Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση;

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση;"

Ἀράμ Παυλόπουλος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Ξεκινώντας θα ήθελα να θυµίσω κάποια στοιχεία που σχετίζονται µε τον ορισµό της συχνότητας σε ένα περιοδικό φαινόµενο, άρα και στην ΑΑΤ. Η συχνότητα ορίζεται ως το πηλίκο του αριθµού των επαναλήψεων του φαινοµένου (Ν) προς το αντίστοιχο χρονικό διάστηµα στο οποίο πραγµατοποιούνται: f=n/δt. Είναι πλήρης αυτός ο ορισµός; Τι σηµαίνει αριθµός επαναλήψεων;;; Στην περιοδική ΑΑΤ, ο ορισµός της συχνότητας f απαιτεί ο αριθµός των επαναλήψεων Ν να παίρνει ακέραιες θετικές τιµές, π.χ: Ν=1,,3,.. Μόνο ολόκληρη η επανάληψη του φαινοµένου έχει νόηµα επανάληψης Συµπέρασµα Στον ορισµό της συχνότητας το Ν είναι ακέραιος θετικός και το Δt είναι ακέραιο θετικό πολλαπλάσιο περιόδου. Το Ν είναι ο αριθµός των επαναλήψεων του περιοδικού φαινοµένου. Και ο αριθµός αυτός είναι ακέραιος θετικός. Όταν π.χ. ένα φαινόµενο επαναλαµβάνεται 34 φορές µέσα σε 10 sec τότε η συχνότητα είναι 34/10. Εµείς όµως κάνουµε πάντα τη διαίρεση (αναγωγή στο 1 sec) και βρίσκουµε 3,4. Στο οποιοδήποτε δηλαδή περιοδικό φαινόµενο όταν λέµε συχνότητα 3,4 εννοούµε όχι ότι το φαινόµενο επαναλαµβάνεται 3,4 φορές µέσα σε ένα δευτερόλεπτο, αλλά ότι το φαινόµενο επαναλαµβάνεται 34 φορές σε 10 sec ή 68 σε 0 sec κ.λ.π. Η συλλογιστική προτεραιότητα είναι κάπως έτσι: Ένα περιοδικό φαινόµενο σίγουρα περιγράφεται από µια χρονική συνάρτηση που είναι περιοδική ως προς το χρόνο. Έτσι το πρώτο είναι η περίοδος. Το φαινόµενο επαναλαµβάνεται Ν=1 φορά σε t=τ, φορές σε Τ, 3 φορές σε 3Τ... Συχνότητα f=ν/δt όπου Ν θετικός ακέραιος και Δt=κΤ. Αν εκτελεστεί η διαίρεση θα βγάλει τα δεκαδικά. Αλλά εµείς εννοούµε τα ακέραια. 1

Είναι πλήρης αυτός ο ορισµός; Τι σηµαίνει αριθµός επαναλήψεων;;; Στην περιοδική ΑΑΤ, ο ορισµός της συχνότητας f απαιτεί ο αριθµός των επαναλήψεων Ν να παίρνει ακέραιες θετικές τιµές, π.χ: Ν=1,,3,.

2 Ας έρθουµε τώρα στο τι πρέπει να διδάξουµε στην ΑΑΤ, περιορισµένοι στα στενά όρια του σχολικού µε µοναδικό παράδειγµα ΑΑΤ αυτή που εκτελεί σώµα συνδεδεµένο στο άκρο ελατηρίου. Γράφει το σχολικό: (σελίδα 11): «Η παραπάνω σχέση, F=-Dx, είναι γνωστή και σαν συνθήκη για την παραγωγή ΑΑΤ. Η δύναµη F ονοµάζεται δύναµη επαναφοράς (γιατί τείνει να επαναφέρει το σώµα στη θέση ισορροπίας) και η σταθερά αναλογίας D σταθερά επαναφοράς. Αν σε κάποια ταλάντωση είναι γνωστή η σταθερά επαναφοράς µπορούµε να υπολογίσουµε την περίοδό της: T = π.. και τη συχνότητα: D 1 D f =..» π Προσπαθώντας να εξηγήσουµε τι είναι αυτή η σταθερά, συνήθως συµπληρώνουµε: Η τιµή της σταθεράς επαναφοράς D εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήµατος που ταλαντώνεται. Εδώ κατά τη γνώµη µου αρχίζουν οι ασάφειες. Ποια είναι αυτά τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήµατος που ταλαντώνεται;;; Εγκλωβισµένοι στα στενά όρια του σχολικού και στην αποσπασµατική διδασκαλία τµηµάτων της ύλης, το µόνο παράδειγµα ΑΑΤ που εξετάζει το σχολικό, άρα διδάσκουµε, είναι αυτό ενός σώµατος συνδεδεµένου στο άκρο ελατηρίου. Τι διδάσκουµε λοιπόν τους µαθητές; Ότι η σταθερά επαναφοράς D είναι ίση µε τη σταθερά σκληρότητας του ελατηρίου k, δηλαδή: D=k ανεξάρτητα από τη µάζα του σώµατος που είναι κρεµασµένο στο ελατήριο. Τι µένει λοιπόν στο µυαλό των µαθητών; Η σταθερά επαναφοράς D είναι µια σταθερή ποσότητα, χαρακτηριστική του ταλαντούµενου συστήµατος. Το παράδειγµα ενός σώµατος συνδεδεµένου στο άκρο ελατηρίου, όπου D=k, δίνει τη ψευδαίσθηση της κατανόησης των εννοιών. Με βάση λοιπόν αυτά, τι µπορεί να απαντήσει ένας µαθητής στην ερώτηση:

Η δύναµη F ονοµάζεται δύναµη επαναφοράς (γιατί τείνει να επαναφέρει το σώµα στη θέση ισορροπίας) και η σταθερά αναλογίας D σταθερά επαναφοράς.

3 Ερώτηση 10, σελίδα 414 σχολικού βιβλίου δεσµών: «Ποια από τις επόµενες σχέσεις ανάµεσα στην περίοδο και τη µάζα του ταλαντωτή είναι σωστή; α) T ανάλογο)», β) T γ) T 1 δ) T 1 (το σύµβολο σηµαίνει Πώς θα σκεφθεί λοιπόν ο µαθητής; Τι του έχουµε µάθει; Εφόσον η σταθερά επαναφοράς D είναι µια σταθερή ποσότητα, χαρακτηριστική του ταλαντούµενου συστήµατος και T = π, προφανώς σωστή είναι η σχέση D (α) T (αυτή είναι και η απάντηση που αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο) Το παράδειγµα ενός σώµατος συνδεδεµένου στο άκρο ελατηρίου, όπου D=k, ενισχύει και στη σκέψη του µαθητή θεµελιώνει, την παραπάνω απάντηση αφού: T = π και φυσικά η σταθερά σκληρότητας έχει ορισµένη σταθερή τιµή k ανεξάρτητη από τη µάζα του σώµατος. Είναι όµως έτσι τα πράγµατα; Ισχύει το παραπάνω συµπέρασµα γενικά για την ΑΑΤ, ή µήπως µόνο για συγκεκριµένες περιπτώσεις ΑΑΤ, όπως αυτής του συνδεδεµένου σώµατος στο άκρο ελατηρίου; Προφανώς όλοι γνωρίζουµε την απάντηση στην παραπάνω ερώτηση. Η περίοδος εξαρτάται από τη µάζα του ταλαντωτή και συγκεκριµένα είναι T, µόνο στις περιπτώσεις εκείνες που η σταθερά επαναφοράς D δεν έχει σχέση µε τη µάζα του ταλαντωτή. Υπάρχουν όµως και περιπτώσεις συστηµάτων που εκτελούν ΑΑΤ στις οποίες η σταθερά επαναφοράς D συνδέεται µε τη µάζα του ταλαντωτή, οπότε ο λόγος /D είναι ανεξάρτητος της µάζας και προφανώς η σχέση T Ποια είναι αυτά τα συστήµατα; δεν είναι σωστή. 3

(αυτή είναι και η απάντηση που αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο) Το παράδειγµα ενός σώµατος συνδεδεµένου στο άκρο ελατηρίου, όπου D=k, ενισχύει και στη σκέψη του µαθητή θεµελιώνει, την παραπάνω απάντηση

4 Μέχρι πέρυσι είχαµε τη δυνατότητα να διδάσκουµε στη Β Λυκείου το απλό εκκρεµές. Εκεί οι µαθητές διδάσκονταν ότι η σταθερά επαναφοράς D δίνεται από τη σχέση: D=g/L, άρα εξαρτάται από τη µάζα του ταλαντωτή, οπότε η περίοδος: T π T π 1 D 1 g f = f π = π l είναι ανεξάρτητες της µάζας. l = = και η συχνότητα D g Άλλο παράδειγµα ΑΑΤ όπου η σταθερά επαναφοράς D εξαρτάται από τη µάζα του ταλαντωτή, είναι η κίνηση που εκτελεί σώµα µάζας, το οποίο µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά µήκος σήραγγας η οποία δεν περνάει από go το κέντρο της Γης, η οποία θεωρείται οµογενής και ακίνητη σφαίρα: D=, RΓ άρα T = π. g o RΓ Μόνο στην άσκηση 4.70 σελίδα 145 του σχολικού βιβλίου, οι µαθητές θα µάθουν πολύ αργότερα ότι η περίοδος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει ισοπαχής οµογενής σανίδα που βρίσκεται πάνω σε δύο κυλίνδρους µε παράλληλους άξονες, όπου ο δεξιά στρέφεται αριστερόστροφα και ο αριστερά δεξιόστροφα, είναι ανεξάρτητη της µάζας της σανίδας και δίνεται από τη d σχέση: T = π, όπου d η απόσταση των αξόνων των κυλίνδρων και µ ο µ g συντελεστής τριβής ολίσθησης της σανίδας µε τους κυλίνδρους. Που θέλω να καταλήξω: Η αποσπασµατική διδασκαλία εννοιών και η συνεχής περικοπή ύλης οδηγεί σε αδιέξοδα και λανθασµένα συµπεράσµατα. Όταν υποχρεώνεσαι να διδάξεις ως µοναδικό παράδειγµα ΑΑΤ αυτό ενός σώµατος συνδεδεµένου στο άκρο ελατηρίου, είσαι δέσµιος των παρανοήσεων που µπορεί να προκαλέσει το συγκεκριµένο παράδειγµα. Πώς θα δώσεις στους µαθητές να καταλάβουν το νόηµα της φράσης που έχει διατυπώσει ο Σταύρος ο Λέτης: «Σε µια α.α.τ. η συχνότητα εξαρτάται από τα D και, αλλά µε σχέση λόγου». Για να γίνει αυτό κατανοητό χρειάζονται συγκεκριµένα παραδείγµατα. Εµείς τα διδάσκουµε;;; 4

5 Ειλικρινά θα µε ενδιέφερε κάθε διδακτική πρόταση που θα δώσει διέξοδο στο παραπάνω πρόβληµα. Σήµερα κάνοντας απλή αναφορά στην τάξη για απλό εκκρεµές «και για άλλα συστήµατα που εµφανίζουν παρόµοια συµπεριφορά», έβλεπα στα µάτια των παιδιών τη σκέψη: «Εµείς σώµα στο άκρο ιδανικού ελατηρίου ξέρουµε και σε αυτό θα εξεταστούµε, τι µας λες εσύ τώρα» Αλήθεια τι να τους πεις όταν τα θέµατα που θα συναντήσουν στις πανελλήνιες είναι σαν το ακόλουθο: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΛΙΟΥ 010 Μετακινούµε το σώµα Σ 1 προς τα κάτω κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου µέχρι το ελατήριο να συµπιεστεί από το φυσικό του µήκος κατά l = 0,3. Τοποθετούµε ένα δεύτερο σώµα Σ µάζας =1kg στο κεκλιµένο επίπεδο, ώστε να είναι σε επαφή µε το σώµα Σ 1, και ύστερα αφήνουµε τα σώµατα ελεύθερα. Γ3. Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς του σώµατος Σ κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του. Αλήθεια, ποια η φυσική σηµασία αυτής της "σταθεράς επαναφοράς";;; Από ποια φυσικά χαρακτηριστικά του συστήµατος καθορίζεται η τιµή της;;; Για να µη ρωτήσω ποια ταλάντωση εκτελεί το Σ.. Θοδωρής Παπασγουρίδης papasgou@gail.co 5

ξέρουµε και σε αυτό θα εξεταστούµε, τι µας λες εσύ τώρα» Αλήθεια τι να τους πεις όταν τα θέµατα που θα συναντήσουν στις πανελλήνιες είναι σαν το ακόλουθο: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ

6 6

Σχετικά έγγραφα

Απλή Αρµονική Ταλάντωση και Αρµονική Ταλάντωση

Απλή Αρµονική Ταλάντωση και Αρµονική Ταλάντωση Παρακολουθώντας τη συζήτηση που διεξάγεται όλες αυτές τις ηµέρες νοµίζω ότι φθάσαµε σε κάποια συµπεράσµατα πολύ σηµαντικά και αρκετά πιο πέρα από τις αρχικές