ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΙΚΗ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗΣ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΙΚΗ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΚΑΡΑΘΑΝΑΣΗ ΕΠΙΚ.ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ Ε.Μ.Π. ΑΘΗΝΑ 2012

2 Κεφάλαιο 1 - Μικροκυµατική Ακτινοβολία Μικροκυµατικοί έκτες Αρχές Λειτουργίας των RADAR 1.1 Μικροκυµατική ακτινοβολία Σελ Ενεργητικοί Μικροκυµατικοί δέκτες - Radar Βασικές αρχές λειτουργίας των Radar Εξίσωση του Radar Η γεωµετρία των radar απεικονίσεων 18 Κεφάλαιο 2 - RADAR Συνθετικού Ανοίγµατος (SAR) 2.1 Αρχές λειτουργία των Radar Συνθετικού Ανοίγµατος SAR Η συνάρτηση Αναφοράς Φάσης κι η ηµιουργία Απεικόνισης Υψηλής ιαχωριστικής Ικανότητας ιακριτική ικανότητα κατά τη διεύθυνση των αζιµουθίων Βάθος εστίασης (Depth of Focus DOF) Το συνθετικό άνοιγµα και η διαδικασία υλοποίησής του Ηχώ σήµατος Πίνακας πρωτογενών δεδοµένων ραντάρ (raw data) Απόκριση µοναδιαίου σκεδαστή στα SAR ιακριτική ικανότητα των εστιασµένων SAR. Ανακεφαλαίωση Εκτίµηση κεντροειδούς Doppler και Μετακίνησης της Απόστασης Εστιασµένο Μη εστιασµένο SAR Βασικά στοιχεία της γεωµετρίας της απεικόνισης SAR 50 Κεφάλαιο 3 - Στοιχεία Ερµηνείας των RADAR Απεικονίσεων 3.1 Στοιχεία φωτοερµηνεία των radar απεικονίσεων Τόνος Σχήµα Υφή Κηλίδωση Επιπτώσεις του αναγλύφου και της γεωµετρίας των radar απεικονίσεων, στη φωτοερµηνευτική διαδικασία 60 Κεφάλαιο 4 - Η Συµβολοµετρική ιαδικασία 4.1 Η Συµβολοµετρική διαδικασία Στοιχεία συµβολοµετρίας Γεωµετρικά στοιχεία συµβολοµετρίας Φάση επίπεδης γης Φασµατικά στοιχεία συµβολοµετρίας Η επίπεδη γη Αποσυσχέτιση Συνάφεια φάσης 87 Κεφάλαιο 5 - Χρήση Φίλτρων στη Συµβολοµετρία 5.1 Χωρικά φίλτρα Φιλτράρισµα κατά συχνότητα 89 ii

3 5.2.1 Εισαγωγή Μετασχηµατισµός Fourier ιακριτός µετασχηµατισµός Fourier Η εικόνα Fourier Η εικόνα Fourier Οι συντελεστές Fourier Εφαρµογή φίλτρων κατά συχνότητα Xρήση του µετασχηµατισµού Fourier στη συµβολοµετρία Short Time Fourier Transform Χρήση του FFT για βελτίωση διαγράµµατος κροσσών συµβολής κακής ποιότητας 96 Κεφάλαιο 6 - Αποκατάσταση Φάσης 6.1 Εισαγωγή Προσεγγίσεις στην 2-διαστάσεων αποκατάσταση φάσης Μέθοδοι ολοκλήρωσης Μέθοδοι ένωσης υπολειµµάτων Μέθοδοι Τοπικής Ανάπτυξης Γενικευµένες Μέθοδοι Αλγόριθµος ελαχίστων τετραγώνων Αλγόριθµος ελαχίστων τετραγώνων µε χρήση βαρών Η έννοια της µάσκας Ισοζυγισµένος αλγόριθµος ελαχίστων τετραγώνων Ισοζυγισµένος WLMS Άλλες µέθοδοι Αποκατάσταση φάσης βασισµένη σε προγραµµατισµό δικτύου Μορφολογική αποκατάσταση φάσης Αυτόµατα κύτταρα και αυτόµατα κύτταρα Tapestry Χρήση φίλτρων Kalman σε συνεργασία µε εκτίµηση τοπικής κλίσης Αποκατάσταση φάσης απαλλαγµένη από θόρυβο Αλγόριθµοι που συνδυάζουν ήδη γνωστούς αλγόριθµους Αποκατάσταση φάσης κατά τµήµατα Συνεργασία τοπικής ανάπτυξης και ελαχίστων τετραγώνων µε βάρη 128 Κεφάλαιο 7 - ιόρθωση επίπεδης γης και µετατροπή φάσης σε υψόµετρο 7.1 ιόρθωση του όρου της επίπεδης Γης Μετατροπή φάσης σε υψόµετρο 131 Κεφάλαιο 8 - Επίδραση της Ατµόσφαιρας στη Συµβολοµετρία Απεικονίσεων SAR 8.1 Εισαγωγή Η ταχύτητα µετάδοσης Ατµόσφαιρα και Συµβολοµετρία 134 iii

4 8.3.1 Επίδραση Ιονόσφαιρας στα Η/Μ κύµατα Ιονόσφαιρα και συµβολοµετρία Επίδραση της Τροπόσφαιρας σε απεικονίσεις SAR Επίδραση της Τροπόσφαιρας στη συµβολοµετρίας Αντιµετώπιση της επίδρασης της ατµόσφαιρας 137 Κεφάλαιο 9 - ιαφορική Συµβολοµετρία 9.1 Αρχές της ιαφορική Συµβολοµετρίας Αποκατάσταση φάσης µε χρήση πολλαπλών γραµµών βάσης Ακέραιος συµβολοµετρικός συνδυασµός Η τεχνική της σκάλας Αποκατάσταση φάσης µε χρήση βοηθητικού DEM 143 Κεφάλαιο 10 Μέθοδοι Γεωαναφοράς Απεικονίσεων SAR 10.1 Εξισώσεις γεωαναφοράς των απεικονίσεων SAR ιαδικασία άµεσης γεωαναφοράς ιαδικασία έµµεσης γεωαναφοράς Προσδιορισµός στοιχείων τροχιάς του δορυφόρου 152 Βιβλιογραφία 154 iv

5 Κεφάλαιο 1 Μικροκυµατική Ακτινοβολία Μικροκυµατικοί έκτες Αρχές Λειτουργίας των RADAR 1.1. Mικροκυµατική ακτινοβολία. Παθητικοί µικροκυµατικοί δέκτες Μικροκυµατική Τηλεπισκόπηση είναι εκείνη η περιοχή της Τηλεπισκόπησης η οποία µε τη χρήση παθητικών ή/και ενεργητικών δεκτών ανιχνεύει, αναγνωρίζει, διερευνά και παρακολουθεί αντικείµενα πάνω στη γήινη επιφάνεια, βασιζόµενη στις χαρακτηριστικές οπτικές ιδιότητές τους στη µικροκυµατική περιοχή του Ηλεκτρο-Μαγνητικού (ΗΜ) φάσµατος (από λ = 3mm 1m). Το ΗΜ φάσµα είναι µία συνέχεια όλων των δυνατών ΗΜ κυµάτων στις διάφορες συχνότητες ή µήκη κύµατος. Τα ΗΜ κύµατα ταξιδεύουν µε την ταχύτητα του φωτός, δηλαδή c = 3 x 10 8 m/s. Η σχέση µεταξύ ταχύτητας και µήκους κύµατος είναι f = c / λ, όπου f η συχνότητα σε Hertz (κύκλοι / sec, 1GHz = 10 9 Hz) και λ το µήκος κύµατος σε µέτρα. Οι δορυφορικοί Τηλεπισκοπικοί δέκτες, χρησιµοποιώντας µήκη κύµατος της ορατής, εγγύς και µέσης υπέρυθρης, θερµικής υπέρυθρης και µικροκυµατικής περιοχής του ΗΜ φάσµατος µετρούν τα οπτικά µεγέθη (ισχύς της ακτινοβολίας, ακτινοβολία µιας πηγής, ανακλαστικότητα, κλπ.) τα οποία χαρακτηρίζουν τις οπτικές ιδιότητες µιας επιφανείας. Στη µικροκυµατική περιοχή του φάσµατος οι οπτικές ιδιότητες της γήινης επιφάνειας σχετίζονται αµέσως µε την οµαλότητά της, τη γεωµετρία της, την περιεκτικότητά της σε νερό, καθώς επίσης µε τη διηλεκτρική συµπεριφορά της. Η περιοχή των µικροκυµάτων στην οποία λειτουργούν οι τηλεπισκοπικοί δέκτες, εκτείνεται στις ζώνες UHF, SHF και EHF και υποδιαιρείται στις περιοχές (κανάλια, bands) P, L, S, C, X, K, Q, V, W (σχήµα 1.1). Οι µικροκυµατικοί δέκτες διακρίνονται σε παθητικούς και ενεργητικούς. 1

6 Σχήµα 1.1 Οι παθητικοί µικροκυµατικοί δέκτες είναι ραδιόµετρα τα οποία ευαισθητοποιούνται στην περιοχή των µικροκυµάτων της ΗΜ ακτινοβολίας. Έχουν τις ίδιες διατάξεις µε τα ηλεκτρο-οπτικά ραδιόµετρα (οπτικό σύστηµα - ανιχνευτής - επεξεργαστής) καταγράφουν δε την εκπεµπόµενη από τα ίδια σώµατα µικροκυµατική ακτινοβολία ή/και την ανακλώµενη από τα σώµατα ηλιακή µικροκυµατική ακτινοβολία. Επειδή όµως η ποσότητα της ανακλώµενης ή/και εκπεµπόµενης ακτινοβολίας στην περιοχή των µικροκυµάτων είναι πολύ µικρή γι αυτό για την καταγραφή ικανού σήµατος απαιτείται µεγάλη χρονική διάρκεια καταγραφής της ακτινοβολούµενης ενέργειας ανά µοναδιαία επιφάνεια. Αυτό σηµαίνει µικρή ταχύτητα σάρωσης και χαµηλή χωρική διακριτική ικανότητα (από 10 έως µερικές εκατοντάδες χιλιόµετρα). Οι παθητικοί µικροκυµατικοί δέκτες λειτουργούν κυρίως στις συχνότητες 4.995, 10.69, και GHz. Ραδιοµετρικές παρατηρήσεις της ατµόσφαιρας πραγµατοποιούνται κοντά στη συχνότητα των 22 GHz όπου παρουσιάζεται ισχυρή 2

7 απορρόφηση από υδρατµούς. Επίσης, στην περιοχή του φάσµατος 50 60GHz στην οποία παρουσιάζεται ισχυρή απορρόφηση από το οξυγόνο της ατµόσφαιρας, λειτουργούν µικροκυµατικά ραδιόµετρα τα οποία προσδιορίζουν κατακόρυφα προφίλ ατµοσφαιρικής θερµοκρασίας (Σχήµα 1.2α). Στην περιοχή αυτή δεν λειτουργούν ενεργητικοί δέκτες. Οι εφαρµογές των µικροκυµατικών ραδιοµέτρων τηλεπισκόπησης είναι (σχήµα 1.2β) στην: Υδρολογία (υγρασία εδάφους, αποστράγγιση υδάτων, πρόγνωση πληµµυρών) Γεωργία (υγρασία εδάφους, πρόβλεψη σοδειάς, προγραµµατισµός αρδεύσεων) Πόλοι (παρατήρηση στρώµατος πάγου, παγονησίδων) Ωκεανοί (παρατήρηση κυµάτων, επιφανειακής θερµοκρασίας, αλµυρότητας και κηλίδων πετρελαίου) Μετεωρολογία και κλιµατολογία (κατακόρυφα προφίλ θερµοκρασίας, υγρασίας και προσπτώσεων) Παρακολούθηση κυκλώνων και τροπικών βροχών Στρατόσφαιρα, µεσόσφαιρα και κατώτερη θερµόσφαιρα (προφίλ θερµοκρασίας, µαγνητικού πεδίου και συγκέντρωσης αερίων). Σχήµα 1.2α 3

8 RF Spectrum Microwave Radiometry covers a range of frequencies. Soil Moisture 1-3 GHz Resolution / aperture Ocean Surface Wind 19, 22 GHz Polarimetry Atmospheric Temperature 54, 118 GHz Accuracy Atmospheric Water Vapor 22, 24, 92, 150, 183 GHz Accuracy Cloud Ice 325, 448, 643 GHz High frequency λ ν 30 cm 3 cm 3 mm 0.3 mm 1 GHz 10 GHz 100 GHz 1000 GHz Sea Surface Salinity 1-3 GHz Receiver sensitivity/ stability Sea Ice 37 GHz Polar coverage Precipitation 11, 31,37,89 GHz Frequent global coverage Hartley, NASA Atmospheric Chemistry 190, 240, 640, 2500 GHz High frequency L band S band C band X band K u /K/K a band Millimeter Submillimeter 11/18/02 University of Kansas Σχήµα 1.2β Η µικροκυµατική ακτινοβολία διαπερνά τα σύννεφα. Το χαρακτηριστικό των µικροκυµάτων και ειδικότερα αυτών τα οποία έχουν µήκος κύµατος µεγαλύτερο από 3 cm ή συχνότητα µικρότερη από 10 GHz είναι ότι διαπερνούν τα σύννεφα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα σταγονίδια από τα οποία συνιστώνται τα σύννεφα έχουν τυπική διάµετρο 0.1mm, δηλαδή είναι πολύ µικρότερη από το µήκος κύµατος των µικροκυµάτων. Απόσβεση της µικροκυµατικής ακτινοβολίας παρατηρείται σε περίπτωση καταιγίδας και για τα µικρότερα µήκη κύµατος (λ< 3 cm). 4

9 Το σχήµα 3α παρουσιάζει το % ποσοστό διαπερατότητας των µικροκυµάτων διαµέσου των σύννεφων, σε συνάρτηση µε το µήκος κύµατος. Το σχήµα 1.3β παρουσιάζει αντίστοιχα την απόσβεση (σε db km -1 ) της µικροκυµατικής ακτινοβολίας σε συνάρτηση µε την συχνότητα (σε GHz) και το ποσοστό βροχόπτωσης (σε mm hr -1 ). Παρατηρείται απόσβεση της µικροκυµατικής ακτινοβολίας κατά 1 db / km στο κανάλι C, σε περίπτωση τροπικής καταιγίδας. Στο σχήµα 1.4 µαζί µε το ΗΜ φάσµα, δίνονται οι περιοχές του φάσµατος στις οποίες η διείσδυση της ΗΜ ακτινοβολίας µέσα από την ατµόσφαιρα είναι δυνατή. Αυτές είναι το ορατό τµήµα, µερικές περιοχές της υπέρυθρης ακτινοβολίας και η περιοχή των µικροκυµάτων. Η ποσότητα της ανακλώµενης / σκεδαζόµενης από τη γήινη επιφάνεια µικροκυµατικής ακτινοβολίας εξαρτάται: Από παραµέτρους του ΗΜ κύµατος, όπως η συχνότητα, η πόλωση και η γωνία πρόσπτωσης, και Από παραµέτρους του στόχου, όπως η οµαλότητα της επιφανείας του, η γεωµετρική του δοµή και η διηλεκτρική του συµπεριφορά Σχήµα 1.3α 5

10 Σχήµα 1.3β Σχήµα 1.4 6

11 Η µικροκυµατική ακτινοβολία παρουσιάζει διαφορετικό βαθµό διείσδυσης στην ύλη στην οποία προσπίπτει, ανάλογα µε το µήκος κύµατος (ή την συχνότητα). Η ανακλώµενη / σκεδαζόµενη από τη γήινη επιφάνεια ακτινοβολία, όταν αυτή προέρχεται από διαφορετικά κανάλια προσπίπτουσας µικροκυµατικής ακτινοβολίας λόγω του διαφορετικού βαθµού τους διείσδυσης στην ύλη στην οποία προσπίπτουν, αντιστοιχεί σε διαφορετικό βάθος της ύλης για κάθε κανάλι. Στην περίπτωση π.χ. ενός δάσους η συνολική σκεδαζόµενη ακτινοβολία είναι δυνατόν να προέρχεται α) από την οπισθοσκέδαση της συγκόµωσης, β) από την πολλαπλή σκέδαση του εσωτερικού της συγκόµωσης, γ) από την οπισθοσκέδαση του εδάφους, δ) από την αλληλεπίδραση µε τους κορµούς και το έδαφος, και ε) από την σκιασµένη επιφάνεια του δάσους. Το κανάλι Χ (λ = 3cm) ευαισθητοποιείται κυρίως στην σκεδαζόµενη από τα φύλλα ακτινοβολία και εξαρτάται από την γεωµετρία των φύλλων και τον προσανατολισµό τους. Το κανάλι C ευαισθητοποιείται κυρίως στην σκεδαζόµενη από τα µικρά κλαδιά ακτινοβολία. Τα κανάλια L (λ = 23cm) και P ευαισθητοποιoύνται κυρίως στην σκεδαζόµενη ακτινοβολία από τα κλαδιά, τους κορµούς και το έδαφος. Tο σχήµα 1.5 παρουσιάζει το διαφορετικό βάθος διείσδυσης των καναλιών X, C και L σε φυσικούς στόχους, το οποίο αυξάνει µε την αύξηση του µήκους κύµατος. Σχήµα 1.5 7

12 Ο βαθµός διείσδυσης της µικροκυµατικής ακτινοβολίας στην ύλη δεν εξαρτάται µόνο από το µήκος κύµατος αλλά και από την υγρασία του στόχου, είναι δε αντιστρόφως ανάλογος της περιεκτικότητας του στόχου σε νερό. Οι ηλεκτρικές ιδιότητες των σωµάτων (αγωγοί, ηµιαγωγοί, µονωτικά υλικά) χαρακτηρίζονται µε ένα µιγαδικό αριθµό, ε c, ο οποίος είναι η διηλεκτρική σταθερά τους. Αυτή συνιστάται από δύο µέρη (ε = permittivity και σ = conductivity) τα οποία είναι αντίστοιχα εξαρτώµενα από την περιεκτικότητα της ύλης σε νερό. ε c = ε j σ / ω 0 Στα µικροκύµατα τα περισσότερα σώµατα έχουν τιµή διηλεκτρικής σταθεράς από 3 έως 8 σε συνθήκες ξηρότητας. Το νερό έχει διηλεκτρική σταθερά 80, δηλαδή 10 φορές µεγαλύτερη από αυτή του ξηρού εδάφους. Αυτό συνεπάγεται αλλαγή των διηλεκτρικών ιδιοτήτων των σωµάτων σε περίπτωση αλλαγής της υγρασίας τους. Το βάθος διείσδυσης µειώνεται µε την αύξηση της υγρασίας του στόχου. Στο σχήµα 1.6 παρουσιάζεται η σχέση διηλεκτρικής σταθεράς και ογκοµετρικής υγρασίας εδαφών. Σχήµα 1.6 8

13 Άλλη παράµετρος της µικροκυµατικής ακτινοβολίας η οποία σχετίζεται µε το βάθος διείσδυσης είναι η πόλωση. Η πόλωση ενός ΗΜ κύµατος δείχνει τη διεύθυνση της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου. Το βάθος διείσδυσης των µικροκυµάτων ποικίλει ανάλογα µε το επίπεδο πόλωσής του. Η πόλωση µπορεί επίσης να παρέχει πληροφορία για τη δοµή και τη διεύθυνση των στοιχειωδών σκεδαστών οι οποίοι συνθέτουν την επιφάνεια του στόχου. Περισσότερες από δύο γειτονικές διαδοχικές σκεδάσεις τείνουν να αποπολώσουν το ΗΜ κύµα. Η οµαλότητα της επιφάνειας του στόχου είναι έννοια εξαρτώµενη από το µήκος κύµατος και τη γωνία πρόσπτωσης. Μια επιφάνεια θεωρείται «τραχεία» εάν η δοµή της έχει διαστάσεις συγκρίσιµες µε αυτές του προσπίπτοντος κύµατος. Σύµφωνα µε το κριτήριο του Rayleigh, µία επιφάνεια θεωρείται - Οµαλή εάν h < λ / 8cosθ, - Τραχεία εάν h > λ / 8cosθ όπου: h το µέσο µεταβλητό ύψος της επιφάνειας, λ το µήκος κύµατος, και θ η γωνία πρόσπτωσης ηλαδή όσο µεγαλύτερο είναι το µήκος κύµατος και η γωνία πρόσπτωσης τόσο οµαλότερη εµφανίζεται µια επιφάνεια. Το σχήµα 1.7 δείχνει την σκεδαζόµενη ακτινοβολία σε σχέση µε την οµαλότητα της επιφάνειας. Η τέλεια ανακλαστική επιφάνεια ανακλά όλη την προσπίπτουσα ακτινοβολία προς µία διεύθυνση θ ίση µε τη γωνία πρόσπτωσης θ (specular reflectance). Αντίθετα, όσο λιγότερο οµαλή είναι µια επιφάνεια τόσο µικρότερη προτίµηση, όταν ανακλάται, έχει σε µια συγκεκριµένη γωνία (diffuse reflectance) και εποµένως είναι ανεξάρτητη της γωνίας πρόσπτωσης. 9

14 Σχήµα

15 1.2 Ενεργητικοί Μικροκυµατικοί δέκτες - Radar Το ραντάρ (Radar:Radio Detection and Ranging, δηλαδή Ραδιο-Ανίχνευση και Αποστασιοµέτρηση) είναι µικροκυµατικό ενεργητικό σύστηµα το οποίο χρησιµοποιείται για την ανίχνευση, εντοπισµό, απεικόνιση και παρακολούθηση αντικειµένων. Τα κανάλια της µικροκυµατικής ακτινοβολίας στα οποία λειτουργούν τα ραντάρ είναι: Κανάλι Συχνότητα (σε GHz) Κανάλι Συχνότητα (σε GHz) P K L Q S V C W X Τα ραντάρ παρακολούθησης της γης λειτουργούν σε όλα αυτά τα κανάλια και ιδιαίτερα στο κανάλι Χ (TeraSARx, αεροµεταφερόµενοι δέκτες), C (ERS-1, ΕRS-2, SIR-C, ENVISAT, RADARSAT), S (Almaz), L (SEASAT, SIR-A, SIR-B, SIR-C, JERS-1, ALOS), και P (αεροµεταφερόµενοι δέκτες AirSAR). Ενεργοί µικροκυµατικοί δέκτες άλλων εφαρµογών λειτουργούν στις παρακάτω συχνότητες (GHz): Υψοµετρητές GHz Πλοηγητές 8.8, GHz Μετεωρολογικά radar , GHz Παράκτια radar , , GHz Radar πλοίων , , , , GHz Η αρχή λειτουργίας του στηρίζεται στην εκποµπή ενός HM σήµατος / παλµού (pulse) ως δέσµη ακτινών (beam) και στη συνέχεια τη λήψη της ανακλώµενης, από τα διάφορα αντικείµενα τα οποία φωτίζονται από το σήµα εκποµπής, ακτινοβολίας. H κεραία εκποµπής (transmitter) και λήψης των παλµών (receiver) είναι συνήθως η ίδια κεραία (antenna). Η δέσµη χαρακτηρίζεται από τη γεωµετρία της κεραίας και τη συχνότητα των µικροκυµάτων. Ο κάθε παλµός χαρακτηρίζεται από το χρόνο εκποµπής του (reference pulse time). Με τη µέτρηση του χρόνου εκποµπής - επιστροφής του παλµού καθώς επίσης και της ισχύος του είναι δυνατή η ταυτόχρονη µέτρηση α) της απόστασης του στόχου από τον δέκτη και β) της ανακλώµενης µικροκυµατικής ακτινοβολίας από τον στόχο. Η µεγάλη σηµασία του ραντάρ έγκειται στη δυνατότητά του να ανιχνεύει αντικείµενα σε µεγάλες αποστάσεις τις οποίες τις µετρά µε µεγάλη ακρίβεια και χωρίς να επηρεάζεται από τις συνθήκες φωτισµού και τις καιρικές συνθήκες. Την αρχή λειτουργίας των radar ανέπτυξε πρώτος ο γερµανός φυσικός Rudolf Hertz το 1886, όταν απέδειξε πειραµατικά ότι είναι δυνατόν τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα να εστιασθούν σε δέσµη, όπως οι ακτίνες φωτός και ότι αυτά ανακλώνται όταν προσπέσουν σε ηλεκτρικά αγώγιµο αντικείµενο. Η θεωρία του Hertz επιβεβαιώθηκε πειραµατικά από τον πρωτοπόρο των ραδιοζεύξεων Marconi το Από το 1935 άρχισε να αξιοποιείται 11

16 σε στρατιωτικές εφαρµογές και το 1940 χρησιµοποιήθηκε για πρώτη φορά από το ναυτικό των Ηνωµένων Πολιτειών όπου και προσδιόριζε τις δύο κατ αρχήν ιδιότητες του radar, την ανίχνευση και τον προσδιορισµό της θέσης. Αµέσως µετά τον πόλεµο οι βελτιώσεις στα συστήµατα radar υπήρξαν καθοριστικές και οι περισσότερες από αυτές οφείλονται στην ανάπτυξη υποσυστηµάτων υψηλής συχνότητας στο Radiation Laboratory του Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης (ΜΙΤ). Η πιο σηµαντική από αυτές είναι η ανάπτυξη ενός µικροκυµατικού ποµπού υψηλής συχνότητας και υψηλής µεγίστης ισχύος. Εφαρµογές radar και µικροκυµατικών ραδιοµέτρων εισήχθησαν για πρώτη φορά στην Τηλεπισκόπηση το 1973, µε την εκτόξευση του διαστηµικού σταθµού Skylab. Το ποσοστό µικροκυµατικού εξοπλισµού αυξήθηκε σηµαντικά στους επόµενους τεχνητούς δορυφόρους (Seasat, ERS, Radarsat, Almaz, JERS, κλπ.) οι οποίοι εκτός από παθητικά ραδιόµετρα, φέρουν σκεδασόµετρα (συνεχής κυµατοµορφή) και υψοµετρητές radar ή αλτίµετρα (συνεχής κυµατοµορφή) και radar απεικονίσεων (παλµός). Εκτός από τα ραδιόµετρα, οι υπόλοιποι δέκτες είναι ενεργητικοί τηλεπισκοπικοί µικροκυµατικοί δέκτες. Ειδικότερα τα σκεδασόµετρα είναι όργανα τα οποία µετρούν την ανακλώµενη ακτινοβολία από ένα στόχο για διαφορετικές γωνίες πρόσπτωσης (σχήµα 1.8). Χρησιµοποιούνται για τη συλλογή πειραµατικών δεδοµένων, τα οποία βοηθούν στη σχεδίαση άλλων συστηµάτων Τηλεπισκόπησης και στην ερµηνεία των µετρούµενων στοιχείων. Σχήµα 1.8 ERS σκεδασόµετρο Τα radar απεικονίσεων διακρίνονται σε δύο τύπους: πραγµατικού ανοίγµατος (Real Aperture Radar, RAR), και συνθετικού ανοίγµατος (Synthetic Aperture Radar, SAR) radar. 12

17 Τα radar πραγµατικού ανοίγµατος καλούνται και Side Looking Airborne Radar, SLAR, αν και οι δύο τύποι radar είναι συστήµατα πλευρικής όρασης µε διεύθυνση όρασης κάθετη στη γραµµή πτήσης. Η διαφορά µεταξύ των δύο τύπων radar έγκειται στη χωρική διακριτική τους ικανότητα κατά τη διεύθυνση της γραµµής πτήσης. Στα radar πραγµατικού ανοίγµατος αυτή προσδιορίζεται από το εύρος δέσµης της κεραίας και εποµένως είναι ανάλογη της απόστασης µεταξύ δέκτη και στόχου. Τα radar συνθετικού ανοίγµατος χρησιµοποιούν επεξεργασία σήµατος για να συνθέσουν ένα άνοιγµα κεραίας το οποίο είναι εκατοντάδες φορές µεγαλύτερο από το πραγµατικό άνοιγµα της σε λειτουργία κεραίας. Η χωρική διακριτική ικανότητα αυτών των συστηµάτων κατά µήκος της γραµµής πτήσης, είναι ανεξάρτητη από την απόσταση στόχου δέκτη. Οι εφαρµογές των ραντάρ στην Τηλεπισκόπηση είναι: Γεωλογία (δοµή στρωµάτων) Υδρολογία (υγρασία εδάφους, χαρτογράφηση επιφανειακών υδάτων, πληµµύρων και χιονισµένων εκτάσεων) Γεωργία (παρακολούθηση καλλιεργειών, βοσκοτόπων και εκτάσεων οι οποίες πλήττονται από ξηρασία) άση (παρακολούθηση υλοτόµησης, πυρκαγιών) Χαρτογράφηση δυσπρόσιτων περιοχών Εξερεύνηση πόλων (παρακολούθηση πολικών δραστηριοτήτων, πανίδας, παγετώνων και παγόβουνων) Ωκεανοί (παρακολούθηση κυµάτων, επιφανειακών ρευµάτων, κηλίδων πετρελαίου, κυκλοφορίας πλοίων αλιευτικών). 1.3 Βασικές αρχές λειτουργίας των radar Η βασική αρχή λειτουργίας των radar είναι η µετάδοση και λήψη παλµών. Βραχείς (διάρκειας microsecond), µεγάλης ενέργειας παλµοί µικροκυµατικής ακτινοβολίας εκπέµπονται, διανύουν πλευρική απόσταση (range) µέχρι το στόχο και στη συνέχεια επιστρέφουν και καταγράφεται το σήµα επιστροφής τους, δηλαδή η ηχώ τους (echoe) (σχήµα 1.9). Από την καταγραφή του σήµατος επιστροφής έχουµε πληροφορίες για: - την ισχύ του επιστρεφόµενου σήµατος, - τη φάση, - τη διεύθυνση λήψης. 13

18 Σχήµα 1.9 Ειδικότερα, ένα διάγραµµα λειτουργιών των τηλεπισκοπικών radar δίνεται στο σχήµα Transmitter Pulse generation and modulation Trigger Cir c Motion compensation 90 o Timing and frequency control Antenna Low noise RF amplifier X I Q Video amplifier Demodulator Illuminated Scene I Q Data transfer Sub - system Analog / digital conversion Σχήµα

19 Η καρδιά ενός Radar είναι το σύστηµα ελέγχου του χρόνου και της συχνότητας παλµών (timing and frequency control). Η γεννήτρια παλµών (pulse generation) παράγει µια παλµοσειρά i τη χρονική στιγµή t, η οποία συνήθως µεταδίδεται µε συγκεκριµένη φάση αναφοράς (reference phase, φ i ). Η φάση αναφοράς φ i είναι ενδεικτική για κάθε παλµοσειρά i. Η γεννήτρια παλµών παράγει διαδοχικά στο χρόνο παλµοσειρές, µε συγκεκριµένη συχνότητα παραγωγής παλµών prf (pulse repetition frequency) η οποία ορίζεται από το σύστηµα ελέγχου του χρόνου και της συχνότητας παλµών. Στη συνέχεια ο διαµορφωτής διεγείρεται από την παλµοσειρά και παράγει παλµούς υψηλής ισχύος, µε κατάλληλο σχήµα και διάρκεια. Η έξοδος του διαµορφωτή διαµορφώνει τη ραδιοσυχνότητα της παλµοσειράς η οποία πρέπει να παραµένει σταθερή. Αυτό επιτυγχάνεται µε τη βοήθεια του ταλαντωτή ο οποίος βρίσκεται στο σύστηµα ελέγχου. Οι RF (Radio Frequency) παλµοί ενισχύονται µέσω ενός ενισχυτή (amplifier) στον ποµπό (transmitter) και αποστέλλονται στην κεραία µέσω ενός κυκλοφορητή (circ), όπου και ακτινοβολούνται προς τον στόχο. Το λαµβανόµενο από την κεραία σήµα είναι πολύ ασθενές, η ισχύς π.χ. η προσπίπτουσα στον δέκτη SEASAT από µια ενεργό διατοµή radar (radar cross section) 10m 2 είναι της τάξης των watts. Εποµένως, η πρώτη εργασία µετά τη λήψη του σήµατος είναι η ενίσχυσή του από έναν ενισχυτή χαµηλού θορύβου (low noise Radio Frequency amplifier). υστυχώς, θόρυβος προστίθεται πάντα στο σήµα. Στην περίπτωση του radar, επειδή το σήµα το οποίο λαµβάνει η κεραία έχει ήδη κάποιο θόρυβο, οι θόρυβοι οι οποίοι προστίθενται σ αυτό στη συνέχεια από τα διάφορα εξαρτήµατα του radar (amplifier κλπ.), µεταβάλλουν τόσο το λαµβανόµενο σήµα όσο και τον λαµβανόµενο από την κεραία θόρυβο. Το σήµα επιστροφής (η ηχώ του στόχου) είναι µια παλµοσειρά πανοµοιότυπη µε την εκπεµπόµενη παλµοσειρά αλλά µετατοπισµένη χρονικά κατά τ =2R/c. Η πληροφορία την οποία φέρει το σήµα επιστροφής βρίσκεται στη φάση και το πλάτος της παλµοσειράς και όχι στη φέρουσα συχνότητα η οποία προέκυψε από την διαµόρφωση της παλµοσειράς. Γι αυτό το λόγο το σήµα πρέπει να αποδιαµορφωθεί (demodulation). Αυτό επιτυγχάνεται µε τον πολλαπλασιασµό του λαµβανοµένου σήµατος µε ένα ηµιτονοειδές σήµα. Στην περίπτωση των radar χρησιµοποιείται η τετραγωνική (quadrature) αποδιαµόρφωση. Αυτή χρησιµοποιεί ένα ζευγάρι σηµάτων τα οποία παράγονται από τον τοπικό ταλαντωτή LO ο οποίος βρίσκεται στη µονάδα ελέγχου. Το ένα σήµα έχει την ίδια φάση µε τον τοπικό ταλαντωτή (<0 o ) και το άλλο διαφορά 90 ο (<90 ο ). ηλαδή χρησιµοποιείται συγχρόνως ηµιτονοειδής και συνηµιτονοειδής αποδιαµόρφωση. Έτσι, προκύπτουν δύο συνιστώσες σήµατος, η σε φάση συνιστώσα (in phase, Ι) και η τετραγωνικής φάσης συνιστώσα (quadrature, Q). ηλαδή τo εξαγόµενο σήµα θεωρείται ως διατεταγµένο ζεύγος Ι, Q, και αποδίδεται µε τον µιγαδικό αριθµό I + jq. Από την καθυστέρηση τ του σήµατος επιστροφής προσδιορίζεται η πλευρική απόσταση (range) του στόχου R = τc/2, και εποµένως η απόστασή του κατά τη διεύθυνση την κάθετη στη γραµµή της πτήσης. Αυτό δεν συµβαίνει όµως για τα ραντάρ απεικονίσεων, τα οποία µετρούν την καθυστέρηση του σήµατος για πολύ λίγους στόχους στο έδαφος (πρώτο και τελευταίο εικονοστοιχείο κάθε τηλεπισκοπικής σκηνής). Ο προσδιορισµός 15

20 της πλευρικής απόστασης R σε άλλους τύπους ραντάρ, µπορεί να γίνει και από τη διαφορά συχνότητας f R όταν το radar χρησιµοποιεί διαµόρφωση συχνότητας. Στη συνέχεια το σήµα ενισχύεται και ως προς τα δύο του κανάλια Ι και Q και µετατρέπεται σε ψηφιακό (Analog / digital conversion). H δειγµατοληψία των δύο καναλιών κατά την ψηφιοποίηση γίνεται σύµφωνα µε το θεώρηµα του Shannon (βλ. παράρτηµα: Θεώρηµα δειγµατοληψίας του Shannon ). Λόγω της ψηφιοποίησης η διάσταση του κάθε εικονοστοιχείου (pixel spacing) είναι η µισή της χωρικής διακριτικής ικανότητας του δέκτη λήψης. Τα δύο ψηφιοποιηµένα σήµατα µεταφέρονται στο σταθµό λήψης δεδοµένων. Εκεί παράγεται η µιγαδική απεικόνιση radar (εάν πρόκειται για radar απεικονίσεων) της οποίας κάθε pixel έχει δύο τιµές την Ι και την Q. Από αυτά τα δεδοµένα ο χρήστης παράγει την απεικόνιση ισχύος της οποίας το κάθε pixel έχει τιµή την (I 2 +Q 2 ) 1/2 και την απεικόνιση φάσης. Aπό τις σχετικές επεξεργασίες αυτών των απεικονίσεων παίρνουµε πληροφορίες για την οπισθοσκέδαση, υγρασία, οµαλότητα, κλπ. της γήινης επιφάνειας. 1.4 Εξίσωση του Radar Η ισχύς P η οποία µετράται κατά τη λήψη του κάθε παλµού στο Radar, µπορεί να εκφρασθεί ως συνάρτηση της ανακλαστικότητας του στόχου. A Μονάδα µέτρησης της ανακλαστικότητας του στόχου στα radar Στην ενεργητική Τηλεπισκόπηση οι γωνίες πρόσπτωσης και ανάκλασης είναι ίσες γι αυτόν τον λόγο ο συντελεστής ανακλαστικότητας R ο οποίος χρησιµοποιείται στα ραδιόµετρα (R = L αν / L προσ ) αντικαθίσταται από τον συντελεστή ανακλαστικότητας δύο διευθύνσεων R b (θ αν φ αν, θ προς φ προς ). R b (θ αν φ αν, θ προς φ προς ) = L αν (θ αν,φ αν ) / Ε όπου L το µέγεθος της ακτινοβολίας (W m -2 sr 1 ) και Ε το µέγεθος του φωτισµού (Wm - 2 ) που προέρχεται από την πηγή. (Ε= L προς (θ προς,φ προς ) cosθ προσ dω και σε περίπτωση ισότροπης πηγής Ε = π L). Στην περίπτωση όµως των radar αυτός ο συντελεστής έχει αντικατασταθεί από την έννοια της «ενεργού διατοµής» (cross section). Εξ ορισµού, η διαφορική ενεργός διατοµή dσ / dω είναι η ανακλώµενη ενέργεια ανά µοναδιαία στερεά γωνία, ανά µοναδιαία προσπίπτουσα ενέργεια σ αυτήν την στερεά γωνία. Υπολογίζεται ότι η ενεργός διατοµή, dσ (θ αν φ αν, θ προς φ προς ) / dω, συνδέεται µε τον συντελεστή ανακλαστικότητας δύο διευθύνσεων R b ((θ αν φ αν, θ προς φ προς ) βάσει της σχέσης dσ (θ αν φ αν, θ προς φ προς ) / dω = R b ((θ αν φ αν, θ προς φ προς ) cos 2 θ dσ, όπου dσ η µοναδιαία επιφάνεια του στόχου, θ η διεύθυνση της γραµµής όρασης στόχουδέκτη ως προς την κάθετη στον στόχο και dω η στερεά γωνία µε την οποία ο στόχος βλέπει την πηγή. 16

21 Εξ ορισµού, η «ενεργός διατοµή radar» είναι σ r (θ,φ) = 4π dσ/dω = 4π R b ((θ αν φ αν, θ προς φ προς ) cos 2 θ dσ Επίσης, βάσει της ενεργού διατοµής radar έχει εισαχθεί µια άλλη έννοια, ο συντελεστής οπισθοσκέδασης, ο οποίος ορίζεται ως σ ο = σ r (θ,φ) / dσ = 4π R b ((θ αν φ αν, θ προς φ προς ) cos 2 θ Αυτός είναι καθαρός αριθµός, αλλά επειδή έχει συνήθως µεγάλες τιµές γι αυτό εκφράζεται σε dbs, σ ο db = 10 log σ ο Eπίσης ορίζεται και ο συντελεστής γ(θ,φ) γ(θ,φ) = σ r (θ,φ) / dσ cosθ = 4π R b ((θ αν φ αν, θ προς φ προς ) cosθ Για µία εποµένως ισότροπη επιφάνεια όπου R b = R / π σ ο = 4 R cos 2 θ και γ =4 R cosθ Β Εξίσωση του Radar Η κλασική εξίσωση του radar συνδέει την ισχύ P r η οποία µετράται κατά τη λήψη του κάθε παλµού µε την ενεργό διατοµή radar του στόχου σ r (σχήµα 1.11). P r = P t G 2 o λ 2 σ r / (4π) 3 R 4 L Όπου: P t η ισχύς του εκπεµπόµενου σήµατος, G o το κέρδος της κεραίας L οι απώλειες του συστήµατος λ το µήκος κύµατος R η πλευρική απόσταση (range) Από την παραπάνω εξίσωση παρατηρούµε ότι το λαµβανόµενο σήµα είναι ευαίσθητο στο κέρδος της κεραίας, στο µήκος κύµατος και στην πλευρική απόσταση (range). 17

22 Σχήµα Η γεωµετρία των radar απεικονίσεων Το Radar βλέπει την γήινη επιφάνεια µε πλάγια θέα η οποία ορίζεται από το γωνιακό εύρος της δέσµης της παραγόµενης από το ΗΜ κύµα και την πλευρική απόσταση (σχήµα 1.12). Τα εικονοστοιχεία κατά µήκος της εγκάρσιας (across track) διεύθυνσης της απεικόνισης (δηλαδή σε κάθε γραµµή µιας απεικόνισης radar) λαµβάνουν τιµές οι οποίες αντιστοιχούν στην ηχώ του σήµατος που λαµβάνεται από µια συγκεκριµένη παλµοσειρά, µέσα σε µία χρονική διάρκεια. Η πρώτη ηχώ του σήµατος (δηλαδή η τιµή του πρώτου εικονοστοιχείου) δίνει πληροφορία για στόχους οι οποίοι βρίσκονται στην εγγύτερη πλευρική απόσταση (near range), οι ενδιάµεσες τιµές αντιστοιχούν σε ενδιάµεσους στόχους (slant range), ενώ η τελευταία για στόχους οι οποίοι βρίσκονται στην απώτερη πλευρική απόσταση (far range). Σύµφωνα µε την εξίσωση του radar η πληροφορία αυτή συνδέεται µε την ενεργό διατοµή radar, σ r, του στόχου και δίνει τον βαθµό οπισθοσκέδασης του στόχου. H απόσταση µεταξύ εγγύτερου και απώτερου στόχου ορίζει το πλάτος της λήψης (swath). 18

23 Γεωµετρία λήψης 21/02/2011 Σχήµα 1.12 H πλευρική απόσταση εδάφους (ground range) είναι η απόσταση επί του εδάφους οποιουδήποτε στόχου από το σηµείο ναδίρ του radar. Η κατά µήκος της γραµµής πτήσης ή αζιµουθιακή (along track ή azimuth) διεύθυνση της απεικόνισης είναι αποτέλεσµα της επανάληψης των εκπεµπόµενων παλµών κατά τη διάρκεια της κίνησης του δέκτη / αεροπλάνου κατά µήκος της γραµµής πτήσης (flight line). Η διακριτική ικανότητα του radar στη διεύθυνση την κάθετη στη γραµµή πτήσης (range resolution) είναι η ελάχιστη απόσταση την οποία πρέπει να έχουν δύο γειτονικοί σηµειακοί στόχοι στη διεύθυνση των πλευρικών αποστάσεων ώστε να γίνονται διακριτοί, δηλαδή να προσδιορίζονται από τη διαδοχική χρονικά καταγραφή της ηχούς µιας παλµοσειράς. Από το σχήµα 1.13 γίνεται αντιληπτό ότι η πλευρική απόσταση d των 2 γειτονικών στόχων πρέπει να είναι µεγαλύτερη από L/2, όπου L το µήκος του παλµού. d > L/2 Eάν αυτή είναι µικρότερη από L/2, τότε η λαµβανόµενη διαδοχική ηχώ από τους δύο στόχους θα συµπίπτει. Στο έδαφος αυτή η απόσταση είναι ίση µε L/2cosα. Όπου α είναι η συµπληρωµατική της γωνίας πρόσπτωσης του παλµού. Σε σχέση µε τη διάρκεια τ του παλµού η απόσταση στο έδαφος είναι ίση µε cτ/ 2cosα 19

24 Σχήµα 1.13 Για να βελτιωθεί η διαχωριστική ικανότητα στη διεύθυνση των πλάγιων αποστάσεων, το µήκος του παλµού θα πρέπει να είναι κατά το δυνατόν µικρότερο. Επειδή όµως ο παλµός θα πρέπει να µεταφέρει αρκετή ενέργεια ώστε να ανιχνεύει στόχους, το µήκος του πρέπει να είναι αρκετά µεγάλο. Γι αυτό το λόγο τα radar χρησιµοποιούν την τεχνική chirp η οποία είναι µια τεχνική διαµόρφωσης κατά συχνότητα µε σύγχρονη συµπίεση του παλµού. Με την τεχνική chirp εκπέµπεται ένας παλµός µεγάλου µήκους µε διαµορφωµένη συχνότητα. Με την αποδιαµόρφωση λαµβάνεται παλµός πολύ µικρότερου µήκους κύµατος. Το αποτέλεσµα για το χρήστη είναι το ίδιο ως να έχει χρησιµοποιηθεί ένας πολύ βραχύς παλµός από το σύστηµα. Η διακριτική ικανότητα του radar στη διεύθυνση των αζιµουθίων (azimuth resolution), ορίζεται από το εύρος δέσµης β του κεντρικού λοβού της κεραίας. Από το όριο περίθλασης του Rayleigh το εύρος δέσµης β ισούται µε β = λ/d, όπου D το πραγµατικό µήκος της κεραίας. Η διαχωριστική ικανότητα επί του εδάφους σε απόσταση R θα είναι Rλ/D ( σχήµα 1.14). 20

25 Σχήµα Στοιχεία κεραιών Η πυκνότητα ενέργειας σ ένα ΗΜ κύµα στο κενό µας δίνει το ρυθµό µεταβολής της ενέργειας, ο οποίος εάν υπολογιστεί ως προς z µας δίνει το διάνυσµα ροής της ενέργειας ή διάνυσµα Poynting S. Η γενική έκφραση του διανύσµατος ροής είναι: S = (1/µ ο ) Ε x Β Το διάνυσµα Poynting για µονοχρωµατικές πηγές είναι αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου της απόστασης (r). Η συνάρτηση F(θ,φ) η οποία εκφράζει σε διατοµές, κάθετες στη διεύθυνση µετάδοσης του κύµατος, το διάνυσµα ροής της ενέργειας ονοµάζεται διάγραµµα ακτινοβολίας της κεραίας. F(θ,φ) = r 2 S Εάν κανονικοποιήσουµε την συνάρτηση F ως προς τη µέγιστη τιµή της, έχουµε τη συνάρτηση F n = F(θ,φ) / F(θ, φ)max Ορισµός παραµέτρων βασισµένων σε στερεογωνίες Ω p = 4π F n (θ,φ)dω Ω M = κεντρικό λοβό F n (θ,φ)dω 21

26 ιευθυντικότητα κεραίας Ω m = Ω p - Ω M για δευτερεύοντες λοβούς D(θ,φ) = F n (θ,φ) / (1/4π) 4π F n (θ,φ)dω Το µέγιστο της διευθυντικότητας είναι D o = 4π / Ω p (F n = 1) και D = D o F n (θ,φ) Η ενεργός επιφάνεια της κεραίας Α eff δίνεται από τη σχέση: D o = (4π / λ 2 ) Α eff = (4π / λ 2 ) n Α p Όπου Α p η φυσική επιφάνεια της κεραίας και n η ικανότητά της. Όταν χρησιµοποιούµε κεραία εκποµπής για να έχουµε ισχύ ακτινοβολίας P ο, θα πρέπει να καταναλώσουµε ισχύ P t. H διαφορά τους οφείλεται σε απώλειες λόγω αύξησης της θερµοκρασίας της κεραίας. Η ικανότητα ακτινοβολίας της κεραίας n l είναι: n l = P ο / P t Το κέρδος της κεραίας G(θ,φ) ορίζεται ως ο λόγος του διανύσµατος ροής της ενέργειας της κεραίας, προς το διάνυσµα ροής της ενέργειας µιας ιδεατής ισότροπης κεραίας χωρίς απώλειες. Υπολογίζεται ότι G(θ,φ) = D o = (4π / λ 2 ) Α eff Από το κέρδος της κεραίας, υπολογίζεται εύκολα το διάνυσµα ροής της ενέργειας λόγω εκποµπής της κεραίας, σε οποιαδήποτε διεύθυνση (θ,φ) και απόσταση r: S(θ,φ,r) = P t G (θ,φ) / 4πr 2 22

27 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΤΟΥ SHANNON Στην περίπτωση ενός µονοδιάστατου αναλογικού σήµατος η συχνότητα δειγµατοληψίας του για τη µετατροπή του σε ψηφιακό βασίζεται στο θεώρηµα του Shannon. Εάν d(t) είναι η ψηφιακή παράσταση της συνάρτησης f(t), η οποία περιγράφει παλµούς µε περίοδο ψηφιοποίησης Τ, τότε d(kt) = f(kt) για κ=0,1,2. d(t) = 0 για t kt Αποδεικνύεται ότι ο µετασχηµατισµός Fourier D(ω) της d(t) σχετίζεται µε το µετασχηµατισµό Fourier F(ω) της αναλογικής συνάρτησης f(t), µε την εξίσωση: D(ω) = Σ F(ω-2πn / T) n=- ηλαδή ο µετασχηµατισµός Fourier της d(t) συνιστάται από το άθροισµα µετατοπισµένων µετασχηµατισµών Fourier της f(t) και εξαρτάται από την περίοδο Τ της ψηφιοποίησης. Αυτό φαίνεται στο σχήµα 1.15 όπου οι D 1 (ω) και D 2 (ω) είναι οι µετασχηµατισµοί Fourier δύο ψηφιακών σηµάτων µε διαφορετικές µέγιστες συχνότητες και την ίδια περίοδο ψηφιοποίησης. Στην πρώτη περίπτωση ο µετασχηµατισµός Fourier F 1 (ω) της αναλογικής συνάρτησης f 1 (t) είναι 0 για ω>π/τ ενώ στη δεύτερη περίπτωση ο µετασχηµατισµός Fourier F 2 (ω) της αναλογικής συνάρτησης f 2 (t) είναι 0 για ω=2π/τ. Στην πρώτη περίπτωση µε δεδοµένη τη συνάρτηση D 1 (ω) µπορούµε να βρούµε επακριβώς τη συνάρτηση F 1 (ω) οπότε και να ανακτήσουµε την αναλογική συνάρτηση f(t) από τη ψηφιακή συνάρτηση d(t), ενώ στη δεύτερη περίπτωση δεν είναι δυνατόν. Στα παραπάνω βασίζεται το θεώρηµα του Shannon το οποίο λέει ότι εάν ω max είναι η µεγαλύτερη τιµή της κυκλικής συχνότητας ω για την οποία F(ω) δεν είναι 0, τότε η αναλογική συνάρτηση f(t) µπορεί να επανασυσταθεί από την ψηφιακή συνάρτηση d(t) εάν η περίοδος ψηφιοποίησης είναι µικρότερη του π/ω max ή εάν η συχνότητα ψηφιοποίησης είναι δύο φορές το µέγεθος της ω max, (ω ψηφ = 2ω max ). Η συχνότητα αυτή λέγεται και συχνότητα Nyquist. 23

28 Σχήµα

29 Κεφάλαιο 2 RADAR Συνθετικού Ανοίγµατος (SAR) 2.1 Αρχές λειτουργίας των Radar Συνθετικού Ανοίγµατος (SAR) Σύµφωνα µε τη γεωµετρία λήψης των Radar πραγµατικού ανοίγµατος (SLAR) απεικονίσεων, για την αύξηση της διακριτικής τους ικανότητας ( Ι) κατά την διεύθυνση της πτήσεως (ή διεύθυνση των αζιµουθίων) απαιτείται µεγάλου ανοίγµατος κεραία ( Ι = Rλ/D). Για Radar παρατήρησης αεροδροµίων όπου η πλευρική απόσταση R των 50 χιλιοµέτρων είναι ικανοποιητική και για ένα σύνηθες D/λ της τάξης των 100, προκύπτει ιακριτική Ικανότητα των αζιµουθίων ίση µε 500µ. η οποία κρίνεται ικανοποιητική. Αντίθετα για διαστηµικές πλατφόρµες οι οποίες συνήθως έχουν πλευρική απόσταση R = 800χλµ. για να επιτύχουµε ιακριτική Ικανότητα ίση µε 1χλµ. απαιτείται D/λ ίσο µε 800 το οποίο πρακτικά είναι αδύνατον. Ακόµη και εάν το χρησιµοποιούµενο µήκος κύµατος είναι µικρό, της τάξης των 20 εκ. (L κανάλι), το αντίστοιχο απαιτούµενο µήκος κεραίας είναι 160 µ. Η κεραία του Seasat µε D/λ = 45, για πλευρική απόσταση 800χλµ. έχει SLAR ιακριτική Ικανότητα ίση µε 18χλµ. Γι αυτόν το λόγο αναπτύχθηκαν τα Radars Συνθετικού Ανοίγµατος (SAR). Αυτοί οι τύποι των radars πετυχαίνουν υψηλή Ι στη διεύθυνση των αζιµουθίων η οποία είναι ανεξάρτητη από την πλευρική απόσταση χρησιµοποιώντας κεραία µικρού µήκους και σχετικά µεγάλο µήκος κύµατος. Μια συνθετική κεραία παράγεται από την κίνηση του φορέα του δέκτη. Ο ίδιος στόχος πάνω στη γήινη επιφάνεια εµπίπτει στο εύρος δέσµης του radar και εποµένως δέχεται και σκεδάζει ακτινοβολία, για πολλές γειτονικές, διαδοχικές κατά τον άξονα πτήσης, θέσεις του radar. Εποµένως για τον ίδιο στόχο έχουµε καταγεγραµµένα πολλά σήµατα. Συνδυάζοντας αυτά τα διαφορετικά σήµατα, παράγεται µια «συνθετική κεραία» στον υπολογιστή η οποία µας παρέχει µια πολύ υψηλότερη ιακριτική Ικανότητα κατά την διεύθυνση της πτήσης. Στο σχήµα 2.1 παρουσιάζονται οι διαφορετικές θέσεις 1,2, Ν του radar για τις οποίες δέχεται επιστρεφόµενο σήµα από τον στόχο P. 25

30 Σχήµα 2.1 Βασικό ρόλο στον υπολογισµό της συνθετικής κεραίας παίζει το γεγονός ότι η συχνότητα των σηµάτων τα οποία λαµβάνονται µεταβάλλεται λόγω της µεταβολής της σχετικής θέσης του radar ως προς τον στόχο. Αυτή η µεταβολή (ολίσθηση) της συχνότητας οφείλεται στο φαινόµενο Doppler. Στο σχήµα 2.2 περιγράφεται αναλυτικά το φαινόµενο Doppler. Ενα έµβολο ταλαντώνεται στο νερό παράγοντας κύµατα τα οποία ταξιδεύουν στο νερό κατά κύκλους µε συχνότητα 10 κύκλους/λεπτό. Η ταχύτητα των κυµάτων είναι γνωστή. Το έµβολο θεωρείται πηγή κυµάτων όµοια µε το radar. Εάν θεωρήσουµε ότι ένα πλοίο κινείται κατά µήκος µιας γραµµής. Στη θέση Β ένας επιβάτης θα µπορούσε να µετρήσει 10 κύκλους/λεπτό αφού δεν κινείται ούτε πλησιάζει ούτε αποµακρύνεται από την πηγή. Εντούτοις στη θέση Α το πλοίο κινείται προς την πηγή των κυµάτων, γι αυτόν το λόγο ο επιβάτης θα µετρήσει περισσότερο αριθµό κυµάτων, ίσως 12 κύκλους/λεπτό. Η ταχύτητα αντίστοιχα µε την οποία ταξιδεύουν τα κύµατα παρουσιάζεται µεγαλύτερη, ως συνέπεια της ταχύτητας του πλοίου. Αντίθετα, στη θέση C το πλοίο αποµακρύνεται από την πηγή και η αντιληπτή συχνότητα των κυµάτων είναι ίσως 8 κύκλοι/λεπτό. Η συχνότητα Doppler είναι η διαφορά (ολίσθηση) της αντιληπτής (λαµβανόµενης) συχνότητας από την πραγµατική (εκπεµπόµενη). Η διαφορά αυτή προκύπτει από την σχετική κίνηση µεταξύ πηγής και παρατηρητή. Αντίστοιχα, η µεταβολή της συχνότητας κατά µήκος της γραµµής ΑC µπορεί να παρουσιαστεί γραφικά ως να µην υπήρχε σχετική κίνηση στο πεδίο. Αυτό 26

31 οδηγεί σε ένα µοντέλο φάσης των σηµάτων το οποίο είναι ισοδύναµο µε το µοντέλο Doppler. Σχήµα 2.2 Αντί για έµβολο µπορούµε να θεωρήσουµε ένα αεροπλάνο το οποίο φέρει radar που εκπέµπει σήµατα. Το πλοίο αντιστοιχεί σε ένα στόχο ο οποίος φαίνεται να κινείται σε σχέση µε τη δέσµη της κεραίας. Τα σήµατα τα οποία οπισθοσκεδάζονται από τον στόχο και λαµβάνονται στην κεραία, εάν καταγραφούν, έχουν παρόµοια καταγραφή µε αυτή των κυµάτων από τον επιβάτη. Αυτή η καταγραφή ονοµάζεται ιστορικό Doppler ή ιστορικό φάσης (phase history). Στο αρχικό στάδιο φωτισµού του στόχου, η συχνότητα Doppler είναι θετική διότι η απόσταση δέκτη στόχου µειώνεται. Σε κάποιο σηµείο αντίστοιχο του Β µηδενίζεται, και στη συνέχεια λαµβάνει αρνητικές τιµές γιατί η απόσταση δέκτη στόχου αυξάνεται. Το ιστορικό φάσης είναι αυτό το οποίο τελικά χρησιµοποιείται στην επεξεργασία SAR. 2.2 Η Συνάρτηση Αναφοράς Φάσης κι η ηµιουργία Απεικόνισης Υψηλής ιαχωριστική Ικανότητας Η απόσταση ανάµεσα στο φορέα και σ ένα σηµειακό στόχο µπορεί να γραφεί: R 2 =R o 2 + (V. t) 2 (2.1) όπου V=ταχύτητα πτήσης, t=χρόνος παρατήρησης και R o η µικρότερη απόσταση ανάµεσα στο φορέα και το στόχο (σχήµα 2.3). 27

32 Σχήµα 2.3 (α) Γεωµετρία λήψης στο SAR (β) Καταγραφή της Φάσης της λαµβανοµένης ακολουθίας των ηχών (γ) Το φαινόµενο Doppler για την παραπάνω ακολουθία Με την παραδοχή R+R o = 2R o προκύπτει απ την (2.1) ότι: R o -R=(V 2. t 2 /2R o ) (2.2) Σ αυτή την ενός δρόµου διαφορά αποστάσεων αντιστοιχεί µία µετατόπιση φάσης: Φ=2π(R o -R)/λ = π. V 2. t 2 /(λ. R o ) (2.3) 28

33 Ενώ για σήµα διπλής διαδροµής θα είναι: Φ=2π(V 2. t 2 /λ. R o ) (2.4) Αυτή η εξίσωση είναι πολύ σηµαντική ως συνάρτηση αναφοράς για την ψηφιακή επεξεργασία SAR. Η µετατόπιση της φάσης είναι τετραγωνική συνάρτηση ως προς το χρόνο και η γραφική της παράσταση είναι παραβολή (σχήµα 2.3). Καλείται επίσης και ιστορία της φάσης (phase history) ενός σηµειακού στόχου. Σε µία τετραγωνική συνάρτηση φάσης ως προς το χρόνο αντιστοιχεί µια γραµµική µετατόπιση συχνότητας (σχήµα 2.3). Η κατά Doppler µετατόπιση f D του σήµατος εξ αιτίας της εγγενούς (inherent) σταθερής κίνησης του φορέα δίνεται από την σχέση: ω D =2πf D =(dφ/dt)= 4π (V 2. t)/λr o (2.5) Για ένα εκπεµπόµενο σήµα V t =V 1 sin (2πφft) το λαµβανόµενο σήµα θα έχει τη µορφή: ή V r =V 2 sin (2πf t+2πf D t) (2.6) V r =V 2 sin[2π(f+2[v 2 t/λr o ]t] (2.7) Αυτό είναι ισχυρά ισοδύναµο µε µία γραµµική διαµόρφωση συχνότητας (σχήµα 2.4). Το λαµβανόµενο σήµα ενός SAR έχει µία γραµµικά διαµορφωµένη συχνότητα. Αυτή η διαµόρφωση (modulation) µπορεί να θεωρηθεί ως ένας κώδικας ο οποίος σχεδιάζει όλα τα σηµεία λαµβάνοντας υπόψη την αζιµουθιακή γωνία τους, κατά τη χρονική διάρκεια της πτήσης. Ο βαθµός κλίσης (steepness) ενός τέτοιου Chirp όπως λέγεται είναι: 2V 2 /λ. R o Το εύρος ζώνης που απαιτείται γι αυτή τη γραµµική διαµόρφωση προκύπτει από το χρόνο παραµονής T D, δηλαδή το χρόνο που το radar βλέπει το στόχο: B fd = 2 (V 2 /λ. R o ) T D (2.8) 29

34 Σχήµα 2.4 Η φάση, η συχνότητα και το πλάτος του διαµορφωµένου σήµατος κατά συχνότητα στην αζιµουθιακή διεύθυνση Η φάση του λαµβανοµένου σήµατος (σχέση 2.7) περιέχει την απαιτουµένη πληροφορία από ένα παρατηρούµενο στόχο. Αυτή η πληροφορία µπορεί να εξαχθεί µε ένα τετραγωνικό αποδιαµορφωτή ο οποίος απαλοίφει τη φέρουσα συχνότητα, η οποία δεν έχει καµία πληροφορία. Και αφήνει αυτό που καλείται "σε φάση συνιστώσα (inphase component) I" και την "τετραγωνική συνιστώσα (quadrature component) Q" και έναν σύνθετο (joint) συντελεστή πλάτους Α που δίνει το πλάτος ή την πληροφορία για το λόγο σήµατος προς θόρυβο στο στόχο. Οι σχέσεις που δίνουν τα I, Q (Keydel, 1992) είναι: 2 V t Ι(t) = A cos [2π( ) t] (2.9) λ R o 2 V t Q(t) = A sin [2π ) t] (2.10) λr o Τότε το µιγαδικό σήµα που θα δίνει την πληροφορία για το στόχο είναι (µε Α=1): 2 V t S s =I(t)+j Q(t) = exp [j 2π ( ) t] (2.11) λ R o 30

35 Ο στόχος θεωρείται στη θέση t=0 (όπου f D =0!), δηλαδή το κέντρο του συνθετικού ανοίγµατος, κι ο χρόνος παραµονής πάνω από το στόχο παίρνει τιµές από - T D /2 έως + T D /2. Η περαιτέρω πληροφορία µπορεί ν αποκτηθεί µε συσχέτιση (correlation) µε µία γνωστή συνάρτηση αναφοράς S r για ένα σηµειακό στόχο. Η κατάλληλη συνάρτηση αναφοράς για σηµειακό στόχο στην περίπτωση που εξετάζουµε εδώ είναι ίδια µε την (2.11). Η έξοδος του συσχετιστή είναι (Keydel, 1992): ή S S o o + TD / 2 = = e Ss TD / 2 * ( t). S ( t + t ) dt r V 2 2 j 2 π tr + T D / 2 λ Ro T D r / 2 ο υπολογισµός του οποίου δίνει: e 2 V j 2 π λ 2 r t R o dt (2.12) (2.13) V tr TD πv TD j2π sinc{ tr} λro 2 λ. R S o = e (2.14) Η συνάρτηση Sinc 1 στην (2.14) αποδίδει την εικόνα του σηµειακού στόχου. Αξιοσηµείωτο είναι πως ο συσχετιστής δίνει µέγιστη τιµή για t r =0, τη στιγµή δηλαδή που η συνάρτηση αναφοράς και το σήµα που λαµβάνεται από το στόχο συµπίπτουν ακριβώς ως προς το σχήµα τους. Στο σχήµα 2.5 φαίνεται το µη επεξεργασµένο πλάτος ενός σηµειακού στόχου σε αντιπαράθεση µε το επεξεργασµένο στην αζιµουθιακή διεύθυνση του ίδιου στόχου. Σχήµα 2.5 Πλάτος ενός παλµού αναφοράς (πάνω καµπύλη) από ένα σηµειακό στόχο και κρουστική απόκριση ενός SAR επεξεργασµένου παλµού από τον ίδιο στόχο (κάτω καµπύλη) συγκρινόµενη µε την απόκριση του ίδιου στόχου για ένα ραντάρ πραγµατικού ανοίγµατος. 1 sinc(x)=sin(πx)/(πx) 31

36 2.3 ιακριτική ικανότητα κατά τη διεύθυνση των αζιµουθίων Πριν προχωρήσουµε στην περιγραφή και ανάλυση του Συνθετικού Ανοίγµατος πρέπει να σηµειώσουµε ότι οι µετρήσεις που γίνονται µε τα διάφορα είδη ραντάρ είναι µονοδιάστατες (ποσοστό της εκπεµπόµενης ακτινοβολίας που λαµβάνεται από το δέκτη αφού σκεδαστεί από το στόχο). Για να κατασκευαστεί η απεικόνιση ραντάρ θα πρέπει να προστεθεί η δεύτερη διάσταση.. Αυτό επιτυγχάνεται µε την κίνηση του φορέα (αεροσκάφους ή δορυφόρου) που µεταφέρει το ραντάρ πλευρικής σάρωσης. Η γεωµετρική διαχωριστική ικανότητα στη διεύθυνση των πλευρικών αποστάσεων εξαρτάται τότε (Keydel, 1992) από το εύρος ζώνης συχνοτήτων (bandwidth) του παλµού από το οποίο εκτιµάται (υπολογίζεται) και η µικρότερη δυνατή διάρκεια του παλµού. Αντίθετα η διαχωριστική ικανότητα στην αζιµουθιακή διεύθυνση εξαρτάται από το άνοιγµα της κεραίας D σε αυτή τη διεύθυνση, το οποίο καθορίζει και το ηµίσειας ισχύος εύρος δέσµης (beamwidth) που εκπέµπει το ραντάρ. Η κύρια ιδιότητα-πλεονέκτηµα που χαρακτηρίζει το SAR είναι (Griffiths, 1995) η τεχνική δυνατότητα που έχει να καταγράφει και αποθηκεύει επιτυχώς την ηχώ του σήµατος που εκπέµπει ένα κινούµενο ραντάρ, ώστε κατόπιν όταν επεξεργάζονται τα δεδοµένα να συντίθεται µία µεγάλου µήκους -στην κατεύθυνση της πτήσης- κεραία. Τα δεδοµένα που καταγράφονται είναι οι µετρήσεις, σε κάθε σηµείο, του πλάτους, της φάσης και της συχνότητας του οπισθοσκεδαζοµένου σήµατος. Με αυτό τον τρόπο η πραγµατική κεραία του SAR λειτουργεί σε κάθε σηµείο µέτρησης ως ένα ανεξάρτητο στοιχείο της µεγάλου µήκους συνθετικής- στοιχειοκεραίας και µε τη βοήθεια κατάλληλων τεχνικών επεξεργασίας δεδοµένων παράγεται η Ψηφιακή Τηλεπισκοπική Απεικόνιση SAR. Ανάλογα µε την εγγενή (inherent) ταχύτητα V του φορέα, συνεπώς και του ραντάρ, η συχνότητα του λαµβανοµένου σήµατος υφίσταται µία κατά Doppler µετατόπιση (Doppler-shifted) ως προς τη συχνότητα εκποµπής. Για ένα στόχο ο οποίος παρατηρείται υπό µικρή γωνία β (µικρότερη των 30 ο ) στη διεύθυνση την κάθετη στη τροχιά (acrosstrack), ή αλλιώς διεύθυνση των αποστάσεων, αυτή η µετατόπιση Doppler δίνεται από την σχέση (Keydel, 1992). f 2 V β 2V D = sin = β (2.15) λ λ Εάν χρησιµοποιηθεί ένα φίλτρο, µε εύρος ζώνης f D τότε στην έξοδο αυτού του φίλτρου θα έχουµε ένα σήµα το οποίο αποκτήθηκε από µια µικρή γωνία απόστασης β µε εύρος ζώνης f D. Σε αυτή τη β αντιστοιχεί µία αζιµουθιακή απόσταση (δηλαδή απόσταση στη διεύθυνση την παράλληλη στο ίχνος της τροχιάς) x η οποία είναι και η αντιστοιχούσα διαχωριστική ικανότητα στην αζιµουθιακή διεύθυνση. Η f D, η οποία ονοµάζεται Doppler, δίνεται προφανώς από τη σχέση: f D = 2V 2V x. β =. λ λ R (2.16) 32

37 επειδή x=r. β. Η σχέση που µας δίνει την αζιµουθιακή διαχωριστική ικανότητα είναι: λ. R x = 2V f D (2.17) για την οποία παρατηρούµε ότι είναι ανεξάρτητη του πραγµατικού µήκους της κεραίας. Σ αυτή τη διαχωριστική ικανότητα αντιστοιχεί σύµφωνα µε το όριο περίθλασης του Rayleigh ένα µήκος Συνθετικού Ανοίγµατος (SA: Syntetic Apperture) L SA ίσο µε: L SA = ( λ / β ) = λ /( λ f / 2V ) = L = 2V / F (2.18) D SA D Αυτή είναι η πρώτη και απλούστερη µέθοδος κατασκευής ενός συνθετικού ανοίγµατος, µε χρήση ενός φίλτρου µε εύρος ζώνης f D, η οποία ονοµάζεται όξυνση της δέσµης Doppler (Doppler beam sharpening). Για να επιτύχουµε βελτιστοποίηση αυτής της µεθόδους χρειάζεται να εκτιµήσουµε το µικρότερο δυνατό εύρος ζώνης συχνοτήτων Β min που µπορεί να χρησιµοποιηθεί. Το Β min όµως εξαρτάται από το µέγιστο δυνατό χρόνο παρατήρησης Τ max του στόχου από το ραντάρ. Β min 1/ Τ max (2.19) Ο µέγιστος χρόνος παρατήρησης Τ max είναι µε άλλα λόγια ο απαιτούµενος χρόνος για να ολισθήσει η συχνότητα Doppler από την απολύτως µεγαλύτερη έως την απολύτως µικρότερη τιµή της εντός του εύρους ζώνης του φίλτρου. Από τις (2.16) και (2.17) προκύπτει για την αλλαγή f D της f D µε το χρόνο η σχέση: ( f D / Τ)=(2V/λ. R).(dx/dt)=(2V 2 /λ. R) (2.20) Και για f D = Β min και Τ= Τ max πολ/ντας µε την (2.19) προκύπτει: Β 2 min (2V 2 /λ. R) (2.21) και η µικρότερη δυνατή τιµή Β min θα είναι: 2 Bmin = V (2.22) λr Για το f D = Β min από την (2.17) λαµβάνουµε: Β min = [(2V)/(λ. R)]. x min (2.23) 33

38 Εξισώνοντας τα δεύτερα µέλη των (2.22), (2.23) έχουµε: 2 λr Rλ = xmin 2 /( λ R) xmin = (2.24) 2 Αυτή είναι η βέλτιστη διαχωριστική ικανότητα η οποία αποκτάται από τη χρήση ενός σταθερού (fixed) φίλτρου για µια καθορισµένης απόσταση R (κεκλιµένη απόσταση). Παρατηρούµε πάλι ότι είναι ανεξάρτητη των διαστάσεων της κεραίας. Για να επιτύχουµε σωστή κατασκευή της εικόνας είναι απαραίτητο να χρησιµοποιηθεί για κάθε κυτίο απόστασης (range bin) και διαφορετικό εύρος ζώνης (σχήµα 2.6). Η χρήση µίας τράπεζας φίλτρων (filterbank) που ακολουθεί αυτές τις εξισώσεις εντός της ζώνης από την εγγύτερη απόσταση (near range) έως την απώτερη απόσταση (far range), δηλαδή R n R R f επιτρέπει µια σχετικά απλή επεξεργασία πραγµατικού χρόνου. Σχήµα 2.6 Το κυτίο απόστασης (range bin) στη SAR γεωµετρία λήψης. Εάν χρησιµοποιηθεί ένα κατάλληλο φίλτρο (εγκλωβισµού-tracking filter) τότε προκύπτει ένα σύστηµα προσαρµοσµένης εκποµπής και λήψης, όπως ονοµάζεται. Σ αυτό, ο συνολικός χρόνος φωτισµού του στόχου από το ραντάρ είναι ίσος µε το συνολικό χρόνο συλλογής δεδοµένων από το σύστηµα Τ D. Κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου ο φορέας (αεροσκάφος ή δορυφόρος) διαγράφει ένα µήκος L SA πάνω στην τροχιά του, το οποίο είναι και το µεγαλύτερο δυνατό συνθετικό άνοιγµα που µπορεί να επιτευχθεί. Ο χρόνος αυτός καλείται και χρόνος παραµονής (dwell time) και η σχέση που τον συνδέει προφανώς µε το συνθετικό άνοιγµα L SA είναι: L SA = V. Τ D (2.25) 34

39 και λύνοντας ως προς την ταχύτητα: V=( L SA / Τ D ) Αντικαθιστώντας αυτή την τιµή στην (2.16) έχουµε: f D =(2/λ). ( L SA / Τ D ). ( x/r) x = (λ. R/2L SA ). f D. Τ D (2.26) Για να µετρηθεί όµως ολίσθηση Doppler ίση µε f D θα πρέπει ο χρόνος παρατήρησης Τ D να είναι ίσος περίπου µε 1 / f D εποµένως: f D. Τ D 1 (2.27) κι η σχέση που µας δίνει την αζιµουθιακή διαχωριστική ικανότητα είναι: x = (λ. R/2L SA ) (2.28) Ως γνωστόν όµως οι σχέσεις που συνδέουν το πραγµατικό µήκος της κεραίας D, το ηµίσειας ισχύος εύρος δέσµης β hr, την πλευρική απόσταση R και το µήκος κύµατος λ είναι: και β hr = λ/d (2.29) L SA = B hr. R = λ. R/D (2.30) και αντικαθιστώντας αυτή την τιµή του L SA στη (2.28): x = λr/(2. λ. R/D) x =D/2 (2.31) Αυτή η σχέση είναι πολύ σηµαντική γιατί µας δίνει τη θεωρητικά βέλτιστη διαχωριστική ικανότητα ενός, όπως καλείται, εστιασµένου SAR (focused SAR). Παρατηρούµε ότι η διαχωριστική ικανότητα γίνεται καλύτερη καθώς µικραίνει το µήκος D της πραγµατικής κεραίας. Αυτό έρχεται σε αντίθεση µε όσα ισχύουν για τα ραντάρ πραγµατικού ανοίγµατος καθώς και µε τα περισσότερα οπτικά συστήµατα. Όµως όσο µικραίνει το µήκος της πραγµατικής κεραίας τόσο µεγαλύτερο γίνεται το Συνθετικό Άνοιγµα κι εποµένως είναι λογική η αύξηση της διαχωριστικής ικανότητας. Φυσικά η πραγµατική κεραία δεν µπορεί να γίνει οσοδήποτε µικρή γιατί διέπεται από περιορισµούς κατασκευαστικούς, ισχύος κ.α. Επίσης, είναι ανεξάρτητη από την απόσταση και το µήκος κύµατος. Κοιτώντας το σχήµα 2.6 παρατηρούµε ότι: για κάθε µία απόσταση, το κάθε ένα από τα κυτία απόστασης (range bin), αντιστοιχεί µε διαφορετικό συνθετικό άνοιγµα το µήκος του οποίου αυξάνει η απόσταση. Η µη εξάρτηση της διαχωριστικής ικανότητας από την απόσταση ήταν κι ένας σηµαντικός λόγος για την επέκταση της χρήσης των SAR από τα αεροσκάφη στα διαστηµικά SAR. Όπως έχουµε αναφέρει η δηµιουργία του συνθετικού ανοίγµατος για ένα SAR µπορεί να θεωρηθεί ως µία τεχνητή κατασκευή µιας τεράστιας κεραίας (η οποία δεν υπάρχει στην 35

40 πραγµατικότητα), κατασκευή η οποία επιτυγχάνεται µε τη βοήθεια τεχνικών της επιστήµης των υπολογιστών. Η ηχώ των σηµάτων που λαµβάνονται θα πρέπει να καταχωρούνται σωστά, ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πλάτος, τη φάση αλλά και τις αντίστοιχες θέσεις του αισθητήρα. Κατά τη διάρκεια των διαδικασιών επεξεργασίας εικόνας τα καταγεγραµµένα σήµατα θα πρέπει να αθροίζονται σωστά και να επεξεργάζονται κατάλληλα ώστε να δώσουν την απεικόνιση SAR. Οπωσδήποτε όµως θα υπάρχει µια διαφορά ανάµεσα σε µία κεραία πραγµατικού ανοίγµατος και σε µία συνθετικού ανοίγµατος και ιδίου µήκους. Ενώ στην πραγµατική κεραία το εύρος δέσµης β h δίνει µία εκτίµηση της διαχωριστικής ικανότητας, στη συνθετική κεραία λόγω και του συµφώνου φωτισµού πρέπει να ληφθεί υπ όψιν για το εύρος δέσµης ότι η µετατόπιση φάσης εισάγεται στη διαδροµή "από" και "προς" τον στόχο. Έτσι, για το αζιµουθιακό εύρος δέσµης (azimuth beamwidth) της συνθετικής κεραίας, ο παράγων ½ πρέπει να συµπεριληφθεί στη σχέση της αζιµουθιακής διαχωριστικής ικανότητας των ραντάρ πραγµατικού ανοίγµατος r=λ/d που δίνει το πρότυπο της πραγµατικής κεραίας. Ο χρόνος κατά τη διάρκεια του οποίου ένας σηµειακός στόχος φωτίζεται από τη δέσµη του ραντάρ ονοµάζεται όπως προαναφέρθηκε χρόνος παραµονής (dwelltime)t D (σχέση 2.25). Ο απαιτούµενος χρόνος παραµονής για µια καθορισµένη αζιµουθιακή διαχωριστική ικανότητα είναι: T D =(λ. R)/( x. V) (2.32) Ένας χρόνος φωτισµού T D µπορεί να επιτευχθεί, µε το εύρος δέσµης µιας κεραίας πραγµατικού ανοίγµατος: Β hα =(D/R o ) (2.33) Οι αποστάσεις όµως R από τα άκρα του συνθετικού ανοίγµατος έως το στόχο είναι µεγαλύτερες από την απόσταση R o του στόχου από το µέσο του ανοίγµατος. Γι αυτό δηµιουργείται η ανάγκη για κάποιου είδους διόρθωση (αντιστάθµιση-compensation) της φάσης που µετράται καθ όλη τη διάρκεια του χρόνου παραµονής του SAR πάνω από το στόχο. Ένα SAR που δεν κάνει τέτοια αντιστάθµιση, κι εποµένως δεν λαµβάνει υπόψιν του τη διαφορά των αποστάσεων που προαναφέραµε, ονοµάζεται µη εστιασµένο (unfocussed) SAR. Στην περίπτωση του εστιασµένου SAR η φάση και το πλάτος του εισερχόµενου σήµατος πρέπει να αποθηκεύεται εξίσου καλά όπως και του µη εστιασµένου. Αλλά πριν να αθροιστούν τα διάφορα σήµατα θα πρέπει να γίνει µια διόρθωση στη φάση η οποία θα εξισορροπεί τη µετατόπιση που προκαλείται εξ αιτίας της διαφοράς αποστάσεων R o -R. Η θεώρηση του SAR σαν µία στοιχειοκεραία (array), (Ουζούνογλου 1990), οδηγεί στις ίδιες ακριβώς εξισώσεις και αποτελέσµατα ως προς τη διαχωριστική ικανότητα, το µήκος του συνθετικού ανοίγµατος κ.α. όπως γίνεται εδώ µε την ερµηνεία και χρήση του φαινοµένου Doppler. Οπωσδήποτε όµως η έννοια του εστιασµένου και του µη εστιασµένου γίνεται πιο εύκολα κατανοητή στη θεώρηση του συνθετικού ανοίγµατος, η οποία κάνει πιο φυσική και την ονοµασία SAR. Στο Σχήµα 2.7 δίνεται η βασική ιδέα υλοποίησης του ραντάρ συνθετικού ανοίγµατος και υπολογισµού της διακριτικής ικανότητας στον άξονα των αζιµουθίων. 36

41 Σχήµα 2.7 Η ιδέα για τη δηµιουργία Ραντάρ Συνθετικού ανοίγµατος 2.4 Βάθος Εστίασης (Depth of Focus DOF) Βάθος εστίασης στη θεωρία επεξεργασίας εικόνων SAR ονοµάζεται η ακρίβεια µε την οποία µπορεί να ταιριάξει (matched) µια δοσµένη συνάρτηση αναφοράς τετραγωνικής φάσης (chirp) στη θεωρούµενη απόσταση, καθορίζει τον αριθµό των διαφορετικών συναρτήσεων αναφοράς που απαιτούνται για όλη τη θεωρουµένη ζώνη για τη συµπίεση αζιµουθίου. Επειδή η φάση που λαµβάνεται µεταβάλλεται, λόγω της απόστασης, από σειρά σε σειρά του πίνακα πρωτογενών δεδοµένων, καθορίζει για πόσες γραµµές του πίνακα µπορούµε να χρησιµοποιούµε το ίδιο αντίγραφο chirp στην αζιµουθιακή διεύθυνση διατηρώντας το σφάλµα της φάσης σε ανεκτά επίπεδα. Γίνεται αποδεκτό (Keydel, 1992) πως στο πέρας του συνθετικού ανοίγµατος ένα σφάλµα στον προσδιορισµό της φάσης της τάξης του λ/4 ή λ/8 για σήµα απλής και διπλής διαδροµής αντίστοιχα είναι ανεκτό. Με βάση αυτή την παραδοχή βρίσκεται (Tomiyasu, 1978) ότι το βάθος εστίασης δίνεται από τη σχέση: DOF = 8. x2/λ και µε αντικατάσταση της (2.28) στη (2.34): DOF = 2λRo2/(LSA)2 37 (2.34) (2.35)

42 Το βάθος της εστίασης παρατηρούµε ότι γίνεται µικρότερο όταν µικραίνει το y, η διαχωριστική ικανότητα κατά µήκος της αζιµουθιακής διεύθυνσης. Αυτό είναι σηµαντικό για την επεξεργασία εικόνων SAR γιατί αν π.χ. έχουµε λ=5cm, y=15m το DOF είναι περίπου 36km οπότε η επεξεργασία ζώνης 100km απαιτεί 3 διαφορετικές συναρτήσεις αναφοράς. Όσο περισσότερες συναρτήσεις αναφοράς απαιτούνται τόσο η επεξεργασία γίνεται πιο πολύπλοκη. 2.5 Tο συνθετικό άνοιγµα και η διαδικασία υλοποίησής του Ηχώ σήµατος Έστω ένα ραντάρ το οποίο εκπέµπει έναν παλµό διαµορφωµένο κατά συχνότητα µε (ανοιγµένη) φέρουσα συχνότητα ν ο και πλάτος διαµόρφωσης g(t): g(τ) exp (j 2π ν ο τ) ή (g(τ) cos ( ω αν τ)) (2.36) και έστω ένας µοναδιαίος σκεδαστής διαστάσεων πολύ µικρότερων από το µήκος κύµατος του σήµατος που εκπέµπει το ραντάρ (λ = c / ν ο ), ο οποίος βρίσκεται στο έδαφος σε πλάγια απόσταση R (range) από το ραντάρ. Στην περίπτωση που αυτή είναι η εγγύτερη τότε R = R o (σχήµα 2.8). t=to t>to v θ ο R o R(t-to; Ro) Μοναδιαίος σκεδαστής Σχήµα

43 Η γωνία φωτισµού του ραντάρ για το συγκεκριµένο σκεδαστή είναι θ ο και η γωνία την οποία σχηµατίζει ο σκεδαστής µε τον άξονα του κεντρικού λοβού της κεραίας, είναι η γωνία β (σχήµα 2.9). V Μοναδιαίος σκεδαστής Α β (β) Β άξονας κεντρικού Λοβού κεραίας Σχήµα 2.9 Η ηχώ του σήµατος η οποία λαµβάνεται στο ραντάρ ύστερα από την πρόσπτωση και σκέδαση από το συγκεκριµένο σκεδαστή είναι ανάλογη του σήµατος το οποίο εξέπεµψε το ραντάρ στο χρόνο τ 2R/c: α (θ) (θ) α (β) (β) g(τ 2R/c) exp (j 2π ν ο (τ 2R/c)) (2.37) όπου α (Θ) (θ) α (Β) (β) προσδιορίζουν την ένταση του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου της κεραίας στο χώρο ως συνάρτηση των διευθύνσεων οι οποίες ορίζονται από τις γωνίες β, θ. α (β) (β) = sinc2 (β L/ λ) όπου το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο µηδενίζεται για β = λ/l, µέγεθος το οποίο µας προσδιορίζει την διακριτική ικανότητα των ραντάρ πραγµατικού ανοίγµατος κατά την διεύθυνση των αζιµουθίων. Στην εξίσωση (2.37), η ηχώ του σήµατος είναι διαµορφωµένη κατά συχνότητα. Όταν το σήµα αποδιαµορφωθεί, τότε η φέρουσα συχνότητα θα εξαλειφθεί, και η ηχώ του σήµατος θα πάρει τη µορφή: α (θ) (θ) α (β) (β) g(τ 2R/c) exp (-j 4π R/λ) (2.38) Στην εξίσωση (2.38) ο όρος exp (-j 4π R/λ) είναι ο όρος της φάσης και εξαρτάται από την απόσταση R. Ο όρος αυτός είναι υπεύθυνος για την διαφορετική τιµή του σήµατος η οποία οφείλεται σε διαφορετικούς µοναδιαίους σκεδαστές που βρίσκονται στη σειρά κατά µήκος της πλάγιας απόστασης. Ο όρος g(τ 2R/c) προσδιορίζει την διακριτική ικανότητα του σήµατος κατά τη διεύθυνση της πλάγιας απόστασης. Η τεχνική chirp συµπίεσης εφαρµόζεται σ αυτόν τον όρο για τη βελτιστοποίηση της διακριτικής ικανότητας στη διεύθυνση των πλάγιων αποστάσεων. 39

44 Η εξίσωση του ραντάρ η οποία συνδέει την ισχύ P r που µετράται κατά την λήψη του κάθε παλµού, µε την ενεργό διατοµή radar του στόχου σ r και την εκπεµπόµενη ισχύ P t : P r (τ) = P t (τ 2R/c) λ 2 σ r G 2 o / (4π) 3 R 4 L Μπορεί να γραφεί: P r (τ) = P t (τ 2R/c) λ 2 σ r α (θ) (θ) 2 α (β) (β) 2 / (4π) 3 R 4 L (2.39) Με γνωστό ότι η ισχύς του σήµατος εξ ορισµού ισούται µε το τετράγωνο του πλάτους: P t (τ) = g(τ) 2 η εξίσωση (38) γράφεται: ( σ r ) C(R) α (β) (β) g(τ 2R/c) exp (-j 4π R/λ) (2.40) όπου C(R) = λ α (θ) (θ) α receiver / (4π) 3/2 R 2 Η γωνία φωτισµού (θ) και εποµένως και η συνάρτηση α (θ) µπορούν να θεωρηθούν ως συναρτήσεις της πλάγιας απόστασης. Ο όρος α receiver σχετίζεται µε την απόδοση της κεραίας και συνεπώς µε τις απώλειες L του συστήµατος Πίνακας πρωτογενών δεδοµένων ραντάρ (raw data) Βασιζόµενοι στην απόκριση ενός µοναδιαίου σκεδαστού θα προσπαθήσουµε να οργανώσουµε τα δεδοµένα τα οποία λαµβάνει η κεραία ενός ραντάρ. Έστω ένα ραντάρ το οποίο εκπέµπει περιοδικά παλµούς (σήµατα) µε συχνότητα επανάληψης παλµών PRF (pulse radar frequency) και λαµβάνει την ηχώ τους. Το ραντάρ εκπέµπει παλµούς της µορφής: g(τ- n/prf) exp (j 2π ν ο (τ n/prf)) (2.41) Κάθε ηχώ που λαµβάνεται αντιστοιχεί σε έναν παλµό εκποµπής. Εποµένως µπορούµε να διακρίνουµε τη µονοδιάστατη συνάρτηση χρόνου του σήµατος σε µεµονωµένα συµβάντα ηχούς τα οποία χαρακτηρίζονται από έναν δείκτη n και να τα αναδοµήσουµε σε δισδιάστατο πίνακα. Η µια διάσταση του πίνακα είναι αυτή των γρήγορων χρόνων ή χρόνων των αποστάσεων, η οποία µηδενίζεται µε την εκποµπή του κάθε παλµού (τ = 0) και η άλλη είναι ο χρόνος, 1/PRF, που µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών παλµών, πολλαπλασιασµένος µε τον δείκτη «n», ο οποίος είναι ο µετρητής των παλµών του ραντάρ. Η διάσταση αυτή είναι ενδεικτική για τη θέση του ραντάρ στη διεύθυνση των αζιµουθίων και ονοµάζεται διάσταση των αργών χρόνων ή διάσταση των χρόνων του αζιµουθίου. t = n / PRF 40

45 Σχήµα 2.10 Παρατηρούµε στο σχήµα 2.10, ότι ο εκπεµπεφθείς παλµός θα ληφθεί αφού στο µεταξύ έχει εκπεµπεφθεί ένας άλλος αριθµός παλµών, ο οποίος στην περίπτωση του ERS-1 είναι ίσος µε 9. ηλαδή για να ληφθεί ο παλµός που εκπέµπεται τη χρονική στιγµή t από τον ERS-1, θα ληφθούν πρώτα οι ήχοι των 9 προγενέστερων του. Η µία διάσταση του πίνακα είναι ο γρήγορος χρόνος (fast time) ή χρόνος των αποστάσεων (range time) τ, ο οποίος τώρα προσδιορίζεται για κάθε ηχώ παλµού ανεξάρτητα. Για τ=0 έχουµε το χρόνο εκποµπής του αντίστοιχου παλµού. Η δεύτερη διάσταση είναι ο µετρητής παλµών n, ο οποίος αντιστοιχεί σε µέτρηση της θέσης του αισθητήρα κατά µήκος της τροχιάς του. Είναι φανερό ότι η δεύτερη διάσταση είναι εκ κατασκευής διακριτή εξαρτώµενη από το µηχανισµό εκποµπής των παλµών του SAR. Ωστόσο, αντικαθιστούµε το n από µία συνεχή µεταβλητή, τον αργό χρόνο (slow time) ή χρόνο των αζιµουθίων (azimuth time) t, γεγονός το οποίο µας οδηγεί σε µια κοµψότερη µαθηµατική περιγραφή. Θεωρώντας το φορέα του ραντάρ ακίνητο από τη στιγµή εκποµπής έως τη στιγµή λήψης του παλµού (προσέγγιση start-stop η οποία για τα διαστηµικά SAR δεν εισάγει σηµαντικά λάθη) το t θεωρείται σαν σταθερά ίση µε: t = n/prf (2.42) 41

46 για το n-οστό ζεύγος παλµού/ηχούς. Στα σύγχρονα συστήµατα SAR οι ήχοι των παλµών δειγµατοποιούνται λαµβάνοντας υπόψη την τ-διάσταση. Η συχνότητα δειγµατοληψίας των αποστάσεων f, λαµβάνεται λίγο µεγαλύτερη από την συχνότητα Nyquist. Για τον ERS-1 είναι: f s =18.96 Mhz, ενώ η συχνότητα Nyquist είναι 15.5 Mhz. Η χρήση των δύο µεταβλητών t,τ µοιάζει κάπως τεχνητή αποδεικνύεται όµως πρακτική και δικαιώνεται από τη µεγάλη διαφορά χρονικής κλίµακας µεταξύ των t και τ. Εναλλακτικά µε το t, χρησιµοποιείται µία χωρική µεταβλητή η οποία περιγράφει την τροχιακή θέση του αισθητήρα και αναφέρεται στη βιβλιογραφία σαν συντεταγµένη αζιµουθίου. Σαν παράδειγµα αναφέρεται ότι µια γραµµή του πίνακα σειριακών δεδοµένων του SAR που φέρει ο δορυφόρος ERS-1 αποτελείται από 5616 µιγαδικά δείγµατα. Ενώ για µια εικόνα του που εκτείνεται περίπου 100km στην αζιµουθιακή διεύθυνση απαιτούνται περίπου γραµµές Απόκριση µοναδιαίου σκεδαστή στα ραντάρ συνθετικού ανοίγµατος Στα SAR πρωτογενή δεδοµένα, η θέση του κάθε µοναδιαίου σκεδαστή χαρακτηρίζεται από την τιµή που έχει στο χρόνο των αζιµουθίων όταν αυτός βρίσκεται στην εγγύτερη απόσταση από τον δέκτη t = t o και από την εγγύτερη πλάγια απόσταση από το δέκτη r o. Καθώς ο δέκτης κινείται µε ταχύτητα v, η απόσταση δέκτη σκεδαστή µεταβάλλεται και δίνεται από την εξίσωση: R 2 ( ) 2 2 ( t t r ) = r + v ( t t ) (2.43) o ; o o o ηλαδή οι τιµές της πλάγιας απόστασης για συγκεκριµένη ελάχιστη πλάγια απόσταση ακολουθούν µια υπερβολή (range history). Για διαφορετική ελάχιστη πλάγια απόσταση r O, η εξίσωση (2.43) θα δίνει άλλες τιµές οι οποίες όµως θα ακολουθούν παρόµοια καµπύλη. Εάν χρησιµοποιήσουµε την παραβολική της προσέγγιση, τότε: R( t- t o ; r o ) = r o + v 2 (t - t o ) 2 / 2 r o (2.44) Η διαφορά µεταξύ της πλάγιας απόστασης R( t- t o ; r o ) και της ελάχιστης πλάγιας απόστασης r o αναφέρεται ως µεταβολή της πλάγιας απόστασης (range migration) και σύµφωνα και µε τη (2.2): R( t- t o ; r o ) = v 2 (t - t o ) 2 / 2 r o (2.45) 42

47 Εκφράζοντας την πλάγια απόσταση R της εξίσωσης (2.40) ως συνάρτηση της ελάχιστης πλάγιας απόστασης r o, και θεωρώντας τις τιµές της γωνίας β µικρές, η απόκριση του µοναδιαίου σκεδαστή που δίνεται από την εξίσωση (2.40) ( σ r ) C(r) α (β) (β) g(τ 2R/c) exp (-j 4π R/λ) γράφεται: ( σ r ) C(r o ) α (β) (v (t- t o - t c ) / r o ) g(τ 2R((t - t o ; r o ) /c) exp ((j φ( t- t o ; r o ) ) (2.46) όπου η φάση φ( t; r o ) = -(4π/λ) R( t ; r o ) r 2 = r o 2 + v 2 t 2 και µε απλή παραδοχή ότι r + r o = 2r o, r - r o = v 2 t 2 / 2 r o και φ( t; r o ) = -(4π/λ) (r o + v 2 t 2 / 2 r o ) (2.47) Το σχήµα 2.11 βοηθά στην κατανόηση της εξίσωσης (2.46). Στην εξίσωση (2.46): C(r o ) = λ α (θ) (θ) α receiver / (4π) 3/2 R 2 : θεωρείται ως συνάρτηση της πλάγιας απόστασης και της γωνίας φωτισµού (θ). Σ αυτόν τον όρο υποθέτουµε ότι R = r o. α (β) (v (t- t o - t c ) / r o ): γίνεται συνάρτηση του χρόνου του αζιµουθίου. Και ονοµάζεται συνθετικό µήκος κεραίας. Για t= t o + t c ο µοναδιαίος σκεδαστής διέρχεται από τον άξονα του κεντρικού λοβού της κεραίας, το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο της κεραίας και εποµένως το κέρδος της κεραίας είναι το µέγιστο, και η µεταβλητή β µηδενίζεται. Για t o = 0 και t c = 0, η γωνία β είναι προσεγγιστικά β = v t / r o. g(τ 2R((t - t o ; r o ) /c) : περιγράφει το σήµα επιστροφής ενός παλµού και τη θέση του στους γρήγορους χρόνους. Οι επιπτώσεις της µεταβολής (µετακίνησης) της πλάγιας απόστασης (range migration) δείχνουν µια εξάρτηση της τιµής του πλάτους g() από το αζιµούθιο, σύµφωνα µε την εξίσωση τ = 2R (t - t o ; r o ) /c. Όταν το ραντάρ βλέπει τον στόχο µε την ελάχιστη απόσταση, δηλαδή η µεταβολή της πλάγιας απόστασης είναι µηδενική, τότε t = t o και τ = τ ο = 2 r o / c. exp ((j φ( t- t o ; r o ): ερµηνεύει τη διαδροµή του µοναδιαίου σκεδαστή µέσα από το σύνολο των δυνατών, διαφορετικών πλάγιων αποστάσεων µε την οποία παρατηρείται από το δέκτη, µε την ιστορία της φάσης. Ονοµάζεται και αζιµουθιακό chirp. Η στιγµιαία συχνότητα f D δίνεται από τη σχέση: 43

48 f D = (1/2π) d φ( t- t o ; r o ) / dt = - (2/ λ) d R( t- t o ; r o ) / dt = -(2 /λ R( t- t o ; r o )) v 2 ( t- t o ) = - v 2 ( t- t o ) 2 /λ r o Είναι προφανές ότι f D είναι η συχνότητα Doppler. Για t = t o η στιγµιαία συχνότητα είναι µηδέν. Γι αυτό t o καλείται και µηδενική κατά Doppler θέση του σκεδαστή (zero Doppler position). H φάση στη µηδενική κατά Doppler θέση του σκεδαστή είναι: Φ(0; r o ) = - 4π r o / λ Η συχνότητα Doppler την στιγµή που ο σκεδαστής βρίσκεται στον άξονα του κεντρικού λοβού της κεραίας, λέγεται και κεντροειδές Doppler (Doppler centroid) f DC. f DC = f D (t = t o + t c ) = - 2 v 2 t c / λ R( t c ; r o ) = FM. t c Oπου FM είναι ο ρυθµός διαµόρφωσης της συχνότητας του αζιµουθιακού chirp. Σχήµα 2.11 Η απόκριση του µοναδιαίου σκεδαστή σύµφωνα µε την εξίσωση (2.46). 44

49 2.6 ιακριτική ικανότητα των εστιασµένων SAR. Ανακεφαλαίωση Συχνότητα Doppler: f D ( t ) = d Φ 1 / 2π dt = 2 2 v t λ R o = 2 v λ vt R o = 2 v λ sin β 2 v λ β Εύρος ζώνης συχνοτήτων: f D = 2 v λ β = 2 v λ x R (2.48) Συνθετικό µήκος κεραίας: L = v T v = SA D L T SA D (2.49) ( 2.48) L ( 2.49) 2 SA x λr λr f D = x = f D TD x = λ TD R 2LSA 2LSA (2.50) Σύµφωνα µε τους νόµους της περίθλασης: λ L SA = R D ( 2.50 ) λ R x = = λ 2 R D D Εκτίµηση Κεντροειδούς Doppler και Μετακίνησης της Απόστασης. Καθώς το SAR κινείται και συλλέγει τα δεδοµένα µπορεί να συµβεί για διάφορους λόγους εκούσιους ή ακούσιους (π.χ. ο αέρας σ ένα αεροµεταφερόµενο SAR) η κεραία του να µην φωτίζει κάθετα στην επιφάνεια που θέλει να απεικονίσει αλλά µε µία µικρή γωνία κλίσης (squint angle) ψ. Αυτό προκαλεί µία µεταβολή της f D που λαµβάνεται από παλµό σε παλµό. Υπολογίζεται τότε η κεντρική συχνότητα (κεντροειδές) f DC που αντιστοιχεί στις συχνότητες των παλµών που ολοκληρώνονται. 45

50 Το κεντροειδές της συχνότητας Doppler συνήθως υπολογίζεται από φασµατική ανάλυση 2 στη διεύθυνση των αζιµουθίων, των δεδοµένων που έχουν επεξεργαστεί στη διεύθυνση των αποστάσεων. Καθώς όµως η f DC µεταβάλλεται γενικά µε την πλάγια απόσταση, η εκτίµηση γίνεται για διάφορες θέσεις µε διαφορετικές πλάγιες αποστάσεις και κατόπιν όλες αυτές οι ανεξάρτητες εκτιµήσεις µε µια πολυωνυµική συνάρτηση καθιστούν την f DC ως µια συνάρτηση εξοµάλυνσης (smooth function) του χρόνου των αποστάσεων τ. Η εκτίµηση κεντροειδούς Doppler είναι αναγκαία για να επιτευχθεί µεγιστοποίηση του λόγου σήµατος προς θόρυβο ( SNR) και ελεχιστοποίηση των ασαφειών φάσης στην αζιµουθιακή διεύθυνση (azimuth ambiguities), (Schrejer, 1993). Το φαινόµενο Doppler, όπως το έχουµε αναφέρει, είναι ένα αποτέλεσµα της αλλαγής της φάσης ανάµεσα στο radar και στο στόχο καθώς το radar κινείται στην τροχιά του. Η φάση δίνεται από τη σχέση (Barber, 1985). φ(t) = (4π/λ) (α 0 +α 1 t+α 2 t 2 ) (2.51) όπου: α 0 : κεκλιµένη αποστάση radar στόχου α 1 : η ταχύτητα της κεκλιµένης απόστασης α 2 : το ήµιση της επιτάχυνσης της κεκλιµένης απόστασης κι όλες οι παραπάνω τιµές λαµβάνονται για t=0, δηλ. στο κέντρο του συνθετικού ανοίγµατος. Συνήθως δεν λαµβάνονται οι όροι πέραν του α 2 παρά µόνο σε λίγους επεξεργαστές που προσπαθούν να επιτύχουν επιπλέον ακρίβεια. Ο γραµµικός όρος α 1 καλείται και µετατόπιση απόστασης (range walk) και ο τετραγωνικός όρος α 2 καλείται καµπυλότητα απόστασης (range curvature), σχήµα Καµπυλότητα της απόστασης R c (range curvature) ονοµάζεται η µη γραµµική µεταβολή της απόστασης µεταξύ ενός συγκεκριµένου στόχου και της κεραίας SAR κατά το χρονικό διάστηµα της υλοποίησης του συνθετικού ανοίγµατος. Μετατόπιση της απόστασης R w (range walk) ονοµάζεται η γραµµική µεταβολή της απόστασης κεραίας στόχου όταν για διάφορους λόγους η κεραία δεν είναι κάθετη στο άνυσµα της ταχύτητας αλλά έχει µία γωνιακή απόκλιση α. Το ίδιο αποτέλεσµα έχουµε και στην περίπτωση µη κυκλικής τροχιάς (άλλωστε η κυκλική τροχιά είναι προσέγγιση της πραγµατική) και εξ αιτίας της περιστροφής της γης. Η µεταβολή (µπορεί να ερµηνευτεί και ως µετακίνηση) της απόστασης (range migration) είναι (σχήµα 2.12) το αποτέλεσµα της συνδυασµένης επίδρασης (Τσιλιµπάρης, 1993) της καµπυλότητας της απόστασης και της µετατόπισης της απόστασης και αποτελεί το µεγαλύτερο πρόβληµα στο σχεδιασµό ενός SAR επεξεργαστή. 2 φασµατική ανάλυση: επεξεργασία του φάσµατος ενός σήµατος αντί του σήµατος του ίδιου. 46

51 Σχήµα 2.12 Καµπυλότητα και Μετατόπιση της απόστασης. Το πολυώνυµο των αποστάσεων α 0 +α 1 t+α 2 t 2 υπολογίζεται στη γενική περίπτωση για µια ελλειπτική τροχιά δορυφόρου λαµβάνοντας υπ όψιν την περιστροφή της Γης. Κρίνεται σκόπιµο ν αναφερθεί εδώ ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 διαφορετικές καταστάσεις στις οποίες ένα SAR µπορεί να λειτουργήσει (Barber, 1985): η κανονική απόσταση (range mode) η κεκλιµένη κατάσταση (squint mode) η κατευθυνοµένου φωτισµού κατάσταση (spotlight mode). Στην κανονική κατάσταση λειτουργίας το radar φωτίζει πλάγια στην τροχιά του και κάθετα σ αυτήν. Η κεκλιµένη κατάσταση λειτουργίας είναι παρόµοια µε την κανονική εκτός του ότι το radar φωτίζει µόνιµα µε κλίση είτε προς τα εµπρός είτε προς τα πίσω σε σχέση µε την κανονική (σχήµα 2.13). 47

52 Σχήµα 2.13 Στην κατευθυνοµένου φωτισµού κατάσταση η γωνία κλίσης του radar µεταβάλλεται συνεχώς καθώς αυτό παρατηρεί ένα στόχο ώστε να το φωτίζει συνεχώς και συνεπώς το µήκος του συνθετικού ανοίγµατος δεν περιορίζεται από το εύρος του αποτυπώµατος της κεραίας. Ένα πολύ µεγάλο µήκος συνθετικού ανοίγµατος µπορεί τότε να συντεθεί. Η µεταβολή της γωνίας κλίσης επιτυγχάνεται µεταβάλλοντας τη γωνία pitch 3 ή yaw του δορυφόρου βασιζόµενοι στη γωνία πρόσπτωσης του radar. Ας σηµειωθεί ότι η γωνία κλίσης δεν είναι ένας σταθερός αριθµός χαρακτηριστικός του προσανατολισµού του δέκτη όπως οι γωνίες roll, pitch, yaw. Η σχέση της µε το προσανατολισµό του αισθητήρα φαίνεται στο σχήµα Η γωνία pitch µε τιµή p προκαλεί µια γωνία κλίσης ψ µε: tanψ=cosθ ο tanp (2.52) και εάν ψ και p είναι αρκετά µικρές, προσεγγίζονται από: ψ pcosθ ο (2.53) Μία γωνία yaw µε τιµή y προκαλεί µία γωνία κλίσης ψ ίση µε: tanψ=sinθ ο tany (2.54) ή ψ ysinθ ο (2.55) Η γωνία roll σε µία πρώτη προσέγγιση δεν έχει καµµία επίδραση στη γωνία κλίσης ούτε και στο κεντροειδές Doppler. Από το σχήµα 2.12 παρατηρείται ότι: ro tc = tanψ v Με µια απλή έκφραση για την εκτίµηση της συχνότητας κεντροειδούς Doppler, δίνεται από τον R.Bamler (1992): 2v v tc 2v f DC = sinψ λ R( tc, ro ) (2.56) λ και λόγω των (2.53) και (2.55) f DC (2V/λ) (psinθ ο -y cosθ ο ) (2.56) Αν και η f DC µπορεί να υπολογιστεί από τα στοιχεία προσανατολισµού του αισθητήρα η επιτυγχανόµενη ακρίβεια δεν είναι συνήθως επαρκής για τη SAR-επεξεργασία. 3 Roll, Pitch, Yaw: είναι οι 3 γωνίες στροφής οι οποίες πρέπει να εφαρµοστούν δεξιόστροφα στο τοπικό σύστηµα συν/νων του δορυφόρου για να το παραλληλίσουν µε το γεωκεντρικό, η roll ως προς Χ, η pitch ως προς Y και η yaw ως προς Ζ. Είναι αντίστοιχες των γνωστών, από τη φωτογραµµετρία, ω, φ, κ για το αεροπλάνο. 48

53 Σχήµα 2.14 Η γωνία κλίσης ψ σαν συνάρτηση των γωνιών p, y και θ 0. Τα α 0 +α 1 t+α 2,... µπορούν να υπολογισθούν µε διάφορα µαθηµατικά µοντέλα και για τις 3 καταστάσεις λειτουργίας. Η µετακίνηση της απόστασης εισάγει µια εξάρτηση µεταξύ απόστασης και αζιµουθίου, κάνοντας το πρόβληµα της SAR επεξεργασίας διδιάστατο και µη διαχωρίσιµο. 2.8 Εστιασµένο Μη εστιασµένο SAR Σκοπός της επεξεργασίας SAR είναι η αναδόµηση µιας απεικόνισης από πολλούς παλµούς οι οποίοι είναι αποτέλεσµα της σκέδασης από κάθε ένα από τους µοναδιαίους στόχους, έχουν ληφθεί από την κεραία και έχουν εγγραφεί στη µνήµη. Η επεξεργασία SAR είναι σχετικά απλή αν και απαιτεί πολύ υπολογιστικό χρόνο. Για να έχει συνεχή φωτισµό ένα σηµείο, θα πρέπει ένας αριθµός παλµών Ν Μ να εκπέµπεται και να φωτίζει τον στόχο,. Ο αριθµός Ν Μ των παλµών ορίζεται από το µήκος L e που διανύεται, τη σχετική ταχύτητα V σχ στόχου δέκτη και το χρόνο µεταξύ της εκποµπής δύο γειτονικών παλµών T ε, L e = Ν Μ T ε V σχ. Εάν µετά την συλλογή των Ν Μ παλµών η ολοκλήρωση δίνεται από µια απλή άθροιση χωρίς παραπάνω επεξεργασία, τότε, όπως έχουµε αναφέρει και σο κεφάλαιο 2.3, έχουµε µη εστιασµένο SAR. Στην περίπτωση αυτή δεν χρησιµοποιούνται και οι Ν Μ παλµοί αλλά τόσοι ώστε η µεταβολή της φάσης στη διάρκεια των Ν παλµών να µην είναι µεγαλύτερη από 45 ο, το η διακριτική ικανότητα στον άξονα των αζιµουθίων εξαρτάται από την πλευρική απόσταση R 0 (εξίσωση 2.24). Eάν οι παλµοί οι οποίοι αθροίζονται διορθωθούν ως προς την φάση τους η οποία έχει µεταβληθεί λόγω της σχετικής ταχύτητας στόχου-δέκτη, τότε το σύστηµα αξιοποιεί τους Ν Μ παλµούς και το εύρος δέσµης βρίσκεται ότι είναι β = D / 2R 0. Στην περίπτωση αυτή έχουµε εστιασµένο SAR (focused). Έχουµε ήδη αναφέρει ότι τα radar χρησιµοποιούν την τεχνική διαµόρφωσης chirp η οποία είναι διαµόρφωση κατά συχνότητα µε σύγχρονη συµπίεση παλµού. Η 49

54 αποδιαµόρφωση (de-chirping) των σηµάτων επιστροφής πρέπει να γίνεται και κατά τις δύο διευθύνσεις, δηλαδή κατά τη διεύθυνση των πλευρικών αποστάσεων και κατά τη διεύθυνση των αζιµουθίων. Η τελευταία στηρίζεται στο ιστορικό φάσης για εστιασµένα SAR, το οποίο εξαρτάται από την πλευρική απόσταση. To εικονοστοιχείο της απεικόνισης SAR δεν έχει τις ίδιες διαστάσεις µε την ιακριτική Ικανότητα την υπολογισµένη κατά την λήψη των δεδοµένων. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η ιακριτική Ικανότητα στην διεύθυνση των πλευρικών αποστάσεων δεν είναι η ίδια αλλά αλλάζει ανάλογα µε την γωνία πρόσπτωσης. Γι αυτόν τον λόγο υπολογίζεται µια νέα Ι η οποία είναι ενιαία για όλη την απεικόνιση. Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Shannon η συχνότητα δειγµατοληψίας πρέπει να είναι δύο φορές η µέγιστη συχνότητα η οποία προκύπτει από την ανάλυση του σήµατος κατά Fourier. Άρα απαιτούνται δύο pixels για να έχουµε δείγµα της Ι του δέκτη. 2.9 Βασικά στοιχεία της γεωµετρίας της απεικόνισης SAR Τα µεγέθη τα οποία συνδέουν γεωµετρικά το δέκτη SAR µε τη γήινη επιφάνεια µπορούν να συνοψιστούν ως εξής (σχήµα 14). Ύψος πτήσης (altitude) η κάθετη απόσταση από την πλατφόρµα του δέκτη µέχρι την προβολή της πάνω στο ελλειψοειδές. Ναδίρ (Nadir) η προβολή του δέκτη πάνω στην γήινη επιφάνεια. Αζιµούθιο (Azimuth) η διεύθυνση πάνω στο έδαφος η παράλληλη µε την κίνηση της πλατφόρµας του SAR. Πλευρική διεύθυνση (range direction) η διεύθυνση µε την οποία µεταδίδεται το σήµα. Η διεύθυνση αυτή είναι κάθετη στην διεύθυνση των αζιµουθίων Πλευρικά διανύσµατα (range vectors) τα διανύσµατα τα οποία παριστάνουν την διεύθυνση και την απόσταση από την πλατφόρµα του δέκτη στη µοναδιαία γήινη επιφάνεια η οποία απεικονίζεται κατά την διάρκεια εκποµπής ενός παλµού. Κάθετο διάνυσµα (earth normal vector) η κατακόρυφη στην γήινη επιφάνεια. Πλευρική απόσταση (slant range) η απόσταση από τον δέκτη έως ένα στόχο ο οποίος βρίσκεται στην πλευρική διεύθυνση. Γήινη πλευρική απόσταση (ground range) η προβολή της πλευρικής απόστασης πάνω στην γη. Γνωστή και ως γεωγραφική απόσταση Εγγύς πλευρική απόσταση (near range) η εγγύτερη στο ναδίρ πλευρική απόσταση και εποµένως η συντοµότερη. Μακρινή πλευρική απόσταση (far range) η πιο µακρινή από το Ναδίρ πλευρική απόσταση. Πλάτος λήψης (swath width) το πλάτος της απεικόνισης στην πλευρική διεύθυνση Μήκος λήψης (swath length) το πλάτος της απεικόνισης στην διεύθυνση των αζιµουθίων. Γωνία φωτισµού θ (illumination angle) η γωνία η οποία σχηµατίζεται από την κατακόρυφο στο ναδίρ και το εκάστοτε πλευρικό διάνυσµα. Οσο το ύψος πτήσης της πλατφόρµας του δέκτη µεγαλώνει, η αύξηση της γωνίας φωτισµού από την εγγύς πλευρική απόσταση στη µακρινή µειώνεται. Γωνία συµπληρωµατική της γωνίας φωτισµού (depression angle). 50

55 Γωνία πρόσπτωσης (incidence angle) η γωνία η οποία σχηµατίζεται από την τοπική κατακόρυφη στην επιφάνεια της γης και την πλευρική διεύθυνση. Τοπική γωνία πρόσπτωσης (local incidence angle) η γωνία η οποία σχηµατίζεται από την τοπική κάθετη στην επιφάνεια της γης και την πλευρική διεύθυνση. Στις απεικονίσεις radar δεν πρέπει να συγχέεται το µέγεθος του αποτυπώµατος της κεραίας (antenna footprint), δηλαδή η προβολή επί του εδάφους ενός µόνο εκπεµπόµενου παλµού, µε την Ι του δέκτη. Κάτι το οποίο δεν συµβαίνει για τους ηλεκτρο-οπτικούς δέκτες. Για τον ERS 1 π.χ. το µέγεθος του αποτυπώµατος της κεραίας είναι της τάξης των 100χλµ. στη διεύθυνση των αποστάσεων στο έδαφος και 4.3χλµ. στην αζιµουθιακή διεύθυνση, ενώ η Ι είναι της τάξης των 25µ. Η συχνότητα επανάληψης των παλµών (PRF) έχει τιµές από 1640Hz έως 1720 Ηz. Ανάµεσα σε δύο διαδοχικά εκπεµποµένους παλµούς το αποτύπωµα της κεραίας του ERS 1 (µε ταχύτητα τροχιάς V s = 7456m/sec και ταχύτητα αποτυπώµατος V gr = 6650m/sec) µετακινείται περίπου 4µ δηλαδή λιγότερο από το 1/1000 της συνολικής έκτασής του. Μια τυπική απόσταση ανάµεσα στον αισθητήρα και τον σκεδαστή στο µέσο της απεικονιζοµένης λωρίδας είναι 850χλµ η οποία ανταποκρίνεται σε ένα χρόνο καθυστέρησης της ηχούς του σήµατος ίσο µε 5,67 x 10-3 sec = 9.5 x ( 1/ PRF), δηλαδή 9 παλµοί εκπέµπονται πριν ληφθεί από την κεραία η ηχώ του πρώτου παλµού. 51

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Στοιχεία Ερµηνείας των Απεικονίσεων RADAR Εισαγωγή Οι απεικονίσεις radar έχουν µερικά χαρακτηριστικά τα οποία είναι ριζικά διαφορετικά από αυτά των απεικονίσεων οι οποίες έχουν ληφθεί µε ηλεκτρο-οπτικούς δέκτες, π.χ. Landsat, Spot απεικονίσεις και αεροφωτογραφίες. Οι διαφορές σ αυτά τα χαρακτηριστικά οφείλονται στην διαφορετική τεχνική λήψης των απεικονίσεων radar και σχετίζονται είτε µε την ένταση του σκεδαζόµενου, καταγραφόµενου σήµατος (τόνος, κηλίδωση, υφή) ή µε την γεωµετρία εδάφους και λήψης της απεικόνισης. Οι απεικονίσεις radar είτε είναι σε ψηφιακή µορφή ή σε αναλογική, έχουν εντελώς διαφορετική όψη από αυτή την οποία έχει συνηθίσει να βλέπει το ανθρώπινο µάτι. Οι διαφορετικοί τόνοι του γκρίζου αντιστοιχούν σε διαφορετικό βαθµό της έντασης της σκεδαζόµενης ακτινοβολίας από τους στόχους. Οι σκιές οι οποίες παρατηρούνται στις απεικονίσεις radar σχετίζονται µε την γωνία πρόσπτωσης της µικροκυµατικής ακτινοβολίας η οποία εκπέµπεται από το radar και όχι µε τις συνθήκες φωτισµού της γήινης επιφάνειας από τον ήλιο. Γι αυτό οι απεικονίσεις radar κυρίως αναδεικνύουν τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά ενός στόχου σε αντίθεση µε τις απεικονίσεις οι οποίες έχουν ληφθεί στο ορατό και υπέρυθρο τµήµα του φάσµατος οι οποίες αναδεικνύουν το χρώµα, την χηµική σύνθεση ή την θερµοκρασία του στόχου. Οι οπτικές οµοιότητες µεταξύ των απεικονίσεων radar και των απεικονίσεων των ηλεκτρο-οπτικών δεκτών συχνά οδηγούν σε εσφαλµένα πορίσµατα, γι αυτό και η ανάλυση των απεικονίσεων radar απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή και ειδικές γνώσεις Στοιχεία φωτοερµηνείας των απεικονίσεων radar Τα βασικά φωτοερµηνευτικά χαρακτηριστικά των απεικονίσεων radar είναι: - Ο τόνος - Το σχήµα - Το µέγεθος 52

57 - Η σκιά - Το πρότυπο - Η δοµή - Η υφή Τα βήµατα και οι αρχές της φωτοερµηνευτικής µεθοδολογίας είναι όµοια µε αυτά των ηλεκτρο-οπτικών απεικονίσεων και περιγράφονται αναλυτικά στις σηµειώσεις του µαθήµατος Φωτοερµηνεία Τηλεπισκόπηση Τόνος Από τις ιδιότητες της µικροκυµατικής ακτινοβολίας, µία επιφάνεια θεωρείται τραχεία (rough) εάν η δοµή της επιφάνειάς της έχει διαστάσεις συγκρίσιµες µε αυτή του προσπίπτοντος µήκους κύµατος. Εάν µία επιφάνεια είναι τραχεία ή οµαλή εξαρτάται από το µέγεθος των µεταβολών της κατά ύψος, το µήκος κύµατος και την γωνία πρόσπτωσης. Οσο µεγαλύτερη είναι η γωνία πρόσπτωσης και το µήκος κύµατος τόσο πιο οµαλή εµφανίζεται η επιφάνεια. Το σχήµα 3.1 δείχνει την προσπίπτουσα ακτινοβολία σε τρεις, διαφορετικής οµαλότητας, επιφάνειες. Η τραχύτερη επιφάνεια σκεδάζει την ακτινοβολία ισόποσα προς όλες τις κατευθύνσεις (diffuse reflectance), µε αποτέλεσµα να επιστρέφει σήµα υψηλής έντασης στο δέκτη και η απεικόνιση να εµφανίζει ανοικτούς τόνους του γκρι γι αυτόν το στόχο. Αντίθετα το ήρεµο νερό π.χ. το οποίο έχει οµαλή επιφάνεια συµπεριφέρεται ως τέλεια ανακλαστική επιφάνεια (specular reflectance) µε αποτέλεσµα να µην υπάρχει σήµα επιστροφής και ο στόχος να εµφανίζεται µε σκούρους τόνους του γκρι. Γενικά, οι τόνοι του γκρίζου οι οποίοι εµφανίζονται σε µία απεικόνιση radar αντιστοιχούν σε διαφορετικούς συντελεστές οπισθοσκέδασης οι οποίοι µε τη σειρά τους αντιστοιχούν σε διαφορετικούς τύπους στόχων. Ο συντελεστής οπισθοσκέδασης µιας επιφάνειας παίζει τον σηµαντικότερο ρόλο στην διαµόρφωση των τόνων του γκρίζου µιας απεικόνισης. Αλλες παράµετροι είναι η υγρασία (διηλεκτρική σταθερά) του στόχου, η γωνία πρόσπτωσης και ο προσανατολισµός του στόχου ως προς την γωνία όρασης του radar. Οσο µεγαλώνει η γωνία πρόσπτωσης τόσο ελαττώνεται το σήµα επιστροφής. Στο σχήµα 3.2, το ήρεµο νερό εµφανίζεται µε σκούρους τόνους στην απεικόνιση, τα δένδρα µε µεσαίους τόνους και τα κτήρια µε υψηλούς τόνους. Στον τόνο του γκρίζου των κτηρίων πρωτεύοντα ρόλο έπαιξε ο προσανατολισµός τους ως προς την γωνία όρασης του radar. 53

58 Σχήµα 3.1 Σχήµα Σχήµα Μπορεί απλά να αποδοθεί ως το όριο ενός αντικειµένου. Μερικά φυσικά και τεχνικά αντικείµενα έχουν χαρακτηριστικό σχήµα στις radar απεικονίσεις και συντελεί στην αναγνώρισή τους, π.χ., οι αεροδιάδροµοι οι οποίοι εµφανίζονται µε σκούρο τόνο του γκρίζου, µερικές αστικές εµπορικές ζώνες µε φωτεινές λωρίδες, αγροί µε αξονικά περιστρεφόµενο σύστηµα άρδευσης ως κύκλοι µε διαφορετικό τόνο και υφή, κλπ. Το σχήµα των αντικειµένων το οποίο µπορεί να ανιχνευτεί εξαρτάται από την διαχωριστική ικανότητα του δέκτη. Μεµονωµένα κτήρια ή δένδρα δεν είναι δυνατόν να ανιχνευτούν. 54

59 Υφή Η υφή αναφέρεται στον βαθµό τραχύτητας µιας απεικονιζόµενης επιφάνειας και εκφράζει την συχνότητα εναλλαγής των τόνων του γκρίζου ανά µοναδιαία επιφάνεια. Το µοναδιαίο στοιχείο υφής είναι το µικρότερο ραδιοµετρικά στοιχείο το οποίο συνθέτει την υφή. Η υφή στις radar απεικονίσεις µπορεί να χαρακτηριστεί ως µικρο- υφή, µεσο-υφή και µακρο-υφή. Με το επόµενο παράδειγµα µπορούµε να καταλάβουµε τη διαφορά ανάµεσα στα τρία διαφορετικά είδη υφής. Ένας δέκτης ίπταται πάνω από µια δασώδη περιοχή σε τέτοιο ύψος ώστε να µην µπορεί να διακρίνει µεµονωµένα φύλλα αλλά αρκετά χαµηλά ώστε να διακρίνει την συγκόµοση των δένδρων. Πρώτα διακρίνει τις διαφορετικές συγκεντρώσεις δένδρων. Τα δένδρα τα οποία απαρτίζουν µια συγκέντρωση µπορεί να είναι οξιές, πεύκα, δρύες, κλπ. Οι διαφορετικές συγκεντρώσεις ορίζουν τη µακρο-υφή ή τη δοµή µιας απεικόνισης. Οι συγκοµόσεις των δένδρων είναι οι µοναδιαίες επιφάνειες για τη διάκριση των διαφορετικών ειδών δένδρων. Αυτές ορίζουν τη µεσο-υφή και µια συγκόµοση είναι το µοναδιαίο στοιχείο υφής στο παράδειγµα. Ο τόνος του γκρίζου του κάθε pixel εξαρτάται από την ποσότητα και τον προσανατολισµό των φύλλων τα οποία σκεδάζουν την ακτινοβολία. Τα οριζόντια φύλλα σκεδάζουν πολύ περισσότερη ακτινοβολία από ότι τα κάθετα. Αυτή η διαφορά φωτεινότητας µεταξύ εικονοστοιχείων τα οποία ανήκουν στην ίδια κατηγορία εµφανίζονται στην απεικόνιση ως µικρο-υφή και είναι η λεγόµενη κηλίδωση ή θόρυβος radar απεικόνισης. Ο πίνακας του σχήµατος 3.3 παρουσιάζει τα τρία είδη υφής: Σχήµα 3.3 Α. Τη µικρο-υφή ή κηλίδωση (speckle) η οποία εµφανίζεται µε γειτονικά εικονοστοιχεία διαφορετικής, τυχαίας φωτεινότητας. Οφείλεται στα τεχνικά χαρακτηριστικά του συστήµατος radar και δεν αντιστοιχεί σε πραγµατική µεταβολή της 55

60 ραδιοµετρίας µεταξύ των γειτονικών εικονοστοιχείων. Γι αυτό και η κηλίδωση αποδίδεται ως υφή του συστήµατος και όχι της απεικόνισης. Η κηλίδωση καθιστά δυσχερή την φωτο-ερµηνεία των radar απεικονίσεων γι αυτόν το λόγο και απαιτείται η αφαίρεσή της. Αυτή δεν είναι εύκολη και αντιµετωπίζεται µε τεχνικές φιλτραρίσµατος επειδή η κηλίδωση µπορεί να θεωρηθεί ως µέγεθος στατιστικά επεξεργάσιµο. Β. Τη µεσο-υφή ή υφή της απεικόνισης η οποία είναι η φυσική µεταβολή της τιµής της οπισθοσκέδασης σε µια επιφάνεια η οποία αντιστοιχεί σε πλήθος µερικών pixels. Εάν πάρουµε ως παράδειγµα το δάσος, οι υψηλές ψηφιακές τιµές οι οποίες αντιστοιχούν σε µέρη του δένδρου τα οποία κοιτάζουν προς το radar είναι δίπλα σε χαµηλές, οι οποίες αντιστοιχούν σε µη φωτιζόµενα µέρη του δένδρου. Το αποτέλεσµα είναι µια υφή της οποίας το µοναδιαίο στοιχείο απαρτίζεται από µερικά εικονοστοιχεία. Αυτή η υφή απεικόνισης δίνει σηµαντικές πληροφορίες για την αναγνώριση αντικειµένων / φαινοµένων πάνω στην απεικόνιση. Γ. Τη µακρο-υφή ή δοµή η οποία αντιστοιχεί σε µεταβολές των τιµών των εικονοστοιχείων τα οποία συνολικά, αντιστοιχούν σε επιφάνεια σχετικά µεγάλης έκτασης. Το σχήµα 3.4 δείχνει την δοµή (structure) µιας απεικόνισης για διαφορετικές κατηγορίες. Τα σύνολα των εικονοστοιχείων τα οποία αντιστοιχούν σε αγρό, σε δρόµο και σε δάσος χαρακτηρίζονται από διαφορετική µακρο-υφή. Η παράµετρος της µακρουφής είναι ιδιαίτερα σηµαντική στην φωτο-ερµηνεία των απεικονίσεων radar, ιδιαίτερα για εφαρµογές γεωλογίας και ωκεανογραφίας. Η µακρο-υφή ανιχνεύεται µε τη βοήθεια µεθόδων και τεχνικών ανίχνευσης ακµών ή άλλων προτύπων. 56

61 Σχήµα 3.4 Συνοψίζοντας θα µπορούσαµε να πούµε ότι: 1. H κηλίδωση επικάθεται της υφής και της δοµής δηµιουργώντας προβλήµατα στις επεξεργασίες υφής ή αναγνώρισης γραµµών. Είναι θόρυβος πολλαπλασιαστικός και όχι προσθετικός. ηλαδή ενισχύοντας τις τιµές της απεικόνισης (ως αποτέλεσµα αύξησης της εκπεµπόµενης ισχύος), ενισχύεται και η κηλίδωση 2. Τόνος είναι η µέση τιµή της ενεργού διατοµής radar για επιφάνεια αντίστοιχη του ενός εικονοστοιχείου. Η χωρική εναλλαγή του τόνου µας δίνει την υφή. 3. Η υφή σχετίζεται µε τη χωρική κατανοµή των τιµών των εικονοστοιχείων και εξαρτάται από την περιοχή απεικόνισης, για ένα σύστηµα το οποίο παρέχει απεικονίσεις σταθερής ποιότητας 4. Η υφή και η δοµή εξαρτώνται από τη διακριτική ικανότητα του συστήµατος. 5. Οποιαδήποτε επεξεργασία υφής πρέπει να εκτελείται σε απεικονίσεις SAR µη διορθωµένες γεωµετρικά, γιατί οποιαδήποτε γεωµετρική διόρθωση όπως π.χ. αυτή η οποία µετατρέπει την πλευρική απόσταση σε απόσταση εδάφους έχει επιπτώσεις στη ραδιοµετρία (τις αρχικές ψηφιακές τιµές) των απεικονίσεων. 57

62 3.2 Κηλίδωση Q φάση Σχήµα 3.5 Μία λεπτοµερής ανάλυση των απεικονίσεων radar δείχνει ότι ακόµη και για µια οµοιόµορφη, οµαλή επιφάνεια υπάρχουν σηµαντικές µεταβολές του τόνου του γκρίζου (ή των ψηφιακών τιµών) µεταξύ γειτονικών εικονοστοιχείων. Αυτές οι µεταβολές οφείλονται στο γεγονός ότι το radar χρησιµοποιεί «σύµφωνη» ακτινοβολία (coherent) ή ακτινοβολία η οποία βρίσκεται σε φάση, η οποία όµως µπορεί να µεταβληθεί από έναν εκτεταµένο στόχο ο οποίος θεωρείται ότι έχει αρκετά «κέντρα» οπισθοσκέδασης που συµβάλλουν θετικά ή αρνητικά στο τελικό σήµα επιστροφής. Το σχήµα 3.5 δείχνει την συµβολή των µικρών τυχαία κατανεµηµένων σκεδαστών οι οποίοι συνθέτουν τη µοναδιαία επιφάνεια του στόχου, στο σήµα επιστροφής (συνιστώσες I και Q) του radar. Το αποτέλεσµα της κηλίδωσης στην απεικόνιση είναι ένας θόρυβος ο οποίος ονοµάζεται «αλατοπίπερο» (salt and pepper). Η κηλίδωση (speckle) είναι απόρροια του συστήµατος radar και δεν οφείλεται στη διαφορετική ένταση σκέδασης των φωτιζόµενων µοναδιαίων επιφανειών. Προσδίδει κοκκώδη επιφάνεια στους στόχους, η οποία όµως διαφέρει από την υφή της απεικόνισης. Η κηλίδωση αντιµετωπίζεται ως ένα στατιστικά επεξεργάσιµο µέγεθος. ηλαδή θεωρείται οι τιµές του συντελεστή οπισθοσκέδασης του ίδιου στόχου σε διαδοχικές χρονικά παρατηρήσεις, ακολουθούν µια κατανοµή. Αυτή µπορεί να είναι η κανονική, η εκθετική ή η κατανοµή του Rayleigh. Έχουν έναν µέσο όρο και µια τυπική απόκλιση. Σκοπός είναι να µειωθεί κατά το δυνατόν η τυπική απόκλιση αυτών των τιµών, ώστε να έχουµε σύµφωνες αποκρίσεις από τον ίδιο στόχο. Για να επιτύχουµε αυτό και εποµένως τη µείωση της κηλίδωσης, µπορούµε να υπολογίσουµε και να αντικαταστήσουµε την τιµή του κάθε εικονοστοιχείου µιας απεικόνισης SAR µε το µέσο όρο των τιµών των αντίστοιχων pixels, πολλών στατιστικά ανεξάρτητων απεικονίσεων SAR της ίδιας περιοχής. Επειδή όµως τις περισσότερες φορές δεν υπάρχουν διαθέσιµες πολλές 58

63 απεικονίσεις SAR της ίδιας περιοχής, γι αυτό για τη µείωση της κηλίδωσης, ακολουθούνται δύο κυρίως µέθοδοι. Α Πολλών όψεων επεξεργασία απεικονίσεων SAR (multi-look processing). Αντί να εστιάσουµε όλα τα δεδοµένα µιας απεικόνισης στη µέγιστη διακριτική ικανότητα, χωρίζουµε τα διαθέσιµα εύρη ζωνών στη διεύθυνση των αποστάσεων ή των αζιµουθίων ή και των δύο σε περισσότερες ζώνες µε µικρότερο εύρος και τις εστιάζουµε ως ανεξάρτητες απεικονίσεις. Κάθε µία από αυτές ονοµάζεται όψη (look). Εάν τα φασµατικά εύρη δεν επικαλύπτονται καθόλου, τότε αυτές οι απεικονίσεις είναι ασυσχέτιστες, δηλαδή στατιστικά ανεξάρτητες και το εύρος των τιµών της κηλίδωσης ελαττώνεται κατά Ν, όπου Ν ο αριθµός των στατιστικά ανεξάρτητων απεικονίσεων. Με αυτόν τον τρόπο µπορούµε π.χ. να έχουµε 8 απεικονίσεις για την ίδια περιοχή µε µειωµένη κηλίδωση αλλά και µε µειωµένη κατά 8, διαχωριστική ικανότητα η κάθε µία. Β Τεχνικές φιλτραρίσµατος Υπάρχει µία ισοδυναµία µεταξύ της επεξεργασίας πολλών όψεων η οποία προκύπτει από την διαίρεση του φάσµατος των συχνοτήτων και της χωρικής ανάλυσης της απεικόνισης 59

64 η οποία επιτυγχάνεται µε χωρική ολοκλήρωση συνήθως κατά τις δύο διευθύνσεις της απεικόνισης. Η χωρική ολοκλήρωση επιτυγχάνεται µε την εφαρµογή ενός χαµηλο-περατού φίλτρου (low-pass filter) το οποίο φιλτράρει τις υψηλές τιµές της απεικόνισης ενώ «αφήνει να περάσουν» οι χαµηλές τιµές. Χαρακτηριστικό χαµηλο-περατό φίλτρο είναι αυτό του µέσου όρου (mean filter) (βλέπε παράρτηµα). Στις απεικονίσεις SAR αυτό εφαρµόζεται σε µιας όψεως απεικόνιση µε πλήρη διακριτική ικανότητα. Από την εφαρµογή του φίλτρου σε µη επικαλυπτόµενα παράθυρα της απεικόνισης, προκύπτουν περισσότερες της µιας απεικονίσεις µε µειωµένη διαχωριστική ικανότητα, δηλαδή καταλήγουµε στο ίδιο αποτέλεσµα ως να είχαµε απεικονίσεις πολλών όψεων. Με την εφαρµογή αυτού του φίλτρου έχουµε ικανοποιητικά αποτελέσµατα αλλά και µείωση της χρήσιµης πληροφορίας της απεικόνισης της σχετικής µε ακµές και υφή. Γι αυτόν το λόγο έχουν αναπτυχθεί κατά καιρούς φίλτρα προσαρµοσµένα στις απαιτήσεις των απεικονίσεων SAR όπως αυτά του Lee (φίλτρο Lee και Lee-Sigma,1981), του Frost (1982), του Lopes et al.(gamma Maximum A Posteriori filter, 1990), κλπ., (βλέπε παράρτηµα). Και οι δύο µέθοδοι ελαττώνουν την κηλίδωση µε αντίτιµο την ελάττωση της χωρικής διακριτικής ικανότητας. Η επιτυγχανόµενη ελάττωση της κηλίδωσης µπορεί να ποσοτικοποιηθεί µε τον ορισµό του αποδοτικού αριθµού των πολλών όψεων απεικονίσεων (effective number of looks) Ν eff. Αυτός ισούται µε τον λόγο του τετραγώνου της µέσης τιµής της κηλίδωσης προς το τετράγωνο της µεταβλητότητάς της. Αυτός ο αριθµός είναι το πιο σηµαντικό στοιχείο αξιολόγησης της κηλίδωσης και δεν συµπίπτει κατ ανάγκην µε τον προδιαγεγραµµένο αριθµό των απεικονίσεων πολλών όψεων. Για παράδειγµα ο δορυφόρος Seasat είχε Ν = 4 όµως τυπικά ήταν Ν eff = 3.3. Aυτό ήταν συνέπεια της µορφής του πεδίου της κεραίας κατά τον άξονα των αζιµουθίων Επιπτώσεις του ανάγλυφου και της γεωµετρίας των radar απεικονίσεων, στη φωτοερµηνευτική διαδικασία Η πλευρική απόσταση και η απόσταση εδάφους Οπως ήδη έχουµε αναφέρει το radar µετρά πλευρικές αποστάσεις (slant range), η δε διακριτική του ικανότητα κατά τη διεύθυνση των πλευρικών αποστάσεων είναι ίση µε cτ/2, όπου c η ταχύτητα του φωτός και τ ο χρόνος διάρκειας του παλµού. β S r cτ/2 G r cτ 2cosβ Σχήµα

65 Μια απεικόνιση SAR µπορεί να εγγραφεί είτε κατά τη διεύθυνση των πλευρικών αποστάσεων ή κατά τη διεύθυνση των αποστάσεων εδάφους (ground range). Εάν µία απεικόνιση SAR την παρατηρούµε κατά τη διεύθυνση των πλευρικών αποστάσεων, τότε η αντίστοιχη επιφάνεια επί του εδάφους έχει υποστεί µία παραµόρφωση κατά τη διεύθυνση των αποστάσεων εδάφους όµοια µε αυτή του σχήµατος 3.7. Γι αυτόν το λόγο πολλά συστήµατα εγγράφουν τις απεικονίσεις κατά την διεύθυνση των αποστάσεων εδάφους αφού προηγουµένως τις διορθώσουν για κάθε εικονοστοιχείο έτσι ώστε να µην υπάρχει παραµόρφωση (σχήµα 3.7). Στο σχήµα 3.7 δίνεται επίσης και η γεωµετρία µιας πλάγιας αεροφωτογραφίας για συγκριτικούς λόγους. Η σχέση η οποία συνδέει µια µέτρηση G r στην διεύθυνση των αποστάσεων εδάφους µε µια µέτρηση S r στη διεύθυνση των πλευρικών αποστάσεων είναι G r / S r = 1/cosβ = secβ Όπου β είναι η συµπληρωµατική της γωνίας φωτισµού. Σχήµα 3.7 Η γωνία β για ένα radar το οποίο είναι αεροµεταφερόµενο µεταβάλλεται πολύ περισσότερο από ότι για ένα radar το οποίο βρίσκεται σε διαστηµική πλατφόρµα. Γι αυτό και τα radar τα οποία βρίσκονται σε διαστηµικές πλατφόρµες έχουν περισσότερο οµοιόµορφη γεωµετρία φωτισµού. Πρέπει όµως τα δεδοµένα τα οποία συλλέγονται να διορθώνονται από τα σφάλµατα λόγω καµπυλότητας της γης, περιστροφής της γης και τροχιακών αποκλίσεων. Τα σχήµατα 3.8 και 3.9 παρουσιάζουν την γεωµετρία φωτισµού 2 ενός αεροµεταφερόµενου radar το οποίο έχει τυπικό ύψος 5-10χλµ. και γωνία πρόσπτωσης 45 ο για την εγγύτερη πλευρική απόσταση και 80 ο για την απώτερη και 61

66 3 ενός radar το οποίο φέρεται σε διαστηµική πλατφόρµα µε τυπικό υψόµετρο 800 χλµ. και γωνίες πρόσπτωσης οι οποίες µεταβάλλονται κατά 2 ο. Η παραµόρφωση κατά την διεύθυνση των πλευρικών αποστάσεων δεν είναι η µοναδική στις απεικονίσεις radar. Υπάρχουν και παραµορφώσεις όπως σε όλες τις απεικονίσεις οι οποίες οφείλονται σε εκτροπές λόγω ανάγλυφου, και απαιτείται ψηφιακό µοντέλο εδάφους για τη διόρθωση τους. Σχήµα 3.8 Σχήµα

67 Σ αυτές τις περιπτώσεις είναι η τοπική γωνία πρόσπτωσης (σχήµα 3.10) η οποία εν µέρει προσδιορίζει τον τόνο του γκρίζου των εικονοστοιχείων της απεικόνισης τα οποία αντιστοιχούν σε κεκλιµένη επιφάνεια. Το σχήµα 3.11 δείχνει πόσο το ανάγλυφο έχει επιπτώσεις τόσο στη γεωµετρία της απεικόνισης, όσο και στις ψηφιακές τιµές της. Η πλευρά Β η οποία έχει τη µικρότερη τοπική γωνία πρόσπτωσης έχει τη µεγαλύτερη οπισθοσκέδαση µέσα στη γωνία όρασης του radar και εποµένως τις µεγαλύτερες ψηφιακές τιµές (ή φωτεινότερες τιµές του γκρίζου), ενώ η πλευρά D η οποία έχει τη µεγαλύτερη τοπική γωνία πρόσπτωσης έχει τη µικρότερη οπισθοσκέδαση και εποµένως τις µικρότερες ψηφιακές τιµές. Οι πλευρικές αποστάσεις καθώς προβάλλονται στο χαρτογραφικό υπόβαθρο της περιοχής σκιαγραφούν τόσο την κλίµακα της απεικόνισης, όσο και τις παραµορφώσεις λόγω ανάγλυφου. Εάν χρησιµοποιηθεί ψηφιακό µοντέλο εδάφους, τότε οι υπολογιζόµενες αποστάσεις εδάφους είναι απαλλαγµένες από σφάλµατα λόγω ανάγλυφου. Σχήµα

68 Σχήµα 3.11 Σκιά, σµίκρυνση, πτύχωση Οι σκιές στις radar απεικονίσεις είναι συγκεντρώσεις εικονοστοιχείων µε χαµηλές ψηφιακές τιµές και όχι µηδενικές λόγω κυρίως του θορύβου του συστήµατος. Οι αντίστοιχες περιοχές στο έδαφος δεν φωτίζονται από την ακτινοβολία του radar και γι αυτό δεν δίνουν σήµα επιστροφής. Εάν µια κεκλιµένη επιφάνεια η οποία κοιτάζει αντίθετα προς το radar έχει κλίση µεγαλύτερη από την συµπληρωµατική της γωνίας όρασης γωνία (depression angle), τότε παράγει σκιά. ύο αντικείµενα µε το ίδιο ύψος µπορούν να παράγουν σκιά στις απεικονίσεις radar διαφορετικού µεγέθους (σχήµα 3.12). Αυτό οφείλεται στη διαφορετική γωνία όρασης του radar γι αυτούς τους δύο στόχους. Οι σκιές των αντικειµένων τα οποία βρίσκονται στις εγγύτερες πλευρικές αποστάσεις είναι µικρότερες σε µέγεθος από αυτές των αντικειµένων τα οποία βρίσκονται στις απώτερες πλευρικές αποστάσεις. Γι αυτόν το λόγο οι σκιές είναι ενδεικτικές για την διεύθυνση από την οποία φωτίζεται µια περιοχή από την ακτινοβολία του radar. Οι σκιές είναι επίσης ενδεικτικές για τον υπολογισµό του ύψους των αντικειµένων. 64

69 Σχήµα 3.12 Εάν η κλίση µιας επιφάνειας η οποία βλέπει προς την κεραία του radar είναι µικρότερη από την γωνία πρόσπτωσης της δέσµης του radar, τότε έχουµε σµίκρυνση της επιφάνειας, δηλαδή συµπίεση των επιφανειών µε κλίση προς το radar (σχήµα 3.13). Αυτή συνοδεύεται µε ενίσχυση του επιστρεφόµενου σήµατος, η οποία φτάνει στο µέγιστό της όταν η κλίση της επιφάνειας είναι κάθετη στη δέσµη του radar. Σ αυτή την περίπτωση η τοπική γωνία πρόσπτωσης είναι µηδενική και όλα τα σηµεία της κεκλιµένης επιφάνειας απέχουν ίδια απόσταση από το radar και γι αυτό έχουν την ίδια θέση στην απεικόνιση. Αυτή είναι η µέγιστη δυνατή σµίκρυνση µιας επιφάνειας και αντιµετωπίζεται µε την γεωµετρική διόρθωση της απεικόνισης λαµβάνοντας υπ όψη το ψηφιακό µοντέλο εδάφους. Στην περίπτωση την οποία έχουµε πολύ απότοµες πλαγιές (σχήµα 3.14), τα σηµεία τα οποία βρίσκονται στην κορυφή έχουν µικρότερη πλευρική απόσταση ακόµη και από σηµεία τα οποία βρίσκονται σε επίπεδες επιφάνειες και οπτικά εγγύτερα στο ναδίρ του radar, µε αποτέλεσµα η διάταξη όλων αυτών των σηµείων στην απεικόνιση είναι ακριβώς η αντίθετη από αυτήν της φυσικής πραγµατικότητας. Αυτή η ανάστροφη απεικόνιση ονοµάζεται πτύχωση. Συνήθως οι πτυχώσεις σε µια απεικόνιση εµφανίζονται µε υψηλότερες ψηφιακές τιµές λόγω της µικρής γωνίας πρόσπτωσης την οποία έχουν οι αντίστοιχες επιφάνειες. Η πτύχωση ελαττώνεται και οι σκιές αυξάνουν όσο αυξάνονται οι γωνίες πρόσπτωσης. Η πτύχωση είναι µία ακραία περίπτωση σµίκρυνσης. Αυτό συµβαίνει όταν η κλίση της επιφάνειας η οποία βλέπει προς το radar, είναι µεγαλύτερη από τη γωνία πρόσπτωσης της δέσµης του radar. 65

70 Σχήµα 3.13 Σχήµα 3.14 Συνοψίζοντας τα παραπάνω µπορούµε να κάνουµε τις ακόλουθες παρατηρήσεις τις σχετικές µε τη γεωµετρία των απεικονίσεων SAR. Για περιοχές µε ήπιο ανάγλυφο, οι µεγαλύτερες γωνίες πρόσπτωσης ενισχύουν ελαφρά τα τοπογραφικά χαρακτηριστικά. Για περιοχές µε έντονο ανάγλυφο, η πτύχωση ελαττώνεται και η σκιά αυξάνεται για µεγάλες γωνίες πρόσπτωσης. Οι µικρότερες γωνίες πρόσπτωσης εξαλείφουν τις σκιές. 66

71 Μέσες γωνίες πρόσπτωσης αντιστοιχούν σε χαµηλές εκτροπές λόγω αναγλύφου και δυνατότητα ικανοποιητικής ανίχνευσης των γήινων (εκτός νερού) χαρακτηριστικών. Μικρές γωνίες πρόσπτωσης δίνουν πληροφορία ικανή, για µελέτη της οπισθοσκέδασης των ωκεανών. Οριζοντιογραφικές µετρήσεις µε χρήση απεικονίσεων SAR απαιτούν τη χρήση αποστάσεων εδάφους οι οποίες µε την σειρά τους απαιτούν τη χρήση ψηφιακού µοντέλου εδάφους και εφαρµογή µετασχηµατισµού. 67

72 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ERDAS MANUAL: SPECKLE REMOVAL MODELS 68

73 69

74 70

75 71

76 72

77 73

78 74

79 Κεφάλαιο 4 Η Συµβολοµετρική ιαδικασία Εισαγωγή Η συµβολοµετρία (interferometry) είναι η διαδικασία µε την οποία γίνεται ο υπολογισµός του ψηφιακού µοντέλου εδάφους (Ψ.Μ.Ε) (Digital Elevation Model (DEM)) µιας περιοχής, µε τη χρήση απεικονίσεων SAR. Κυρίως υπάρχουν τρία είδη συµβολοµετρίας: Επαναληπτική συµβολοµετρία: Η επαναληπτική συµβολοµετρία γίνεται µε τη χρήση δυο απεικονίσεων SAR που προέρχονται από δυο διαφορετικές τροχιές λήψης δορυφόρου. Οι τροχιές πρέπει να είναι παράλληλες και οι διαφοροποίηση της θέσης τους είναι κατά πλάτος (across-track). Το πιο χαρακτηριστικό και ευρέως χρησιµοποιηµένο παράδειγµα είναι τα δεδοµένα που προέρχονται από την αποστολή TANDEM µε χρήση των δορυφόρων ERS-1 και ERS-2. Μπορούν να επιτευχθούν ακρίβειες µέχρι και 10 µέτρα. ιαφορική συµβολοµετρία: Η διαφορική συµβολοµετρία (differential Interferometry) στηρίζεται σε διαστηµικά δεδοµένα SAR και συγκεκριµένα σε περισσότερες από δυο απεικονίσεις SAR ή σε δυο απεικονίσεις SAR και χρήση βοηθητικού Ψ.Μ.Ε. Κατά µήκος συµβολοµετρία: Στην κατά µήκος συµβολοµετρία (along-track interferometry) οι δυο κεραίες τοποθετούνται κατά µήκος της πορείας πτήσης (η πιο συνηθισµένη περίπτωση είναι η τοποθέτηση στη κατά µήκους της ατράκτου αεροπλάνου). Η µια κεραία είναι ποµπός-δέκτης και η δεύτερη δέκτης. ίνει τις καλύτερες ακρίβειες (κάτω από µέτρο) και χρησιµοποιείται από το γερµανικό ινστιτούτο DLR για εργασίες συµβολοµετρίας µικρής έκτασης (π.χ. µέτρηση µεταβολής όγκου σκουπιδότοπου) Η Συµβολοµετρική διαδικασία Η επαναληπτική συµβολοµετρία αποτελείται από τα ακόλουθα βήµατα: 1. Επεξεργασία απεικονίσεων (SAR preprocessing): Πριν το πρώτο βήµα της συµβολοµετρίας είναι δυνατό να γίνει επεξεργασία των εικόνων µε χρήση φίλτρων. Τα φίλτρα µείωσης της κηλίδωσης δεν προτείνονται. Το φαινόµενο της κηλίδωσης είναι παρόν και στις δυο εικόνες χωρίς να επηρεάζει έτσι την διαδικασία. Το φιλτράρισµα των εικόνων στο χώρο των συχνοτήτων (µε χρήση 75

80 µετασχηµατισµού Fourier συνήθως) µπορεί να βοηθήσει στην αποµάκρυνση συστηµατικού θορύβου των εικόνων, φαινόµενο που στα δεδοµένα SAR είναι σπάνιο. 2. Συµπροσαρµογή απεικονίσεων (coregistration): Η συµπροσαρµογή των απεικονίσεων είναι απαραίτητη για την εξαγωγή της πληροφορίας της φάσης που θα γίνει στα επόµενα στάδια. Η συµπροσαρµογή θα πρέπει να είναι ακρίβειας κοντά στο 1/8 του εικονοστοιχείου και καλύτερη. 3. Παραγωγή διαγράµµατος κροσσών συµβολής (interferogram): Με µιγαδικό πολλαπλασιασµό της µιας απεικόνισης µε τη συζυγή της άλλης δηµιουργείται το διάγραµµα κροσσών συµβολής. Οι γραµµές (κροσσοί) που παρουσιάζονται στο διάγραµµα κροσσών συµβολής, είναι ισοφασικές καµπύλες: κάθε καµπύλη περιέχει µια τιµή συµβολοµετρικής φάσης η οποία λαµβάνει τιµές στο διάστηµα [0, 2π). 4. Φιλτράρισµα διαγράµµατος κροσσών συµβολής (Filtering): Η χρήση φίλτρου στο διάγραµµα κροσσών συµβολής έχει ως σκοπό την βελτίωση της ευκρίνειας των κροσσών. Συνήθως το φιλτράρισµα γίνεται στο πεδίο των συχνοτήτων µε χρήση µετασχηµατισµού Fourier. 5. Αφαίρεση φάσης επίπεδης Γης (flat earth removal): Η οριζόντια διαφοροποίηση των σηµείων της απεικόνισης έχει ως αποτέλεσµα µια τιµή φάσης η οποία δεν έχει σχέση µε την τοπογραφία (υψόµετρα). Με σκοπό την διευκόλυνση του σταδίου της αποκατάστασης φάσης που ακολουθεί, η φάση αυτή υπολογίζεται και αφαιρείται. Η διαδικασία είναι προαιρετική στο στάδιο αυτό. 6. Αποκατάσταση φάσης (phase unwrapping): Η αποκατάσταση της συµβολοµετρικής φάσης έχει ως σκοπό την απόδοση των ακέραιων κύκλων που χάθηκαν κατά τη δηµιουργία του διαγράµµατος κροσσών συµβολής. Μετά την αποκατάσταση µπορεί να γίνει µετατροπή της συµβολοµετρικής φάσης σε υψόµετρο. Η αποκατάσταση φάσης είναι το πιο σηµαντικό στάδιο της συµβολοµετρικής διαδικασίας. Στο κεφάλαιο 4 γίνεται ανάλυση των πιο σηµαντικών αλγορίθµων που αφορούν στην αποκατάσταση φάσης. 7. Αφαίρεση φάσης Επίπεδης Γης (Flat Earth removal): Στο στάδιο αυτό θα πρέπει να γίνει υποχρεωτικά η αφαίρεση της φάσης λόγω επίπεδης Γης. Η αφαίρεση της επίπεδης Γης στο στάδιο αυτό γίνεται µε αλγόριθµους που εκτελούν την πράξη αυτή µαζί µε τα δυο επόµενα βήµατα. 8. Μετατροπή φάσης σε υψόµετρο(phase-to-height convertion): Η φάση, µε βάση την γεωµετρία των απεικονίσεων, µπορεί πλέον να µετατραπεί σε σχετικό υψόµετρο. Είναι απαραίτητη η γνώση των τροχιακών δεδοµένων των δορυφόρων. 9. Γεωκωδικοποίηση (geocoding): Τα σχετικά υψόµετρα, µε γνώση των τροχιακών δεδοµένων, µπορούν να τοποθετηθούν σε κάνναβο επιθυµητού βήµατος, σε επιθυµητό χαρτογραφικό σύστηµα αναφοράς. Όλα τα στάδια, παρουσιάζονται στο σχήµα

81 4.2. Στοιχεία Συµβολοµετρίας Η συµβολοµετρία µε χρήση των απεικονίσεων SAR µπορεί να προσεγγιστεί είτε µε βάση τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά είτε µε βάση τα φασµατικά χαρακτηριστικά. Για καλύτερη κατανόηση των εννοιών που περιέχονται στη διαδικασία της συµβολοµετρίας είναι καλύτερα η ανάλυση των χαρακτηριστικών τους να γίνει ξεχωριστά. Σηµαντικά στοιχεία υπάρχουν στους (Prati, 1994), (Massonet, 1993) και (Madsen, 1993). Σχήµα 4.1 ιάγραµµα της Συµβολοµετρικής ιαδικασίας 77

82 4.3. Γεωµετρικά Στοιχεία Συµβολοµετρίας Η προσέγγιση της συµβολοµετρίας γεωµετρικά, χωρίς να συµπεριλαµβάνονται φασµατικά στοιχεία, είναι αρκετά ακριβής για να αποδώσει τη σχέση που συνδέει τη γεωµετρία της περιοχής µελέτης και των δορυφόρων. Έστω δυο απεικονίσεις SAR που απεικονίζουν την ίδια περιοχή µελέτης από διαφορετικά σηµεία λήψης. Στην περίπτωση δορυφορικών απεικονίσεων κάτι τέτοιο µπορεί να επιτευχθεί µε δυο περάσµατα του δορυφόρου πάνω από την περιοχή µε διαφορετικές τροχιές, όπως στην περίπτωση TANDEM. Όπως είναι ήδη γνωστό οι δυο απεικονίσεις έχουν από δυο επίπεδα πληροφορίας: το µέτρο και τη φάση. Η εικόνα του µέτρου, λόγω της κηλίδωσης και της πλάγιας γεωµετρίας είναι δυσδιάκριτη και δεν µπορεί να προσφέρει πολλά στην όλη διαδικασία. Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στη εικόνα της φάσης. Η φάση µάλιστα µπορεί, µε κατάλληλη επεξεργασία, να σχετιστεί µε την απόσταση δορυφόρου-στόχου άρα και µε τη γεωµετρία της απεικόνισης. Για το σκοπό αυτό γίνεται και η δηµιουργία του διαγράµµατος των κροσσών συµβολής (interferogram). Το διάγραµµα κροσσών συµβολής δηµιουργείται µε το πολλαπλασιασµό της µιας µιγαδικής απεικόνισης µε την συζυγή µιγαδική της άλλης. Με τον τρόπο αυτό, το κάθε εικονοστοιχείο του διαγράµµατος των κροσσών συµβολής αντιστοιχεί στη διαφορά φάσης των αντίστοιχων εικονοστοιχείων των δυο απεικονίσεων. Η σηµασία της φάσης πηγάζει από το γεγονός ότι σχετίζεται µε µια κρίσιµη απόσταση: την απόσταση δορυφόρου-στόχου. Η φάση σε ένα δοσµένο σηµείο στην πρώτη απεικόνιση, οφείλεται σε δυο όρους: στην απόσταση δέκτη-στόχου και στην καθυστέρηση φάσης λόγω της οπισθοσκέδασης του στόχου. Θα µπορούσε λοιπόν να δοθεί από τον ακόλουθο τύπο: 2 2π φ 1 = r1 + φ scattering λ (4.1) Αντίστοιχα, η φάση του ίδιου σηµείου στη δεύτερη απεικόνιση, δίνεται από τον τύπο: 2 2π φ 2 = r2 + φ scattering λ (4.2) Υπάρχουν δυο σηµαντικά στοιχεία: Ο παράγοντας της φάσης που σχετίζεται µε την απόσταση δέκτη-στόχου έχει κυκλική φύση: βρίσκεται µεταξύ των ορίων [0, 2π) Ο παράγοντας της φάσης λόγω οπισθοσκέδασης έχει την ίδια τιµή και στις δυο απεικονίσεις µε δυο προϋποθέσεις: η περιοχή µελέτης και το µονοπάτι µετάδοσης (ατµόσφαιρα) δεν έχει αλλάξει ριζικά (π.χ. να έχει µεσολαβήσει βροχόπτωση) και οι δυο απεικονίσεις να παρουσιάζουν όντως τον ίδιο στόχο, να έχει γίνει δηλαδή καλή συµπροσαρµογή των δυο απεικονίσεων. Η φάση του διαγράµµατος των κροσσών συµβολής, που προκύπτει από την αφαίρεση των φάσεων των δυο απεικονίσεων, είναι άµεσα συνδεδεµένη µόνο µε τη διαφορά των αποστάσεων δεκτών-στόχου: 78

83 4π 4π ψ = φ2 φ1 = ( r2 r1 ) = r (4.3) λ λ Για την διευκόλυνση της εξέτασης της γεωµετρικής πλευράς του φαινοµένου, ορίζεται ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων µε αρχή (0,0) τη θέση του πρώτου δορυφόρου, άξονα r αυτόν που ορίζεται από την πλάγια απόσταση του πρώτου δορυφόρου και τον κάθετο σε αυτόν άξονα n. Η θέση του δεύτερου δορυφόρου δίνεται στο νέο σύστηµα από τις συντεταγµένες (Β r, B n ). Ορίζονται ακόµα τα σηµεία Α(r 0, 0) και Β(r 0 +r i, n i ), δηλαδή η τοµή (Α) του άξονα r µε το έδαφος και ένα άλλο σηµείο (Β) του εδάφους αντίστοιχα (σχήµα 4.2). Σχήµα 4.2 Καθορισµός του συστήµατος αναφοράς απόστασης-αζιµουθίου Η απόσταση r µεταξύ σηµείου Β και της θέσης του δεύτερου δορυφόρου δίνεται από τη σχέση: ( r + r B ) 2 + ( n B ) 2 r = (4.4) 0 i r i n Η διαφορά του µονοπατιού µετάδοσης r µεταξύ των δυο δορυφόρων και του σηµείου Β µπορεί να υπολογιστεί µε τη χρήση σειράς Taylor µε γνωστό το διάνυσµα εκκεντρότητας των δορυφόρων (Βr, Bn): 79

84 ϑr r = ϑb n B ϑr + n ϑb r r i = Br = ni = Bn = 0 ri = Br = ni = Bn = 0 B r (4.5) Η σχέση (4.5) δίνει την φάση ενός σηµείου στο διάγραµµα κροσσών συµβολής και ονοµάζεται συµβολοµετρική φάση (interferometric phase). Ο σκοπός της συµβολοµετρίας είναι να ανασύρει την γνώση της απόστασης δέκτη-στόχου από την συµβολοµετρική φάση των σηµείων. Η φάση αυτή όµως δεν είναι άµεσα χρησιµοποιήσιµη γιατί όπως αναφέρθηκε παραπάνω βρίσκεται µεταξύ των ορίων [0, 2π), άρα δεν µπορεί να δώσει πληροφορίες για την απόσταση δέκτη-στόχου. Το πρόβληµα µπορεί να λυθεί µε τον υπολογισµό της διαφοράς της συµβολοµετρικής φάσης δυο γειτονικών σηµείων. Στην περίπτωση των Α και Β η διαφορά της συµβολοµετρικής τους φάσης δίνεται από τη σχέση: 4π ψ AB = ( r) (4.6) λ Η παραγώγηση της σχέσης (4.5) δίνει τον παράγοντα ( r): Bnni ( r) = r (4.7) 0 Οπότε η διαφορά της συµβολοµετρικής φάσης δυο σηµείων του διαγράµµατος κροσσών συµβολής δίνεται από την σχέση: 4πB n ψ n i AB = λr (4.8) 0 Η σχέση (4.8) σχετίζει τη διαφορά συµβολοµετρικής φάσης δυο σηµείων και της γεωµετρίας της περιοχής µελέτης και περιέχει τα εξής σηµαντικά στοιχεία: Ο παράγοντας n i που βρίσκεται στον αριθµητή δείχνει ότι η συµβολοµετρική φάση είναι ανάλογη της απόστασης των σηµείων στη διεύθυνση n. Η διεύθυνση αυτή είναι κάθετη στη διεύθυνση των αποστάσεων (range) της απεικόνισης. Η οριζοντιογραφική διαφορά δηλαδή δυο σηµείων έχει ως αποτέλεσµα έναν όρο φάσης. Ο όρος αυτός ονοµάζεται όρος «επίπεδης γης» (flat earth) και αφαιρείται σε συγκεκριµένο στάδιο της συµβολοµετρικής διαδικασίας για να απλοποιήσει την διαδικασία αποκατάστασης της φάσης στο αντίστοιχο στάδιο. Ο παράγοντας Β n ονοµάζεται κάθετη γραµµή βάσης (perpendicular baseline) και είναι πολύ σηµαντικός στη συµβολοµετρική διαδικασία. ίνεται από τη σχέση Β n = B. cos(θ-ξ) και ο ρόλος της θα αναλυθεί στο κεφάλαιο της διαφορικής συµβολοµετρίας. 80

85 Φάση επίπεδης Γης Γίνεται θεώρηση δυο σηµείων Α και Β τα οποία έχουν ίδια τιµή υψοµέτρου. Στο σχήµα 4.3 παρουσιάζεται η γεωµετρία της περιοχής µελέτης µε βάση το ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων που υιοθετήθηκε στην προηγούµενη παράγραφο. Η διαφοροποίηση οριζόντιας θέσης n i σχετίζεται µε τη διαφορά απόστασης των δυο σηµείων και τη γωνία πρόσπτωσης σύµφωνα µε την ακόλουθη σχέση: r n i = (4.9) tanθ Η σχέση (4.8) γίνεται τώρα: 4πBn 4πBn r ψ AB = ni = λr λr tanθ (4.10) 0 0 Σχήµα 4.3 Η συµβολοµετρική φάση που προέρχεται από επίπεδη τοπογραφία Η επίπεδη γη, όπως φαίνεται από την προηγούµενη σχέση, δηµιουργεί µια γραµµική συµβολοµετρική φάση η οποία δεν σχετίζεται µε το υψόµετρο και δυσκολεύει την αποκατάσταση της φάσης. Για το λόγο αυτό, συνήθως γίνεται η αφαίρεσή της πριν το στάδιο της αποκατάστασης φάσης και γίνεται µετά η µετατροπή της αποκαταστηµένης φάσης σε υψόµετρο. Αν δεν αφαιρεθεί, πριν την αποκατάσταση της συµβολοµετρικής 81

86 φάσης γίνεται πιο δύσκολα η αποκατάσταση φάσης και αυτή θα πρέπει να αφαιρεθεί στη συνέχεια. Στην περίπτωση που δυο σηµεία απέχουν και υψοµετρικά και οριζοντιογραφικά, σύµφωνα µε το σχήµα 4.4, προκύπτει η σχέση: n r h = ni, flat + ni, topo = (4.11) tanα sinα i + Η σχέση (4.8) γίνεται τώρα: ψ AB = ψ flat + ψ topo 4π = λ r 0 B n rab hab + tanα sinα (4.12) Αφαιρώντας από την σχέση (4.12) την σχέση (4.10) που εκφράζει τη φάση που οφείλεται στην «επίπεδη Γη», το αποτέλεσµα εκφράζει την συµβολοµετρική φάση η οποία µετατρέπεται σε σχετικό υψόµετρο ψ 4π h AB topo, AB = Bn (4.13) λ r0 sinα i Σχήµα 4.4 ιαχωρισµός του n I σε όρους που οφείλονται στην «επίπεδη γη» και στην τοπογραφία 82

87 Ο υπολογισµός του όρου της επίπεδης Γης µπορεί να γίνει στο στάδιο της γεωκωδικοποίησης µε χρήση ειδικών αλγορίθµων. Τέτοιοι αλγόριθµοι υπολογίζουν ταυτόχρονα τη φάση λόγω επίπεδης Γης, µετασχηµατίζουν την αποκαταστηµένη φάση σε σχετικό υψόµετρο και προσαρµόζουν την απεικόνιση στον επιθυµητό κάνναβο του τελικού αποτελέσµατος. Οι αλγόριθµοι αυτοί επιτυγχάνουν καλύτερες ακρίβειες στον υπολογισµό της φάσης της επίπεδης Γης Φασµατικά στοιχεία Συµβολοµετρίας Πέρα από τη γεωµετρική προσέγγιση της συµβολοµετρικής διαδικασίας, εξίσου σηµαντική και χρήσιµη είναι και η ανάλυση του φαινοµένου µε βάση τα στοιχεία των λαµβανοµένων σηµάτων. Στα σχήµατα 4.5 και 4.6 απεικονίζονται αντίστοιχα το φάσµα Doppler της απεικόνισης του δορυφόρου ERS 1 και η σχετική θέση των φασµάτων Doppler ή αλλιώς φασµάτων αζιµουθίων των δυο απεικονίσεων που δηµιουργούν συµβολοµετρικό ζευγάρι. Έστω στόχος επί του εδάφους ο οποίος φαίνεται και από τις δυο απεικονίσεις SAR. Το στοιχείο αναφοράς είναι η επίδραση της διαφορετικής γωνίας πρόσπτωσης στο σήµα επιστροφής των δυο συστηµάτων. Η διαφορετική γωνία πρόσπτωσης έχει ως αποτέλεσµα την προβολή του πεδίου σε διαφορετικά πλάγια επίπεδα. Θεωρώντας τη θέση του δεύτερου δορυφόρου πιο κοντά στο στόχο και σε µεγαλύτερο ύψος από αυτήν του πρώτου, ο ίδιος στόχος θα φαίνεται στη δεύτερη απεικόνιση µε διαφορετικό αριθµό εικονοστοιχείων (µικρότερο στην παρούσα περίπτωση) µε αποτέλεσµα η ίδια περιοχή στη δεύτερη απεικόνιση να φαίνεται συµπιεσµένη, σε σχέση µε την πρώτη απεικόνιση. Σχήµα 4.5 Το φάσµα Doppler του ERS 1 Για τη µελέτη του φαινοµένου στο χώρο των συχνοτήτων γίνεται χρήση του µετασχηµατισµού Fourier: η χωρική συµπίεση της εικόνας (η µια διάσταση) οδηγεί σε 83

88 «τέντωµα» της συχνότητας (η άλλη διάσταση). Τα φάσµατα ανακλαστικότητας των δυο απεικονίσεων θα είναι πανοµοιότυπα µόνο που το φάσµα της δεύτερης απεικόνισης θα παρουσιάζεται ελαφρώς «τεντωµένο». Τα χαρακτηριστικά των συστηµάτων SAR επιτρέπουν την προσέγγιση του τεντώµατος από µια µετατόπιση, τη µετατόπιση φάσµατος, η οποία δίνεται από τον τύπο (Carasco, 1998). f = fo Bn r tg( θ a) o (4.14) όπου f o είναι η φέρουσα συχνότητα, r o η απόσταση δορυφόρου-εδάφους, Β n η κάθετη γραµµή βάσης, θ η γωνία πρόσπτωσης και α η τοπική γωνία κλίσης. Η κοινή πληροφορία των δυο φασµάτων είναι αυτή που χρησιµοποιείται κατά τη δηµιουργία του διαγράµµατος των κροσσών συµβολής. Τα µη-κοινά µέρη των φασµάτων αποτελούν θόρυβο. Στην περίπτωση που ταυτίζονται οι γωνίες πρόπτωσης, η γραµµή βάσης είναι ίση µε το µηδέν, τα δυο φάσµατα θα είναι πανοµοιότυπα και το διάγραµµα κροσσών συµβολής θα έχει µηδενικές τιµές. Η συµβολοµετρική διαδικασία δεν θα είναι δυνατή. Σχήµα 4.6 Τα φάσµατα αζιµουθίων δυο απεικονίσεων ERS TANDEM Για πολύ µεγάλες τιµές βάσης, η µετατόπιση φάσµατος είναι τόσο µεγάλη ώστε δεν υπάρχει επικαλυπτόµενο τµήµα. Και στην περίπτωση αυτή πάλι δεν είναι δυνατή η 84

89 συµβολοµετρική διαδικασία. Η τιµή µάλιστα της βάσης για την οποία η µετατόπιση φάσµατος είναι ίση µε το εύρος ζώνης συχνοτήτων (bandwindth) του συστήµατος ονοµάζεται κρίσιµη γραµµή βάσης (critical baseline) και ορίζει τη µέγιστη τιµή βάσης µε την οποία είναι δυνατή η συµβολοµετρική διαδικασία. Οι επιπτώσεις της γραµµής βάσης στη µετατόπιση φάσµατος είναι γνωστές ως αποσυσχέτιση της κεραίας (antenna decorrelation). Η έννοια της µετατόπισης φάσµατος επιτρέπει τη θεώρηση της συµβολοµετρίας ως φαινόµενο της διάστασης του χώρου: κάθε κροσσός συµβολής µπορεί να σχετιστεί µε τοπική µετατόπιση φάσµατος. Στα συµβολογράµµατα η µεταβολή της φάσης είναι γραµµική. Ο µετασχηµατισµός Fourier µιας γραµµικής µεταβολής της φάσης ενός διαγράµµατος κροσσών συµβολής θα έχει µια κορυφή που η απόσταση της από την αρχή των αξόνων (συχνότητα 0) θα σχετίζεται µε την κλίση της φάσης στο διάγραµµα των κροσσών συµβολής και θα συµπίπτει µε την τοπική µετατόπιση φάσµατος. Αυτό φαίνεται και µε την ετεροσυσχέτιση (cross correlation) των φασµάτων των δυο απεικονίσεων: η µετατροπή των απεικονίσεων στη διάσταση της συχνότητας γίνεται µε βοήθεια του µετασχηµατισµού Fourier. Η κορυφή που δηµιουργείται από τη συσχέτιση των δυο φασµάτων αντιστοιχεί στη µέγιστη κοινή πληροφορία τους στο δεδοµένο σηµείο. Στη διάσταση του χώρου, οι ίδιες απεικονίσεις σχηµατίζουν το διάγραµµα κροσσών συµβολής µε µιγαδικό πολλαπλασιασµό. Η αποµάκρυνση του µέγιστου του µετασχηµατισµού Fourier του συµβολογράµµατος, αποδίδει την τοπική κλίση της φάσης στο διάγραµµα κροσσών συµβολής. Η τοπική κλίση φάσης και η εκκεντρότητα της κορυφής συνδέονται µε τον µετασχηµατισµό Fourier: αποτελούν την έκφραση της ίδιας ποσότητας στη διάσταση του χώρου και των συχνοτήτων αντίστοιχα Η επίπεδη Γη Τοπική γωνία κλίσης α ίση µε το µηδέν αντιστοιχεί σε κροσσούς που οφείλονται σε επίπεδη τοπογραφία. Ο µετασχηµατισµός Fourier σε περιοχές επίπεδες, θα δώσει ως αποτέλεσµα τη µετατόπιση φάσµατος f flat που αντιστοιχεί στη επίπεδη γη. Με τον τρόπο αυτό ορίζεται ο όρος της επίπεδης γης στη διάσταση των συχνοτήτων Αποσυσχέτιση Η αποσυσχέτιση (decorellation) δυο απεικονίσεων ορίζει κατά πόσο οι δυο αυτές εικόνες διαφέρουν µεταξύ τους. Στη συµβολοµετρία απεικονίσεων SAR η αποσυσχέτιση έχει δυο µορφές: χρονική και χωρική. Η χρονική αποσυσχέτιση (temporal decorrealtion) προκαλείται από τις αλλαγές που έχουν επέλθει στην περιοχή µελέτης κατά τη χρονική περίοδο που µεσολαβεί µεταξύ των δυο λήψεων. Όπως είναι φυσικό, όσο µεγαλύτερο είναι το χρονικό διάστηµα µεταξύ των δυο λήψεων της περιοχής µελέτης, τόσο µεγαλύτερη είναι και η χρονική αποσυσχέτιση. Η χρονική αποσυσχέτιση εξαρτάται ακόµα και από τη φύση της περιοχής µελέτης και ιδιαίτερα από τον απαιτούµενο χρόνο µεταβολής της: µια έρηµος για παράδειγµα αλλάζει πολύ πιο αργά από µια περιοχή που καλύπτεται από δάση. Η κίνηση των φύλλων είναι τόσο γρήγορη που ακόµα και χρονική περίοδος ενός λεπτού µεταξύ των λήψεων προκαλεί αποσυσχέτιση. 85

90 Η χρονική αποσυσχέτιση είναι σηµαντικό στοιχείο όταν τα δεδοµένα προέρχονται από δυο δορυφόρους, πράγµα που απέδειξαν τα στοιχεία ERS. Την περίοδο που τα στοιχεία προέρχονταν µόνο από το δορυφόρο ERS-1 η αποσυσχέτιση των εικόνων ήταν σχετικά µεγάλη. Η ελάχιστη χρονική διαφορά των δυο λήψεων ήταν τρεις µέρες, άρα η µεσολάβηση µιας βροχόπτωση για παράδειγµα άλλαζε την τιµή οπισθοσκέδασης του περιβάλλοντος σηµαντικά, κάνοντας δύσκολη τη χρησιµοποίηση των απεικονίσεων για εφαρµογές συµβολοµετρίας. Με βάση το στοιχείο αυτό σχεδιάστηκε η αποστολή του δορυφόρου ERS-2 το 1995: οι τροχιές σχεδιάστηκαν µε τέτοιο τρόπο ώστε η λήψη δεδοµένων να έχει χρονική διαφορά µιας ηµέρας. Όπως είναι ήδη γνωστό η αποστολή ονοµάστηκε TANDEM και κάλυψε τις περισσότερες εφαρµογές συµβολοµετρίας δορυφορικών απεικονίσεων SAR µέχρις ότου ο ERS-1 τέθηκε εκτός λειτουργίας (2000). Το 2011 και ο ERS-2 τέθηκε εκτός λειτουργίας. Στο σχήµα 4.7 παρουσιάζεται περιοχή που παρουσιάζει µεγάλη χρονική αποσυσχέτιση. Οι απεικονίσεις προέρχονται από την αποστολή TANDEM. Η χρονική αποσυσχέτιση απασχόλησε σηµαντικά τις εφαρµογές διαφορικής συµβολοµετρίας (differential interferometry) όπου µπορεί να αποδειχτεί σηµαντικός περιορισµός. Στις εφαρµογές αυτές απαιτείται µεγάλη χρονική διαφορά µεταξύ των λήψεων, της τάξης των µερικών µηνών, οι οποίες όπως είναι φυσικό προκαλούν πολύ µεγάλη αποσυσχέτιση των απεικονίσεων. Λύση στο πρόβληµα προσπαθεί να δώσει η µέθοδος των µόνιµων ανακλαστήρων (permanent scatterers). Η µέθοδος έχει ως σκοπό τη µέτρηση της µετακίνησης (οριζοντιογραφικής και κατακόρυφης) συγκεκριµένων σηµείων τα οποία παρουσιάζουν µικρές µεταβολές στο χρόνο. Το πρόβληµα ωστόσο βρίσκεται στο διάγραµµα κροσσών συµβολής του οποίου η αποκατάσταση φάσης είναι δύσκολη λόγω της µεγάλης αποσυσχέτισης. Σχήµα 4.7 Παράδειγµα χρονικής αποσυσχέτισης 86

91 Η χωρική αποσυσχέτιση (spatial decorellation) υπάρχει λόγω της φύσης της συµβολοµετρίας: η απεικόνιση της ίδιας περιοχής από δυο διαφορετικά σηµεία λήψης έχει ως αποτέλεσµα τη διαφορετική γεωµετρία της απεικόνισης. Η χωρική αποσυσχέτιση προκαλείται εξαιτίας του γεγονότος το κάθε εικονοστοιχείο στις δυο απεικονίσεις αντίστοιχα, στις οποίες έχει ήδη γίνει συµπροσαρµογή (coregistration), δεν αντιστοιχεί στην ίδια ακριβώς µοναδιαία επιφάνεια στο έδαφος, αλλά υπάρχει µια µικρή µετάθεση κατά x και y αντίστοιχα. Απαραίτητη προϋπόθεση λοιπόν είναι η συµπροσαρµογή των δυο απεικονίσεων να γίνει µε πολύ καλή ακρίβεια. Ακρίβεια της τάξης του εικονοστοιχείου δεν είναι αρκετή, χρειάζεται ακρίβεια υπό-εικονοστοιχείου (sub-pixel accuracy) της τάξης του 1/8 του εικονοστοιχείου. Η διαφορετική γεωµετρία λήψης των απεικονίσεων αυτή οδηγεί σε απώλεια συµφωνίας κατά την δηµιουργία του διαγράµµατος κροσσών συµβολής. Όσο και αν φαίνεται παράξενο το φαινόµενο αυτό αποτελεί το στόχο την συµβολοµετρίας: η ύπαρξη των δυο σηµείων λήψης δίνει την δυνατότητα µέτρησης των αποστάσεων των στόχων από τους δορυφόρους άρα και την δηµιουργία τρισδιάστατου αποτελέσµατος(ψ.μ.ε.) Συνάφεια φάσης Η φάση που παρουσιάζεται στο διάγραµµα κροσσών συµβολής είναι πολύ σηµαντικό µέγεθος αφού σχετίζεται άµεσα µε την τοπογραφία της περιοχής µελέτης. Η συµβολοµετρική φάση όπως είναι ήδη γνωστό, ισούται µε τη διαφορά φάσης των δυο απεικονίσεων και ιδανική περίπτωση είναι η διαφορά αυτή να οφείλεται αποκλειστικά στην τοπογραφία. Αυτό όµως δεν συµβαίνει ποτέ, αφού για διάφορους λόγους στη διαφορά αυτή περιέχεται και θόρυβος. Η ποιότητα της συµβολοµετρικής φάσης δίνεται µε το µέγεθος της συνάφειας φάσης (coherence). Η τιµή της συνάφειας δίνεται από το τύπο: E[ P1 P2 ] ρ 2 2 (4.15) E[ P ] E[ P ] όπου P 1 και P 2 είναι αντίστοιχα εικονοστοιχεία των δυο απεικονίσεων και Ε είναι ο τελεστής πρόβλεψης (expectation operator). Στην πράξη αυτός έχει τη µορφή χωρικού µέσου όρου. Το µέγεθος του παραθύρου που χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό του µέσου όρου καθορίζει τη στατιστική εµπιστοσύνη του τελεστή και την οµοιογένεια της περιοχής που χρησιµοποιείται στον υπολογισµό µε τον ακόλουθο τρόπο: µεγαλύτερο το παράθυρο σηµαίνει µεγάλη στατιστική εµπιστοσύνη του τελεστή αλλά και µικρή οµοιογένεια περιοχής. Η συνάφεια φάσης συνδέεται άµεσα µε το λόγο σήµα προς θόρυβο (signal-to-noise ratio(snr)) µε τον ακόλουθο τύπο: SNR ρ = (4.16) SNR + 1 Η συνάφεια φάσης έχει τιµές στο διάστηµα [0,1), όπου η τιµή 0 αντιστοιχεί σε εντελώς ασυσχέτιστο ζευγάρι απεικονίσεων το οποίο δηµιουργεί διάγραµµα κροσσών συµβολής στο οποίο δεν διακρίνονται κροσσοί συµβολής, ενώ τιµές συνάφειας κοντά στη µονάδα εµφανίζονται σε διαγράµµατα συµβολής κροσσών µε ελάχιστο θόρυβο και ευδιάκριτους κροσσούς συµβολής (Σχήµα 4.8). 1 * 2 87

92 Σχήµα 4.8 Χαρακτηριστικές τιµές συνάφειας Στο σχήµα 4.8 η τιµή της συνάφειας γ, έχει υπολογιστεί µετά από αφαίρεση της συµβολοµετρικής φάσης φ και µε βάση το µέτρο της έντασης του σήµατος (4.17). jφ E[ Ι1 Ι2 e ] γ 2 2 (4.17) E[ Ι ] E[ Ι ] 1 * Η συνάφεια χρησιµεύει στη µέτρηση της οµοιότητα των δυο απεικονίσεων. Όπως αναφέρθηκε προηγούµενα, οι δυο απεικονίσεις, λόγω των διαφορετικών σηµείων λήψης και λόγω ενδεχόµενων αλλαγών στην περιοχή µελέτης, δεν είναι δυνατόν να σχηµατίσουν διάγραµµα κροσσών συµβολής µε συνάφεια ίση µε τη µονάδα. 2 88

93 Κεφάλαιο 5 Χρήση Φίλτρων στη Συµβολοµετρία 5.1 Χωρικά φίλτρα Τα χωρικά φίλτρα επιδρούν στα δεδοµένα της απεικόνισης µε βάση τις διάφορες χωρικές συχνότητες σε αντίθεση µε τα φασµατικά φίλτρα τα οποία επιδρούν µε βάση τη συχνότητα των φασµατικών τιµών (Αργιαλάς, 2000). Ως χωρική συχνότητα ορίζεται η συχνότητα εναλλαγής του τόνου της απεικόνισης σε µια περιοχή της. Σύµφωνα µε τον ορισµό αυτό χαµηλή χωρική συχνότητα υπάρχει σε περιοχές µε µικρές εναλλαγές των ψηφιακών τιµών για µεγάλες περιοχές, ενώ υψηλή χωρική συχνότητα υπάρχει σε περιοχές µε µεγάλες εναλλαγές των ψηφιακών τιµών των εικονοστοιχείων µιας µικρής περιοχής. Με βάση τον ορισµό της χωρικής συχνότητας γίνεται και η ονοµασία των χωρικών φίλτρων: τα φίλτρα χαµηλής συχνότητας ή χαµηλοδιαβατά φίλτρα (low-pass filters) εφαρµόζονται για ενίσχυση των χαµηλών χωρικών συχνοτήτων και αποδυνάµωση των υψηλών χωρικών συχνοτήτων (λεπτοµέρειες) ενώ τα φίλτρα υψηλών συχνοτήτων ή υψιπερατά φίλτρα (high-pass filters) τονίζουν τις υψηλές χωρικές συχνότητες αποδυναµώνοντας τις χαµηλές συχνότητες (γενικότερες πληροφορίες). Πρέπει να τονιστεί ότι τα χαµηλοπερατά φίλτρα είναι κατάλληλα για την ελάττωση του τυχαίου θορύβου (Αργιαλάς, 2000). Τα χωρικά φίλτρα, ως ειδική πράξη της συνέλιξης, εφαρµόζονται µε τη χρήση παραθύρων: τα παράθυρα αυτά είναι πίνακες συντελεστών µε τους οποίους στην ουσία τοποθετούνται βάρη. Το µέγεθος του πίνακα (3x3, 5x5, 7x7 κτλ) καθώς οι τιµές των συντελεστών αλλά και η θέση τους, καθορίζουν την λειτουργία του φίλτρου. Το παράθυρο αυτό (µάσκα) µετακινείται πάνω στην αρχική ψηφιακή εικόνα και για κάθε θέση της η ψηφιακή τιµή του κέντρου της προκύπτει από την άθροιση των αποτελεσµάτων του πολλαπλασιασµού κάθε συντελεστή του παραθύρου µε την αντίστοιχη ψηφιακή τιµή της εικόνας. Τα χωρικά φίλτρα, όπως έχει ήδη αναφερθεί, χρησιµοποιούνται για τη µείωση του φαινοµένου της κηλίδωσης (despeckle). Τα φίλτρα αυτά εκτελούν τη διαδικασία του χωρικού φιλτραρίσµατος µε σκοπό την µείωση υψηλών χωρικών συχνοτήτων, επειδή αυτές θεωρείται ότι είναι αποτέλεσµα της κηλίδωσης. 89

94 5.2 Φιλτράρισµα κατά συχνότητα Εισαγωγή Τα φασµατικά φίλτρα βοηθούν γενικά στη συγκράτηση ή τη διέλευση της ενέργειας από τις διάφορες φασµατικές περιοχές. Με τον τρόπο αυτό µπορούν να ελέγξουν µε τον καλύτερο τρόπο τυχόν συστηµατικό θόρυβο. Για την επεξεργασία των δεδοµένων SAR, τα φασµατικά φίλτρα έχουν υπερισχύσει σε βάρος των χωρικών φίλτρων. Η µετάβαση από τη διάσταση του χώρου στη διάσταση της συχνότητας γίνεται µε τη χρήση κατάλληλου µετασχηµατισµού. Ο πιο διαδεδοµένος µετασχηµατισµός είναι ο µετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Fourier Ο µετασχηµατισµός Fourier αποτελεί µια από τις πιο διαδεδοµένες και ισχυρές µεθόδους µετατροπής ψηφιακών απεικονίσεων από τη διάσταση του χώρου στη διάσταση της συχνότητας. Η επεξεργασία ψηφιακών εικόνων στη διάσταση της συχνότητας αποτελεί ένα πολύ αποτελεσµατικό εργαλείο, ειδικά στην περίπτωση των απεικονίσεων SAR. Η βασική πρόταση, στην οποία στηρίζεται ο µετασχηµατισµός Fourier, είναι ότι κάθε µονοδιάστατο σήµα µπορεί να αναλυθεί σε µια σειρά όρων σηµάτων που περιέχουν ηµίτονα, συνηµίτονα και τους συντελεστές τους. Η σειρά αυτή ονοµάζεται σειρά Fourier (Fourier series) και η διαδικασία ανάλυση κατά Fourier (Fourier analysis). Για παράδειγµα, µια γραµµή ή στήλη εικονοστοιχείων µιας παγχρωµατικής εικόνας µπορεί να αναπαρασταθεί µε µια ηµιτονοειδή συνάρτηση sin(x) πολλαπλασιασµένη µε ένα συντελεστή Α. Η συνάρτηση αυτή προσεγγίζει τις ψηφιακές τιµές των εικονοστοιχείων αυτών. Στην πραγµατικότητα, η σειρά Fourier που θα προσεγγίζει µια γραµµή ή στήλη εικονοστοιχείων θα αποτελείται από πλήθος ηµιτονοειδών, συνηµιτονοειδών συναρτήσεων και συντελεστών. Ο µετασχηµατισµός Fourier παρουσιάζεται στο σχήµα 5.1. Ο µετασχηµατισµός Fourier είναι ένας γραµµικός µετασχηµατισµός µε τον οποίον υπολογίζονται οι συντελεστές των όρων ηµίτονων και συνηµίτονων που ικανοποιούν την αναπαράσταση µιας απεικόνισης. Η θεωρία αυτή χρησιµοποιήθηκε εκτενώς στην επεξεργασία εικόνας και στην ηλεκτρονική, όπου το σήµα είναι συνεχές και όχι διακριτό. Ο µεγάλος όµως υπολογιστικός φόρτος επεξεργασίας άρα και οι δυσκολίες που προκύπτουν (µεγάλος απαιτούµενος χρόνος, ανάγκη για ισχυρούς άρα και ακριβούς υπολογιστές) οδήγησαν στην ανάπτυξη του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier (discrete Fourier transform (DFT)). Για ακόµα πιο µεγάλη αποτελεσµατικότητα και δυνατότητα αξιοποίησης του µετασχηµατισµού Fourier εξελίχθηκε στον γρήγορο µετασχηµατισµό Fourier (Fast Fourier Transformation (FFT)). O FFT είναι σήµερα ο πιο διαδεδοµένος αλγόριθµος επεξεργασίας ψηφιακών εικόνων στο χώρο των συχνοτήτων. 90

95 Σχήµα 5.1 Ο µετασχηµατισµός Fourier ιακριτός µετασχηµατισµός Fourier Ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier (Discrete Fourier transform (DFT)) µιας εικόνας f mn δίνεται από τη σχέση: F kl = N 1 N 1 x y m= 0 n= 0 f mn e mk nl j 2π + N x N y (5.1) Η εκθετική συνάρτηση της σχέσης (5.1) µπορεί να γραφτεί ως : e mk nl j 2π + N x N y mk = cos2π N x + nl N y + mk jsin 2π N x + nl N y (5.2) Η εικόνα Fourier Το αποτέλεσµα του µετασχηµατισµού Fourier είναι ένας πίνακας δυο διαστάσεων µε εικονοστοιχεία, τα οποία έχουν δυο τιµές το κάθε ένα: µέτρο και φάση. Ο αριθµός των τιµών είναι ίσος µε τον αριθµό των εικονοστοιχείων της αρχικής εικόνας. Η εικόνα Fourier που σχηµατίζεται ονοµάζεται φάσµα ισχύος (power spectrum) και µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε κάθε συχνότητα, δηλαδή για το τετράγωνο του πλάτους (το µέτρο) της κάθε συχνότητας (R.A. Schowengerdt, 1997). Το σχήµα 5.2 παρουσιάζει το φάσµα ισχύος µιας απεικόνισης, και δείχνει τις συνιστώσες συχνότητας της αρχικής εικόνας (σχήµα 5.2). Οι εικόνες Fourier είναι συµµετρικές ως προς το κέντρο τους, στο οποίο απεικονίζονται οι µηδενικές συχνότητες. Το µέτρο κάθε συνιστώσας συχνότητας εκφράζεται µε τη φωτεινότητα του σηµείου. Μεγάλες φωτεινότητες εκφράζουν µεγάλα µέτρα. 91

96 Όταν εκτελείται διακριτός µετασχηµατισµός Fourier σε ψηφιακή εικόνα, γίνεται σιωπηρά η υπόθεση ότι η εικόνα αντιγράφεται απείρως σε όλες τις κατευθύνσεις. Κάτι τέτοιο εξασφαλίζει την περιοδικότητα των ηµίτονων και συνηµίτονων. Η ίδια υπόθεση ακολουθεί και την εικόνα Fourier. Οι µονάδες χωρικής συχνότητας που χρησιµοποιούνται για επεξεργασία εικόνας, είναι κύκλοι / εικονοστοιχείο (cycles/pixel). Τα όρια χωρικής συχνότητας της απεικόνισης σε κάθε άξονα της εικόνας Fourier που δηµιουργείται είναι: u = 1 / N x, ν = 1 / N y (κύκλοι / εικονοστοιχείο) (5.3) Οι συντεταγµένες χωρικής συχνότητας δίνονται από τη σχέση: u= k u = k/n x, ν = l ν = l/n y (κύκλοι / εικονοστοιχείο) (5.4) όπου Ν x και Ν y τα συνηµιτοτονοειδή και ηµιτονοειδή κύµατα αντίστοιχα Οι συντελεστές Fourier Ο µετασχηµατισµός Fourier παράγει πραγµατικούς και φανταστικούς συντελεστές. Ο µετασχηµατισµός µπορεί να παρουσιαστεί ως συσχετισµός των συντελεστών του µε µιγαδική µορφή: F kl = Re(F kl ) + j. Im(F kl ) (5.5) Κάθε µιγαδικός αριθµός µπορεί να παρουσιαστεί µε τη µορφή µέτρου Α kl και φάσης φ kl : A kl = F kl = [Re( 2 2 F kl )] + [Im( Fkl )] (5.6) φ κλ = atan[im(f kl )/Re(F kl )] (5.7) 92

97 Σχήµα 5.2 Η εικόνα του µετασχηµατισµού Fourier (power spectrum) Σε πειράµατα που έγιναν από τους Oppenheim (1988) και Lim (1981), αποδείχθηκε ότι ο συντελεστής της φάσης είναι πολύ σηµαντικός στη κατασκευή της εικόνας Fourier. Θέτοντας στο συντελεστή µέτρου σταθερή τιµή, η εικόνα που προκύπτει παρουσιάζει το φανταστικό µέρος του µετασχηµατισµού Fourier, δηλαδή τη φάση. Αντίστοιχα, θέτοντας σταθερή τιµή στο συντελεστή φάσης, η εικόνα που προκύπτει παρουσιάζει το πραγµατικό µέρος του µετασχηµατισµού (µέτρο). Το αποτέλεσµα του πειράµατος αυτού δείχνει ότι η φάση περιέχει και χωρική πληροφορία. Ωστόσο, ο παράγοντας της φάσης συνήθως αγνοείται κατά τον σχεδιασµό φίλτρων Fourier για χάρη της απλοποίησης Εφαρµογή φίλτρων κατά συχνότητα Σήµερα η εφαρµογή φίλτρων στο πεδίο της συχνότητας γίνεται µε χρήση του Fast Fourier Transformation (FFT) και εκτελείται µε την ακόλουθη διαδικασία: Γίνεται µετατροπή της ψηφιακής εικόνας µορφής raster από το πεδίο του χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων µε χρήση FFT. Ο µετασχηµατισµός FFT µετατρέπει την απεικόνιση σε ηµιτονοειδή κύµατα δυο διαστάσεων µε διάφορες συχνότητες. Η εικόνα που προκύπτει απεικονίζει τις συχνότητες αυτές καθώς και το µέτρο των κυµάτων. Η ύπαρξη θορύβου φαίνεται και οπτικά. Στην εικόνα Fourier όπως ονοµάζεται, µπορεί µε κατάλληλη επεξεργασία να µειωθεί ο θόρυβος ή να αποµακρυνθούν περιοδικά φαινόµενα. Για παράδειγµα η ύπαρξη γραµµικού θορύβου στην αρχική απεικόνιση που 93

98 βρίσκεται σε µια συγκεκριµένη διεύθυνση και παρουσιάζεται µε εναλλαγές του τόνου του γκρι θα δηµιουργήσει κέντρο συχνοτήτων σε σηµείο πέρα του κέντρου της εικόνας Fourier. Η χρήση κατάλληλου φίλτρου που αποµονώνει το κέντρο αυτό, θα απαλλάξει την αρχική εικόνα από τον συστηµατικό αυτό θόρυβο. Μετά την επεξεργασία κατά συχνότητα, η χρήση ανάστροφου FFT θα δώσει το αποτέλεσµα της επεξεργασίας στο πεδίο του χώρου. Για τη χρήση χωρικού φίλτρου µε τη µορφή πίνακα, είναι απαραίτητη η µετατροπή του φίλτρου στο χώρο των συχνοτήτων µε τη χρήση πάντα FFT. Η εφαρµογή του φίλτρου αυτού, µε τη µορφή που θα αποκτήσει µετά το µετασχηµατισµό, στην εικόνα Fourier της αρχικής raster απεικόνισης ορίζει την επεξεργασία φιλτραρίσµατος στο χώρο των συχνοτήτων. ύο φίλτρα συνήθως χρησιµοποιούνται για το σκοπό αυτό: τα χαµηλοπερατά (low-pass) και υψηπερατά (high-pass). Η ονοµασία τους προέρχεται από τις συχνότητες που διατηρούν µετά την εφαρµογή τους. Τα χαµηλοπερατά για παράδειγµα επιτρέπουν τη διατήρηση χαµηλών συχνοτήτων (το κέντρο και µια ακτίνα γύρω από αυτό στην εικόνα Fourier) ενώ τα υψηπερατά επιτρέπουν τη διατήρηση υψηλών συχνοτήτων (την περιοχή που ορίζεται έξω από τον κύκλο µε κέντρο το κέντρο της εικόνας Fourier και δεδοµένη ακτίνα) 4. Για εφαρµογές αποµάκρυνσης κέντρων που προέρχονται από συστηµατικό θόρυβο, χρησιµοποιούνται τα χαµηλοπερατά φίλτρα. 5.3 Χρήση του µετασχηµατισµού Fourier στη συµβολοµετρία Η επεξεργασία εικόνων κατά συχνότητα είναι η πιο διαδεδοµένη για απεικονίσεις SAR. Μελέτες έχουν δείξει ότι η µεθοδολογία αυτή έχει καλύτερα αποτελέσµατα στο είδος αυτό των ψηφιακών εικόνων. Στην πραγµατικότητα η εφαρµογή χωρικών φίλτρων στις απεικονίσεις SAR εξοµαλύνει τις ψηφιακές τιµές χωρίς τις περισσότερες φορές να έχει ουσιαστικό αποτέλεσµα. Η επεξεργασία κατά συχνότητα έχει δυνατότητα αφενός να εντοπίζει άµεσα την ύπαρξη θορύβου, ειδικά όταν αυτός είναι συστηµατικός, και αφετέρου να αποµακρύνει το θόρυβο µε µια απλή εφαρµογή φίλτρου κατά συχνότητα, συνήθως χαµηλοπερατού. Τα πλεονεκτήµατα αυτά έχουν στρέψει την επιστηµονική κοινότητα στη συνεχή εύρεση νέων αλγορίθµων και µεθόδων επεξεργασίας απεικονίσεων SAR στο πεδίο των συχνοτήτων. Στη συµβολοµετρική διαδικασία η εφαρµογή της επεξεργασίας εικόνας κατά συχνότητα γίνεται κυρίως στο διάγραµµα κροσσών συµβολής αλλά και στις αρχικές απεικονίσεις SAR. Ακολουθούν δύο τέτοιες µέθοδοι, οι οποίες είναι σχετικά πρόσφατες και έχουν αποδείξει µεγάλη αποτελεσµατικότητα Short Time Fourier Transform Σύµφωνα µε τον Oppenheim [1988], η τεχνική φιλτραρίσµατος µε τη χρήση του Short Time Fourier Transform (STFT) είναι κατάλληλη για επεξεργασία σηµάτων µε ιδιότητες µεταβολής της συχνότητας σε σχέση µε το χρόνο. Η αποκλειστική ιδιότητα της µεθόδου είναι ότι εκτελεί τοπικής φύσεως επεξεργασία στο πεδίο των συχνοτήτων. Συνδυάζει δηλαδή επεξεργασία στις διαστάσεις χώρου και συχνότητας. 4 Το µέγεθος της ακτίνας ορίζεται από το µέγεθος του πυρήνα του φίλτρου στο πεδίο του χώρου / χρόνου, από το οποίο προήλθε το φίλτρο µε εφαρµογή FFT. 94

99 Ο αλγόριθµος χωρίζει την απεικόνιση σε παράθυρα στο πεδίο του χώρου και τα επεξεργάζεται στο πεδίο της συχνότητας. Η εικόνα δηλαδή χωρίζεται σε επικαλυπτόµενα παράθυρα και σε κάθε παράθυρο γίνεται ξεχωριστά επεξεργασία στο πεδίο των συχνοτήτων µε τη χρήση FFT, όπως αναλύθηκε παραπάνω. Κάθε παράθυρο µετά την επεξεργασία «επιστρέφει» στο πεδίο του χώρου µε τη χρήση αντίστροφου FFT. Η ένωση της εικόνας γίνεται αξιόπιστα λόγω της επικάλυψης των παραθύρων. Σύµφωνα µε τον Lim [1980] η επικάλυψη θα πρέπει να είναι και στις δυο διαστάσεις της απεικόνισης. Το µέγεθος, το σχήµα καθώς και η επικάλυψη των παραθύρων είναι παράγοντας που επηρεάζουν το αποτέλεσµα καθώς και το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθµου. Ο Carasco (1998) προτείνει τριγωνικά παράθυρα µε συντελεστή επικάλυψης 50% (τρίγωνα Bartlett). Το σύνολο των τριγωνικών παραθύρων έχει την ακόλουθη µορφή: 2n N 1 ( όταν0 n ) w( n) = N 1 2 2n N 1 2, ( όταν n N 1) N 1 2 (5.8) Η έκφραση σε δυο διαστάσεις των τριγωνικών παραθύρων µπορεί εύκολα να σχηµατιστεί µε τον ακόλουθο τύπο: w i,j (n 1,n 2 ) = w i (n i ). w j (n j ) (5.9) Η επεξεργασία στο πεδίο των συχνοτήτων µε τη χρήση παραθύρων είναι κατάλληλη για προσαρµοσµένη επεξεργασία (adaptive processing) µεγάλων εικόνων. Η µέθοδος µπορεί να χρησιµοποιηθεί για προσαρµοσµένο φιλτράρισµα του διαγράµµατος κροσσών συµβολής. Σύµφωνα µε τον Carasco (1998) κατάλληλες διαστάσεις παραθύρου για εφαρµογή του STFT είναι αυτές του φίλτρου Hanning. Το φίλτρο Hanning έχει την ιδιότητα να διατηρεί τις χαµηλές τιµές των συχνοτήτων και να οµαλοποιεί τις υψηλές συχνότητες. Αφού λοιπόν η εικόνα του διαγράµµατος κροσσών συµβολής χωριστεί σε παράθυρα, γίνεται η µετατροπή του κάθε παραθύρου στο πεδίο των συχνοτήτων. Από τη µετατόπιση του φάσµατος του φίλτρου υπολογίζεται η φάση του παραθύρου η οποία και προστίθεται στους συντελεστές του φίλτρου πριν αυτό µετατραπεί στο πεδίο συχνοτήτων. Ο πολλαπλασιασµός του φίλτρου µε το παράθυρο στο πεδίο των συχνοτήτων (πολ/σµός των δύο φασµάτων) και η µετατροπή του αποτελέσµατος στο πεδίο του χώρου (αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier) δίνει το αποτέλεσµα εφαρµογής του φίλτρου. Το µέγεθος του παραθύρου στο πεδίο του χώρου καθορίζει το βαθµό γενίκευσης, άρα και την αποτελεσµατικότητα του φίλτρου. Μικρό µέγεθος παραθύρου στο πεδίο του χώρου έχει ως αποτέλεσµα µικρό βαθµό γενίκευσης άρα το φίλτρο δεν επηρεάζει σηµαντικά την εικόνα και έχει ήπια δράση. Μειονέκτηµα του προσαρµοσµένου φίλτρου σε εργασίες συµβολοµετρίας απεικονίσεων SAR, είναι η συµπεριφορά του σε περιοχές µικρής συσχέτισης, όπως σε περιοχές που καλύπτονται από θάλασσα. Σε τέτοιες περιοχές το αποτέλεσµα δεν είναι ικανοποιητικό: παρά το γεγονός ότι οι περιοχές αυτές περιέχουν µόνο θόρυβο και όχι τοπογραφική πληροφορία, το φίλτρο ενισχύει κάποιες συχνότητες προκαλώντας έτσι τεχνικούς κροσσούς συµβολής άρα εµφανίζεται τοπογραφία σε περιοχές που δεν υπάρχει. 95

100 Χρήση του FFT για βελτίωση διαγράµµατος κροσσών συµβολής κακής ποιότητας Η µέθοδος παρουσιάστηκε από τους Zakharov και Tugarinov [2000] και έχει σκοπό την βελτίωση διαγραµµάτων κροσσών συµβολής κακής ποιότητας µειώνοντας τα υπολείµµατα (residues). Τα υπολείµµατα παρεµποδίζουν την σωστή επίλυση της αβεβαιότητας 2π στη πρόβλεψη της φάσης του διαγράµµατος κροσσών συµβολής. Τα υπολείµµατα οφείλονται σε τυχόν µικρό λόγo σήµατος / θορύβου (signal-to-noise ratio (SNR)) και σε περιπτώσεις που η συχνότητα των κροσσών συµβολής είναι ίση ή µεγαλύτερη της συχνότητας δειγµατοληψίας της εικόνας στις διευθύνσεις αζιµουθίου (azimuth) και αποστάσης (range). Στις περισσότερες περιπτώσεις το πρόβληµα των υπολειµµάτων δεν λύνεται µε υπολογισµό του µέσου όρου των δεδοµένων. Όπως αναφέρεται στο κεφάλαιο της αποκατάστασης της συµβολοµετρικής φάσης (phase unwrapping) ένας από τους πιο διαδεδοµένους τρόπους επίλυσης του προβλήµατος των υπολειµµάτων είναι η ένωση τους µε τις λεγόµενες γραµµές φάντασµα (ghost lines ή branch cuts). Ο αριθµός των υπολειµµάτων εξαρτάται από το είδος των δεδοµένων και της περιοχής µελέτης και όπως είναι λογικό όσο µεγαλύτερο το πλήθος των υπολειµµάτων τόσο πιο δύσκολα γίνεται η ένωση τους. Ο FFT χρησιµοποιείται για την εκτίµηση της χωρικής συχνότητας των κροσσών συµβολής και επιτρέπει την ανάλυση του είδους της τοπογραφίας και της ποιότητας του σήµατος που υπάρχει. Το χαρακτηριστικό της µεθόδου είναι ότι γίνεται χρήση της πληροφορίας του µέτρου και της φάσης της ανάλυσης FFT: F = S 1. S 2. exp(2jk(r 1 -r 2 ) (5.10) Όπου r 1 και r 2 οι πλευρικές αποστάσεις στις απεικονίσεις SAR και k ο κυµαταριθµός(=λ\2π). Σηµαντικό στοιχείο είναι η τοποθεσία του µέγιστου στο χώρο του φάσµατος της απεικόνισης των κροσσών συµβολής: σε περιοχές µε ήπια τοπογραφία και καλή συσχέτιση το µέγιστο είναι πολύ κοντά στο µηδέν του άξονα του φάσµατος συχνοτήτων, ενώ όσο µειώνεται η ποιότητα των δεδοµένων (µείωση της συσχέτισης) αυξάνει και η απόσταση του από το κέντρο. Σε περιπτώσεις ολικής αποσυσχέτισης, το µέγιστο έχει µια τυχαία αποµάκρυνση από τη µηδενική συχνότητα. Η χρήση χάρτη που απεικονίζει τις µη µηδενικές συχνότητες επιτρέπει την αναγνώριση ύποπτων σηµείων, τα οποία µπορεί να είναι υπολείµµατα. Η µέθοδος εφαρµόζεται πριν την εκτέλεση µιας µεθόδου αποκατάστασης φάσης που ενώνουν τα υπολείµµατα και στόχος της είναι ο περιορισµός του αριθµού των υπολειµµάτων, απλοποιώντας έτσι το έργο των αλγόριθµων αποκατάστασης. 96

101 Κεφάλαιο 6 Αποκατάσταση Φάσης 6.1 Εισαγωγή Η διαδικασία αποκατάστασης της φάσης ενός διαγράµµατος κροσσών συµβολής είναι ένα από τα πιο δύσκολα και απαιτητικά βήµατα της συµβολοµετρικής διαδικασίας, το οποίο µάλιστα δεν είναι σίγουρο ότι θα εκτελεστεί µε επιτυχία. Την αβεβαιότητα αυτή την δηµιουργούν η µικρή συνάφεια και η κακή ποιότητα δειγµατοληψίας λόγω της τοπογραφίας 5, φαινόµενα που καθιστούν κάποια συµβολοµετρικά ζευγάρια απεικονίσεων SAR πολύ δύσκολα στη χρήση τους για παραγωγή DEM. Όπως είναι γνωστό, υπάρχει αναλογία µεταξύ των µεταβολών του ύψους της περιοχής µελέτης και της µετρηµένης συµβολοµετρικής φάσης. Το σήµα επιστροφής, καταγράφει την φάση µέσα στα όρια [0,2π): όταν η τιµή της φάσης φτάσει την τιµή 2π, επιστρέφει πάλι στο 0 χωρίς να υπάρχει ένδειξη για τον αριθµό των κύκλων που προηγούνται. Η συµβολοµετρική φάση επειδή ακριβώς προέρχεται από αφαίρεση των φάσεων του σήµατος επιστροφής των δυο εικόνων, έχει την ίδια ακριβώς ιδιότητα: οι τιµές της αναφέρονται στο διάστηµα [0, 2π) 6 χωρίς δηλαδή να υπάρχει πληροφορία για τους ακέραιους κύκλους. Εξαιτίας της κυκλικής αυτής µορφής της µετρηµένης φάσης, η πληροφορία που περιέχεται στο διάγραµµα κροσσών συµβολής δεν είναι άµεσα διακρινόµενη. Οι καµπύλες που συνθέτουν ένα διάγραµµα κροσσών συµβολής ονοµάζονται ισοφασικές καµπύλες και έχουν τιµές π, 0, π κτλ. Σκοπός της διαδικασίας της αποκατάστασης φάσης (phase unwrapping) είναι η ανάκτηση της πληροφορίας των n ακέραιων κύκλων έτσι ώστε η τιµή φάσης να µην είναι πια περιορισµένη στο όριο [0,2π) και να µπορεί να έχει τις πραγµατικές της τιµές κάτω από το 0 και πέρα από το 2π (σχήµα 6.1). Ο τύπος (6.1) παρουσιάζει την αποκαταστηµένη φάση (πέρα των τιµών 0,2π) και την αρχική τιµή φάσης του διαγράµµατος των κροσσών συµβολής (τυλιγµένη στο [0,2π): 5 6 Η κακή δειγµατοληψία λόγω τοπογραφίας οφείλεται στις γεωµετρικές παραµορφώσεις(σκιά, σµίκρυνση, πτύχωση) που είναι εντονότερες σε περιοχές µε έντονο ανάγλυφο(ορεινές περιοχές). Το διάστηµα [0, 2π) ως έκφραση περιορισµού της φάσης ταυτίζεται µε το διάστηµα [-π,π). 97

102 φ unw = φ pv +n2π, (6.1) όπου φ pv : η αρχική τιµή φάσης και φ unw : η αποκαταστηµένη τιµή φάσης. Ένα πρόβληµα από την καθηµερινή ζωή που δίνει µε σαφήνεια το πρόβληµα της αποκατάστασης φάσης, είναι ο ολικός χιλιοµετρητής ενός αυτοκινήτου µε πέντε ψηφία. Όταν το αυτοκίνητο φτάσει τα χιλιόµετρα, τότε ο δείκτης µηδενίζεται χωρίς να υπάρχει πια η πληροφορία για τα χιλιόµετρα αυτά. Βλέποντας έτσι στον χιλιοµετρητή την τιµή χιλιόµετρα κανείς δεν ξέρει αν η τιµή αυτή είναι όντως αυτή ή είναι χιλιόµετρα ή ακόµα και χιλιόµετρα. Στο φαινόµενο αυτό οφειλόταν και ο πασίγνωστος ιός της χιλιετίας, γνωστός ως Υ2Κ: η έλλειψη των ψηφίων που όριζαν την χιλιετία και την εκατονταετία στα περισσότερα συστήµατα υπολογιστών, θα τα οδηγούσε σε απρόβλεπτες αντιδράσεις. Η καταγραφή του έτους 2000 µόνο µε τα ψηφία 00, θα είχε ως αποτέλεσµα την «κατανόηση» από τα υπολογιστικά συστήµατα ως Κάτι τέτοιο θα είχε φυσικά σηµαντικές συνέπειες στις φορολογικές υπηρεσίες, στις τράπεζες, στα νοσοκοµεία, στα οπλικά συστήµατα, κλπ. Σχήµα 6.1 Η αποκατάσταση των ακέραιων κύκλων Η επεξεργασία της αποκατάστασης φάσης ψάχνει να βρει µια εκτίµηση φ() της πραγµατικής φάσης µε δεδοµένα τη φάση του διαγράµµατος κροσσών συµβολής ψ() και κάποιων υποθέσεων. Η βασική υπόθεση των περισσότερων αλγόριθµων είναι ότι η διαφορά φάσης µεταξύ δυο γειτονικών εικονοστοιχείων δεν είναι µεγαλύτερη του µισού κύκλου: φ ν -φ ν-1 <π (6.2) Άρα π< φ ν -φ ν-1 <0 Μείωση φάσης 98

103 0< φ ν -φ ν-1 <π Αύξηση φάσης (6.3) Έτσι η διαδικασία της αποκατάστασης φάσης απαιτεί την ολοκλήρωση ενός σήµατος έχοντας υπόψη τις σχέσεις (6.2) και (6.3). Βασικός περιορισµός της υπόθεσης είναι η λαθεµένη απόδοση της αποκαταστηµένης φάσης σε σηµεία που παρατηρείται άλµα µεγαλύτερο του π: αν σε δυο σηµεία η αποκαταστηµένη φάση θα έπρεπε από την τιµή π\3 να µεταβεί στη τιµή 7π\3, το αποτέλεσµα του αλγόριθµου θα δώσει την τιµή 4π\3(=π+π\3). Στο σηµείο δηλαδή αυτό θα γίνει υποεκτίµηση της πραγµατικής του τιµής φάσης. Η αποκατάσταση φάσης σήµατος µιας διάστασης µε ένα τέτοιο αλγόριθµο θα δίνει µοναδική λύση, η οποία όµως θα είναι παραποιηµένη στα διαδοχικά σηµεία στα οποία παρατηρούνται άλµατα µεγαλύτερα του π. Στην περίπτωση ενός διαγράµµατος κροσσών συµβολής που δεν παρουσιάζει άλµατα φάσης, η αποκατάστασης φάσης θα µπορούσε να γίνει µε τον ακόλουθο πολύ απλό αλγόριθµο: 1. Forward scan of each pixel p I, skipping the first one 2. If [s (p I ) s (p I-1 )] < -π 3. s(p I ) s (p I ) + {round[s(p I-1 )/2π] + 1}2π 4. else if [s (p I ) s (p I-1 )] > π 5. s(p I ) s (p I ) + {round[s(p I-1 )/2π] - 1}2π 6. else 7. s(p I ) s (p I ) + round[s(p I-1 )/2π]2π όπου s(p I ) η αποκαταστηµένη φάσης, s (p I ) η µετρηµένη φάση και round[ ] η συνάρτηση που επιστρέφει τον ακέραιο αριθµό. Η ίδια ακριβώς φιλοσοφία αποκατάστασης φάσης µπορεί να εφαρµοστεί σε σήµατα δυο διαστάσεων µε επεξεργασία µωσαϊκού (raster processing), µε πλήρως επιτυχή αποτελέσµατα αν δεν υπάρχουν άλµατα φάσης µεγαλύτερα του π. Στην περίπτωση σήµατος δύο διαστάσεων (2-D Dimension) ο περιορισµός για τα άλµατα φάσης γίνεται: Οπότε: φ(m+1,n)-φ(m,n) <π και φ(m,n+1)-φ(m,n) <π (6.4) ψ ( m, n) = φ (6.5) Όπου W { ψ ( m + 1, n) ψ ( m, n) ψ ( m, n) = (6.6) W { ψ ( m, n + 1) ψ ( m, n) ο wrapped τελεστής της wrapped φάσης = τελεστής εκτίµησης. 99

104 και W() ο τελεστής που τυλίγει την φάση φ στα όρια [-π,π) µε αποτέλεσµα την µη αποκαταστηµένη φάση ψ. Αν η υπόθεση (6.5) ήταν σωστή, η αποκαταστηµένη φάση φ θα µπορούσε να βρεθεί µε ολοκλήρωση του τελεστή εκτίµησης κατά µήκος ενός δρόµου ολοκλήρωσης. Στην πραγµατικότητα η υπόθεση δεν ισχύει στα σηµεία µε άλµατα φάσης µεγαλύτερα του π, µε αποτέλεσµα οι δύο όροι της εξίσωσης (6.5) να είναι διάφοροι µεταξύ τους στα σηµεία αυτά. Η ολοκλήρωση λοιπόν εξαρτάται από την διαδροµή στα κρίσιµα σηµεία µε αποτέλεσµα το πεδίο να είναι µη συντηρητικό (non conservative). Οποιαδήποτε στρατηγική ολοκλήρωσης του µωσαϊκού θα οδηγήσει σε αντιφατική αποκατάσταση και διάδοση σφαλµάτων στο πεδίο µελέτης. 6.2 Προσεγγίσεις στην 2-διαστάσεων αποκατάσταση φάσης Με γνωστό το πεδίο εφαρµογής και τις ιδιαιτερότητες του, οι επιστήµονες που ασχολήθηκαν µε το πρόβληµα της αποκατάστασης της φάσης, έδωσαν κάποιους αλγόριθµους-προσεγγίσεις για την επίλυσή του, καθένας µε τα δικά του πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα τα οποία τους χαρακτηρίζουν και τους καθιστούν κατάλληλους για συγκεκριµένες συνθήκες εφαρµογών. Αποσκοπώντας σε µια κατηγοριοποίηση τους, οι µέθοδοι που προτάθηκαν µε την πάροδο του χρόνου µπορούν να χωριστούν σε: Μεθόδους ολοκλήρωσης Γενικευµένες (global) µεθόδους Συνδυαστικές µεθόδους Μέθοδοι ολοκλήρωσης Οι αλγόριθµοι της κατηγορίας αυτής µπορούν να χωριστούν σε δυο υποκατηγορίες: Μέθοδοι ένωσης υπολειµµάτων Μέθοδοι Τοπικής Ανάπτυξης (Region growing (RG)). Οι µέθοδοι ένωσης υπολειµµάτων εντοπίζουν τα υπολείµµατα(residues), τα οποία είναι τα κρίσιµα σηµεία αλµάτων φάσης που παρουσιάστηκαν παραπάνω, και προσπαθούν να αποφύγουν λαθεµένες εκτιµήσεις φάσης όπως θα παρουσιαστεί παρακάτω. Οι µέθοδοι τοπικής ανάπτυξης (Region Growing (RG)) συµπεριφέρονται περισσότερο ανθρώπινα, ξεκινώντας την αποκατάσταση φάσης από τις εύκολες περιοχές, αφήνοντας τις δύσκολες για το τέλος. Χρειάζονται εικόνα ποιότητας του διαγράµµατος των κροσσών συµβολής για οδηγό. Εκτενέστερη αναφορά γίνεται παρακάτω Μέθοδοι ένωσης υπολειµµάτων 7 Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η µη συντηρητική φύση του πεδίου έχει ως αποτέλεσµα την εξάρτηση του αποτελέσµατος από την διαδροµής της ολοκλήρωσης. Η ύπαρξη αλµάτων φάσης µεγαλύτερων του π, οδηγεί σε σφάλµατα που διαδίδονται σε όλη τη περιοχή ολοκλήρωσης. Με σκοπό την αποµόνωση των κρίσιµων σηµείων του πεδίου µελέτης, πρέπει να υπολογιστούν τα ελάχιστα κυκλικά µονοπάτια ολοκλήρωσης(τέσσερα εικονοστοιχεία διατεταγµένα σε σχήµα τετραγώνου) για όλα τα δείγµατα του πεδίου µελέτης. Ιδεατά οι κυκλικές αυτές διαδροµές θα έχουν αποτέλεσµα 0, το οποίο είναι και 7 Στη βιβλιογραφία συνήθως συναντιούνται ως Branch-cut Methods 100

105 το σύνηθες αποτέλεσµα. Σε µερικές ωστόσο περιπτώσεις το αποτέλεσµα θα είναι +/- ένας κύκλος: στα σηµεία αυτά υπάρχουν τα λεγόµενα υπολείµµατα (residues) θετικά ή αρνητικά, ανάλογα µε το πρόσηµο της ολοκλήρωσης (σχήµα 6.2). Σε ένα διάγραµµα κροσσών συµβολής προερχόµενο από δεδοµένα SAR, υπάρχουν δυο είδη υπολειµµάτων: Λόγω τοπογραφικών ασυνεχειών (ή baseline undersampling) Λόγω θορύβου. Τα υπολείµµατα της πρώτης κατηγορίας παρουσιάζονται σε ζευγάρια ενός θετικού µε το αντίστοιχο αρνητικό και όπως θα αναφερθεί παρακάτω, συναντούνται στα σηµεία που οι κροσσοί συµβολής διακόπτονται και αρχίζουν οι «γραµµές φαντάσµατα». Τα υπολείµµατα της δεύτερης κατηγορίας εµφανίζονται λόγω χαµηλής συνάφειας ή χαµηλής αναλογίας του λόγου σήµα προς θόρυβο (signal-to-noise ratio (SNR)) και δεν σχετίζονται µε φαινόµενα τοπογραφίας της περιοχής µελέτης (εκτός από αυτά που οφείλονται σε φαινόµενα έντονης σµίκρυνσης (foreshortening) και έντονης χωρικής αποσυσχέτισης (spatial decorrelation) τα οποία σχετίζονται µε τοπογραφικές ασυνέχειες). Σχήµα 6.2 Ολοκλήρωση υπολειµµάτων Τα υπολείµµατα έχουν φυσική ερµηνεία αφού ορίζουν τα σηµεία τέλους των γραµµών φαντάσµατα (ghost lines ή branch-cuts). Η «γραµµή φάντασµα» είναι µια γραµµή του διαγράµµατος κροσσών συµβολής µε την ιδιότητα να χωρίζει γειτονικά εικονοστοιχεία που η πραγµατική τους φάση διαφέρει περισσότερο του µισού κύκλου (π) µε αποτέλεσµα η υπόθεση συνέχειας 8 να καταργείται (τα κρίσιµα σηµεία στα οποία το πεδίο είναι µη συντηρητικό). Τα υπολείµµατα ταυτίζονται ακόµα µε τα σηµεία ρήξης των κροσσών φάσης (συνήθως συναντιούνται σε περιοχές έντονης τοπογραφίας και σε έντονες 8 σχέση (6.2) 101

106 γεωµετρικές παραµορφώσεις). Έτσι, οι κροσσοί φάσης µπορούν να θεωρηθούν ως καµπύλες υψοµέτρου που «κλείνονται» µε «γραµµές φαντάσµατα» στις περιοχές ασυνεχειών (πολύ απότοµες κλίσεις). Η γνώση των «γραµµών φαντάσµατα» είναι πολύ σηµαντική: ο αλγόριθµος αποκατάστασης φάσης δίνει αξιόπιστα αποτελέσµατα όσο δεν τις διασχίζει. Παρότι στην αποκαταστηµένη φάση, η πληροφορία για τις «γραµµές φαντάσµατα» χάνεται, οι περισσότεροι αλγόριθµοι αποκατάστασης φάσης δυο-διαστάσεων στηρίζονται στην αρχή αυτή. Η βασική ιδέα είναι η αντιστοίχηση κάθε θετικού υπολείµµατος µε το αντίστοιχο αρνητικό και η ένωση τους µε µια γραµµή, τη γνωστή πια «γραµµή φάντασµα», την οποία δεν θα πρέπει να διασχίσει ο εκάστοτε αλγόριθµος κατά την διάρκεια της αποκατάστασης της φάσης. Με καλή ένωση των αντίστοιχων υπολειµµάτων τα σφάλµατα λόγω λανθασµένου ορισµού των ghost lines θα είναι τοπικά και δεν θα διαδίδονται σε όλο το πεδίο µελέτης. Χρήσιµες πληροφορίες για την ορθή ένωση των αντίστοιχων υπολειµµάτων µπορούν να προέλθουν από την εικόνα συνάφειας φάσης (coherence image) και την εικόνα µέτρου (amplitude image) Μέθοδοι Τοπικής Ανάπτυξης Η αρχική πρόταση του αλγόριθµου Τοπικής Ανάπτυξης (Region Growing (RG)) ανήκει στους Xu and Cumming (1996). H τοπική ανάπτυξη είναι περισσότερο µια φιλοσοφία παρά αυστηρά µαθηµατικά όπως για παράδειγµα οι αλγόριθµοι ελαχίστων τετραγώνων που παρουσιάζονται παρακάτω. Κρατώντας λοιπόν την αρχική ιδέα, ο κάθε ερευνητής µπορεί να αποδώσει την δικιά του έκδοση στο ίδιο θέµα: την δηµιουργία ενός αλγόριθµου που αντιδρά ανθρώπινα. Ένα σύνολο κριτηρίων που χρησιµοποιείται στην διαδικασία της αποκατάστασης της φάσης είναι αυτό που παρουσίασε ο Carrasco (1998) στον οποίον ανήκει και ο συγκεκριµένος αλγόριθµος που παρουσιάζεται. Η µέθοδος Η αποκατάσταση φάσης τοπικής ανάπτυξης συµπεριφέρεται µε τον ίδιο τρόπο που θα συµπεριφερόταν ένας ανθρώπινος χειριστής. Είναι τοπική µέθοδος ολοκλήρωσης, η οποία ξεκινάει από τις εύκολες περιοχές, όπου η αποκατάσταση είναι πιο πιθανό ότι θα είναι επιτυχής, και µετά παίρνει το ρίσκο να αποκαταστήσει βήµα-βήµα τις πιο δύσκολες περιοχές. Ο αλγόριθµος επιχειρεί ριψοκίνδυνες αποφάσεις µόνο στα τελευταία στάδια της αποκατάστασης, οπότε και οι περιοχές αυτές είναι αρκετά αποµονωµένες έτσι ώστε τα σφάλµατα να µην διαδοθούν σε όλη την εικόνα. Η επιτυχία του αλγόριθµου εξαρτάται από την εικόνα ποιότητας που καλείται να έχει ο χειριστής, από τον οποίο ορίζονται σε κάθε βήµα τα καταλληλότερα µονοπάτια ολοκλήρωσης. Η εικόνα ποιότητας θα µπορούσε, στα αρχικά στάδια του αλγόριθµου, να προέλθει από την πληροφορία της συµβολοµετρικής συσχέτισης (εικόνα συνάφειας). Ο αλγόριθµος αυτός, που παρουσιάστηκε ως ανταγωνιστικός των γενικών(global) µεθόδων, δεν έχει συγκεκριµένη αρχιτεκτονική, αφού αποτελεί περισσότερο µια φιλοσοφία παρά µια σταθερή µέθοδο. Πειράµατα έχουν δείξει ότι µπορεί να αποκαταστήσει αποτελεσµατικά TANDEM 9 διαγράµµατα κροσσών συµβολής µε δύσκολη τοπογραφία. 9 ωρών. Η αποστολή TANDEM παρέχει SAR δεδοµένα των δορυφόρων ERS1 και 2, µε διαφορά

107 Βασικά Στοιχεία και Έννοιες Η διαδικασία της αποκατάστασης φάσης γίνεται ανεξάρτητα από µια συλλογή γόνων (seeds). Οι γόνοι τοποθετούνται σε σηµεία µεγάλης συσχέτισης και η διαδικασία ξεκινάει ταυτόχρονα σε κάθε ένα από αυτά και εκτελείται ταυτόχρονα και ανεξάρτητα. Κάθε γόνος αναπτύσσεται σε µια περιοχή (region). Σε κάθε εικονοστοιχείο γίνεται αποκατάσταση φάσης από γείτονες των οποίων η φάση είναι ήδη ξετυλιγµένη, µε τη χρήση όσων περισσότερων είναι εφικτό. Πριν επιχειρηθεί αποκατάσταση φάσης ενός εικονοστοιχείου, το εικονοστοιχείο αυτό θα πρέπει περάσει επιτυχώς από κάποιους ελέγχους ποιότητας (συµφωνία (coherence), µεταβλητότητα φάσης (phase variance) και άλλα). Το κατώφλι που περιγράφει τον έλεγχο ποιότητας κατεβαίνει σταδιακά (µετά το πέρας κάθε κύκλου επανάληψης) µε σκοπό να ξετυλίγονται περισσότερο δύσκολες περιοχές µετά την αποκατάσταση των εύκολων. Όταν δύο αναπτυγµένες περιοχές (προερχόµενες από διαφορετικά seeds) γίνουν εφαπτόµενες, ενώνονται σε µια περιοχή µε την προϋπόθεση ότι το κοινό τους όριο έχει περάσει από έλεγχο ποιότητας. Τα εικονοστοιχεία ονοµάζονται-χαρακτηρίζονται ανάλογα µε την ιδιότητά τους: Free point (F): είναι η αρχική κατάσταση όλων των σηµείων στην αρχή της διαδικασίας. Unwrapped point (U): είναι το σηµείο του οποίου η φάση έχει αποκατασταθεί. Αφού γίνει αυτό δεν επιδέχεται άλλες αλλαγές: δεν υπάρχει δρόµος επιστροφής. Growing point (G): είναι σηµείο γειτονικό σε σηµείο / α µε αποκαταστηµένη φάση το οποίο είναι έτοιµο να δεχθεί unwrapping. Bad point (B): είναι σηµείο που απέτυχε στο τεστ ποιότητας. Έχει µια δεύτερη ευκαιρία να γίνει growing point (G) µέσο της διαδικασίας του Restoring (αποκατάσταση). Ο αλγόριθµος είναι κυκλικός. Ξεκινάει την αποκατάσταση φάσης όλων των σηµείων µε µεγάλη συνάφεια µέχρι το αρχικό σύνολο των περιοχών να µην µπορεί να µεγαλώσει άλλο. Γίνεται έλεγχος για την τυχών ένωση περιοχών που έχουν αποκτήσει κοινό όριο και για να µπορεί να συνεχιστεί η διαδικασία, η επιτρεπόµενη τιµή συνάφειας χαλαρώνει. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. Ο αλγόριθµος αποτελείται από τέσσερις βασικές λειτουργίες: σπορά (seeding), ανάπτυξη (growing), σύνδεση (tying) και αποκατάσταση (restoring) των οποίων η σχέση παρουσιάζεται στο σχήµα

108 Σχήµα 6.3 ιάγραµµα του αλγόριθµου τοπικής κλίσης Περιγραφή των βασικών λειτουργιών του αλγόριθµου SEEDING: Όπως είναι ήδη γνωστό, ο αλγόριθµος εφαρµόζεται παράλληλα στις περιοχές οι οποίες δηµιουργούνται από την ανάπτυξη των γόνων. Το κριτήριο τοποθέτησης των γόνων από τα οποία ξεκινάει και εξελίσσεται η διαδικασία, είναι η υψηλή τιµή της συµφωνίας που παρουσιάζεται στις θέσεις αυτές. Μια οµοιόµορφη τοποθέτηση των γόνων στην επιφάνεια της απεικόνισης θα βοηθήσει τον αλγόριθµο να φέρει καλύτερα αποτελέσµατα. Πολύ υψηλό κατώφλι συµφωνίας είναι πιθανό να οδηγήσει την τοποθέτηση των γόνων σε µικρή µεταξύ τους απόσταση, γεγονός ανεπιθύµητο. Η ισορροπία µεταξύ της τιµής του κατωφλίου και της διασποράς των γόνων στην απεικόνιση είναι πολύ βασική και ελέγχεται από το χρήστη. Μετά την τοποθέτηση των γόνων, το κατώφλι τοποθετείται στη µέγιστη τιµή εκκίνησης(το οποίο συνήθως είναι µικρότερο του κατωφλίου τοποθέτησης). Η τιµή αυτή 104

109 µπορεί να εξαχθεί από το ιστόγραµµα συµφωνίας και βρίσκεται κοντά στην κορυφή του(µέγιστη τιµή συµφωνίας). GROWING: Στην πρώτη επανάληψη η διαδικασία ξεκινάει από τους γόνους. Στις επόµενες η διαδικασία ανάπτυξης ξεκινάει από τα «bad points» του προηγούµενου κύκλου στα οποία µόλις έχει γίνει αποκατάσταση (restoring) και η φάση τους έχει αποκατασταθεί µε τη χρήση πιο χαλαρού κατωφλίου. Η διαδικασία ανάπτυξης γίνεται ως εξής: ο αλγόριθµος προσπαθεί να αναπτύξει το εξωτερικό όριο κάθε περιοχής µε µια επαναληπτική διαδικασία. Σε κάθε επανάληψη τα ήδη αποκαταστηµένα εικονοστοιχεία περιβάλλονται από µια σειρά εικονοστοιχείων προς ανάπτυξη (growing pixels (G)) τα οποία σχηµατίζουν ένα δαχτυλίδι γύρω από την περιοχή αυτή. Η διαδικασία προχωράει κάνοντας αποκατάσταση της φάσης στα δαχτυλίδια σηµείων G µέχρι το σηµείο που η περιοχή δεν µπορεί να αναπτυχθεί άλλο εξαιτίας σύγκρουσής µε άλλη περιοχή ή επειδή γύρω της υπάρχουν µόνο bad points (Β). Κάθε φορά που αναπτύσσεται ένα δαχτυλίδι, εκτελούνται δύο βήµατα: Ανάπτυξη στο εξωτερικό µέρος των unwrapped εικονοστοιχείων (Τα σηµεία F γίνονται G). Επιχειρείται αποκατάσταση της φάσης των σηµείων ανάπτυξης που βρίσκονται στο δαχτυλίδι (Τα σηµεία G γίνονται U αν είναι επιτυχής η προσπάθεια αλλιώς γίνονται Β.) Έστω Ν σηµεία που περιβάλλουν ένα σηµείο προς ανάπτυξη (G). Από την µέχρι τώρα περιγραφή του αλγόριθµου είναι σαφές ότι κάθε G σηµείο περιστοιχίζεται από τουλάχιστον ένα U σηµείο. Κάθε ένα από τα U εικονοστοιχεία θα χρησιµοποιηθεί στην εκτίµηση της φάσης του σηµείου προς αποκατάσταση. Το κάθε σηµείο U προσφέρει µια τιµή φάσης φ κ µε 1 κ Ν. Τα είδη των προβλέψεων είναι δύο, ανάλογα µε πόσα σηµεία χρησιµοποιούνται σε κάθε διεύθυνση (ένα ή δύο) (σχήµα 6.4). Εάν υπάρχει ένα σηµείο, η πρόβλεψη είναι η τιµή της ήδη αποκαταστηµένης φάσης του σηµείου αυτού (φ κ =φ u (κ)). Εάν στην κ διεύθυνση υπάρχουν δύο διαθέσιµα σηµεία, κ και κ, η πρόβλεψη γίνεται µε γραµµική παρεµβολή: φ κ =2φ u (κ)-φ u (κ ) (6.7) Μετά γίνεται ο υπολογισµός όλων των προβλέψεων: N p wk φk p k = 1 φ = N (6.8) w k = 1 k Τα βάρη w k µε τον αριθµό των εικονοστοιχείων που χρησιµοποιήθηκαν στην κάθε εκτίµηση (w k =1 ή 2). Η προτεινόµενη αποκαταστηµένη φάση θα είναι: (φ ρ -φ w )/2π (6.9) 105

110 Σχήµα 6.4 Αποκατάσταση σηµείου (G) Η προτεινόµενη αυτή τιµή θα γίνει δεκτή αφού περάσει από τρία τεστ ποιότητας: 1. Τεστ συνάφειας: το σηµείο υπό εξέταση θα πρέπει να έχει τιµή συµφωνίας πάνω από το τρέχον κατώφλι. 2. Τεστ µεταβλητότητας: η τιµή της προτεινόµενης φάσης θα πρέπει να είναι όσο το δυνατόν σύµφωνη. 3. Μέση διαφορά: υπάρχει µέγιστη τιµή διαφοράς µεταξύ της αποκαταστηµένης φάσης και της µέσης πρόβλεψης που ελέγχεται από το κατώφλι. REGION TYING: Το βήµα αυτό του αλγόριθµου έχει την µεγαλύτερη σηµασία και είναι εκείνο που προσφέρει τη µεγαλύτερη ελευθερία στον σχεδιαστή. Ο έλεγχος της λειτουργίας της ένωσης περιοχών θα πρέπει να γίνεται όσο το δυνατόν νωρίτερα. Το πρόβληµα που δηµιουργείται µε την πάροδο του χρόνου είναι ότι η µείωση της τιµής του κατωφλίου θα οδηγήσει σε λανθασµένα αποτελέσµατα. Η παρούσα λειτουργία µπορεί να εκτελείται κάθε φορά που η τιµή του κατωφλίου µειώνεται, ενέργεια η οποία ανταποκρίνεται στην πραγµατικότητα εκεί όπου οι ενώσεις γίνονται στις πρώτες επαναλήψεις. Η διαδικασία γίνεται ως εξής: πρώτα καθορίζονται τα όρια των περιοχών. Όταν υπάρχει όριο µεταξύ δυο περιοχών τότε θα ενωθούν σε µία εάν το όριο περάσει δύο τεστ ποιότητας: Το κοινό όριο έχει πάνω από έναν ελάχιστο αριθµό εικονοστοιχείων. Με τον τρόπο αυτό αποκλείονται οι ενώσεις περιοχών µε µόνο, για παράδειγµα, τρία κοινά εικονοστοιχεία. 106

111 Για όλα τα εικονοστοιχεία της ένωσης υπολογίζεται η διαφορά κύκλων µεταξύ τους. Εάν η διασπορά της διαφοράς είναι κάτω από ένα συγκεκριµένο κατώφλι, τότε γίνεται η ένωση. Η διαδικασία ένωσης συνεχίζει την αναζήτηση άλλου ορίου µεταξύ δύο περιοχών και επαναλαµβάνει τα τεστ µέχρι να µην υπάρχουν άλλες περιοχές προς ένωση. Bad points RESTORING: Μετά την ένωση των περιοχών, το κατώφλι συνάφειας µειώνεται για να ξεκινήσει ο νέος κύκλος. Στην φάση αυτή, θα γίνει προσπάθεια αποκατάστασης των «bad points» που έµειναν από τον προηγούµενο κύκλο, µε χρήση της νέας τιµής του κατωφλίου. Τα bad points που θα αποκατασταθούν επιτυχώς (από B θα γίνουν U) θα είναι τα σηµεία εκκίνησης της επόµενης προσπάθειας ανάπτυξης. Αξιολόγηση Ο αλγόριθµος τοπικής ανάπτυξης στη µορφή που παρουσιάστηκε και αξιολογήθηκε από τον Carasco (1998) σε δεδοµένα TANDEM, πετυχαίνει πολύ καλά αποτελέσµατα. Η ανθρώπινη παρέµβαση είναι πολύ µικρή. Οι αναγκαίοι για τον αλγόριθµο παράµετροι µπορούν να οριστούν για µικρή περιοχή της εικόνας και να χρησιµοποιηθούν για την επεξεργασία ολόκληρης της εικόνας χωρίς άλλη επέµβαση. Οι ίδιες τιµές µάλιστα µπορούν να χρησιµοποιηθούν και σε γειτονικές εικόνες 10. Βασικό πλεονέκτηµα του αλγόριθµου είναι ότι δεν µεταδίδει σφάλµατα στη περιοχή µελέτης ακόµα και σε ζευγάρια εικόνων µε χρονική διαφορά απόκτησης τριών ηµερών, µε µειωµένη δηλαδή συνάφεια σε σχέση µε τα δεδοµένα TANDEM (χρονική διαφορά απόκτησης µια ηµέρα). Το βασικό µειονέκτηµα του αλγόριθµου είναι ότι προσπαθεί να εισχωρήσει σε περιοχές µικρής συνάφειας στα τελευταία βήµατα. έχεται έτσι στη διαδικασία επεξεργασίας δεδοµένα κακής ποιότητας Γενικευµένες Μέθοδοι Η επεξεργασία της εικόνας στις γενικευµένες µεθόδους γίνεται ολικά, µε την προτεινόµενη-βέλτιστη λύση να ακολουθεί κάποια έννοια ελαχιστοποίησης του σφάλµατος ή κάποια κριτήρια ανάλογα µε τον αλγόριθµο. Θα µπορούσε να πει κάποιος ότι οι γενικευµένες µέθοδοι είναι αντίθετες από τις µεθόδους ολοκλήρωσης. Η λύση που δίνεται, όπως θα φανεί παρακάτω, δεν είναι πάντα ικανοποιητική. Ο κύριος αλγόριθµος είναι η προσέγγιση των ελάχιστων τετραγώνων (Least Minimum Squares (LMS)), σύµφωνα µε τoυς Ghiglia and Romero (1994). O αλγόριθµος βρίσκει την τιµή της αποκαταστηµένης φάσης µε τελεστή (gradient) που είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά µε τον τελεστή της «τυλιγµένης» φάσης µε βάση τη θεωρία των ελάχιστων τετραγώνων. Ο αλγόριθµος δεν υποστηρίζει ασυνέχειες (δεν τις υπολογίζει στην επίλυση) µε αποτέλεσµα η λύση που προσφέρει να είναι εξοµαλυσµένη. Άλλες εκδόσεις του αλγόριθµου αυτού είναι η LMS µε χρήση βαρών (weighted (WLMS)) και η ισοζυγισµένη της έκδοση (balanced (BLMS)). Η πρώτη χρησιµοποιεί βάρη στις τιµές φάσης σύµφωνα µε εικόνα ποιότητας, απαιτώντας a priori πληροφορία για συµφωνία και µέτρο, ενώ η δεύτερη δίνει διαφορετικά βάρη στις δυο διαστάσεις της εικόνας σύµφωνα µε την αναλογία αζιµούθιο / απόσταση (azimuth/range). 10 Η ιδιότητα αυτή καθιστά τον αλγόριθµο κατάλληλο για SAR δεδοµένα που προέρχονται από αεροµεταφερόµενο σύστηµα. 107

112 Μια άλλη γενική προσέγγιση στο πρόβληµα της αποκατάστασης της φάσης δίνεται στη Green formulation (Fornaro et al. 1996), η οποία είναι κάτι ανάλογο της µεθόδου των ελάχιστων τετραγώνων (LMS) Αλγόριθµος ελαχίστων τετραγώνων Ο αλγόριθµος αναπτύχθηκε αρχικά για εφαρµογές λέιζερ συµβολοµετρίας κηλίδωσης (laser speckle interferometry) και αργότερα χρησιµοποιήθηκε στην συµβολοµετρία SAR. Είναι αλγόριθµος που δίνει πάντα λύση, αν και µερικές φορές δεν είναι η επιθυµητή. Η βασική ιδέα του αλγόριθµου είναι ότι ελαχιστοποιεί τη διαφορά µεταξύ της στιγµιαίας συχνότητας του µη αποκαταστηµένου σήµατος µε την προτεινόµενη «ξετυλιγµένη» λύση, µε την έννοια των ελαχίστων τετραγώνων: min M 1N 1 m= 0 n= 0 x 2 y 2 ( φ m+ 1, n φm, n m, n) + ( φm, n+ 1 φm, n m, n) (6.10) * m,n όπου φ m,n οι τιµές της αποκαταστηµένης λύσης της φάσης και η στιγµιαία συχνότητα του µη αποκαταστηµένου σήµατος και στις δύο διευθύνσεις x και y. Η στιγµιαία συχνότητα µπορεί να υπολογιστεί ως κύρια τιµή (principal value) διαφοράς µη αποκαταστηµένης φάσης, δηλαδή: x m, n = [ ψ m+ 1, n ψ m, n] p. v. (6.11) y m, n = [ ψ m, n+ 1 ψ m, n] p. v. (6.12) όπου ψ m,n η µη αποκαταστηµένη φάση και [.] p.v. ο τελεστής κύριας τιµής της φάσης. Εξισώνοντας µε µηδέν την σχέση (6.3) 11 και χρησιµοποιώντας διακριτές τιµές, προκύπτει η σχέση: φ m+1,n +φ m-1,n +φ m,n+1 +φ m,n-1-4φ m,n = ρ m,n (6.13) η οποία είναι η διακριτή έκδοση της εξίσωσης Poisson, όπου το ρ m,n αντιπροσωπεύει την κύρια τιµή διαφοράς φάσης της µη αποκαταστηµένης εισόδου: x x y y ρ m, n = m, n m 1, n + m, n m, n 1 (6.14) Το πρόβληµα έχει µετατραπεί πια σε γραµµικό σύστηµα Μ*Ν, το οποίο µπορεί να επιλυθεί εύκολα µε την χρήση µεθόδου µετασχηµατισµού. Μια τέτοια µέθοδος είναι ο µετασχηµατισµός Fourier: 11 π< φ ν -φ ν-1 <0(Μείωση φάσης) και 0< φ ν -φ ν-1 <π (Αύξηση φάσης) 108

113 Χ k, l = M 1N 1 m= 0 n= 0 x m, n e j 2πkm / M e j 2π ln/ N (6.15) Εφαρµόζοντας τον µετασχηµατισµό Fourier στη σχέση (6.13) το αποτέλεσµα είναι: Φ k,l (e 2πjk/M +e -2πjk/M +e 2πjl/N +e -2πjl/N -4)=P k,l (6.16) Με απλές αλγεβρικές σχέσεις το τελικό αποτέλεσµα είναι: Φ k, l = Ρ k, l 2cos(2π k / M ) + 2cos(2πl / N) 4 (6.17) Με εφαρµογή του αντίστροφου µετασχηµατισµού Fourier στην τελευταία σχέση, δίνεται η αποκαταστηµένη λύση φ m.n. Η συµβολοµετρική φάση µπορεί να χωριστεί σε δύο µέρη: το συντηρητικό και το µη συντηρητικό µέρος της. Το µη συντηρητικό µέρος οφείλεται σε ασυνέχειες και κακή δειγµατοληψία και εµφανίζεται, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, µε υπολείµµατα (residues). Ο αλγόριθµος LMS προσφέρει µια συντηρητική λύση χωρίς ασυνέχειες. Τα αποτελέσµατα της ιδιότητας αυτής είναι δύο: Αν η συµβολοµετρική φάση δεν έχει ασυνέχειες (χωρίς υπολείµµατα), η λύση που δίνει ο αλγόριθµος LMS δεν έχει λάθη και συµπίπτει µε την προτεινόµενη λύση που δηµιουργείται από απευθείας ολοκλήρωση της απεικόνισης των κροσσών συµβολής (direct raster integration). Στην περίπτωση που στη φάση εισόδου υπάρχουν ασυνέχειες (άλµατα φάσης), ο αλγόριθµος έχει την τάση να οµαλοποιεί τα άλµατα φάσης που συναντά. Η λύση αυτή όµως περιέχει σφάλµατα τα οποία µεταδίδονται και στην γειτονική περιοχή της ασυνέχειας-άλµατος. Το σφάλµα δηλαδή που δηµιουργείται από την λύση είναι µέγιστο πάνω στην ασυνέχεια και ελαττώνεται όσο αποµακρύνεται από αυτή Αλγόριθµος ελαχίστων τετραγώνων µε χρήση βαρών Η χρήση της έννοιας του βάρους έρχεται να δώσει λύση στο βασικό πρόβληµα του αλγόριθµου LMS: τη µη δυνατότητά του να αποκλείει από τους υπολογισµούς περιοχές που εκ των προτέρων είναι γνωστό ότι δεν έχουν καλή συνάφεια (π.χ. θάλασσα και γενικά υδάτινοι όγκοι που όπως είναι γνωστό αποτελούν περιοχές µε ελάχιστη συνάφεια). Ο συνδυασµός της έννοιας του βάρους και του αλγόριθµου LMS οδήγησε στη δηµιουργία του αλγόριθµου WLMS. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω η λύση ελαχιστοποίησης LMS για εικόνα Μ*Ν ανάγεται σε σύστηµα Μ*Ν γραµµικών εξισώσεων, το οποίο µε χρήση της έννοιας των πινάκων, γίνεται: Αx = b (6.18) όπου x το διάνυσµα λύσης µήκους Μ*Ν, 109

114 x=[φ 0,0, φ 0,1,, φ 0,Ν-1,, φ Μ-1,0,, φ Μ-1.Ν-1 ] (6.19) και b το διάνυσµα των διαφορών φάσης όπως αυτές εκφράζονται στη εξίσωση (4.14). Ο πίνακας Α είναι πίνακας(μ*ν)*(μ*ν), ο οποίος δίνει την σχέση κάθε εικονοστοιχείου του διαγράµµατος κροσσών συµβολής µε τα τέσσερα γειτονικά του. Η χρήση πινάκων επιτρέπει την εισαγωγή πίνακα βαρών W: WAx = Wb (6.20) Οι τιµές των στοιχείων του πίνακα βαρών υπολογίζονται µε βάση την συνάφεια, το µέτρο και άλλες πληροφορίες όπως µεταβλητότητα φάσης. Η επίλυση µε τον αλγόριθµο WLMS είναι επαναληπτική χρησιµοποιώντας τον αλγόριθµο συζευκτικού τελεστή υπό συνθήκη (preconditioned conjugated gradient algorithm). Σε κάθε βήµα δίνεται µια συµβατική λύση LMS η οποία επιστρέφει στον αλγόριθµο ως προετοιµασία. Για σύστηµα Ν*Ν, θεωρητικά η σύγκλιση γίνεται σε Ν επαναλήψεις, πρακτικά όµως η χρήση κατάλληλης µάσκας (mask) βαρών µειώνει τις απαιτούµενες επαναλήψεις Η έννοια της µάσκας Η µάσκα βαρών µπορεί να έχει δύο µορφές: υαδική µάσκα (binary mask), µε την οποία οι αναξιόπιστες περιοχές αποκτούν βάρος µηδέν(0) και οι υπόλοιπες αποκτούν βάρος µονάδα (1). Με τον τρόπο αυτό ο αλγόριθµος WLMS συµπεριφέρεται ως LMS µόνο στις προεπιλεγµένες περιοχές, εξαιρώντας εντελώς τις υπόλοιπες. Με τον τρόπο αυτό, η πληροφορία που περιέχεται στις περιοχές µε βάρος µηδέν δεν επηρεάζει τη διαδικασία. Οι «κακές περιοχές» θα αποκτήσουν εξοµαλυσµένες τιµές, υπολογισµένες από το εξωτερικό τους όριο. Η µεθοδολογία αυτή ονοµάζεται masking. Μάσκα µε βάρη (weighting) στην οποία δεν υπάρχει δυαδικός περιορισµός. Οι µη µηδενικές περιοχές έχουν επίδραση στην υπόλοιπη εικόνα. Στοιχεία για την δηµιουργία µάσκας µπορούν να αντληθούν από: 4 Την εικόνα µέτρου: οι φωτεινές περιοχές είναι ενδείξεις έντονης συµπύκνωσης (foreshortening), άρα και περιοχών ασυνεχειών 5 Τη συνάφεια: περιοχές µε νερά και γενικότερα µε µικρές τιµές συνάφειας περιέχουν πληροφορία χωρίς νόηµα. 6 Το διάγραµµα κροσσών συµβολής, στο οποίο µπορούν να εντοπιστούν τα υπολείµµατα. 7 Τη µεταβλητότητα φάσης (σχετίζεται µε την συνάφεια). Στη διαδικασία εµπλουτισµού της µάσκας βοηθούν οι τεχνικές µαθηµατικής µορφολογίας (mathematical morphology). Με τη χρήση των κατάλληλων µορφολογικών αλγορίθµων(κυρίως dilation) γίνεται αρχικά δυνατή η ένωση των υπολειµµάτων που οφείλονται στο θόρυβο και στη συνέχεια(ανάλογα µε το µήκος της γραµµής φάντασµα κάθε ζεύγους υπολειµµάτων) γίνεται και η ένωση των υπολειµµάτων που οφείλονται στις ασυνέχειες (Gonzales, 1987). Η ιδανική µάσκα είναι µια δυαδική µάσκα η οποία «συµπίπτει» µε τις γραµµές φάντασµα(ghost lines). Με τον τρόπο αυτό, η λύση WLMS ταυτίζεται µε αυτή που 110

115 δίνεται µε ολοκλήρωση της απεικόνισης (raster integration) χρησιµοποιώντας την ίδια µάσκα. Η χρήση τέτοιας µάσκας αποτελεί τελικά µειονέκτηµα αφού έτσι επιστρέφει η ανάγκη εύρεσης των γραµµών φαντάσµατα. Αφού ετοιµαστεί η µάσκα, µπορεί να εισέλθει στον αλγόριθµο. Ο αλγόριθµος WLMS εκτελείται επαναληπτικά δίνοντας σε κάθε κύκλο µια λύση. Ο αλγόριθµος σταµατά να επαναλαµβάνεται µέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση των λύσεων: η διαφορά δυο διαδοχικών λύσεων θα πρέπει να ικανοποιεί κάποιο κριτήριο το οποίο συνήθως είναι ένα κατώφλι (threshold) Ισοζυγισµένος αλγόριθµος ελαχίστων τετραγώνων Όπως είναι γνωστό, το µέγεθος των εικονοστοιχείων των δεδοµένων SAR στη διεύθυνση των αποστάσεων (range), είναι µεγαλύτερο σε σχέση µε αυτή στη διεύθυνση των αζιµουθίων (azimuth), µε λόγο κοντά στο 5:1. Εξαιτίας του γεγονότος αυτού, πιθανό σφάλµα στη φάσης είναι πιο εύκολο στη διεύθυνση των αποστάσεων, απ ότι στη διεύθυνση των αζιµουθίων. Επιπλέον τα φαινόµενα σµίκρυνσης και πτύχωσης παρατηρούνται στη διεύθυνση των αποστάσεων. Ο αλγόριθµος BLMS λειτουργεί ως εξής: στην βασική εξίσωση των ελαχίστων τετραγώνων θέτει υπόψη του την αναλογία του εικονοστοιχείου των δεδοµένων SAR. Στόχος του BLMS είναι να προσδώσει διαφορετικό βάρος στις δύο διευθύνσεις (range, azimuth) µε την χρήση ενός συντελεστή k. Η βασική σχέση του αλγόριθµου LMS (6.10), γίνεται: min M 1N 1 m= 0 n= 0 x 2 y 2 ( φ m+ 1, n φm, n m, n) + k ( φm, n+ 1 φm, n m, n) (6.21) Στη περίπτωση µη ύπαρξης ασυνεχειών φάσης ή υπολειµµάτων, οι εξισώσεις (6.10) και (6.21) δίνουν την ίδια λύση. Η βελτίωση είναι εµφανής όταν τα φαινόµενα υποβάθµισης της ποιότητας της εικόνας είναι υπαρκτά και η µάλιστα εντονότερα στη µια διεύθυνση. Η προσαρµογή της αναλογίας των δυο διευθύνσεων στη φιλοσοφία επίλυσης του αλγόριθµου LMS, γίνεται ως εξής: (φ m+1,n 2φ m,n + φ m-1,n )+k(φ m,n+1 2φ m,n + φ m,n-1 ) = x x y y = ( m, n m 1, n) + k( m, n m, n 1) (6.22) Ως k ορίζεται η αναλογία των διαστάσεων του εικονοστοιχείου η οποία δίνεται µε τη σχέση: k = x 2 / y 2 (6.23) και x x y y ρ m, n = m, n m 1, n + m, n m, n 1 (6.24) Η διακριτή εξίσωση Poisson είναι: 111

116 [(φ m+1,n 2φ m,n + φ m-1,n )/ x 2 ]+[(φ m,n+1 2φ m,n + φ m,n-1 )/ y 2 ] = ρ µ,ν (6.25) Αν ρ µ,ν = x 2 ρ µ,ν τότε: (φ m+1,n 2φ m,n + φ m-1,n )+k(φ m,n+1 2φ m,n + φ m,n-1 ) = ρ µ,ν (6.26) Με τη χρήση του µετασχηµατισµού Fourier και απλών αλγεβρικών σχέσεων, καταλήγουµε στη σχέση: Φ k, l = Ρ ' k, l (2cos(2π k / M ) 2) + k(2cos(2π l / N) 2) (6.27) Για την αντιµετώπιση µη συµµετρικών πραγµατικών δεδοµένων, όπως αυτά που προέρχονται από τους δορυφόρους ERS, η βελτίωση µε χρήση του BLMS δεν είναι τόσο εµφανής, αλλά θα δώσει καλύτερη λύση από τον LMS, χωρίς µάλιστα αύξηση του απαιτούµενου υπολογιστικού χρόνου Ισοζυγισµένος WLMS Η τεχνική ισοζυγισµένου LMS µπορεί να χρησιµοποιηθεί και στο LMS που χρησιµοποιεί βάρη. Στην περίπτωση αυτή, η αλλαγή είναι ορατή στο εσωτερικό του πίνακα βαρών W. Οι γείτονες κάθε εικονοστοιχείου που βρίσκονται στην ίδια µε αυτό γραµµή, πολλαπλασιάζονται µε τον γνωστό πια συντελεστή k. Η επίλυση γίνεται µε τον ίδιο τρόπο (επαναληπτικός) χρησιµοποιώντας τον πίνακα BLMS. Έρευνες έχουν δείξει ότι ο αλγόριθµος ισοζυγισµένων βαρών LMS είναι προτιµότερος από τον απλό WLMS σε περιπτώσεις δεδοµένων µε µη συµµετρικά εικονοστοιχεία Άλλες µέθοδοι Οι αλγόριθµοι που παρουσιάστηκαν µέχρι εδώ είναι οι πιο σηµαντικοί στις κατηγορίες τους. Η µέθοδος ένωσης υπολειµµάτων και όλο το σύνολο των αλγόριθµων που στηρίζονται στη προσέγγιση των ελαχίστων τετραγώνων, είναι οι πρώτες απόπειρες επίλυσης που έκανε η επιστηµονική κοινότητα για το πρόβληµα της αποκατάστασης της φάσης. Άµεσο επακόλουθο είναι η πληθώρα εφαρµογών, δηµοσιευµάτων και πειραµάτων γύρω από αυτούς. Η σπουδαιότητα του αλγόριθµου τοπικής ανάπτυξης (RG) έγκειται στο γεγονός ότι από την πρώτη κιόλας εµφάνισή του απέδειξε ότι έχει πολλά πλεονεκτήµατα, επιτυγχάνει πολύ ικανοποιητικά αποτελέσµατα ενώ έχει παράλληλα και την δυνατότητα άµεσης προσαρµογής στις απαιτήσεις του κάθε ερευνητή καθώς όπως αναφέρθηκε παραπάνω αποτελεί περισσότερο µια φιλοσοφία παρά µια συγκεκριµένη µεθοδολογία. Υπάρχουν και άλλες µέθοδοι, που ανήκουν σε µια από τις δύο κατηγορίες αλγορίθµων(γενικές και ολοκλήρωσης) ή και στις δύο, που δεν είναι όµως τόσο γνωστές. Για το λόγο αυτό παρουσιάζονται ξεχωριστά από τις υπόλοιπες Αποκατάσταση φάσης βασισµένη σε προγραµµατισµό δικτύου Η µέθοδος εκµεταλλεύεται το γεγονός ότι οι διαφορές της αποκαταστηµένης φάσης γειτονικών εικονοστοιχείων υπολογίζονται µε πιθανό σφάλµα το οποίο είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π. Το γεγονός αυτό δίνει την δυνατότητα να αναχθεί το πρόβληµα 112

117 αποκατάστασης της φάσης σε πρόβληµα ελαχιστοποίησης της απόκλισης µεταξύ των διαφορών υπολογισµένης και άγνωστης αποκαταστηµένης φάσης γειτονικών εικονοστοιχείων, µε τον περιορισµό ότι οι αποκλίσεις αυτές πρέπει να είναι ακέραια πολλαπλάσια του 2π. Ο περιορισµός αυτός εµποδίζει την εξάπλωση των σφαλµάτων, καθιστώντας έτσι την τοποθέτηση βαρών στα δεδοµένα µη απαραίτητη. Σε κάθε περίπτωση η χρήση βαρών επιτρέπεται (χωρίς µάλιστα απώλειες στο αποτέλεσµα) και µπορεί να φανεί χρήσιµη όταν υπάρχουν µεγάλες περιοχές µε έντονο θόρυβο. Η επίλυση προβληµάτων ελαχιστοποίησης ακέραιων αριθµών είναι συνήθως πολύ απαιτητική σε χρόνο υπολογισµού. Η φύση όµως του προβλήµατος επιτρέπει την αναγωγή του σε πρόβληµα εύρεσης της ελάχιστης ροής κόστους (minimum cost flow) σε ένα δίκτυο (network) (σχήµα 6.5). Για την επίλυση τέτοιων προβληµάτων υπάρχει πληθώρα αλγορίθµων. Σχήµα 6.5 Παράδειγµα δικτύου Η µέθοδος Έστω Φ µια συνάρτηση πραγµατικών τιµών ορισµένη σε ορθογώνιο κάνναβο και: Ψ(i,j) = [Φ(i,j)] 2π (6.27) η συνάρτηση που για πραγµατικό x είναι: [x] 2π = x+ 2πn, µε n ακέραιο τέτοιον ώστε [x] 2π να παίρνει τιµές στο διάστηµα [-π,π). Στην σχέση (6.27) οι συναρτήσεις Φ και Ψ είναι αντίστοιχα οι συναρτήσεις αποκαταστηµένης και µη φάσης. Η αντιστροφή της σχέσης (6.27), η ανακατασκευή δηλαδή της Φ από την Ψ, είναι η διαδικασία αποκατάστασης της φάσης. Ορίζονται οι σχέσεις: Ψ 1 (i,j) = [Φ(i+1,j) Φ(i,j)] 2π (6.28) 113

118 Ψ 2 (i,j) = [Φ(i,j+1) Φ(i,j)] 2π (6.29) Όταν οι ποσότητες Φ(i+1,j) Φ(i,j) και Φ(i,j+1) Φ(i,j) ανήκουν στο διάστηµα [-π,π), οι σχέσεις (6.28) και (6.29) γίνονται: Ψ 1 (i,j) = Φ(i+1,j) Φ(i,j) και Ψ 2 (i,j) = Φ(i,j+1) Φ(i,j), αντίστοιχα. Οι εξισώσεις αυτές θεωρούνται ότι ισχύουν στις περισσότερες περιπτώσεις. Γενικά το πρόβληµα αντιστροφής της εξίσωσης (6.27) µπορεί να µετατραπεί σε πρόβληµα εύρεσης των ακόλουθων υπολειµµάτων: k 1 (i,j) = (1/2π)[Φ(i+1,j) Φ(i,j) Ψ 1 (i,j)] (6.30) k 2 (i,j) = (1/2π)[Φ(i,j+1) Φ(i,j) Ψ 2 (i,j)] (6.31) από τα οποία µπορούν να υπολογιστούν οι διαφορές αποκαταστηµένης φάσης γειτονικών εικονοστοιχείων. Μετά, µε ολοκλήρωσή τους, η αποκαταστηµένη φάση αναδοµείται µε µια πρόσθετη σταθερά η οποία είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π. Έστω c 1 (i,j) και c 2 (i,j), µη αρνητικοί πραγµατικοί αριθµοί βάρους της a priori εµπιστοσύνης ότι τα υπολείµµατα k 1 (i,j) και k 2 (i,j) πρέπει να είναι µικρά (αν δεν υπάρχει τέτοια γνώση, τότε τα c 1 (i,j) και c 2 (i,j) επιλέγονται ίσα µε µονάδα(1)). Τα υπολείµµατα µπορούν να υπολογιστούν µε το ακόλουθο πρόβληµα ελαχιστοποίησης: min (6.32) c1 ( i, j) k1( i, j) + c2( i, j) k2( i, j) i, j i, j { k1, k 2} το οποίο έχει τους παρακάτω περιορισµούς: k 1 (i,j+1) - k 1 (i,j) k 2 (i+1,j) + k 2 (i,j) = -(1/2π)[Ψ 1 (i,j+1) - Ψ 1 (i,j) Ψ 2 (i+1,j) + Ψ 2 (i,j)] (6.33) k 1 (i,j) ακέραιος (6.34) k 2 (i,j) ακέραιος (6.35) Η εξίσωση που ελαχιστοποιείται στην εξίσωση (6.32) προέρχεται από την υπόθεση ότι τα υπολείµµατα είναι συνήθως µηδέν. Η επιλογή απόλυτης τιµής στα υπολείµµατα επιλέχθηκε ως κριτήριο σφάλµατος γιατί επιτρέπει µια αποτελεσµατική λύση στο πρόβληµα ελαχιστοποίησης. Η εξίσωση (6.33) δείχνει ότι τα Ψ 1 + 2πk και Ψ 2 + 2πk αντιπροσωπεύουν τις διαφορές γειτονικών εικονοστοιχείων της άγνωστης εξίσωσης Φ, όπως φαίνεται από τις εξισώσεις (6.30) και (6.31). Οι περιορισµοί αυτοί εξασφαλίζουν την ανεξαρτησία της µεθόδου στο µονοπάτι ολοκλήρωσης. Οι εξισώσεις (6.32), (6.33), (6.34) και (6.35) σχηµατίζουν ένα µη-γραµµικό πρόβληµα ελαχιστοποίησης µε ακέραιες µεταβλητές. Η χρήση των µεταβλητών : 114

119 x 1 + (i,j) = max(0,k 1 (i,j)), x 1 - (i,j) = min(0,k 1 (i,j)) (6.36) x 2 + (i,j) = max(0,k 1 (i,j)), x 2 - (i,j) = min(0,k 2 (i,j)) (6.37) δείχνει ότι το πρόβληµα που ορίστηκε από τις εξισώσεις (6.32), (6.33), (6.34) και (6.35) µπορεί να µεταβληθεί σε πρόβληµα ορισµού της ελάχιστης ροής κόστους ενός δικτύου, και οι νέες µεταβλητές να αντιπροσωπεύουν την ροή κατά µήκος των τόξων του δικτύου. Στη νέα µορφή προβλήµατος η εξίσωση (6.32) γίνεται το ολικό κόστος ροής, οι περιορισµοί που αντιπροσωπεύονται στην εξίσωση (6.33) εκφράζουν την διατήρηση της ροής στους κόµβους (nodes) και τέλος οι εξισώσεις (6.34) και (6.35) ορίζουν την χωρητικότητα των τόξων. Στην πράξη, σε πειράµατα που έγιναν (Costantini, 1996) σε εξοµοίωση διαγράµµατος κροσσών συµβολής που παρουσίαζε πτύχωση, οι επιδόσεις του αλγόριθµου ήταν καλύτερες από αυτές του αλγόριθµου LSE. Στην εφαρµογή της µεθόδου σε διάγραµµα κροσσών συµβολής προερχόµενες από TANDEM, η ποιότητα των αποτελεσµάτων ήταν εµφανής. Η φάση που δίνει ως αποτέλεσµα ο αλγόριθµος, αν «διπλωθεί» πάλι µε τον ίδιο αλγόριθµο, θα δώσει ακριβώς την αρχική φάση. Η σύγκριση της µεθόδου του δικτύου µε τον αλγόριθµο LSE, έγινε ως εξής: στη φάση που προήλθε από την επίλυση των ελάχιστων τετραγώνων (LSE) έγινε «αναδίπλωση» µε τη µέθοδο του δικτύου. Μετά τη σύγκριση της διπλωµένης πια φάσης που προήλθε από την λύση των ελάχιστων τετραγώνων όταν αυτή διπλώθηκε µε την µέθοδο του δικτύου, µε την αρχική αξιολογήθηκε η απόδοση της µεθόδου του δικτύου. Η σύγκριση αυτή έδειξε τα πλεονέκτηµα της µεθόδου του δικτύου και ειδικά µάλιστα σε περιοχές µε έντονα φαινόµενα πτύχωσης. Στα ίδια πειράµατα του Costantini (1996) αποδείχθηκε ότι ο χρόνος επεξεργασίας εξαρτάται από τον αλγόριθµο ελάχιστου κόστους ροής που θα χρησιµοποιηθεί Μορφολογική αποκατάσταση φάσης Η χρήση µορφολογικών εννοιών στην αποκατάσταση της φάσης του διαγράµµατος των κροσσών συµβολής, αποτελεί την τελευταία εξέλιξη στον τοµέα αυτό. Ο αλγόριθµος αυτός παρουσιάστηκε από τον Soille [2000] και στην ουσία είναι µια διαδικασία τριών ανεξάρτητων λειτουργιών: η πρώτη λειτουργία επιχειρεί µε την χρήση των µορφολογικών λειτουργιών ανοίγµατος (opening) και κλεισίµατος (closing), να ορίσει µια περιοχή του διαγράµµατος κροσσών συµβολής, στην οποία κυριαρχούν παρεµβολές. Η δεύτερη λειτουργία χρησιµοποιεί την µορφολογική λειτουργία διάβρωσης (erosion) για να βρει τα ψηλά (high) όρια των µετρηµένων κροσσών τονίζοντάς τα, ενώ οι περιοχές που οδηγούν σε σφάλµα στην παραγωγή της απεικόνισης της αποκαταστηµένης φάσης «γεµίζονται» µε χρήση της µορφολογικής τεχνικής της τοπικής ανάπτυξης (region growing) η οποία στηρίζεται στην αρχή της κατάτµησης (segmentation). Τέλος η τρίτη λειτουργία ολοκληρώνει την µετρηµένη φάση υπολογίζοντας και τους κατατµηµένους κροσσούς. Σύµφωνα µε τον συγγραφέα, ο αλγόριθµος που προκύπτει είναι εύρωστος στην αντιµετώπιση της κηλίδωσης και σε αντικείµενα µε ακαθόριστο σχήµα τα οποία δεν καλύπτουν όλη την εικόνα. Σε µερικές περιπτώσεις µπορεί να αντιµετωπίσει και φαινόµενα παραποίησης της εικόνας όπως και απότοµες µετατοπίσεις φάσης λόγω ανάγλυφου. 115

120 Μορφολογικές λειτουργίες Στη µαθηµατική µορφολογία (Mathematical Morphology(MM)) ή πιο απλά στη µορφολογία (morphology), κάθε τόνος του γκρι της απεικόνισης αντιµετωπίζεται ως τοπογραφικό ανάγλυφο σχετίζοντας κάθε εικονοστοιχείο µε µια τιµή υψοµέτρου ανάλογη της έντασής του. Οι τιµές δηλαδή των εικονοστοιχείων είναι υψόµετρα της επιφάνειας της απεικόνισης. Με τα µάτια ενός µορφολογιστή (morphologist) το διάγραµµα των κροσσών συµβολής φαίνεται ως σκοτεινές κοιλάδες(περιοχές όπου επικρατούν ενοχλητικές παρεµβολές) και φωτεινούς λόφους(περιοχές όπου κυριαρχούν εποικοδοµητικές παρεµβολές). Η τοπογραφική αναπαράσταση της εικόνας επιτρέπει σε κάποιον να ορίσει ποιο πρότυπο (template pattern) ταιριάζει στην δοµή της απεικόνισης. Τα πρότυπα αυτά ονοµάζονται δοµικά στοιχεία (structural elements) και συναντώνται σε διάφορα σχήµατα όπως κυκλικό, τετράγωνο, γραµµικό, σταυρός και άλλα. Τα δοµικά στοιχεία και οι µορφολογικές πράξεις είναι τα δυο στοιχεία που ορίζουν µια µορφολογική λειτουργία. Βασικές µορφολογικές πράξεις είναι αρχικώς οι erosion και dilation. Από αυτές προκύπτουν οι opening και closing. Erosion και Dilation Με µαθηµατικούς όρους, η πράξη erosion ε µιας εικόνας τόνων γκρι f σε ένα δοσµένο εικονοστοιχείο x είναι η ελάχιστη τιµή των τιµών των εικονοστοιχείων που περιέχονται στο δοµικό στοιχείο Β όταν αυτό είναι τοποθετηµένο µε κέντρο το αρχικό εικονοστοιχείο: [ε Β (f)](x) = min beb f(x+b) (6.38) Αντίστοιχα, η πράξη dilation (σχήµα 4.6) εκφράζει τη µέγιστη τιµή των εικονοστοιχείων που περιέχονται στο δοµικό στοιχείο Β, µε κέντρο το αρχικό εικονοστοιχείο x: [δ Β (f)](x) = max beb f(x+b) (6.39) Σχήµα 6.6 Η µορφολογική πράξη dilation µε χρήση δοµικού στοιχείου σχήµατος σταυρού 116