0 0.5]. Γιατί? Στα ψηφιακά σήματα η περίοδος παίρνει ακέραιες τιμές (διακριτά δείγματα και όχι χρόνος), άρα η μικρότερη τιμή περιόδου η οποία μπορεί να επιτρέψει εναλλαγή από θετική σε αρνητική συχνότητα είναι Ν=2 η περίοδος των ψηφιακών σημάτων κυμαίνεται μεταξύ 2 Ν. Επειδή η συχνότητα είναι λ=1/ν: 0 λ 0.5 (λ είναι κανονικοποιημένη συχνότητα, δεν έχει μονάδες). Αντίστοιχες κυκλικές συχνότητες: 0 Ω< - συνεχή χρόνο 0 ω π - ψηφιακό (ω=2πλ). 9

10 Εάν επιτρέψουμε αρνητικές συχνότητες: -0.5 λ 0.5 και -π ω π. Άρα συχνοτικό διάστημα των σημάτων διακριτού χρόνου: [ ] (αντίστοιχα για κυκλικές συχνότητες [-π π]). Αναλογικά σήματα - συχνοτικό διάστημα είναι ολόκληρη η πραγματική γραμμή. Όταν το ψηφιακό σήμα προέρχεται από δειγματοληψία αναλογικού σήματος είναι δυνατόν να μετρούμε τις ψηφιακές συχνότητες σε Hz, κάνοντας αναφορά στη χρονική κλίμακα του αναλογικού σήματος. Σε έτσι περίπτωση: 1 f = λ f s = λ T όπου f: συχνότητα ψηφιακού σήματος σε Hz σε σχέση με το αναλογικό, και f s : συχνότητα δειγματοληψίας. Άρα, όλες οι συχνότητες του δειγματοληπτημένου σήματος βρίσκονται στο s διάστημα, f s f s 2 2 δηλ. οι συχνότητες ενός δειγματοληπτημένου σήματος δεν μπορούν να υπερβούν το μισό της συχνότητας δειγματοληψίας. 10

11 Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 11

12 2 ημιτονοειδείς συναρτήσεις: Χ=ημ(2π/8) (δηλ. f x =1/8 Ηz) Υ=ημ(-2π7/8) (δηλ. f y =-7/8 Ηz) Δειγματοληψία με f s =1Hz 12

13 Άλλο παράδειγμα αναδίπλωσης: Θεωρώ 2 συναρτήσεις: x 1 (t)=cos(2π10t) x 2 (t)=cos(2π50t) Δειγματοληψία με f s =50Hz: x 1 (n)=cos(2π10/40n)=cos(nπ/2) x 2 (n)=cos(2π50/40t)=cos(n5π/2) Αλλά 5π/2=π/2, άρα x 1 (n)=x 2 (n). Συνεπώς, x 1 (n) και x 2 (n) είναι όμοια και δεν ξεχωρίζουν. Άρα, η συχνότητα 50Hz αναδιπλώνεται στη συχνότητα 10Hz όταν δειγματοληπτούμε με συχνότητα 40Hz. Όλες οι συχνότητες (10+40k) Hz, k=1,2, αναδιπλώνονται στα 10Ηz, με αποτέλεσμα άπειρος αριθμός ημιτονοειδών συναρτήσεων συνεχούςχρόνου να αντιπροσωπεύονται με δειγματοληψία του ίδιου σήματος διακριτού-χρόνου. 13

14 Θεώρημα Shannon: ένα σήμα x α (t) συνεχούς χρόνου, το οποίο δεν περιέχει συχνότητες μεγαλύτερες της f m, μπορεί να ανακατασκευαστεί ακριβώς από τα δείγματα x n =x α (nt s ), εάν η συχνότητα δειγματοληψίας ικανοποιεί f s 2f m. Ητιμήf s =2f m : όριο Nyquist, η μικρότερη δυνατή συχνότητα δειγματοληψίας που επιτρέπει την ακριβή ανακατασκευή ενός αναλογικού σήματος πεπερασμένου εύρους ζώνης από τα δείγματα του. Η χρησιμοποίηση μεγαλύτερης f s δεν προσφέρει κανένα όφελος. Θεώρημα δειγματοληψίας αναφέρεται σε 2 βασικά αποτελέσματα: (1) είναι δυνατόν να αποφύγουμε αναδίπλωση συχνότητας με κατάλληλη δειγματοληψία (2) είναι δυνατόν να ανακατασκευάσουμε ακριβώς το αρχικό αναλογικό σήμα από τα δείγματα του. 14

15 Αποφυγή του φαινομένου της αναδίπλωσης (aliasing): για δειγματοληψία με συχνότητα f s, μπορούμε να φιλτράρουμε από το αναλογικό σήμα όλες τις συχνότητες που είναι μεγαλύτερες από f s /2 ώστε μετά τη δειγματοληψία να μην υποστεί αλλοίωση το συχνοτικό διάστημα [0 f s /2]. Ειδικές περιπτώσεις όπου είναι χρήσιμο η f s μικρότερη του ορίου Nyquist π.χ. σήμα με εύρος [0 f m ]. Αν ξέρουμε ότι η πληροφορία είναι στο διάστημα [0 f m ], f m < f m και θόρυβος στο διάστημα [f m f m ] τότε f m + f m f s <2f m. Θα υπάρξει αναδίπλωση αλλά αλλοίωση θα υποστούν μόνο οι συχνότητες του θορύβου. 15

16 Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 16

17 Εξομάλυνση (dithering): όταν το αναλογικό σήμα μένει στην ίδια τιμή για αρκετά συνεχόμενα δείγματα, η έξοδοςμένει «κολλημένη» στον ίδιο ψηφιακό αριθμό. Η εξομάλυνση είναι η πρόσθεση μικρού τυχαίου θορύβου στο αναλογικό σήμα. Αυτό αναγκάζει το σήμα να αυξομειώνεται τυχαία μεταξύ συνεχόμενων επιπέδων. Ο μέσος όρος ψηφιακών τιμών έτσι είναι πιο κοντινός στην πραγματική τιμή του αναλογικού σήματος. Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 17

18 3. Κωδικοποίηση (Coding): οι διακριτές τιμές πλάτους κωδικοποιούνται σε ξεχωριστές ψηφιακές «λέξεις», η κάθε μια με μήκος b bits. Δηλ. σε κάθε επίπεδο κβαντοποίησης ανατίθεται ένας ξεχωριστός ψηφιακός αριθμός. Κωδικοποίηση για Λ επίπεδα κβαντοποίησης: b log2l Γενικά, όσο μεγαλύτερη είναι η συχνότητα δειγματοληψίας και ο αριθμός επιπέδων στην κβαντοποίηση, τόσο πιο ακριβό είναι το σύστημα. Η ποιότητα της εξόδου του ΜΑΨ μετριέται από το λόγο σήματος-προςθόρυβο κβαντοποίησης (signal-to-quantisation noise ratio, SQRN) Σε db, SQRN(dB)= b, όπου b:bits π.χ. 16-bit ευκρίνεια δίνει SQRN > 96dB. Σχήμα 3-1 από Scientist s and engineer s guide to DSP. 18

19 Ψηφιακά σήματα διαφέρουν από τα αναλογικά γιατί: 1. Είναι δειγματοληπτημένα 2. Είναι κβαντοποιημένα Αυτά τα δύο περιορίζουν πόσες πληροφορίες μπορεί να περιέχει ένα ψηφιακό σήμα. Πρώτο, ο αριθμός των bits/sample περιορίζει την ευκρίνεια της εξαρτώμενης μεταβλητής, δηλ. μικρές αλλαγές στο πλάτος του σήματος μπορεί να χαθούν στη κβαντοποίηση. Δεύτερο, η συχνότητα δειγματοληψίας περιορίζει την ευκρίνεια της εξαρτώμενης μεταβλητής, δηλ. δεδομένα που είναι πολύ κοντά μπορεί να χαθούν μεταξύ των δειγμάτων (ακόμα ένας τρόπος να πούμε ότι συχνότητες >f s /2 χάνονται). Τα αναλογικά σήματα έχουν αντίστοιχα προβλήματα: ο θόρυβος περιορίζει τις μετρήσεις του πλάτους, και το εύρος ζώνης συχνοτήτων περιορίζει τη δυνατότητα διαχωρισμού πολύ κοντινών δεδομένων. 19

20 ΜΨΑ Ο απλούστερος τρόπος ΜΨΑ είναι: μετατροπή των δειγμάτων σε παλμική σειρά και εφαρμογή χαμηλοπερατού φίλτρου με κοπή f s /2. Σε ψηλότερες συχνότητες η παλμική σειρά περιέχει διπλότυπες πληροφορίες, ενώ το αρχικό αναλογικό σήμα δεν περιείχε πληροφορίες (υποθέτοντας ότι η δειγματοληψία έγινε σωστά χωρίς αναδίπλωση) Το σήμα που ανακατασκευάζεται από τον ΜΨΑ είναι κλιμακωτό. Συνήθως ΜΨΑ εκτελεί ανακατασκευή με zeroth-order hold, δηλ. κρατά το παρόν δείγμα μέχρι το επόμενο δείγμα (ψηφιακό ισότιμο της ΔκΣ). Στο πεδίο συχνοτήτων: ισοδύναμο με πολλαπλασιασμό του φάσματος με τη συνάρτηση sinc(x) (ο μετασχηματισμόςfourier του ορθογώνιου παλμού). Άρα γίνεται συνέλιξη της παλμικής σειράς με ορθογώνιο παλμό πλάτους ίσου με την περίοδο δειγματοληψίας. Φίλτρο ανακατασκεύης - κάνει τα εξής: 1. Αφαιρεί όλες τις συχνότητες μεγαλύτερες του f s /2 2. Ενισχύει τις συχνότητες με 1/sinc(x) για αντιστάθμιση της επίδρασης του zeroth-order hold. Η επίδραση του 1/sinc(x) μπορεί να αντιμετωπιστεί: (1) αγνοώντας την δέχοντας τις συνέπειες (2) σχεδιάζοντας ένα αναλογικό φίλτρο που περιλαμβάνει τη συνάρτηση 1/sinc(x) (3) χρησιμοποιώντας πολυρυθμική επεξεργασία (4) διορθώνοντας αλγοριθμικά πριν τον ΜΨΑ 20

21 Επόμενη διάλεξη: 4. Σήματα και συστήματα 21