03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

Transcript

1 6_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Παράμετροι θέσης όταν θέλουμε να εκφράσουμε μια μεταβλητή με έναν αριθμό π.χ. - αριθμητικός μέσος (μέση τιμή, μέσος όρος)

2 Παράμετροι διασποράς όταν θέλουμε να εκφράσουμε τη συμπεριφορά μιας μεταβλητής με έναν αριθμό δηλ. - πώς κατανέμεται, - πού υπάρχει μεγαλύτερη συγκέντρωση τιμών, - αν διαχέεται ομοιόμορφα - πόσο απλωμένες γύρω από τη μέση τιμή είναι οι τιμές της μεταβλητής π.χ. - διακύμανση - τυπική απόκλιση - συντελεστής μεταβλητότητας - εύρος μεταβολής 3 Παράμετροι θέσης Αριθμητικός μέσος. για μεμονωμένες τιμές (μιας μεταβλητής) όχι ομαδοποιημένες τιμές ούτε κατανομή συχνοτήτων... 3 Χ, Χ, Χ3,..., ΧΝ= μεμονωμένες τιμές Ν= αριθμός μεμονωμένων τιμών 4

3 π.χ. τιμές μεταβλητής 6,9,0,4, 6, Παράμετροι θέσης Αριθμητικός μέσος. για διακριτές μεταβλητές (κατανομή συχνοτήτων) η κάθε τιμή της διακριτής μεταβλητής εμφανίζεται πολλές φορές τιμές μεταβλητής συχνότητα εμφάνισης Χ Χ Χ Ν x 6 3

4 π.χ. α/α τιμή διακριτής μεταβλητής (x ) συχνότητα εμφάνισης ( ) =6 0 x 340 x x x Παράμετροι θέσης Αριθμητικός μέσος 3. για συνεχείς μεταβλητές τα δεδομένα εμφανίζονται με τη μορφή κατανομής συχνότητας κατά κλάσεις κλάσεις συχνότητα εμφάνισης α 0 -α α -α α -α x α - -α = εύρος κλάσης a a = κεντρική τιμή της κλάσης α - -α = συχνότητα εμφάνισης της κλάσης = αριθμός κλάσεων 4

5 π.χ α/α κλάσεις συχνότητες = κεντρική τιμή κλάσης (4+0)/= (+4)/= (34+)/= (40+34)/= (46+40)/= = x x Παράμετροι διασποράς Διακύμανση Τυπική απόκλιση πώς κατανέμεται μια μεταβλητή γύρω από το μέσο όρο 0 5

6 απόκλιση της κάθε τιμής από το μέσο όρο; α/α Χ ι Χ ι -Χ 9 9-6= 3-6= 3-6= = = = = - -6= -4 Ν= 4 ( ) Επειδή πάντα ( ) 0 γι αυτό υψώνουμε τις αποκλίσεις στο τετράγωνο και μετά αθροίζουμε Διακύμανση= μέσος όρος των τετραγώνων των αποκλίσεων της κάθε τιμής (Χι) από το μέσο όρο (Χ) 6

7 Παράμετροι διασποράς Διακύμανση. για μεμονωμένες τιμές (μιας μεταβλητής) όχι ομαδοποιημένες τιμές ούτε κατανομή συχνοτήτων Διακύμανση= ( ) 3 ( ) 4 6 α/α ( ) ( ) 9 9-6= 3 (3) =9-6= () =4 3-6= () = = () = = - (-) = = - (-) = = - (-) =4-6= -4 (-4) =6 Ν= 4 ( ) 0 ( ) 40 Διακύμανση= ( )

8 τυπική απόκλιση= τετραγωνική ρίζα διακύμανσης ( ) ίδιες μονάδες μέτρησης όπως και οι παρατηρήσεις π.χ. ( ) 40 Διακύμανση= 5 Τυπική απόκλιση= Παράμετροι διασποράς Διακύμανση Τυπική απόκλιση. για διακριτές μεταβλητές (κατανομή συχνοτήτων) η κάθε τιμή της διακριτής μεταβλητής εμφανίζεται πολλές φορές Διακύμανση= ( ) = άθροισμα συχνοτήτων εμφάνισης διακριτών τιμών Τυπική απόκλιση= ( ) 6

9 ( ) x x α/α ( ) ( ) ( ) = = = = = = ( ) ( ) Παράμετροι διασποράς Διακύμανση Τυπική απόκλιση 3. για συνεχείς μεταβλητές τα δεδομένα εμφανίζονται με τη μορφή κατανομής συχνότητας κατά κλάσεις Διακύμανση= Τυπική απόκλιση= ( ) o ( ) o o = κεντρική τιμή της κλάσης α - -α 9

10 ( ) o α/α κλάση o o ( ) ( ) ( ) o o o ,5 6, , ,5,065 03, ,75 0,565 6, ,75 45,565 9, ,75 6, , ,5 x o Διακύμανση= ( ) o Τυπική απόκλιση= ( ) o Διακύμανση και τυπική απόκλιση δείγματος. για μεμονωμένες τιμές (μιας μεταβλητής) s ( ) ( ) s. για συχνότητες s ( ) ( ) s 0 0

11 Συντελεστής μεταβλητότητας σύγκριση δύο κατανομών (δειγμάτων) ως προς την ομοιογένειά τους ποιο είναι το ποιο ομοιογενές δείγμα; (δηλ. το δείγμα με τη μικρότερη διασπορά) όταν οι τιμές εκφράζονται σε διαφορετικές (ή ίδιες τιμές) CV ( x) σ= τυπική απόκλιση πληθυσμού μ= μέσος όρος πληθυσμού CV ( x) s s= τυπική απόκλιση δείγματος = μέσος όρος δείγματος CV ( x) s μικρός συντελεστής μεταβλητότητας μικρή διασπορά μεγάλη ομοιογένεια

12 ο δείγμα: 0 s 0 s CV ( x ) ο δείγμα: 0 s 0 s CV ( x ) το ο δέιγμα είναι πιο ομοιογενές (0.03 < 0.66) 3 4